1° Convegno Tematico Le Filiere dellenergia LE BIOMASSE Denis Picco Trieste, 26 novembre 2010.
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Estensione della conservazione dellenergia ai sistemi di...
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Estensione della conservazione dell’energia ai sistemi di punti materiali
• Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative
• Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli punti materiali
Ui è la somma delle energie potenziali della particella i
– In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne ed esterne agenti sulla particella i
• Poiché per ogni particella vale la conservazione dell’energia, allora essa vale anche per tutto il sistema.
• Se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica totale del sistema rimane costante durante il moto.
• Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non conservative, allora vale la relazione lavoro-energia:
• Wnc è il lavoro di tutte le forze non conservative.
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L’energia potenziale della forza peso
• L’energia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del sistema di particelle per l’accelerazione di gravità per la quota del CM.
• Per ciascuna particella:
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Applicazione
• Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha un estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso.
Posizione iniziale
x
Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo
y
Posizione finale
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Posizione finaleIl pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto all’asse di rotazione)
x
Applicazione
• L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.
Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale
Posizione inizialey
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Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d1=.22m
x
Applicazione
• L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.
Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale
Posizione inizialey
Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo
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x
Applicazione
• Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle:
Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo.
y
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Momento della quantità di moto, o momento angolare, di un sistema di punti materiali
• Per ciascuna particella
• Il momento della quantità di moto o momento angolare dell’intero sistema rispetto al polo O, è dato da:
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Cambiamento di polo
• Naturalmente possiamo calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente l’origine!
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Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa
• Se O’ coincide con il centro di massa CM
• Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM.
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Secondo teorema di Konig
• Il momento della quantità di moto rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O + il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (II teorema di Konig)
• Il CM non rappresenta del tutto il sistema
• Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa LCM possiamo calcolarlo sia usando le grandezze del sistema del centro di massa che quelle del sistema con origine in O
• Se O’ coincide con il centro di massa.
• Se O è l’origine del sistema di riferimento e O’ un secondo polo qualsiasi risulta che .
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Teorema del momento angolare II equazione cardinale della dinamica
• Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe anche variare la loro velocità.
• Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia.
• Valutiamo la rapidità con cui varia.
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II equazione cardinale della dinamica dei sistemi
• Il momento risultante delle forze interne è nullo:
• Pertanto la variazione del momento della quantità di moto di un sistema di punti è uguale al momento risultante delle sole forze esterne
• Mentre nel caso del punto materiale questa equazione è equivalente alla II legge della dinamica
• Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono informazioni complementari.
• O = origine del sist. Rif
• O = punto fisso
• O = CM (SRI o SCM)
• O punto mobile ma con velocità parallela a vCM
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Possibile uso della seconda equazione cardinale
• Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto, su cui è avvolta una corda.
• Applichiamo all’estremo libero della corda una forza F.
• La prima equazione cardinale della dinamica non ci da alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette solo di determinare l’intensità della reazione vincolare.
• La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi non è banalmente soddisfatta
• Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione della carrucola attorno all’asse passante per il centro di massa.