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Aprofondimenti e Applicazioni

principio di inerzia per il moto rotatorio pendolo di torsione e pendolo composto

momento angolareil giroscopio

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Il Principio Di Inerzia Nel Moto Rotatorio

• IL PRINCIPIO

• IL PENDOLO DI TORSIONE

• IL PENDOLO COMPOSTO

• UN ESEMPIO

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Il terema del momento angolare

dt

Ld

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IL GIROSCOPIO

CONSERVAZIONE del MOMENTO ANGOLARE

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osservazione

• questa equazione implica che in assenza di momento meccanico esterno, il momento angolare si mantiene costante

• se il corpo ruota attorno ad una asse principale,il corpo rimane in rotazione con velocità angolare costante

dt

Ld

IL

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Il giroscopioIl giroscopio

In assenza di momento meccanico esterno, il momento angolare del corpo rimane costante

Il disco G ruota rapidamente attorno ad AB (asse principale),ed è montato in modo che il momento meccanico totale rispetto ad O è nullo. Il momento angolare L è costante e diretto come AB. AB può ruotare liberamente attorno sia a z che a x. Se si sposta il giroscopio si osserva che AB non cambia direzione.

Si dispone AB orizzontalmente in direzione EO. Dopo 6 ore, l’asse e’ verticale.Questa apparente rotazione è in realtà dovuta alla rotazione della terra.

Prova sperimentaleProva sperimentale

Il giroscopio,solidale al nostro tavolo si muove da 1 a 4, con la terra,mentre nello spazio la direzione di AB resta costante.

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La rotazione della Terra

• La rotazione della Terra attorno al proprio asse illustra il principio della conservazione del momento della quantità di moto

• L’asse di rotazione forma un angolo di 23,50 con il piano dell’orbita della Terra attorno al Sole

• Sulla terra non si esercitano momenti meccanici di forze esterne, quindi il suo momento angolare rimane costante

• Quindi , mentre la Terra si muove lungo la sua orbita, l’asse di rotazione rimane parallelo a se stesso

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applicazioni• La tendenza del giroscopio a mantenere il proprio asse di

rotazione fisso nello spazio anche se viene trasportato da un luogo all’altro, trova molte applicazioni.

• Si usano giroscopi per stabilizzare navi,aerei, nei sistemi di pilotaggio automatico, e nelle sonde spaziali.

• Giroscopi di alta precisione vengono usati nei sistemi di guida inerziale per navi,automobili missili e veicoli spaziali.

• In tali applicazioni tre giroscopi orientati secondo tre assi mutuamente perpendicolari stabiliscono l’orientamento di un sistema di coordinate assoluto x,y,z

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dtLddt

Ld

osservazione

La variazione di L, dL è diretta come

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PRECESSIONE

moto dell’asse di rotazione attorno ad una asse fisso dovuto

ad un momento meccanico esterno

rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse rotante:

trottole

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il moto di precessione

• Il moto dell’asse di rotazione attorno ad un asse fisso, dovuto ad un momento esterno si chiama moto di precessione

• Se il momento applicato al giroscopio non è nullo, allora il momento angolare subisce una variazione nel tempo

• Una variazione del momento angolare di un giroscopio avviene sempre nella direzione del momento meccanico

• (La variazione della quantità di moto avviene sempre nella direzione della forza)

• Quando il momento meccanico è perpendicolare all’asse di rotazione e ad L,allora anche dL è perpendicolare L, ed L cambia di direzione ma non di modulo

• ( simile al moto circolare sotto l’azione di una forza centripeta)

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precessioneprecessione

Schema di un volano libero di Schema di un volano libero di ruotare attorno all’asse,e attorno ruotare attorno all’asse,e attorno al pernoal perno

L

gm

r

Si suppone che il volano,che ruota Si suppone che il volano,che ruota molto rapidamente su se stesso, sia molto rapidamente su se stesso, sia collocato sul perno,e abbandonato a collocato sul perno,e abbandonato a se stesso.se stesso.

Il momento angolare giace lungo l’asse di Il momento angolare giace lungo l’asse di rotazione .rotazione .

Come agisce la gravità sul sistemaCome agisce la gravità sul sistema?

Il momento della forza è dovuto alla forza di gravità che agisce sul centro di massa.

Per calcolarlo,assumeremo come origine il perno

rmgLa gravità applica un momento meccanico La gravità applica un momento meccanico

al giroscopioal giroscopio

r

mg

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r

mg

dtLddt

Ld

Ld

L

LdL

La variazione di L, dL è diretta come , è perpendicolare alla forza applicata

dL farà deviare l’asse in direzione perpendicolare alla forza peso

rmgdtdtdL

rmg

L

dLd tan

L

rmg

dt

d

m = massa volano

r = distanza dal perno del CM

= angolo tra L e L+dL

il giroscopio continua a ruotare su se stesso attorno ad un suo asse di rotazione,diretto come L, ma questo asse ruota attorno ad un asse fisso

velocità angolare di precessione

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m = massa volano

r = distanza dal perno del CM

L= momento angolare

g= accelerazione di gravità

Velocità Velocità angolare di angolare di precessioneprecessione L

rmg

Sebbene la velocità angolare di precessione sia stata ottenuta nel caso che l’asse di rotazione sia inizialmente orizzontale , si ha lo stesso risultato se l’asse è inclinata di un certo angolo .

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Formula generale della velocità di precessioneFormula generale della velocità di precessionedi un giroscopio attorno alla verticaledi un giroscopio attorno alla verticale

sI

Mgb

s

M massa giroscopio

b distanza CM centro di rotazione

s velocità di spin

I momento di inerzia giroscopio

dimostriamo questa relazionedimostriamo questa relazione

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L

in un intervallino di tempo dt il vettore momento angolare L si sposta dalla posizione OA a OB

A B

X

Z

YO

la variazione dL=AB è parallela al momento .

Il raggio della circonferenza descritta da L=OA è AD

Ld D

sinsin LOAAD

0Z

è l’angolo tra Zo e Z 0X

0Y

la velocità di precessione è la velocità con la quale l’asse OZ0 del corpo ruota attorno all’asse OZ.

d

dt

d

è un vettore diretto come Z

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L

A B

X

Z

YO

Ld D

0Z

0X

0Yd

sinLAD

dLADddL sinsinL

dtdL

dt

d

dtdL sin dt

dL sin

sinL

MgbL

CM

b

b= OCM è la distanza del CM dal polo O

IMgb

L

Mgb

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giroscopio

Il risultato è valido solo se la velocita angolare di rotazione è molto maggiore della velocità angolare di precessione

La ragione è che abbiamo trascurato il momento angolare rispetto all’asse di precessione

Il momento angolare L pertanto non è I, in quanto la velocità risultante è +. Se la precessione è molto lenta , >>, allora il momento angolare attorno a OZ può essere trascurato

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giroscopio

• Abbiamo visto che, nei calcoli precedenti è essenziale è che il giroscopio ruoti ad alta velocità. Se il giroscopio è lento o fermo, quando viene abbandonato a se stesso, casca.

• Nei calcoli precedenti è stato trascurato il piccolo momento angolare associato al moto della massa attorno alla circonferenza orizzontale.

• Questo piccolo momento angolare supplementare spiega le oscillazioni verticali dell’asse di rotazione che si osservano, se il giroscopio non ruota a velocità abbastanza elevata.

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Un esempio

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precessione

0

dt

Ld dtLd

Una variazione infinitesoma del momento angolare di un giroscopio avviene sempre in direzione del momento meccanico

LdL

L

Quando momento angolare e momento della forza sono perpendicolari, L varia in direzione ma non in modulo.

Il moto dell’asse di rotazione attorno ad una asse fisso, dovuto ad un momento meccanico esterno

cosa dovete assolutamente ricordare

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cosa dovete assolutamente ricordare

La nutazioneLa nutazione