7_cinematica Dei Sistemi Rigidi,Piccoli Spostamenti

7/25/2019 7_cinematica Dei Sistemi Rigidi,Piccoli Spostamenti

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2007 Universit degli studi e-Campus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (CO) - C.F. 08549051004Tel: 031/7942500-7942505 Fax: 031/7942501 [email protected]

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 7Titolo: Cinematica dei sistemi rigidi per piccoli spostamenti

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 7 Cinematica dei sistemi rigidi: p iccoli spostamenti .

Nucleotematico

Lez. Contenuto

3 7Definizione di piccoli spostamenti, centri di rotazione assolutie relativi.

In questa e nella prossima lezione si affronta il problemadellidentificazione di una configurazione spostata C1 di un sistemalabile costituito da elementi rigidi a partire da una configurazioneiniziale C0. Lindagine si limita al caso dei piccoli spostamenti.Questo concetto stato utilizzato nella sua accezione intuitiva in

qualche occasione nelle lezioni precedenti; in questo contesto vieneinvece formalizzato in modo dettagliato. Sebbene nella meccanicadelle strutture i sistemi studiati siano in genere isostatici o iperstatici (equindi non suscettibili di spostamenti rigidi) questo argomento rivestenotevole importanza in quanto lo studio dellequilibrio attraverso ilPrincipio dei Lavori Virtuali richiede la valutazione del lavoro che leforze compiono per gli spostamenti virtuali (che per definizione sonopiccoli e compatibili con i vincoli) dei loro punti di applicazione. Inoltre,anche quando si rimuove lipotesi di rigidit degli elementi costituenti ilsistema, nella maggior parte dei problemi di interesse pratico si

suppone che per effetto delle azioni esterne applicate le deformazionidegli elementi strutturali e gli spostamenti dei punti di questi sianopiccoli, tanto da rendere tecnicamente valide alcune delleconsiderazioni del seguito.

Piccoli spostamenti

Si intende che gli spostamenti dei punti di un sistema sonopiccoli spostamentiquando sono sufficientemente piccoli da renderelecito considerare che questi avvengano sulle rette tangenti alleeffettive traiettorie dei punti. Ad esempio nel caso dellelemento rigidodi figura 7.1a se i punti A e B si spostano sulle traiettorie 1 e 2indicate, per ottenere una configurazione spostata C2delelemento apartire dalla configurazione iniziale C0 nellambito dei piccolispostamenti si deve considerare che i punti A e B si spostano sullerette u e v, tangenti nei punti A e B alle effettive traiettorie.

In figura 7.1a la configurazione C1 si ottiene a partire dallaconfigurazione C0attraverso spostamenti non piccoli; in particolare glispostamenti dei punti A e B del sistema sono A e B .Immaginando di ridurre progressivamente A e B spostando i puntiA e B sulle traiettorie indicate si giunge ad identificare unaconfigurazione C2molto prossima a C0(figura 7.1b) relativamente alla

quale gli spostamenti A e B possono essere confusi con glispostamenti A e B pensati in direzione tangente alle traiettorie 1 e2 nei punti A e B.
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Figura 7.1.

Osservazione 1

Come noto unasta rigida ha nel piano tre gradi di libert, nelsenso che ogni sua configurazione spostata rispetto allaconfigurazione iniziale pu identificarsi mediante tre parametriindipendenti, ad esempio le due componenti di spostamento di unpunto e la rotazione rispetto alla configurazione iniziale. Cos, adesempio per lasta rigida di figura 7.2 lo spostamento del punto Pgenerico pu valutarsi una volta noti lo spostamento del punto A e larotazione dellasta intorno al punto A. In altre parole si pu pensare

che gli spostamenti relativi al passaggio del sistema dallaconfigurazione C0alla configurazione C1avvenga in una prima fase ditraslazione in cui tutti i punti hanno gli stessi spostamenti del punto Aed in una seconda fase di rotazione in cui il punto A fisso e tutti glialtri si spostano per effetto di una rotazione del sistema intorno ad A.

Figura 7.2.

Se gli spostamenti sono piccoli e si considerano gli spostamenti deipunti del sistema come prodotti da una traslazione che porta il sistema

dalla configurazione C0 alla configurazione Ct (figura 7.2) e da unasuccessiva rotazione che porta il sistema dalla configurazione Ctalla

A P

P

Pt

P

B

C1

C0

CtA

B

dPA

Pt

P

A

A

B

B

C1

C0

(a)

A

AA

A A

B

B

B

B B

C0

C2

(b)

C1u

v

1

2

1

2


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configurazione C1 il modulo dello spostamento del generico punto P

per effetto della traslazione :

APt = (7.1)

mentre il modulo dello spostamento di P per effetto della rotazione

PAdP = (7.2)

essendo A lo spostamento (piccolo) del pungo A, il modulo dellarotazione (piccola anchessa) e dPAla distanza tra i punti A e P che la misura del raggio della circonferenza sulla quale si sposta il punto Pdurante la rotazione del sistema intorno ad A.

La (7.2) valida nellambito dei piccoli spostamenti: questa relazioneimplica che la lunghezza della corda PtP si confonde con la

lunghezza dellarco PtP. Si intende inoltre che lo spostamento P

avvenga nella direzione della tangente alleffettiva traiettoria epertanto sulla tangente alla circonferenza di centro A e raggio dPA. In

altre parole, nellambito dei piccoli spostamenti, lo spostamento P

avviene in direzione ortogonale alla congiungente il punto P con ilcentro di rotazione.

Osservazione 2

Nellosservazione precedente la configurazione spostata C1 stata considerata raggiunta a partire da quella iniziale C0 attraversouna traslazione nella quale tutti i punti si spostano come il punto A eduna successiva rotazione del sistema intorno al punto A. Nellambitodei piccoli spostamenti, la configurazione C1 pu sempre esserepensata raggiunta semplicemente mediante una rotazione del sistemarigido intorno ad un opportuno centro di rotazione C pensato fisso(figura 7.3.), detto centro di rotazione assoluto.

Figura 7.3.

B

B

A

A

u

r

vs

C

A

A

B

B

P

P

C

C1

C0

C1

C0

dCA

dCB

dCP


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Le considerazioni seguenti non costituiscono una dimostrazione di

questa affermazione (per la quale si rimanda al corso di MeccanicaRazionale, lezione 15); possono tuttavia essere utili a chiarire laquestione.

Si consideri il sistema rigido di figura 7.3 che raggiunge laconfigurazione C1 a partire dalla configurazione C0 attraversospostamenti piccoli. In questambito il punto A compie lo spostamentoA sulla tangente alleffettiva traiettoria; questo spostamento pu

sempre essere pensato come prodotto dalla rotazione del sistemaintorno ad un punto C (non noto) della retta r ortogonale alla direzionedello spostamento A . Daltra parte il punto B compie lo spostamento

B sulla tangente alleffettiva traiettoria; anche questo spostamentopu essere pensato come prodotto dalla rotazione del sistema intornoad un punto C (non noto) della retta s ortogonale alla direzione dellospostamento B . Si conclude che una rotazione piccola attorno alpunto C intersezione di r ed s identifica i piccoli spostamenti A e B dei punti A e B, aventi modulo:

CB

CA

dB

dA

=

= (7.3)

e direzione ortogonale alle congiungenti CA e CB, rispettivamente.

Nelle(7.3) sono state indicate con dCAe dCBle distanze dei punti A eB da C, rispettivamente (figura 7.3).Per definire gli spostamenti di A e B sono necessari tre parametri iquali possono essere considerati le due coordinate di C nel riferimentoassunto e la rotazione ; essendo il sistema rigido dotato di tre gradidi libert questi tre parametri devono consentire lidentificazione diogni configurazione spostata del sistema e quindi lo spostamento diogni altro suo punto. Quindi il modulo dello spostamento del puntogenerico P (figura 7.3):

CPdP = (7.4)

essendo questo spostamento diretto ortogonalmente allacongiungente CP ed essendo dCP la distanza tra P ed il centro dirotazione assoluto C.

Osservazione 3

La componente P nella direzione di una retta dellospostamento piccolo P di un punto P di un sistema rigido data dalprodotto della rotazione per la distanza della retta dal centro dirotazione assoluto C.

Si tracci per il punto C la perpendicolare alla retta e si indichicon H il piede di detta perpendicolare; si scomponga lo spostamentoP nelle sue componenti Pnella direzione di e Pnella direzione


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ortogonale a . Considerando la similitudine tra i triangoli CPH e PQR,

si ha (figura 7.4):

Figura 7.4.

CP

PR

CH

PQ= (7.5)

Essendo

PQP = PRP= (7.6)

la(7.5) diventa

CPd

CHPP = (7.7)

avendo indicato con dCPla distanza CP tra il centro di rotazione ed ilpunto P. Considerando ora che il modulo dello spostamento di P pereffetto della rotazione dato dalla(7.2),la(7.7) diventa

CHdCHdPCP

CP == (7.8)

La(7.8) esprime in simboli quanto affermato.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) nel piano, la(7.8) puessere applicata per valutare le componenti Px e Py dellospostamento del punto P nelle direzioni degli assi del riferimento. Conriferimento allafigura 7.5 si ha infatti:

( )( )Cy

Cx

xxP

yyP

=

= (7.9)

C

P

P

P

H

dcp

Q

R

C1

C0

P


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in cui la rotazione considerata positiva se antioraria, (xC, yC) sono

le coordinate del centro di rotazione C e (x, y) sono le coordinate delpunto P.

Figura 7.5.

O

x

y

C

yC

y

xC x

P

P

Px

Pyx - xC

-(y-yC)


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LEZIONE 7 Sessione di studio 1

Cinematica dei sistemi rigidi: centro di rotazione relativo

Si riporta nel seguito una importante osservazione nellambito dellaquale definito il centro di rotazione relativo e ne sono descrittealcune propriet.

Osservazione 4

Si considerino due elementi rigidi, 1 e 2, ciascuno dei qualicompie una rotazione intorno al suo centro di rotazione assoluto.Siano C1e C2i centri di rotazione e 1e 2le rotazioni (figura 7.6).

Figura 7.6.

Assunto un sistema di riferimento (xOy) i punti di ognuno dei duesistemi si spostano in accordo con le (7.9), pertanto

( )( )1CP1y

1CP1x

xxPyyP

=

= (7.10)

P

Px

Py

C1

C2

1

2

P

Q

Qx

Qy

Q 2

1

O

x

y


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sono le componenti secondo gli assi x ed y dello spostamento del

generico punto P di coordinate (xP,yP) dellelemento 1 e

( )( )2CQ2y

2CQ2x

xxQ

yyQ

=

= (7.11)

sono le componenti secondi gli assi x ed y dello spostamento delgenerico punto Q di coordinate (xQ,yQ) dellelemento 2.Si consideri ora un qualunque punto C del piano, di coordinate (xC,yC).Si immagini che il punto C sia solidale allelemento 1 (si pu pensarecollegato allelemento 1 mediante un braccio rigido); in questo caso Csi sposta assieme ad allelemento 1, pertanto le componenti del suo

spostamento( )1

C possono valutarsi con le(7.10) e sono:

( )( )1CC1

)1(

y

1CC1

)1(

x

xxC

yyC

=

= (7.12)

Si immagini ora che il punto C sia solidale allelemento 2; in questocaso C si sposta assieme ad allelemento 2, pertanto le componenti

del suo spostamento( )2

C possono valutarsi con le(7.11) e sono:

( )( )2CC2

)2(

x

2CC2

)2(

x

xxC

yyC

=

= (7.13)

in cui lapice in parentesi indica lelemento al quale il punto C pensato solidale ed il pedice indica la direzione della componente dispostamento. In figura 7.7. sono rappresentati gli spostamenti delpunto C quando pensato solidale allelementi 1 ed allelemento 2; inquesta figura gli ideali bracci rigidi colleganti il punto C ai due elementisono rappresentati in blu.

In generale se il punto C scelto arbitrariamente lospostamento di C pensato solidale allelemento 1 diverso dallospostamento di C pensato solidale allelemento 2, come nel caso difigura 7.7. Cerchiamo ora se esiste un punto C12 di coordinateincognite (x12,y12) che abbia lo stesso spostamento quando pensatosolidale allelemento 1 e quando pensato solidale allelemento 2. Sesi pensa il punto C12solidale allelemento 1 le componenti secondo xed y del suo spostamento sono:

( )( )1C121

)1(

y12

1C121

)1(

x12

xxC

yyC

=

= (7.14)

se invece si pensa il punto C12solidale allelemento 2 le componentidel suo spostamento sono:

( )( )2C122)2(

y12

2C122

)2(

x12

xxCyyC

== (7.15)


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Figura 7.7.

Lo spostamento di C12pensato solidale allelemento 1 uguale allospostamento di C12pensato solidale allelemento 2 quando:

)2(

x12

)1(

x12 CC = )2(

y12

)1(

y12 CC = (7.16)

cio, tenendo conto delle(7.14) e(7.15),quando

( ) ( )2C1221C121 yyyy = ( ) ( )2C1221C121 xxxx =

(7.17)

le coordinate del punto C12che soddisfa la propriet citata si trovanoquindi risolvendo le(7.17) e sono:

21

2C21C112

xxx

=

21

2C21C112

yyy

= (7.18)

Pertanto, se si pensa il punto C12 di coordinate (7.18) rigidamenteconnesso allelemento 1, e quindi soggetto allo spostamento coerente

P

Px

Py

C1

C2

1

2

P

Q

Qx

Qy

Q

CC

(2)

C(1)

1

2

2

1

O

x

y


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con il centro di rotazione C1e con la rotazione 1si ottiene per esso lo

stesso spostamento che si otterrebbe pensandolo rigidamenteconnesso allelemento 2, e quindi soggetto allo spostamento coerentecon il centro di rotazione C2e la rotazione 2. (figura 7.8).

Figura 7.8.

Se ora si assume un sistema di riferimento (C12) con assi e paralleli agli assi x e y, centrato in C12 e solidale con esso (ciolorigine del riferimento si sposta con C12che a sua volta pensatosolidale agli elementi 1 e 2) gli spostamenti dei generici punti P e Qdei due elementi si possono scrivere, in accordo con le (7.9), come(figura 7.9):

P1P = P1P = (7.19)

Q2Q = Q2Q = (7.20)

P

Px

Py

C1

C2

1

2

P

Q

Qx

Qy

Q 2

1

C12

C12

2

1

O

x

y


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essendo (P,P) e (Q,Q) le coordinate dei punti P e Q rispetto al

riferimento (C12) ed essendo nulle nel riferimento assunto lecoordinate di C12.In questo riferimento gli spostamenti dei punti di entrambi i sistemidipendono solo dalle rotazioni degli stessi intorno allo stesso puntoC12, in quanto lo spostamento di C12non entra in gioco n nelle(7.19)n nelle(7.20),essendo lo sesso per i due elementi.

Figura 7.9.

Per questo motivo il punto C12dicesi centro di rotazione relativodeglielementi 1 e 2.In altre parole, come visto nellosservazione 1, scelto un punto A dicoordinate (xA, yA) solidale allelemento 1, gli spostamenti del genericopunto P di detto elemento possono valutarsi come (figura 7.10):

( )

( )AP1yyAP1xx

xxAP

yyAP

+=

=

(7.21)

P

C1

C2

1

2

P

Q

Q 2

1

C12

C12

C12

C12

Q

Q

C12

C12

P

P

2

2

O

x

y


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essendo Axe Ayle componenti dello spostamento di A secondo gli

assi x ed y.

Figura 7.10.

scelto un punto B di coordinate (xB, yB) solidale allelemento 2, gli

spostamenti del generico punto Q di detto elemento sono possonovalutarsi come:

( )( )BQ2yy

BQ2xx

xxAQ

yyBQ

+=

= (7.22)

essendo Bxe Byle componenti dello spostamento di B secondo gliassi x ed y. Le componenti dello spostamento relativo tra P e Q sono:

( ) ( )( ) ( )AP1BQ2yyyy

AP1BQ2xxxx

xxxxABPQ

yyyyABPQ

+=

+= (7.23)

Se si sceglie invece A B C12le(7.23) sono

BB

Q B

Q

B

C2

2

2(yQ-yB)

2(xQ-xB)

22

1

A

A

C1

1

A

P 2(yP-yA)

2(xP-xA)1

O

x

y


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( ) ( )( ) ( )AP1BQ2)1(

y12

)2(

y12yy

AP1BQ2

)1(

x12

)2(

x12xx

xxxxCCPQyyyyCCPQ

+=+= (7.24)

e quindi, siccome per il punto C12valgono le(7.16)

( ) ( )( ) ( )12P112Q2yy

12P112Q2xx

xxxxPQ

yyyyPQ

+=

+= (7.25)

e lo spostamento relativo tra P e Q si esprime solo in funzione dellerotazioni.

Si pu infine notare che un osservatore solidale con il punto C12

vede gli spostamenti dei punti dellelemento 1 conseguentiunicamente alla rotazione 1e gli spostamenti dei punti dellelemento2 conseguenti unicamente alla rotazione 2. In altre parole egli vedeentrambi gli elementi ruotare senza traslare. Losservatore vede quindigli spostamenti relativi tra i punti dellelemento 1 ed i puntidellelemento 2 conseguenti unicamente alla rotazione relativa

12 = (7.26)

tra i due elementi. Questo giustifica il nome di centro di rotazionerelativa che si attribuisce al punto C12.


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Cinematica dei s istemi rigidi: piccoli spostamenti - Osservazioni

Sono descritte nel seguito ulteriori osservazioni che sarannodiffusamente utilizzate nel seguito del corso, in particolare per ladeterminazione delle reazioni vincolari e delle azioni interneutilizzando il Principio dei Lavori Virtuali.

Osservazione 5

Come si vede dalle (7.18) la posizione del centro di rotazionerelativo dipende dalle rotazioni 1e 2degli elementi. Cio al variare

di 1o 2o di entrambe la posizione di C12varia. Tuttavia il rapportotra i membri delle (7.18) fornisce luguaglianza

2C12

2C12

1C12

1C12

xx

yy

xx

yy

=

(7.27)

che rende evidente come C1, C2 e C12 giacciano sulla stessa retta,indipendentemente dalle rotazioni 1e 2. Si pu quindi enunciare laseguente propriet di allineamento dei centri di rotazione: il centro dirotazione relativo tra due elementi rigidi giace sulla retta passante peri centri di rotazione assoluta dei due elementi.

Quindi se sono note le posizioni dei centri di rotazione assolutiC1 e C2di due elementi 1 e 2 il centro di rotazione relativo C12 tra idue elementi va ricercato sulla retta che passa per C1 e C2, nonnecessariamente allinterno del segmento C1C2; analogamente sesono note le posizioni del centro di rotazione assoluto C1dellelemento 1 e del centro di rotazione relativo C12degli elementi 1 e2 il centro di rotazione assoluto C2dellelemento 2 va ricercato sullaretta che passa per C1 e C12. Questa propriet risulter utilissimaallorch si studieranno le configurazioni spostate dei sistemi di travi.

Osservazione 6

Per definizione il centro di rotazione relativo tra due elementirigidi si sposta della stessa quantit se pensato solidale a ciascunodei due elementi. Ricordando la definizione di cerniera interna (lezione5), e cio che una cerniera interna impone gli stessi spostamenti aipunti ad essa collegati, pu affermarsi che il centro di rotazionerelativo pu sempre essere pensato come sede di una cernierainterna nel senso che gli spostamenti dei punti dei due elementi sonogli stessi che si avrebbero nel caso di presenza di una cerniera internache connette il punto C12pensato solidale allelemento 1 con il puntoC12 pensato solidale allelemento 2 (si confrontino le configurazioni

spostate di figura 7.9 in cui evidenziato il centro di rotazione relativoC12 con quelle di figura 7.11 in cui i due elementi sono pensaticonnessi con una cerniera interna posta nel punto C12).


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Figura 7.11.

Osservazione 7

Con riferimento allafigura 7.12,se si considera fisso lelemento1, cio si assume un sistema di riferimento (,) solidale conlelemento 1, e quindi con C12, pu affermarsi che lelemento 2 ruotaattorno al punto C12; viceversa, se si considera fisso lelemento 2 puaffermarsi che lelemento 1 ruota attorno al punto C12. Se 1e 2sonole rotazioni degli elementi 1 e 2, la rotazione relativa tra gli elementi 1e 2 data dalla (7.26) in cui 1 e 2 devono essere valutatecoerentemente con un verso positivo assunto per le rotazioni. Se, adesempio, si assumono positive le rotazioni antiorarie, nel caso figura7.12 1 negativa, 2 positiva e 21 positiva; infigura 7.12 sonorappresentati solo i moduli delle rotazioni. Si osserva infine che, detto langolo formato dalle due aste convergenti in A prima dello

spostamento, langolo formato da dette aste dopo lo spostamento + 21.

P

C1

C2

1

2

P

Q

Q 2

1

C12

C12O

x

y


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Figura 7.12.

C12

B

C2

21

2

1

2

1

+21

21 21

C12


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Cinematica dei s istemi rigidi: piccoli spostamenti - Osservazioni

proposta nel seguito unulteriore osservazione che si rivelerindispensabile per lidentificazione delle posizioni dei centri dirotazione assoluti e relativi.

Osservazione 8

Per un elemento rigido libero di muoversi nel piano, cio nonsoggetto a vincoli, qualunque punto del piano pu essere il centro dirotazione assoluto. In altre parole, lassenza di vincoli fa s che nulla si

possa affermare a priori sulla posizione del centro di rotazioneassoluto dellelemento. Come visto nella lezione 4, lintroduzione divincoli esterni ed interni riduce i gradi di libert dei sistemi nel sensoche ne limita certi spostamenti. Queste limitazioni possono essereinterpretate come limitazioni alle possibili posizioni dei centri dirotazione assoluti e relativi.

Per un elemento rigido avente un punto A vincolato da uncarrello che consente solo spostamenti nella direzione u il centro dirotazione giace sulla retta r passante per il carrello ed ortogonale ad u(figura 7.13a). Infatti comunque scelto un centro di rotazione C sulla

retta r il punto A si sposta su una circonferenza di centro C e raggioCA e cio, nellambito dei piccoli spostamenti, sulla retta u, comeprescritto dal vincolo. Daltra parte scegliendo per assurdo un centrodi rotazione C non giacente sulla retta r il punto A dovrebbe spostarsiin direzione ortogonale alla retta CA e quindi non nella direzione di u,violando cos le prescrizioni del vincolo.

Per un elemento rigido avente un punto A vincolato da unacerniera il centro di rotazione il punto A stesso (figura 7.13b). Infattiassunto C A come centro di rotazione ogni punto P dellelemento sisposta su una circonferenza di centro C e raggio CP ed, in particolare,lo spostamento del punto A nullo, come prescritto dal vincolo.

Per un elemento rigido avente un punto A vincolato da unincastro scorrevole che consente solo spostamenti nella direzione u ilcentro di rotazione giace su una retta r ortogonale ad u ed situato adistanza infinita dai punti del sistema. Infatti scelto in questo modo uncentro di rotazione C ogni punto P del sistema si sposta in direzione uortogonale ad r e gli spostamenti di tutti i punti del sistema sono ugualicome prescritto dal vicolo. Ci si rende conto del fatto che glispostamenti dei punti del sistema sono tutti uguali applicando la (7.4)dopo aver riconosciuto che tutti i punti del sistema si trovano allastessa distanza (infinita) dal centro di rotazione e che la rotazione

nulla. In questo senso la traslazione del sistema pensata come unarotazione 0 intorno ad un centro di rotazione posizionato a d ,essendo d la distanza tra il centro di rotazione ed i punti del sistema.


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Figura 7.13.

Con considerazioni de tutto analoghe si possono stabilire lecondizioni che i centri di rotazione relativi degli elementi collegati davincoli interni devono soddisfare, essendo sufficiente ripetere leconsiderazioni svolte assumendo un riferimento solidale con uno deglielementi collegati dal vincolo. Le posizioni dei centri di rotazionerelativi per i diversi vincoli interni sono riassunte nella figura 7.13d-f,

nella quale questi centri di rotazione sono indicati con C12 perevidenziare che sono i centri di rotazione relativi degli elementi 1 e 2collegati dal vincolo interno.

C A

(b)

u

A

(a)C

r

Au

1

2

(d)C12

r

1

2

(e)

C12A

u

A

(c)

C

r

Au

1

2

(f)

C12

r

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