G.M. - Edile-Architettura 2004/05 Fluidi I corpi in natura Gli oggetti che ci circondano si...

G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Fluidi

I corpi in natura

• Gli oggetti che ci circondano si presentano come aggregati di punti materiali (sistemi di punti materiali)

• Tre stati– Solido

– Liquido

– Gassoso• (c’è anche un quarto stato (plasma) )


Le proprietà dei corpi solidi• Corpo solido <-----> corpo rigido

• In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole deformazioni

• Molti solidi hanno una struttura cristallina, altri sono amorfi

• Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e dalle forze molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione all’interno del reticolo

• È l’intensità elevatissima delle forze tra gli atomi che fa rassomigliare i solidi a corpi rigidi.

• Gli atomi occupano posizioni definite all’interno della struttura

• sono in continua oscillazione attorno alla posizione di equilibrio

• con una ampiezza che dipende dalla temperatura


I diversi tipi di sollecitazione• Trazione

– Produce un allungamento del campione• Compressione

– Produce una accorciamento del campione• Taglio

– Produce lo scorrimento di una sezione del campione sull’altra

• Compressione idrostatica– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del

campione ed è perpendicolare alla superficie stessa– Produce una diminuzione del volume del campione

• Sforzo– Forza applicata diviso per la sezione del campione

• Deformazione relativa– La deformazione prodotta diviso per il valore della

grandezza originaria


Il comportamento dei materiali

• I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2


Il comportamento dei materiali


Applicazione

• Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza L =81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 N lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo nel tondino?

• Quanto l’allungamento e la sua deformazione?

• La sezione del tondino è data da:

• Lo sforzo:

• La deformazione:

• L’allungamento:


Risonanza• Per realizzare una qualunque struttura

meccanica, dalla più semplice alla più complicata, si utilizzano corpi solidi collegati insieme

• poiché i corpi solidi hanno un comportamento elastico, ci aspettiamo altrettanto da una qualunque struttura meccanica.

• Sottoponendo la struttura ad una sollecitazione rapida (un impulso),

– Essa entrerà in vibrazione

– Le vibrazioni si smorzeranno più o meno rapidamente a causa degli attriti

• Però se le sollecitazioni sono periodiche – le vibrazioni potranno sostenersi

• Per avere un’idea di quello che succede si può studiare l’oscillatore armonico sottoposto ad una forza variabile nel tempo.


I fluidi• Per fluidi si intendono i gas ed i liquidi

• le distanze tra le molecole sono in media più grandi rispetto ai solidi, – le forze di interazione sono estremamente meno intense: nei fluidi le molecole sono

debolmente legate l’una all’altra

– esse non occupano posizioni predeterminate all’interno del fluido

– ma possono muoversi al suo interno.

• I fluidi non oppongono alcuna resistenza a sollecitazioni di taglio– Se suddividiamo in due parti il fluido con una superficie ideale è possibile far

scorrere le due parti di fluido l’una rispetto all’altra.

– Si immagini la lama di un coltello che scorre all’interno di un fluido.

• Conseguenza:– Se separiamo il fluido in due parti mediante una superficie qualsiasi le forze che una

parte di fluido esercita sull’altra hanno solo la componete normale alla superficie.

– Questo vale per qualunque superficie.


La pressione idrostatica• Sulla superficie immaginaria con cui abbiamo suddiviso il fluido in

due parti prendiamo una piccola area, A, attorno al punto P

• Si definisce pressione idrostatica nel punto P la grandezza scalare attenuta facendo il rapporto della forza (normale) che una delle due parti di fluido esercita sull’altra attraverso l’area A, diviso per l’area A (eventualmente si fa il limite per A che tende a zero) :

• Le dimensioni

• Le unità di misura nl SI sono N/m2, che viene anche chiamata “pascal”, Pa.

• Altre unità di misura della pressione:– Atmosfera (atm)=1 atmosfera è la pressione atmosferica al livello del mare– torr (o mm Hg) è la pressione che esercita una colonna di 1 mm di mercurio– 1 bar= 105 Pa


La pressione sulle pareti del recipiente• Se la superficie ideale tracciata all’interno di un fluido viene sostituita da una superficie

reale– la parete del contenitore

• Possiamo usare la stessa definizione per valutare la pressione sulle pareti del contenitore

• A è una piccola areola attorno al punto P in cui si vuole misurare la pressione

• Fn è la forza normale esercitata dalla fluido sulla piccola porzione A della parete

• A cosa è dovuta questa forza normale?– Agli urti delle particelle che costituiscono il fluido sulle pareti– Per un urto elastico su una parete liscia

La molecola subisce la forza F dalla paretePer il principio di azione e reazione esercita sulla parete

una forza uguale e contraria.


La densità• Si definisce densità media del fluido

• Si definisce densità del fluido nel punto P

– Il limite in senso “fisico”

• I fluidi si distinguono in

– Comprimibili

– Incomprimibili


La legge di Stevino• Consideriamo in fluido incompribile

• è uniforme in tutto il volume del fluido

• Consideriamo un fluido stazionario

• Isoliamo idealmente una porzione di fluido racchiusa in un cilindro di area di base A orizzontale e altezza h (h=y1-y2)

• Se tutto il fluido è stazionario, questa porzione è ferma

• Applichiamo la secondo legge della dinamica– In particolare la sua componente verticale

• h profondità

• Punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione

• Punti alla stessa pressione si trovano alla stessa profondità– La superficie di separazione tra l’aria e l’acqua è orizzontale


Applicazione

• A che profondità bisogna immergersi in mare perché la pressione raddoppi rispetto a quella in superficie

• Vogliamo trovare h* in modo che P sia uguale a 2Po.

• Dalla legge di Stevino ricaviamo che la pressione alla profondità h in un liquido conoscendo quella in superficie Po, è data da:

• Da cui:h

• Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di un atmosfera

• Se al posto dell’acqua c’è un gas,– la densità del gas è circa 1000 volte più piccola di quella dell’acqua

• Alla profondità di 10 m in un gas la pressione sarebbe cambiata solo di 1 millesimo di atmosfera

• Per recipienti di piccolo volume, entro i 10 m di profondità, possiamo considerare la pressione costante in tutto il recipiente.


La misura della pressione

• Barometro– Per la misura assoluta della

pressione atmosferica

• Manometro a tubo aperto– Misura la differenza di pressione tra

due ambienti

– Misura relativa di pressione


Il principio di Pascal• Consideriamo un fluido contenuto in un cilindro racchiuso

da un pistone mobile

• Indichiamo con Pest la pressione esercitata dal pistone sul fluido

• La pressione in tutti gli altri punti sarà:

• Supponiamo ora di variare la pressione Pest , per esempio variando il carico sul pistone.

• Sia Pest la variazione di Pest.

• In tutti gli altri punti del fluido osserveremo una variazione di pressione:

• Se produco una variazione di pressione in un punto del fluido questa si ripercuote su tutto il fluido.


La leva idraulica• Consideriamo due cilindri pieni di un fluido incomprimibile (olio)

• In condizioni di riposo entrambi i pistoni sono alla stessa altezza e la pressione del fluido subito sotto i pistoni è la pressione atmosferica

• Se spingiamo il pistone Ai con una forza Fi, facciamo cioè aumentare la pressione del fluido in uno dei rami del pistone, allora la pressione aumenterà dappertutto della stessa quantità

• Il secondo pistone sarà quindi in grado di esercitare sull’ambiente esterno una forza

• La forza risulta amplificata per un fattore pari al rapporto tra le aree

• Si osservi che lo spostamento del secondo pistone è ridotto rispetto a quello del primo dello stesso fattore.

• Il lavoro da fare per sollevare un oggetto pesante è sempre lo stesso


Il principio di Archimede• La Spinta di Archimede è la forza a cui è soggetto un corpo

quando è immerso nel fluido

• Consideriamo, in un fluido stazionario, la porzione di fluido racchiusa in una superficie chiusa che riproduce perfettamente la superficie esterna di un corpo.

• Questa porzione di fluido è in equilibrio (fluido stazionario)

• La risultante delle forze che la porzione di fluido all’esterno del contorno esercita su quella all’interno del contorno è proprio uguale al peso del fluido racchiuso all’interno del contorno.

• Quando metteremo il corpo, la parte di fluido esterna al contorno del corpo è la stessa , continuerà ad esercitare sempre la stessa forza:

• La spinta di Archimede è pari al peso della massa di acqua spostata dal corpo

La dinamica dei fluidi

• Due modi di studiare la dinamica dei fluidi– Scomporre il fluido in elementi infinitesimi (particelle di fluido) e

seguirne il moto (Lagrange)• Bisogna conoscere le forze agenti sulle particelle di fluido

– Si rinuncia alla determinazione delle evoluzione della singola particella ma si determina come cambia la densità e la velocità di ogni punto del fluido. (Eulero)

• L’attenzione è rivolta a capire cosa avviene in ogni istante in un particolare punto del fluido piuttosto che seguire cosa succede ad una particella di fluido

• Tutte le grandezze usate per la descrizione dello stato di un fluido devono esser conosciute in tutti i punti del fluido.


La dinamica dei fluidi: considerazioni generali

• Il moto di un fluido può essere stazionario o non stazionario– Si dice stazionario se le grandezze come pressione, densità, velocità punto per punto sono

costanti nel tempo. Esse possono differire da punto a punto ma fissato il punto non dipendono dal tempo

– In generale il moto turbolento non è stazionario

• Il moto di un fluido può essere rotazionale o irrotazionale– Per scoprire se un moto è rotazionale si immerge una girandola in un fluido in moto: se la

girandola si mette a girare attorno al proprio asse il moto è rotazionale (presenza di vortici): se si muove senza ruotare su se stessa il moto è irrotazionale.

• Un fluido può essere comprimibile o non comprimibile– Un fluido è non comprimibile se la densità non dipende dalla pressione (essa è la stessa in

tutti i punti del fluido e non varia con il tempo)

– I liquidi possono essere considerati incomprimibili, ma in alcuni casi anche i gas si comportano come fluidi incomprimibili

• Un fluido può essere viscoso o non viscoso– L’attrito viscoso è quello che si manifesta quando una superficie di un fluido scorre rispetto ad

un’altra (l’abbiamo studiato come resistenza passiva: la forza di attrito viscoso è proporzionale all’opposto della velocità.)

– Un fluido non viscoso è quello in cui l’attrito viscoso è nullo


La dinamica dei fluidi

• Studieremo il moto stazionario e irrotazionale di un fluido non viscoso e incomprimibile.

• Moto stazionario– Fissato un punto del fluido la velocità del fluido in quel punto resta

costane nel tempo.

– Questo significa che ogni elemento di fluido che ad un certo istante passa per quel punto seguirà lo stesso percorso dell’elemento di fluido che l’ha preceduto (o che lo seguirà) (linea di corrente)

• Linea di corrente (flusso)– La linea di corrente rappresenta la traiettoria seguita da un elemento di

fluido

– In ogni punto è tangente alla velocità posseduta dal fluido in quel punto

– Per ogni punto passa una ed una sola linea di corrente


I tubi di flusso

• Consideriamo tutte le linee di corrente che passano per una curva chiusa.

• Queste linee di corrente delimitano un tubo di flusso, nel senso che una particella di fluido che entra nella Sezione A1 non può uscire dalla superficie laterale (le linee di corrente non si possono intersecare) e deve necessaria mente uscire dalla sezione A2


A1

A2P

Q

I tubi di flusso• Indichiamo con v1 la velocità delle particelle che entrano nella sezione A1, e

con v2 la velocità delle particelle che escono dalla sezione A2 (le due sezioni devono essere prese perpendicolari alle rispettive velocità)

• Possiamo sempre suppore che le dimensioni di A1 e A2 piccole abbastanza da poter considerare costanti le velocità in tutti i punti di A1 e di A2.

• Nell’intervallo di tempo t la massa che entra in A1 è data da:

• Quella che esce da A2 è data da


A1

A2P

Q

Portata

• In condizioni stazionarie non ci può essere accumulo di massa all’interno del tubo ((P)=cost)

• Se la massa non può entrare od uscire da altre parti allora

• Se il fluido è incomprimibile

• Dove la sezione del tubo di flusso è più grande, la velocità è più piccola

• Av si chiama portata e si misura in m3/s


• Ma se gli elementi di fluido subiscono una variazione di velocità vuol dire che subiscono una accelerazione

• Se supponiamo che l’accelerazione sia dovuta a forze di pressione vuol dire che che la pressione è più piccola dove la velocità è più grande

• Solo così la forza di pressione è diretta verso i punti in cui la velocità è più elevata.


L’equazione di Bernoulli

• Consideriamo un tubo di flusso com ein figura• Il flusso sia stazionario ed irrotazionale, il fluido non viscoso e

incomprimibile

• La sezione A1 sia posta alla altezza y1

• La sezione A2 sia posta alla altezza y2

• Indichiamo con P1 la pressione che agisce sulla sezione A1 e

• P2 quella che agisce sulla sezione A2

• Indichiamo infine con v1 la velocità del fluido entrante nella sezione A1 e v2 la velocità del fluido uscente dalla sezione A2

• Consideriamo infine la quantità di fluido contenuto nel cilindro di sezione A1 e altezza l1 alla quota y1

• La forza dovuta alla pressione P1 spinge il fluido cosichè la parte di fluido di cui al punto precedente me lo ritrovo alla quota y2 nel cilindretto di sezione A2 e altezza l2



• La relazione energia lavoro ci dice che

• Le forze agenti sono:– La forza peso (conservativa)

– Le forze di pressione (non conservative)

• Ne segue



• Poiché il fluido è incomprimibile si avrà

• Dividendo per l’equazione precedente si ottiene:

• Ovvero

• Che è l’equazione di Bernoulli

• Essa contiene l’equazione di Stevino nel caso stazionario v1=v2=0


Equazione di Bernoulli

• Se il tubo è orizzontale ovvero y1= y2 si avrà:

• Che conferma la nostra intuizione: quando la velocità è più elevata la pressione è più bassa.


Teorema di Torricelli

• Un recipiente, contenente un liquido di densità presenta sulla parete un piccolo foro di sezione trascurabile rispetto alla sezione del recipiente a profondità h dalla superficie libera del liquido. La pressione dell’ambiente in cui si trova il recipiente è quella atmosferica po. Determinare la velocità con cui il fluido esce dal foro.

• Applicando la equazioen di Bernoilli tra la superficie libera del fluido e il foro abbiamo


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