Dinamica dei sistemi di punti Forze interne ed esterne m 1...

A.Romero Dinamica IV -Sistemi di punti 1

Dinamica dei sistemi di punti

Forze interne ed esterne

nji mmmmm ,.........,,........., 21

Consideriamo n punti materiali di massa:

Le forze interne sono quelle scambiate tra i punti. La natura delle forze interne può essere

qualsiasi, ad esempio tensioni dei fili, forze elastiche, elettriche e magnetiche, gravitazionali, etc.

Le forze esterne sono dovute all’interazione tra il sistema ed il mondo esterno

i,jj,iFF −=

interagenti tra loro e con l’universo esterno

La forza Fi agente sull’i-esimo punto è data dalla risultante delle forze esterne agenti sul punto

Fi(E) e delle forze esercitate dagli altri n-1 punti: forze interne al sistema Fi

(I):

(I)i

(E)ii FFF +=

Per le forze interne per il III principio della dinamica :

Le forze esterne si possono indicare come:

,...F,F)E(

j

)E(

i


y

x

O

ir

jr

ji,F

ij,F

Sommando vettorialmente tutte le forze interne ed esterne che

agiscono sul sistema si ottiene:

∑==+=i

Ei

EEI FRRRR)()()()(

Forze interne ed esterne

In genere la risultante delle forze interne agenti sull’i-esimo punto

Fi(I) non è nulla, ma

la risultante di tutte le forze interne R(I) del sistema è nulla,

perché in base al principio di azione e reazione esse sono uguali a

due a due ed opposte.

∑=j,i

j,i)I(

i FFRisultante delle forze interne agenti sull’i-esimo punto

0ji

jii

Ii

I === ∑∑,

,)()(

FFRRisultante di tutte le forze interne del sistema


Sistemi di punti

j

j

jm

Fa =

� La posizione:

� La velocità:

� L’accelerazione:

nji rrrrr ,.........,,........., 21

nji vvvvv ,.........,,........., 21

nji aaaaa ,.........,,........., 21

y

xO

ir

jr

iv

jv

Consideriamo n punti materiali: nji mmmmm ,.........,,........., 21

Per ciascun punto P, è possibile definire in un sistema di riferimento inerziale:

� La quantità di moto: nji21 ,.........,,........., pppppjjj m vp =con:

con:

jjjj m vrL ×=� Il momento angolare: nji LLLLL ,.........,,........., 21 con:

2jjj,k vm

2

1E =� L’energia cinetica: n,kj.ki,k2,k1,k E,.........E,E,.........E,E con:


Sistemi di punti

y

xO

ir

jr

iv

jv

Consideriamo n punti materiali: nji mmmmm ,.........,,........., 21

Per il sistema complessivo , è possibile definire inoltre le grandezze:

� Quantità di moto totale: ∑∑ ==i

iii

m vpP i

∑∑ ×==i

iiii m vrLLi

� Momento angolare totale:

∑∑ ==i

2ii

ii,kk vm

2

1EE� L’energia cinetica:

� Massa totale: ∑=i

imm


Centro di massa

∑

∑=

ii

iii

CMm

m r

r

Si definisce centro di massa di un sistema di punti materiali

il punto geometrico la cui posizione è individuata dal raggio vettore:

∑

∑=

ii

iii

CMm

m r

rn21

nn2211

m....mm

m...mm

+++

+++=

rrr

NOTA: La posizione del centro di massa rispetto ai punti non dipende dal sistema di

riferimento, le sue coordinate variano con il sistema scelto.

∑

∑=

ii

iii

CMm

xm

xIn componenti ∑

∑=

ii

iii

CMm

ym

y∑

∑=

ii

iii

CMm

zm

z

∑

∑=

ii

iii

CMm

m r'

r' =+

=∑

∑

ii

iii

m

)m OO'(r

Ad esempio in figura è rappresentato il centro di massa

nei due sistemi O e O’: OO'rr'i += i

OO'rOO'(r

CM+=+

∑

∑

m

m

m

)m

ii

iii


Centro di massa - Esempio

Date le coordinate e le masse di tre punti: P1 (3,-2, 0) , P2 (-2, 4, -2) , P3 (3,-2, 0) ,

m1= 1 kg, m2=3kg, m3=2Kg, trovare il centro di massa

:

∑

∑=

ii

iii

CMm

m r

rn21

nn2211

m....mm

m...mm

+++

+++=

rrr

∑

∑=

ii

iii

CMm

xm

x∑

∑=

ii

iii

CMm

ym

y∑

∑=

ii

iii

CMm

zm

z

2

1

6

663

321

322331x

CM=

+−=

++⋅+⋅−⋅

=

16

6

6

4122

321

224321y

CM==

−+−=

++⋅−⋅+⋅−

=

16

6

6

060

321

022301z

CM−=

−=

+−=

++⋅+⋅−⋅

=


Centro di massa

∑∑∑

==

i

i

i

i

i

ii

CMmm

mP

v

v

CMii

i mm vvP ==∑

Se gli n punti sono in movimento normalmente la posizione del centro di massa cambia, ed

è possibile dunque studiarne la variazione col tempo:

Quantità di moto totale: ∑=i

iivmP

m

P=

massa totale: ∑=i

imm

La quantità di moto totale (prima definita) coincide con

la quantità di moto del centro di massa, considerato come un punto materiale

che ha la posizione rCM, velocità vCM e massa pari alla massa totale del

sistema.

∑∑

==

i

i

i

ii

CMCM

m

m

dt

d

dt

dr

rv

∑∑

=

i

i

i

ii

m

dt

dm

r


moto del centro di massaVariazione della velocità del centro di massa.Derivando la velocità rispetto al tempo:

∑

∑=

ii

i

ii

m

dt

dm

v

∑

∑=

ii

iii

m

m a

m

mi

ii∑=

a

(I)i

(E)iii FFFa +==mEssendo:

Sostituendo( )

mm

i

)I(i

E

ii

CM

i∑∑ +

==FFF

a

)(

∑∑ +=i

I

i

E

ii

)()(FF )((I))(

RRREE =+=

)(Ra

ECMm =

Il centro di massa si sposta come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la

massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne.

∑

∑==

ii

iii

CMCM

m

m

dt

d

dt

dv

va

( )∑ +=i

)I(i

ECM

im FFa

)(

dt

dmm CM

CM

va == )m(

dt

dCMv=)E(

Rdt

dP=

La risultante delle forze esterne è eguale alla derivata rispetto al tempo della

quantità di moto totale del sistema :Il moto del centro di massa è determinato

solo dalle forze esterne. L’azione delle forze interne non può modificare lo stato del

moto del centro di massa


Se il sistema di punti considerato è isolato o soggetto a forze esterne tali che la

risultante è nulla:

0)E( =R 0=dt

dPcost=P

Principio di conservazione della quantità di moto per un sistema di punti

Quando la risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane

costante ed il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.

le quantità di moto dei vari punti in generale variano nel tempo

Il Principio di conservazione della quantità di moto di un sistema isolato discende

dalla omogeneità dello spazio, non c’e sistema di riferimento privilegiato

Conservazione della quantità di moto

costm CM =v

costm i ≠v

Esempio: trovare moto del centro di massa di un insieme di

punti soggetti solo alla gravità

Essendo le ai = g: gm

gm

m

mg

m

ma i

i

ii

iii

CM====

∑

∑

∑ a


Si considerino due punti isolati, che possono interagire solo tra di loro:

Conservazione della quantità di moto

costantemm 22112 =+=+= vvppP 1

0mm)mm(dt

d

dt

d22112211=+=+= aavv

P021 =+FF 21 FF −=

Il principio di conservazione della quantità di moto per un sistema isolato di due punti,

ha come conseguenza il fatto che le forze che si esercitano tra i due punti sono uguali in

modulo e di verso opposto.

Il principio di conservazione della quantità di moto permette di definire dinamicamente la

massa indipendentemente dalla forza peso.

Se si considerano due masse ferme agli estremi di una molla compressa

CM fermo ⇒ P=0

0mm 2211 =+ vv

2

1

12

v

vmm −=


Centro di massa e Momento angolare

Ragionamenti analoghi a quelli fatti per la quantità di moto

possono essere fatti per il momento angolare di un singolo

punto e del centro di massa.

iiii m vrL ×=

LLvr ==× ∑∑i

i

i

iii m

Anche in questo caso possiamo vederne il comportamento al variare del tempo:

∑∑ ×==i

iii

i

i mdt

d

dt

d

dt

dvrL

L

A.Romero 12

Proseguendo con i calcoli.

=×== ∑∑i

iii

i

i mdt

d

dt

d

dt

dvrL

L

=×+×= ∑∑i

iii

i

iii

dt

dmm

dt

d vrv

r

∑∑∑ ×=×+×=i

iii

iiii

iiiFramrvmv

∑∑ ×+×=ji

jii

i

e

ii

,

,

)(FrFr


Essendo il sistema di riferimento inerziale:

)I(i

)E(iiiiam FFF +==

=+×=∑i

)I(i

)E(ii )(

dt

dFFr

L

=0

Ipotesi: il polo O rispetto a cui si calcola il momento L sia fisso

)I(E)( MM +=

i,jij,ij(I)ji, FrFrM ×+×= =×−×= j,iij,ij FrFr =×− j,iij )( Frr j,i

Frji,×

0(I)ji, =M perchè

Momento delle forze interneMomento delle forze esterne

M(I)=0 infatti se si calcola la somma dei momenti delle due forze interne rappresentate in figura:

j,iji, //r F

ri,j



)I(E)(

dt

dMM

L+=

=0

)E(i

ii

E)(

dt

dFrM

L∑ ×==

Teorema del momento angolare

Se il polo O, rispetto a cui si calcola il momento L è fisso nel sistema di riferimento

inerziale, l’evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è

determinata dal momento delle forze esterne rispetto a O, mentre le forze interne non

portano contributi


E se il polo O si muove con una certa velocità vo?

oiii

dt

OPd

dt

dvv

r−==

Teorema del momento angolare

per un sistema di punti con O che si

muove con velocità vo

∑×−=i

iio

)E( vmvMdt

Ld

CMo)E( m

dt

dvvM

L×−=


=×== ∑∑i

iii

i

i mdt

d

dt

d

dt

dvrL

L=×+×= ∑∑

i

iii

i

iii

dt

dmm

dt

d vrv

r

=×+×−= ∑∑i

iii

iioi m)dt

dFrvv(v

L=+×+×−= ∑∑

i

)I(i

Eii

iiioi )(m) FFrvv(v

=+×+×−×= ∑∑ ∑i

)I(

i

E

iii

ioiii)(mm FFrvvvv

i

=0

)I()E(

iio

m MMvvi

++×− ∑

=0

Il termine 0m CMo =× vv

Se O coincide con CM:� vo=0

� vCM=0

� vo//vCM

In tutti questi casi:E)(

dt

dM

L=

Si muove sia O che Pi


In una situazione in cui valga:

0 se )E( =M 0=dt

dL

Conservazione del momento angolare

0m CMo =× vv

Se il momento delle forze esterne è nullo, il momento angolare rimane costante

E)(

dt

dM

L= tetancos=L

Il momento delle forze nei seguenti casi:

� Non agiscono forze esterne: sistema isolato. In questo caso M=0, per qualsiasi polo O,

per cui valga:

� Il sistema non è isolato ma il prodotto vettoriale In questo caso M=0

rispetto ad un determinato O ma non rispetto a qualsiasi polo. In questo caso si ha

conservazione del momento angolare solo se calcolato rispetto a quel dato polo O

0dt

d )E(i

ii

E)( =×== ∑ FrML

0m CMo =× vv

0)E(

ii

i =×∑ Fr

CMo)E( m

dt

dvvM

L×−=


Sistema di riferimento del centro di massa Sistema di riferimento del centro di massa: è un sistema avente il

centro di massa come origine e gli assi fissi nella direzione

degli assi di un sistema Oxy inerziale.

Il Sistema di riferimento del centro di massa è in genere non

inerziale ma traslatorio CMrr'r +=

Dal teorema delle velocità relative con ωωωω=0: CMvv'v +=

Nel sistema del centro di massa O’=CM, � 0CM =r' 0CM =v'

'r

y

x

'y

'xO

CMr

i

CMr

0m

m

'

ii

iii

CM ==∑

∑ r'

r 0mi

ii =∑ r'

0m

m

'

ii

iii

CM ==∑

∑ v'

v 0mi

ii =∑ v' 0mi

ii ==∑ v'P'

Nel sistema del centro di massa la quantità di

moto totale del sistema risulta nulla

0mi

ii=∑ a'

0CM =a'

0m

m

'

ii

iii

CM ==∑

∑ a'

a


Sistema di riferimento del Centro di massa

2) Il teorema del momento angolare sussiste anche per il

sistema non inerziale del centro di massa purché CM sia

il polo rispetto a cui si calcolano i momenti

1) Il momento risultante è uguale al momento delle

forze esterne senza il contributo di forze inerziali

La forza che agisce su ogni punto può essere espressa come:

iim a''Fi = CMi)E(

i)I(

i m aFF −+=

e sommando su tutti i punti:CM

)E(

iCMi

)E(mm( aR)aR −=− ∑=∑ iim a' 0=

Perché a’CM=0

Inoltre si può dimostrare che nel sistema del centro di massa:

)E(i

ii

E)( Fr'M' ∑ ×=

E)(

dt

dM'

L'=

( )'OO'OO

amFaam'am'Frrrrrr

−=−==


Teorema di König del momento angolare

Momento totale, considerando come polo

l’origine O del sistema inerziale:

∑ ×=i

iii m vrL0

+=

+=

iCMi

iCMi

'

'

vvv

rrrcon

( ) ( )=+×+=∑i

iCMiiCM m ''

0 vvrrL

'CM0 LPrL +×=

=×+×+×+×= ∑∑∑∑i

iii

i

CMii

i

iiCM

i

CMiCM mmmm '' '' vrvrvrvr

I Teoremi di Konig forniscono per il momento angolare e per l’energia cinetica, una

relazione tra il valore misurato in un sistema inerziale e quello misurato nel centro di massa.

'r

y

x

'y

'xO

CMr

i

CMr

=L’ momento angolare rispetto al CM=0=P

'CM LL +=

dove abbiamo definito il momento angolare del centro di massa:

Che rappresenta il momento, rispetto all’origine del sistema inerziale di un punto materiale che

coincide con il centro di massa ed ha come massa la massa totale del sistema

PrL ×= CMCM

'CM0 LL +=L Teorema di König


Teorema di König per l’energia cinetica

+=

+=

iCMi

iCMi

'

'

vvv

rrr

( ) =+== ∑∑i

2iCMi

i

2iicin 'm

2

1vm

2

1E vv

Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa succede per l’energia cinetica.

=++= ∑∑∑i

iCMii

2

iii

2

CMi'vvm'vm

2

1vm

2

1

∑+=i

2ii

2CMcin 'vm

2

1vm

2

1E

∑=i

2iicin vm

2

1ENel sistema inerziale: con:

E’cin :calcolata nel sistema di

riferimento del centro di massaECM: Energia cinetica del

centro di massa=0, perchè Σmivi

’=0

cinCMcin 'EEE +=

Teorema di König


Teorema dell’energia cinetica

Calcoliamo il lavoro associato al moto di un sistema di punti materiali.

Per il singolo punto Pi:

(int)

idWIl termine è formato da termini del tipo:

( )j,ij,iijj,iii,jjj,i

rdFrdrdFrdFrdF =−=+

NOTA: la struttura di dWi(int) implica che il lavoro delle forze interne è legato al

cambiamento delle distanze mutue tra i vari punti.

Se queste non possono variare come avviene nel corpo rigido (che vedremo dopo) ⇒W(int)=0

Γi

(int)

i

)E(

ii

(int)

ii

)E(

iiiidWdWddddW +=+== rFrFrF

Sommando su tutti i punti e integrando lungo le traiettorie

Γi percorse, si ottiene il lavoro totale:

(int))E( WWW +=


Teorema dell’energia cinetica

iii ddW rF=

∑∑ −=i

2

A,iii

2

B,iivm

2

1vm

2

1W

Riprendiamo l’espressione del singolo dWi:

Sommando su tutti i punti e integrando, si ottiene:

A,kB,k EE −==+ (int))E( WW

Se tutte le forze agenti sull’intero sistema sono conservative si

ha la conservazione dell’energia meccanica del sistema

ii

i rddt

vdm= iii vdvm=

costEEEEB,pB,kA,pA,k=+=+

e nel caso in cui siano presenti forze non conservative

pk EEW ∆−=∆=

( ) ( )A,pA,kB,pB,knc

EEEEL +−+=


Sistemi di forze applicati a punti diversi

Indichiamo con R la risultante delle forze

applicate ad un sistema di n punti

E con M il momento risultante della forza

calcolato rispetto al polo O

∑=i

iFR

∑ ×=i

iiO FOPM

Se si calcola M rispetto al polo O’: ∑ ×=i

ii'O Fr'M

∑ ×+=i

iiO ) Fr'(OO'MOO'r'r +=Tenendo conto che: ∑∑ ×+×=i

iii

i Fr'FOO'

O'MROO'M +×=O

Il momento dipende dal polo scelto a meno che non sia R=0

Se R=0O'MM =0

∑ ×=i

ii Fr


Sistemi di forze applicati a punti diversi:

coppia di forze

O'MROO'M +×=O Se R=0O'

MM =O

Coppia di forze: sistema formato da due forze uguali e di verso opposto, aventi in

generale una diversa retta di azione

La distanza tra le due rette di azione è detta braccio della coppia: b

Nel caso di una coppia di forze R=0,

perché le forze sono uguali ed opposteM è indipendente dalla scelta del polo O

�Calcolo MP1 rispetto a P1 � modulo F.b.sen 90o e il segno è quello della

figura

M è un vettore con le seguenti caratteristiche:

� direzione ortogonale al piano individuato dalle forze

� verso dato dalla regola della mano destra

� modulo pari a bF


Sistemi di forze parallele

u)F(ru)F(i

ici

iiO

rrrr∑∑ ×=×= rM

CMcr

m

m

m

mr ===

∑

∑

∑

∑

ii

iii

ii

iii

r

g

rgrr

Indichiamo con R la risultante delle forze parallele che

ha quindi direzione fissa lungo il versore u

E con M il momento risultante calcolato rispetto

a un polo O. M è perpendicolare a u cioè a R

u)F(i

ii

i

r∑∑ == FR

u)F(uFi

iii

iiO

rrrr∑∑ ×=×= rrM

Quindi applico R in punto C tale che se

si calcola M rispetto al polo O ho

RrROCc×=×=M

∑

∑=

i

ii

r

i

i

c

F

Fr

r

Quindi

Se tali forze sono le forze peso ottengo

gmrgmOCCM

rr×=×=M

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