Pendolo

MATERIALE: Colonna, aste, morsetti, filo per il pendolo

Metro (precisione 1 mm)

Cronometro a fotocellula (0.1 ms)

PC con sistema Windows

……………………

… altro ?

cos

sin

0cos

sin

mg

mgma

mgF

mgFjmgmaF

x

y

x

Pendolo

-mg

X

Y

Lo spostamento su un arco di circonferenza

può essere scritto come

se l’angolo è sufficientemente piccolo allora

l’equazione che descrive dal pendolo

rx

)sin(

2

2

2

2

2

2

dt

dmr

dt

rdm

dt

xdmmaF xx

mgdt

dmr

2

2

mgmgmax sin

r

gtt

r

g

sinsin 00

g = 9,788966 m/s2

g = 9,801 m/s2

Notate:

- Angoli in radianti

- Approssimazione sen=

- Massa puntiforme

- Filo inestensibile

- Vincolo ideale

- No attrito

- …………….

INTRODUZIONE L’esperienza consiste nel realizzare uno strumento, il pendolo, adatto alla misura

dell’accelerazione di gravità, g. L’accelerazione di gravità può essere ricavata a partire dalla

misura del periodo di oscillazione e dalla lunghezza del pendolo secondo la relazione:

L’esperienza quindi richiede di eseguire la misura della lunghezza del pendolo e del suo periodo.

PROCEDURA SPERIMENTALE

Procediamo in due fasi successive: • la prima (fase 1a) in cui si cercherà di valutare:

• L’affidabilità della strumentazione

• Se il pendolo è stato realizzato correttamente

• Evidenti o possibili non idealità

E’ questo il primo passo di ogni attività di laboratorio: estrarre l’osservabile (anche in modo grossolano) e

stimare le possibili sorgenti di errore casuale o sistematico e ottimizzare l’apparato sperimentale

• La seconda (fase 1-b) in cui si svolgeremo misure accurate sul sistema secondo uno schema dato per:

• Meglio comprendere il nostro apparato strumentale

• Verificare o meno la validità della legge sperimentale g=4p2L/T2

• Misurare effettivamente l’accelerazione di gravità

Questa fase avviene dopo l’analisi dei dati presi nella prima fase.

2

24T

Lg p

Fase 1-a - Primo Test: l’apparato è in grado di fornire un valore di g verosimile ?

Montaggio pendolo

Pendolo – massa costante – angolo fissato – lunghezza fissata

Dataset-1 almeno15 oscillazioni

Questa prima parte serve per verificare che non ci sia un errore grossolano nel montaggio o nella

misura delle osservabili o del pendolo. In altre parole bisogna verificare se si ottiene una

accelerazione di gravità ragionevole (9.65 < g < 10 m/s2)

Cosa bisogna fare: a) Trasformare la massa appesa al filo in una ‘massa puntiforme

• Vedi lucidi successivi

b) Stimare l’errore ‘strumentale/sistematico’ sulla misura della lunghezza del pendolo

c) Stimare l’errore strumentale sulla misure del periodo

Impostare la presa dati in maniera da minimizzare gli errori (con una scelta opportuna di L e T)

usando la propagazione degli errori come ‘strumento predittivo’

La massa non è puntiforme

Devo identificare un punto in cui posso immaginare (in prima approssimazione) che tutta la

massa sia concentrata per poter estrarre la lunghezza del pendolo

Devo estrarre il baricentro / centro di massa del peso

L + L1+ L2

M1

M2

21

2211

MM

LMLMLLpendolo

L

M2

M1

L1

L2

21

2211

MM

LMLMLLpendolo

Lpendolo

M=M1+M2

Nota:

Le distanze L1 ed L2 devono avere la medesima origine, nel caso specifico del

pendolo dal nodo sul gancio. Verificate il baricentro mettendo il peso in equilibrio Verificate la corretta misura della lunghezza del pendolo misurando direttamente L

Fase 1-a - Primo Test: l’apparato è in grado di fornire un valore di g verosimile ?

Cosa bisogna fare: a) Trasformare la massa appesa al filo in una ‘massa puntiforme

• Fatto

b) Stimare l’errore ‘strumentale/sistematico’ sulla misura della lunghezza del pendolo

• Uso un pendolo semplice

• Uso un pendolo bifilare

• Oscillazione sul piano

• Misura di L ?

• Posso usare base e angolo .. È conveniente ?

L

D

k

a

Fase 1-a - Primo Test: l’apparato è in grado di fornire un valore di g verosimile ?

Cosa bisogna fare: a) Trasformare la massa appesa al filo in una ‘massa puntiforme

• Fatto

b) Stimare l’errore ‘strumentale/sistematico’ sulla misura della lunghezza del pendolo

• Potete farlo ora

c) Stimare l’errore strumentale sulla misure del periodo del pendolo

Il ‘reference sheet’ del photogate dice:

Detector rise time: < 500 ns errore trascurabile ( - come lo verifico ?)

Detector fall time: < 50 ns errore trascurabile ( - come lo verifico ?)

Parallax error: For an object passing within 1 cm of the detector, with a velocity less than 10

m/s, the difference between the true and effective length is less than 1 mm.

- Bisogna stimare la velocità del pendolo al momento della misura del periodo

- v = radq(2gL(1-cos()) m/s

- se v < 10 m/s allora l’errore sul periodo è inferiore a 0.001/v s

- Stimare l’errore sul periodo

- Una volta nota l’incertezza sulla misura del tempo e della lunghezza è opportuno trovare quali sono i

parametri sperimentali che minimizzano l’errore

- Come si fa ? Propagazione errori usando numeri realistici e come parametri L e T

Stima della

velocità in m/s

Usate i dati sperimentali

Incertezza sulla misura

del periodo in s

Attenzione

La trattazione teorica elementare ha alla base alcune ipotesi ‘semplificative’ che non

necessariamente si riscontrano in un pendolo reale. In particolare: Filo inestensibile e senza massa

Assenza di attrito o di alcuna influenza esterna

Massa puntiforme

Moto planare ed assenza di torsioni e/o rotazioni

Piccole oscillazioni (in particolare l’ipotesi che sen() ~ )

T T0 11

22sin

2

21

223

4

2

sin4

2...

Correzione alle piccole oscillazioni

E’ importante scrivere e disegnare tutto quello che avete fatto (misure, accorgimenti, trucchi, ..)

in un ‘diario’ o ‘log book’. Ogni dettaglio o procedura sperimentale applicata, se correttamente

scritta e documentata, può essere di fondamentale importanza per capire ed interpretare i dati

sperimentali che avete ottenuto. La procedura in se stessa può essere molto noiosa ma lo sforzo

vale assolutamente il risultato.

ATTENZIONE

1.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

0 10 20 30 40

Ampiezza di Oscillazione

Fa

tto

re d

i c

orr

ezio

ne

de

l p

eri

od

o

T T0 11

22sin

2

21

223

4

2

sin4

2...

Correzione alle piccole oscillazioni

• T0 rappresenta il periodo che dovrei misurare se avessi un pendolo ideale

• T rappresenta il periodo che effettivamente misuro quando l’ampiezza di

oscillazione è pari a

Fattore di correzione = T/T0

Fase 1-b - Presa dati

E’ necessario modificare tutti i parametri sperimentali a disposizione (angolo di oscillazione,

lunghezza del filo, massa appesa) per verificare se la legge fisica usata sia corretta o adeguata alla

tipologia e precisione di misura che stiamo eseguendo

Sappiamo gia che di dovrebbe essere una dipendenza del periodo con l’angolo di oscillazione

Perche non è vera la approssimazione sen() = in quanto non può essere infinitesimo

Pendolo – massa costante – lunghezza fissata

Dataset-2 periodo in funzione dell’angolo ogni 5°

Problema da risolvere: Come arrivo all’angolo 0° ?

Se uso un angolo piccolo è più corretta l’approssimazione sen(q)=q

Se uso un angolo piccolo ho un errore maggiore sul periodo

Se uso un angolo piccolo sono più sensibile ad oscillazioni spurie

Problema da risolvere: qual’è è l’angolo massimo che posso usare ?

Confronto le misure di periodo corrette con quella attesa a 0°

Pendolo – massa costante – angolo fissato

Dataset-3 almeno 4 lunghezze (DL > 15 cm) – 10 oscillazioni

Pendolo – Lunghezza costante – angolo fissato (Facoltativo)

Dataset-4 Angolo fissato, Lunghezza fissata

Misurare 10 periodi con due masse differenti (non di poco)