Centro di Massa di corpi rigidi

1

• Il corpo rigido è un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo.• Un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate (conserva la sua forma). • I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi. Il corpo rigido è quindi un’astrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi.

Determinazione del CM

2

dV

M

dmr

=CMr

M

n

i

1ii

CM

rm=

r

V

dV= V

dmm dV

dm

Se il corpo è omogeneo: è costante per ogni elementino

Vm V

dV=

dVrV

dVrMM

dVr

1=CM

r

3

Determinazione del CM

dl

dm

dS

dm

Densità lineare

Densità superficiale

Densità volumetrica dV

dm

4

• Se un corpo ha simmetria sferica il centro di massa coincide con il centro geometrico della sfera. • Se un corpo ha simmetria cilindrica, ossia la sua massa dipende solo dalla distanza da un certo asse, il suo centro di massa deve giacere sull’asse di simmetria. • Se la massa di corpo è distribuita in modo simmetrico rispetto ad un piano, il centro di massa deve cadere sul piano.

Centro di Massa di corpi rigidi

Esempio

5

In figura si vede una piastra quadrata di lamiera uniforme con lato di 6m, dalla quale è stato ritagliato un pezzo quadrato di 2 m di lato con centro nel punto x = 2m,y = 0m L’origine delle coordinate coincide con il centro della piastra quadrata. Trovare le coordinate x e y del CM.

CM Intera piastra (0,0 m)

CM1 da calcolare (x1,0) di m1=(36-4)M/36=8/9M

CM2 (2,0) m2=1/9M

m

M

MM

MM

n

i

25.08

92

9

1x

02)9/1(x)9/8(xmxm

xm=x

1

122111ii

CM

simmetria di ragioniper

0 ym

=y 1ii

CM

M

n

i

Moti del corpo rigido

6

1) Traslazione le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si

muovono mantenendosi paralleli a se stessi) Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso

intervallo di tempo che è lo stesso di quello subito dal CM Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa È sufficiente determinare il moto del CM

1) Traslazione le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si

muovono mantenendosi paralleli a se stessi) Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso

intervallo di tempo che è lo stesso di quello subito dal CM Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa È sufficiente determinare il moto del CM

2) Rotazione2) Rotazione 3) Rototraslazione3) Rototraslazione

CMest aM=

F CMtot vM=

P CM2Mv

2

1=KE

2) Moto rotatorio

7

Moto di un corpo rigido si dice puramente rotatorio: se e solo se tutti gli elementi del corpo si muovono lungo una traiettoria circolare. I centri di tutte le circonferenze devono cadere su una stessa retta detta asse di rotazione. Il piano della traiettoria è perpendicolare all’asse di rotazione.

P

Moto di un corpo rigido si dice puramente rotatorio attorno ad un asse se e solo se tutte le linee di riferimento ortogonali all’asse descrivono angoli uguali in intervalli di tempo uguali.

O

Linea di riferimento

8

Variabili rotazionali

La posizione del corpo è specificata dalla posizione di un suo elemento P.

La posizione del corpo è specificata dalla posizione di un suo elemento P.

individua la posizione angolare della linea di riferimento

individua la posizione angolare della linea di riferimento

2D

Moto 2D di un elemento lungo una circonferenza di raggio r (PA). Verso positivo è scelto

quello antiorario rispetto al’asse z.

Moto 2D di un elemento lungo una circonferenza di raggio r (PA). Verso positivo è scelto

quello antiorario rispetto al’asse z.

P

radianti r

s

P

A

2 rad= 360°1 rad = 57.3°

9

dt

d

t

t

t

lim

0

:istantanea velocitàla

:media angolare velocitàla

:angolare oSpostament

Variabili rotazionali

[rad/s]

In un moto puramente rotatorio di un corpo rigido: tutti i suoi elementi hanno la stessa .In un moto puramente rotatorio di un corpo rigido: tutti i suoi elementi hanno la stessa .

Se P ha una non costante:Se P ha una non costante:

dt

d

t

t

t

lim

0

:istantanea oneaccelerazi

:media angolare oneaccelerazi

[rad/s2]

In un moto puramente rotatorio di un corpo rigido: tutti i suoi elementi hanno la stessa In un moto puramente rotatorio di un corpo rigido: tutti i suoi elementi hanno la stessa

Relazione tra variabili lineari e angolari

10

radianti r

s

r vr T

dt

d

dt

ds

rdt

d T

T ar dt

dvr

r

va 2

2T

R

11

dt

d

è un vettore di modulo ddt, direzione perpendicolare al piano della circonferenza, il verso della rotazione determina il verso in cui punta il vettore (regola della mano destra).

è un vettore di modulo ddt, direzione perpendicolare al piano della circonferenza, il verso della rotazione determina il verso in cui punta il vettore (regola della mano destra).

Variabili rotazionali vettoriali

Entrambi vettori

dt

d

12

Relazioni Vettoriali

R

v

rRsen modulo R

R

vrRsen

dt

RdR

dt

d

dt

Rda

)()()(

dt

vd

v

R

Acc. tangenziale Acc. centripeta

Dinamica dei moti rotatori

13

amF

Dinamica del punto materiale

F

• dipende dalla forza e dal punto in cui viene applicata (momento di F)• dipende dalla distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione (momento di inerzia)

• dipende dalla forza e dal punto in cui viene applicata (momento di F)• dipende dalla distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione (momento di inerzia)

0

0

0

Asse di rotazione

Rotazioni attorno ad un asse fisso

14

R

v

dt

Ld

Tutti i punti hanno la stessa ma v diversa. Tutti i punti hanno la stessa ma v diversa.

i

ii

v

rotazione di z assel'con angoloun forma v

z // :rotazione di asse z

iR

iiiiii

iii

rmRmRL

mRL

ii

i

v

v

i2

i

)2

cos(

iiiiii

iiiiiz

mRsenrmR

senLLL

zi

ii

iizz IRmLL )( 2

Momento di inerzia rispetto asse z

Momento di inerzia

15

La massa è una caratteristica univoca di un corpo.

Il momento di inerzia dipende da come è distribuita la massa del corpo rispetto all’asse di rotazione. Non è una caratteristica del corpo

La massa è una caratteristica univoca di un corpo.

Il momento di inerzia dipende da come è distribuita la massa del corpo rispetto all’asse di rotazione. Non è una caratteristica del corpo

Massa vicino all’asse di rotazione…minore inerzia …minore resistenza alla rotazione

Massa vicino all’asse di rotazione…minore inerzia …minore resistenza alla rotazione

massa in media in regioni più lontane dall’asse di rotazionemaggiore inerzia …maggiore resistenza alla rotazione

massa in media in regioni più lontane dall’asse di rotazionemaggiore inerzia …maggiore resistenza alla rotazione

Momento di inerzia dei corpi rigidi

16

n

i

iiz RmI1

2

Corpo rigido: distribuzione continua di massa, suddivisa in infiniti elementi di massa infinitesima m

n

i

iim

z RmI1

2

0lim dmRI 2

17

Tabella Momenti di inerzia

Rotazioni ottorno ad un asse fisso

18

R

v

zz IL

//generalein sononon e

L

ruotaL

costante

zL

19

Simmetria Assiale

zz IL L

Due particella di stessa massa che ruotano attorno all’asse. Due particella di stessa massa che ruotano attorno all’asse.

//L

Un corpo rigido è simmetrico attorno ad un asse se e solo se per ciascun elemento ne esiste un secondo di ugual massa posto alla stessa distanza dall’asse sulla retta ad esso ortogonale passante per il punto occupato dal primo elemento.

Un corpo rigido è simmetrico attorno ad un asse se e solo se per ciascun elemento ne esiste un secondo di ugual massa posto alla stessa distanza dall’asse sulla retta ad esso ortogonale passante per il punto occupato dal primo elemento.

20

Corpo rigido in rotazione attorno ad un suo asse di simmetria:

Ogni corpo per un suo punto passano almeno tre assi (assi principali di inerzia) ortogonali tra loro tale che quando il corpo ruota rispetto ad uno di essi:

Corpo rigido in rotazione attorno ad un suo asse di simmetria:

Ogni corpo per un suo punto passano almeno tre assi (assi principali di inerzia) ortogonali tra loro tale che quando il corpo ruota rispetto ad uno di essi:

zI L

Assi principali di inerzia

Equazione del moto di rotazione

21

zI L //LSe

zzz I

)(I

)I(

dt

Ld

dt

d

dt

d

zI

Noto Iz ed si ottiene la legge oraria.

t

t

dt

dt

0

0

0

0

(t)

(t)

rotazione di asse // sono

e , L Sia

Equazione del moto

22

costtα

)t-α(tωtω

)t-α(t2

1)t-(tωt

00

20000

Moto circolare uniformemente accelerato

a

ωv

x

RR 0

22

N

0

00

ωv

aa

0

costωtω

tωt

ωv

x

Fermo o di Moto circolare uniforme

0

cost

Conservazione momento angolare: applicazioni

23

Il momento delle forze esterne rispetto al CM è nulloI + grande I + piccolo

I + grande

I + grande

I + piccolo

zz IL

Il Teorema di Huygens Steiner

24

Il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma del momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi.

Il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma del momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi.

2MdII CM y

y’

x

x’

CM

yi y’i

xi

x’i

O

d

CMii

CMii

yyy

xxx

'

'

25

mii

r’i

ri

b

yy’

x

x’

CM

a

yi y’i

xi

x’i

O

d

Il Teorema di Huygens Steiner

x’i, , y’i coordinate di mi nel sistema CM

xi, , yi coordinate di mi nel sistema con O

i

iii

iii yxmrmI )( 222

CMiCMiCMiCMi

ii

CMiCMii

i

yyyyxxxxm

yyxxmI

'22''22'

2'2'

22

)()(

i

iCMCMi

iiCMi

iiCMiii

i myxymyxmxyxmI )(22)( 22''2'2'

ICM d2 i

iiCM xmMx 0''

Momento forza di gravità

26

Una sbarra lasciata libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale ruota sotto l’azione della forza di gravità

Una sbarra lasciata libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale ruota sotto l’azione della forza di gravità

Su ciascun elementino infinitesimo, di cui è composta la sbarra, agisce la forza di gravità che esercita un momento torcente.

L’insieme di tutte le forze che agiscono sulla sbarra può essere sostituito da una sola forza……….

Su ciascun elementino infinitesimo, di cui è composta la sbarra, agisce la forza di gravità che esercita un momento torcente.

L’insieme di tutte le forze che agiscono sulla sbarra può essere sostituito da una sola forza……….

gMgmFFi i

ii

Centro di Massa e baricentro

27

grmgmri

iii i

iii

..applicata in un punto detto baricentro ..applicata in un punto detto baricentro

CM

x

y

O

mii

CMrM

gMrgrM CMCMi

i

Il momento torcente totale rispetto ad O dovuto alla forza gravitazionale è pari al momento rispetto ad O della forza Mg applicata al CM. Il momento torcente totale rispetto ad O dovuto alla forza gravitazionale è pari al momento rispetto ad O della forza Mg applicata al CM.

Attenzione: baricentro e CM coincidono solo nel caso del campo gravitazionale uniforme, e sono due concetti distinti. Attenzione: baricentro e CM coincidono solo nel caso del campo gravitazionale uniforme, e sono due concetti distinti.

Statica dei corpi rigidi con asse fisso

28

Condizione necessaria ( ma non sufficiente) perché un corpo rigido sia fermo è che: l’accelerazione del suo centro di massa sia nulla l’accelerazione angolare sia nulla rispetto a qualsiasi asse passante per il centro

di massa.

Ma CM R est

I Mz

R est 0

M est 0

Le due condizioni non sono sufficienti perché, anche se soddisfatte, il corpo potrebbe:

– muoversi con velocità del centro di massa costante (moto rettilineo uniforme)

– ruotare con velocità angolare costante attorno ad un asse centrale di inerzia

Occorre quindi che il corpo occupi la posizione iniziale con

– velocità del centro di massa nulla

– velocità angolare nulla rispetto a qualunque asse passante per il centro di massa

29

Energia cinetica nel moto rotatorio

2v1v

Corpo rigido che ruota attorno asse fisso iriv

22i

i

2ii

iK m

2

1vm

2

1E ir

2K 2

1E I

2v2

1K m

zI L //LSe

zI

L2

K 2

1E

30

Lavoro nel moto rotatorio

Lavoro compiuto da una forza F su un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso:

F

dr

z a attorno F di torcente

momento del componente f

i

dW z

22K 2

1

2

1EW infin II

ddI

dtdt

dIdId

z

KEdW

f

i

x

x zdxFW

31

3) Moto di rototraslazione: di puro rotolamento

C C C

vcm

vcm

vcmr

r

2vcm

vcm

I punti della ruota a contatto con l’asfalto sono fermi rispetto all’asfalto (non scorrono, non strisciano sull’asfalto): rotolamento senza strisciamento (oppure puro rotolamento).

C

2vcm

vcm

A

B

A A

B B

Sovrapposizione di un moto di traslazione e di un moto di rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura e passante per il centro di massa

32

Moto di puro rotolamento

C

2vcm

vcmC

2vcm

vcm

x> 0

Consideriamo due istanti successivi t1 e t2.• Lo spostamento subito dal centro della ruota x è pari alla distanza tra

i punti di contatto della ruota agli istanti t1 e t2.• Nello stesso tempo la ruota avrà subito anche uno rotazione e quindi

uno spostamento angolare . Se il moto è di puro rotolamento deve esistere una relazione tra questi due

spostamenti..

rx rCMv rCMa

N.B.:Il segno meno dipende solo dal sistema di riferimento usato.

Moto rototraslatorio

33

Combiniamo il moto rotatorio attorno asse passante per CM e traslatorio nel piano xy

ir

CMr

P

CM

2ii

i

vm2

1K

iCMi

iCMi

vvv

rrr

)vv()vv(m2

1)vv(m

2

1iCMiCMi

iiii

i

)vvv2(vm2

1i

2CMiCM

2i

i

CM2Mv

2

1

0vmv iiCM

iir iv

2CM

2

2

1Mv

2

1 CMIK

Ruolo della forza di attrito

34

Nel moto di puro rotolamento il punto di contatto della ruota con l’asfalto è fermo rispetto all’asfalto.Il compito di mantenere fermo rispetto al piano di appoggio il punto (o i punti) di contatto è affidato alla forza di attrito, statica proprio perché il punto di contatto non scivola sulla superficie di appoggio.

• Senza attrito questo tipo di moto non è realizzabile!!• La forza di attrito statico, è limitata superiormente, per cui non

sempre è garantito il moto di puro rotolamento:– frenate brusche fatte con l’automobile in cui si bloccano le

ruote che scivolano sull’asfalto

Occorre verificare caso per caso se la forza di attrito statico sia sufficiente per garantire il moto di puro rotolamento

Interpretazione del moto di puro rotolamento

35

Pura rotazione attorno ad un asse perpendicolare alla figura passante per i punti di contatto.

L’asse di rotazione cambia continuamente (si parla di asse istantaneo di rotazione.

Comunque istante per istante il moto di ogni punto della ruota è uguale a quello che avrebbe se la ruota ruotasse attorno ad un asse fisso passante per i punti di contatto.

Corpi simmetrici e asimmetrici

36

La sbarra con corpi di massa m è rigidamente connessa con l’albero centrale. Il corpo non è simmetrico rispetto all’asse di rotazione e l’asse di rotazione non è un asse principale d’inerzia:

L’albero ruota a velocità angolare constante.

non // L

asseall' attorna ruota ma

moduloin costante L

Precede attorno all’assePrecede attorno all’asse

37

Corpi simmetrici e asimmetrici

dt

Ld

• Il momento torcente delle forze esterne è dovuto alle forze che i sostegni esercitano sull’albero:

• Per mantenere i due punti materiali sulla traiettoria circolare occorre applicare a ciascun punto materiale una forza centripeta.

• il cui momento è ortogonale a piano individuato da

e L

z = 0 z costante

38

non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno all’asse di rotazione

non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare

Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (l’asse di rotazione, i cuscinetti, etc)

non hanno nessun altra funzione che quella di far precedere il momento angolare attorno all’asse di rotazione

non hanno alcuna influenza sulla velocità angolare

Ma al tempo sottopongono a sforzi inutili tutta la struttura (l’asse di rotazione, i cuscinetti, etc)

Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo all’asse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste)

Questo si ottiene “equilibrando” il corpo rigido rispetto all’asse di rotazione (equilibrature delle gomme dell’automobile)

Si preferisce lavorare in modo che il momento angolare sia parallelo all’asse di rotazione (in cui tali forze non sono richieste)

Questo si ottiene “equilibrando” il corpo rigido rispetto all’asse di rotazione (equilibrature delle gomme dell’automobile)

Poiché

La Trottola

39

Consideriamo il moto della trottola in rotazione attorno al suo asse di simmetria.L’asse di rotazione precede ossia si muove attorno all’asse verticale.

• Il momento torcente della forza P:

• perpendicolare sia all’asse di rotazione che ad L

• modifica la direzione di L, ma non il modulo:

Mgrsen

dtLd

O

P

r

Equazione del moto

40

//ènon L

zz I dt

dL

zIz

Da cui si ricavano le leggio orarie esattamente come prima

M

dt

dL di e variaziondeterminanon

Trottola: moto di precessione

41

O

L

Ld

L

ddt

dP

Lsen

dt

Lsen

dLd

L

Mgr

Lsen

Mgrsen

LsenP

La velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale ad L e quindi alla velocità angolare di rotazione attorno all’asse di simmetria

La velocità angolare di precessione è inversamente proporzionale ad L e quindi alla velocità angolare di rotazione attorno all’asse di simmetria