1

Note su esperienza con ilNote su esperienza con ilpendolo fisico pendolo fisico ““PASCOPASCO””

2

Pendolo Fisico Pendolo Fisico ““PASCOPASCO””… è composto da:

-- Asta rigidaAsta rigida che può essere fissata ad un pernopernotramite un piccolo bullone in 3 posizioni lungo l’asta:

o in una posizione centrale, o in una di altre due posizioni decentrate

e simmetriche rispetto al centro dell’asta.

-- Sull’asta rigida possono essere fissati uno o più pesi in ottonepesi in ottone allo scopo di modificare il momento di inerzia del pendolo.

-- Misuratore di rotazione PASCO Misuratore di rotazione PASCO (PS 2120)(PS 2120)collegato al collegato al perno sul quale è fissata l’asta rigida, a sua volta collegato al computer tramite la già usata unitunitàà ““PASCO 500 interfacePASCO 500 interface””.

3

4

Rotary MotionMeasures magnitude and direction of motionPS 2120PS 2120

4000 x 30 = 120 000 Hz(1/120kHz) ~ 8.3 μs)

360°/4000 = 0.09°

X (180° / π) = 0.09°

5

… possibile utilizzo delutilizzo delsensore rotativo PS 2120sensore rotativo PS 2120per la misura del momento misura del momento di inerziadi inerzia di un corpo rigido montato orizzontalmente (come nella foto).

… in questo caso l’asse di rotazioneasse di rotazione del sensore rotativo andrebbe posto verticalmente anziche’ orizzontalmente come invece nel caso del pendolo fisico.

6

Operazioni preliminariOperazioni preliminari:

a)a)Misurare le diverse parti del Misurare le diverse parti del pendolo compostopendolo composto:

- massamassa dell’asta rigida e dei pesi in ottone;

- dimensionidimensioni dell’asta rigida e dei pesi in ottone;

- distanzadistanza tra i fori sull’asta rigida;

- diametrodiametro del cerchietto di plastica usato per fissare l’asta rigida stessa.

7

b)b) Verificare lVerificare l’’orizzontalitorizzontalitàà delldell’’asse di rotazione.asse di rotazione.

… per ridurre l’errore sistematicoerrore sistematico sulla misura di “g” che tenderebbe a farci misurare un valore sottostimatosottostimato di “g”

c) Verifica della perpendicolaritc) Verifica della perpendicolaritàà tra tra asse di rotazione ed asta rigidaasse di rotazione ed asta rigida

ogni volta che questa viene rimontata per effettuare un cambiamento dellaconfigurazione di misura.… al fine di ridurre l’errore sistematicoerrore sistematico sul momento di inerzia “I” rispetto all’asse di rotazione che ci farebbe sovrastimare sovrastimare “I”… quindi tenderebbe a farci misurare un valore sovrastimatosovrastimato di “g”

8

d)d) Predisporre il sistema di acquisizione Predisporre il sistema di acquisizione ““DATA STUDIODATA STUDIO””

-- Selezionare Selezionare ““Crea esperimentoCrea esperimento””..-- Aggiungere Aggiungere ““Sensore Moto RotatorioSensore Moto Rotatorio””..- Selezionare

”Frequenza diFrequenza di campionamento a 20 Hzcampionamento a 20 Hz” 50ms- Selezionare “Alta RisoluzioneAlta Risoluzione” … 0.25°

… 1440 punti a giro (0.25°=360°/1440) 1440 x 20Hz = 28800Hz (34.7 μs)

- Definire (dal menu’ Proprieta’) il “numero di cifre significativenumero di cifre significative”

con cui verranno scritte le misure

9

Momento di inerziaMomento di inerzia di alcuni solidi omogenei, calcolato rispettoad un asseasse di simmetria passantepassante per il centro di massacentro di massa

10

ddθθ dm = dm = ρρ((rdrdθθ)(dr)()(dr)(dzdz))HH

RR

zz

22

4

)())()((

24

20

2

00

3

32

MRHRHR

MdzddrrI

dzdrdrrdmdIdzdrrddm

Hz

z

Rr

rzz

zz

===

==

=

∫∫∫=

=

=

=

=

=

ππ

ϑρ

ϑρ

ϑρ

πϑ

ϑ

V = V = ππRR22HH

Cilindro pienoCilindro pieno

11

ddθθ dm = dm = ρρ((rdrdθθ)(dr)()(dr)(dzdz))

2)(

24)(

)())()((

21

22

41

42

21

220

2

0

3

32

2

1

RRM

HRRHRR

MdzddrrI

dzdrdrrdmdIdzdrrddm

Hz

z

Rr

Rrzz

zz

+=

=−

−==

==

=

∫∫∫=

=

=

=

=

=

ππ

ϑρ

ϑρ

ϑρ

πϑ

ϑ

HH

RR11

zz

RR22

V = V = π[(π[(RR22))2 2 -- ((RR11))22]H]H

Cilindro cavo: Cilindro cavo: ““manicottomanicotto””

12

Sfera pienaSfera piena

RR

rr

zz

dzdz

( )

( ) ( )22

)(

""

22222

222

22

zRdzzRVM

rdmdI

dzzRVMdzr

VMdm

dischisferazRr

discozz

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∝

−=

∑

π

ππ

MM: massa totale della sferaVV: volume della sferadmdm: massa infinitesima del disco infinitesimo di spessore dz

13

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

52

158

43

158

1510315

32

52

221

21

22)(

""

25

3

55

32

5

0

52244

0

222

0

222222

22222

MRRR

MI

RR

RRRRdzzRzRdzzR

dzzRVMdzzR

VMI

zRdzzRVM

rdmdI

dischisfera

sferazz

Rz

z

Rz

z

Rz

z

Rz

Rz

sferazz

discozz

==⇒

=−+

=

=−+=−+=−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

∝

∫∫

∫∫

∑

+=

=

+=

=

+=

=

+=

−=

ππ

ππ

π

Sfera pienaSfera piena

14

Momento di inerzia per unMomento di inerzia per un’’asta rigidaasta rigida rispetto ad un asse centrale (zz) o ad un asse diametrale (xx, yy)passante per il CM

2

2MRIzz =

z

y

xR

Asse diametrale yy

Asse diametrale xx

Asse centrale zz

12)(31

12

1242

2

22

22

MllRMl

MlMRII yyxx

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=+==

…… barra sottilebarra sottile

15

Momento di inerzia per unMomento di inerzia per un’’asta rigidaasta rigida rispetto ad un asse diametrale (xx) passante per il CM e rispetto ad un asse parallelo al primo (x’x’) e passante per un estremo (Teorema di Huygens-Steiner)

3412

)2

(

222

2''

MlMlMl

lMII xxxx

=+=

=+=

12

2MlIxx =x'

y

x

R

z

(l / 2)Asse diametrale xx

Asse x’x’ parallelo all’asse

diametrale xx

16

2

2MRIzz =

Momento di inerzia per un cilindro pienoMomento di inerzia per un cilindro pieno rispetto ad un asse centrale (zz) o ad un asse diametrale (xx, yy)passanti per il CM

12)3( 22 hRMII yyxx

+==

z

y

x

R

Asse diametrale yy

Asse diametrale xx

Asse centrale zz

17

Momento di inerzia per un cilindro cavoMomento di inerzia per un cilindro cavo rispetto ad un asse centrale (zz) o ad un asse diametrale (xx, yy)passanti per il CM

2)( 2

22

1 RRMIzz+

=

12))(3( 22

221 hRRM

II yyxx

++=

==

Asse diametrale yy

z

y

x

R R1

R2

Asse centrale zz

Asse diametrale xx

18

Momento di inerzia per un cilindro cavoMomento di inerzia per un cilindro cavo rispetto ad un asse diametrale (xx) passante per il CM e rispetto ad un asse parallelo al primo (x’x’) e che disti D da esso (Teorema di Huygens-Steiner)

12))(3( 22

221 hRRM

II yyxx

++=

==

2'' MDII xxxx +=

z

y

x

R R1

R2

D

X’

Asse x’x’ parallelo all’asse diametrale xx Asse diametrale xx

19

Pendolo fisico o pendolo compostoPendolo fisico o pendolo composto

θ

C.M.

OO

dd

C.M.

OO

θdd

..

yy

zzxx

r θ

MgMg

( )( )

))sin(;0;0(

0;;0

0);cos();sin(

ϑ

ϑϑ

dMgFr

MgF

ddr

=∧

=

=

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−==

2

2

;0;0dtdI

dtJd

zdtdI

dtdIJ

ϑ

ϑω

0)sin()(

)sin(

2

2

2

2

=+

=−

==∧

θθ

θθ

ω

IMgd

dtd

dtdIdMg

dtdI

dtJdFr

20

Approssimazione delle Approssimazione delle piccole ampiezze di oscillazionepiccole ampiezze di oscillazione

MdIl

gl

MgdIT

dtd

IMgd

dtd

IMgd

dtd

eq

eq

=⇒

===⇒

=+⇔=+⇒

=+

con semplice pendolo

222

00)(

0)sin()(

22

2

2

2

2

2

ππωπ

θωθθθ

θθ

21

Strategia di misura dell’accelerazione di gravità “g”con il pendolo composto “PASCO”: 11--ma configurazionema configurazione

d = distanza del CM dell’asta rigidadall’asse di rotazione

m = massa dell’asta rigidaI0 = momento d’inerzia dell’asta rigidaT0 = periodo delle piccole oscillazioni

Misure con:Calibro: d, L“PASCO”; T0

“g”

dCM

L

)12

(4

)12

(2

)12

(22

12

2

20

2

22

22

0

22

0

0

dd

lT

g

gd

dl

mgd

mdml

mgdI

T

mdmlI

+=⇒

+=

+==

+=

π

πππ

22

Strategia di misura dell’accelerazione di gravità “g”con il pendolo composto “PASCO”: 22--nda configurazionenda configurazione

dd = distanza del CM dell’asta rigidadall’asse di rotazione.

xx = distanza del CM del cilindro in ottonedall’asse di rotazione.

λλ = distanza del CM totaledall’asse di rotazione.

mm = massa dell’asta rigida.MM = massa del cilindro cavo in ottone.

IIastaasta = momento d’inerzia dell’asta rigida rispetto ad un asse passante per il suo CM e parallelo all’asse di rotazione.IIottoneottone = momento d’inerzia del cilindro in ottone rispetto ad un asse diametrale passante per il suo CM e parallelo alloasse di rotazione.TT00 = periodo delle piccole oscillazioni.

xx

λλ dd

MmMxmd

++

=λ

23

mdcMb

hRRMmdmla

bxcbxa

gMm

xMmdMm

xMhRRMmdml

gT

MmMxmd

gMmI

T

MxhRRMmdmlMxImdII ottoneasta

==

++++=

++

=

++

+

+++++=⇒

++

=+

=

+++++=+++=

))])(3(12

()12

[(

4

)(][][)(

][))])(3(12

()12

[(4

,)(

2

)))(3(12

()12

(

222

21

22

22222

22

12

2

22

0

0

2222

21

22

22

0

0

ππ

λλ

π

24

Strategia di misura dell’accelerazione di gravità “g”con il pendolo composto “PASCO”: 33--za configurazioneza configurazione

dd = 0 il CM dell’asta rigida coincide conl’asse di rotazione.

xx = distanza del CM del cilindro in ottonedall’asse di rotazione.

λλ = distanza del CM totaledall’asse di rotazione.

mm = massa dell’asta rigida.MM = massa del cilindro cavo in ottone.

IIastaasta = momento d’inerzia dell’asta rigida rispetto ad un asse passante per il suo CM e parallelo all’asse di rotazione.IIottoneottone = momento d’inerzia del cilindro in ottone rispetto ad un asse diametrale passante per il suo CM e parallelo alloasse di rotazione.TT00 = periodo delle piccole oscillazioni.

MmMxmd

++

=λ

xx λλ

25

BxxAx

gxMg

hRRMml

T

mdcMb

hRRMmdmla

bxcbxa

gMm

xMmdMm

xMhRRMmdml

gT

MmMxmd

gMmI

T

MxhRRMmdmlMxImdII ottoneasta

+=++++

=⇒

==

++++=

++

=

++

+

+++++=⇒

++

=+

=

+++++=+++=

222

22

1

2

220

222

21

22

22222

22

12

2

22

0

0

2222

21

22

22

41))])(3(12

()12

[(4

))])(3(12

()12

[(

4

)(][][)(

][))])(3(12

()12

[(4

,)(

2

)))(3(12

()12

(

0

0

ππ

ππ

λλ

π

26

gB

Mg

hRRMml

ba

gA

BxxAx

gxMg

hRRMml

T

2

222

21

2

22

222

22

1

2

220

4

))])(3(12

()12

[(44

41))])(3(12

()12

[(4

π

ππ

ππ

=

+++==

+=++++

=⇒

(T(T00))22 = (A / x) + B x= (A / x) + B x

…… allontanando il cilindro di ottone dallallontanando il cilindro di ottone dall’’asse di rotazione,asse di rotazione,il pendolo fisico si comporta sempre piil pendolo fisico si comporta sempre piùù come un pendolo come un pendolo semplice di lunghezza x in cui il peso semplice di lunghezza x in cui il peso èè assimilabile alassimilabile alpunto materiale attaccato allpunto materiale attaccato all’’estremitestremitàà del filo.del filo.

27

ContributoContributo IIxx al al momentomomento didi inerziainerzia del del pendolopendolo compostocomposto dovutodovuto al sistema formato da:

- asse di rotazione;

- parte mobile del sensore rotativo “PASCO PS 2120”, ancorato all’asse di rotazione;

- disco in plastica per il fissaggio dell’asta rigida.

…… assumiamoassumiamo:

- CMCM del sistema sull’asse di rotazione del pendolo fisico;

- massa complessiva MMxx e momento di inerzia IIx x incogniti;

- IIxx trascurabile rispetto agli altri contributi;… si vuole trovare solo una stimastima per Ix.

28

StimaStima del del momentomomento dd’’inerziainerzia IIxx con con unauna misuramisura ad hocad hoc

… fissare (come?come?) un corpo (qualequale??) di massa MM00 sul bordo del disco in plastica di raggio rr dove solitamente vienemontata l’asta rigida.

I = MI = M00 rr22 + I+ Ixx

M = MM = M00 + + MMxx

λλ = (M= (M00 r + r + MMxx 0) / (M0) / (M00 + + MMxx) = (M) = (M00 r) / (Mr) / (M00 + + MMxx) )

rr

MM00

MMxx

202

02

202

02

0

20

0

00

20

44

2

)()()(

22

rMrgMTIIrMrgMT

rgMIrM

MMrMgMM

IrMMg

IT

xx

x

xx

x

−=⇒+=⇒

+=

++

+==

ππ

ππλ

π

29

Dipendenza del periodo delle oscillazioni Dipendenza del periodo delle oscillazioni dalldall’’ampiezza massima dellampiezza massima dell’’oscillazione stessa:oscillazione stessa:

TT00 periodoperiodoper piccole per piccole oscillazionioscillazioni

Errore sistematico dellErrore sistematico dell’’ordine del % per ordine del % per θθ < 10< 10°°dovuto all’approssimazione di piccolo angolo sin(sin(θ)θ) ≈≈ θθ

Errore sistematico dellErrore sistematico dell’’ordine di 0.1% per ordine di 0.1% per θθ < 1< 1°°… “misure di grande precisione”grazie all’approssimazione di sin(sin(θ)θ) ≈≈ θ θ −− (θ(θ33) / 6) / 6

))2

(sin411(

)16

1()16

1(2

)16

1(2))2

(411(2...))

2(sin

649)

2(sin

411(2

020

20

0

20

20200402

θθθπ

θπθπθθπ

+=⇒+=+=⇒

+=+≈+++=

=

TTTMgd

IT

gl

gl

gl

T

MdIl

eqeqeq

eq

30

Strategia per fare unaStrategia per fare una misuramisura di grande precisione (di grande precisione (≈≈ 0.1 %) 0.1 %) delldell’’accelerazione di gravitaccelerazione di gravitàà ““gg””

- Mettersi nelle condizioni ottimaliMettersi nelle condizioni ottimali con il pendolo composto:

solo l’asta rigida montata in posizione simmetrica ... quindi senza alcun peso di ottone

- Misura Misura del periodo TT al variare l’angolo θθ00

- GraficoGrafico del periodo TT in funzione di sin2(θ0/2)... Mi aspetto un andamento lineare (fitfit linearelineare)

dal termine noto ricavo TT00 e da questo ottengo gg

2

2

0020

000

42)2

(sin4

)(MdT

IgMgd

ITTTT ππϑϑ =⇒=⇒+=