Dinamica dei sistemi di punti materialibissaldi/Fisica1/06_Cap6_Dinamica_Sistemi.pdf · Elisabetta...

Dinamica dei sistemi

di punti materiali

Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2019-2020 2

• Sino ad ora si è studiato il moto di un singolo punto materiale.

• Nella dinamica dei sistemi si studia un numero 𝑵 > 𝟏 di punti materiali 𝑷𝒊, con

𝒊 = 𝟎,… ,𝑵, che possono interagire tra loro e/o con il sistema circostante.

Scomponendo il sistema nei singoli punti materiali, risultano

necessarie molte variabili per descrivere il moto:

o 𝑵 masse 𝒎𝒊

o 𝑵 posizioni 𝒓𝒊 (𝟑𝑵 coordinate)

o 𝑵 velocità 𝒗𝒊 =𝒅𝒓𝒊

𝒅𝒕

o 𝑵 accelerazioni 𝒂𝒊 =𝒅𝒗𝒊

𝒅𝒕, legate alle 𝑵 forze 𝑭𝒊 = 𝒎𝒊 𝒂𝒊

Sistemi di punti materiali


• Le forze agenti su un punto materiale 𝑷𝒊 si possono dividere in due categorie:

1. Risultante delle forze esterne 𝑹𝒊𝑬

, esercitate da agenti esterni al sistema

2. Risultante delle forze interne 𝑹𝒊𝑰

, esercitate dagli altri 𝑵− 𝟏 punti

• Seconda legge della dinamica per un punto 𝑷𝒊 (in un sistema inerziale):

𝑹𝒊 = 𝑹𝒊𝑬+ 𝑹𝒊

𝑰= 𝒎𝒊 𝒂𝒊

• Risultante delle forze interne che agiscono su un punto 𝑷𝒊

𝑹𝒊𝑰=

𝒊,𝒋≠𝒊

𝑵

𝑭𝒊,𝒋

La natura delle forze interne può essere qualsiasi!

o Possono essere conservative o non conservative!

o In generale 𝑹𝒊𝑰≠ 𝟎.



• Terza legge della dinamica per le forze interne tra i punti 𝑷𝒊 e 𝑷𝒋

𝑭𝒊,𝒋 = −𝑭𝒋,𝒊

Le forze interne sono a 2 a 2 uguali e contrarie

o Vettori diretti lungo la stessa RETTA D’AZIONE, con modulo uguale e verso

opposto

• Ne consegue che:

𝑹 𝑰 =

𝒊

𝑵

𝑹𝒊𝑰=

𝒊, 𝒋≠𝒊

𝑵

𝑭𝒊,𝒋 = 𝟎

La risultante di tutte le forze interne

del sistema di punti materiali è NULLA


𝑷𝟏

𝑷𝟐

𝑷𝟑

𝑭𝟐,𝟏𝑰

𝑭𝟏𝑬

𝑭𝟑𝑬

𝑭𝟐𝑬

𝑭𝟏,𝟐𝑰

𝑭𝟑,𝟏𝑰

𝑭𝟏,𝟑𝑰

𝑭𝟑,𝟐𝑰

𝑭𝟐,𝟑𝑰


• Grandezze meccaniche totali del sistema di punti materiali

misurate in un sistema di riferimento inerziale

QUANTITÀ DI MOTO TOTALE

𝑷 =

𝒊

𝑷𝒊 =

𝒊

𝒎𝒊𝒗𝒊

MOMENTO ANGOLARE TOTALE

𝑳 =

𝒊

𝑳𝒊 =

𝒊

𝒓𝒊 ×𝒎𝒊𝒗𝒊

o Sempre riferito a un polo, qui in particolare coincidente con l’origine

ENERGIA CINETICA TOTALE

𝑬𝒌 =

𝒊

𝑬𝒌,𝒊 =

𝒊

𝟏

𝟐𝒎𝒊𝒗𝒊

𝟐



• Un corpo di massa 𝒎𝟏 scivola su un piano orizzontale liscio sotto l’azione di una

forza esterna 𝑭. Sul corpo 𝒎𝟏 è appoggiato un secondo corpo di massa 𝒎𝟐 che

scivola rispetto a 𝒎𝟏. Tra 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 esiste una forza di attrito radente con

coefficiente di attrito dinamico 𝝁𝒅.

1. Calcolare le accelerazioni dei due corpi.

Esercizio 6.1

𝒎𝟐

𝒎𝟏


• Si considerino due punti materiali di massa 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐, posti sull’asse 𝒙 nelle

posizioni 𝒙𝟏 e 𝒙𝟐.

La posizione del centro di massa (𝑪𝑴) è data da:

𝒙𝑪𝑴 =𝒎𝟏𝒙𝟏 +𝒎𝟐𝒙𝟐𝒎𝟏 +𝒎𝟐

Si noti come il centro di massa è spostato verso il punto materiale più

massivo. Esso risulterebbe nel centro della congiungente i due punti

materiali nel caso in cui 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐.

Centro di massa


• Dato un sistema di 𝑵 punti 𝑷𝒊 di massa 𝒎𝒊 e raggio 𝒓𝒊, si definise il centro di

massa del sistema il punto geometrico individuato dal raggio vettore:

𝒓𝑪𝑴 =σ𝒊𝑵𝒎𝒊 𝒓𝒊σ𝒊𝑵𝒎𝒊

=𝒎𝟏 𝒓𝟏 +𝒎𝟐 𝒓𝟐 +⋯𝒎𝑵 𝒓𝑵

𝒎𝟏 +𝒎𝟐 +⋯+𝒎𝑵

In un sistema di coordinate cartesiane: 𝒓𝑪𝑴 = 𝒙𝑪𝑴 ෝ𝒖𝒙 + 𝒚𝑪𝑴 ෝ𝒖𝒚 + 𝒛𝑪𝑴 ෝ𝒖𝒛

𝒙𝑪𝑴 =σ𝒊𝑵𝒎𝒊 𝒙𝒊σ𝒊𝑵𝒎𝒊

𝒚𝑪𝑴 =σ𝒊𝑵𝒎𝒊 𝒚𝒊σ𝒊𝑵𝒎𝒊

𝒛𝑪𝑴 =σ𝒊𝑵𝒎𝒊 𝒛𝒊σ𝒊𝑵𝒎𝒊

• La posizione del CM rispetto agli punti

NON DIPENDE dal sistema di riferimento, mentre

le coordinate del CM variano a seconda del

sistema di riferimento scelto:

𝒓′𝑪𝑴 = 𝑶′𝑶 + 𝒓𝑪𝑴

Centro di massa

𝑷𝟏

𝑷𝟑

𝑷𝟐

𝑪𝑴

𝒓𝑪𝑴

𝒓𝟐

𝒓𝟏

𝒓𝟑𝑶


• Si riconsideri l’esempio con due punti materiali di massa 𝒎𝟏 e 𝒎𝟐 poste sull’asse

𝒙, come in figura. Si ponga l’origine del sistema di riferimento coincidente con la

posizione della massa 𝒎𝟏, ovvero 𝒙𝟏 = 𝟎.

𝒙𝑪𝑴 =𝒎𝟐𝒙𝟐

𝒎𝟏 +𝒎𝟐

• Si possono avere i seguenti casi:

Se 𝒎𝟏 ≫ 𝒎𝟐 (oppure se 𝒎𝟏 → ∞) 𝒙𝑪𝑴 → 𝒙𝟏 = 𝟎

Se 𝒎𝟏 ≪ 𝒎𝟐 (oppure se 𝒎𝟏 → 𝟎) 𝒙𝑪𝑴 → 𝒙𝟐

Se 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 𝒙𝑪𝑴 → 𝒙𝟐 / 𝟐

In definitiva il centro di massa tende a disporsi dove vi è più

concentrazione di massa nel sistema di punti materiali.

Centro di massa


• VELOCITÀ DEL CENTRO DI MASSA

𝒗𝑪𝑴 =𝒅𝒓𝑪𝑴𝒅𝒕

=σ𝒊𝑵𝒎𝒊

𝒅𝒓𝒊𝒅𝒕

σ𝒊𝑵𝒎𝒊

=σ𝒊𝑵𝒎𝒊𝒗𝒊σ𝒊𝑵𝒎𝒊

=σ𝒊𝑵𝒑𝒊

σ𝒊𝑵𝒎𝒊

=𝑷

𝒎

𝒎: Massa totale del sistema

𝑷: Quantità di moto totale del sistema

o COINCIDE con la quantità di moto del centro di massa, considerato

come un punto materiale di massa 𝒎, con posizione 𝒓𝑪𝑴 e velocità 𝒗𝑪𝑴

• ACCELERAZIONE DEL CENTRO DI MASSA

𝒂𝑪𝑴 =𝒅𝟐𝒓𝑪𝑴𝒅𝒕𝟐

=σ𝒊𝑵𝒎𝒊

𝒅𝒗𝒊𝒅𝒕

σ𝒊𝑵𝒎𝒊

=σ𝒊𝑵𝒎𝒊 𝒂𝒊𝒎

Centro di massa


• Se il sistema di riferimento è inerziale:

𝒎𝒊 𝒂𝒊 = 𝑭𝒊 = 𝑭𝒊𝑬 + 𝑭𝒊

𝑰

Da cui

𝒎𝒂𝑪𝑴 =

𝒊

𝑵

𝒎𝒊𝒂𝒊 =

𝒊

𝑵

𝑭𝒊𝑬+ 𝑭𝒊

𝑰= 𝑹 𝑬 + 𝑹 𝑰 = 𝑹 𝑬

TEOREMA DEL MOTO DEL CENTRO DI MASSA

𝑹 𝑬 = 𝒎𝒂𝑪𝑴 =𝒅𝑷

𝒅𝒕 Seconda Legge di Newton per i sistemi di punti

o Il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta

la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne

o IL MOTO DEL CENTRO DI MASSA È DETERMINATO DALLE SOLE FORZE ESTERNE

Teorema del moto del centro di massa


• Definizione di centro di massa è MATEMATICA, non è un punto materiale reale

La massa è distribuita nei singoli punti materiali, che si muovono sotto

l’azione di FORZE INTERNE ED ESTERNE

• Punto matematico che però gode di notevoli proprietà:

1. Velocità del CM è uguale alla quantità di moto totale divisa per la massa

totale del sistema

o Quantità di moto del CM è UGUALE alla quantità di moto totale

2. Accelerazione del CM è determinata dalla risultante delle FORZE ESTERNE

IL CM rappresenta il MOTO GLOBALE DEI PUNTI MATERIALI

• Valori di velocità 𝒗𝑪𝑴 ed accelerazione 𝒂𝑪𝑴 indicano che IN MEDIA il sistema si

sposta in una certa direzione, che NEL COMPLESSO stia accelerando in quella

direzione

𝒓𝑪𝑴, 𝒗𝑪𝑴 e 𝒂𝑪𝑴 rappresentano MEDIE PESATE sulle masse, forniscono

informazioni di PROPRIETÀ MEDIE, non sul moto dei singoli punti

Osservazioni sul centro di massa


• Una chiave inglese viene lanciata su una superficie priva di attrito.

La chiave segue un moto relativamente complesso di rotazione,

ma il suo centro di massa, indicato nell’immagine come un puntino giallo,

esegue un moto rettilineo uniforme, in quanto la risultante delle forze esterne

agenti sul corpo è nulla



• Anche nel caso di un bastone lanciato in aria si vede come il centro di massa

segua una traiettoria parabolica proprio come il punto materiale raffigurato

nell’immagine a sinistra.



• Tre punti materiali di massa 𝒎𝟏 = 𝟏. 𝟐 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟐. 𝟓 𝒌𝒈 e 𝒎𝟑 = 𝟑. 𝟒 𝒌𝒈 sono

disposti ai vertici di un triangolo equilatero di lato 𝒂 = 𝟏. 𝟒 𝒎 come in figura.

1. Calcolare la posizione del centro di massa del sistema.

Esercizio 6.2

𝒎𝟐

𝒎𝟑𝒎𝟏


PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO

PER UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

In un sistema isolato, ovvero non soggetto a forze esterne,

o se la risultante delle forze esterne è nulla si ha:

𝑹(𝑬) = 𝟎 → 𝒂𝑪𝑴 = 𝟎 → 𝒗𝑪𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 → 𝑷 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

La quantità di moto totale del sistema si conserva

Il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete

o Se un sistema è chiuso (le particelle non possono uscire o entrare dal sistema)

ed isolato (𝑹(𝑬) = 𝟎) allora la quantità di moto del sistema si conserva

o Se sono verificate queste condizioni allora le quantità di moto iniziale e finale

sono le stesse 𝑷𝒊𝒏 = 𝑷𝒇𝒊𝒏

o Le singole 𝒎𝒊𝒗𝒊 in generale possono variare nel tempo,

ma la loro SOMMA resta costante

Conservazione della quantità di moto


• Una scatola di massa 𝑴 = 𝟔 𝒌𝒈 scivola lungo un pavimento orizzontale e privo

di attrito alla velocità 𝒗 = 𝟒𝒎/𝒔 lungo il verso positivo dell’asse 𝒙.

Improvvisamente la scatola si rompe in 2 pezzi. Uno dei due pezzi, di massa

𝒎𝟏 = 𝟐 𝒌𝒈 si muove lungo 𝒙 e nel verso positivo, con velocità 𝒗𝟏 = 𝟖𝒎/𝒔.

1. Qual è la velocità del secondo frammento?

Esercizio 6.3


• Un fuoco artificiale di massa 𝑴 è posto sul pavimento liscio. Questo si spacca in

3 frammenti di massa 𝒎𝑨, 𝒎𝑩 = 𝟎. 𝟐𝑴 e 𝒎𝑪 = 𝟎. 𝟑𝑴, che si allontanano come

in figura. L’angolo tra il frammento 𝑨 e 𝑪 vale 𝟏𝟎𝟎°, mentre l’angolo tra 𝑩 e 𝑪vale 𝟏𝟑𝟎°.

1. Sapendo che il frammento 𝑪 possiede una velocità 𝒗𝑪 = 𝟓𝒎/𝒔, si calcoli

la velocità del frammento 𝑩.

Esercizio 6.4

𝑨

𝑩

𝑪


• Si consideri il sistema di due punti materiali di massa 𝒎𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒈 e

𝒎𝟐 = 𝟓𝟎 𝒌𝒈 come in figura. Non agiscono forze esterne. Si calcolino:

1. La velocità finale 𝒗𝟐, sapendo che 𝒗𝟏 = 𝟓𝒎/𝒔;

2. Le quantità di moto finali;

3. Il lavoro fornito da ciascun punto materiale.

Esercizio 6.5


MOMENTO ANGOLARE TOTALE

Di un sistema di 𝑵 punti materiali 𝑷𝒊 di massa 𝒎𝒊 rispetto ad un polo 𝑶

𝑳 =

𝒊

𝑵

𝑳𝒊 =

𝒊

𝑵


o 𝒓𝒊: raggio vettore 𝑶𝑷𝒊 (rispetto al polo 𝑶!)

o 𝒗𝒊: velocità di ogni 𝑷𝒊 nel sistema di riferimento inerziale

In generale, il polo 𝑶 rispetto al quale si calcola il momento angolare può

NON COINCIDERE con l’origine del sistema di riferimento

o Il polo 𝑶 può NON ESSERE FISSO, ma in movimento con velocità 𝒗𝑶 𝒓𝒊 può avere ENTRAMBI GLI ESTREMI (𝑶 e 𝑷𝒊) IN MOVIMENTO,

rispettivamente con velocità 𝒗𝑶 e 𝒗𝒊

Teorema del momento angolare


• Si calcoli la derivata temporale del momento angolare totale

𝒅𝑳

𝒅𝒕=

𝒊

𝑵𝒅𝒓𝒊𝒅𝒕

×𝒎𝒊𝒗𝒊 +

𝒊

𝑵

𝒓𝒊 ×𝒎𝒊


Ricordando le regole per le trasformazioni delle velocità relative:

o Per ciascun punto 𝑷𝒊 vale:

𝒅𝒓𝒊𝒅𝒕

= 𝒗𝒊 − 𝒗𝑶

• 𝒓𝒊: raggio vettore rispetto al polo, NON rispetto all’origine delle

coordinate

Inoltre, per sistemi di riferimento inerziali si ha che

𝒎𝒊


= 𝒎𝒊𝒂𝒊 = 𝑭𝒊𝑬+ 𝑭𝒊

𝑰



• Pertanto:

𝒅𝑳

𝒅𝒕=

𝒊

𝑵

(𝒗𝒊 − 𝒗𝑶) ×𝒎𝒊𝒗𝒊 +

𝒊

𝑵

𝒓𝒊 × 𝑭𝒊𝑬+ 𝑭𝒊

𝑰

𝒅𝑳

𝒅𝒕= −𝒗𝑶 ×𝒎 𝒗𝑪𝑴 +𝑴 𝑬 +𝑴 𝑰

o σ𝒊𝒗𝒊 ×𝒎𝒗𝒊 = 𝟎 Prodotto vettoriale di vettori paralleli!

𝑴 𝑬 MOMENTO TOTALE DELLE FORZE ESTERNE relativo al polo 𝑶

𝑴𝒊𝑬= 𝒓𝒊 × 𝑭𝒊

𝑬 𝑴 𝑬 = σ𝒊

𝑵𝑴𝒊𝑬

𝑴 𝑰 MOMENTO TOTALE DELLE FORZE INTERNE relativo al polo 𝑶

𝑴𝒊𝑰= 𝒓𝒊 × 𝑭𝒊

𝑰 𝑴 𝑰 = σ𝒊

𝑵𝑴𝒊𝑰



• Si valuti dunque 𝑴 𝑰 considerando due punti, 𝑷𝒊 e 𝑷𝒋:

𝑴𝒊,𝒋𝑰= 𝒓𝒊 × 𝑭𝒋,𝒊 + 𝒓𝒋 × 𝑭𝒊,𝒋 = 𝒓𝒋 − 𝒓𝒊 × 𝑭𝒊,𝒋 = 𝒓𝒊,𝒋 × 𝑭𝒊,𝒋 = 𝟎

Il vettore 𝒓𝒊,𝒋 = 𝑷𝒊𝑷𝒋 è PARALLELO a 𝑭𝒊,𝒋, con 𝑭𝒊,𝒋 = −𝑭𝒋,𝒊

o 𝑴 𝑰 è costituito dalla somma di tutti i possibili termini 𝑴𝒊,𝒋𝑰

Pertanto risulta identicamente nullo qualunque sia la scelta del polo

𝑴 𝑰 = 𝟎


𝒓𝒊,𝒋

𝒓𝒊𝒓𝒋

𝑭𝒊,𝒋𝑷𝒊

𝑷𝒋

𝑭𝒋,𝒊𝑶


TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE

𝒅𝑳

𝒅𝒕= 𝑴 𝑬 − 𝒗𝑶 ×𝒎 𝒗𝑪𝑴

• Se il termine −𝒗𝑶 ×𝒎 𝒗𝑪𝑴 risulta nullo, allora

𝒅𝑳

𝒅𝒕= 𝑴 𝑬

Casi di annullamento:

1. 𝒗𝑶 = 𝟎: Il polo 𝑶 è fisso nel sistema di riferimento inerziale

2. 𝒗𝑪𝑴 = 𝟎: Il centro di massa è in quiete nel sistema di riferimento inerziale

3. 𝒗𝑶 = 𝒗𝑪𝑴: Il polo 𝑶 coincide con il centro di massa

4. 𝒗𝑶 || 𝒗𝑪𝑴: I vettori velocità sono paralleli

IN QUETSI CASI: La variazione del momento angolare è dovuta al solo

momento delle forze esterne. Le forze interne non portano contributi.



• Nelle situazioni in cui siano verificate le condizioni per cui il termine

𝒗𝑶 ×𝒎𝒗𝑪𝑴 = 𝟎, e se il momento delle forze esterne è nullo allora

il momento angolare resta costante (SI CONSERVA):

𝑴(𝑬) = 𝟎 → 𝑳 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

• Ciò può succedere in due casi:

1. Il SISTEMA È ISOLATO, NON AGISCONO FORZE ESTERNE

o Dunque 𝑹 𝑬 = 𝟎 e 𝑴 𝑬 = 𝟎, qualunque polo si scelga.

o Si conservano sia 𝑳 che 𝑷 (𝑷 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆).

Attenzione! In generale 𝑹(𝑬) = 𝟎 non implica 𝑴 𝑬 = 𝟎.

2. Il MOMENTO DELLE FORZE ESTERNE È NULLO rispetto ad un

determinato polo, ma non rispetto a qualsiasi polo sistema.

o 𝑳 si conserva solo se calcolato per tale polo!

Conservazione del momento angolare


• Si consideri un pinguino di massa 𝒎 che

cade da fermo dal punto 𝑨 in figura, posto

ad una distanza orizzontale 𝑫dall'origine 𝑶 del sistema di riferimento.

Si consideri la direzione positiva

dell'asse 𝒛 diretto verso l'esterno rispetto

al piano della figura.

Si calcolino:

1. Il momento angolare del pinguino

che cade rispetto al polo 𝑶;

2. Il momento della forza peso agente

sul pinguino rispetto al polo 𝑶.

Esercizio 6.6


• Si considerino due punti materiali di massa 𝒎, legati tra loro da una sbarretta di

massa trascurabile, che ruotano in un piano orizzontale rispetto al centro della

sbarretta. Nella situazione iniziale, la sbarretta è lunga 𝟐𝒓𝟏 e la velocità

angolare ha volare costante 𝝎𝟏. Supponendo che la sbarretta sia telescopica,

durante il moto la lunghezza viene portata ad un valore 𝟐𝒓𝟐, con 𝒓𝟐 > 𝒓𝟏.

Si calcoli il valore finale della velocità angolare 𝝎𝟐.

Esercizio 6.7


• Il sistema di riferimento connesso al CENTRO DI MASSA (CM), pur essendo

mobile e quindi non inerziale in genere, in base alle relazioni discusse in

precedenza, risulta godere di proprietà particolari COME SE FOSSE INERZIALE.

• Caratteristiche:

1. L’origine del sistema del CM coincide con il CM;

2. Gli assi del sistema del CM mantengono sempre la stessa direzione

rispetto agli assi del sistema inerziale: posso essere assunti PARALLELI;

3. Il sistema di norma non è inerziale:

o In base al punto 2), il moto è TRASLATORIO, ma non necessariamente

rettilineo e uniforme: Se 𝑹(𝑬) ≠ 𝟎 ⇒ 𝒂𝑪𝑴 ≠ 𝟎.

Sistema di riferimento del CM


• Trasformazioni relative al sistema di riferimento del centro di massa

𝒓𝒊 = 𝒓𝒊′ + 𝒓𝑪𝑴

𝒗𝒊 = 𝒗𝒊′ + 𝒗𝑪𝑴

o Valide per un moto di trascinamento traslatorio (non rotatorio, 𝝎 = 𝟎)

• I valori RISPETTO AL SISTEMA DEL CM sono indicati con l’apice

Per l’assunzione 1), risulta

o 𝒓𝑪𝑴′ = 𝟎

o 𝒗𝑪𝑴′ = 𝟎

o 𝒂𝑪𝑴′ = 𝟎

σ𝒊𝑵𝒎𝒊𝒓𝒊

′ = 𝟎

σ𝒊𝑵𝒎𝒊𝒗𝒊

′ = 𝑷′ = 𝟎

o La quantità di moto totale del sistema risulta NULLA se misurata nel sistema di riferimento del centro di massa


𝒓𝒊

𝑶

𝑪𝑴𝒓𝑪𝑴

𝒓𝒊′

𝑷𝒊


• Ricordando la forma modificata della Seconda Legge della Dinamica per il moto di un punto materiale in un sistema non inerziale con il solo moto di trascinamento traslatorio (𝒂𝑪 = 𝟎)

𝑭 −𝒎𝒂𝒕 = 𝒎𝒂′

In questo caso, l’accelerazione di trascinamento 𝒂𝒕 = 𝒂𝑪𝑴

• Per cui per gli 𝑵 punti materiali vale:

𝑭𝒊𝑬+ 𝑭𝒊

𝑰−𝒎𝒊 𝒂𝑪𝑴 = 𝒎𝒊𝒂𝒊

′

Sommando su tutti i punti materiali si ottiene:

𝑹 𝑬 −𝒎 𝒂𝑪𝑴 =

𝒊

𝑵

𝒎𝒊𝒂𝒊′

Ricordando il Teorema del Moto del CM (𝑹 𝑬 = 𝒎 𝒂𝑪𝑴), ne consegue che

𝒊

𝑵

𝒎𝒊𝒂𝒊′ = 𝟎

o Che risultava già ricavabile da 𝒂𝑪𝑴′ = 𝟎



• Il sistema del CM ha anche le seguenti proprietà:

1. Il momento della risultante di tutte le forze (interne, esterne, di inerzia)

rispetto al centro di massa calcolato nel sistema di riferimento del CM è

pari al solo momento delle forze esterne

𝑴′ 𝑬 =𝒊

𝑵

𝒓𝒊′ × 𝑭𝒊

𝑬

Non vi sono contributi delle forze di inerzia!

2. Il teorema del momento angolare sussiste anche per le grandezze calcolate

nel sistema non inerziale del CM, purché come polo si assuma il CM stesso

𝒅𝑳′

𝒅𝒕= 𝑴′ 𝑬

Momento angolare rispetto al CM calcolato nel sistema del CM

𝑳′ =

𝒊

𝑵

𝒓𝒊′ ×𝒎𝒊𝒗𝒊

′



• Si vogliono derivare adesso due notevoli proprietà collegate alla nozione di

sistema di riferimento del centro di massa

1. Teorema di König per il momento angolare 𝑳

2. Teorema di König per l’energia cinetica 𝑬𝒌

• Forniscono per i sistemi di punti materiali delle relazioni tra il valore di quelle

due quantità, 𝑳 ed 𝑬𝒌, misurato in un sistema di riferimento inerziale e quello

misurato nel sistema di riferimento del centro di massa

Teoremi di König


• Si assume che il polo coincida con l’origine del sistema inerziale.

Il momento angolare 𝑳 del sistema rispetto al sistema inerziale vale

𝑳 =

𝒊

𝑵

𝑳𝒊 =

𝒊

𝑵


Si può riscrivere usando le relazioni per 𝒓𝒊′ e 𝒗𝒊

′:

𝑳 =𝒊𝒓𝒊′ + 𝒓𝑪𝑴 ×𝒎𝒊 𝒗𝒊

′ + 𝒗𝑪𝑴

𝑳 =𝒊𝒓𝒊′ ×𝒎𝒊𝒗𝒊

′ +𝒊𝒓𝒊′ ×𝒎𝒊𝒗𝑪𝑴 +

𝒊𝒓𝑪𝑴 ×𝒎𝒊𝒗𝒊

′ +𝒊𝒓𝑪𝑴 ×𝒎𝒊𝒗𝑪𝑴

𝑳′: Momento angolare RISPETTO AL centro di massa

𝑳𝑪𝑴: Momento angolare dovuto al moto DEL CENTRO DI MASSA

Teorema di König per il momento angolare

= 𝑳′ = 𝟎 = 𝟎 = 𝑳𝑪𝑴σ𝒊𝑵𝒎𝒊𝒓𝒊

′ = 𝟎 σ𝒊𝑵𝒎𝒊𝒗𝒊

′ = 𝟎


PRIMO TEOREMA DI KÖNIG

𝑳 = 𝑳′ + 𝒓𝑪𝑴 ×𝒎𝒗𝑪𝑴 = 𝑳′ + 𝑳𝑪𝑴

Nel sistema di riferimento inerziale, il momento angolare del

sistema (𝑳) si può scrivere come SOMMA del momento angolare

DOVUTO AL MOTO del centro di massa (𝑳𝑪𝑴) e di quello del

sistema RISPETTO AL centro di massa (𝑳′)

Teorema di König per il momento angolare


• L’energia cinetica nel sistema di riferimento inerziale è

𝑬𝒌 =𝒊

𝟏


𝟐

Si può riscrivere usando la relazione per 𝒗𝒊′:

𝑬𝒌 =𝒊

𝟏

𝟐𝒗𝒊′ + 𝒗𝑪𝑴

𝟐

𝑬𝒌 =𝒊

𝟏


′𝟐 +𝒊

𝟏

𝟐𝒎𝒊𝒗𝑪𝑴

𝟐 +𝒊𝒎𝒊 𝒗𝒊

′ ∙ 𝒗𝑪𝑴

𝑬𝒌′ : Energia cinetica RISPETTO AL centro di massa

𝑬𝒌,𝑪𝑴: Energia cinetica dovuta al moto DEL CENTRO DI MASSA

Teorema di König per l’energia cinetica

= 𝑬𝒌′ = 𝑬𝒌,𝑪𝑴 = 𝟎


SECONDO TEOREMA DI KÖNIG

𝑬𝒌 = 𝑬𝒌′ + 𝑬𝒌,𝑪𝑴

Nel sistema di riferimento inerziale, l’energia cinetica del

sistema (𝑬𝒌) si può scrivere come SOMMA dell’energia cinetica

DOVUTA AL MOTO del centro di massa (𝑬𝒌,𝑪𝑴) e di quella del

sistema RISPETTO AL centro di massa (𝑬𝒌′ )

Teorema di König per l’energia cinetica


• Se per la quantità di moto il valore totale per il sistema è pari a quello del

centro di massa, ciò non è vero per l’energia cinetica e per il momento angolare.

• Per 𝑳 e 𝑬𝒌: scomposizione semplice e significativa in termini di:

Moto medio del sistema, rappresentato dal moto del centro di massa

Moto del sistema rispetto al centro di massa «moto interno»

Per 𝑳 e 𝑬𝒌 il centro di massa NON RIASSUME le proprietà del sistema

o Ci sono contributi sia dal moto medio che dal moto interno, non è sufficiente

conoscere solo il moto del CM

I due teoremi di König stabiliscono che al moto del CM

bisogna aggiungere la descrizione del moto del sistema attorno al CM

Osservazioni


• Si calcolino i valori dei momenti angolari 𝑳, 𝑳′ e 𝑳𝑪𝑴, e delle energie cinetiche

𝑬𝒌, 𝑬𝒌′ e 𝑬𝒌,𝑪𝑴, per le quattro situazioni rappresentati in figura, con due punti

materiali di massa 𝒎. 𝑶 indica l’origine del sistema di riferimento inerziale e

coincide con il polo di riferimento di 𝑳 e 𝑳𝑪𝑴.

Esercizio 6.8

𝒗−𝒗

𝑶 ≡ 𝑪𝑴

1 𝒗

−𝒗 𝑶 ≡ 𝑪𝑴

2

𝒗𝒗

𝑪𝑴𝑶 𝑷𝟏 𝑷𝟐

3

𝒗𝒗

𝑪𝑴

𝑶

𝑷𝟏 𝑷𝟐𝒉

4


• Si estenda ora la definizione di lavoro ad un sistema di punti materiali.

Si consideri quindi la risultante 𝑹𝒊 = 𝑭𝒊(𝑬)

+ 𝑭𝒊𝑰

che agisce su un punto 𝑷𝒊 che si

sposta di 𝒅𝒓𝒊. Il lavoro risulta pari a:

𝒅𝑾𝒊 = 𝑹𝒊 ⋅ 𝒅𝒓𝒊 = 𝑭𝒊𝑬⋅ 𝒅𝒓𝒊 + 𝑭𝒊

𝑰⋅ 𝒅𝒓𝒊 = 𝒅𝑾𝒊

𝑬+ 𝒅𝑾𝒊

(𝑰)

• Sommando su tutti gli 𝑵 punti e integrando su tutte le traiettorie percorse, si

ottiene il LAVORO TOTALE

𝑾 =𝑾 𝑬 +𝑾 𝑰

Somma del lavoro delle forze esterne e del lavoro delle forze interne

o Questa volta il contributo delle forze interne NON SCOMPARE!

o Il lavoro delle forze interne è legato ad un CAMBIAMENTO DELLE DISTANZE

MUTUE tra i vari punti (𝑭𝒊,𝒋 ⋅ 𝒅𝒓𝒊,𝒋 ≠ 𝟎)

Se queste distanze non possono variare (come nei CORPI RIGIDI),

allora 𝑾 𝑰 = 𝟎

Teorema dell’energia cinetica


• Per ciascuno degli 𝑵 punti del sistema, vale il teorema dell’energia cinetica

𝑾𝒊 = 𝚫𝑬𝒌,𝒊

Sommando su tutti i punti materiali del sistema ed integrando per uno

spostamento da 𝑨 a 𝑩, si ottiene:

𝑾𝑨𝑩 =𝒊𝑾𝒊,𝑨𝑩 =

𝒊

𝟏

𝟐𝒎𝒊𝒗𝒊,𝑩

𝟐 −𝒊

𝟏

𝟐𝒎𝒊𝒗𝒊,𝑨

𝟐 = 𝑬𝒌,𝑩 −𝑬𝒌,𝑨

o 𝒗𝒊,𝑨: modulo della velocità dell’i-esimo punto nella configurazione iniziale 𝑨

o 𝒗𝒊,𝑩: modulo della velocità dell’i-esimo punto nella configurazione finale 𝑩

o 𝑬𝒌,𝑨: energia cinetica del sistema nella configurazione iniziale 𝑨

o 𝑬𝒌,𝑩: energia cinetica del sistema nella configurazione finale 𝑩



TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA

per i sistemi di punti materiali

𝑾 𝑬 +𝑾 𝑰 = 𝑬𝒌,𝑩−𝑬𝒌,𝑨= 𝚫𝐄𝐤

Se le forze esterne sono conservative:

𝑾 𝑬 = −𝜟𝑬𝑷𝑬

Se le forze interne sono conservative:

𝑾(𝑰) = −𝚫𝑬𝑷𝑰



CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA DEL SISTEMA

nel caso in cui tutte le forze agenti, sia interne che esterne, siano conservative

𝑾 = 𝜟𝑬𝒌 = −𝜟𝑬𝑷

𝑬𝒌 + 𝑬𝑷 𝑨 = 𝑬𝒌 + 𝑬𝑷 𝑩 = 𝑬𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

𝑬𝑷: Somma di tutte le energie potenziali in gioco, associate alle forze

interne ed esterne agenti sul sistema

• Nel caso siano presenti anche forze non conservative si ha:

𝑬𝒌 + 𝑬𝑷 𝑩 − 𝑬𝒌 + 𝑬𝑷 𝑨 = 𝚫𝐄𝐌 = 𝑾𝒏𝒄

Attenzione: Anche in un sistema isolato l’energia meccanica può

non conservarsi se le forze interne non sono conservative

Energia meccanica


• Equazioni che descrivono la DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI

1. TEOREMA DEL MOTO DEL CENTRO DI MASSA

𝑹 𝑬 = 𝒎𝒂𝑪𝑴 =𝒅𝑷

𝒅𝒕2. TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE

𝑴 𝑬 =𝒅𝑳

𝒅𝒕

• Le due equazioni sono indipendenti e permettono di ricavare informazioni

sull’evoluzione temporale di 𝑷 ed 𝑳, dovuta all’azione di forze e momenti

esterni e riferita a TUTTO IL SISTEMA, ma NON SUL MOTO DEI SINGOLI PUNTI

Riepilogo (1)


• Dalle equazioni del moto e dal teorema dell’energia cinetica discendono:

3 LEGGI DI CONSERVAZIONE

1. Se 𝑹 𝑬 = 𝟎 CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO 𝑷

2. Se 𝑴 𝑬 = 𝟎 CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE 𝑳

3. Se tutte le forze agenti sono conservative

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA DEL SISTEMA 𝑬𝑴

• Sono tutte leggi indipendenti tra loro!

Se si conserva una grandezza, non vuol dire che si conservino le altre.

Riepilogo (2)


• Si considerino un certo numero di forze 𝑭𝒊 applicate a punti diversi dello spazio,

per esempio agli punti 𝑵 materiali in esame. Si assume come polo 𝑶.

Risultante delle forze: 𝑹 = σ𝒊𝑭𝒊

Momento risultante delle forze: 𝑴𝑶 = σ𝒊𝑶𝑷𝒊 × 𝑭𝒊 = σ𝒊𝒓𝒊 × 𝑭𝒊

• Scegliendo un altro polo 𝑶′ (per cui 𝒓𝒊 = 𝒓𝒊′ + 𝑶𝑶′): 𝑴𝑶′ = σ𝒊 𝒓𝒊

′ × 𝑭𝒊

𝑴𝑶 può essere quindi espresso come

𝑴𝑶 =𝒊𝑶𝑶′ + 𝒓𝒊

′ × 𝑭𝒊

= 𝑶𝑶′ ×𝒊𝑭𝒊 +

𝒊𝒓𝒊′ × 𝑭𝒊

= 𝑶𝑶′ × 𝑹 +𝑴𝑶′

Sistemi di forze applicate in punti differenti

𝑭𝒊

In generale, il momento complessivo del sistema dipende

dalla scelta del polo, a meno che non risulti 𝑹 = 𝟎


• Coppia di forze: Insieme di 2 forze 𝑭 e −𝑭, uguali e opposte, con diversa retta

d’azione

Braccio della coppia di forze: Distanza 𝒃 tra le 2 rette d’azione delle forze

• In questa situazione:

La risultante delle forze è nulla (𝑹 = 𝟎)

Quindi: Il momento della coppia non

dipende dalla scelta del polo 𝑴𝑶 = 𝑴𝑶′

o Modulo 𝒃𝑭

o Direzione perpendicolare al piano

individuato dalle due rette d’azione

• Es. Le forze interne di un sistema di punti materiali costituiscono

un insieme di COPPIE A BRACCIO NULLO (sono sulla stessa retta d’azione), per

cui il loro momento risultante è NULLO RISPETTO A QUALSIASI POLO.


𝑴

−𝑭

𝑭


CONSIDERAZIONI

In generale, dato un qualsiasi sistema di forze, i vettori 𝑹 e 𝑴𝑶 non sono

ortogonali tra loro (𝑴𝑶 è indipendente da 𝑹)

Dato un sistema di forze applicate IN PUNTI DIVERSI, e fissato un polo per

i momenti (quindi noti 𝑹 e 𝑴𝑶), questo sistema può essere ridotto a:

1. UNA FORZA RISULTANTE 𝑹 CON RETTA D’AZIONE PASSANTE PER IL POLO

(così che il momento rispetto al polo risulti nullo!)

2. UNA COPPIA DI FORZE DI MOMENTO 𝑴𝑶 (che ha risultante nulla e momento

indipendente dal polo)

Due sistemi di forze si dicono EQUIVALENTI rispetto ad un sistema di punti

materiali (o per un corpo rigido), se:

o Applicati al sistema, causano la stessa dinamica

o Hanno la stessa risultante 𝑹 e lo stesso momento di forze 𝑴(𝑬).



• SISTEMI DI FORZE PARALLELE, aventi la STESSA DIREZIONE 𝑭𝒊 = 𝑭𝒊 ෝ𝒖,

Risultante 𝑹 = σ𝒊𝑭𝒊 = σ𝒊𝑭𝒊 ෝ𝒖

Momento risultante 𝑴 = σ𝒊 𝒓𝒊 × 𝑭𝒊ෝ𝒖 = σ𝒊𝑭𝒊 𝒓𝒊 × ෝ𝒖o Risulta ortogonale a ෝ𝒖, quindi a 𝑹

• Si può trovare un punto generico 𝑪 nel quale applicare

tutta la risultante 𝑹 tale che

𝑴 = 𝑶𝑪 × 𝑹 = 𝒓𝑪 × 𝑹

Confrontando le due espressioni per 𝑴 si ottiene:

𝒓𝑪 =σ𝒊 𝑭𝒊𝒓𝒊σ𝒊 𝑭𝒊

o Punto 𝑪 = CENTRO DELLE FORZE PARALLELE

• Caso particolare: BARICENTRO o CENTRO DI GRAVITÀ,

centro delle FORZE PESO, coincide con il centro di massa

𝒓𝑪 =σ𝒊𝒎𝒊𝒈 𝒓𝒊σ𝒊𝒎𝒊𝒈

=σ𝒊𝒎𝒊 𝒓𝒊σ𝒊𝒎𝒊

= 𝒓𝑪𝑴



• Si considerino i tre punti materiali di massa 𝒎𝟏 = 𝟒 𝒌𝒈, 𝒎𝟐 = 𝟖 𝒌𝒈 e

𝒎𝟑 = 𝟒 𝒌𝒈, posizionati nel piano 𝒙𝒚 come mostrato in figura, e sui quali

agiscano tre forze esterne 𝑭𝟏 = 𝟔 𝑵, 𝑭𝟐 = 𝟏𝟐 𝑵 e 𝑭𝟑 = 𝟏𝟒 𝑵.

1. Si calcolino modulo, direzione e verso dell’accelerazione del centro di

massa del sistema.

Esercizio 6.9


• Un uomo di massa 𝑴 = 𝟕𝟓 𝒌𝒈 sta su un carrello di massa 𝒎 = 𝟑𝟗 𝒌𝒈 che

viaggia a 𝟐. 𝟑 𝒎/𝒔. Ad un tratto salta giù dal carrello con velocità orizzontale

zero rispetto al terreno.

1. Di quanto fa variare in questo modo la velocità del carrello?

Esercizio 6.10


• SI consideri il sistema di due punti materiali di massa 𝒎𝟏 = 𝟔 𝒌𝒈 e 𝒎𝟐 = 𝟑𝒎𝟏,

collegati da una molla ideale con 𝒌 = 𝟕. 𝟐 𝒌𝑵/𝒎, come mostrato in figura.

Inizialmente la molla è tenuta compressa di 𝟏𝟓 𝒄𝒎 rispetto alla sua lunghezza a

riposo, per mezzo di un fillo. Ad un certo istante il filo viene tagliato e il sistema

inizia a muoversi.

Si calcolino, nell’istante 𝒕′ in cui il corpo 𝒎𝟏 si stacca dalla parete verticale:

1. Il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne;

2. La corrispondente variazione di energia cinetica del centro di massa e di

quella dell’energia interna del sistema;

3. La velocità del corpo 𝒎𝟐.

Esercizio 6.11

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