DINAMICA RELATIVA

Cinematica relativa:

Teorema di Galileo:

Dimostrazione: derivo:

utilizzando le formule di Poisson:

ricaviamo che:

dunque la nostra velocità assoluta risulta:

Teorema di Coriolis:

Dimostrazione:

derivando due volte rispetto al tempo:

Dinamica relativa:

SISTEMI RIGIDI

Atto di moto rigido: insieme di tutte le velocità dei punti di un sistema che istante per istante può essere considerato

rigido.

Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché l’atto di moto sia rigido è: , cioè che i

due punti abbiano uguale componente della velocità lungo la loro congiungente.

- condizione necessaria: . Dimostrazione:

- condizione sufficiente: . Dimostrazione:

Teorema: in ogni istante esiste ed è unico un è la relazione fondamentale

dell’atto di moto rigido.

Dimostrazione [unicità]: se esistono e

Dimostrazione [esistenza]:

Derivo le tre relazioni:

Applico la proprietà:

è vera se e solo se

.

L’invariante scalare dell’atto di moto rigido è espresso da:

L’atto di moto si dice:

- Traslatorio: se tutti i punti hanno uguale velocità

- Rotatorio: se esiste almeno un punto con velocità nulla

- Elicoidale:

Teorema (asse di moto o di Mozzi): esiste un asse diretto come

i cui punti

hanno

Dimostrazione: . Moltiplico vettorialmente per

.

Applico la proprietà:

MOTO PIANO

Teorema di Eulero: nel caso piano, l’atto di moto è o traslatorio o rotatorio. Dimostrazione:

Dimostrazione:

- atto di moto traslatorio .

Dimostrazione:

- atto di moto rotatorio ed è definito il centro di istantanea rotazione.

Dimostrazione: rotatorio:

Dimostrazione: bisogna verificare che abbia soluzione

perché esista

esiste un asse

.

ammette soluzione e ci permette di calcolare un punto l’atto di moto è rotatorio.

Teorema di Chasles: se conosco le direzioni delle velocità di due punti qualsiasi del c.r., allora il C.I.R. si troverà

nell’intersezione delle due perpendicolari alle velocità.

Dimostrazione:

disegno

Basta conoscere la direzione delle velecità.

C.I.R. :

Base: luogo dei punti tracciati dal C.I.R. rispetto ad un riferimento fisso.

Rulletta: luogo dei punti tracciati dal C.I.R. rispetto ad un riferimento solidale al corpo rigido.

Durante il moto sono a contatto e rotolano una sull’altra.

C.I.R.: punto che istante per istante ha velocità nulla. In generale, la sua accelerazione è diversa da 0.

Ca è il centro delle accelerazioni, definito istante per istante, in cui l’accelerazione è pari a 0:

Il C.I.R. non appartiene al corpo rigido.

DINAMICA DI SISTEMI DI PUNTI

Prima equazione cardinale o Teorema della quantità di moto:

Dimostrazione:

Oppure partendo da R: Dimostrazione:

Risultante delle forze interne:

dovuta a la forza dovuta all’interazione tra due punti

non risente degli altri punti interni al sistema.

per il principio di azione e reazione:

Momento risultante delle forze interne:

Considero:

Sostituisco nella 1°:

Seconda equazione cardinale o Teorema del momento della quantità di moto:

dove

Dimostrazione:

Seconda equazione cardinale (con G): tesi: dove

Dimostrazione:

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Baricentro in un continuo:

Se il corpo è omogeneo, la densità

.

Per un corpo rigido,

condizione di rigidità. Sostituiamo

Sappiamo che :

.

Quindi

Momento di inerzia:

Teorema di Huyghens:

Dimostrazione:

.

Posso spostare il momento di inerzia da un asse baricentrale ad un qualsiasi asse parallelo.

Momento della quantità di moto rispetto ad un qualsiasi punto K:

Siccome

Applicando la proprietà:

.

Se

Prima equazione cardinale:

Seconda equazione cardinale:

Energia Cinetica: per il c.r.:

Dimostrazione:

Applico la proprietà:

. Applichiamo la proprietà:

Nel caso piano: Teorema di König:

Lavoro: non è un differenziale esatto: .

il lavoro dipende dal percorso nel caso non conservativo.

è conservativa e quindi differenziale esatto.

. Sappiamo che le derivate seconde miste

sono uguali:

è conservativa.

differenziale del potenziale

questo risultato vale per forze conservative in

cui il lavoro dipende solo dalla posizione finale e da quella iniziale e non dal percorso:

Caso particolare: per vincoli ideali fissi e forze conservative:

dice che l’energia meccanica si conserva

durante il moto.

Teorema dell’energia cinetica:

moltiplico scalarmente:

Se il punto è isolato:

Legame energia cinetica con potenza delle forze attive:

Dimostrazione: per vincoli ideali fissi:

S equipollente S’: se uno può essere trasformato nell’altro con una successione di operazioni invariantive

(traslazione e scorrimento). Ad ogni sistema possiamo associare un vettore risultante rispetto ad un polo O qualsiasi. Il

momento risultante è la somma dei singoli momenti, che di solito è diverso dal momento della risultante.

se le rispettive risultanti sono uguali ed anche i loro momenti rispetto ad un polo qualsiasi:

Sistemi di forze equipollenti: due sistemi di forze sono equipollenti se e solo se rispetto ad uno

stesso polo.

Teorema: siano i vettori caratteristico del sistema S, e sia l’invariante

scalare

a) equivale al sistema nullo. Dimostrazione:

equilibrio o moto rettilineo uniforme

b) equivale ad una coppia, come se avessimo due forze uguali e contrarie applicate a due

punti diversi.

Dimostrazione:

il momento non dipende dal polo:

c) equivale ad un sistema composto da un solo vettore, pari a R, applicato in un

punto della retta di applicazione della risultante.

Dimostrazione:

moltiplico vettorialmente per

d) equivale ad un sistema composto da un vettore R più una coppia.

Dimostrazione: moltiplico vettorialmente per

Questa retta non è quella di applicazione della risultante ma quella per cui i momenti sono minimi.

MECCANICA ANALITICA

Spostamento virtuale: è uno spostamento infinitesimo compatibile con i vincoli del sistema [vincolo bilatero:

spostamento reversibile; vincolo unilatero: spostamento irreversibile]:

Velocità virtuale: qualsiasi velocità del punto compatibile con il vincolo:

Lavoro virtuale:

Potenza virtuale:

Equazione fondamentale della dinamica:

moltiplico scalarmente per la velocità

virtuale:

relazioni simboliche pure della dinamica

Equilibrio: (condizione necessaria e sufficiente)

- Vincoli unilateri:

- Vincoli bilateri:

Per il corpo rigido:

Equazione fondamentale della dinamica: vincoli olonomi,

. Dalla relazione simbolica della

dinamica:

. Lo spostamento effettivo:

. Sostituendo:

. Svolgiamo le

due sommatorie separatamente:

dove

Ricomponendo le due sommatorie:

equazione pura di moto

Equazioni di Lagrange: forma non conservativa

Utilizziamo due proprietà:

. Sapendo che

equazione di Lagrange

Equazioni di Lagrange: forma conservativa

dove

Sappiamo che . Eguaglio:

Sostituiamo nell’equazione di Lagrange:

.

Essendo:

poiché se deriviamo

quindi scriviamo cmq .

Principio dei lavori virtuali:

Per l’equilibrio,

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema è che il lavoro delle sollecitazioni virtuali sia nullo.

MOTI CENTRALI

il moto si dice centrale e O è il centro del moto. Da Newton possiamo dire che

. Sviluppiamo:

. Chiamiamo

vettore costante in modulo, direzione e verso.

Sappiamo che e che

Il vettore è sempre , quindi P si muove in un piano che contiene il centro del moto e sempre . Allora

possiamo dire che il moto del punto è un moto piano e in quanto tale possiamo usare le coordinate polari.

Oppure studiando l’accelerazione:

L’area spazzata dal raggio vettore mentre P compie quell’arco di traiettoria viene approssimata con l’area del settore

circolare:

.

Velocità areolare:

, a meno di

si vede che quindi chiamiamo c costante delle aree.

E’ vero anche il contrario, cioè se il moto è piano e allora si dimostra che il moto è centrale:

il moto è centrale.

Condizione necessaria e sufficiente perché un moto piano sia centrale è .

Conoscendo , possiamo usare per descrivere la cinematica del sistema in funzione di .

, sapendo che

MOTO DEI PIANETI DI KEPLERO

1) Ogni pianeta in moto intorno al Sole si muove lungo un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Ci dice,

quindi, che il moto è piano.

2) La congiungente del Sole con il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, quindi e . La

seconda insieme alla prima ci dice che il moto è centrale ed il Sole è il centro del moto.

Applichiamo Binet:

Quindi

3) Per ogni pianeta:

Nell’ellisse:

Forza di interazione Pianeta-Sole:

Così anche forza agente sul Sole:

Per azione-reazione:

costante di

attrazione universale. Sostituendo:

legge di gravitazione

universale.

Se un punto è molto vicino alla superficie terrestre si può approssimare la distanza al raggio della sfera quindi:

accelerazione gravitazionale.

PUNTI ISOLATI (PROBLEMA DEI DUE CORPI)

Derivo due volte:

quindi

quindi o moto rettilineo uniforme.

Definiamo

chiamo

massa ridotta

Ricavo:

Vediamo muoversi intorno a come se avesse massa . Quindi è il centro di moto.

Equazioni di Eulero: O fisso e G=O . Se utilizziamo la terna solidale con il c.r., una terna tale per cui il tensore è

diagonalizzabile.

Ricaviamo così le equazioni di Eulero:

Energia cinetica per il corpo rigido tridimensionale (vedi anche teorema di König):

. Applico la proprietà:

in forma matriciale

MOTO DI UN CORPO RIGIDO CON PUNTO FISSO O ASSE FISSO

Per i moti di inerzia:

Vediamo se è costante e dunque il moto è uniforme.

1) Simmetria sferica (corpo sferico)): le equazioni di Eulero sono:

sono costanti

nel tempo

abbiamo un moto rotatorio uniforme, con rotazioni permanenti attorno all’asse iniziale.

2) Simmetria assiale (struttura giroscopica): l’asse di simmetria assiale è asse principale di inerzia ed è chiamato “asse

giroscopico”. le equazioni di Eulero sono:

. La componente secondo asse z è

costante:

chiamiamo

deriviamo:

Sostituiamo e

sono equazioni dell’oscillatore armonico. Risolvo:

con le condizioni iniziali:

La componente di lungo z è:

(perché rapporto tra quantità costanti).

Durante il moto l’asse di istantanea rotazione disegna un cono circolare di semiampiezza attorno all’asse z e si muove

con il nostro c.r. (cono mobile rispetto all’asse giroscopico).

dove è diretto lungo Z

descrive anche un cono circolare attorno all’asse Z fisso di semiampiezza . Questo cono è fisso perché l’asse Z è

fisso. Questi due cono si chiamano coni di Poinsot, di cui uno mobile e l’altro fisso. Sono sempre a contatto tra loro in

corrispondenza dell’asse di istantanea rotazione. Il cono mobile rotola senza strisciare sul cono fisso.

è il vettore al piano contenente e , infatti:

non ha componenti lungo questi vettori sono tutti complementari che

contiene tutti e tre i vettori ( è tra l’asse giroscopico e asse fisso).

l’asse giroscopico compie un moto di precessione attorno all’asse fisso. Il moto non è rotatorio uniforme

perché in modulo ma non in direzione, così il moto è di precessione.

Se prendiamo e diretti come degli assi principali di inerzia allora il moto sarebbe uniforme.

3)

Ricaviamo:

dipendono da r.

Intorno a z ci sarà ancora un cono ma non più a sezione circolare ma irregolare, lo stesso attorno a Z e z attorno a Z.

Avremo moto proprio attorno a z, moto di precessione attorno a Z e di nutazione dovuto a , dove .

Si può avere moto rotatorio uniforme se all’istante iniziale è diretto come uno degli assi principali di inerzia.

STABILITA’:

Stabilità di Lyapunov: Consideriamo un sistema:

con soluzione la soluzione è stabile se

dato un tale che data un’altra soluzione all’istante

Se esiste allora l’unica soluzione è stabile, se non esiste è instabile.

Se esiste allora l’unica soluzione è stabile.

1° metodo di Lyapunov:

. La soluzione sarà: è stabile?

Generica soluzione perturbata: perturbazione abbastanza piccola

è una linearizzazione (approssimo f con la tangente)

Piano tangente (per n gradi di libertà):

matrice dei coefficienti trovo la

soluzione, cioè studio gli autovalori di

Teorema: se la soluzione del sistema linearizzato è asintoticamente stabile, allora lo è anche quella del sistema

originario. Se la soluzione del sistema linearizzato è instabile, allora lo è anche quella del sistema originario.

Piccole oscillazioni attorno all’equilibro stabile usando la Lagrangiana ridotta:

La Lagrangiana ci fornisce N equazioni pure di moto.

Per un sistema olonomo, non dissipativo e conservativo, all’equilibrio

Applichiamo alla posizione di equilibrio:

Linearizziamo:

tante equazioni per ogni indice i, che è sistema linearizzato.

Poniamo:

reali perché A,B simmetriche e A definita positiva.

INSTABILE: se instabile e cresce . U ha un minimo quindi la soluzione di equilibrio è

instabile.

STABILE: se immaginari: le perturbazioni sono periodiche e rimangono piccole nel tempo ed

attorno all’equilibrio abbiamo un moto oscillatorio, dato dalle combinazioni di più moti oscillatori, con pulsazione:

. Anche gli autovalori di B sono

negativi quindi U ha un massimo. Non si tratta di equilibrio asintoticamente stabile perché decresce ma mai 0.

INSTABILE: se , U ha una sella in corrispondenza di questo , le perturbazioni non è detto che rimangano

piccole e non è detto che sia stabile, allora secondo Lyapunov è instabile.

Teorema di Dirichlet: Un sistema olonomo, soggetto a forze attive e conservative e vincoli fissi non dissipativi, ha una

configurazione di equilibrio stabile se in corrispondenza di questa configurazione la funzione potenziale ha un massimo.

Teorema di Lyapunov: Un sistema olonomo, soggetto a forze attive e conservative e vincoli fissi non dissipativi, è

instabile se nella configurazione di equilibrio non ha un massimo stretto nel potenziale.

2° metodo di Lyapunov:

MECCANICA DEI CONTINUI DEFORMABILI: infiniti gradi di libertà perché ciascun punto si muove in maniera autonoma

rispetto agli altri. Condizione di incomprimibilità:

Sia un campo vettoriale in un volume , con , e sia

in ogni punto

del volume.

Teorema di Green: ,

Teorema di Gauss o del flusso:

è il flusso uscente

Teorema di Reynolds o del trasporto:

Dimostrazione: nozioni da sapere:

Postulato di conservazione della massa: data una porzione di fluido associato ad un volume qualsiasi, la massa di

quella porzione è costante nel tempo:

Dimostrazione:

applico il teorema del trasporto:

equazione di conservazione della massa o di continuità.

Incomprimibilità:

Postulato delle equazioni cardinali: per ogni volume di continuo deformabile, valgono le equazioni cardinali nelle quali

prendono parte tutte le forze considerate, sia quelle esterne che quelle esercitate sul volume considerato dai volumi

adiacenti (forze di volume).

I equazione:

Dimostrazione:

II equazione: