Sistemi di più particelle: - 2 corpi interagenti - n corpi (fluidi, gas...)

Quantità di Moto

r  palla su mazza da baseball

r  palla subisce grande variazione di velocità in tempo brevissimo (≈0.01 s) ⇒ grande accelerazione ⇒ elevata forza media su palla (≈103 N) r  per principio azione e reazione: mazza risente di forza uguale ed opposta ⇒ velocità mazza ridotta a causa della grande massa del bastone

F -F

quando si trattano problemi di urti fra oggetti è utile introdurre il concetto di

massa · velocità quantità di moto def

=

vmp =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

zz

yy

xx

mvpmvpmvp

r  definizione non relativistica

r  grandezza vettoriale

r  dimensioni e unità di misura

)( cv <<

smkg

TLMp ⋅⇒⋅=][][][][

smvkgm

i /0.41.0

=

=

?=Δp

orsettoiiiif

iiif

pjskgmjmvjmvjmvppppalla

jskgmjsmkgjmvjmvppporsetto

Δ×==+=−−=−=Δ

=×=+=−−=−=Δ

2/8.02)(

:/4.0)/0.41.0()(0

:

iv

iv

0=fv

fv

prima

dopo

esempio: variazione della quantità di moto

pallasmvorsettosmv

kgm

f

f

/0.4/0

1.0

=

=

=

Attenzione: è una grandezza vettoriale !!! p

j

j

esempio: pista automobili giocattolo

smvsmv

kgm

f

i

/40.0/50.0

0.2

=

=

=

iv

fv

?=Δp

smkgjijsmkgismkg

pppismkgpjsmkgp

if

f

i

/)0.18.0()/50.0)(0.2()/40.0)(0.2(

)/40.0)(0.2(

)/50.0)(0.2(

+=

−−=

−=Δ

=

−=

p permette di distinguere fra particelle pesanti e leggere

con stessa velocità esempio:

v = 10 m/s m palla-bowling >> m palla-tennis ⇒ ppalla-bowling >> ppalla-tennis esempio: un camion e una palla da ping-pong si muovono alla stessa velocità v = 2 m/s. Da quale dei due è preferibile essere investiti ?

p descrive la differenza

fra i due oggetti in moto !!!

vmp =

esempio: se una bambina piccola (18 kg) vi corresse incontro, probabilmente la prendereste in braccio: è piccola non può far danni. se un giocatore di football (100 kg) facesse la stessa cosa, probabilmente vi scansereste velocemente. se il giocatore vi venisse incontro camminando tranquillamente e vi urtasse, non vi preoccupereste molto.

a che velocità dovrebbe andare il giocatore per avere la stessa quantità di moto?

il giocatore dovrebbe andare MOLTO lentamente!

p descrive la differenza fra i due oggetti in moto

smkgpsmv

kgmbambina

bambina

bambina /54/3

18=

⎭⎬⎫

=

=

scmvmmv

vmvmppkgm

bambinagiocatore

bambinagiocatore

bambinabambinagiocatoregiocatore

bambinagiocatore

giocatore

/54

100

==

=

=

=

amF =∑

Seconda legge di Newton

dtpdF

=∑

sistemi a massa costante sistemi a massa variabile

la quantità di moto di un sistema si conserva se sul sistema non agiscono forze esterne

0=∑F

0=dtpd costantep =⇒ ⇒

[ I Legge di Newton – Principio di Inerzia]

amdtvdm

dtvmd

dtpdF

====∑

)(N.B. se m = costante ritrovo II legge di Newton

esempio di sistemi a massa variabile: 4razzo che espelle combustibile 4palla di neve che rotolando si ingrossa 4camion che si riempie d’acqua mentre viaggia con la pioggia

esempi: conservazione quantità di moto

un razzo a motori spenti procede nello spazio [lontano da sorgenti gravitazionali]

imponenti petroliere possono percorrere fino a 10 km dopo che i motori sono stati spenti

Sistema di due particelle: conservazione quantità di moto

111 vmp =

222 vmp =

12F

21F

r  sistema isolato (non ci sono forze esterne al sistema) r  sistema di 2 particelle interagenti [es. forza interna = gravità]

2112 FF

−= principio di azione e reazione tra forze interne

0)(

0

21

2112

=+

=+=∑

dtppd

FFF

fzizfyiyfxix pppppp ===

ffii pppp 2121

+=+

costanteppptot =+= 21

⇒

conservazione della quantità di moto: r  la quantità di moto totale di due particelle isolate interagenti si conserva r  la quantità di moto totale di un sistema isolato è uguale in ogni istante alla quantità di moto iniziale

esempi: conservazione quantità di moto

22110 ff

fi

vmvmpp

+=

=

21

21 ff v

mmv −=

rinculo del fucile [dopo lo sparo]

22110 ff vmvm +=

1

221 m

vmv ff −=

rinculo [su superficie senza attrito]

2 pattinatori [su ghiaccio]

smkg

smkgmvmv

vmvmpp

F

PPF

FFPP

fi

/5.20.5

/62002.0

0

−=×

−=

−=

+=

=

smvkgmgm

P

FP

/6200.5,20

=

==

esempi: conservazione quantità di moto

decadimento di un kaone in quiete

K0

π- π+

+p

−p

−+ +→ ππ0K

0

0

=+=

==

−+ ppppp

f

if

−+ −= pp

esplosione di una stella foto da

telescopio spaziale Hubble

esplosione violenta di Eta Carinae (1841): produzione de lobi simmetrici [con dimensioni pari a nostro sistema solare!!!] che emettono materia in versi opposti

⇒  la quantità di moto della stella è rimasta immutata dopo l’esplosione

M = massa sistema (M+M) V = velocità sistema (V+V) M = massa astronauta V = velocità dell'astronauta M = massa carburante V = velocità dei gas espulsi

motori spenti accendo i motori MV=0 MV+MV=0

(V=0 e V=0) V ≠ 0 ⇒ V ≠ 0

propulsione nel vuoto: come fa un razzo o un astronauta a spostarsi nel vuoto ? [cioè in assenza di attrito] ⇒ con la conservazione di p !!!!

conservazione quantità di moto

astronauta fermo V=0

astronauta si muove a velocità V

gas espulso a velocità V

seppie, polipi e meduse usano lo stesso

sistema di propulsione !!

propulsione di un razzo [sistema a massa variabile]

durante il moto si conserva la massa del sistema [massa combustibile + massa navetta]

fi pp =

vmMpi )( Δ+=

)()( ef vvmvvMp −Δ+Δ+=

razzo espelle Δm in Δt ⇒ velocità aumenta di Δv

ve = velocità combustibile rispetto al razzo v-ve= velocità combustibile rispetto a sistema di riferimento fisso

e

e

vmvMvvmvvMvmM

Δ=Δ

−Δ+Δ+=Δ+ )()()(

dMdmmedvvtse −=→Δ→Δ→Δ 0

∫∫ −=

−=f

i

f

i

M

Me

v

v

e

MdMvdv

dMvMdv

f

ie

i

feif M

MvMM

vvv lnln =−=−

per incrementare velocità: r  elevata ve r  massa Mf piccola

esempio: spinta del razzo spinta del razzo forza esercitata dai gas si scarico sul razzo

dtdMv

dtdvMMaF e===

dMvMdv e−=[ ] spinta cresce se: r aumenta velocità di scarico ve r aumenta tasso di consumo R = dM/dt

razzo Saturno V: Mrazzo,i = 3.00 106 kg R = dM/dt = 1.50 104 kg/s ve = 2.60 103 m/s spinta del razzo: F = ve dM/dt = (2.60 103 m/s)(1.50 104 kg/s) = 39.0 106 N = 39 MN accelerazione al momento del lancio:

2

6

266

/20.31000.3

)/8.9)(1000.3()100.39(

smkg

smkgNMFF

a

MaFFaMFFF

grazzo

grazzo

grazzo

=

×

×−×=

−=

=−

=+=∑

def=

Impulso e Quantità di Moto

dtpdF

=seconda legge di Newton: la quantità di moto varia se sulla particella agisce una forza

∫=−=Δ

=f

i

t

tif dtFppp

dtFpd

∫ Δ==f

i

t

tdef

pdtFI Teorema dell’ impulso:

l’ impulso di una forza (integrale della forza nell’intervallo di tempo)

è pari alla variazione della quantità di moto

F può variare nel tempo I = area sotto la curva forza-tempo

forza media ∫Δ=

f

i

t

tdef

dtFt

F1

tFpI Δ=Δ= stesso impulso

impresso da forza variabile

]/][[][][ TLMpI ==

I

I

La forza media permette di calcolare l’impulso senza descrivere in dettaglio

la variazione della forza in funzione del tempo

esempio: la forza tra due oggetti che urtano ha spesso un andamento complicato e difficilmente descrivibile

Il concetto di impulso è utile quando una delle forze agenti sulla particella agisce 4 per breve tempo 4 con intensità elevata

approssimazione impulsiva: trascuro gli effetti delle altre forze [piccoli durante la breve durata di azione delle forze intense]

Forza impulsiva

forze impulsive sono tipiche dei processi di urto [di durata brevissima] esempio: palla su mazza da baseball Δt ≈ 0.01 s <F> ≈ 103 N Fg =mg ≈ (100 g) (9.8m/s2) = (0.1 kg ) (9.8m/s2) ≈ 1 N <F> >> Fg ⇒ trascuro ogni variazione di velocità legata a forza di gravità

I

applicazione: air bag

tFp Δ=Δvariazione quantità di moto dell’auto

air-bag: induce variazione quantità di moto in intervallo di tempo più lungo ⇒ riduce picco di intensità della forza ⇒ riduce traumi

applicazione: guantoni da pugile

tFp Δ=Δ

i guantoni aumentano tempo durante il quale la forza è applicata alla testa ⇒ riduce picco di intensità della forza ⇒ riduco accelerazione del cranio ⇒ riduco traumi N.B. nel XIX secolo di combatteva a pugni nudi :

maggiori traumi

esempio: forza su auto durante un urto In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro. velocità iniziale è vi = -15.0 i m/s velocità finale è vf = 2.60 i m/s.

durata urto Δt=0.150 s determinare impulso dovuto all’urto e forza media esercitata sull’auto

smkgi

smkgismkgipppI

smkgiismkgvmpsmkgiismkgvmp

if

ff

ii

/1064.2

)/1025.2()/1039.0(

/1039.0)/6.2)(1500(

/1025.2)/0.15)(1500(

4

44

4

4

=

−−=−=Δ=

===

−=−==

Forza media esercitata sull’auto:

Nis

smkgitpF

54

1076.1150.0

/1064.2=

⋅=

Δ

Δ=

esercizi quantità di moto