PROGETTO PENDOLO

7/30/2019 PROGETTO PENDOLO

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IL PENDOLO DI FOUCAULTDEL DIPARTIMENTO DI FISICA

Universit degli Studi di Milano

Settembre 2009


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Pag.Indice 1Introduzione 3

Ringraziamenti 4

Parte primaI.1 Breve biografia di Foucault. 5

I.2 Descrizione dellesperimento di Foucault e relativa interpretazione. 7

Parte secondaII.1 Analisi della dinamica del pendolo. 11

II.1.1 Moto di un pendolo semplice ed ideale in un sistema di riferimento inerziale. 11

II.1.2 Moto del pendolo semplice ed ideale nel sistema di riferimento non inerziale

della Terra. 13

II.1.3 Moto di un pendolo ideale asimmetrico nel sistema di riferimento non inerziale

della Terra. 15II.1.4 Moto di un pendolo reale in presenza delle forze di attrito. 21

II.1.4.1 Forze e momenti agenti sul filo reale. 21II.1.4.2 Forze di attrito. 23II.1.4.2a Forza di attrito dellaria e studio del moto smorzato. 23

II.1.4.2b Forze di attrito interne al filo di sospensione. 25

II.1.4.2c Forze di attrito di natura elettromagneticainterne alla massa pendolare. 26

II.1.5 Moto di un pendolo semplice smorzato dalle forze di attrito e forzato da una

forza impulsiva elettromagnetica. 26

II.1.6 Cause del moto perturbato di un pendolo reale e metodo di correzione della

asimmetria. 28II.1.7 Analisi della azione di smorzamento del moto ellittico prodotta dallanello

di Charron. 31

Parte terzaIII.1 Descrizione delle principali caratteristiche del pendolo di Foucault in scala

ridotta realizzato al Dipartimento di Fisica di Milano. 34

III.1.1 Principali caratteristiche geometriche e fisiche del pendolo. 34

III.1.2 Soluzioni tecniche adottate. 36

III.1.2.1 Sistema di rilascio della massa pendolare. 36

III.1.2.2 Testa di sospensione ed anello di Charron. 37

III.1.2.3 Bobina per il reintegro dellenergia dissipata dal pendolo a causa degli attriti. 37III.1.2.4 Schema logico delle funzioni di controllo dellelettrocalamita e della bobina

di reintegro dellenergia. 38

III.2 Risultati delle misure condotte sul prototipo e modifiche apportate. 39

III.2.1 Misure del coefficiente di smorzamento. 39

III.2.2 Determinazione del coefficiente di asimmetria. 42

III.2.3 Sistema di compensazione della asimmetria. 44

III.2.4 Misure sul moto smorzato e forzato in presenza dellanello

di Charron e del bilanciere. 45


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Pag.

Parte quartaIV.1 Breve descrizione dellapparato. 48

IV.2 Istruzioni per la sperimentazione da parte degli studenti o dei visitatori. 50

Appendice A Calcolo delle caratteristiche meccaniche del pendolo. 51

Appendice B Calcolo della forza magnetica esercitata dall elettrocalamita. 56

Appendice C Calcolo della forza di richiamo esercitata dalla bobina. 57

Appendice D Calcolo dei momenti di inerzia del bilanciere. 60


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Introduzione

In occasione del 190esimo anniversario della nascita di Jean Bernard Lon Foucault (18

Settembre 1819) il Dipartimento di Fisica si proposto di realizzare un pendolo di Foucault didimensioni ridotte (lunghezza 1 metro), come modello sperimentale per un futuro pendolo di circa

10 metri di lunghezza da installare nella tromba della scale dingresso alla zona degli uffici e degli

studi dei docenti.

La decisione di realizzare questo modello motivata da molteplici ragioni:

- con questi elegante esperimento, che dimostra in maniera evidente la rotazione della Terra,si voluto rendere merito ad un ricercatore sperimentale, che pur essendo privo di una

laurea in scienze naturali, ha dato importanti contributi in diversi campi della fisica;

- si voluto realizzare un pendolo di Foucault di tipo intrattenuto, in cui le perdite dienergia a causa delle varie forme di attrito siano periodicamente reintegrate in maniera che

si possano osservare le oscillazioni del pendolo per periodi abbastanza lunghi;

- si voluto realizzare un apparato accessibile alla sperimentazione diretta degli studenti diFisica e degli studenti delle scuole superiori in visita al Dipartimento;

- esso consente di illustrare da un lato le soluzioni tecniche necessarie al correttofunzionamento del pendolo di Foucault e dallaltro lato la complessit dei fenomeni che

influenzano il moto del pendolo. In particolare esso consente di osservare il moto

perturbato degenere, un fenomeno che si manifestava frequentemente nei dispositivi

realizzati dai primi sperimentatori e teoricamente non spiegato sino al 1879, quando tale

processo fu analizzato e correttamente interpretato da Kammerling Onnes nella sua tesi di

laurea.

Questa nota indirizzata essenzialmente agli studenti universitari che frequentano il

Dipartimento ma anche agli studenti delle scuole superiori che, accompagnati dai propri insegnanti,

si interessano alle attivit di ricerca svolte nel Dipartimento.

Essa dedicata nella parte iniziale ad una breve biografia di Foucault a cui fa seguito una

descrizione dellesperimento in cui viene data una spiegazione intuitiva della rotazione del piano di

oscillazione ed accessibile a qualsiasi lettore in quanto non si fa ricorso ad alcun formalismo

matematico.

Nella parte centrale viene esposta lanalisi della dinamica del pendolo semplice, introducendo

dapprima le sole forze reali (sistema di riferimento inerziale), successivamente anche le forze

apparenti (sistema non inerziale) ed infine le varie forze perturbatrici che condizionano il moto del

pendolo. In questa parte della nota, con il procedere della complessit dei processi esaminati,

richiesta una certa competenza fisico matematica, a livello del biennio di Fisica, tuttavia le ipotesi

di lavoro ed i risultati sono presentati in forma semplice per essere compresi anche da persone chenon posseggono il bagaglio di conoscenze specifiche.

La nota prosegue con la descrizione delle principali caratteristiche del modello in scala ridotta

del pendolo di Foucault, delle problematiche connesse con la sua realizzazione (in particolare la

messa a punto per consentire losservazione del moto perturbato degenere) e con la descrizione

delle osservazioni sperimentali effettuate su questo ultimo.

La parte finale descrive brevemente lapparato e fornisce le istruzioni per la sperimentazione da

parte degli studenti.


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Ringraziamenti

La sezione di Milano dellIstituto Nazionale di Fisica Nucleare ha fornito la disponibilit

dellofficina meccanica del LASA per la realizzazione di alcune parti essenziali e lassemblaggio

dellarmadio contenente il pendolo in scala ridotta e la disponibilit del laboratorio di elettronica per

la realizzazione dei circuiti di alimentazione, di misura e di controllo degli elettromagneti per il

reintegro dellenergia dissipata dal pendolo a causa degli attriti.

Oltre allIstituto Nazionale di Fisica Nucleare un gradito dovere ringraziare le singole persone

che hanno collaborato fattivamente allopera. Ling. Franco Alessandria per le indispensabili

informazioni e suggerimenti per la meccanica dei pendoli, i tecnici di officina Carlo Uva e Luigi

Marchetti per la collaborazione e lentusiasmo nella costruzione dellintero dispositivo, il Dr.

Giancesare Rivoltella ed il tecnico elettronico Antonio Paccalini per la progettazione

dellelettronica di comando e controllo dellalimentazione, il tecnico di progettazione Maurizio

Todero ed il tecnico di laboratorio Danilo Pedrini.Un particolare ringraziamento rivolto anche a tutti i colleghi e ricercatori del LASA che hanno

dato il loro consenso affinch la maggior parte del lavoro di costruzione dei pendoli potesse essere

effettuata allinterno del Laboratorio, anche se ci ha influenzato in parte i programmi temporali

delle attivit di ricerca in corso presso i diversi gruppi operanti al LASA.


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Parte prima

I.1. Breve biografia di Foucault.

Jean Bernard Lon Foucault nacque a Parigi il 18 settembre 1819 da una famiglia agiata. Il

padre, un editore noto per avere pubblicato una serie di volumi prestigiosi sulla storia francese, si

ritir a Nantes, probabilmente per ragioni di salute, dove mor nel 1829. Dopo la morte del marito la

madre di Lon rientr a Parigi e si sistem in una casa molto confortevole tra rue de Vaugirard e rue

dAssas nella quale trascorse tutta la vita in compagnia del figlio che non si spos mai.

Lon, iscritto dalla madre al famoso Collge Stanislas di Parigi, non si dimostr uno studente

brillante e per lunghi periodi fu necessario farlo seguire da precettori privati, dato che il suo

rendimento scolastico era piuttosto mediocre. Poco interessato alle discipline scolastiche manifest

il suo vero talento nella costruzione di meccanismi particolarmente ingegnosi per i quali era

richiesta una notevole abilit manuale e grande precisione. Mentre era ancora studente liceale

realizz un telegrafo ed una piccola macchina a vapore, perfettamente funzionanti. Alcuni giocattolida lui costruiti in questo periodo e conservati furono esibiti in pubblico, dopo la sua morte, per

attestare il suo precoce talento nella realizzazione di complessi marchingegni.

Nonostante le difficolt incontrate negli studi liceali Lon riusc a diplomarsi e la madre,

convinta che labilit manuale del figlio ne avrebbe fatto un chirurgo di grande successo lo iscrisse

nel 1839 alla facolt di medicina. Durante il tirocinio ospedaliero, richiesto a tutti gli studenti di

medicina, la vista del sangue e delle sofferenze dei pazienti produsse in lui un trauma cos intenso

che lo costrinse a ritirarsi dalla facolt di medicina. Tuttavia nel corso degli studi universitari le

capacit di Lon furono talmente apprezzate ed utilizzate dal professore Alfred Donn (docente di

microscopia) che questi gli offr, quando Lon fu costretto ad abbandonare gli studi di medicina, la

posizione di assistente nel corso di microscopia.

In quel periodo (1839-1840) Lon si occup assieme ad Armand Hippolyte Louis Fizeau, unamico di vecchia data conosciuto al Collge Stanislas, di dagherrotipia (un antenato della moderna

fotografia) riuscendo a ridurre drasticamente il tempo di posa necessario ad impressionare la lastra

iodurata (nelle dimostrazioni fornite da Daguerre la posa richiedeva parecchie decine di minuti

mentre con il procedimento messo a punto da Foucault e Fizeau erano sufficienti alcune decine di

secondi). Questo fu il loro primo successo scientifico comune, dal quale per non ricavarono alcun

beneficio economico poich poco dopo la dagherrotipia fu sostituita da altri metodi fotografici.

Con lamico Fizeau fece una serie di esperienze confrontando lintensit della luce del sole con

quella emessa dallarco elettrico che scocca fra due elettrodi in carbone nella lampada ad arco

(allora largamente utilizzato come fonte di luce elettrica) ed a quella della fiamma ossidrica (anche

questa impiegata diffusamente a quei tempo per lilluminazione anche di case private). Sempre

negli anni quaranta contribu ai Comptes Renduscon un articolo in cui descriveva il funzionamento diun regolatore elettromagnetico per lampade ad arco ed in collaborazione con Jules Regnault,

redasse un articolo sulla visione binoculare.

Dal 1845 scrisse i verbali degli incontri settimanali dellAcadmie des sciences per un influente

giornale, il Journal des dbats. La sua franchezza gli caus inimicizie che lo allontanarono da gran

parte della comunit scientifica.

Nel 1850 riusc a dimostrare, per mezzo di uno specchio girevole simile a quello utilizzato da

Sir Charles Wheatstone, che la velocit della luce nellaria maggiore che nellacqua. Stabil anche

che la velocit della luce varia in maniera inversamente proporzionale allindice di rifrazione del

mezzo nel quale si propaga.

Nel 1851 egli riusc a dare dimostrazione diretta della rotazione della Terra attorno al proprioasse con un esperimento tanto semplice quanto geniale. Egli sfrutt il principio di inerzia in maniera

originale facendo oscillare un pendolo con una massa rilevante e di notevole lunghezza allinterno


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del Pantheon di Parigi. Per rispettare la legge di inerzia il piano di oscillazione deve rimanere

inalterato ma a causa della rotazione terrestre i parigini videro che il pendolo cambiava lentamente

direzione. Fu per questa dimostrazione e per linvenzione del giroscopio che ne deriva che nel 1855

ricevette la medaglia Copley della Royal Society di Londra. Nello stesso anno divenne assistente in

fisica dellOsservatorio imperiale di Parigi.

Sempre nel 1855 scopr che la forza necessaria alla rotazione di un disco di rame aumentaquando questo si trova allinterno dei poli di un magnete e nel frattempo il disco si scalda per quelle

correnti indotte, oggigiorno note come correnti di Foucault.

Nel 1857 Foucault invent il polarizzatore che porta il suo nome e lanno seguente invent un

metodo per dare agli specchi dei telescopi riflettori la forma di sfera o di paraboloide di rivoluzione.

Con li specchio di Wheatstone nel 1862 stabil che la velocit della luce era di 298000 km/s, cio

circa 10000 km/s inferiore al valore comunemente accettato a quellepoca e lontano soltanto dello

0.6% dal valore attualmente ritenuto corretto.

Nel 1862 fu nominato membro del Bureau des Longitudes ed insignito della Legion donore.

Nel 1864 divenne membro straniero della Royal Society e lanno dopo entr nella sezione di

meccanica di questo istituto.

Nel 1865 pubblic un articolo sul regolatore di velocit inventato da Watt in cui mostrava alcunemigliorie per stabilizzarne la velocit ed un nuovo apparecchio per la regolazione della luce emessa

da una lampada ad arco. Lanno seguente fece esperimenti per la deposizione di un sottilissimo

strato dargento sulla faccia esterna della lente da telescopio per permettere di osservare il sole

senza pericolo per gli occhi.

Foucault mor l11 febbraio 1868 a Parigi, probabilmente per un caso di sclerosi multipla

fulminante e fu sepolto nel cimitero di Montmartre,


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I.2 Descrizione dellesperimento di Foucault e relativa interpretazione.

Per introdurre lesperimento di Foucault ci avvaleremo di alcuni brani tratti dal libro Pendulum

Lon Foucault e il trionfo della scienza edito da il Saggiatore e scritto recentemente da Amir

D. Aczel, matematico di fama internazionale che insegna al Bentley College del Massachusetts ed

autore di numerosi testi di divulgazione scientifica.

Nel primo capitolo di questa biografia si legge: Sappiamo dal suo diario che Foucault fece la scoperta esattamente alle due di mattina del 6 gennaio 1851.

Era sceso nella cantina della casa che divideva con la madre allangolo fra rue de Vaugirard e rue dAssas, nel cuore dellintellettualissima Rive Gauche e a due passi da dove, centanni dopo, avrebbero abitato Gertrude Steine Ricasso. Ci lavorava febbrilmente da alcune settimane, ma nessuno dei passanti di quelle due strade alla modapoteva immaginare che in quella cantina si stava preparando un esperimento che avrebbe cambiato pere sempre ilnostro modo di vedere il mondo.

Jean Bernard Lon Foucault (ma per chi lo conosceva semplicemente Lon Foucault) aveva trentadue anni;non possedeva una laurea in scienze naturali ma poteva gi vantare alcuni risultati importanti, compreso unesperimento molto ingegnoso per misurare la velocit della luce e diverse invenzioni fra cui due sistemi diilluminazione, uno per microscopi e uno, graduabile, per palcoscenici. Dagli ultimi mesi del 1850, per, stavaconcentrando tutti i suoi sforzi su una questione completamente diversa: voleva risolvere il pi ostinato problemascientifico di tutti i tempi, un problema che fra il Cinque e il Settecento aveva ossessionato Copernico, Keplero,Galilei, Cartesio e Newton ed era sorprendentemente irrisolto fino alla sua epoca.

Aveva preparato lesperimento con cura, laveva perfezionato lavorando per mesi, concentratissimo, nellacantina di casa sua. I problemi che aveva dovuto affrontare erano di natura tecnica e Foucault era bravissimo nellavoro di precisione, che eseguiva manualmente trafficando con fili metallici, seghetti per tagliare lacciaio,strumenti di misurazione, pesi. Cos, alla fine, riusc ad assicurare un capo di un filo dacciaio di due metri al soffitto, facendo in modo che potesse ruotare senza torsione, e attacc allaltra estremit una palla di ottone dicinque chili: ottenne cos in pendolo in grado di oscillare liberamente.

Una volta messo in moto il pendolo, il suo piano di oscillazione poteva spostarsi in qualsiasi direzione. Laparte pi difficile della fase preparatoria era stata proprio la progettazione di un meccanismo capace di assicurargliquesta propriet. Inoltre, il pendolo doveva essere perfettamente simmetrico: qualsiasi imperfezione nella forma onella distribuzione del peso poteva falsare i risultati dellesperimento, negando a Foucault la prova che desiderava.E infine, le oscillazioni andavano avviate in modo da non favorire nessuna direzione rispetto ad unaltra, comesarebbe accaduto, per esempio, se una mano avesse dato una spinta lievemente asimmetrica: era necessariocontrollare in modo perfetto le condizioni iniziali del moto pendolare.

Poich un pendolo simile non era mai stato costruito, la fabbricazione doveva procedere per prove ed errori.Foucault sperimentava il meccanismo da un mese quando finalmente riusc ad ottenere quello che voleva: il suopendolo poteva oscillare senza ostacoli in qualsiasi direzione.

Il 3 gennaio 1851 lapparato era pronto e Foucault lo mise in moto, trattenendo il fiato mentre il pendolocominciava ad oscillare;di colpo, per, il filo si ruppe e la palla cadde pesantemente a terra. Tre giorni dopo erapronto per un nuovo tentativo: con molta attenzione mise il pendolo in moto e attese. La palla inizi ad oscillaredavanti ai suoi occhi, lentamente.

E finalmente vide: scopr quel cambiamento, lieve ma chiaramente osservabile, del piano di oscillazione chestava cercando. Il piano delle oscillazioni del pendolo aveva deviato dalla direzione iniziale, come se una manomagica fosse intervenuta a spingerlo, leggermente ma costantemente, lontano da lui, e Foucault seppe di avereappena osservato limpossibile. I matematici francesi (e fra loro cerano gli illustri Cauchy, Laplace, Poisson)sostenevano unanimi che un moto simile non poteva verificarsi e che se si fosse verificato non avrebbe mai potutoessere rilevato; ma lui, che non era matematico n un fisico, in qualche modo sapeva da sempre che quella forzamisteriosa esisteva, e ora finalmente laveva trovata. Lo spostamento del piano di oscillazione del pendolo era benvisibile: Lon Foucault aveva appena visto la Terra girare.

Poco meno di un mese dopo (il 3 febbraio 1851) Foucault, coadiuvato dal signor Froment (un

valente artigiano noto per la qualit dei suoi manufatti in ottone ed altri metalli) present a tutti gli


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scienziati pi noti della citt un pendolo di undici metri, appeso alla volta della Sala del meridiano

dellOsservatorio di Parigi.

Nello stesso giorno Franois Arago, direttore dellOsservatorio, lesse ai membri dellAcadmie

des Sciences una comunicazione di Foucault in cui lautore non solo esponeva il suo primo

esperimento (quello effettuato nella cantina della sua abitazione) e la prova della rotazione della

Terra che ne risultava, ma presentava anche la legge (oggi nota come legge dei seni) perdeterminare il tempo T impiegato dal piano di oscillazione di un pendolo, ad una qualsiasi latitudine

, per compiere un giro completo fino a tornare al punto di partenza:

T = To/sen (1)

essendo To = 86400 s la durata di un giorno. Ai due poli il ciclo si compie in 24 ore (la precessione

del piano di oscillazione del pendolo risulta di 15 ogni ora) mentre allEquatore il piano di

oscillazione del pendolo non si sposta affatto (T = ) ed a Parigi, che si trova alla latitudine = 4851 , il ciclo si completa in 114743 s (pari a 31.873 ore) cui corrisponde una precessione del piano

di oscillazione = 11 18 ogni ora.Verso la fine di marzo dello stesso anno lesperimento venne ripetuto per il pubblico parigino

con un pendolo di 67 metri nel Pantheon di Parigi: lapparato era costituito da una sfera cava di

ottone riempita con piombo fuso (di massa 28 kg) sospesa mediante un filo di acciaio al

sensibilissimo meccanismo ideato da Foucault e fissato alla volta del tempio. Il pendolo veniva

allontanato dalla posizione di equilibrio mediante un nastro passante attorno al peso terminale e

tirato orizzontalmente da uno spago. La partenza del pendolo senza scosse veniva ottenuta

bruciando lo spago di modo che, alla rottura di questo ultimo, il nastro che circondava il peso

terminale in maniera lasca potesse cadere a terra, lasciando libero il pendolo di iniziare la sua

oscillazione. In un articolo apparso sul Journal des dbats Foucault stesso scriveva:

Dopo una doppia oscillazione durata sedici secondi, lo vedemmo ritornare circa 2.5 mm a

sinistra del punto di partenza. Poich lo stesso effetto continuava a verificarsi a ogni nuovaoscillazione del pendolo, questa deviazione aumentava continuamente in proporzione al passare del

tempo.

Lesperimento di Foucault fu ben presto ripetuto in diverse localit europee [nella cattedrale di

Reims ( = 49 19) nella cattedrale di Rennes in Bretagna ( = 48 4) nella biblioteca

Radcliffe di Oxford ( = 54 57) a Ginevra ( = 46 15) a Dublino in Irlanda ( = 53 26) a

Bristol ( = 51 23) nella cattedrale di York ( = 53 58) a Londra ( =51 30) - nella chiesa

dei gesuiti di

SantIgnazio in Vaticano

( = 41 53)], negli

Stati Uniti dAmerica [ a

New York ( = 40 45),

in Brasile [a Rio de

Janeiro ( = - 22 54)] e

nellisola di Ceylon [a

Colombo ( = 6 54)],

confermando nella mag-

gior parte dei casi la

correttezza della legge

dei seni di Foucault.

In Fig. 1 riportato lan-

Fig. 1 Dati teorici e sperimentali della precessione del piano di damento della precessio-oscillazione del pendolo in funzione della latitudine . ne (/ora) del piano di

-15

-10

-5

0

5

10

15

-90 -60 -30 0 30 60 90

Latitudine ()

Precessione

(/ora)

Rio de Janeiro

Colombo

Parigi


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oscillazione del pendolo in funzione della latitudine () che si ricava dalla legge (1) (linea

continua) ed i valori sperimentali di misurati in alcune delle localit sopra citate.

La legge dei seni di Foucault verr ricavata nella seconda parte di queste note sulla base della

trattazione dinamica del moto del pendolo in un sistema di riferimento (non inerziale) solidale con

la Terra. In questa sede ci si limiter a

fornire una spiegazione del fatto che ilpendolo ruota in senso orario rispetto ad un

osservatore terrestre a causa della forza di

Coriolis** . Tale forza agisce sui corpi che

si muovono su un sistema rotante e pu

essere facilmente sperimentata da un

osservatore che si muove in senso radiale

su una piattaforma girevole (quale pu

essere una giostra). Supponiamo che

losservatore si trovi a distanza R dal

centro di una piattaforma che ruota in senso

antiorario (lo stesso in cui ruota la Terra,osservata dal Polo Nord), la velocit con

cui viene trascinato dalla piattaforma data

da vn = R, essendo la velocit angolare

della piattaforma (Fig.2).

Se losservatore non si sposta dalla posi-

zione iniziale esso sar soggetto, a causa

Fig. 2 Schema per illustrare lorigine della forza di del moto rotatorio, alla forza centrifuga

Coriolis. (non rappresentata nella figura) diretta in

senso radiale verso lesterno (Fcf= mR2).

Se invece si sposta con velocit vrverso il centro della piattaforma si accorger di essere sottoposto(oltre alla forza centrifuga) ad una forza diretta ortogonalmente al suo moto. Questa forza nasce per

il fatto che la persona, spostandosi verso il centro della piattaforma, deve diminuire la propria

velocit di trascinamento. Tale forza agisce normalmente alla velocit v r ed diretta in senso

orario. Essa tanto pi intensa quanto pi velocemente si sposta la persona e quanto pi elevata la

velocit di rotazione della piattaforma (si dimostra che FCor = 2 m vr x ): essa facilmente

sperimentabile su una giostra in quanto con una velocit angolare = 1 rad/s la forza di Coriolis

agente su una persona di massa m = 70 kg che si sposta verso il centro con velocit vr = 1 m/s

assume il valore FCor= 140 N (circa 1/5 della forza peso).

Il moto di rotazione della Terra ( 7.27 10-5 rad/s) d luogo ad una accelerazione di Coriolis

(a Cor=F Cor/m) che varia dal polo allequatore con una legge del tipo:

a Cor= 2 vx sen (2)

essendo la latitudine del luogo. Tale forza molto debole tuttavia sufficiente a produrre alcuni

effetti riscontrabili in natura. Si deve alla forza di Coriolis la direzione ed il verso di rotazione dei

cicloni e degli uragani nei due emisferi ed in linea di principio il verso di rotazione dellacqua che

__________

** Gaspard Gustave Coriolis (1792-1843) laureato allEcole Polytechnique condusse ricerche nel

campo della meccanica e dellingegneria, introducendo in fisica termini quali il lavoro e la

energia cinetica. Nel 1835 pubblic un articolo intitolato Sulle equazioni del moto relativo deisistemi di corpi in cui descriveva la forza che oggi porta il suo nome.

vn

vn

vrFCor

R


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scende nello scarico di un lavandino (in senso antiorario nellemisfero Nord ed in senso orario

nellemisfero Sud**).

In alcuni dispositivi realizzati al tempo di Foucault il pendolo, dopo un breve intervallo di

tempo (in genere dopo poche decine di minuti) durante il quale tracciava orbite rettilinee, iniziava a

compiere, in maniera inspiegabile, oscillazioni di tipo ellittico con eccentricit sempre pi

crescente ed in cui lasse principale finiva per ruotare molto pi rapidamente di quanto previstodalla legge dei seni. A quellepoca si riteneva che in questi esperimenti le osservazioni effettuate

fossero state falsate dalle perturbazioni prodotte dalleccessivo affollamento della sala in cui veniva

eseguito lesperimento. Come si vedr nei paragrafi dedicati allo studio del moto del pendolo questo

comportamento anomalo, osservato in alcuni casi, si deve molto probabilmente attribuire ad

imperfezioni intrinseche del pendolo piuttosto che a perturbazioni esterne prodotte dal pubblico.

Come si vedr nella trattazione che segue un pendolo perfettamente simmetrico caratterizzato

da una velocit angolare costante ed indipendente dal piano di oscillazione [ = (g/L)1/2 essendo

g laccelerazione di gravit locale ed L la lunghezza del pendolo]; mentre un pendolo asimmetrico

presenta velocit angolari diverse lungo due piani tra loro ortogonali [x = (g/Lx)1/2 e

y

= (g/Ly)1/2], indicati come piani principali.

Il grado di asimmetria del pendolo viene misurato dal coefficiente = |x y|/2 ed il piano di

oscillazione del pendolo precede in senso orario (come nel caso del pendolo perfettamente

simmetrico) se senin dipendenza della posizione angolare di partenza rispetto ai due piani principali.

Nel caso di un pendolo perfettamente simmetrico il moto di precessione avviene, con buona

approssimazione, lungo traiettorie rettilinee (come mostrato in Fig. 4), mentre nel caso di un

pendolo asimmetrico il moto, inizialmente rettilineo diventa progressivamente ellittico (con

eccentricit dapprima crescenti e poi decrescenti) per ritornare poi di nuovo rettilineo (come

mostrato nelle Fig. 5-7).

Come mostrato dallo studio condotto da Kammerling Onnes possibile correggere lasimmetria

del pendolo aggiungendo ad esso in maniera opportunamente asimmetrica delle masse checonsentono di rendere tra loro uguali le lunghezze Lx ed Ly (annullando cio il coefficiente di

asimmetria ).

Nella seconda parte di queste note sar analizzato in dettaglio il moto di un pendolo semplice,

tenendo progressivamente conto delle forze agenti su di esso .e della eventuale presenza di

asimmetrie che producono un moto di tipo degenere, innescato dalla forza di Coriolis.

Il lettore che non intende approfondire tali argomenti pu saltare alla Parte Quarta dove viene

descritto lapparato ed in particolare il pannello di controllo e comando con le funzioni svolte dagli

interruttori e dai vari componenti mentre per le operazioni da effettuare per osservare i vari tipi di

moto (lo smorzamento delle oscillazioni in assenza di reintegro dellenergia persa per attrito dal

pendolo, la precessione del piano di oscillazione del pendolo dovuto alla sola forza di Coriolis, il

moto degenere di un pendolo asimmetrico) si rimanda al manuale duso (allegato a questo testo).

________

** E possibile osservare questo processo soltanto se lo scarico del lavandino esente da

imperfezioni o asimmetrie. Se nella geometria del lavandino presente anche una piccola

asimmetria questa pu indurre un moto vorticoso in uno o nellaltro verso, a prescindere dallazione

della forza di Coriolis. Questo, come si vedr in seguito quanto pu succedere anche nel caso del

moto di precessione del pendolo di Foucault: la presenza di una asimmetria pu perturbare inmaniera sostanziale il moto di precessione del piano di oscillazione del pendolo.


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Parte seconda

II.1 Analisi della dinamica del pendolo.

In questo paragrafo viene analizzata la dinamica di un pendolo semplice ideale nelle seguenti

condizioni di lavoro:

1) Moto di un pendolo semplice ed ideale in un sistema di riferimento inerziale, soggetto alla sola

forza peso (trascurando cio le forze fittizie dovute ai moti di rotazione e rivoluzione della Terra ed

in assenza di forze di attrito) nel caso di oscillazioni isocrone ( 3) e di oscillazioni non piisocrone.

2) Moto di un pendolo semplice ed ideale nel sistema di riferimento non inerziale della Terra (in

presenza cio delle forze fittizie dovute al moto di rotazione della Terra attorno al proprio asse).

3) Moto di un pendolo ideale asimmetrico nel sistema di riferimento non inerziale della Terra.

4) Moto di un pendolo reale in presenza delle forze di attrito .

5) Moto di un pendolo semplice smorzato dalle forze di attrito e forzato da una forza impulsiva

elettromagnetica.6) Cause del moto perturbato di un pendolo reale e metodo di correzione della asimmetria.

7) Analisi della azione di smorzamento del moto ellittico prodotta dallanello di Charron.

II.1.1 Moto di un pendolo semplice ed ideale in un sistema di riferimento inerziale.

Il moto di un pendolo sferico terrestre pu essere trattato, in prima approssimazione, come il

moto di un corpo puntiforme in un sistema di riferimento inerziale qualora si trascurino, rispetto alla

forza gravitazionale, le forze fittizie (forza centrifuga e forza di Coriolis dovute al moto di rotazione

della Terra attorno al proprio asse ed al moto di rivoluzione della Terra attorno al Sole).

Tale assunzione ragionevole se si limita lanalisi del moto su un intervallo di tempo contenuto(ad esempio poche decine o centinaia di oscillazioni complete del pendolo) in quanto le forze

fittizie, che sono di piccola entit rispetto alla forza gravitazionale, producono. su un breve periodo

temporale, effetti del tutto trascurabili. A titolo desempio il rapporto tra la forza centrifuga

massima Fc (allequatore) e la forza gravitazionale Fg dato da:

Fc/Fg = 2R3t/GMt 3.5 10

-3 (3)

dove , Rt ed Mt sono rispettivamente la velocit angolare di rotazione, il raggio e la massa della

Terra e G la costante di gravitazione. Il rapporto tra la forza di Coriolis massima FC (ai poli) e la

forza gravitazionale Fg agente su un pendolo di lunghezza L dato da:

FC/Fg = 2vRt2/GMt = 2LRt

2/GMt = 2(L/g)1/2 4.7 10-5 L1/2 (4)

dove v ed sono rispettivamente la velocit con cui la massa pendolare transita dal centro

delloscillazione e la velocit angolare del pendolo [ = (g/L)1/2].

Analogamente si trova che i rapporti tra la forza centrifuga F c e tra la forza di Coriolis FC

(dovute al moto di rivoluzione della terra attorno al Sole) e la forza gravitazionale terrestre sono dati

rispettivamente da:

Fc/ Fg = 2RsRt

2/GMt 6.1 10-4 (5)

FC/ Fg = 2LRt2/GMt = 2(L/g)

1/2 1.3 10-7 L1/2 (6)


13/62

12

dove la velocit angolare (media) di rivoluzione della Terra attorno al Sole ed Rs la distanza

media tra la Terra ed il Sole.

Pertanto trascurando in prima approssimazione le forze fittizie possibile ricavare in maniera

semplice alcune delle principali caratteristiche

del moto, (tipo di traiettoria, velocit angolare e

periodo del moto).Assumendo che il moto avvenga costantemente

nel piano PSO (Fig. 3) qualora si considerino

oscillazioni di piccola ampiezza (cos = 1 e

sen = ) ed il filo di sospensione di

lunghezza L sia inestendibile e perfettamente

flessibile, lequazione del moto data da:

d2/dt2 = - (g/La) (7)

dove g laccelerazione di gravit locale [in

realt utilizzando il valore della accelerazione di

Fig. 3 Sistema di riferimento cartesiano gravit locale non si trascura la forza centrifuga

inerziale. (forza fittizia dovuta al moto di rotazione della

Terra) che risulta automaticamente inglobata

nella forza peso], La una lunghezza mediante la quale si tiene conto della spinta archimedea

dellaria [La = L m / (m-a) essendo m e a rispettivamente la densit del materiale del pendolo

e la densit dellaria], ed (t) langolo formato dal filo con la verticale passante per il punto di

sospensione. La soluzione dellequazione (7) data da:

(t) = max cos (t+) (8)

dove max e sono determinate dalle condizioni iniziali.

Qualora le condizioni iniziali producano un moto che non si svolge costantemente in un piano

conviene scrivere le equazioni di moto in coordinate cartesiane:

d2x/dt2 = -(g/La) x

d2y/dt2 = -(g/La) y (7bis)

z = L(1-cos (t))

Le prime due equazioni differenziali del sistema (7bis) non sono accoppiate e possono essere

risolte indipendentemente:

x(t) = A cos (t + ) y(t) = B cos(t + ) (9)

Il moto del pendolo la sovrapposizione di due moti armonici lungo due assi ortogonali, tra loro

indipendenti di ampiezze A e B e costanti di fase e che vengono determinati dalle condizioni

iniziali. In generale il moto avviene su unorbita ellittica con centro in O e periodo di rivoluzione:

= 2/ = 2(La/kg)1/2 (10)

che risulta indipendente dallampiezza di oscillazione (oscillazioni isocrone purch max siasufficientemente piccolo).

x

y

x

mg

O

z

S

y

P


14/62

13

Nel caso che il pendolo parta da fermo da un punto di coordinate x o = cos ed yo = sen (cio

a distanza unitaria dalla verticale passante per il punto di sospensione del pendolo) le equazioni

orarie del moto diventano:

x = cos cos(t) y = sen cos (t) (11)

cio la traiettoria ellittica diventa una traiettoria rettilinea (il moto avviene costantemente nel piano

verticale definito dallasse z e dal punto di partenza del moto oscillatorio del pendolo).

Lo spostamento della massa del pendolo lungo lasse z, anchesso di periodo , di piccola

entit (rispetto agli spostamenti nel piano xy) e pertanto si pu in prima approssimazione assumere

che il moto si svolga nel piano xy.

Se il pendolo compie ampie oscillazioni per cui non pi soddisfatta la condizione (cos =1 e

sen = ) lequazione di moto (nel caso che il pendolo parta senza una componente della velocit

trasversale rispetto al piano individuato dal filo di sospensione e dalla verticale nel punto di

sospensione) pu essere scritta nella forma:

d2/dt2 + (g/La) sen = 0 (12)

dove rappresenta langolo di inclinazione del filo rispetto alla verticale al generico istante t.

Il moto risulta ancora periodico ma le oscillazioni non sono pi isocrone. Il periodo di

oscillazione varia con lampiezza massima max della oscillazione:

= 2 (La/g)1/2[1 + s2/4 + 9s4/36+ .] (13)

dove s = sen(max/2). Come si pu ricavare immediatamente dalla relazione (13) il periodo di

oscillazione aumenta soltanto di circa lo 0.17% passando da una oscillazione con max

= 3 ad una

oscillazione con max = 10. Il problema di una ampiezza di oscillazione superiore a 3-4 consiste

nel fatto che lo smorzamento diventa pi elevato e quindi per un pendolo intrattenuto necessario

fornire maggiore energia.

Per semplificare lo studio del moto del pendolo in presenza delle varie forze (forza di Coriolis,

forze di attrito, forza magnetica, etc.), si adotter, a seconda dei casi, la descrizione del moto del

pendolo come se avvenisse costantemente in un piano [cio scrivendo lequazione del moto in

funzione dellangolo (t)] oppure si adotter la descrizione del moto nel piano xy.

II.1.2 Moto del pendolo semplice ed ideale nel sistema di riferimento non inerziale della

Terra.

Per uno studio pi completo del moto del pendolo (in assenza di forze di attrito) occorre

considerare accanto alle forze reali (forza gravitazionale e spinta archimedea) le forze apparenti

(forza centrifuga e forza di Coriolis).

In questa analisi si trascura il moto di rivoluzione della Terra attorno al Sole (in quanto la forza

centrifuga e la forza di Coriolis sono rispettivamente inferiori di un fattore 6 e di un fattore 360

rispetto alle corrispondenti forze dovute al moto di rotazione della Terra).

Poich la forza centrifuga (dovuta al moto di rotazione della Terra attorno al proprio asse) giace

nello stesso piano della forza gravitazionale (piano definito dal punto materiale del pendolo e

dallasse terrestre) questa forza fittizia pu essere inglobata nella forza peso (in altri termini si tiene

conto di tale forza attraverso il valore dellaccelerazione g che varia passando dal poloallequatore).

Le componenti cartesiane secondo gli assi x ed y della forza di Coriolis sono date da:


15/62

14

(Fc)x = 2mz vy (Fc)y = - 2mz vx (14)

essendo z la componente verticale del vettore velocit angolare terrestre alla generica latitudine

geografica misurata a partire dallequatore (z = sen essendo la velocit angolare della

Terra) e vx, vy sono le componenti della velocit del pendolo.Nonostante lesigua entit della forza di Coriolis gli effetti prodotti da questa forza si sommano

ad ogni oscillazione del pendolo dando luogo ad una rotazione del piano di oscillazione di 15 ogni

ora quando il pendolo si trova al polo e di 15sen ogni ora quando il pendolo si trova alla

latitudine (come mostrato dallanalisi che segue).

Le equazioni del moto del pendolo in presenza della forza di Coriolis diventano:

d2x/dt2 = -(g/La) x + 2z dy/dt = -2 x + 2z dy/dt

(15)

d2y/dt2 = -(g/La) y - 2z dx/dt = -2 y - 2z dx/dt

Le due equazioni sono accoppiate e non possono essere risolte indipendentemente. Senza entrare

nel dettaglio di come si pu risolvere il problema dellintegrazione delle equazioni (15), sono

riportate le soluzioni nel caso in cui il pendolo venga rilasciato con velocit nulla da un punto di

coordinate xo = cos yo = sen (cio a distanza unitaria dalla verticale passante per il punto di

sospensione del pendolo):

x = cos(z t ) cos (t) + (z/) sen(z t ) sen (t)

y = -sen(z t ) cos (t) + (z/) cos(z t ) sen (t) (16)

Il moto risultante la combinazione di moti periodici con frequenze ed z che differiscono permolti ordini di grandezza:

z >

pertanto nell'intervallo di tempo (0, ) il prodotto (z t) rimane praticamente costante. In particolare

se si pone, in prima approssimazione z = 0 si ritrova la soluzione inerziale (11):

x = cos cos(t) y = sen cos (t) (11bis)

Dallanalisi delle equazioni (16) si ricava che essendo z/ dellordine di 10-5 10-4 si possono

trascurare i secondi termini e riscrivere la soluzione nella forma approssimata:

x = cos(z t ) cos (t)

y = - sen(z t ) cos (t) (16 bis)

da cui si ricava che al termine della prima oscillazione (al tempo t = ) il pendolo non torna nel

punto di avvio ma nel punto ruotato di un angolo:

= z (17)

Tale spostamento angolare (molto piccolo) si accumula ad ogni oscillazione producendo un effettovisibile. In particolare lo spostamento angolare subito in 1 ora = 3600 s da un pendolo che si trova

alla latitudine risulta essere:


16/62

15

() = z 3600 = sen 3600 = 2/24 sen = 15 sen (18)

che rappresenta, sotto altra forma, la legge dei seni di Foucault.

Le relazioni (16) consentono di determinare e riportare nel grafico di Fig. 4 la traiettoria nel piano

xy del pendolo installato da Foucault nel Pantheon di Parigi (La = 67 m) durante le prime treoscillazioni complete (si noti che per motivi di rappresentazione gli spostamenti lungo lasse y

sono stati amplificati di un fattore 1000 rispetto agli spostamenti lungo lasse x).

In base alla osservazione riportata da

Foucault stesso si deduce che

lampiezza angolare massima doveva

essere di circa 2.5 corrispondente

ad uno spostamento lineare della

massa pendolare di circa 2.9 m.

II.1.3 Moto di un pendolo ideale

asimmetrico nel sistema di

riferimento non inerziale della

Terra.

Un pendolo ideale pu risultare

soggetto, a causa di imperfezioni co-

struttive, a forze e momenti mec-

canici di piccola intensit ma che a

lungo andare possono influenzarne il

moto in maniera cos significativa daFig. 4 Traiettoria nel piano xy del pendolo di Foucault nel impedire losservazione della preces-

Pantheon di Parigi durante le prime tre oscillazioni. sione del piano di oscillazione dovuta

alla forza fittizia di Coriolis.

Lanalisi teorica e sperimentale del moto perturbato di un pendolo semplice stata condotta nel

1879 (cio quasi trenta anni dopo i primi esperimenti di Foucault) dal fisico olandese Kammerling

Onnes ** durante la sua tesi di dottorato a Groningen, il cui largomento era stato suggerito da

Gustav Kirchhoff, uno dei suoi primi insegnanti.

In un pendolo ideale asimmetrico il momento di inerzia pu presentare valori differenti in

dipendenza della orientazione del piano di oscillazione e questo fatto fa s che la pulsazione del

pendolo non si mantenga costante come nel caso ideale esaminato nel precedente paragrafo.

Se il pendolo non possiede una perfetta simmetria rotazionale le equazioni di moto (15) del

pendolo semplice introdotte nel precedente paragrafo vengono modificate ed assumono la seguente

forma:

d2x/dt2 = -(g/Lx) x + 2z dy/dt = -x2 x + 2z dy/dt

(19)

d2y/dt2 = -(g/Ly) y - 2z dx/dt = -y2 y - 2z dx/dt

_________

** Kammerling Onnes professore dellUniversit di Leida e premio Nobel nel 1913 per la Fisica

per le sue ricerche sulle propriet della materia alle basse temperature che portarono, tra le altrecose, alla produzione dellelio liquido ed alla scoperta della superconduttivit.

-10

-6

-2

2

6

10

-4 -2 0 2 4 6

x(m)

y(mm

)

t = 0 s

t = 16 s

t = 32 s

t = 48 s


17/62

16

dove Lx ed Ly sono due lunghezze differenti in due piani ortogonali che tengono conto, come si

detto poco sopra della differenza tra i momenti principali di inerzia. La direzione degli assi di

riferimento x ed y si identifica con la direzione in cui rispettivamente massima e minima la

derivata prima della forza gravitazionale.

Per la soluzione delle equazioni differenziali (19) si pone:

(g/Lx)1/2 = + (g/Ly)

1/2 =

(20)

x = a cos[(+)t +] y = b sen [(+)t +]

dove un parametro che tiene conto della asimmetria del pendolo e dove ( z , , )


18/62

17

(a) Un moto oscillatorio lineare nella direzione o (posizione angolare di avvio del moto) negli

istanti in cui At = 0, , 2 ;

(b) Un moto ellittico in cui il diametro maggiore diretto come lasse y negli istanti in cui At = r/2,

+r/2, 2+r/2 dove r la radice dellequazione trascendentale:

tang r = tang 2 /sen 2 (27)

e il moto del pendolo avviene in senso

antiorario se 0 < o< /2;

(c) Un moto oscillatorio lineare nella direzione

o si ripresenta quando At = r, +r, 2+r ;

(d) Un moto ellittico in cui il diametro

maggiore diretto come l asse x ogniqualvolta

At = (+r)/2, (2+r)/2 . In questo caso il

moto del pendolo avviene in senso orario (per

lo stesso valore di o).Se lasimmetria del pendolo piccola (cio

abbastanza pi piccolo di z) il moto di

precessione dellasse maggiore dellellisse

avviene in senso orario in maniera continua

anche se non con velocit perfettamente

uniforme.

In Fig. 5 illustrata questa situazione nel caso

di un pendolo, alla latitudine di Milano ( = 45

Fig. 5 Traiettorie del pendolo quando < > z le traiettorie ellittiche oscillano tra la posizione angolare iniziale o e la

posizione angolare simmetrica rispetto allasse pi vicino (indicata con - o) come mostrato neigrafici di Fig. 6, nei quali sono riportate le orbite dello stesso pendolo sopra considerato nel caso

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

t =0

3 h

6 h

9 h

12 h15 h

18 h

21 h

24 h

27 h

30 h33 h o=60


19/62

18

in cui = 5.5 10-4 rad/s (corrispondente a 10.6 z e ad una asimmetria della lunghezza delpendolo nei piani xz ed yz di 0.35 mm) e le posizioni angolari di partenza sono rispettivamente

o = 30 e o = 60.

-1,2

0

1,2

-1,2 0 1,2

o= 30

t=0

t=2730 s

-1,2

0

1,2

-1,2 0 1,2

o= 60

t=0t = 2924 s

Fig. 6 Traiettorie del pendolo, nel caso di asimmetria pronunciata ( >> z) per due diversi valori

di o situati nel primo quadrante (0< o < 90) e limitatamente alla sola fase di andata del moto di

precessione da o a o.

La traiettoria negli istanti iniziali rettilinea, diventa ellittica con eccentricit dapprima

decrescente e poi crescente sino a quando, dopo un intervallo di tempo di circa tre quarti dora

(t = 45 30 quando o = 30 e t = 48 44 quando o = 60) ritorna ad essere rettilinea in - oe si completa cos la prima fase del ciclo di precessione. In questo intervallo di tempo il senso di

percorrenza antiorario, come indicato dalle frecce, ed indipendente dal valore di o, mentre la

precessione delle orbite avviene in senso orario nel caso di o = 30 ed in senso antiorario nel caso

di o = 60. Durante la fase di ritorno sia il senso di percorrenza che il verso della precessione

subiscono una inversione. E da notare, come si pu ricavare dalle caratteristiche generali del moto

sopra riportate, che mentre il periodo per una oscillazione completa del moto di precessione

indipendente dal valore di o ( t 5654 s), il periodo della fase di andata e quello della fase diritorno sono leggermente diversi (nel caso di o = 30 il periodo di andata di 2730 s ed il periodo

di ritorno di 2924 s; nel caso di o = 60 il periodo di andata di circa 2924 s ed il periodo di

ritorno di circa 2730 s).La dinamica del pendolo risulta ulteriormente complicata quando dello stesso ordine di

grandezza di z (pur essendo sempre maggiore di z). In questo caso il moto non rimane pi

confinato tra o e o ma ricopre una ampiezza angolare maggiore (tanto pi estesa quanto minore

il divario tra ed z). Nelle Fig. 7 e Fig. 9 sono riportate le orbite dello stesso pendolo sopra

considerato nel caso in cui = 1.56 10 -4 rad/s (corrispondente a 3 z e ad una asimmetriadella lunghezza del pendolo nei piani xz ed yz di circa 0.1 mm) quando le posizioni angolari di

partenza sono rispettivamente o = 30 e o = 60.

Nel primo grafico di Fig. 7 sono riportate le orbite durante la fase di precessione in senso orario;

nel secondo grafico le orbite nella fase di precessione in senso antiorario.


20/62

19

Le traiettorie che precedono in senso orario superano la posizione angolare simmetrica (- o) e

giungono sino alla posizione angolare -33.9. A questo punto si ha una inversione del moto diprecessione che prosegue sino alla posizione angolare + 33.9.

Fig. 7 Traiettorie del pendolo quando 3z e la posizione angolare di avvio si trova a o = 30.

In Fig. 8 mostrata levoluzione temporale del moto dellasse maggiore delle orbite ellittiche e gli

istanti in cui le orbite sono rettilinee o sono ellissi con lasse maggiore che giace sullasse x.

La velocit di precessione non

costante ed in media risulta di circa20.4/h nella prima fase e di circa

48.6/h nella fase di ritorno.

Durante la prima fase il pendolo

percorre in senso antiorario le orbite

ellittiche sino a quando non superano

la posizione angolare = -o; nella

seconda fase esso percorre le orbite in

senso orario, come indicato dalle

frecce nei grafici di Fig. 7.

Nel caso in cui o = 60 (Fig. 9) le

traiettorie inizialmente precedono in

senso orario sino a giungere ad una

posizione angolare 56.3 dopo diFig. 8 Evoluzione temporale dellangolo di pre- che invertono il moto di precessione si-

cessione nel caso di o = 30. no a raggiungere la posizione angolare

re simmetrica -56.3.Nel primo grafico sono riportate le orbite durante la fase in cui, partendo da o = 60, giun-

gono dapprima a 56.3 (precessione in senso orario) ed in seguito raggiungono la posizionesimmetrica ( = -56.3 ) (precessione in senso antiorario). Nel secondo grafico sono riportate le

orbite nella fase di precessione in senso antiorario da = -56.3 a = 56.3.

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

=30

t =16280 s

t =11253 s -33.9

33.9

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

=30

t =0

t =11253 s -33.9

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 5000 10000 15000 20000

t (s)

()


21/62

20

Fig. 9 Traiettorie del pendolo quando 3z e la posizione angolare di avvio si trova a o = 60.

Nel grafico di Fig. 10 mostrata levoluzione temperale dellangolo di precessione nel caso in

cui o = 60 e gli istanti in cui le orbite sono rettilinee o sono ellissi con lasse maggiore che giace

sullasse y. Il moto di precessione in senso orario da o= 60 a = 56.3 avviene molto lentamente

(con una velocit media di circa 5/h), mentre il moto di precessione in senso antiorario molto

rapido (con una velocit media di circa 45.6/h). Il moto di precessione in senso orario da = -56.3

a = 56.3 avviene con una velocit media di circa 17.8/h. Il verso di percorrenza delle orbite

indicato nei grafici di Fig. 9.

Questa analisi del moto perturbato,compiuta per la prima volta da

Kammerling Onnes, consente di trarre

alcune conclusioni e di formulare

alcune considerazioni sia di ordine

particolare (connesse cio al problema

specifico del pendolo di Foucault) sia

di ordine generale (connesse alla teoria

delle perturbazioni degeneri che si

presentano in altri campi della Fisica).

a) Si comprende innanzitutto come iprimi ricercatori, non avendo affronta-

to il problema degli effetti prodotti sul-

Fig. 10 Evoluzione temporale dellangolo di pre- la dinamica del pendolo da asimmetrie

cessione nel caso di o = 60. costruttive anche di piccolissima entit,

fossero disorientati quando osserva-

vano le orbite ellittiche, in particolar modo quando esse presentavano una evoluzione temporale

cos complicata come quella mostrata nelle Fig. 6-9. Per questa ragione in alcuni casi erano portati

ad attribuire il moto ellittico a perturbazioni esterne, quale leccessiva affluenza di pubblico che

partecipava alla dimostrazione.

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

t =21600 s

=60

t =7965 s 56.3

-56.3

-1,2

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

1,2

-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2

t =2655 s

=60

t =7965 s 56.3

-56.3

t =0

-120

-90

-60

-30

0

30

60

90

120

0 6000 12000 18000 24000

t (s)

()


22/62

21

b) L analisi della dinamica di un pendolo ideale asimmetrico facilita lo studio della dinamica di un

pendolo reale asimmetrico. In particolare nel paragrafo II.1.6 verranno esaminate due cause di

asimmetria (geometria non perfettamente sferica della massa pendolare e sezione non perfettamente

cilindrica del filo di sospensione) e ricavata la dipendenza funzionale delle due lunghezze Lx ed Ly

dai parametri geometrici e fisici della asimmetria.

c) In base alla osservazione ed alla misura delle caratteristiche del moto perturbato possibile

risalire alla asimmetria globale che provoca tale moto e procedere ad una compensazione che

consenta di realizzare il pendolo ideale di Foucault. Anche questo aspetto verr esaminato nel

paragrafo II.1.6 e nel paragrafo III..2.3.

d) Lanalisi del moto perturbato del pendolo storicamente il primo esempio di teoria della

perturbazione degenere della quale si trovano esempi in diversi campi sia della fisica classica (modi

degeneri nelle cavit a microonde e nellottica laser) sia della fisica quantistica . A questo proposito

si pu consultare larticolo di E.O. Schulz-DuBois [American Journal of Physics 173, 38 (1970)].

II.1.4 Moto di un pendolo reale in presenza delle forze di attrito.

Nel caso di un pendolo reale la massa oscillante non puntiforme, il filo di sospensione non

perfettamente flessibile ed inestendibile ed il moto avviene in aria: nascono pertanto forze e

momenti meccanici che si sommano vettorialmente alle forze considerate nel caso di un pendolo

ideale.

Per semplificare lo studio degli effetti prodotti sul moto del pendolo da queste forze e momenti

meccanici questi ultimi verranno presi in esame in maniera separata.

II.1.4.1 Forze e momenti agenti sul filo reale.In primo luogo il filo sottoposto ad una tensione T che variabile con la posizione angolare del pendolo :

T = m(g cos + v2/L) = mg [1+ max

2 32/2] (28)

dove:

= max cos t sen2t = 1- 2/max

2 v = - L max sen t = - max (gL)1/2 sen t

La tensione del filo passa da un valore minimo Tmin = mg cos max= mg (1- max2/2) quando

= max ad un valore massimo Tmax = m (g+v2/L) = mg(3-2cosmax) = mg (1+ 2max) quando

= 0. Tale variazione si presenta ad ogni semiperiodo ed il filo subisce periodicamente un

allungamento dato da:

L/L = (Tmax-Tmin)/(E S) (29)

dove L la lunghezza del filo (quando sottoposto alla tensione Tmin), S la sua sezione ed E il

modulo di Young della sostanza con la quale realizzato il filo.

Nel grafico di Fig. 11 mostrato lo scostamento del baricentro di un pendolo di massa m = 1.5 kg

dalla traiettoria circolare, quando il filo di sospensione in acciaio (E = 2 10 11 N/m2) ha una

lunghezza L = 1 m ed un diametro D = 0.4 mm e lampiezza massima delloscillazione max = 9.


23/62

22

Come si pu notare lo scostamento dalla

traiettoria circolare inferiore a 0.03 mm e

quindi leffetto prodotto da questa variazione

della tensione sul filo pu considerarsi tra-

scurabile: la variazione massima della

velocit angolare in percentuale di circa 1parte su 105 ed il periodo aumenta in

percentuale di meno di 1 parte su 105.

Tuttavia, come si vedr in seguito essa

pu produrre uno smorzamento importante

qualora il materiale del filo non lavori in

regione perfettamente elastica.

In secondo luogo il filo subisce una flessione

in prossimit del punto di sospensione che d

Fig. 11 Scostamento della posizione del centro di origine ad un momento meccanico M la cui

massa del pendolo a causa della variazione intensit risulta proporzionale alla deflessio-

della tensione agente sul filo in funzione ne angolare :dellangolo .

M =IE/R =IE /d (30)

dove E il modulo di Young, R il raggio di curvatura della regione flessa del filo, d la lunghezza

dellarco di raccordo tra il punto di sospensione e la parte rettilinea del filo quando esso ruotato

dellangolo rispetto alla verticale ed Iil momento di inerzia che per un filo cilindrico di diametroD dato da:

I= D4

/64 (31)

Questo momento di natura elastica si somma al momento meccanico Mg della forza peso, calcolato

rispetto allasse orizzontale passante per il punto di sospensione e normale al piano di oscillazione:

Mg = (m-a) V g L (32)

dove m g= m V g la forza peso ed ma g = a V g la spinta archimedea dellaria.

Nel caso del pendolo considerato allinizio di questo paragrafo si trova:

Mg = 2.31 Nm M 0.8 - 1.3 10-2

Nm ( per d = 5 e 3 mm)

cio il momento di richiamo dovuto alla flessione del filo rappresenta in genere una correzione

abbastanza piccola del momento meccanico dovuto alla forza peso.

Ne consegue che lequazione di moto di una massa pendolare perfettamente sferica, nellipotesi che

questa oscilli costantemente nello stesso piano, pu essere scritta nel seguente modo:

(mL2+(2/5)m R2) d2/dt2 = -(mLg+IE/d) (33)

essendo L la distanza tra il punto di sospensione ed il baricentro del sistema ed R il raggio della

massa sferica.

-0,03

-0,02

-0,02

-0,01

-0,01

0,00

-10 -5 0 5 10

()

z(m

m)


24/62

23

Il periodo del pendolo diventa:

= 2/{[g/L[1+(2/5)(R/L)2] + IE/[m L2d+(2/5)mR2d)]} 1/2 (34)

Nel caso del pendolo preso in esame poco sopra e nellipotesi che la parte del filo interessata alla

flessione sia di alcuni millimetri (d = 3-5 mm), il periodo di oscillazione risulta ridotto rispetto alperiodo del pendolo ideale di circa 2 parti su 104 (nel caso in cui d = 3 mm) e di 1 parte su 10 4 (nel

caso in cui d = 5 mm).

II.1.4.2 Forze di attrito.Le forze di attrito agenti su un pendolo reale sono di diversa natura :

i) forza di attrito dellaria;

ii) forze di attrito interne al filo dovute ad un comportamento non perfettamente elastico di

questultimo durante le sollecitazioni meccaniche prodotte dal moto del pendolo;

iii) forze dissipative dovute alle correnti indotte dal campo magnetico terrestre nel materiale della

massa pendolare.Mentre la forza dattrito dellaria pu essere calcolata con buona precisione, degli altri due tipi

di forze pu essere fornita soltanto una valutazione approssimata.

Conviene pertanto analizzare il comportamento dinamico del pendolo semplice ideale nel caso in

cui sia presente soltanto la forza dattrito dellaria per poi estendere il risultato al caso generale in

cui sono presenti anche le altre forze di attrito.

II.1.4.2a Forza di attrito dellaria e studio del moto smorzato.

La forza di attrito dellaria su una sfera in moto con velocit v (forza di Stokes) data da:

FS = - 6Rv = - kS d/dt (35)

dove kS = 6RL essendo R il raggio della sfera ed il coefficiente di viscosit dellaria ( = 185

poise = 18.5 10-6 unit MKS alla temperatura t = 25 C).

Lequazione di moto del pendolo in presenza di tale forza e per piccole oscillazioni ( max 3) data da:

d2/dt2 + [ka/(sV)] d/dt + [(s-a)/s](g/L) = 0 (36)

essendo ka = kS/L, s la densit della sfera, a la densit dellaria (a = 1.293 kg/m3), V il volume

della sfera, L la distanza tra il punto di sospensione ed il centro di massa del pendolo, glaccelerazione di gravit locale (g = 9.81 m s-2) . Ponendo:

= ka/(2sV) o2 = [(s-a)/s]g/L

2 = 2o2 = (-)1/2 (37)

la soluzione data in generale da:

= A e t

sin (t + ) (38)

e nel caso che le condizioni iniziali siano (t=0) = max e (d/dt)t=0 = 0, la soluzione data da:

= max e t

cos (t ) (39)


25/62

24

La scelta di far comparire il termine ka (anzich lespressione esplicita ka = 6r) stata fatta in

previsione di includere in questo coefficiente anche le altre forme di attrito (che provengono dagli

attriti interni del filo di sospensione e dagli attriti interni della struttura di supporto non

perfettamente rigida e dagli attriti di natura elettromagnetica).

Il coefficiente di smorzamento dellaria tanto pi piccolo quanto pi elevata la massa del

pendolo [ decresce in funzione della densit della sostanza e del raggio della sfera come 1/(sR

2)].

Lo smorzamento dovuto allattrito dellaria piuttosto piccolo [a titolo di esempio i valori di kae di per una sfera di ferro di diametro 2R =72 mm (allincirca uguale al diametro equivalente del

pendolo realizzato al Dipartimento di Fisica) sono rispettivamente:

ka= 1.255 10-5 s-1 kg = 4.22 10-6 s-1 (40)

ed in assenza di altri attriti, consentirebbe al pendolo di oscillare per un periodo di parecchie ore

[circa 7 ore con una riduzione dellampiezza iniziale del 10%].

In realt le altre forme di attrito, in genere possono produrre uno smorzamento pi pronunciato chepu essere determinato in maniera sufficientemente precisa soltanto per via sperimentale.

Per quanto riguarda il periodo di oscillazione del moto smorzato = 2/ si trova che esso non

si discosta apprezzabilmente da quello in assenza di attrito poich in ogni caso > ) data da:

/2 /2

= (/2) kaLmaxe-t

[4 cos(t)dt+ 4sen(t)dt] =0 0

= 2 ka L max e-t (/+1) 2 kaL max e

-t (42)

Lenergia media Earia , dissipata negli istanti iniziali del moto (e-t

= 1) per attrito nellaria in unperiodo (spostamento uguale a 4 L max) , data da:

Earia = 8 ka L2max

2 (43)

Nel caso di un pendolo di lunghezza L = 1 m e costituito da una sfera di diametro 2R = 72 mm la

forza dattrito mediata su un periodo e la perdita di energia in un periodo assumono i valori:

= 3.94 10-6 N Earia = 2.48 10

-6 J (44)


26/62

25

II.1.4.2b Forze di attrito interne al filo di sospensione.

Come si visto nel paragrafo II.1.4.1 il filo subisce periodicamente degli allungamenti di piccola

entit essendo per sottoposto a sforzi in genere piuttosto elevati (in altri termini il punto di lavoro

nel diagramma sforzi-deformazioni si trova in genere lontano dallorigine ed in una regione non

perfettamente elastica del materiale).Il lavoro L fatto dalla tensione T del filo durante lallungamento L del filo (2 volte ad ogni

oscillazione completa) dato da:

max max

L= (L/max)T d = (mgL/ max )[ + max2 3/2] = mgL[2+max2] (45)-max -max

Se una frazione di questo lavoro viene dissipata per attriti interni del filo di sospensione, questa

energia Efilo = Lviene sottratta al moto del pendolo.

In Tabella I sono riportate in funzione dellampiezza massima di oscillazione di un pendolo

costituito da una sfera di ferro di massa m 1.59 kg le seguenti quantit:- le tensioni estreme (Tmin, Tmax) cui sottoposto un sottile filo di acciaio (S = 10

-2 mm2, E

= 2 1011 N/m2);

- gli allungamenti L subiti da questo ultimo;

- le energie dissipate per attrito nellaria e per attrito nel filo nellipotesi che = 10-3.

Tabella I

Dai dati di Tabella I si desume che sufficiente un comportamento anelastico dello 0.1% del filo di

sospensione per produrre praticamente la stessa perdita di energia (per ogni periodo di oscillazione)

prodotta dallattrito dellaria. Non si pu escludere a priori che la componente di anelasticit sia un

fattore 2-3 volte pi elevato (cio dellordine dello 0.2-0.3%).

Forze di attrito di intensit ancora maggiore si manifestano nella zona di flessione del filo in

prossimit del punto di sospensione. Infatti le fibre esterne del filo sono sottoposte a sforzi elevati

che portano il punto di lavoro (nel diagramma sforzi-deformazione) in una regione plastica del

materiale. A titolo desempio nel pendolo in scala ridotta realizzato con un filo di acciaio di 0.4 mm

di diametro, quando lampiezza massima di oscillazione di 9-10 , gli sforzi nelle fibre esterne

risultano dellordine di 1500-2500 N/mm2

, abbastanza prossimi al carico di rottura.In conclusione le perdite di energia a causa degli attriti interni al filo possono risultare

notevolmente superiori a quelle prodotte dallattrito dellaria.

S = 10-2 mm2

< > 500N/mm2 = 10-3

max()

Tmin(N)

Tmax(N)

L(mm)

Earia(J)

Efilo(J)

3 15.561 15.626 0.0103 2.78 10-7 3.21 10-7

4 15.545 15.659 0.0181 4.94 10-7 5.64 10-7

5 15.524 15.702 0.0283 7.72 10-7 8.82 10-7

6 15.498 15.754 0.0407 1.11 10-6 1.27 10-6

7 15.467 15.815 0.0554 1.51 10-6 1.73 10-6

8 15.431 15.886 0.0724 1.98 10-6 2.26 10-6

9 15.391 15.967 0.0917 2.50 10-6 2.86 10-6

10 15.346 16.057 0.1132 3.09 10

-6

3.58 10

-6


27/62

26

II.1.4.2c Forze di attrito di natura elettromagneticainterne alla massa pendolare.

Il calcolo esatto delle correnti parassite che si instaurano nel massa metallica del pendolo a

causa del suo moto nel campo magnetico terrestre (flusso tagliato) un problema complesso,

nonostante la geometria relativamente semplice (sfera metallica), che richiede una trattazione

mediante codici di calcolo tridimensionali. Una stima approssimata per eccesso delle correntiparassite e delle conseguente forza dattrito che tende a frenare il pendolo pu essere ottenuta

considerando la forza elettromotrice che nasce nella sostanza metallica:

E= - Ld/dt B (46)

e la resistenza elettrica R di un cilindro di resistivit , avente una altezza h = 2r (pari al diametro

della sfera) ed una sezione S = (2/3) r2 :

R= 3/(r) (47)

Dalle precedenti relazioni si ricava lintensit Ip(t) delle correnti parassite e lintensit della forza

dattrito Fp(t) che risulta proporzionale alla velocit angolare (d/dt)

Ip(t) = - Lr (d/dt) B/3 Fp(t) = 2r I B = -2Lr2 B2 (d/dt) /3 (48)

Per un confronto con la forza di attrito dellaria possiamo ricavare lespressione del coefficiente p:

p = r2B2/(3sV) (49)

Nel caso di una sfera di ferro di diametro equivalente 2R = 72 mm ( = 9.7 10-8m) ed un pendolo

di lunghezza L = 1 m, assumendo che il campo magnetico terrestre sia B = 0.5 10 -4 T si ottiene cheil coefficiente di attrito dato da:

p = 2.2 10-5 s-1 (50)

cio circa 5 volte superiore al coefficiente di attrito dellaria.

Conclusione: Dallanalisi condotta sulle fonti di attrito si ricava che, con buona probabilit, ilcoefficiente di attrito dellaria il fattore meno importante nello smorzamento del moto pendolare

e che conviene quindi determinare sperimentalmente lo smorzamento del pendolo sia per scegliere

il diametro del filo pi adatto sia per dimensionare correttamente lelettromagnete che deverestituire lenergia persa a causa degli attriti.

II.1.5 Moto di un pendolo semplice smorzato dalle forze di attrito e forzato da una forza

impulsiva elettromagnetica.

Per impedire il progressivo smorzamento della oscillazione si pu restituire lenergia persa

applicando una forza impulsiva con la stessa periodicit del moto del pendolo.

Per piccole oscillazioni (max 3) lequazione di moto del pendolo semplice in presenza di taleforza e delle forze di smorzamento data da:

d2/dt2 + [ka/(sV)] d/dt + [(s-a)/s](g/L) = kfsin ft (51)


28/62

27

dove kf= Fi /(m L) essendo Fi lintensit della forza impulsiva ed f la sua pulsazione.

La soluzione dellequazione (51), in condizioni stazionarie , data da:

=kf[(2-f

2)+ 4 2f2]-1/2 sen(ft + ) (52)

Perf= la soluzione (52) assume la forma:

= kf/(2) sen(t + ) (53)

La misura del coefficiente di smorzamento consente di determinare lintensit della forza

impulsiva da applicare affinch lampiezza di oscillazione massima sia quella prescelta:

kf/(2) = max Fi = 2 max mL (54)

Ovviamente se la forza impulsiva viene applicata per una frazione fdel periodo di oscillazione la

sua intensit deve essere amplificata del fattore (1/f).Il modo pi semplice per reintegrare lenergia persa a causa degli attriti consiste nelleccitareperiodicamente una bobina cilindrica posta al di sotto della massa pendolare e centrata sullasse

verticale passante per il punto di sospensione del pendolo, realizzando la massa pendolare con ferro

dolce (a bassa magnetizzazione residua) oppure fissando ad essa (in genere costruita in ottone) un

magnete permanente. Le componenti del campo magnetico generato dalla bobina e le componenti

delle forza magnetica agente sulla massa pendolare in ferro e sul magnete permanente sono

schematicamente illustrate in Fig. 12 , dove rappresentata anche la sezione della bobina (in

rosso) e lo strato equivalente di masse magnetiche (positive e negative).

Fig. 12 Componenti Bz e Brdel campo di induzione magnetica generato dalla bobina e componenti

Fz ed Frdella forza magnetica agente sulla sfera magnetizzata.

Nel caso della massa pendolare in ferro la componente della forza Fn (risultante dalla proiezione

delle componenti Fz ed Fr sulla tangente alla traiettoria del pendolo Fn = Fz sen Fr cos )

diretta dalla periferia verso il centro della bobina sia per valori negativi che per valori positivi di ,

qualunque sia il verso della corrente nella bobina (infatti la massa di ferro si magnetizza in maniera

da essere sempre attratta verso lasse della bobina). Il fatto che Fn > 0 per < 0 ed Fn < 0 per >

0, pur avendo le componenti del campo di induzione magnetica pressoch la stessa intensit (ad

= -9) , dovuto al fatto che il gradiente di campo lungo lasse z circa un fattore 15-20 pi elevatodel gradiente di campo lungo lasse r cosicch il segno della componente Fn determinato dal

termine Fz sen a . Da questo risultato si ricava che la bobina deve essere eccitata per di periodo

Bz

Br

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -- - - - -

-----

----

++

++

+

+ ++

dBz/dz 0

I in senso antiorario

Fz

Fr

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - --

-----

----

++

+

+

+

+ ++

I in senso antiorario

Fn =Fz sen

-Fr cos

+

=-9 = -9


29/62

28

durante la fase discendente del pendolo e spenta durante la fase ascendente del pendolo. Nel caso

della massa pendolare in ferro il reintegro dellenergia pu avvenire al massimo durante mezzo

periodo del pendolo.

Nel caso del magnete permanente fissato allestremit inferiore del pendolo o integrato

allinterno della massa pendolare possibile il reintegro dellenergia sullintero periodo di

oscillazione del pendolo con lavvertenza di invertire la intensit di corrente nella bobina ogniquarto di periodo.

II.1.6 Cause del moto perturbato di un pendolo reale e metodo di correzione della

asimmetria.

Nel caso di un pendolo reale si possono individuare due cause di asimmetria del sistema che

possono influenzare in maniera drastica il moto di precessione del piano di oscillazione del pendolo

dovuta alla forza fittizia di Coriolis.

Una di queste cause legata alla presenza di una asimmetria nella massa pendolare (ad esempio

una configurazione ad ellissoide della massa pendolare oppure la presenza di strutture che nonposseggono una simmetria cilindrica, quali i blocchetti di serraggio del filo). Questo tipo di

asimmetria causa un momento di inerzia del pendolo che varia con il piano di oscillazione e quindi,

come si visto nel paragrafo 3.3, la traiettoria risultante dalla composizione dei moti nel piano xz e

nel piano yz risulta essere ellittica e precede con una velocit molto diversa da quella prevista dalla

legge dei seni di Foucault.

La seconda causa pu essere la presenza di una asimmetria nella sezione del filo in

corrispondenza del punto di sospensione (ad esempio una sezione ellittica nella zona in cui il filo

viene flesso, deformazione che pu essersi prodotta in fase di estrusione o a causa della

compressione dovuta al serraggio del filo). Questo tipo di asimmetria produce momenti meccanici

di tipo elastico (proporzionali cio allangolo di deflessione) che variano con il piano di

oscillazione del pendolo e si sommano al momento meccanico della forza peso (e della spinta

archimedea).

Se per semplicit di trattazione si prende in esame il caso in cui la

massa pendolare di forma ellissoidale con semiassi ax, by, cz

(con ax > by) ed il filo di sospensione ha una sezione ellittica del

filo con semiassi ax e by (con ax > bx), come mostrato nella

Fig. 13, e si considerano soltanto il momento della forza peso ed

il momento di richiamo del filo quando viene flesso, le equazioni

di moto lungo i due assi x ed y sono date da:

m[L2 + (1/5)(ax2+cz

2)]d2/dt2 + [mgL + (/4) ax3by E/d] = 0

(55)

m[L2 + (1/5)(by2+cz

2)]d2/dt2 + [mgL + (/4) ax by3 E/d] = 0

dove Iy = (m/5) (ax2+cz

2) ed Ix = (m/5) (by2+cz

2) sono i momenti

di inerzia baricentrali dellellissoide rispetto agli assi y ed x,

Fig. 13 Schema del pendolo analogamente Iy = (/4) ax3by

e Ix =(/4) ax by3 sono i

asimmetrico. momenti di inerzia del filo quando viene flesso nel piano xz e nel

piano yz.

z

y

x


30/62

29

Dalle equazioni (55) si ricavano le espressioni di x ed y e le espressioni di Lx ed Ly:

x = (g/Lx)1/2 = {g [1 +(/4) ax

3by E/(mgdL)]/[L+(ax2+cz

2)/(5L)]}1/2

(56)

y = (g/Ly)1/2 = {g [1 +(/4) ax by

3 E/(mgdL)]/[L+(by2+cz

2)/(5L)]}1/2

Lx = [L+(ax2+cz

2)/(5L)]/ [1 +(/4) ax3by E/(mgLd)]

(57)

Ly = [L+(by2+cz

2)/(5L)]/ [1 +(/4) axby3 E/(mgLd)]

Nel caso in cui sia presente soltanto lasimmetria della massa pendolare le relazioni (57) diventano:

Lx = [L+(ax2+cz

2)/(5L)]/ [1 +(/64) D4 E/(mgLd)]

(57bis)

Ly = [L+(by

2+cz2)/(5L)]/ [1 +(/64) D4 E/(mgLd)]

dove D il diametro del filo di sospensione. Da queste relazioni si ricava immediatamente come

varia il coefficiente di asimmetria ( = |x-y|/2) in funzione dei due semiassi dellellissoide (ax e

by e della lunghezza L del filo di sospensione:

=| [(g/Lx)1/2 (g/Ly)

1/2]/2 | | C1/2{[(1-(ax2+cz

2)/(5L2)]1/2 [1-(by2+cz

2)/(5L2)]1/2}| =

C1/2 | (by2-ax

2)/(10L2) | = (Cg) 1/2 |(by2-ax

2)/(10L5/2)| (58)

avendo posto C = [1 +(/64) D4 E/(mgLd)] ed = (g/L)1/2 ed avendo assunto che i termini

(ax2+cz

2)/(5L2) e (by2+cz

2)/(5L2) siano molto piccoli rispetto ad 1 da consentire cio le seguenti

approssimazioni:

1/[1+(ax2+cz

2)/(5L2)] 1 - (ax2+cz

2)/(5L2)

[(1-(ax2+cz

2)/(5L2)]1/21-(ax2+cz

2)/(10L2)

.

Dalla espressione (58) si ricava che a

parit di geometria della massa

pendolare il termine di asimmetria

varia con la lunghezza L del pendolo

come L-(5/2) ed aumenta pressoch

linearmente con il rapporto (ax/by)

anche per differenza importanti tra i due

semiassi dellellissoide , come mostrato

in Fig. 14 per il caso di due pendoli con

lunghezze L = 1m ed L = 2m e di massa

m 1.5 kg, dove per confronto riportata anche la componente z della

velocit di rotazione della Terra alla lati-

Fig. 14 Andamento del coefficiente di asimmetria tudine di Milano.

in funzione del rapporto tra i semiassi del- Da questa analisi risulta che una asim-

lellissoide nel caso di un filo di sospen- metria nella geometria della massasione perfettamente cilindrico. pendolare difficilmente pu produrre

0,0E+00

1,0E-05

2,0E-05

3,0E-05

4,0E-05

5,0E-05

6,0E-05

1 1,02 1,04 1,06 1,08 1,1

ax / by

(

rad/s)

L =1 m

L = 2 m

z (a Milano)


31/62

30

un moto perturbato degenere che influenzi in maniera sostanziale il moto di precessione del

piano di oscillazione del pendolo.

Analogamente nel caso in cui sia presente soltanto lasimmetria del filo le relazioni (57)

diventano:

Lx = [L+ 2R2(5L)]/ [1 +(/4) ax3by E/(mgLd)](57ter)

Ly = [L+ 2R2/(5L)]/ [1 +(/4) axby

3 E/(mgLd)]

ed il coefficiente di asimmetria assume la forma:

(Eaxby)/(16 mgLd) (ax2-by

2) (59)

avendo posto =[g/(L+2R2/5L)]1/2.

In questo caso il coefficiente diasimmetria varia con la lunghezza L del

pendolo come L-(3/2) e varia pressoch

linearmente in funzione del rapporto

ax/by, come mostrato in Fig. 15 (sempre

nel caso di due pendoli con massa

pendolare m = 1.5 kg e lunghezze L = 1

m ed L = 2m ed il diametro medio del filo

di sospensione in acciaio D = 0.4 mm).

Come si pu notare il coefficiente di

asimmetria circa un fattore 10 pi

elevato (a parit del rapporto tra isemiassi) del coefficiente dovuto alla

asimmetria della massa pendolare.

Affinch z , per il pendolo dilunghezza L = 1 m, occorre che il

Fig. 15 Andamento del coefficiente di asimmetria ' rapporto ax / by 1.01 (corrispondentein funzione del rapporto tra i semiassi del- ad una differenza ax-by 2micron).La sezione ellittica del filo nel caso di una E evidente che tale asimmetria, come

massa pendolare perfettamente sferica. gi stato osservato in precedenza, pu

essere presente nel filo sin dallorigine

oppure introdotta nella fase di montaggio, qualunque siano le precauzioni adottate. In secondoluogo la correzione degli effetti prodotti da tale asimmetria risulta senza dubbio pi complicata

rispetto alla correzione della asimmetria della massa pendolare.

La correzione di eventuali asimmetrie presenti nel pendolo (siano esse prodotte da una

asimmetria della massa pendolare o da una asimmetria del filo di sospensione) richiede che venga

determinata lorientazione degli assi x ed y ed il valore di (o ).

Per determinare lorientazione degli assi principali sufficiente misurare langolo tra il piano di

oscillazione iniziale (arbitrariamente scelto e corrispondente ad una orientazione o incognita

rispetto ai piani xz ed yz ed in cui le orbite sono lineari) ed il piano (che si trova allangolo o) in

cui le orbite tornano ad essere lineari. La bisettrice di tale angolo fornisce la direzione di uno dei

due assi principali.Per stabilire se si tratta dellasse x oppure dellasse y sufficiente osservare il verso di

percorrenza delle ellissi quando il pendolo viene lasciato libero a partire dal piano = 0 (contenente

0,0E+00

1,0E-04

2,0E-04

3,0E-04

4,0E-04

5,0E-04

6,0E-04

1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10

a'x/b'y

'(rad/s)

L = 1 m

L =2 m

z (a Milano)


32/62

31

la bisettrice sopra nominata) : se le orbite ellittiche sono percorse dal pendolo in senso orario si

tratta dellasse x, in caso contrario si tratta dellasse y.

Per determinare il valore di si potrebbe far partire il pendolo dal piano xz ed effettuare la

misura dei due diametri dellorbita ellittica che, dopo un intervallo di tempo At = /2, si ripresenta

con lasse principale nel piano xz.

I due diametri dellorbita, rapportatial diametro dellorbita lineare iniziale

(nellipotesi che lo smorzamento sia

del tutto trascurabile) risultano ugua-

li a cos 2 ed a sen 2 e quindi

mediante le relazioni (26) possibile

risalire al valore di .

Unaltra procedura consiste nel

misurare lintervallo di tempo t che

intercorre tra listante iniziale ( = o)

e listante in cui le orbite diventano dinuovo rettilinee ( = - o), scegliendo

un angolo o di partenza opportuno.

Il grafico di Fig. 16 mostra la

dipendenza dellintervallo di tempo

dal valore di nel caso in cui il

valore di z quello alla latitudine di

Milano.

Fig. 16 Relazione tra e lintervallo di tempo t inter- In entrambi i casi conviene proce-

corrente tra o e- o alla latitudine di Milano. dere per approssimazioni successive

nella correzione della asimmetria.

II.1.7 Analisi della azione di smorzamento del moto ellittico prodotta dallanello di Charron.

E possibile mantenere per lungo tempo unorbita rettilinea in un pendolo reale, smorzando la

componente del moto trasversale al piano di oscillazione mediante attrito tra il filo di sospensione

ed un anello di diametro opportuno (anello di Charron), in genere posizionato in prossimit del

punto di sospensione. Lo scopo dell analisi che viene svolta in questo paragrafo quello di

determinare le caratteristiche dellanello (raggio R, coefficiente di attrito dinamico e profilo

dellanello) che consentano un efficace smorzamento delle oscillazioni trasversali. Affinch ci sia

dissipazione dellenergia del moto trasversale occorre che lattrito tra il filo ed il bordo dellanellosia tale da consentire lo spostamento del punto di contatto.

Indicate con e le ampiezze angolari del moto di oscillazione misurate in due piani verticali

passanti per il punto di sospensione del pendolo, il moto della massa pendolare descritto dalle

seguenti relazioni:

(t) = max cos (t) (t) = max sen(t) (60)

essendo = 2/ la pulsazione comune alle due componenti del moto oscillatorio ed avendo

trascurato per ora leffetto di smorzamento degli attriti. Assumendo che il pendolo compia piccole

oscillazioni (max


33/62

32

x (t) = L max cos(t)

(61)

y (t) = L max sen (t)

vx = - L max sen (t)

(62)vy = L max cos(t)

Quando il filo del pendolo giunge a

contatto con lanello di Charron la

componente della velocit vx

prossima a zero mentre la

componente della velocit vy

prossima al valore massimo

Lmax. Se indichiamo (Fig. 17)

con R il raggio interno dellanello econ R lascissa massima che rag-

Fig. 17 Schema illustrativo della interazione tra il filo giungerebbe il filo (nel piano del-

di sospensione e lanello di Charron. lanello) in assenza dellanello, la

durata t del contatto tra filo ed

anello data da:

t = 2 arcos[R /(L max)]/ (63)

dove L la distanza tra il punto di sospensione del pendolo ed il bordo interno dellanello [si noti

che se indichiamo con h la distanza tra il punto di sospensione ed il piano dellanello, deve essere

L = (h2+R2)1/2]. Supposto che il pendolo parta da max con velocit nulla si staccher dallanello di

Charron dopo un intervallo di tempo tc0 che con buona approssimazione dato da :

tc0 = t/2 (64)

e toccher di nuovo lanello di Charron negli istanti:

tc1 = /2-tc0 tc2 = tc0 tc3 = 3/2 tc0 . (65)

essendo il periodo del pendolo. Pertanto la componente vx della velocit ad ogni contatto

(nellipotesi che non ci sia smorzamento perch lenergia persa viene reintegrata) data da:

vx = vx(tc0) (66)

E possibile ricavare lintensit media della forza con cui il filo preme sul bordo dellanello se

teniamo conto che limpulso I dato da:

I = m (vx vx (tc)) (67)

essendo vx la velocit acquistata dalla massa m del pendolo in seguito allurto. Assumendo che si

conservi il momento della quantit di moto si potr scrivere:

x

yBordo interno

dellanello di

Charron

Traiettoria

del filo nel

piano di

Charron

R

R


34/62

33

m vxL = m vx (L-L) (68)

da cui si ricava vx:

vx = vx L/(L-L) (69)

Dalle relazioni (66), (68), (69) si ricava la forza media vincolare x :

x = mvx[L/(L-L) -1)/[ 2 arcos[R /(L max)]/] (70)

Con considerazioni analoghe si trova che la componente della forza lungo la direzione y data da:

y = mvy[L/(L-L) -1)/[ 2 arcos[R /(L max)]/] (71)

Il rapporto tra queste due componenti deve essere maggiore del coefficiente dattrito tra filo e bordo

dellanello affinch il filo slitti con attrito nella direzione y. Deve essere:

vy/vx > (72)

In Tabella II sono riportati i valori di max, max, , R, R , t . tc, vx, vy per un pendolo di lunghezza

L = 1 m ( = 3.1321 rad s-1) essendo h = 10 cm la distanza tra il punto di sospensione ed il piano

dellanello di Charron, quando questo delimita la regione angolare senza contatto ad (max-0.5).

Tabella II

Dai dati di Tabella si ricava che, nellipotesi che il coefficiente di attrito dinamico sia = 0.1, lo

smorzamento del moto trasversale (nella direzione y) cessa quando lampiezza angolare massima

dellordine di 0.2-0.3. Questo comporta una lavorazione meccanica dellanello di tipo standard

ma occorre prevedere un sistema di centraggio dellanello sullasse del pendolo con una precisione

di pochi centesimi di millimetro.

La presenza di un anello di Charron ha leffetto di smorzare le oscillazioni trasversali rispetto al

piano di oscillazione ma introduce un ulteriore fattore di smorzamento delle ampiezza di

oscillazione che deve essere compensata dal sistema di reintegro dellenergia. Inoltre nel caso di u

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