Pag. 1 di 21

Regime di capitalizzazione

Per studiare un’operazione finanziaria da un punto di vista matematico, è necessario fissare un insieme di regole in modo tale che se sono noti:

• L’importo del capitale impiegato C • Il tempo t che rappresenta la durata dell’operazione • Il valore del tasso unitario i o di quello percentuale r

sia possibile determinare l’importo della controprestazione A questo insieme di regole si dà il nome di regime di capitalizzazione

Pag. 2 di 21

Regime di capitalizzazione semplice

Il regime di capitalizzazione semplice si applica quando si conviene (tra il

debitore e il creditore) che l’interesse prodotto dal capitale C non venga

aggiunto periodicamente al capitale ma venga restituito al creditore, insieme al

capitale iniziale, solo alla fine del periodo di investimento.

Ciò comporta:

• L’interesse semplice I diventa disponibile solo alla fine dell’operazione

• Gli interessi non sono fruttiferi (non producono altri interessi)

Pag. 3 di 21

L’interesse semplice

Fissato il tasso di interesse unitario i (compenso spettante per ogni euro

investito), a seconda dell’entità del capitale C investito, in 1 anno si hanno i

seguenti valori di I:

Importo di C (in euro) Interesse I (in euro) per 1 anno

1 i 2 i+i = 2i 3 i+i+i = 3i 4 i+i+i+i = 4i

Per un capitale C spetterà quindi un interesse annuo I C i= ⋅

Pag. 4 di 21

L’interesse semplice 2

Poichè per ogni anno l’interesse risulta essere uguale a I C i= ⋅ , nel caso in

cui la durata dell’operazione risulti uguale ad un numero intero di anni si ha:

Durata t (in

anni) Interesse I (in euro)

1 C · i = C · i · 1

2 C · i + C · i = C · i · 2

3 C · i + C · i + C · i = C · i · 3

4 C · i + C · i + C · i + C · i = C · i · 4

Per un capitale C, impiegato per t anni al tasso di interesse unitario i spetterà un

interesse semplice pari a I C i t= ⋅ ⋅

Pag. 5 di 21

La rappresentazione grafica dell’interesse

I In figura, le 3 rette rappresentano

l’andamento della funzione I al

variare del tempo dando ad i valori

uguali a 0,01 – 0,02 e 0,03.

Come si vede l’inclinazione della

retta varia al variare di i

t

Pag. 6 di 21

Considerazioni sul tempo

Non sempre il capitale C è impiegato per un periodo espresso in anni,

analogamente il tasso non sempre è espresso su base annua. Se il tempo di

impiego non è espresso in anni ma in più unità di misura allora è necessario

ricondurlo a un’unità di misura comune. Dunque se si dovesse trasformare su

base annua bisognerebbe tener presente che:

1 1 11 mese= anno; 1 bimestre= anno; 1 trimestre= anno;

12 6 4

1 1 11 quadrimestre= anno; 1 settimana= anno; 1 giorno= anno;

3 52 360

(360 giorni = anno commerciale costituito da 12 mesi di 30 giorni ciascuno)

Pag. 7 di 21

Es. Se il tempo t= 3 anni, 6 mesi e 18 giorni si potrebbe trasformare in vari modi:

1836012

6

6

713 320

2133 3 125

3 3 3

1830

60 1

18 giorni

18 g

anni + + ... se l'unità di misura è l'anno

anni + + ... se l'unità di misura è il mese

iorni

18 giornianni + +

= + + = =

= ⋅ + + = =

= ⋅ + + 12788 ... se l'unità di misura è il giorno= =

6

30

6 mesi

6 mesi

6 mesi ⋅ Se il tempo t= 3 anni, 6 mesi e 18 giorni e il tasso fosse semestrale allora va trasformato t in semestre:

713 3 26 10

essendo 1 anno= 2 semestri; ;

ann

11 giorno= di semestre

18018

18 giornii + + ...

11 mese= di semestre

66

6 mesi se l'unità di misura18

è

il se0

mestre

= ⋅ + + = =

Pag. 8 di 21

Il montante M Al termine di un’operazione finanziaria, il debitore restituisce al creditore il

montante M dato dalla somma del capitale C iniziale e dall’interesse I prodotto,

cioè: M C I= +

oppure, tenendo presente che I C i t= ⋅ ⋅ risulta

M C C i t= + ⋅ ⋅ da cui

( )1M C i t= ⋅ + ⋅

Pag. 9 di 21

Rappresentazione grafica del MONTANTE

La retta di colore blu rappresenta l’andamento dell’interesse I C i t= ⋅ ⋅ . La retta di colore rosso rappresenta l’andamento del

montante

C M C I= +

Pag. 10 di 21

Approfondimenti grafici1

In un sistema di assi cartesiani si rappresenta M sull’asse delle y e t sull’asse delle x. (Fissati C e i, M dipende da t)

Osservando il grafico si deduce: • Per t=0 risulta M=C

(all’inizio dell’operazione non sono ancora maturati interessi)

• Se t1<t2 allora M1<M2

Pag. 11 di 21

Approfondimenti grafici2

In questo grafico ci sono 2 rette del montante relative a 2 tassi diversi:

Osservando il grafico si deduce:

• In un’operazione di durata t , il montante maggiore si ottiene in corrispondenza del tasso maggiore i2

Pag. 12 di 21

Approfondimenti grafici3

In questo grafico ci sono 2 rette del montante relative a 2 tassi diversi:

Osservando il grafico si deduce:

• Uno stesso montante M>C può essere ottenuto in tempi diversi se si impiega il capitale a tassi diversi e precisamente:

1 2 1 2se i i t t< ⇒ >

Pag. 13 di 21

Determinazione del capitale C

Il capitale C si può calcolare se sono noti t, i e I

1 1 1

1 1

M o lt ip l ic a n d o e n tra m b i i m e m b r i d e lla p e r

s i o tt ie n e d a c u i

e q u in d i

= ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅

I C i t

I C i ti t i t i t

C i t Ii t i t

IC

i t=

⋅

Pag. 14 di 21

(1 )

1

(1 )1 1

(1 )1 1

oppure si può ricavare dalla formula 1

moltiplicando entrambi i membri per si ha

1 1

1 1invertendo si ha

semplificando si ott

C M C it

it

M C itit it

C it Mit it

= +

+

= ++ +

+ =+ +

i i

i i

1iene poi

MCit

=+

Pag. 15 di 21

Determinazione della durata t

La durata t dell’operazione si può calcolare se sono noti C, i e I

1 1 1Moltip licando entram bi i m em bri de lla per

s i o ttiene da cu i

= ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

I C i t

I C i tC i C i C i

It

C i=

⋅ Es. Per quanto tempo deve essere impiegato un capitale di 1800 €, al tasso del 10% annuo, per produrre un interesse di 234 € ?

Secondo la formula suddetta, 234 1,3

1800 0,10t = =

⋅ si trasforma, poi, il

tempo ottenuto in anni, mesi e giorni nel modo seguente:

Pag. 16 di 21

31 310

3 3 12 3, 610 10

di anno

di anno mesi mesi cioè 3 mesi +

3 mesi

= ⋅ =

, 3 1 0, 3 110

1, 3

30 18

6di me

se10

6 6 di mese giorn

cioè 1 ann

i gio

o +

quindi equivale a 1 anno, ,

un'even

rni10 10

18 gio nr it

= ⋅ =

= + = +

=

tuale ulteriore parte decimale sarebbe stata trascurata.

Pag. 17 di 21

,

oppure si può ricavare dalla formula ,modificandola nel modo seguente

1

moltiplicando, poi, entrambi i membri per cioè

1

t M C Cit

M C Cit Cit M C

Ci

CitCi

= +

− = ⇒ = −

i ( ) 1

e semplificando, si ottiene M Ct

M CCi

Ci−

=

= − i

Pag. 18 di 21

Determinazione del tasso unitario i

Il tasso unitario i dell’operazione si può calcolare se sono noti C, t e I

1 1 1Moltiplicando entrambi i membri della per

si ottiene da cui

= ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

I C i t

I C i tC t C t C t

IiC t

=⋅

Pag. 19 di 21

( )

,

,

oppure si può ricavare dalla formula modificandola nel modo seguente

1

moltiplicando, poi, entrambi i membri per cioè

1

i M C Cit

M C Cit Cit M C

Ct

Cit M CCt

= +

− = ⇒ = −

= −i 1

e semplificando, si ottiene M

Ct

CiCt−

=

i

Pag. 20 di 21

Riepilogo formule

Interesse I M C= − I C i t= ⋅ ⋅

Capitale 1

MCi t

=+ ⋅

ICi t

=⋅

Tasso unitario M CiC t−

=⋅

IiC t

=⋅

Tempo M CtC i−

=⋅

ItC i

=⋅

Montante ( )1M C i t= ⋅ + ⋅ M C I= +

Pag. 21 di 21

Il tasso effettivo i*

Il tasso i, presente nelle operazioni finanziarie, è in realtà solo un tasso teorico.

Nella pratica, la banca recupera, trattenendole dall’interesse I, le somme

necessarie per il pagamento di tasse e per le spese di gestione del conto. In tal

modo, si ottiene un interesse I* ed evidentemente risulta I* <I.

L'interesse corrisponde ad un tasso , detto tasso effettivoe risulta Se si indica, poi, con la tassazione e con le spese di gestione, risulta Combinando

le 2 f

I

I iT

StI C i* *= ⋅ ⋅

SI T

* *

*.

.−= −

( )

ormule si ha e moltiplicando per

cioè

C tI T S

I T S

I T St tC C t

iC

1

1 1 * − −=

−C i t

C i t

*

*

⋅ ⋅

/ ⋅ ⋅

=

⋅ =⋅ ⋅

−

/− −

⋅⋅

⋅