- EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS - EQUAZIONI PER IL MOTO...

- EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS

- EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUIDI

Università degli Studi Roma Tre

Laurea Magistrale in

Ingegneria Civile per la Protezione dai Rischi Naturali

Corso: Idraulica Ambientale

Docente: Ing Claudia Adduce

http://host.uniroma3.it/docenti/adduce

2

SISTEMA DI RIFERIMENTO NON INERZIALE

Generalmente le equazioni della meccanica dei fluidi vengono scritte

per un sistema di riferimento inerziale (SRI) ovvero fisso.

La gente che vive sulla Terra percepisce però il movimento dei fluidi in

un sistema di riferimento non inerziale (SRNI), che ruota assieme al

nostro pianeta.

E’ quindi necessario scrivere le equazioni del moto in tale sistema di

riferimento non inerziale.

D’ora in poi si indicheranno con * le grandezze nel SRI e senza alcun

asterisco le grandezze nel SRNI.

xΩΩuΩxΩ

aaa 0 2dt

d*

3

SISTEMA DI RIFERIMENTO NON INERZIALE

a* è l’accelerazione nel SRI

a0 è l’accelerazione di trascinamento dovuta ad una variazione

nel tempo dell’origine del SRI.

a è l’accelerazione nel SRNI.

è l’accelerazione di Eulero, dovuta ad una variazione nel

tempo della velocità di rotazione dell’origine del SRI.

è l’accelerazione di Coriolis, ovvero la forza di Coriolis per

unità di massa e cambiata di segno.

è l’accelerazione centripeta, ovvero la forza centrifuga per

unità di massa e cambiata di segno.

Poiché sia la velocità di rotazione terrestre che l’origine del sistema di

riferimento non inerziale non variano nel tempo si ha d/dt=0 e a0=0

quindi xΩΩuΩaa 2*

xΩΩuΩxΩ

aaa 0 2dt

d*

xΩ

dt

d

uΩ2

xΩΩ

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EFFETTO DELLA FORZA CENTRIFUGA

- A differenza della forza di Coriolis, che è proporzionale alla velocità

della particella nel SRNI, la forza centrifuga dipende dalla velocità

di rotazione e dalla distanza della particella dall’asse di rotazione

ovvero -(x). Di conseguenza anche particelle ferme potrebbero

subire una spinta verso l’esterno, ma nessuna particella “vola” nello

spazio in quanto la forza di gravità lo impedisce.

- In assenza di rotazione le forze gravitazionali avrebbero l’effetto di

trattenere tutto il materiale terrestre sotto forma di un corpo sferico, la

spinta verso l’esterno operata dalla forza centrifuga distorce l’equilibrio

sferico producendo un leggero schiacciamento del pianeta ai poli.

- La forza centrifuga è diretta verso l’esterno, perpendicolarmente

all’asse di rotazione, mentre la forza di gravità punta verso il

centro del pianeta. La forza risultante assume una direzione

intermedia, precisamente la direzione della verticale locale. Ogni

particella inizialmente in quiete sulla superficie terrestre resterà in

quiete a meno di non essere soggetta ad altre forze.

5

EFFETTO DELLA FORZA CENTRIFUGA

- Si definirà forza di gravità la forza risultante allineata con la verticale

locale e data dalla somma della forza di gravità effettiva e quella

centrifuga.

- A causa della distribuzione disomogenea delle rocce e del magma

sulla terra, la forza gravitazionale effettiva non è diretta verso il centro

della terra ed essa deforma la superficie terrestre in modo che tale

superficie risulti ortogonale alla forza di gravità totale.

- La superficie terrestre deformata va

sotto il nome di geoide e può essere

interpretata come la superficie degli

oceani in quiete. Essa rappresenta una

superficie equipotenziale, ovvero se

una particella si muove su tale

superficie non modifica la propria

energia potenziale.

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ESPERIMENTO SU VASCA ROTANTE

- Analogamente, in una vasca rotante di laboratorio la rotazione

produce uno spostamento del fluido verso le pareti finché la forza

dovuta al gradiente di pressione diretta verso l’interno non impedisce

tale spostamento. La forza di gravità diretta verso il basso e quella

centrifuga diretta verso l’esterno producono una risultante ortogonale

alla superficie fluida, che rappresenta la superficie equipotenziale.

- Per una velocità di rotazione di una

rivoluzione ogni due secondi ovvero

=30rpm (rpm = rotazioni al minuto) e

un diametro della vasca di D=40 cm, la

differenza di livello fra il centro e le

pareti risulta pari a di H=2 cm.

rpmss

30

minuti60

12

rotazione 1

2

rotazione 1

2

2

7

EFFETTO DELLA FORZA DI CORIOLIS: MOTO LIBERO

SU UN PIANO ROTANTE 2D

- Per valutare l’effetto della forza di Coriolis, si può considerare il moto

di una particella “libera”, ovvero soggetta unicamente alla forza di

gravità, la cui componente orizzontale si elide con la componente

orizzontale della forza centrifuga dovuta alla rotazione. Un esempio

può essere rappresentato da un piano orizzontale tangente al polo

Nord in cui sono assenti altre forze orizzontali.

- Se sulla particella non agiscono forze esterne la sua accelerazione

nel SRI è nulla (a*=0) quindi

svolgendo il prodotto vettoriale (il vettore rotazione è diretto secondo la

verticale = k ) ed esplicitando le due componenti u e v sul piano

orizzontale x-y si ottiene:

02 xΩΩuΩa

02

02

uDt

Dv:y

vDt

Du:x

uv

vu

kji

ji

0

00

8



La soluzione generale del sistema differenziale è data da

In cui f=2 è chiamato parametro di Coriolis, V e sono due costanti

d’integrazione. Si può verificare che il modulo della velocità della

particella non dipende dal tempo ed è pari a

Le due componenti di velocità variano nel tempo e ciò produce un

cambiamento della direzione della particella. Inoltre sapendo che

dx/dt=u e dy/dt=v ed integrando si ottiene

In cui x0 e y0 sono costanti di integrazione dipendenti dalle coordinate

iniziali della particella.

ftVcos v ftVsin u

V vu/

2122

sin cos -

cos sin

00

y

y

t

0 00

ftf

Vyy ft

f

Vxx

dtftVdy dt ftVdx

t

o

x

x

9



- Dalle relazioni precedenti si ottiene che la traiettoria della particella

segue in senso orario una circonferenza centrata nella posizione (x0 ,y0)

e di raggio V/f . Tale moto ciclico va sotto il nome di oscillazione

inerziale

- Per t=0 ipotizzando =0 si ha

- Per t=/2f ipotizzando =0 si ha

2

2

0

2

0

f

V yy xx

-

sin cos -

00

00

yyf

Vxx

ftf

Vyyft

f

Vxx

00f

Vyyxx

10



Se non vi fosse rotazione dell’ambiente f=0 il raggio di curvatura della

traiettoria della particella sarebbe infinito e la particella seguirebbe un

percorso rettilineo (moto rettilineo uniforme).

Se vi è rotazione dell’ambiente la particella ruota continuamente

seguendo una traiettoria circolare:

- se f>0 (l’ambiente ruota in senso antiorario) la particella ruota

verso destra (in senso orario);

- se f<0 (l’ambiente ruota in senso orario) la particella ruota verso

sinistra (in senso antiorario).

inerziale periodo

ambientedell' rotazione della periodo

2

22

2

fT

T

i

a

11

INTEPRETAZIONE GEOMETRICA DELL’OSCILLAZIONE

INERZIALE

- Si consideri un tavolo rotante e su di esso una particella inizialmente

(t=0) ad una distanza R dall’asse di rotazione e che si avvicina ad esso

con velocità u. Ad un certo istante t, la particella avrà percorso lungo

l’asse di rotazione il tratto ut e lateralmente la distanza Rt.

- Durante il tempo t il tavolo avrà ruotato

di un angolo t e ad un osservatore nel

SRNI la particella sembrerà essere

partita dal punto indicato col cerchio

aperto. Sebbene la traiettoria sia

perfettamente diritta nel SRI, per un

osservatore nel SRNI la traiettoria

apparente ruotata a destra.

- Se si considera una particella che dal centro si muove radialmente

verso l’esterno, nel SRI la traiettoria sarà rettilinea e percorrerà una

distanza ut. Nel SRNI la particella anziché arrivare nella posizione

indicata con l’asterisco, virerà apparentemente verso destra.

- La caratteristica di virare a destra è dovuta alla forza di Coriolis

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ACCELERAZIONE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO 3D

- Consideriamo la Terra come una sfera perfetta, che ruota attorno al

suo asse verticale. Siano la latitudine e la longitudine di un

particolare punto sulla sua superficie, si consideri un sistema di

riferimento Cartesiano in cui l’asse x parallelo ai paralleli è orientato

verso est, l’asse y parallelo ai meridiani è orientato verso nord e

l’asse z è diretto come la verticale locale verso l’alto.

- Il vettore rotazione terrestre è

espresso come:

e l’accelerazione a meno del termine

centrifugo è data da

kjΩ sin cos

uΩu

2Dt

D sin

wvu

cos

kji

0uΩ

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- Esplicitando le tre componenti dell’accelerazione

- Si definiscono le due quantità

f è positivo nell’emisfero settentrionale, nullo all’equatore e negativo

nell’emisfero meridionale.

f* è positivo sia nell’emisfero settentrionale che nel meridionale e si

annulla ai poli. In generale i termini moltiplicati per f* si trascureranno.

ufDt

Dwu cosΩ

Dt

Dw :z

fuDt

Dvu sinΩ

Dt

Dv :y

fvwfDt

Duv sinΩw cosΩ

Dt

Du :x

*

*

2

2

22

sin

wvu

cos

kji

0uΩ

cosΩf

sinΩf

* 2

2

Coefficiente di Coriolis

Reciproco del coefficiente di Coriolis

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- I moti orizzontali (x, y) non forzati sono descritti dal sistema

analogo al sistema delle oscillazioni inerziali con la differenza che il

termine f dipende ora dalla latitudine.

- Le oscillazioni inerziali sulla terra hanno un periodo che varia tra

Ti=12 h (ai poli) e Ti= (all’equatore).

- Le oscillazioni inerziali sono piuttosto rare, in quanto esistono sempre

delle forzanti come i gradienti di pressione o altre forze, ma è comunque

possibile osservarle in natura.

0

0

fuDt

Dv :y

fvDt

Du :x

sinfTi

2 Periodo delle oscillazioni inerziali

nel sistema di riferimento 3D

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OSSERVAZIONE DI UN’OSCILLAZIONE INERZIALE

- Si mostra un diagramma vettoriale progressivo relativo ad una

corrente oceanica, costruito mediante la somma successiva di misure

di velocità in un punto fissato.

- Si osserva una traslazione della corrente

alla quale è sovrapposta un’oscillazione

oraria piuttosto regolare. Se si calcola il

periodo inerziale corrispondente alla

latitudine in cui è stata effettuata la misura

si ottiene un periodo di Ti=14 h che è in

accordo con il periodo dell’oscillazione

misurata.

- In questo modo l’osservazione conferma

la presenza di un’oscillazione inerziale.

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EQUAZIONI DEL MOTO

Equazione di continuità

Equazioni di Navier-Stokes

- Il termine g rappresenta la forza gravitazionale effettiva (la somma

della forza gravitazionale e di quella centrifuga) per unità di volume. La

geometria del sistema di riferimento adottato è di tipo sferico, mentre le

equazioni sono scritte in un sistema di coordinate Cartesiane, tale

approssimazione è valida per scale del moto molto inferiori al raggio

terrestre (<1000 Km).

Dt

D0u

0

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu

t

p

Dt

DufuΩ

u 22

wz

pguf

Dt

Dw

vy

pfu

Dt

Dv

ux

pfvwf

Dt

Du

*

*

2

2

2

17

EQUAZIONI DEL MOTO

- Si sono introdotte 5 incognite (u,v,w,, p), ma si hanno 4 equazioni. E’

necessario introdurre un’ulteriore relazione (equazione di stato), che

dipenderà dal particolare tipo di fluido, bisogna quindi distinguere fra

acqua e aria.

Equazione di stato per l’acqua

- Se il fluido è incomprimibile come accade per l’acqua a temperature e

pressioni ordinarie si ha = constante

- In oceano in realtà la densità è funzione sia della temperatura, T, che

della salinità, S.

T0,S0,0, sono valori di riferimento, mentre è il coefficiente di

espansione termica, il coefficiente di contrazione salina.

SST-T-1 0 00

18

EQUAZIONI DEL MOTO

Equazione di stato per l’aria secca

L’aria secca in atmosfera si comporta come un gas ideale

R è una costante e T è la temperatura assoluta.

Equazione di stato per l’aria umida

Molto spesso l’aria atmosferica contiene umidità, quindi si introduce

l’umidità specifica, q.

Il set di equazioni non è completo in quanto si è aggiunta un’equazione,

ma si sono aggiunte anche altre due incognite (temperatura e salinità o

temperatura e umidità)

RT

p

acqua'dvapordimassacasecaria'dmassa

acqua'dvapordimassa

aria'dmassa

acqua'dvapordimassaq

q.RT

p

60801

19

EQUAZIONI DEL MOTO

Con l’equazione di stato si è introdotta, per l’aria secca, una nuova

incognita (la temperatura, T) e due nuove incognite per l’aria umida (la

temperatura, T e l’umidità specifica, q) e per l’acqua (la temperatura, T e

la salinità, S). Sarà quindi necessario aggiungere ulteriori equazioni per

chiudere il problema.

Equazione di bilancio dell’energia

- Il principio di conservazione dell’energia, noto come la prima legge

della termodinamica, afferma che la variazione di energia interna di una

particella materiale è uguale al calore che essa riceve meno il lavoro

meccanico che produce per unità di massa e di tempo.

- L’energia interna, misura dell’agitazione termica delle molecole che

costituiscono la particella, è proporzionale alla temperatura assoluta T

con CV calore specifico a volume costante.

LQDt

De

TCe V

20

EQUAZIONI DEL MOTO

Equazione di bilancio dell’energia

- Il termine Q, rappresenta il solo calore acquistato dalla particella per

contatto attraverso il processo di diffusione, con kT conduttività termica.

Si trascurano eventuali sorgenti e pozzi interni di calore (condensazione

ed evaporazione)

- Il lavoro meccanico prodotto dal fluido è dato dalla forza (pressione x

area) moltiplicata scalarmente per lo spostamento e dopo alcuni calcoli

si può ottenere che

- Sostituendo i singoli termini si ottiene l’equazione di bilancio

dell’energia

- Nel caso dell’acqua tenendo conto della sua incomprimibilità si può

effettuare la semplificazione

z

w

y

v

x

uppL

u

Tkz

w

y

v

x

up

Dt

DTC TV

2

0 u

Tk

Q T 2

21

EQUAZIONI DEL MOTO

Equazione di bilancio della salinità

Per l’oceano una particella d’acqua distribuisce il suo contenuto salino

mediante la diffusione, in cui s è il coefficiente di diffusione della

salinità.

La salinità verrà misurata in psu (Practical Salinity Units) corrispondente

al rapporto tra la conduttività di un campione di acqua di mare e quella di

una soluzione standard di cloruro di potassio. I rapporti sono

adimensionali.

Equazione di bilancio dell’umidità

Per l’aria umida il bilancio dell’umidità sarebbe più complicato, ma

trascurando l’evaporazione e la condensazione, si ha che l’umidità viene

redistribuita attraverso un processo diffusivo, mediante contatto con le

particelle a differente contenuto di umidità. q è il coefficiente di

diffusione dell’umidità.

SDt

DSS

2

qDt

Dqq

2

22

SOMMARIO EQUAZIONI DEL MOTO

Aria

- 7 variabili: u, v, w, p, , T, e q

- 7 equazioni: 1 equazione di continuità, 3 equazioni di bilancio della

quantità di moto, 1 equazione di stato, 1 equazione dell’energia, 1

equazione per l’umidità.

Acqua

- 7 variabili: u, v, w, p, , T, e S

- 7 equazioni: 1 equazione di continuità, 3 equazioni di bilancio della

quantità di moto, 1 equazione di stato, 1 equazione dell’energia, 1

equazione per la salinità.

23

APPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ

- Nella maggior parte dei sistemi geofisici la densità dei fluidi varia di

poco attorno ad un valore medio. In oceano per T=4°C e S=34.7 la

densità a pressione atmosferica è =1028 kg/m3 e le variazioni di

densità non superano i 3 kg/m3. Negli estuari dove pur si osservano le

più elevate variazioni di densità non si supera il 3%.

- In aria le variazioni di densità possono essere molto elevate fino al

100% di variazione, ma se si considera solo la Troposfera, che è la

parte più bassa dell’atmosfera (10 Km di spessore), le variazioni di

densità non superano il 5%.

- Si può introdurre l’approssimazione di Boussinesq: la densità è data

dalla somma di un valor medio e di una variazione di densità, dovuta alla

stratificazione e al moto dei fluidi e che risulta sempre molto inferiore al

valor medio

00 '' con t,z,y,x

24

EQUAZIONE DI CONTINUITÀ SEMPLIFICATA

MEDIANTE L’APPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ

Le variazioni di velocità nello spazio e nel tempo sono molto maggiori

delle corrispondenti variazioni di densità, quindi 1<<3, inoltre 2>>3,

quindi anche 2>>1. In conclusione l’equazione di continuità si riduce ad

una conservazione del volume.

0 u

Dt

D 00 '' con t,z,y,x

000

u'

'

Dt

D

00

Dt

D00

0 uu'

'

Dt

D

Dt

D

00

z

w

y

v

x

u

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu

t

'''''

1 2 3

0

z

w

y

v

x

u

00

uuu

'''

t

1 2 3

25

EQUAZIONI DI BILANCIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO

SU x-y SEMPLIFICATE

La densità compare come fattore moltiplicativo nel solo termine di

sinistra ed applicando l’approssimazione di Boussinesq e dividendo per

0 si ottiene

00 '' con t,z,y,x

vy

pfu

Dt

Dv

ux

pfvwf

Dt

Du *

2

0

2

0

1

1

0

vy

pfu

Dt

Dv

ux

pfvwf

Dt

Du

'

*'

2

0

2

0

Viscosità

cinematica

26

EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITÀ DI MOTO

SEMPLIFICATA SU Z

La densità compare come fattore moltiplicativo sia nel termine di sinistra

che in un termine a destra, applicando l’approssimazione di Boussinesq

si ottiene

Il termine g tiene conto del peso del fluido che causa un aumento della

pressione con la profondità. La pressione stessa è quindi somma di un

termine idrostatico p0 e di una parte non idrostatica p’ (pressione

dinamica)

00 con '' t,z,y,x wz

pguf

Dt

Dw '*' 2

00

wz

pguf

Dt

Dw * 2

0

gdzdpgzP)z(pt,z,y,xp)z(pp '

000000 con

wz

pguf

Dt

Dw ''* 2

00

1

wz

p

z

pgguf

Dt

Dw ''* 20

00

27

EQUAZIONE DI BILANCIO DELL’ENERGIA

SEMPLIFICATA PER L’ACQUA

- Per la continuità del volume (equazione di continuità semplificata) si

può eliminare il secondo termine a primo membro. La densità compare

come fattore moltiplicativo solo nel termine di sinistra, applicando

l’approssimazione di Boussinesq e si ottiene

- Nel caso di moto turbolento si può assumere che s=T= , diffusività

turbolenta, in quanto nella turbolenza la diffusione è dovuta a vortici

che mescolano alla stessa velocità sia il sale che il calore. Viene

frequentemente adottato il valore s=T==10-2 m2/s.

- Tale ipotesi non è valida se la diffusione è dominata da processi

molecolari.

00 con '' t,z,y,xTkx

w

x

v

x

up

Dt

DTC TV

2

2

0 TkDt

DTC TV T

Dt

DTT

2 con 0

V

TT

C

k

Diffusività

cinematica

28

EQUAZIONE DI BILANCIO DELL’ENERGIA

SEMPLIFICATA PER L’ACQUA

Se s=T=, combinando l’equazione dell’energia semplificata, con

quella della salinità e quella di stato si ottiene un’equazione per la

variazione della densità, che sostituisce l’equazione dell’energia.

- Per l’aria la trattazione viene rimandata ad un corso più specialistico.

- Come conseguenza dell’approssimazione di Boussinesq si ha che la

densità viene sostituita dal suo valore medio 0 ovunque, eccetto che

nel prodotto con l’accelerazione di gravità e nell’equazione dell’energia

(variazione di densità).

- Poiché nelle equazioni semplificate le variabili originarie e p non

compaiono più, d’ora in poi si elimineranno gli indici ‘ e si indicheranno

rispettivamente come e p, le deviazioni di densità e pressione.

NB: l’unica equazione in cui avremo ancora la pressione totale è quella

di stato.

''

Dt

D

2

29

RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER L’ACQUA

0

z

w

y

v

x

u

EQUAZIONE DI

CONTINUITA’

wz

pguf

Dt

Dw

vy

pfu

Dt

Dv

ux

pfvwf

Dt

Du

''*

'

'*

2

00

2

0

2

0

1

1

1

EQUAZIONI DI

NAVIER-STOKES

''

Dt

D

2 EQUAZIONE DELLA

VARIAZIONE DI DENSITA’

30

RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER PER L’ARIA

0

z

w

y

v

x

u

EQUAZIONE DI

CONTINUITA’

wz

pguf

Dt

Dw

vy

pfu

Dt

Dv

ux

pfvwf

Dt

Du

''*

'

'

*

2

00

2

0

2

0

1

1

1

EQUAZIONI DI

NAVIER-STOKES

''

Dt

D

2 EQUAZIONE DELLA


31

RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER L’ACQUA

0

z

w

y

v

x

u

EQUAZIONE DI

CONTINUITA’ w

z

pguf

Dt

Dw

vy

pfu

Dt

Dv

ux

pfvwf

Dt

Du

''*

*

2

00

2

0

2

0

1

1

1

EQUAZIONI DI

NAVIER-STOKES

SST-T-1 0 00 EQUAZIONE DI STATO

''

Dt

D

2

EQUAZIONE DELLA


SDt

DSS

2EQUAZIONE

DELLA SALINITA’

TDt

DTT

2 EQUAZIONE DELL’ENERGIA

32

RIEPILOGO EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER PER L’ARIA

0

z

w

y

v

x

u

EQUAZIONE DI

CONTINUITA’ wz

pguf

Dt

Dw

vy

pfu

Dt

Dv

ux

pfvwf

Dt

Du

''*

*

2

00

2

0

2

0

1

1

1

EQUAZIONI DI

NAVIER-STOKES

RT

p

q.RT

p

60801EQUAZIONI DI STATO

qDt

Dqq

2EQUAZIONE

DELL’UMIDITA’

TDt

DTT

2 EQUAZIONE DELL’ENERGIA

''

Dt

D

2

EQUAZIONE DELLA


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