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12. Urti
Fisica Generale A
http://campus.cib.unibo.it/2432/
October 21, 2010
Urti
• Si ha un urto quando due corpi, che si muovono a velocità diverse, interagiscono (p.es. vengono a contatto) e, in un intervallo di tempo molto breve (rispetto al contesto), modificano sostanzialmente le proprie velocità.
p p
+
ee
palle da biliardo
cometa
Sole
2Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urti (II)
• Le forze d’urto agiscono per un tempo molto breve. Prima e dopo l’urto le forze d’urto sono assenti: se i corpi non sono soggetti ad altre forze, essi si muovono di moto rettilineo uniforme.
• Nei problemi d’urto non si è interessati alla dinamica dell’interazione, ma soltanto alla relazione tra le quantità dinamiche prima e dopo l’urto.
3Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Forze d’Urto
• Le forze che agiscono durante l’urto tra due corpi non vincolati sono forze interne al sistema formato dai due corpi.
• L’intensità delle forze d’urto è tanto più elevata quanto più piccolo è l’intervallo di tempo in cui le forze agiscono.
• Infatti, se consideriamo la forza media nell’intervallo [t1, t2] in cui le forze d’urto agiscono:
F =1
t2t1
F t( ) dtt1
t2
4Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Forze d’Urto (II)
• Per il teorema dell’impulso avremo:
• A parità di variazione della quantità di moto la forza è tanto maggiore quanto minore è l’intervallo di tempo [t1, t2].
F =1
t2
t1
F t( )dtt1
t2
=Q t
2( ) Q t
1( )
t2
t1
Q t2
( ) Q t1
( )
stesso Q t2( ) Q t
1( )
stesso F dtt1
t2
t1,t
2 diverso
F diversa
Acciaio
più rigido Acciaio
meno rigido
t
F
1t
2t
t
F
Fdt
t1
t2
1t
2t
Fdt
t1
t2
F
F
5Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Forze d’Urto (III)
• Durante l’urto possono agire anche forze esterne non impulsive, come la forza peso. Tuttavia, di solito, esse sono trascurabili rispetto alle forze d’urto. I sistemi possono cioè essere considerati sistemi quasi-isolati.
• Prima e dopo l’urto le forze esterne non impulsive devono essere considerate, ma durante l’urto esse possono essere trascurate.
6Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Forze d’Urto (IV)
• Se sono presenti vincoli, le forze vincolari esterne non possono essere trascurate, in quanto esse, durante l’urto, hanno carattere impulsivo e possono essere molto intense.
• Es.: urto di un pallone contro un muro.
– Sistema pallone: la quantità di moto non si conserva perché la forza d’urto è una forza esterna.
– Sistema pallone+muro: la quantità di moto non si conserva perché la reazione vincolare che tiene il muro fermo a terra è una forza esterna.
– Sistema pallone+muro+globo terrestre: la quantità di moto si conserva in quanto tutte le forze sono interne. Il globo terrestre ha un piccolissimo rinculo.
7Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Forze d’Urto (V)
• In presenza di una forza vincolare esterna si conserva il momento angolare riferito al punto di applicazione della reazione vincolare.
• P. es., nel caso di una sbarra vincolata a ruotare attorno a un punto O, si conserva il momento angolare rispetto a O (perché la forza esterna, ovvero la reazione vincolare, ha momento nullo rispetto a tale punto) mentre non si conserva la quantità di moto, né il momento angolare rispetto ad altri centri di riduzione.
O R
F
8Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali
• Essendo assenti forze esterne, si conserva la quantità di moto e il momento angolare. In questo caso le due leggi di conservazione hanno la medesima forma:
• Volendo calcolare v1 e v2 a partire da v01 e v02, questa espressione non basta (2 incognite, 1 equazione). Manca l’informazione sul tipo di interazione.
• Procediamo in maniera empirica: osserviamo che l’urto è tanto più violento quanto più grande è la differenza di velocità .
v
02
m
2 m
1
v
01 x m
1v
1x+ m
2v
2x= m
1v
01x+ m
2v
02x
v01xv02x
9Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (II)
• Dopo l’urto, questa differenza risulta cambiata di segno e uguale o diminuita in valore assoluto.
• Possiamo perciò scrivere la relazione empirica:
Il coefficiente adimensionale e, detto coefficiente di restituzione dipende soltanto dal tipo di interazione (p.es. dai materiali di cui sono costituite le due sfere che vengono a contatto).
v1xv2x
2m
1m01v
02v x
2m2v
1m1v x
v01x
v02x
> 0
v1x
v2x< 0
v01x
v02x
v1x
v2x
v1xv2x= e v
01xv02x( ), 0 e 1
10Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (III)
• Casi limite: – e = 0. Urto perfettamente anelastico. I due corpi, dopo l’urto,
restano uniti (proiettile sparato in un sacco di sabbia, freccia che colpisce un bersaglio, ecc.)
– e = 1. Urto perfettamente elastico. Nel caso macroscopico ci si avvicina a questa situazione utilizzando sferette di vetro o di acciaio.
• In generale vale il caso intermedio 0 < e < 1.
• Fra gli urti macroscopici, l’urto perfettamente elastico è un caso ideale, a cui ci si può avvicinare, ma che non si può raggiungere esattamente.
11Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (IV)
• Fra gli urti microscopici, tutti gli urti che non modificano la natura delle particelle interagenti sono urti perfettamente elastici.
ee p p
+
urto elastico urto anelastico
12Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (V)
• Il sistema di equazioni:
può essere risolto:
m1v
1x+ m
2v
2x= m
1v
01x+ m
2v
02x
v1x
v2x= e v
01xv
02x( )
v1x= v
2xe v
01xv02x
( )m1v2x
em1v01xv02x
( ) + m2v2x= m
1v01x
+ m2v02x
m1+ m
2( )v
2x= m
11+ e( )v
01x+ m
2em
1( )v
02x
v2x=m11+ e( )
m1+ m
2
v01x
+m2em
1
m1+ m
2
v02x
13Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VI)
• Risolvendo nell’altra incognita:
m1v1x+ m
2v2x= m
1v01x
+ m2v02x
v1xv2x= e v
01xv02x
( )
v2x= v
1x+ e v
01xv02x
( )m1v1x+ m
2v1x+ em
2v01xv02x
( ) = m1v01x
+ m2v02x
m1+ m
2( )v
1x= m
1em
2( )v
01x+ m
21+ e( )v
02x
v1x=
m1
em2
m1+ m
2
v01x
+m
21+ e( )
m1+ m
2
v02x
14Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VII)
• Nel caso di urti perfettamente anelastici (e = 0) si ha:
Le velocità finali (uguali tra loro) sono la media pesata con la massa delle velocità iniziali.
• Nel caso di urti perfettamente elastici (e = 1) si ha:
15Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
v1x= v
2x=
m1
m1+ m
2
v01x
+m
2
m1+ m
2
v02x
e = 0( )
v1x=m1m2
m1+ m
2
v01x
+2m
2
m1+ m
2
v02x
v2x=
2m1
m1+ m
2
v01x
+m2m1
m1+ m
2
v02x
e = 1( )
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (VIII)
• Se le due masse sono uguali:
i due punti si scambiano le velocità.
• Si osserva anche al biliardo che, quando una palla colpisce con un urto collineare un’altra palla di eguale massa in quiete, la prima si ferma, mentre la seconda assume la velocità della prima.
16Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
v1x= v
02x
v2x= v
01x
e = 1, m1= m
2( )
2 01x x=v v
01xv
020
x=v
10
x=v
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (IX)
• Per un urto collineare generico (elastico o anelastico) si ha, per quanto riguarda l’energia:
v1x=
m1
em2
m1+ m
2
v01x
+m
21+ e( )
m1+ m
2
v02x
v2x=
m1
1+ e( )m
1+ m
2
v01x
+m
2em
1
m1+ m
2
v02x
v1x
2=
1
m1+ m
2( )
2m
1em
2( )
2
v01x
2+ m
2
21+ e( )
2
v02x
2+ 2 m
1em
2( )m
21+ e( )v
01xv
02x
v2x
2=
1
m1+ m
2( )
2m
1
21+ e( )
2
v01x
2+ m
2em
1( )
2
v02x
2+ 2m
11+ e( ) m
2em
1( )v
01xv
02x
17Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (X)
m1v1x
2+ m
2v2x
2=
1
m1+ m
2( )
2m1m1em
2( )
2
+ m2m1
21+ e( )
2
v01x
2+
+1
m1+ m
2( )
2m2m2em
1( )
2
+ m1m2
21+ e( )
2
v02x
2+
+1
m1+ m
2( )
22m
1m21+ e( ) m
1em
2+ m
2em
1( )v
01xv02x
=1
m1+ m
2( )
2m1m1
2+ e
2m2
22em
1m2( ) + m2m12 1+ e2 + 2e( ) v01x2 +
+1
m1+ m
2( )
2m2m2
2+ e
2m1
22em
2m1( ) + m1m22 1+ e2 + 2e( ) v02x2 +
+1
m1+ m
2( )
22m
1m21+ e( ) m
1+ m
2( ) 1 e( )v
01xv02x
18Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XI)
m1v
1x
2+ m
2v
2x
2=
m1
m1+ m
2( )
2m
1
2+ e
2m
2
2( ) + m2m
11+ e
2( ) v01x
2+
+m
2
m1+ m
2( )
2m
2
2+ e
2m
1
2( ) + m1m
21+ e
2( ) v02x
2+
+1
m1+ m
2( )
22m
1m
2m
1+ m
2( ) 1 e
2( )v01xv
02x
=m
1
m1+ m
2( )
2m
1m
1+ m
2( ) + m
2e
2m
2+ m
1( ) v
01x
2+
+m
2
m1+ m
2( )
2m
2m
2+ m
1( ) + m
1e
2m
1+ m
2( ) v
02x
2+
+1
m1+ m
2( )
22m
1m
2m
1+ m
2( ) 1 e
2( )v01xv
02x
19Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XII)
20Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
m1v
1x
2+ m
2v
2x
2=
m1
m1+ m
2
m1+ m
2e
2v
01x
2+
m2
m1+ m
2
m2+ m
1e
2v
02x
2+
+1
m1+ m
2
2m1m
21 e
2( )v01xv
02x
m1v1x
2+ m
2v2x
2m1v01x
2+ m
2v02x
2( ) =m1
m1+ m
2
m2e2m2v01x
2+
+m2
m1+ m
2
m1e2m1v02x
2+
+2m
1m2
m1+ m
2
1 e2( )v01xv02x
=m1m2
m1+ m
2
e21 v
01x
2+m1m2
m1+ m
2
e21 v
02x
2+
+2m
1m2
m1+ m
2
1 e2( )v01xv02x
m1
m1+ m
2
m1
m2
( )v01x
2
m2
m1+ m
2
m1m2
( )v02x
2
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XIII)
21Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
m1v
1x
2+ m
2v
2x
2m
1v
01x
2+ m
2v
02x
2( ) =m
1m
2
m1+ m
2
1 e2( ) v
01x
2+ v
02x
22v
01xv
02x( ) =
=m
1m
2
m1+ m
2
1 e2( ) v
01xv
02x( )
2
T = T T0=
1
2
m1m
2
m1+ m
2
1 e2( ) v
01xv
02x( )
2
T = 0
T =1
2
m1m
2
m1+ m
2
v01x
v02x
( )2
• Negli urti perfettamente elastici si conserva l’energia meccanica (che prima e dopo l’urto, in assenza di altre forze, si riduce alla sola energia cinetica).
(urti perfettamente elastici)
(urti perfettamente anelastici)
Urto Collineare tra Due Punti Materiali (XIV)
• Negli urti anelastici l’energia meccanica totale non si conserva ma decresce.
• L’energia meccanica persa negli urti anelastici si è trasformata in energia termica.
22Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Urti Generici
• Nel caso di urti generici, non collineari, la dinamica dell’urto è più complicata e non può essere parametrizzata sulla base di un semplice coefficiente di restituzione.
• Definiremo comunque urto perfettamente elastico un urto nel quale si conserva l’energia meccanica.
• Definiremo urto anelastico un urto nel quale l’energia meccanica non si conserva.
• Definiremo urto perfettamente anelastico un urto nel quale i due corpi procedono uniti dopo l’urto.
23Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
Sommario
• Forze vincolari esterne assenti: si conserva la quantità di moto e il momento angolare.
• Forza vincolare esterna presente: si conserva il momento angolare rispetto al punto di applicazione della forza vincolare.
• Urto perfettamente elastico: si conserva l’energia meccanica.
• Urto perfettamente anelastico: i due corpi, dopo l’urto, procedono uniti con la stessa velocità.
24Domenico Galli – Fisica Generale A – 12. Urti
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Domenico Galli Dipartimento di Fisica
http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica