G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il corpo rigido È un particolare sistema di punti...

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il corpo rigido• È un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due

qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo – un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a

sollecitazioni estremamente elevate. Il corpo rigida conserva la sua forma.

• I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi.

– Il corpo rigido è un’astrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi

– Ci saranno corpi il cui comportamento, in particolari condizioni, può essere descritto come quello di un corpo rigido.

– Un corpo rigido non può avere moti caratterizzati da una variazione delle dimensioni del corpo stesso (vibrazioni, maree, etc.)

i=1

n

∑

discreto n numero di punti

continuo

tuttoil corpo∫ Infiniti punti


Le equazioni a disposizione

• Corpo rigido = sistema di punti materiali:

• I e II legge della dinamica dei sistemi.

dr P

dt=

r R est

dr L odt

=r M o

est• Due equazioni vettoriali

– Equivalenti a sei equazioni scalari

• Poiché le distanze tra due punti qualsiasi di un corpo rigido si mantengono costanti– Il lavoro delle forze interne è nullo.

• Il teorema delle forze vive diventa: ΔK =West


La terna solidale• E’ una terna con origine in un particolare punto del corpo rigido e assi

che passano per punti fissi del corpo rigido

corpo rigido

• Ogni punto del corpo rigido, proprio per la definizione del corpo rigido, occupa una posizione fissa in questa terna.

• Descrizione del moto di un CR:– trovo la posizione di tutti i punti del CR all’istante di tempo iniziale to

rispetto alla terna solidale (questa posizione è costante modulo direzione e verso)

– trovo la posizione della terna solidale in un istante successivo t.– Utilizzando la posizione di ciascun punto del CR rispetto alla terna solidale

determinata all’istante iniziale, posso determinare la posizione di ciascun punto all’istante t.

x’

y’

O’

Terna solidaleL’asse z’ è perpendicolare alla figura uscente dal foglio.

P


I moti del corpo rigido: la traslazione

• Traslazione– Le orientazioni degli assi della terna solidale

rimangano costanti (gli assi si muovono mantenendosi paralleli a se stessi)

x’

y’

O’

P

CM

r L CM =0

r r ' i ×mi

r v 'i∑( )

dr P

dt=

r R est

dr L CM

dt=

r M CM

est ⇒r L CM =0

r M CM

est =0

– È sufficiente determinare il moto del centro di massa, utilizzando la I equazione cardinale della dinamica dei sistemi.

– La II equazione richiede che il momento risultante valutato rispetto al centro di massa sia nullo.

– Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo

• Spostamento che è lo stesso di quello subito dal centro di massa

• Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa

r v P =

r v CM


I moti del corpo rigido: la rotazione

• Rotazione– Le orientazioni degli assi della terna solidale non

rimangono costanti

– Esiste un insieme di punti, allineati su una retta, che rimangono fermi

• Asse di rotazione (asse fisso)

• L’asse z’ nel caso dell’animazione

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

– Tutti i punti si muovono su traiettorie circolari attorno all’asse di rotazione

• Il piano della traiettoria è perpendicolare all’asse di rotazione

• Il centro della traiettoria circolare è il punto comune dell’asse di rotazione e del piano della traiettoria

– Tutti i punti subiscono lo stesso spostamento angolare nello stesso intervallo di tempo

– Tutti i punti si muovono con la stessa velocità ed accelerazione angolare rispetto all’asse di rotazione

ω = dθdt

α = dωdt

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P


I moti del corpo rigido: la rotazione

• Rotazione– La velocità di ciascun punto è tangente alla

traiettoria circolare

– Il modulo della velocità è proporzionale alla distanza del punto considerato dall’asse di rotazione

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

Pv

v = ω R

at =αR

ac =ω2R

– Anche l’accelerazione tangenziale è proporzionale alla distanza dall’asse di rotazione

– Così come lo è l’accelerazione centripeta


Applicazione

• Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min

• Qual è la sua velocità angolare in rad/s?

• Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano?

• Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano?

• Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano?

• Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano?

• Quanti giri compirà in questi 60 s?

R =diametro

2=.60m ω =

200girimin

=200×2πrad

60s=20.9 rad

s

v =ωR =20.9rads ×.60m=12.55m

s

ac =ω2R = 20.9rads( )

2×.60m=262.1m

s2

ωf =1000giri

min=

1000×2πrad60s

=104.7 rads

ω =ωo +αt

α =ωf −ωo

Δt=

104.7−20.960

=1.397rad

s2

at =αR =1.397rad

s2×.60m=.84

ms2


Applicazione

• Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min

• Qual è la sua velocità angolare in rad/s?

• Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano?

• Qual è l’accelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano?

• Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano?

• Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano?

• Quanti giri compirà in questi 60 s?

θ=θo +ωot +12αt2

θ−θo =ωot +12αt2 =

20.9×60+121.397×602 =1254+2414=

=3668rad

3668rad×giro

2πrad=583.79giri


I moti del corpo rigido: la rotatraslazione

• Rototraslazione– In generale il moto di un corpo rigido sarà la

composizione di un moto di traslazione

– più un moto di rotazione• Attenzione: non è detto che l’asse di rotazione si

mantenga fisso

• Esso può cambiare sia in posizione che in orientazione

– Un moto comunque complesso può sempre essere immaginato come la sovrapposizione del moto del CM (I equazione cardinale)

– Più un moto di rotazione attorno al centro di massa (II equazione cardinale)

– Noi non affronteremo il caso generale• Ci occuperemo del moto di rotazione attorno ad

un asse fisso

• Moto di puro rotolamento (il moto delle ruote)

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P

x’

y’

O’

P


I gradi di libertà del corpo rigido• Le equazioni a disposizione sono sufficienti a risolvere il moto del corpo

rigido?

• Quante coordinate ci servono per individuare la posizione del corpo rigido nello spazio?

– Abbiamo detto che la posizione nello spazio di un CR è determinata se conosciamo la posizione nello spazio della terna solidale!

x’

y’

O’

P2

CM

P1

• Osserviamo che per conoscere la posizione della terna basta fornire le posizioni dell’origine O’ del punto P1 sull’asse x’ e del punto P2 sull’asse y’.

– Con questi tre punti si determinerà la posizione dell’origine e i due assi x’, y’.

– L’asse z’ sarà automaticamente determinato dovendo passare per l’origine ed essere perpendicolare agli altri due.

• Occorrono dunque nove coordinate (tre per ciascun punto)

• Ma i tre punti non sono liberi di assumere delle posizioni arbitrarie

– Facendo parte del CR le loro mutue distanze devono restare costanti!

x1 −x2( )2+ y1 −y2( )

2+ z1 −z2( )

2=d12

2

x1 −xo( )2

+ y1 −yo( )2+ z1 −zo( )

2=d1o

2

x2 −xo( )2+ y2 −yo( )

2+ z2 −zo( )

2=d2o

2


I gradi di libertà del corpo rigido• Esistono quindi tre relazioni tra le nove coordinate dei punti O’, P1 e P2.

• Quindi solo sei di esse possono essere scelte in maniera indipendente.– Una volta scelte le prime sei le ultime tre vengono determinate dalle relazioni tra le

coordinate.

• I gradi di libertà di un corpo rigido, ossia le coordinate indipendenti sono solo sei (nove complessive meno tre relazioni)

x’

y’

O’

P2

CM

P1

x1 −x2( )2+ y1 −y2( )

2+ z1 −z2( )

2=d12

2

x1 −xo( )2

+ y1 −yo( )2+ z1 −zo( )

2=d1o

2

x2 −xo( )2+ y2 −yo( )

2+ z2 −zo( )

2=d2o

2

• D’altro lato abbiamo a disposizione 6 equazioni– La prima e la seconda equazione cardinale

• Sei equazioni e sei coordinate da determinare

• Dovrebbero essere sufficienti per descrivere il moto di un corpo rigido.


Moto di rotazione attorno ad un asse fisso: determinazione dell’energia cinetica

• Consideriamo un corpo rigido discreto (fatto da n punti materiali) in rotazione attorno ad un asse fisso.

• Tutti i punti si muovono attorno all’asse con la stessa velocità angolare.

y

x

z

R

i

i

PiP'i

O

r

r i

r

v i

• Consideriamo l’i-esimo punto materiale.– Il mdulo della sua velocità: vi =ωRi

K i =12

mivi2 =

12

miω2R i

2 =12

miR i2ω2

K = K i

i=1

n

∑ =12

mivi2

i=1

n

∑ =12

miR i2ω2

i=1

n

∑ =

=1

2miR i

2

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ω2

• La sua energia cinetica:

• L’energia cinetica di tutto il sistema:

Momento di inerzia


Il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto all’asse di rotazione

• Il momento di inerzia dipende dalle masse dei punti che costituiscono il corpo rigido

• Ma soprattutto dalla distribuzione della massa attorno all’asse di rotazione

• Per i corpi continui:

I = miRi2

i=1

n

∑mi = massa della i-esima particellaRi = distanza dell’i-esima particella dall’asse di rotazione

y

x

z

P

O

R

r

r

dm

I = dm R2

tutto il corpo∫

dm = massa contenuta nell’elemento infinitesimo dV

dm=dVR = distanza dell’elemento dV

dall’asse di rotazione

I[ ]= M[ ] L2[ ]

SI : kgm2

K =12

Iω2Per un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso, l’energia cinetica è data da:

dI=dmR2 I = dItutto il corpo

∫


Momento di inerzia di un punto materiale di massa M

• Consideriamo la situazione in figura:

• Applichiamo la definizione:

R

Mω

I = miRi2

i=1

1

∑ =MR2


Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse

• Consideriamo la situazione della figura:

• Supponiamo che l’anello ruoti attorno un asse, perpendicolare all’anello passante per il suo centro (asse dell’anello).

• Indichiamo con la densità lineare dell’anello:

R

Mω

λ =M

2πR

d l

d ϕ

R

x

y

• Consideriamo un elemento dell’anello: dl =Rdϕ

• a cui corrisponde la massa: dm=λdl =

M2πR

Rdϕ =M2π

dϕ

• Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui:

I = dmanello∫ R2 =

M2π

dϕR2

0

2π

∫ I =M2π

R2 dϕ =0

2π

∫M2π

R2 ϕ[ ]02π

=M2π

R2 2π −0( ) =MR2

• I=MR2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dall’asse.


Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse

• Consideriamo la situazione di figura:• Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al

disco passante per il suo centro (asse del disco).• Indichiamo con la densità superficiale del disco:

• Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa:

• a cui corrisponde un momento di inerzia:

dI=dmr2 =2MR2 r3dr


R

Mω

drR

x

y

r

σ =M

πR2

I = dIcorpo∫ =

2MR2 r3dr

0

R

∫ =2MR2

r4

4

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0

R

=2MR2

R4

4−0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

12

MR2

dm=σdS=M

πR2 2πrdr=2MR2 rdr


Momento di inerzia di un cilindro omogeneo di massa M e raggio R e altezza h rispetto al

proprio asse• Consideriamo la situazione di figura:

• Supponiamo che il cilindro ruoti attorno al proprio asse.

• Indichiamo con la densità del cilindro:

• Suddividiamo il cerchio in tanti strati infinitesimi infinitesime di altezza dz. A tutti gli effetti ogni strato può essere considerato un disco di massa:

• a cui corrisponde un momento di inerzia:

dI=12

dmR2 =12

Mh

dzR2

ρ=M

πR2h

I = dIcorpo∫ =

12

Mh

R2dz0

h

∫ =12

Mh

R2 z[ ]0h =

12

Mh

R2 h−0( ) =12

MR2

R

Mω

R

R

Mω

R

z

zz+dz

=0z

z=h

h

dm=ρdV=M

πR2hπR2dz=

Mh

dz


• Come il disco


Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo


• Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo.

• Indichiamo con la densità lineare della sbarra.

LM

=

M

L

LM

x x+dx

R=x

x

z

dm = dx =

M

L

dx

λ =ML

• Introduciamo un sistema di riferimento come in figura

• Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, – indichiamo con x la coordinata del primo estremo

dell’elemento infinitesimo

– La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

I = dmR2

sbarra∫ = λdx x2

0

L

∫ =ML

x2dx=0

L

∫ML

x3

3

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0

L

=ML

L3

3−0

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

13ML2


Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per il centro


• Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per il suo centro.

• Indichiamo con la densità lineare della sbarra. λ =ML

• Introduciamo un sistema di riferimento come in figura

• Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, – indichiamo con x la coordinata del primo estremo

dell’elemento infinitesimo

– La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

L M

=

M

L

LM

x

z

x

x + dx

R=| |x

−

L

2

L

2

I* = dmR2

sbarra∫ = λdx x2

−L2

L2

∫ =ML

x2dx==L

2

L2

∫ML

x3

3

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ L

2

L2

=ML

L3

3∗8+

L3

3∗8

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

112

ML2


Tabella riassuntiva


Il teorema di Steiner

• il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma – del momento di inerzia rispetto ad un

asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa

– e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi:

I =I * +Mh2

mi

R’i

Ri

b

yy’

x

x’CM

a

yi y’i

xi

x’i

xi =x' i +a

yi =y' i +a

P

h


Il teorema di Steiner

• Dimostriamo per un CR discreto:mi

R’i

Ri

R' i2=x' i

2 +y' i2 Distanza del punto i-esimo

dall’asse di rotazione passante per il CMDistanza del punto i-esimo dall’asse di

rotazione passante per il punto P

b

I P = miR i2

i=1

n

∑ = mi xi2 +yi

2( )

i=1

n

∑ =

= mi x'i +a( )2

+ y' i +b( )2

( )i=1

n

∑ =

= mix'i2 +miy'i

2 +mia2 +mib

2 +2miax' i +2miby' i( )i=1

n

∑ =

= mi x'i2 +y'i

2( )+

i=1

n

∑ mi

i=1

n

∑⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ a

2 +b2( ) +2a mix'i

i=1

n

∑Mx'CM =01 2 4 3 4

+2b miy' ii=1

n

∑My'CM =0

1 2 4 3 4

=ICM +Mh2

yy’

x

x’CM

a

yi y’i

xi

x’i

xi =x' i +a

yi =y' i +a

P

h

R i2 =xi

2 +yi2


Verifica del teorema di Steiner

• Momento di inerzia di una sbarra rispetto all’asse della sbarra

L M

=

M

L

LM

=

M

L

I* =112

ML2

• Momento di inerzia di una sbarra rispetto ad un asse passante per un estremo I =

13

ML2

• Verifica del teorema di Steiner

I =I * +Mh2 =112

ML2 +ML2

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

=1

12ML2 +

14

ML2 =1+312

ML2 =412

ML2 =13

ML2


Applicazione

• Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed ha una massa di 240 kg

• Qual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili)

• Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min?

ω =350giri

min=

350×2πrad60s

=36.6rads

K =12

Iω2 =12

×6489.6×36.62 =4.34MJ

Ipala=13

ML2 =13

×240kg×5.202 =2163.2kgm2

I rotore=3Ipala=3×2163.2kgm2 =6489.6kgm2


Applicazione

• L’elemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro. Determinare il momento di inerzia rispetto ad un asse perpendicolare all figura passante per l’estremo superiore della sbarretta.

x

y Asse di rotazione I = dm R2

tutto il corpo∫ = dm R2

corpo 1∫ + dm R2

corpo 2∫

I =I sbarra+Idisco

I sbarra=13

ML2 =13

×0.5×0.52 =0.0417kgm2

Idisco* =

12

MR2 =12

×1.0×0.12 =0.005kgm2

Idisco=Idisco* +Mh2 =0.005kgm2 +1.0kg× .5+.1( )2 =0.005kgm2 +.36kgm2 =.365kgm2

I =0.0417+.365=0.407kgm2

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il corpo rigido È un particolare sistema di punti...

Documents

Transcript of G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il corpo rigido È un particolare sistema di punti...