1. Introduzione: il dibattito del1905Cento anni fa la rivista tedesca«Annalen der Physik» diede spa-zio, nello stesso volume del 1905in cui Albert Einstein pubblicò isuoi primi cinque articoli «rivo-luzionari», ad un dibattito tra trefisici, Denizot, Rudzki e Tesar,sulla corretta interpretazionedell'effetto Coriolis, ed in parti-colare sul modo in cui esso si ma-nifestava nell'esperienza delpendolo di Foucault. Il dibattitoera complicato da molti argo-menti collaterali, ma il problemaprincipale restava il seguente:se, come spesso si affermava, ilpiano di oscillazione del pendoloera fisso relativamente alle stel-le, perché allora il suo periodo dirotazione non era lo stesso, ovve-ro un giorno sidereo (23 ore e 56minuti), in ogni luogo della terrae non solo ai poli?Al contrario, il periodo era di 28ore a Helsinki, 30 ore a Parigi e48 ore a Casablanca, cioè pari algiorno sidereo diviso per il senodella latitudine. All'equatore ilperiodo era infinito; non c'era de-viazione. Questo poteva solo si-

gnificare che il piano di oscilla-zione effettivamente ruotava ri-spetto alle stelle. Ma come pote-va allora, si diceva, una forzainerziale «fittizia» essere respon-sabile della rotazione?Cento anni dopo, i cinque artico-li einsteniani degli «Annalen derPhysik» del 1905 si possono rite-nere acquisiti nell'insegnamentodella fisica elementare, mentreprofessori e studenti, proprio co-me Denizot, Rudzki e Tesar,combattono ancora per venire apatti con l'effetto Coriolis. Que-sto articolo tenterà di spiegare gliaspetti complessi e contradditto-ri che si incontrano nella com-prensione del meccanismo di de-viazione nei sistemi rotanti. Maprima, può essere opportuno unripasso di ciò su cui c'è generaleaccordo.

2. L'effetto Coriolis - nozioni dibaseUn corpo (di massa m) che è sta-zionario in un sistema rotante( ΩΩ

W

) ad una distanza R dal cen-tro della rotazione appare, ad un

osservatore che prende parte al-la rotazione, sottoposto ad unaforza fittizia :

la cosiddetta forza centrifuga. Seil corpo non è stazionario, ma simuove (Vr) relativamente al si-stema in rotazione, appare in-fluenzato da una ulteriore forzafittizia

la cosiddetta forza di Coriolis.Il prodotto vettoriale ( X ) indicache F è perpendicolare non soloall'asse di rotazione ma anche almoto relativo1 . Un corpo in mo-vimento viene perciò forzato a se-guire un percorso circolare, «cer-chio di inerzia», con raggioR=Vr/2Ω e periodo T= π/Ω (la ve-locità angolare delle oscillazioniinerziali è doppia rispetto a quel-la di rotazione, ndr) . In contrastocon la «normale» inerzia, che si

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L'effetto Coriolis - un conflitto tra senso comune e matematicaAnders Persson, Istituto Svedese di Meteorologia e Idrologia, Norrköping, SveziaTraduzione di Gian Paolo Minardi, Servizio Meteorologico Regionale, ARPA Lombardia

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Nel diciottesimo secolo il problema di stabilirela posizione longitudinale durante la naviga-zione era di primaria importanza. Uno dei me-todi in uso richiedeva misure molto accuratedel tempo (cronologico). Nel 1847 il matemati-co francese Poisson stabilì che il movimento diun pendolo semplice non è influenzato dalla ro-tazione della terra. Solo quattro anni più tardiun altro scienziato francese, Focault, potè di-mostrare che le cose andavano proprio così.Nonostante la deviazione in una oscillazionefosse minuta, oscillazioni successive avrebbe-ro accumulato e sommato gli effetti cambiandol'oscillazione in modo considerevole. Dal mo-mento che Focault misurò un periodo di 30 oreegli pensò che più o meno esso fosse propor-zionale all'inverso del seno della latitudine. Inrealtà ciò era in conflitto con la sua stessa spie-gazione fisica secondo cui il piano di oscillazio-ne rimarrebbe fisso rispetto alle stelle fissementre la terra ruota al di sotto di esso. Il fattoche esso ruoti rispetto alle stelle indica che unaforza reale compie del lavoro, e questa forza rea-le è la componente della gravitazione perpendi-colare all'asse di rotazione. Solo ai poli questacomponente è zero e, solo ai poli, il piano dioscillazione mantiene la sua orientazione ri-spetto alle stelle. L'esperimento di Focault fusalutato come la prova risolutiva che Galileoaveva ragione e la Chiesa torto riguardo alla ro-tazione della terra. Tuttavia, se l'esperimentofosse stato condotto ai tropici dove il periodo ec-cede i tre giorni, il legame con la rotazione ter-restre sarebbe stato meno ovvio e il valore pro-pagandistico molto inferiore.

(1)Anche perquesto motivo,e non solo per-ché la forza èinerziale, laforza di Corio-lis non compiealcun lavorosul corpo, cioènon cambia lasua velocità(energia cineti-ca) ma solo ladirezione delmoto. L'affer-mazione che laforza di Corio-lis «non compiealcun lavoro»non va confusacon «non faniente».

Il Pendolo di Foucault (Valentina Acordon - SMI)Nel 1851 Jean Bernard Leon Foucault installò nella cupola delPantheon di Parigi un pendolo costituito da un cavo di 67 metri al-la cui estremità era appesa una palla di cannone dotata di unapunta di ferro che, durante le oscillazioni, lasciava una traccia suuno strato di sabbia cosparso sul pavimento. Osservando le trac-ce lasciate dal pendolo sulla sabbia si notava, dopo un periodo ditempo sufficientemente lungo, una apparente rotazione in sensoorario del piano di oscillazione del pendolo.Se la terra non ruotasse, il pendolo, lasciato libero in A oscillereb-be sempre lungo la direzione AB.In realtà al termine di ciascuna oscillazione il pendolo non si ri-porta più nel punto di partenza A, ma si trova rispettivamente inA', A'' ecc. Si osserva quindi una progressiva deviazione verso de-stra della direzione di oscillazione del pendolo, dovuta all'accele-razione di Coriolis, che dà quindi luogo ad una apparente rota-zione in senso orario del piano di oscillazione del pendolo.

AB

A'

A''

A'''

oppone ai cambiamenti nel motodi un corpo, la forza inerziale diCoriolis oppone resistenza aglispostamenti tentando di riporta-re il corpo al punto di partenza.In natura, l'esempio più chiarodell'effetto Coriolis è costituitodalle oscillazioni inerziali neglioceani (fig. 1).

Qualsiasi derivazione matemati-ca o spiegazione intuitiva dellaforza di Coriolis che sia in conflit-to con la nozione di moto inerzia-le circolare è fuorviante, incom-pleta o sbagliata.

La formulazione per mezzo delprodotto vettoriale ci dice che laforza di Coriolis raggiunge il suo

massimo valore quando il moto èperpendicolare all'asse di rota-zione, e si annulla per tutti i mo-ti paralleli ad esso. Solo i moti, ocomponenti del moto, perpendi-colari ad Ω vengono deviati(fig.2). I moti verticali ai poli nonvengono deviati, ma all'equatorelo sono completamente. D'altraparte, i moti orizzontali sonomassimamente deviati ai poli,ma all'equatore lo sono solo quel-li in direzione est-ovest, deviativerticalmente (effetto Eötvös, ve-di poi) (fig. 2).Un moto parallelo ad una latitu-dine (u) è sempre perpendicolareall'asse di rotazione e risultaquindi massimamente deviato(2 Ωu) poiché la sua direzione èdirettamente uscente dall'asse;la componente di questa accele-razione lungo la superficie terre-stre alla latitudine φ è 2Ω usenφ .Un moto lungo una longitudine(v) ha una componente, vcosφ ,che è parallela all'asse di rotazio-ne e non è affetta da deviazione.L'altra componente (vsenφ), es-sendo perpendicolare all'asse dirotazione è completamente de-viata con valore 2Ωvsenφ. Questospiega perchè la forza di Coriolissu un pianeta in rotazione variacon il seno della latitudine φ , F=-2mΩsenφVr, la «legge del seno».Così, per esempio, alla latitudinedi 43° (corrispondente all'Italiacentrale) dove 2Ωsinφ è appros-simativamente uguale a 10-4s-1,

NIMBUS 37-38 METEOROLOGIA

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(2) I termini diCoriolis tri-di-mensionali o,come li chia-mava Lord Kel-vin, termini gi-roscopici, gio-cano un ruoloimportante nel-le leggi genera-li che riguarda-no la stabilitàdi tutti i sistemirotanti, peresempio è l'ef-fetto Coriolistri-dimensio-nale che forni-sce una «resi-stenza girosco-pica» alle trot-tole dei bambi-ni.

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

kilometri

kilo

met

ri

29 Luglio00 UTC

25 Luglio00 UTC

27 Luglio00 UTC

25-29 Luglio: la boa è trasportata dallecorrenti marine e nello stesso temporuota su cerchi di inerzia di circa 1,5 kmdi raggio e con periodo di circa 13 ore

25 Luglio 05 UTC:il vento diminuisce, mala boa continua amuoversi a 10-15 cm/sed è deviata versodestra dalla forza diCoriolis

25 Luglio 00-05 UTC:venti freschi trasportano laboa verso est a 25/30 cm/s

1. Una boa mobile messa in movimento da forti venti occidentali nel Mar Balticonel luglio del 1969. Quando il vento diminuisce, gli strati più superficiali delleacque oceaniche tendono a muoversi per inerzia seguendo approssimativamentedei cerchi d'inerzia. Questo si riflette sul moto delle boe mobili. Nel caso ciò av-venga in presenza di correnti oceaniche stazionarie le traiettorie diventano deicicloidi (adattato da, Barry Broman, SMHI, per gentile concessione)

W-2W x V

Deviazione massimaNessuna deviazione

EFFETTO DELLA ROTAZIONE TERRESTRE SU QUALSIASI MOTO

2. L'espressione per mezzo del prodotto vettoriale signi-fica che tutti i moti perpendicolari all'asse terrestre ri-sultano essere deviati, quelli paralleli ad esso non losono.Tab.1. La relazione tri-dimensionale tra il moto su unpianeta rotante e la deviazione di Coriolis. Il numero 0significa nessuna deviazione, 1 significa deviazionenella direzione indicata e -1 nella direzione opposta.(Per esempio il -1 nella prima riga rappresenta sia motidiretti ad est deviati verso sud, sia moti diretti ad ovestdeviati verso nord). Le deviazioni che implicano motiverticali sono proporzionali al coseno della latitudine,mentre quelli che non implicano moti verticali sono pro-porzionali al seno della latitudine.

Il Prodotto vettoriale (Valentina Acordon - SMI)Per rappresentare le grandezze fisiche caratterizzate da una in-tensità, una direzione e un verso si usano i vettori. Generalmentei vettori si indicano con delle lettere in grassetto (o sovrastate dauna freccetta) e si rappresentano graficamente con delle frecce(segmenti orientati), la cui lunghezza è proporzionale al modulo(cioè all’«intensità») del vettore. Dati due vettori a e b che formano tra di loro un angolo φ, si defi-nisce il loro prodotto vettoriale (o esterno)

a X bil vettore c avente modulo pari a c=absenφ, direzione perpendico-lare al piano che contiene i vettori a e b e verso (entrante o uscen-te dal piano) determinato dalla cosiddetta «regola della mano de-stra»: se facciamo coincidere l'indice e il medio della nostra manodestra con direzione e verso rispettivamente di a e b la posizionedel pollice indica direzione e verso del vettore c.Il valore del seno di un angolo varia sempre tra -1 e 1. Vale zeroquando l'angolo è nullo o è piatto e vale ± 1 quando l'angolo è pa-ri a ±90°. Ne deriva che il prodotto esterno è minimo quando l'an-golo φ è uguale a zero(cioè quando i due vettorisono tra loro paralleli), edè massimo quando l'an-golo φ è uguale a ±90°(cioè quando i due vettorisono tra loro perpendico-lari). Nel caso dell'accele-razione di Coriolis i vetto-ri a e b rappresentano ri-spettivamente la velocitàdi rotazione della terra ela velocità relativa di unpunto rispetto alla terra;l'angolo è la latitudine al-la quale avviene il moto,quindi l'accelerazione diCoriolis sarà massima aipoli e minima (uguale azero) all'equatore.

Moto diretto a Nord

Moto diretto a Est

Moto diretto verso il basso

Deviazione verso Nord

0 -1 0

Deviazione verso Est

1 0 1

Deviazione verso il basso

0 -1 0

a

b

f

c=axb

un moto con velocità di 10 m/spercorrerebbe un cerchio d'iner-zia di 100 km di raggio effettuan-do un'orbita completa in quasi14 ore.Ma l'effetto Coriolis è solo unaparte di un meccanismo di de-

viazione in realtà tri-dimensio-nale2 . Possiamo riassumere ledeviazioni tri-dimensionali diCoriolis per i differenti moti inuna tabella dove i termini mate-matici sono indicati, per sempli-cità, solo con il loro segno (tabel-la 1).Il meccanismo di deviazione tri-dimensionale fu scoperto e di-scusso in varie epoche storiche:la deviazione orizzontale del mo-to verticale tra il 17° e l'inizio del19° secolo, la deviazione vertica-le del moto orizzontale nel tardo19° secolo e la deviazione oriz-zontale del moto orizzontale fudiscussa a partire dai primi annidel 18° secolo fino ai giorni no-stri.

3. La deviazione orizzontaledel moto verticale: come New-ton quasi scoprì l'effetto Co-riolisNel diciassettesimo secolo la pos-sibile deviazione di oggetti in ca-duta era uno dei principali pro-blemi scientifici. Era infatti con-siderato un modo, forse il mododefinitivo, per dimostrare o con-futare la teoria copernicana se-condo cui è la Terra che ruota enon le stelle. Gli anti-copernica-ni sostenevano che, se la Terraruotava attorno al suo asse, unoggetto lasciato cadere da unatorre sarebbe «rimasto indietro»,cioè deviato verso ovest. Galileoasseriva che questo era sbaglia-to per il fatto che l'oggetto pren-derebbe parte alla rotazione ter-restre. Quindi, aggiungeva, dalmomento che la velocità di rota-zione in cima alla torre sarebbeleggermente più elevata che allasuperficie, l'oggetto in caduta inrealtà sopravanzerebbe la torreandando ad atterrare leggermen-te ad est di essa (fig.3).

Se traduciamo in termini mate-matici il ragionamento di Galileo,troviamo che un oggetto lasciatocadere da 100 m segue, visto daun osservatore esterno alla Ter-ra, un percorso parabolico. La

base della torre da cui è lasciatocadere lo seguirà, ma con una ve-locità leggermente inferiore.Quando l'oggetto toccherà terra,la base della torre sarà «in ritar-do» di 3 cm o, in altre parole, l'og-getto apparirà deviato di 3 cm.Ma in quel tempo valori così bas-si erano piuttosto difficili da con-fermare attraverso le misure. Inrealtà, la deviazione secondo ilmetodo di Galileo non è del tuttocorretta e risulta sovrastimatadel 50%. Questo si può comprendere indue modi, uno dei quali trattan-do la deviazione come conse-guenza dell'effetto Coriolis. Lavelocità verticale w=gt di un cor-po in caduta può essere scompo-sta in una componente wsenφ pa-rallela all'asse terrestre ed inun'altra componente, wcosφ,perpendicolare allo stesso asse.La prima non è deviata dal mo-mento che è parallela all'asse dirotazione, la seconda è deviataalla destra (est) , da una forza diCoriolis -2Ωwcosφ (per una mas-sa unitaria). Integrando questaespressione per il tempo di cadu-ta da un'altezza h si ottiene unadeviazione di

Un altro modo è quello di partiresempre dell'approccio di Galileo,ma questa volta considerandoche durante la caduta la gravitànon punta sempre la stessa dire-zione. A causa della forma dellaTerra essa cambierà, con unacomponente che punterà semprepiù indietro verso il punto di par-tenza (fig.4).L'accelerazione «all'indietro» ri-duce la deviazione di 3cm al va-lore di 2 cm, proprio come pre-scritto dall'effetto Coriolis. Mapiù interessante, ritardando nelsuo moto verso est, l'oggetto se-guirà, visto da un punto esternoalla Terra, un percorso ellittico. Iprimi a rendersi conto di questo

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ggg

g

più veloce

più lento

3. All'equatore, una torre di altezza h che ruota solidal-mente alla terra (di raggio R e velocità angolare Ω) hauna velocità di ΩR alla base e Ω(R+h) alla sommità. Unoggetto che cade dalla cima della torre con una accele-razione g avrà una velocità orizzontale di Ωh relativaalla base della torre che, nel tempo di caduta

porterà l'oggetto a percorrere una distanza orizzontale

Lontano dall'equatore la deviazione è proporzionale alcoseno della latitudine.

g

gg

g

g

4. La traiettoria di un oggetto in caduta, vista dall'ester-no del riferimento terrestre. A causa della curvaturadella terra l'oggetto è sotto l'azione di una componentedella gravità g che punta verso il centro della terra.Questa accelerazione diretta leggermente all'indietropuò essere scritta a= -gsenΩt~gΩt e, integrata su t,cioè sul tempo di caduta, dà

che sommato a

fornisce la corretta deviazione .

a) b)

5. a) la prima idea intuitiva di Newton fu che la traiettoria di un oggetto in cadutaseguisse una spirale verso il centro della terra, b) considerando solo la conserva-zione della velocità assoluta si ricaverebbe un percorso parabolico (linea tratteg-giata), mentre la vera traiettoria sarebbe una ellissi (linea continua).

NIMBUS 37-38 METEOROLOGIA

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L’esperimento di Guglielmini (Valentina Acordon - SMI) La velocità di rotazione della terra, ΩΩ

W

, si trova moltipli-cando l'inverso del periodo di rotazione T per 2ππ

p

. La terra compie una rotazione intorno al proprio asse in23 ore e 56 minuti, quindi in 86160 secondi((23*60)+56)*60).La velocità di rotazione è quindi:Ω = 2π /T = 2π * 3.14/ 86160= 7.29 * 10-5 rad/s (radian-ti al secondo).Un corpo lasciato cadere all'equatore da un altezza h=100metri, impiega un tempo

a raggiungere il suolo. L'accelerazione di gravità è g=9,81m/s2, quindi t= 4.5 sSubito prima di iniziare la caduta il corpo, che ruotava in-sieme alla terra ad una velocità angolare ΩΩ

W

, aveva una ve-locità tangenziale v maggiore di quella della superficie ter-restre, perché si trovava ad una distanza maggiore dal-l'asse di rotazione. La superficie terrestre all'equatore ruo-ta con una velocità tangenziale vS= ΩΩ

W

R, dove R è il raggioterrestre, mentre un corpo posto ad una altezza h, ha unavelocità tangenziale vH= ΩΩ

W

((R+h). La differenza tra le duevelocità, ovvero la velocità relativa di un punto posto aduna altezza h rispetto alla superficie terrestre, è v=ΩΩ

W

h=7.29*10-5rad/s*100 m= 0.00729 /s=0.729cm/s.

Durante la caduta il corpo verrà quindi deviato verso estdi S=v*t=0.729 cm/s * 4.5 s =3.28 cmEsprimendo S in termini matematici otteniamo:

Sostituendo i valori numerici troviamo:

Lontano dall'equatore la velocità tangenziale di un puntoin rotazione con la terra dipende dal coseno della latitudi-ne.Ad una latitudine φ , un punto sulla superficie terrestreha una velocità tangenziale vS= ΩΩ

W

Rcosφ, ad una altezza h,la velocità tangenziale è vH= ΩΩ

W

(R+h)cosφ . La differenza di velocità è quindi v= ΩΩ

W

hcosφ .La deviazione subita da un corpo dopo una caduta di 100metri sarà quindi

che è minore della deviazione osservata all'equatore ( in-fatti cosφ <1).Nel 1791 il matematico e astronomo Giovanni Battista Gu-

glielmini volle dimostrare la rotazione terrestre osservan-do la deviazione verso est di una palla di piombo lasciatacadere nel vano interno della Torre degli Asinelli a Bolo-gna. Guglielmini misurò una deviazione di circa 17 mm,in buon accordo con la teoria di Galileo.Infatti la latitudine di Bologna è φ= 44.5°, l'altezza del va-no interno della torre degli Asinelli è h=78m, da cui si ot-tiene una deviazione verso est pari a :

La teoria di Galileo però sovrastima la deviazione verso est;utilizzando invece correttamente la deviazione dovuta al-l'accelerazione di Coriolis (aco=2ΩΩ

W

wcosφ), si trova infattiun valore inferiore:

In realtà la deviazione effettiva è verso sud-est, perché bi-sogna anche tenere conto della deviazione verso sud (ver-so nord nell'emisfero sud) dovuta alla componente oriz-zontale nella direzione nord-sud dell'accelerazione centri-fuga. Questa è pari a Ω2Rcosφsenφ per la superficie ter-restre, Ω2 (R+h)cosφ senφ per un punto posto ad un'al-tezza h. La differenza di accelerazione tra i due punti èquindi acf =Ω2hcosφ senφ . La deviazione verso l'equatoredi un corpo che, nell'emisfero nord ad una latitudine φ ,cade da un'altezza h è pari aS2=0.5*acf*t2=( Ω2h2/g)cosφ senφ . Questa è però generalmente trascurabile; nel caso dell'e-sperienza di Guglielmini è infatti pari solo a:

S2=(7.29e-5 rad/s)2*(78m)2*cos(44.5)sen(44.5)//9.81ms-2 = 1.9*10-3 mm.

W

vh= W(R+h)

vs= WR

h

R

All’equatore un corpo posto in cima ad una torre alta h=100 metriha una velocità tangenziale di rotazione maggiore di quella che siha alla superficie terrestre. La differenza tra le due velocità tan-genziali è v=Ωh.

R

f

Rcosf

(R+h)cosf

W

h

Lontano dall’equatore la velocità tangenziale dipende dal cosenodella latitudine. Infatti, per un punto alla latitudine φ, la distanzadall’asse di rotazione di un punto sulla superficie terrestre èRcosφ, mentre per un punto ad una altezza h la distanza dall’as-se di rotazione è (R+h)cosφ

furono due famosi scienziati bri-tannici, Robert Hooke e IsaacNewton.Nel novembre del 1679 RobertHooke, nella sua funzione di Se-gretario neo eletto della Royal So-ciety, tentò di coinvolgere IsaacNewton in un dibattito sul motodei pianeti e delle comete. MaNewton era appena tornato dauna lunga vacanza presso la ca-sa della sua famiglia nel Lincoln-shire - dove casualmente potreb-be aver osservato la caduta dellemele in giardino. Forse ispiratodalla caduta delle mele egli ave-va qualcos'altro in mente, «unamia idea», la deviazione orizzon-tale di oggetti lasciati cadere dagrande altezza come prova dellarotazione terrestre.Lo scambio di lettere che seguìdurante l'inverno 1679-80 traNewton e Hooke dimostra che fugrazie a Hooke stesso che essi ar-rivarono a rendersi conto che lacaduta del corpo deve esseretrattata come un'orbita ellitticacon il centro della Terra in unodei suoi fuochi (fig.5).Dall'intuizione che un corpo incaduta in uno spazio assoluto se-

gue lo stesso tipo di orbita di unqualsiasi pianeta o cometa attor-no al Sole, fu possibile a Newtondedurre che i moti di tutti i corpiterrestri ed extra-terrestri deb-bano essere controllati dallostesso meccanismo, la gravita-zione universale. Egli non scoprìmai l'effetto Coriolis, ma cercan-dolo trovò le leggi del moto.

4. La deviazione verticale delmoto orizzontale: l'effettoEötvösDurante i primi anni del 1900 ungruppo tedesco dell'Istituto diGeodesia di Potsdam condussedelle misure di gravità a bordo dibattelli in movimento negli ocea-

ni Atlantico, Indiano e Pacifico.Mentre ne studiava i risultati, ilnobile fisico ungherese LorandRoland Eötvös (1848-1919) notòche i valori registrati erano piùbassi quando il battello si muo-veva verso est, più elevati quandoprocedeva verso ovest (fig. 7). Egliidentificò questo principalmentecome una conseguenza della ro-tazione terrestre. Nel 1908 furo-no effettuate nuove misure nelMar Nero su due navi, una in mo-vimento verso est ed una versoovest. I risultati confermaronol'asserzione di Eötvös. Da alloragli studiosi di geodesia utilizzanola formula di correzione

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24

60

50

40

30

20

10

0

-10

-20

-30

-40

-50

-60-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

millimetri

mill

imet

ri

Deviazioneprevista

6:. Più di un secolo dopo Newton, nel 1803, fu condottoun esperimento a Schlebusch, in Germania. Ventinoveciottoli di ferro furono lasciati cadere nel pozzo di unaminiera profondo 90 metri. La deviazione media fu stima-ta in 8.5 mm contro un valore teorico atteso di 8.8 mm.

16

17

18

4120 4140 4160 4180 4200 4220 4240 4260 4280-2400

-2440

-2480

-2520

-2560

-2600

km

mG

al

7. Esempio di effetto Eötvös misurato dalla nave di ri-cerca francese Samudra nell'Oceano Indiano meridiona-le. La nave dapprima si sposta lentamente in direzioneoccidentale (16), poi più velocemente verso ovest (17) einfine lentamente verso est (18). L'unità sull'asse y mi-sura la gravità per unità di massa (il mGal è una misuradell'accelerazione e vale 1/1000 di 1 cm/s2) ed è pro-porzionale al peso della nave (per gentile concessione diHélène Hébert, 1999).

W

forza centrifuga

gravitazio

ne

GRAVITA'

90°

8. Su di un pianeta rotante leggermente schiacciato, come la terra, la forzagravitazionale non è diretta perpendicolarmente alla superficie, ma forma conessa un angolo tale che punta leggermente verso i poli. La componente chepunta verso l'asse di rotazione bilancia la forza centrifuga diretta verso l'e-sterno, o in altre parole la somma dell'attrazione gravitazionale e della forzacentrifuga, la gravità, è perpendicolare alla superficie del pianeta.

"Effetto Eötvös"

"Forza di Coriolis"

Forza centrifuga cambiata

"orizzontale"

"ver

tical

e"

W

9: Qualsiasi moto di un corpo sulla superficie terrestre influenza la forza cen-trifuga nella sua direzione e/o intensità. L'equilibrio con l'attrazione gravita-zionale è rotto ed il disequilibrio si manifesta come un'accelerazione verticale eorizzontale, rispettivamente gli effetti Eötvös e Coriolis.

dove u è la velocità in direzioneest, v la velocità in direzione norde R il raggio della Terra. Il primotermine è l'effetto Coriolis verti-cale3, il secondo termine riflettel'effetto centrifugo verso l'alto do-vuto al movimento su qualsiasisuperficie sferica, anche non-ro-tante.Per capire perché il peso di uncorpo sulla Terra dipende dal suomoto occorre capire perché il no-stro pianeta non è una sfera per-fetta. (figura 8)La Terra è un pianeta che ruotapiuttosto velocemente. Il suo rag-gio di 6370 km e la velocità di ro-tazione all'equatore di 465 m/sproducono un'accelerazionecentrifuga di 3.4 x 10-2 m/s2 . Co-me fu riconosciuto per primo daNewton, durante il corso dell'e-voluzione iniziale della Terra,quando era ancora una palla ro-tante deformabile, la forza cen-trifuga spostò un quantitativosostanziale di massa dalle latitu-dini più elevate a quelle più bas-se a formare una palla legger-mente schiacciata (o, per esserepiù precisi, un ellissoide schiac-ciato ai poli) con un raggio di 21km più grande all'equatore ri-spetto ai poli. L'effetto combina-to della forza gravitazionale g* edella forza centrifuga fornisce laforza di gravità o gravità effettiva,g, che determina il peso dei cor-pi. Qualsiasi corpo stazionariosulla superficie della Terra rima-ne stazionario in quanto la gra-vità effettiva è diretta perpendi-

colarmente alla superficie. Tut-tavia, questo vale solo fino aquando il corpo è a riposo. Per uncorpo in movimento l'attrazionegravitazionale g* rimane la stes-sa ma la forza centrifuga cambiadi intensità e/o direzione. La gra-vità così cambierà e con essa ilpeso del corpo - l'effetto Eötvös.(figura 9)Ma non cambia solo la compo-nente verticale della gravità ef-fettiva. Cambia anche l'altracomponente, parallela alla su-perficie terrestre - e questa è laforza di Coriolis.

5. La deviazione orizzontaledel moto orizzontale: l'effettoCoriolisAll'inizio della Rivoluzione Indu-striale si sviluppò in Francia unmovimento patriottico radicaleper promuovere lo sviluppo dellatecnica attraverso l'insegnamen-to della meccanica razionale a la-voratori, artigiani e ingegneri.Gaspard Gustave Coriolis (1792-1843), un rispettabile insegnan-te dell'Ecole Polytechnique di Pa-rigi, pubblicò nel 1829 un tratta-to nel quale presentava la mec-canica in un modo pensato perl'utilizzo nell'industria. E' quiche si trova per la prima volta l'e-

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Gaspard GustaveCoriolis

Nacque il 21 maggiodel 1792 a Parigi inuna piccola famigliaaristocratica impo-verita dalla Rivolu-zione Francese. Ilgiovane Gaspardmostrò presto unnotevole talento ma-tematico. A sedici

anni fu ammesso all' Ecole Polytechnique, do-ve in seguito divenne insegnante. Egli era con-siderato un ottimo insegnante e l'insegna-mento ispirò il suo lavoro. A quel tempo l'in-segnamento della meccanica era dominatodalla statica, adatta solo a problemi relativi allavoro di costruzione, non a macchine mosseda acqua o vento. Coriolis fu tra i primi a pro-muovere una riforma dell'insegnamento e nel1829 pubblicò un trattato di meccanica rivol-to all'industria delle costruzioni. Qui per laprima volta l'energia cinetica è definita comemV2/2. Negli anni seguenti Coriolis si inte-ressò ai sistemi rotanti, in primo luogo alla re-lazione tra energia cinetica e potenziale in ta-li sistemi, in seguito (nel 1835) all'effetto cen-trifugo su un corpo in movimento all'internodi un sistema rotante. Nel 1836 entrò all'Ac-cademia delle Scienze e nel 1838 divenne vi-cedirettore del Politecnico. Nel 1843 la sua sa-lute peggiorò e morì mentre era impegnato nel-la revisione del suo testo del 1829.

Forza totale di inerzia =forza centrifuga "comune"

Forza di CoriolisForzacentrifuga"comune"

Forza totaledi inerzia

a) b)

10: a) Un oggetto vincolato ad una piattaforma rotante segue una traiettoriacurva ed è soggetto ad una forza di inerzia totale, che noi chiamiamo comune-mente forza centrifuga. b) Il corpo può spostarsi lungo la stessa traiettoria,anche a causa della combinazione della rotazione e del moto relativo allapiattaforma. La forza d'inerzia totale è la stessa, ma ora è la somma dellacomune forza centrifuga e della «forza di Coriolis».

Forzacentrifuga"comune"Forza di

Coriolis

Forzatotale diinerzia

Forzatotale diinerzia Forza di

Coriolis

Forzacentrifuga"comune"

10b. Una ulteriore chiarificazione di fig.10: I moti relativi diretti verso l'inter-no e verso l'esterno appaiono, ad un osservatore esterno, come moti assoluticon traiettorie a spirale verso l'interno e verso l'esterno rispettivamente. Lacorrispondente forza centrifuga è differente dalla comune forza centrifuga(per un oggetto stazionario) e questa differenza è la «forza» che Coriolis sco-prì nel 1835.

(3)La ragioneper cui solo ilmoto in dire-zione est-ovestcontribuisce alprimo termineè la stessaillustrata pre-cedentemente:v ha due com-ponenti, unadiretta paralle-lamente a Ω enon deviata,l'altra perpen-dicolare a Ω ecompletamen-te deviata. Maessendo paral-lela alla super-ficie terrestrela deviazionenon può cam-biare g.

spressione corretta dell'energiacinetica, mv2/2. Due anni dopoegli definì la relazione tra l'ener-gia potenziale e l'energia cineticain un sistema rotante.Il 1835 fu l'anno dell'articolo cherese famoso il suo nome: «Sur lesequations du mouvement relatifdes systemes de corps», dove ap-pare esplicitamente la «forza de-viante». Il problema di cui Corio-lis espose la soluzione era legatoal disegno di particolari tipi dimacchine con parti indipenden-ti, in moto rispetto alla rotazione.Coriolis mostrò che la forza iner-ziale totale è la somma di due for-ze inerziali, la comune forza cen-trifuga Ω2R e la «forza centrifugacomposta» 2 ΩVr , che più tardidivenne nota come «forza di Co-riolis» . Il modo di Coriolis di spiegare l'ef-fetto Coriolis può essere compre-so qualitativamente da una sem-plice riformulazione della comu-ne forza centrifuga comeC=mV2/R, dove V è la velocitàassoluta e R il raggio di curvatu-ra della traiettoria dell'elementodi massa m. Un moto relativotangenziale Vr aumenterebbe odiminuirebbe la velocità assolu-ta V e perciò la forza centrifuga indipendenza dal fatto che Vr siadiretta a favore o contro la rota-zione. Un moto relativo radiale,con Vr diretta verso l'interno overso l'esterno rispetto al centrodi rotazione, risulterebbe in unatraiettoria a spirale (Archimedea)diretta verso l'interno o l'esterno.Dal momento che la forza centri-fuga è sempre perpendicolare almoto assoluto, essa non sarà piùdiretta radialmente, verso l'inter-no o verso l'esterno rispetto alcentro di rotazione, ma con uncerto angolo. Ancora una volta, ladifferenza tra questa forza cen-trifuga e la comune forza centri-fuga costituisce la forza di Corio-lis (figura 10).Coriolis non era interessato alla«sua» forza tanto quanto lo siamonoi. Egli la apprezzò solo in quan-to parte della forza inerziale tota-le, quella che non è spiegata dal-la comune forza centrifuga.

6. L'effetto Coriolis su di unpianeta rotanteIl metodo di Coriolis può esserefacilmente applicato ai moti su diun pianeta rotante. La direzione

della forza centrifuga dovuta allarotazione terrestre è perpendico-lare all'asse del pianeta e rimanetale nonostante la sua intensitàpossa variare in seguito al motodi un oggetto sulla superficie. Lacomponente verticale di questavariazione, quella che influenzail peso dell'oggetto, è l'effettoEötvös. Ma c'è anche una com-ponente orizzontale, che non èaltro che l'effetto Coriolis.Si noti che matematicamente néla forza di Coriolis né quella diEötvös contengono un'espressio-ne per il raggio terrestre o perl'eccentricità. Su di una Terra ro-tante ma perfettamente sferica cisarebbe ancora una forza di Co-riolis, ma non l'effetto Coriolis inquanto questo sarebbe comple-tamente oscurato dal generaleeffetto centrifugo di accelerazio-ne verso l'equatore di tutti gli og-getti mobili. L'importanza dellaforma della Terra (non-sferica)sta nella cancellazione (o bilan-ciamento) della comune forzacentrifuga da parte della compo-nente radiale della gravitazione.E' così che resta la componentecentrifuga «extra» a esprimere«l'effetto Coriolis».Succede così che, piuttosto sor-prendentemente, il modo di granlunga migliore per capire quali-tativamente, o intuitivamente,l'effetto Coriolis sulla Terra, è diconsiderare il nostro pianeta percome è realmente, un ellissoiderotante schiacciato ai poli dovele forze dominanti sono la gravi-tazione e la comune forza centri-fuga.Non è stato possibile scoprire fi-no a che punto l'articolo di Co-riolis del 1835 influenzò la tec-nologia del periodo. Tuttavia,una applicazione diretta del suolavoro emerse negli anni 1960quando gli ingegneri russi edamericani iniziarono a progetta-re future stazioni spaziali. Que-ste sarebbero dovute essere co-struite a mo' di ruote giganti, len-tamente rotanti per fornire la for-za centrifuga utilizzata come gra-vità artificiale e assicurare cosìuna vita confortevole a bordo. Unesempio di questo può essere vi-sto nel film di fantascienza del1969 «2001 - Odissea nello spa-

zio» di Stanley Kubric. Tuttavia,approssimativamente nel perio-do di uscita del film gli ingegnerisi resero conto che le loro stazio-ni spaziali non sarebbero statiluoghi molto confortevoli a causadell'effetto Coriolis.

7. La piattaforma girevole pia-na e parabolicaUn modo comune di illustrare ladeviazione di Coriolis è quello dilanciare o far rotolare una pallasu di una piattaforma girevoleche ruota in senso antiorario. Dafuori la palla è vista percorrereuna linea retta; vista dalla piat-taforma girevole (in senso antio-rario) la palla appare deviata ver-so destra (fig. 11).Nondimeno, la maggior parte diciò che qui possiamo osservarenon è la forza di Coriolis, ma laforza centrifuga. Se fosse presen-te solo la forza di Coriolis la pal-la ritornerebbe al punto di partn-za dopo aver percorso un'orbitacircolare («cerchio d'inerzia») in-vece di scomparire dalla vista inuna spirale sempre più ampia.Questo spiega perché non si pos-sa sperimentare la forza di Co-riolis semplicemente attraver-sando a piedi una giostra.Tuttavia, possiamo cancellare laforza centrifuga deformando lapiattaforma girevole in una para-bola leggermente concava. Unparaboloide è una superficie per-pendicolare alla risultante delleforze centrifuga e di gravità. Que-sto significa che una piccola bi-glia rimarrebbe a riposo in ognipunto di questa superficie. In al-tre parole, per una certa velocitàdi rotazione, su di un oggetto sta-zionario ad una data distanza dalcentro di rotazione le componen-ti della forza centrifuga e dellagravità parallele alla superficie sibilanciano (fig.12).Se l'oggetto è posto in moto rela-tivo da qualche forza impulsivaquesto equilibrio sarà disturbatoe l'oggetto compirà delle oscilla-zioni inerziali, con una velocitàangolare doppia rispetto a quelladel piatto (fig.13).Ma rimane ancora da compiereuna scoperta paradossale. Pertutto il tempo abbiamo ipotizza-to che non ci fosse attrito tra l'og-

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Una ruota spaziale avente un raggio di 100 me-tri richiederebbe un periodo di rotazione di 20secondi per generare una forza centrifuga del-la stessa intensità della gravità terrestre. Ma inquesto ambiente in rotazione le forze di Corio-lis sarebbero quasi 4000 volte più intense chesulla Terra! Macchinari con parti in movimen-to o rotanti, come centrifughe e lavatrici,avrebbero potuto rompersi. Compiendo unqualsiasi movimento il personale avrebbe sof-ferto di effetti Coriolis fisiologici o psicologicipoco gradevoli. La moderna tecnologia spazia-le sta perciò tentando di risolvere il problemadella gravità artificiale lungo altre linee.

Fig. 11: Una palla che rotola in linea retta vista da fuori (a) apparirà deviataad un osservatore all'interno del sistema rotante (b), ma non seguirà un cer-chio d'inerzia, ma una spirale in continua espansione

a) b) c)

getto in movimento e la superfi-cie rotante del pianeta. Ma, in unambiente privo di attrito, comepuò l'oggetto in movimento «sen-tire» la rotazione della superficiesottostante? Come fa l'oggetto a«sapere» che si sta muovendo al-l'interno di un sistema rotante?Chiunque inizi ad utilizzare real-mente la piattaforma girevoleconcava si accorgerà di un para-dosso. Se non c'è alcun accop-piamento per mezzo dell'attritotra il disco e il piatto parabolicosottostante allora non c'è scam-bio di momento e non importa seil piatto parabolico ruoti o no.Possiamo realizzare due esperi-

menti identici: uno con il piattogirevole e una telecamera cheruotano solidalmente con la bi-glia a riposo sul piatto, o la piat-taforma girevole a riposo con labiglia in movimento con una ve-locità tangenziale ad una distan-za costante dal centro della rota-zione. La telecamera ruoterà an-cora insieme alla biglia. Dal pun-to di vista della telecamera i ri-sultati saranno identici.Il ruolo della piattaforma non èperciò di fornire un impulso ro-tazionale alla biglia, ma di defini-re una forma parabolica cheagirà da vincolo. Lo stesso valeper la Terra. Se essa smettesseimprovvisamente di ruotare, l'at-mosfera continuerebbe a farloper un certo breve tempo a cau-sa dell'inerzia. Un osservatore sudi un satellite precedentementegeostazionario, ma ora orbitante,vedrebbe l'effetto Coriolis ancorain azione ed i sistemi meteorolo-gici svilupparsi. La ragione stanel fatto che la Terra non-rotan-te non raggiungerebbe una formasferoidale.

8. L'effetto Coriolis nello spa-zio cosmico - i punti di La-grange stabili.Il fatto che un corpo sottopostoall'effetto Coriolis non debba es-sere in contatto diretto con unabase rotante ci conduce ad unadelle sue manifestazioni piùspettacolari nello spazio cosmi-co, i cosiddetti punti di Lagran-ge stabili, ricavati matematica-mente nel 1772 dal matematicofrancese J. L. Lagrange (1736-1813). Un punto di Lagrange èuna posizione nello spazio dove icampi gravitazionali di due corpicelesti, M e m, di massa conside-revole ma differente, si combina-no a formare un punto nel qualeun terzo corpo di massa trascu-rabile si troverebbe ad essere sta-zionario rispetto ai due corpi (fig.14a). Come per qualsiasi pianeta orbi-tante attorno ad una stella, laTerra ed il Sole creano cinque diquesti «punti di Lagrange». Duedi essi, L1 ed L2 vicino alla Ter-ra, L3 sull'orbita della Terra madalla parte opposta del Sole, e L4ed L5 sull'orbita della Terra ma inposizione tale da formare untriangolo equilatero con la Terraed il Sole. Lagrange non immaginava che lasua scoperta potesse avere unaqualsiasi importanza pratica, maai giorni nostri L1 ed L2 sono di-ventate posizioni privilegiate perle stazioni spaziali. Un tema po-polare nei primi racconti di fan-tascienza fu quello di un pianetainvisibile X nel punto di Lagran-ge L3, dal quale si supponevaprovenissero gli UFO ed altri fe-nomeni oscuri. Tuttavia, i puntiL1, L2 ed L3 sono instabili su unascala temporale di circa 23 gior-ni. Questo richiede che i satellitivengano riposizionati di tanto intanto con piccoli aggiustamenti eche un eventuale pianeta X inbreve esca dalla sua posizionenascosta dietro al Sole. I punti di Lagrange L4 ed L5, tut-tavia, forniscono un equilibriostabile finché il rapporto tra lemasse dei due oggetti è superio-re a 25 (per la precisione 24.96).L'autorevole letteratura di mec-

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Su di una giostra piana, che compie una rivo-luzione in 2 secondi, e a 3 m dal centro di rota-zione, un corpo che si muove ad una velocità di1 m/s, sperimenterà un'accelerazione centrifu-ga che è circa cinque volte più intensa dell'ac-celerazione di Coriolis. Solo ad una distanza di0.6 m dal centro di rotazione le due accelera-zioni si eguagliano in intensità. Per annullarel'effetto centrifugo la giostra deve avere una su-perficie parabolica leggermente concava.Un simile piatto parabolico fu utilizzato dalProf. Norman A. Phillips durante le sue lezionidi meteorologia al Massachusetts Institute ofTechnology negli anni 1950. Una pentola pianapiuttosto grande (simile ad una tortiera) furiempita con una miscela a base di cemento leg-gemente liquida; fu poi messa in rotazione su diuna piattaforma girevole azionata da un picco-lo motore a velocità costante (con periodo di cir-ca 2 secondi). Dopo una notte in rotazione il ce-mento si rapprese formando una superficie pa-rabolica. La superficie fu quindi levigata, conun composto solubile apposito ed un piccolo di-sco leggermente arrotondato. Invece di una pal-la, Phillips usò un piccolo cilindro cavo di pla-stica, di altezza e diametro di un pollice circa.Poi, riempiendolo di azoto liquido e mettendo-gli un tappo fece in modo che questo cilindret-to galleggiasse sul disco di cemento. Il gas in-fatti, evaporando, usciva dalla parte inferiore,agendo da lubrificante quasi perfetto.

90 °

Forzacentrifuga

Forzacentrifuga

Gravit

azio

ne

Gravità

Gravità

W W

12. Per un oggetto stazionario su di un pianeta rotante (a) o una superficieparabolica rotante (b) la componente orizzontale della forza centrifuga è bilan-ciata dalla componente orizzontale della forza gravitazionale del pianeta o,sulla piattaforma rotante, dalla componente orizzontale del peso del corpo.Nei due casi le componenti della gravitazione e della gravità, perpendicolariall'asse di rotazione, compensano la forza centrifuga.

a) b)

13. Il moto assoluto e relativo di una biglia in una piattaforma rotante parabolica che ruota insenso antiorario. a) La biglia, stazionaria nel sistema rotante, dall'esterno appare in moto circo-lare in senso antiorario (linea continua); b) la biglia ha ricevuto un impulso e dall'esterno apparein moto in senso antiorario su di un'orbita ellittica, mentre nel sistema rotante si muove su di uncerchio d'inerzia in senso orario. Il moto verticale della biglia è qui trascurato in quanto introduceuna lenta precessione dell'ellisse in senso antiorario.

canica celeste (si vedano peresempio p. 66÷67 e 74÷97 inMURRAY, C. D. e S.F. DEMOTT,1999: Solar System Dynamics,Cambridge University Press, 592pp.), ci dice che il meccanismonon è altro che la forza di Corio-lis. Il meccanismo è simile a quel-lo sulla Terra: un equilibrio tra lagravitazione e la forza centrifuga,in questo caso due forze gravita-zionali. Tuttavia, questo effetto Coriolisdifferisce da quello a cui siamoabituati sulla Terra dal momen-to che esso porta gli oggetti inmovimento non su cerchi d'iner-zia ma su ellissi d'inerzia. L'effet-to Coriolis così trattiene qualsia-si corpo celeste che tenti di «scap-pare». Questo è di fatto ciò cheaccadde a un grande numero diasteroidi, i quali sono intrappo-lati in due dei punti di Lagrangedi Giove (fig. 14b).

9. Le colonne di TaylorGeoffrey Ingram Taylor (1886-1975) è stato uno dei più grandifisici del ventesimo secolo, unodegli ultimi a poter essere consi-derati maestro sia nella teoriache nell'esperimento. Iniziò lasua carriera come meteorologo enel 1913, sulla scia del disastrodel Titanic, prese parte ad unaspedizione di sei mesi nelle acquedi Terranova per lo studio degliiceberg. Taylor si appassionavanel trovare l'accordo tra risultatiteorici e osservazioni, nel trovareil modo di far corrispondere lecondizioni sperimentali conquelle assunte dalla teoria. Inquel tempo molti degli insegna-menti di idrodinamica riguarda-vano problemi risolvibili mate-maticamente, ma non necessa-

riamente legati alla realtà. Uno diquesti teoremi di idrodinamicaasseriva che:

In un flusso stazionario, in rapidarotazione con velocità angolare Ω,le forze dominanti sono il gra-diente di pressione e le forze cen-trifughe, e l'equazione del moto siriduce a

dove ρ è la densità del fluido, Vla velocità e p la pressione. Appli-cando il rotore si ottiene

che significa che non ci sono va-riazioni di velocità lungo la dire-zione dell'asse di rotazione, o an-che che è difficile deformare i cor-pi in rapida rotazione.

In alter parole, per un fluido inrotazione uniforme, il moto alsuo interno non varia vertical-mente (parallelamente all'asse dirotazione). A Taylor sembravache questo sfidasse il senso co-mune. Per verificarlo da se eglipredispose una serie di esperi-menti con una vasca cilindricarotante di vetro riempita d'ac-qua.Taylor mise la vasca in rotazione.La forza centrifuga spostava l'ac-qua dalle parti interne a quelleesterne creando un equilibrio tra

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M

m

corpo dimassatrascurabile

Punto comunedi gravitàdi M e m

L4

L5

14a. I punti di Lagrange stabili, L4 e L5, sono definiti dall'equilibrio tra la forza centrifuga e le due attrazioni gravitazionali , e sono postiagli estremi di due triangoli equilateri (nei quali gli angoli sono di 60°).14b:.Una veduta schematica dei pianeti più interni, la fascia degli asteroidi e Giove. I gruppi di asteroidi davanti e dietro a Giove (chiama-ti, rispettivamente, i «Greci» ed i «Troiani») sono intrappolati attorno a due punti di Lagrange stabili. Insieme al Sole e a Giove essi formanotriangoli equilateri. E' la forza di Coriolis che mantiene questi asteroidi in posizioni quasi-stazionarie in modo del tutto analogo alla forzadi Coriolis sulla Terra che combatte per mantenere all'interno di una piccola area ogni oggetto in movimento.

15. L'inchiostro versato in un contenitore non rotante riempito d'acqua si di-sperde in modo normale (a). Quando il contenitore è posto in rotazione la stes-sa azione porta alla formazione di colonne verticali di inchiostro, le «colonne diTaylor»(b)

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Le colonne di Taylor «fatte in casa»!(di Gian Paolo Minardi, Servizio Meteorologico Regionale, ARPA Lombardia)

Il fenomeno delle colonne di Taylor, che mostra come un fluido in rotazione assuma particolari caratteristiche di «rigi-dità», può essere riprodotto e osservato in casa. Gli ingredienti fondamentali sono la curiosità e un po' di pazienza. Peril resto, l'apparato sperimentale è molto semplice (fig. 1): un contenitore cilindrico di vetro (di quelli per conservare ilcibo in frigorifero), dei coloranti alimentari (facilmente reperibili al supermercato), un contagocce (c'è sempre una me-dicina scaduta nel cassetto!) e infine un vecchio giradischi prestato da un amico fanatico di mp3 (tanto non ha mai sa-puto a cosa servisse!). Per convincersi dell'effetto, prima di tutto conviene fare la prova a fluido fermo: si riempie la ciotola di acqua, si attendequalche minuto che raggiunga un perfetto stato di quiete e finalmente gli si inietta qualche goccia di colorante. Si os-serverà che questo tende a diffondersi piuttosto velocemente e irregolarmente nell'intero volume di liquido (fig. 2). A questo punto si può passare al fenomeno vero e proprio. Cambiata l'acqua, si pone il contenitore sul piatto del gira-dischi e si aziona quest'ultimo impostandolo sulla velocità di 33 giri. Atteso qualche minuto, necessario perchè tuttoil fluido ruoti con la stessa velocità angolare del contenitore, si inietta il colorante in un punto della sua superficie. Sor-prendentemente, ora si osserverà che il colorante si diffonde abbastanza agevolmente lungo la verticale ma faticheràmoltissimo a spostarsi in senso radiale rimanendo per parecchi minuti confinato all'interno di strette colonne cilin-driche di fluido, le colonne di Taylor! (fig. 3).

1:. Ecco tutto l’occorrente per poter sperimentare a casa propria ilfenomeno delle Colonne di Taylor: un vecchio giradischi, un con-tenitore cilindrico trasparente, dell’acqua, dei colarnti alimentaried un contagocce. (f. G. Minardi).

2. Se lasciamo cadere alcune gocce di colorante nel fluido fermo,osserveremo come questo tenda gradualmente a diffondersi nel-l’acqua (f. G. Minardi).

3 e 4. Mettendo il fluido in rotazione il colorante non riescie più a disperdersi in orizzontale e forma le cosiddette colonne di Taylor; èproprio la forza di Coriolis che tende a riportare il colorante nella posizione iniziale (f. G. Minardi)

la forza centrifuga diretta versol'esterno e la forza di gradiente dipressione diretta verso l'interno.La superficie dell'acqua mostra-va allora una forma parabolicaleggermente concava e l'intero si-stema vasca-acqua ruotava conla medesima velocità angolare. Taylor inserì allora una goccia diinchiostro nell'acqua in rotazio-ne senza mescolarla. Ma, invecedi disperdersi e colorare l'acqua,essa rimase per lungo tempo inuna colonna verticale, in seguitoconosciuta come «colonna diTaylor», che si muoveva nella va-sca come un corpo rigido(fig.15b). Ciò che accadeva erache quando l'inchiostro iniziavaa spandersi lungo direzioni oriz-zontali, ogni particella di inchio-stro era immediatamente sotto-posta alla forza di Coriolis cheagiva ad angoli retti rispetto almoto. Essa forzava le particelle aseguire percorsi curvi, in cerchidi raggio sorprendentemente pic-colo. Se la vasca di Taylor ruota-va alla velocità di una rivoluzio-ne in due secondi (Ω=2π/2= 3.14rad s-1), e l'inchiostro si spande-va orizzontalmente alla velocitàdi 0.5 cm s-1, questo producevacerchi d'inerzia con un diametrodi meno di 1mm.Così, completamente all'oppostodell'intuizione fisica, facendoruotare un fluido ne modifichia-mo le proprietà fisiche, renden-dolo «rigido». L'esperimento diTaylor ci ricorda il fatto fonda-mentale che la forza di Coriolisnon solo devia i corpi in movi-mento, ma si oppone al loro di-slocamento tentando di riportar-li alla loro posizione originale(fig.16).I vortici e le correnti a getto sonola conseguenza di due forze op-poste, una (la forza di gradientedi pressione) che cerca di livella-re le differenze di densità a gran-de scala, l'altra (la forza di Corio-lis) che cerca di ripristinarle.

10. L' accelerazione di Corio-lis - una semplice scorciatoia?Nel 1879, il meteorologo tedescoAdolph Sprung propose una dif-

ferente soluzione matematicaper affrontare l'effetto Coriolis:abbandonare la nozione di motorelativo e ricavare l'accelerazionein un sistema fisso. In altre pa-role: trovare l'accelerazione cheimpedisca a un moto relativo diessere deviato! Questa accelera-zione, +2Ω x Vr, ottenuta da unacerta forza reale è chiamata, peruna strana convenzione, accele-razione di Coriolis. La derivazio-ne è semplice e Newton avrebbepotuto compierla con lo stessometodo euclideo utilizzato per ri-cavare l'accelerazione centripetanei «Principia» (fig.17). Non è normalmente noto cheLeonard Euler già nel 1749 ri-cavò analiticamente quella cheera essenzialmente l'accelerazio-ne di Coriolis (fig. 18).

11. Le classiche spiegazioni a«buon senso» dell'effetto Corio-lisLa comune spiegazione del pen-dolo di Foucault non è l'unico ca-so dove il «buon senso» (o «sensocomune») si scontra con la veritàmatematica o scientifica. Nel1735 George Hadley (1686-1768)propose dal punto di vista del«buon senso» che, dal momento

che la superficie della terra all'e-quatore si muove più velocemen-te della superficie a latitudini su-periori, l'aria che si sposta versol'equatore rimarrebbe gradual-mente indietro e sarebbe osser-vata come un vento da NE a norddell'equatore, e da SE a sud del-l'equatore (fig. 19a). Il modello di Hadley fu un gran-de passo in avanti per quel tem-po perchè introdusse la rotazio-ne terrestre per la prima volta.Ma la sua spiegazione a «buonsenso» è sbagliata per tre ragioni.I corpi in movimento in condizio-ni di assenza di attrito sulla su-perficie di un pianeta in rotazio-ne non conservano la loro velo-cità assoluta. Se anche lo faces-sero, lo schema di Hadley spie-gherebbe matematicamente solola metà della forza di Coriolis. In-fine, la spiegazione di Hadley in-dica che la deviazione avviene so-lo per moti in senso meridiano.Nel 1843 l'americano CharlesTracy pensò di poter spiegare an-che la deviazione dei moti in sen-so est-ovest invocando erronea-mente i moti lungo le geodetiche,una spiegazione che si trova an-cora su molti libri popolari di me-teorologia (fig.19b).

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16. La forza diCoriolis tendea riportare icorpi in movi-mento alle loroposizioni ini-ziali forzandolia percorrerecerchi d'iner-zia; ciò ostaco-la lo sposta-mento dellemasse d'aria,«l'Effetto Cap-pello di Lana».

17. a) la derivazione di Newton dell'accelerazione centripeta: nel tempo t uncorpo è stato portato da A a B dalla rotazione Ω e, per pura inerzia, avrebbecontinuato fino a C nell'intervallo di tempo successivo, se non fosse stato sot-toposto ad un impulso centripeto che lo ha portato a D. Con un semplice ragio-namento geometrico si ottiene CD=RΩ2( ∆t)2 . Nel caso b) il corpo si muoveanche radialmente con velocità relativa V= ∆R/∆t e avrebbe continuato da B aC, se non fosse stato sottoposto ad un impulso centripeto che lo ha portato aD. Dal momento che ACF è proporzionale a ABE e AF=2AE, segue cheCF=2BE~2ΩR∆t e dal momento che DF~2 Ω(R- ∆R) ∆t segue che GD=GF-DF~CF-DF=2Ω∆R∆t=2ΩV(∆t)2 . Si può dimostrare facilmente cheD´EFG è un parallelogramma con GF perpendicolare a OB, così che GD è per-pendicolare a BO e l'accelerazione di Coriolis è perpendicolare al moto relativo- ma alla sinistra!

18: La derivazione di Leonardo Eulero del 1749 dell'accelerazione di Coriolis(2drdφ ) e la cosiddetta accelerazione di Eulero (rddφ), che è l'accelerazionedovuta alle variazioni della velocità angolare

L'articolo di Coriolis del 1835non si sbarazzò delle spiegazioniintuitive errate. L'articolo era al-tamente matematico e non facil-mente accessibile. Nel 1847 ilmatematico francese Joseph L.F. Bertrand (1822-1900) suggerìall'Accademia Francese una de-rivazione «semplificata». Eglicombinò due assunzioni basatesul «buon senso», ma errate: a)l'accelerazione deviante è dovutaalla conservazione della velocitàassoluta e b) l'accelerazione de-viante su di una piattaforma ro-tante è costante e dovuta solo al-l'effetto Coriolis. La prima as-sunzione sottostima l'effetto Co-riolis e la seconda la sovrastima

- così gli errori si cancellano a vi-cenda (fig.20). La derivazione diBertrand divenne popolare e feceil suo ingresso nella meteorologianegli anni 1880. Se noi oggi an-cora lottiamo per capire l'effettoCoriolis, una sorgente di confu-sione è questa derivazione «sem-plice» ma ingannevole, perchèsembra giustificare due frequen-ti fraintendimenti.

12. Non solo l'effetto Coriolis …Si sente dire spesso che ciò cherende difficile la meteorologia di-namica sia il suo contenuto ma-tematico, incluse le equazionidifferenziali non-lineari. Ma lanon-linearità rende difficili leprevisioni a causa dell' «EffettoFarfalla». La matematica dell'ef-fetto Coriolis, un prodotto vetto-riale di due vettori, non è parti-colarmente difficile ed è lineare.L'equazione di Eulero è statausata in meccanica celeste per250 anni senza causare alcunaconfusione né dibattiti senza fi-ne. Ma la sua equazione si riferi-sce ad un moto assoluto, laddo-ve la forza di Coriolis si riferiscead un moto relativo, che sembraessere difficile da comprendereintuitivamente.Ma il moto in assenza di attrito èancor più fuori dalla portata del-l'esperienza quotidiana. I corri-spondenti dell' «American Jour-nal of Physics» hanno notato chegli studenti universitari nutronoidee ingenue e aristoteliche ri-guardo al come e perchè gli og-getti si muovono. Il punto cru-

ciale della faccenda potrebbe nonrisiedere nella matematica manel nostro senso comune che èancora aristotelico. Per esempio,secondo gli insegnanti universi-tari americani di fisica molti stu-denti credono che le forze man-tengano i corpi in moto e, al con-trario, che in assenza di forze icorpi siano a riposo. E non c'è al-cun motivo per credere che glistudenti di meteorologia sianoimmuni da questa cosiddetta «fi-sica aristotelica». Ma la confusione in meteorologiadinamica non dipende solo dacattive interpretazioni dell'effettoCoriolis. Ci sono altri principifondamentali e modelli concet-tuali che richiedono di essere ri-esaminati criticamente. Se mol-tiplichiamo l'equazione di Eulero

per r, e integriamo, otterremo

che oggigiorno è chiamata «con-servazione del momento angola-re». Questa è una delle leggi fon-damentali della fisica sia classi-ca che moderna. Essa regola ilmoto degli oggetti rotanti, dallegalassie alle particelle elementa-ri. E uno di questi oggetti è unodei fedeli lavoratori del giardinometeorologico, la pattinatriceche regola la propria rotazionecon le braccia usando appunto ilprincipio di conservazione delmomento angolare.Le leggi fisiche fondamentali so-no senza dubbio strumenti po-tenti nel laboratorio scientifico.Ma come per altri strumenti po-tenti il loro uso non è sempre ba-nale e se non maneggiati concautela possono fare molto male.Ma questo è l'inizio di un nuovoarticolo…

NIMBUS 37-38 METEOROLOGIA

31

420 m/s

460 m/s

23 °N

a) b)

19. Due rap-presentazionierrate del mec-canismo dideviazione: a)conservazionedella velocitàassoluta e b)moto lungo legeodetiche.Quest'ultimosembra funzio-nare per glispostamentiverso est, manon per quelliverso ovest.

DS

W

R

DR

20. Derivazio-ne «semplifica-ta»di JosephBertrand. Unoggetto su diuna piattafor-ma rotante aduna distanzaR dal centro dirotazione sisposta radial-mente versol'esterno convelocità co-stante Vr=∆R/∆t . A cau-sa della rota-zione O l'og-getto è sotto-posto ad unaaccelerazionedeviante a,che è suppostacostante. Ladeviazione ∆Sdurante ∆t puòessere espres-sa sia come∆S=a(∆t)2/2che come∆S=Ω∆R∆t ilche forniscea=2ΩV.

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