Tentelometro oscillante

Il tentelometro è uno strumento che misura la tensione di un nastro nel trascinamento di elementi girevoli come in dispositivi o apparecchi musicali di registrazione o di riproduzione.

Il presente lavoro si propone di illustrare un metodo di lavoro con l’utilizzo di materiali poveri o non prettamente didattici, senza nulla perdere circa il rigore teorico e la validità sperimentale.

Il tipo di tentelometro utilizzato è costituito da due cilindri metallici coassiali A e B, girevoli l’uno rispetto all’altro ma reciprocamente vincolati da una molla di torsione interna (foto 1).

Pertanto, mantenendo fermo uno dei due cilindri, nel nostro caso il cilindro A, mediante un supporto verticale e ruotando l’altro in modo da torcere la molla interna, il cilindro B oscilla.

Tale lavoro si propone quindi, determinando i parametri dello strumento e misurandone il periodo di oscillazione, di riprodurre con Interactive Physics un modello virtuale di pendolo di torsione avente lo stesso periodo.

A tale scopo la prima cosa da fare è quella di determinare la costante di torsione della molla.

Abbiamo quindi alloggiato lo strumento sul supporto verticale e abbiamo applicato un indice sulla parte anteriore del cilindro B in modo da poter misurare su una scala graduata in gradi sessagesimali l’angolo di torsione (foto 3).

La scala è stata riprodotta su un cartoncino rigido utilizzando un goniometro e applicata su un supporto di legno realizzato allo scopo.

1

4 cm

Luigi Gregorio

La torsione viene prodotta sospendendo un corpo ad un filo di nylon vincolato ad un capo e avvolto più volte attorno al cilindro girevole B (foto 4).

In pratica sono state introdotte monete metalliche in un secchiello sospeso (fig.1), dopo aver determinato il peso di ciascuna di esse pesandone con una comune bilancia da cucina un congruo numero n, scelte uguali tra loro, e dividendo per n il peso totale.

I valori rilevati, peso - angolo di torsione, sono appresso riportati:

Il grafico dei dati si accorda con una buona retta entro una tolleranza del 2% ( graf.1):

Per la determinazione della costante di torsione abbiamo elaborato la seguente tabella 2:

massa Forza Momento torcente Angolo θ Costante di torsione χ(grammi) (Newton) ( N·m) (rad) ( N·m /rad)

0 0 0 0 #DIV/0!8,33 0,0817173 0,0016343 0,13956 0,0117111

16,66 0,1634346 0,0032687 0,27911 0,011711124,99 0,2451519 0,004903 0,40122 0,0122203

42,766 0,4195345 0,0083907 0,64544 0,0129999

Peso Torsione θ(grammi) (gradi )

0 08,33 8

16,66 1624,99 23

42,766 3751,096 4559,984 5377,76 67

86,648 7595,536 84

2

fig.1

m

r

mg

T

T

monete

foto 5

51,096 0,5012518 0,010025 0,785 0,012770759,984 0,588443 0,0117689 0,92456 0,012729277,76 0,7628256 0,0152565 1,16878 0,0130534

86,648 0,8500169 0,0170003 1,30833 0,012993995,536 0,9372082 0,0187442 1,46533 0,0127917

media 0,0125535La tabella 1 mostra una proporzionalità tra il peso e l’angolo di torsione; parimenti la tabella 2 mostra una proporzionalità tra il momento mgr che produce la torsione e l’angolo θ.

Abbiamo poi riportato in grafico sulle x gli angoli e sulle y i momenti torcenti.

Il coefficiente angolare della retta è proprio la costante di torsione χ della molla interna del tentelometro.

Il valore medio di χ determinato nella tab.2 differisce dal coefficiente angolare della retta di graf.2 di poco più del 2%.

Fatti questi calcoli e determinato χ , e riconosciuta la buona elasticità della molla di torsione del tentelometro, possiamo dire che tale strumento può fungere da pendolo di torsione. Pertanto, partendo da una situazione di equilibrio e di quiete del pendolo già deformato sotto l’azione del momento mgr, deformando ulteriormente il tentelometro di un angolo φ, l’oscillazione che ne segue per piccole deformazioni è un moto armonico.

Analizziamo ora il formalismo del sistema di fig.1. Tale sistema può essere e deve essere considerato come un sistema a due corpi, la parte B girevole del tentelometro e il secchiello sospeso.

Queste due parti del sistema esercitano tra loro forze interne uguali e contrarie, rappresentate dalla tensione T del filo.

Considerando il corpo girevole da solo, diciamo che durante l’oscillazione agiscono su di esso due momenti meccanici opposti tra loro:

- il momento meccanico di torsione, di richiamo perché agisce in senso contrario alla torsione stessa e variabile nel tempo: - χ φ;

3

- il momento meccanico della tensione T del filo, anche essa variabile nel tempo, di modulo pari a T r.

Considerando invece il solo secchiello sospeso, diciamo che su di esso agiscono due forze in senso contrario:

- il peso mg costante nel tempo;

- la tensione T , variabile durante l’oscillazione.

Diciamo anche che se il filo è ben teso in modo che non si verifichino slittamenti durante il moto, tra l’accelerazione angolare α del cilindro e l’accelerazione lineare a del filo, e quindi del secchiello, sussiste la relazione: a = r α (1) Scriviamo quindi l’equazione differenziale che regola il moto del cilindro girevole:

I + χ φ = T r (2)

avendo indicato con I il momento d’inerzia.

L’equazione che regola il moto del secchiello, è data da: mg - T = ma (3)

Accorpiamo e manipoliamo quindi il sistema di equazioni (1), (2) e (3):

I + χ φ = T r I + χ φ = T r I + χ φ = T r I + χ φ = r

mg - T = ma mg - T = m r α mg - T = m r T = mg - m r

a = r α

I + χ φ = mgr - mr2 ; I + mr2 + χ φ = mgr .

( I + mr2) + χ φ = mgr (4)

Si riconosce nella (4) l’equazione differenziale del moto armonico di un sistema girevole equivalente, avente un momento d’inerzia pari alla somma di quello relativo al solo cilindro più un termine aggiuntivo pari a mr2.

L’equivalenza consiste nel fatto che se si potesse allocare la massa m, di piccolissime dimensioni rispetto al cilindro, in un punto posto sul bordo del cilindro stesso di fig.1, a distanza r dal centro, tale pendolo di torsione oscillerebbe con lo stesso periodo. In altri termini, il sistema di fig.1 equivale al pendolo di torsione

4

di fig.2, a parità di m, I e χ.

Manipoliamo ancora la (4):

+ φ = (5)

In tale equazione la costante è pari al quadrato della pulsazione ω:

ω2 =

Ne segue che il periodo di oscillazione è dato da:

τ = 2π (6)

Abbiamo allora determinato il periodo di oscillazione del tentelometro avendo posto monete per 80 grammi nel secchiello. Le misure sono state effettuate utilizzando un cellulare in modalità cronometro, misurando più volte il tempo di dieci oscillazioni e dividendo poi per 10 ciascuna misura del tempo rilevato.

Il valore medio è risultato: τ = 0,4054 s

Sostituendo tale valore nella (6) abbiamo potuto dedurre il valore del momento d’inerzia I relativo alla sola parte oscillante del tentelometro.

Dai calcoli è risultato:

I = - mr2 = - 0,080 · (0,02)2 ~ 2,026 · 10-5

Una verifica diretta consisterebbe nell’utilizzare un sensore di moto on line con il computer, indirizzato verso il secchiello oscillante, nel mettere in evidenza il moto armonico e nel misurare il periodo per diversi valori di m.

Per due valori di m si avrebbe allora:

- m1 r2 = - m2 r2

Una verifica indiretta del formalismo mediante il quale abbiamo utilizzato e trattato lo strumento, in mancanza di sensore di moto, può essere condotta mediante Interactive Physics, costruendo un modello di pendolo di torsione, con gli stessi parametri del tentelometro.

Nella foto che segue viene mostrato il modello di simulazione dal quale risulta un periodo di oscillazione pari a τ = 0,3945 s :

5

mr

fig.2

I

χ

L’errore relativo sul periodo tra il valore misurato nelle prove e quello determinato dal modello, risulta pertanto:

δ = ~ 2,7 %

Abbiamo infine voluto verificare il sincronismo tra tre pendoli di torsione equivalenti, simulati mediante Interactive Physics, con dati diversi da quelli del tentelometro. secondo tre possibili modalità:

1) sospendere un blocchetto di massa m come in fig.1,

2) allocare una massa m, di piccole dimensioni rispetto al raggio r, sul bordo del pendolo,

3) far oscillare il pendolo senza alcun blocchetto sospeso e senza alcuna massa concentrata sul bordo, ma assegnando ad esso un momento d’inerzia pari a I' = I + mr2.

La difficoltà che si incontra con Interactive Physics sta nel fatto che non è possibile avvolgere il filo attorno il disco girevole in modo da mantenerne costante la distanza dall’asse di rotazione.Pertanto il momento meccanico della forza di gravità risulta anche esso variabile nel tempo.

Simulando allora tre pendoli di torsione tutti girevoli in un piano verticale e aventi lo stesso raggio, il primo costituito da un semplice disco, il secondo con una massa m aggiunta, il terzo ancora con una massa m sospesa, abbiamo realizzato il sincronismo assegnando al primo disco una massa tale da conferire ad esso un momento d’inerzia pari al momento d’inerzia equivalente degli altri due sistemi oscillanti.

Il sincronismo risulta però verificato, per la difficoltà di cui sopra, solo per piccole oscillazioni attorno all’angolo φ = 0 (vedi foto 7).

6

7