G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Urti Si parla di urti quando due punti materiali (o due...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Urti• Si parla di urti quando due punti materiali (o due sistemi di punti

materiali) si scambiano energia e quantità di moto in un tempo estremamente breve.

r F m =

Δr p Δt

Δr p la variazione di quantità di moto è finita

Δt tende a zero

• Le forze agenti sulle particelle interagenti sono estremamente intense (forze impulsive!!)


Fasi dell’urto• fase iniziale prima dell’urto: in cui esiste un moto imperturbato.

Δr r =r v Δt

Δt→ 0⇒ Δ

r r ≈0

Poiché l’urto è istantaneo, le particelle, nella fase dell’urto, non si spostano.

Il CM si trova sempre sul segmento che congiunge le due particelle. L’urto avviene nel CM

• fase dell’urto:– La durata di questa fase è piuttosto piccola rispetto alla

durata complessiva del moto.

– Si produce quindi una brusca variazione nel moto dei due sistemi interagenti

– È caratterizzata dalla presenza di forze molto intense.

• fase successiva all'urto: dopo l'interazione, lo stato di moto continua ad essere di nuovo imperturbato.


Impulso della forza• Durante l’urto le forze che agiscono sulle

particelle interagenti hanno una intensità molto grande (tendente all’infinito).

– Sono difficili da descrivere.

– Quello che è importante è l’effetto prodotto

• Consideriamo una delle due particelle interagenti– La particella 1

– La sua variazione di quantità di moto, prodotta dalla forza F12, vale:

tt1

t2

F12

F12m

1 2

F12F21

Δr p 1 =

r p 1f −

r p 1i

• Si definisce Impulso della forza F12 la quantità: r I 1 =Δ

r p 1 =

r p 1f −

r p 1i

dr p 1dt

=r F 12

dr p 1 =

r F 12dt ⇒ Δ

r p 1 = d

r p 1

t1

t2

∫ =r F 12dt

t1

t2

∫

r I 1 =

r F 12dt

t1

t2

∫ Rappresentato dall’area sotto la curva

La stessa variazione di quantità di moto può essere ottenuta con una forza molto intensa che dura molto poco, o da una forza meno intensa che agisce per un tempo piu lungo.


Forza media• La forza media è la forza costante che, agendo

nell’intervallo tra t1 e t2, provoca la stessa variazione di quantità di moto della forza F12:

tt1

t2

F12

F12m

1 2

F12F21

L’impulso in questo caso è rappresentato dall’area del rettangolo di base t e altezza F12m

Δ

r P 1 =

r F 12dt

t1

t2

∫ =r F 12mΔt

l’area del rettangolo di base t e altezza F12m è uguale all’area sotto la curva dell’intensità della forza in funzione del tempo


Applicazione

• Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete di muratura prima di fermarsiDi quanto si riduce l’energia meccanica della pallottola?Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre penetrava nella parete?Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi?

Prima

Le forze agenti sono:La forza peso (fa lavoro nullo)La Normale (fa lavoro nullo)La forza di attrito(dinamico)

ΔE =Ef −Ei =K f −K i

Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio per descrivere il moto:

la parete è ferma in tale sistemail sistema di riferimento è inerziale Dopo

L’energia meccanica totale coincide con l’energia cinetica.

Nell’ipotesi di un moto orizzontale come mostrato in figura, non c’è variazione dell’energia potenziale della forza peso

K f =0

K i =12

mvi2 ΔE =K f −K i =−

12

mvi2 =−

12

×30×10−3 ×5002 =−3750J

ΔE =Wnc=FxΔx ⇒ Fx =ΔEΔx

=−3750

12×10−2 =−31250N P =mg=30×10−3 ×9.81=.294N

Circa 100 mila volte il peso

x


Applicazione

• Per calcolaci tempo ha impiegato dalla pallottola per fermarsi, valutiamo l’impulso della forza.

Prima

Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi

DopoLa quantità di moto finale è nullaQuella iniziale ha solo la componente xAnche l’impulso avrà solo la componente x

Questo semplice esempio mostra come le forze negli urti siano molto intenseI tempi dell’interazione siano piuttosto piccoli

x r I =Δ

r p =

r p f −

r p i

I x =pxf −pxi =−mvi =−30×10−3 ×500=−15kgms−1

I x =FxΔt ⇒ Δt =IxFx

=−15

−31250=0.032s


Soluzione dei problemi di urtoSistema isolato

• Consideriamo dapprima un urto, in cui le particelle interagenti sono così lontane da altre particelle da poter considerare nulle le forze esterne (sistema isolato)

• Dalla I equazione cardinale dei sistemi ricaviamo che la quantità di moto totale del sistema di particelle interagenti si deve conservare.

1 2

F12F21

Sistema delle particelle interagenti

dr P

dt=

r R est=0 ⇒

r P =cost

r P =

r p 1 +

r p 2 =cost

r p 1i +

r p 2i =

r p 1f +

r p 2f ⇒ −

r p 2f +

r p 2i =

r p 1f −

r p 1i

⇓Δ

r p 1 =−Δ

r p 2

r I 1 =−

r I 2


Soluzione dei problemi di urtoin presenza di forze esterne

• Consideriamo ora il caso in cui le particelle interagenti durante l’urto sono sottoposte anche ad alcune forze esterne.

• La variazione della quantità di moto subita da ciascuna particelle tra t1 e t2 sarà data da:

1 2

F12F21


F2estF1

est

Δ

r P 1 =

r F 12 +

r F 1

est( )dt

t1

t2

∫ =r F 12dt

t1

t2

∫ +r F 1

estdtt1

t2

∫ =Δr P 1

int+Δr P 1

est=r F 12mΔt +

r F 1

estΔt =r F 12m +

r F 1

est( )Δt

Δ

r P 2 =

r F 21+

r F 2

est( )dt

t1

t2

∫ =r F 21dt

t1

t2

∫ +r F 2

estdtt1

t2

∫ =Δr P 2

int +Δr P 2

est=r F 21mΔt+

r F 2

estΔt =r F 21m +

r F 2

est( )Δt

Δr P 1 ≈

r F 12mΔt

Δr P 2 ≈

r F 21mΔt=−

r F 12mΔt =−Δ

r P 1

tt1

t2

F12

F12m

F1est

Se durante l’urto la forza esterna è trascurabile rispetto a quella interna

ΔP ==ΔP1 + ΔP2=−ΔP1{ =ΔP1 −ΔP1 =0

Bisogna assicurarsi che le forze esterne, durante l’urto non diventino impulsive


Forze esterne impulsive

• Quali forze mi possono dare fastidio?

• Quali forze durante l’urto possono diventare impulsive?

• Tutte quelle forze per cui non abbiamo travato una espressione per calcolare il loro valore!

• Forze che conservano una intensità finita durante l’urto:– Forza peso

– Forza elastica

– Gravitazione universale

– Resistenza passiva

• Forze che possono diventare impulsive durante l’urto:– Componente normale della reazione vincolare N

– Forze di attrito (attraverso il loro legame con la normale N)

– Tensione nelle funi

P =mg

Felx =−kx

F =GmMr2

r F =−br v


Conservazione della quantità di moto• Se le forze esterne sono nulle o trascurabili rispetto a quelle impulsive

interne

• Si conserva la quantità di moto del sistema delle particelle interagenti.

1 2F12

F21


Δr P =0 ⇔

r P i =

r P f

cr P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

1 2

v1v2

1 2

v’1 v’2

m1r v 1i +m2

r v 2i =m1

r v 1f +m2

r v 2f

m1v1xi +m2v2xi =m1v1xf +m2v2xf

m1v1yi +m2v2yi =m1v1yf +m2v2yf

m1v1zi +m2v2zi =m1v1zf +m2v2zf

• Conoscendo le velocità iniziali, si possono determinate le velocità delle particelle dopo l’urto?

• 3 equazioni con 6 incognite


Istante iniziale e finale nello studio dei processi d’urto

• Se le forze esterne sono assenti allora– Le due particelle sono sottoposte solo all’azione delle forze interne che

esistono solo durante l’urto.

– Sia prima che dopo l’urto non sono soggette a forze: si muovono di moto rettilineo uniforme, con quantità di moto costante.

– i e f possono essere due istanti qualsiasi prima e dopo l’urto.

tt1 t2

F12

F12m

F1est

• In presenza di forze esterne invece– i e f devono essere l’istante immediatamente

prima dell’urto e quello immediatamente dopo l’urto.

– Se si allunga l’intervallo di osservazione• La variazione della quantità di moto prodotta

dalla forza esterna potrebbe non essere più trascurabile rispetto a quella prodotta dalla forza interna.

• Non c’è più conservazione della quantità di moto


Moto del centro di massa in un processo d’urto

• Se nell’urto si conserva la quantità di moto

• Il centro di massa si muove con velocità costante:

r P =M

r v CM ⇒

r P =costante

⇓r v CM =costante

• Il Sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento inerziale– Molto utile per risolvere i problemi d’urto.


Conservazione parziale della quantità di moto

• Se tra le forze esterne agenti sulle particelle che si urtano c’è una forza che, durante l’urto potrebbe diventare impulsiva (reazione vincolare, tensione, etc)

• Non è lecito applicare la conservazione della quantità di moto.

• In alcuni casi però è possibile stabilire a priori la direzione della forza impulsiva

• Vuol dire che si conserveranno le componenti della quantità di moto nelle direzioni perpendicolari a quella della forza impulsiva

Rxest =impulsivaRy

est≈0 Rzest≈0

dr P

dt=

r R est ⇒

dPx

dt=Rx

est(impulsiva) ⇒ Px potrebbe non conservarsi

dPy

dt=Ry

est≈0 ⇒ Py si conserva

dPz

dt=Rz

est≈0 ⇒ Pz si conserva


Urti elastici o anelastici• Dal punto di vista dell’energia gli urti si classificano

– Elastici• Se l’energia cinetica si conserva

– Anelastici• Quando non si conserva l’energia cinetica

• Nota Bene: Solo l’energia cinetica è importante. Infatti:– Se non ci sono forze esterne non c’è energia potenziale

– Comunque durante l’urto la posizione delle particelle non varia, non varia neppure l’energia potenziale.

• Nel caso di urti anelastici, l’energia cinetica può – sia diminuire (viene trasformata in altre forme di energia: energia

interna dei corpi, riscaldamento dei corpi)

– ma anche aumentare (l’energia interna dei corpi viene trasformata in energia meccanica: esplosioni)

• Urti completamente anelastici– Quando viene persa tutta l’energia cinetica che è possibile perdere

compatibilmente con la conservazione della quantità di moto.

Δr r =r v Δt

Δt→ 0⇒ Δ

r r ≈0

N.B. non c’è alcuna correlazione tra la conservazione dell’energia e quella della quantità di moto


Urti completamente anelastici

• Sono quegli urti in cui si perde tutta l’energia cinetica che è possibile perdere compatibilmente con la conservazione della quantità di moto

Per il teorema di Konig

K =12

MvCM2 +K'

dove K' è l'energia cinetica

misurata nel sistema del CM

se vCM =cost

⇓al più K' può annullarsi

K'=12

m1v'12 +

12

m2v'22

r P =M

r v CM

r P =cost

⇓r v CM =cost

K'=12

m1v'12 +

12

m2v'22

K'=0

⇒

v'1=0

v'2 =0

• Le due particelle nello stato finale hanno velocità nulla rispetto al centro di massa

• Poiché al momento dell’urto, entrambe le particelle si trovavano nella posizione del centro di massa

• Le due particelle emergono dall’urto unite insieme e si muovono con la velocità del CM


Soluzione dell’urto completamente anelastico

• Consideriamo un urto completamente anelastico in cui si conserva la quantità di moto (non ci sono forze esterne impulsive)

m1r v 1i +m2

r v 2i =m1

r v 1f +m2

r v 2f

• A cui possiamo aggiungere l’ulteriore condizione: r v 1f =

r v 2f =

r v f

m1r v 1i +m2

r v 2i = m1 +m2( )

r v f

r v f =

m1r v 1i +m2

r v 2i

m1 +m2

• Abbiamo tre equazioni con tre incognite– Il problema ammette soluzione

• Velocità del CM


Il pendolo balistico

• Veniva usato per misurare la velocità dei proiettili sparati da un’arma da fuoco.

O

Mm v

l

• Consiste in un blocco di legno (o sacco di sabbia) appeso al soffitto con una corda di lunghezza l

• Il proiettile penetra nel blocco di legno e si ferma rispetto al blocco (l’urto è completamente anelastico)

• Blocco e proiettile, insieme, dopo l’urto cominceranno ad oscillare come un pendolo

• Misurando l’ampiezza delle oscillazioni, dalla conoscenza degli altri parametri in gioco, massa del blocco, massa del proiettile e lunghezza del pendolo, è possibile risalire alla velocità iniziale del proiettile


Applicazione

• Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.Determinare l’elongazione massima del pendoloSe la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urtoVerificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

O

Mm v

l


Il pendolo balistico: analisi delle forze

• Le forze peso non sono impulsive

• La tensione potrebbe diventare impulsiva durante l’urto.

• Non possiamo imporre la conservazione della quantità di moto

• Poiché l’urto dura poco, la posizione del pendolo durante l’urto non varia

– Il filo durante l’urto resta verticale

• Tutte le forze esterne durante l’urto sono verticali

• Si conserva la componente della quantità di moto orizzontale.

• In particolare:

O

Mm v

l

r

P m

r

P M

r

T

x

P1xi +P2xi =P1xf +P2xf

mv= M +m( )Vx Vx =mv

M +m


Energia persa nell’urtoK i =

12

mv2

K f =12

M +m( )Vx2 =

12

M +m( )mv

M +m⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

=12

m2v2

M +m

K f ==12

mv2m

M +m⎛ ⎝

⎞ ⎠ =K i

mM +m

⎛ ⎝

⎞ ⎠

minore di 11 2 4 3 4

K persa=K i −K f =12

mv2 −12

mv2 mM +m

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

12

mv2 1−m

M +m⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

12

mv2M

M +m⎛ ⎝

⎞ ⎠

se m<<M questotermine è ≈1

1 2 4 3 4

Vx =mv

M +m

Quasi tutta l’energia cinetica viene persa durante l’urto a causa delle forze di attrito che si oppongono alla penetrazione del proiettile nel blocco di legno.

ΔK =K f −K i =−Kpersa=Wfa =−FaΔx

x = penetrazione

Il lavoro della altre forze agenti o è nullo o è trascurabile


Applicazione

• Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.Determinare l’elongazione massima del pendoloSe la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urtoverificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

O

Mm v

l

K persa=12

mv2 MM +m

=12

30×10−3 ×50024.

4.030=

=3750×.993=3696.0J

Vx =mv

M +m=

30×10−3kg×500ms

4.030kg=3.72m

s

ΔK =K f −K i =−Kpersa=Wfa =−FaΔx

Fa =Kpersa

Δx=

3696.03×10−2 =123201N Δt =

p1f −p1i

Fax

=30×10−3 3.72−500( )

−123201N=0.12×10−3s

d=VxΔt =3.72ms ×.12×10−3s=.44×10−3m


II fase oscillazione• L’oscillazione avviene sotto l’azione della forza peso

(conservativa) e della tensione. O

M +m

l

r

P M + m

r

T

θ

d

r

r

h

ΔE =Wnc =WT h =l (1−cosθ)

U f = M +m( )gh= M +m( )gl (1−cosθ)

Ei =Ef

K i +U i =K f +U f12

M +m( )Vx2 +0 =0+ M +m( )gl 1−cosθ( )

12

m2v2

M +m= M +m( )gl 1−cosθ( )

v =

M +mm

2gl 1−cosθ( )

Vx =mv

M +m


Applicazione

• Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.Determinare l’elongazione massima del pendoloSe la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urtoVerificare che lo spostamento subito dal pendolo durante l’urto è trascurabile.Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

O

Mm v

l

Ei =Ef

K i +U i =K f +U f12

M +m( )Vx2 +0 =0+ M +m( )gl 1−cosθ( )

cosθ= 1−

12

Vx2

gl

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = 1−

12

3.722

9.81×2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =.6473

Vx =mv

M +m=

30×10−3kg×500ms

4.030kg=3.72m

s

θ=arcos.6473=50°


Applicazione

• Una pallottola da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. La pallottola si conficca nel blocco e forma un tutt’uno con esso.Valutare infine la tensione nella fune subito prima e subito dopo l’urto.

O

Mm v

l

r T +

r P =0 ⇒

r T =−

r P Prima dell’urto:

T =Mg=4×9.81=39.24N

Subito dopo l’urto, il pendolo è rimasto nella stessa posizione, ma si sta muovendo con velocità Vx:

r T +

r P = M +m( )

r a

Proiettando su un asse verticale:

T − M +m( )g= M +m( )

Vx2

l

T = M +m( )g+ M +m( )

Vx2

l=4.0309.81+

3.722

2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =46.45N

y


Proiettile sparato dall’alto

• La forza FMn è impulsiva (forza interna)

• Poiché la lunghezza della corda ideale non varia

O

M

m

v

l

x

M

r

T

r

P M

r

F M m

r T +

r P M +

r F Mm =M

r a =0

T −Mg−FMm =0 ⇒ T =Mg +FMm ≈FMm

• La tensione T ha, durante l’urto, una intensità comparabile con la forza FMn

• La tensione T è impulsiva

• Se la corda non è sufficientemente robusta si può rompere (viene superato il carico di rottura)

• Non si ha conservazione della quantità di moto nella direzione verticale


Urto in due dimensioni• Consideriamo un urto in cui una della due

particelle è ferma (senza forze esterne)– Particella 1 proiettile– Particella 2 bersaglio– b parametro d’urto

• La retta di azione della velocità v1 e il punto P2 definiscono un piano

– Le forze di interazione sono lungo la congiungente– Quindi contenute nel piano– Non c’è moto perpendicolarmente al piano

precedentemente individuato (accelerazione nulla, velocità iniziale nulla)

• L’urto è piano.v1

m1 m2

θ1

θ2

v '1

v '2

x

y

r P 1i +

r P 2i =

r P 1f +

r P 2f

m1v1 =m1v'1cosθ1 +m2v'2 cosθ2

0=m1v'1senθ1 −m2v'2senθ2

12

m1v12 =

12

m1v'12 +

12

m2v'22Se l’urto è elastico

si può aggiungere:

v1

bm1 m2

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