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Dinamica del puntoLavoro, Energia, Momenti

Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) – A.A. 2018-2019 2

• Fino ad ora si è studiato il moto dei corpi (puntiformi) attraverso le leggi di

Newton e quindi delle forze

Equazioni del moto: spostamento e velocità in funzione del TEMPO.

MA: Approccio che può diventare complicato, poiché in molti casi si verifica

che la forza agente è anch’essa variabile nel tempo

Approccio alternativo: metodo più semplice e più potente introducendo i concetti di

ENERGIA e LAVORO

In pratica si determina la dipendenza dallo SPAZIO invece che dal tempo

• ENERGIA: Quantità di massima importanza in fisica

Energia cinetica velocità

Energia potenziale posizione

Energia termica temperatura

Energia e Lavoro

Energia = Capacità di compiere un lavoro


• Concetti introduttivi

L’energia di un corpo può variare solo se avviene un

TRASFERIMENTO DI ENERGIA dall’ambiente circostante al

corpo stesso

o Un trasferimento può avvenire per esempio tramite

• Forze (scambio di LAVORO MECCANICO)

• Calore (scambio di ENERGIA TERMICA)

In un SISTEMA ISOLATO, in cui NON AVVENGONO scambi

con l’ambiente esterno, l’energia SI CONSERVA, ovvero

RIMANE INVARIATA

Energia e Lavoro


LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE

• Il lavoro 𝑾 svolto da una forza 𝑭 costante su di un corpo che compie uno

spostamento 𝚫𝒔 con la stessa direzione e verso della forza è definito dal

prodotto scalare:

𝑾 = 𝑭 ∙ 𝚫𝒔 = 𝑭 𝚫𝐬

Il lavoro è una QUANTITÀ SCALARE

Lavoro di una forza

𝑭 𝑭

𝚫𝒔

UNITÀ DI MISURA

𝑱 = 𝑱𝒐𝒖𝒍𝒆


LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE

• Il lavoro 𝑾 svolto da una forza 𝑭 costante su di un corpo che compie uno

spostamento 𝚫𝒔 con una direzione che forma un angolo 𝜽 rispetto alla forza è

definito dal prodotto scalare:

𝑾 = 𝑭 ∙ 𝚫𝒔 = 𝑭 𝚫𝐬 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝑭 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝚫𝐬 = 𝐅𝐬 𝚫𝐬

𝐅𝐬 = 𝑭 𝒄𝒐𝒔 𝜽: Componente della forza nella direzione dello spostamento

Solo la componente della forza nella direzione dello spostamento compie lavoro!

Si osserva che se una forza è PERPENDICOLARE allo spostamento

il LAVORO RISULTA NULLO (𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° = 𝟎).

Lavoro di una forza

𝑭 𝑭

𝚫𝒔

𝜽𝑭𝒔


• Nell’esempio in figura,

solo la forza 𝑭compie lavoro

La forza peso 𝒎𝒈 e

la reazione

vincolare 𝒏NON COMPIONO

LAVORO

Lavoro di una forza


LAVORO DI UNA FORZA VARIABILE

• Nel caso in cui una forza 𝑭 vari in funzione dello spazio e che quindi la

traiettoria sia curvilinea, avremo che in ciascun intervallo infinitesimo di

traiettoria 𝒅𝒔, il lavoro infinitesimo risulterà pari a:

𝒅𝑾 = 𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = 𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 𝒄𝒐𝒔𝜽

La forza 𝑭 è assunta costante nell’intervallo infinitesimo di traiettoria 𝒅𝒔

Lavoro di una forza

𝜽𝜽

𝜽 𝑩𝑨

𝒅𝒔 𝒅𝒔 𝒅𝒔𝑭

𝑭𝑭


• Il LAVORO COMPLESSIVO di una forza dal punto A al punto B è dato

dall’integrale di linea della forza lungo la traiettoria

𝑾 = න

𝑨

𝑩

𝒅𝑾 = න

𝑨

𝑩

𝑭 ∙ 𝒅𝒔 = න

𝑨

𝑩

𝑭 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝒔 = න

𝑨

𝑩

𝑭𝑺 𝒅𝒔

«INTEGRALE DI LINEA» della forza

In generale, il lavoro dipende non solo dalla posizione iniziale e finale,

ma da tutta la traiettoria!

• Nel caso in cui su un corpo agiscano 𝑵 forze 𝑭𝒊 di risultante 𝑹 = σ𝒊𝑵𝑭𝒊

Lavoro complessivo = SOMMA DEI LAVORI delle singole forze

𝑾 = න𝑨

𝑩

𝑹 ⋅ 𝒅𝒔 =

𝒊

𝑵

න𝑨

𝑩

𝑭𝒊 ⋅ 𝒅𝒔 =

𝒊

𝑵

න𝑨

𝑩

𝒅𝑾𝒊 =

𝒊

𝑵

𝑾𝒊

Lavoro di una forza


• Dalla definizione di lavoro si deduce che il lavoro ha un segno

Se 𝟎 < 𝜽 < 𝝅/𝟐 lavoro positivo, detto «LAVORO MOTORE»

(favorevole al moto)

Se 𝝅/𝟐 < 𝜽 < 𝝅 lavoro negativo, detto «LAVORO RESISTENTE»

(opposto al moto)

Se 𝜽 = 𝝅/𝟐 lavoro nullo (forza e spostamento sono perpendicolari)

𝑾 massimo quando forza e spostamento hanno stessa direzione e verso

Lavoro di una forza

𝑭

𝒔

𝑭

𝒔𝜽

𝜽𝑾 > 𝟎 𝑾 < 𝟎


• In coordinate cartesiane, possiamo scomporre lungo gli assi:

𝑭 = 𝑭𝒙ෝ𝒖𝒙 + 𝑭𝒚ෝ𝒖𝒚 + 𝑭𝒛ෝ𝒖𝒛

𝒅𝒔 = 𝒅𝒙 ෝ𝒖𝒙 + 𝒅𝒚 ෝ𝒖𝒚 + 𝒅𝒛 ෝ𝒖𝒛

Il lavoro infinitesimo sarà quindi: 𝒅𝑾 = 𝑭𝒙 𝒅𝒙 + 𝑭𝒚 𝒅𝒚 + 𝑭𝒛 𝒅𝒛

o Da cui

𝑾 = න

𝑨

𝑩

𝒅𝑾 = න

𝒙𝑨

𝒙𝑩

𝑭𝒙 𝒅𝒙 + න

𝒚𝑨

𝒚𝑩

𝑭𝒚 𝒅𝒚 + න

𝒛𝑨

𝒛𝑩

𝑭𝒛 𝒅𝒛

Il lavoro è ADDITIVO, ovvero il lavoro è pari alla somma dei lavori

delle singole forze agenti.

Lavoro di una forza


• In generale: il lavoro DIPENDE DALLA TRAIETTORIA seguita dal punto

Matematicamente è dato dall’integrale di linea, ovvero dal limite della

somma di tanti contributi 𝒅𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒅𝒔 infinitesimi, calcolati lungo la

traiettoria. Caso unidimensionale:

𝑾 = න

𝒙𝑨

𝒙𝑩

𝑭 𝒙 𝒅𝒙

Lavoro di una forza

𝒙𝑨 𝒙𝑩𝚫𝐱

𝐀𝐫𝐞𝐚 = 𝚫𝐖 = 𝐅𝐱𝚫𝐱𝑭𝒙

𝒙

𝑭𝒙

𝒙𝑨 𝒙𝑩𝒙

𝑳𝒂𝒗𝒐𝒓𝒐


• Corrisponde al LAVORO DI UNA FORZA PER UNITÀ DI TEMPO

POTENZA ISTANTANEA

𝑷 =𝒅𝑾

𝒅𝒕

o Nel caso in cui la forza 𝑭 sia costante:

𝑷 =𝒅𝑾

𝒅𝒕= 𝑭 ⋅

𝒅𝒔

𝒅𝒕= 𝑭 ⋅ 𝒗 = 𝑭𝑺 𝒗

Caratterizza la rapidità di erogazione del lavoro

POTENZA MEDIA

𝑷𝒎 = ഥ𝑷 =𝑾

𝚫𝒕

Lavoro totale diviso tempo durante cui il lavoro è svolto

A parità di lavoro, la potenza è maggiore se è svolto in un tempo inferiore

Potenza

UNITÀ DI MISURA

𝑾 = 𝑾𝒂𝒕𝒕𝟏𝑾 = 𝟏𝑱/𝟏𝒔


• Utilizzando la definizione di lavoro e la seconda legge di Newton si ottiene:

𝒅𝑾 = 𝑭𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝒔 = 𝑭𝑻𝒅𝒔 = 𝒎𝒂𝑻𝒅𝒔 = 𝒎𝒅𝒗

𝒅𝒕𝒅𝒔 = 𝒎

𝒅𝒔

𝒅𝒕𝒅𝒗 = 𝒎𝒗𝒅𝒗

Relazione esplicita tra lavoro e variazione della velocità

• In forma integrale per un PERCORSO FINITO:

𝑾 = න𝑨

𝑩

𝒅𝑾 = න𝒗𝑨

𝒗𝑩

𝒎𝒗𝒅𝒗 =𝟏

𝟐𝒎 𝒗𝑩

𝟐 − 𝒗𝑨𝟐 = 𝑬𝑲,𝑩 − 𝑬𝑲,𝑨 = 𝚫𝐄𝐊

• DEFINIZIONE DI ENERGIA CINETICA di un corpo di massa 𝒎 e velocità 𝒗:

𝑬𝑲 =𝟏

𝟐𝒎𝒗𝟐

Forma di energia connessa allo stato di moto di un corpo

Energia Cinetica

UNITÀ DI MISURA

𝑱


• Se su un corpo di massa 𝒎 agisce una forza 𝑭, il lavoro 𝑾 compiuto da tale

forza tra il punto 𝑨 e il punto 𝑩, definito come 𝑾𝑨𝑩 = 𝑨𝑩𝑭 ∙ 𝒅𝒔, è responsabile

della variazione di energia cinetica:

𝑬𝑲,𝑩 − 𝑬𝑲,𝑨 = 𝑾𝑨𝑩

Il lavoro compiuto da una forza comporta una variazione di energia

cinetica.

o Definizione generale di energia come capacità di un corpo a

compiere lavoro

• Energia cinetica vista come

Lavoro necessario per portare alla velocità 𝒗 un corpo inizialmente fermo

Lavoro cambiato di segno per fermare un corpo di massa 𝒎 in moto con

velocità 𝒗

Teorema dell’Energia Cinetica


Un lavoro motore 𝑾 > 𝟎 causa un

aumento dell’energia cinetica del corpo

Un lavoro resistente 𝑾 < 𝟎 causa una

diminuzione dell’energia cinetica del corpo

• Il teorema si può applicare in qualunque situazione (anche quando la forza 𝑭è variabile)

• Ricordando la definizione di quantità di moto 𝒑 = 𝒎𝒗 è possibile riscrivere

l’energia cinetica come:

𝑬𝑲 =𝒑𝟐

𝟐𝒎

Analogamente

𝒑 = 𝟐𝒎𝑬𝑲

Teorema dell’Energia Cinetica


RIEPILOGO

• Lavoro: manifestazione dell’azione di una forza, dunque dell’INTERAZIONE

con l’ambiente circostante

Si parla sempre di LAVORO SCAMBIATO in un sistema

o NON SI DICE che un sistema «possiede» lavoro

Si parla sempre di ENERGIA POSSEDUTA da un sistema

o L’energia viene modificata dall’interazione con l’ambiente esterno

o VARIAZIONE DI ENERGIA = Effetto misurabile dell’interazione

Energia e lavoro


• Si consideri un corpo soggetto alla forza peso 𝑷 che ha una traiettoria

qualunque da 𝑨 a 𝑩.

• Il lavoro svolto dalla forza peso è dato da:

𝑾 = න

𝑨

𝑩

𝑷 ∙ 𝒅𝒔 = න

𝑨

𝑩

−𝒎𝒈 ෝ𝒖𝒚 ∙ 𝒅𝒔 = −𝒎𝒈 න

𝒚𝑨

𝒚𝑩

𝒅𝒚

= −𝒎𝒈 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨= − 𝑬𝑷,𝑩 − 𝑬𝑷,𝑨

𝑬𝑷 𝒚 = 𝒎𝒈𝒚 è L’ENERGIA POTENZIALE della forza peso

Il lavoro della forza peso dipende solo dal dislivello (NON dalla

traiettoria da 𝑨 a 𝑩)

Lavoro della Forza Peso

Ԧ𝑟𝐴𝐵Ԧ𝑟𝐴

Ԧ𝑟𝐵

𝑨

𝑩

𝑦

𝑷𝑩

𝑷𝑨


• Dalla relazione precedente abbiamo:

𝑾 = −𝜟𝑬𝑷

Il lavoro è pari all’opposto della variazione di energia potenziale.

• L’energia potenziale 𝑬𝑷 dipende unicamente dalla posizione lungo l’asse

verticale, quindi dalla coordinata 𝒚 del punto

(con asse verticale e positivo verso l’alto)

Si assume 𝑬𝑷 = 𝟎 per 𝒚 = 𝟎!

• Se il corpo scende di quota (spostamento «naturale»), 𝑷 compie lavoro motore:

𝑾 > 𝟎 𝑬𝑷 diminuisce 𝚫𝑬𝑷 < 𝟎

• Se il corpo sale di quota, 𝑷 compie lavoro resistente:

𝑾 < 𝟎 𝑬𝑷 aumenta 𝚫𝑬𝑷 > 𝟎

Lavoro della Forza Peso


• Si consideri un corpo di massa 𝒎 posto alla base di un piano inclinato di un

angolo 𝜽, che abbia una velocità iniziale 𝒗𝟎.

1. Che altezza raggiunge il corpo?

Esercizio 4.1

𝒗


• Si consideri una forza elastica espressa nella forma 𝑭𝒌 = −𝒌 𝒙 ෝ𝒖𝒙 parallela

all’asse 𝒙 e con 𝒙𝟎 = 𝟎.

Spostamento lungo 𝒙: 𝒅𝒔 = 𝒅𝒙ෝ𝒖𝒙

• Lavoro della forza elastica

𝑾 = න𝑨

𝑩

𝑭𝒌 ⋅ 𝒅𝒔 = −𝒌න𝑨

𝑩

𝒙ෝ𝒖𝒙 ⋅ ෝ𝒖𝒙𝒅𝒙 = −𝒌න𝑨

𝑩

𝒙𝒅𝒙 = −𝟏

𝟐𝒌 𝒙𝑩

𝟐 − 𝒙𝑨𝟐 = −𝜟𝑬𝑷

𝑬𝑷(𝒙) =𝟏

𝟐𝒌𝒙𝟐: ENERGIA POTENZIALE ELASTICA

Se il corpo si avvicina al centro (posizione «naturale»)

𝑾 > 𝟎 (lavoro motore) 𝑬𝑷 diminuisce Δ𝑬𝑷 < 𝟎

Se il corpo si allontana dal centro

𝑾 < 𝟎 (lavoro resistente) 𝑬𝑷 aumenta Δ𝑬𝑷 > 𝟎

Questo avendo assunto che per una deformazione nulla

l’energia potenziale è nulla.

Lavoro della Forza Elastica


• Si consideri un corpo collegato a una molla ferma nell’origine di un sistema di

riferimento. Ad esso viene applicata una forza costante 𝑭𝑪 = 𝑭𝑪 ෝ𝒖𝒙. Il corpo si

porta quindi alla posizione 𝒙 > 𝟎.

Si calcolino:

1. L’andamento della velocità in funzione della posizione;

2. L’estensione massima della molla, ovvero la posizione in cui il punto si

ferma.

Esercizio 4.2


• Si ricava il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico, ricordando che il

versore ෝ𝒖𝒗 è parallelo e concorde allo spostamento 𝒅𝒔:

𝑾 = න𝑨

𝑩

𝑭𝒂𝒕𝒕 ⋅ 𝒅𝒔 = න𝑨

𝑩

−𝝁𝒅 𝑵 ෝ𝒖𝒗 ⋅ 𝒅𝒔 = −𝝁𝒅𝑵න𝑨

𝑩

𝒅𝒔

L’integrale indica la lunghezza del percorso, ovvero la traiettoria effettiva

del punto materiale

Il lavoro DIPENDE DAL PERCORSO

o Non è possibile esprimere il lavoro come differenza dei valori di una

funzione delle coordinate nei punti 𝑨 e 𝑩

Il lavoro della forza di attrito è SEMPRE NEGATIVO (LAVORO RESISTENTE)

La forza di attrito è detta FORZA DISSIPATIVA

Lavoro di una forza di attrito


• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 che passa nell’origine di un asse 𝒙orizzontale con velocità 𝒗𝟎, concorde con l’asse. Lungo lo spostamento agisce una

forza di attrito dinamico (con 𝝁𝒅).

Si calcoli:

1. Dopo quanto tempo il punto si ferma;

2. In quale posizione si ferma.

Esercizio 4.3


• Quale affermazione delle seguenti è l’unica corretta?

a) Il lavoro è dato dal prodotto vettoriale di 𝑭 e 𝒅𝒔;

b) Il lavoro è dato da 𝑭𝒔, con 𝑭 forza e 𝒔 spostamento;

c) Un lavoro positivo fa aumentare l’energia cinetica;

d) Il lavoro non è mai negativo.

Quesiti di riepilogo (1)


• Una slitta viene trascinata da una corda per 𝟏𝟎𝒎.

La trazione sulla corda è di 𝟔𝟎 𝑵 e l’angolo tra la corda ed il terreno è di 𝟔𝟎°.

1. Calcolare il lavoro della forza di trazione.

Esercizio 4.4


• Si considerino 3 forze 𝑭𝟏 = 𝟓 𝑵, 𝑭𝟐 = 𝟗 𝑵, ed 𝑭𝟑 = 𝟕. 𝟖 𝑵, applicate ad una

cassa di massa 𝒎 = 𝟑 𝒌𝒈 come mostrato in figura. La cassa viene spostata di

𝟑𝒎 verso sinistra.

Si calcolino:

1. Il lavoro totale fatto dalle 3 forze sulla cassa;

2. La variazione di energia cinetica della cassa;

3. La velocità finale, assumendo che la cassa parta da ferma.

Esercizio 4.5


• Si consideri una cassa posta ad una quota 𝒉 su un piano inclinato con 𝜽 = 𝟑𝟎°. La cassa parte da ferma e scivola per 𝟏𝒎 fino alla base del piano inclinato.

Si calcolino:

1. La velocità finale della cassa, in assenza di attrito;

2. La velocità finale della cassa, in presenza di attrito dinamico con

coefficiente 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟐.

Esercizio 4.6

𝒉

𝜽


• Una cassa di massa 𝒎 = 𝟏𝟓 𝒌𝒈 è trascinata in salita su di un piano inclinato per

𝒅 = 𝟓. 𝟕 𝒎 a velocità costante, fino ad una quota 𝒉 = 𝟐. 𝟓 𝒎.

Si calcolino:

1. Il lavoro fatto dalla forza peso e dalla tensione del filo in assenza di

attrito;

2. Il lavoro fatto dalla forza peso e dalla tensione del filo, in presenza di

attrito dinamico con coefficiente 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟏.

Esercizio 4.7


• Un blocco di massa 𝒎 = 𝟒𝟎𝟎 𝒈 scivola, con velocità costante 𝒗 = 𝟎. 𝟓 𝒎/𝒔 su

un piano orizzontale privo di attrito. Il blocco si arresta comprimendo una molla

di costante elastica 𝒌 = 𝟕𝟓𝟎 𝑵/𝒎.

1. Di quanto viene compressa la molla?

Esercizio 4.8


• Un elicottero recupera un uomo di massa 𝒎 = 𝟕𝟐 𝒌𝒈, sollevandolo di 𝟏𝟓𝒎, con

una accelerazione pari a 𝟎. 𝟏 𝒈.

Si calcolino:

1. Il lavoro fatto sull’uomo:

a) dall’elicottero;

b) dalla forza peso;

2. La velocità e l’energia cinetica dell’uomo un attimo prima di entrare

nell’elicottero.

Esercizio 4.9


• Si consideri un blocco di massa 𝑴 = 𝟔 𝒌𝒈 che viene tirato sul pavimento,

partendo da fermo, da una forza 𝑭 = 𝟏𝟐 𝑵 orientata lungo lo stesso asse dello

spostamento.

Si calcoli:

1. La velocità del blocco dopo che ha percorso un tratto di 𝒔 = 𝟑𝒎

a) Nel caso il pavimento sia liscio;

b) Nel caso il pavimento sia scabro, con 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟏𝟓.

Esercizio 4.10


• Un blocco di massa 𝑴 = 𝟐𝟓𝟎 𝒌𝒈 è lasciato cadere su una molla verticale avente

costante elastica 𝒌 = 𝟐. 𝟓 𝒌𝑵/𝒄𝒎. Il blocco rimane poggiato sulla molla che si

comprime di 𝟏𝟐 𝒄𝒎 prima di fermarsi.

Si calcolino:

1. Il lavoro che viene svolto durante la compressione:

a) Dalla molla

b) Dalla forza di gravità

Esercizio 4.11


• La cabina di un montacarichi a pieno carico ha una massa complessiva di

𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒈 e deve salire di 𝟓𝟒𝒎 in 𝟑𝒎𝒊𝒏. Il contrappeso ha una massa di

𝟗𝟓𝟎 𝒌𝒈. Si supponga che il movimento avviene a velocità costante.

Si calcoli:

1. La potenza richiesta al motore quando il cavo solleva la cabina.

Esercizio 4.12


• In generale il lavoro dipende dal percorso effettuato (come nel caso del lavoro

compiuto da una forza di attrito radente)

• Si considerino una forza 𝑭 e due traiettorie 𝒍𝟏 e 𝒍𝟐 che vanno dal punto 𝑨 al

punto 𝑩

Se il lavoro della forza non dipende dalla traiettoria, ma solo dai punti

iniziale e finale:

𝑾𝑨𝑩 = න𝑨

𝑩

𝑭 ⋅ 𝒅𝒔𝒍𝟏= න

𝑨

𝑩

𝑭 ⋅ 𝒅𝒔𝒍𝟐= න

𝑨

𝑩

𝑭 ⋅ 𝒅𝒔

La forza 𝑭 si definisce CONSERVATIVA

o Per calcolare il lavoro di una forza conservativa

si può usare un percorso 𝒍 qualunque

o Il lavoro è esprimibile come differenza dei

valori che la funzione delle coordinate assume

in 𝑨 e in 𝑩

Forze conservative

A

B𝑙1

𝑙2


• Il lavoro di una forza conservativa dipende unicamente dal punto iniziale e

finale della traiettoria

Invertendo il senso di percorrenza della traiettoria,

il lavoro CAMBIA DI SEGNO


𝑩

𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = −න𝑩

𝑨

𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = −𝑾𝑩𝑨

Quindi per un CIRCUITO CHIUSO il lavoro è nullo:

ර𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = න𝑨

𝑩

𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 + න𝑩

𝑨

𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = 𝟎

• DA UNA FORZA CONSERVATIVA SU UN PERCORSO CHIUSO NON SI PUÒ

RICAVARE LAVORO

Forze conservative


• Poiché il lavoro dipende unicamente dalla posizione iniziale e finale si può

definire per ciascuna forza conservativa una funzione scalare dipendente dalla

posizione, L’ENERGIA POTENZIALE, tale che:


𝑩

𝑭 ⋅ 𝒅𝒔 = − 𝑬𝑷 𝑩 − 𝑬𝑷 𝑨 = −𝚫𝑬𝑷

Non esiste una unica formula per 𝑬𝑷

Dipende dalla forza conservativa a cui si riferisce.

Forze conservative


• Energie potenziali relative al lavoro di alcune forze analizzate:

Energia potenziale della Forza peso:

𝑬𝒑 𝒚 = 𝒎𝒈 𝒚

Energia potenziale della Forza Elastica

𝑬𝒑(𝒙) = 𝟏/𝟐 𝒌 𝒙𝟐

o Sono definite a meno di una costante additiva che dipende dal sistema

di riferimento

o Utilizzando normalmente solo Δ𝑬𝒑 la componente aggiuntiva si

semplifica

• Portando un corpo da 𝑨 a 𝑩, la forza applicata svolge un lavoro che viene

immagazzinato nel sistema come 𝚫𝐄𝐩

Energia che può essere ritrasformata in lavoro della forza conservativa

riportando il corpo da 𝑩 ad 𝑨

Forze conservative


• Se il lavoro della forza dipende dalla traiettoria, si parla di FORZE NON

CONSERVATIVE

Per queste forze:

o NON VALE la proprietà di INVARIANZA del lavoro rispetto al percorso

o NON È POSSIBILE esprimere il lavoro tramite le differenze dei valori di

una funzione delle coordinate

NON SI PUÒ introdurre l’energia potenziale

Resta comunque valido il Teorema dell’Energia Cinetica!

Forze di attrito

o Classe particolare delle forze non conservative

o Dette anche FORZE DISSIPATIVE

Forze non conservative


• Si consideri un sistema nel quale agiscono solo FORZE CONSERVATIVE

1. Dal teorema dell’energia cinetica

𝑾 = 𝚫𝑬𝑲 = 𝑬𝑲 𝑩 − 𝑬𝒌 𝑨

2. Dalla definizione di energia potenziale

𝑾 = −𝚫𝑬𝑷 = 𝑬𝑷 𝑨 − 𝑬𝑷 𝑩

• Uguagliando le precedenti equazioni, si ricava la DEFINIZIONE DI ENERGIA

MECCANICA 𝑬𝑴 di un sistema:

𝑬𝑴 = 𝑬𝒑 + 𝑬𝒌

La somma di energia CINETICA e POTENZIALE di un corpo su cui agiscono

solo forze conservative è COSTANTE durante il moto

𝑬𝑴 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

o Potranno cambiare separatamente 𝑬𝑷 e 𝑬𝑲, ma somma rimane costante

Durante il moto avviene una TRASFORMAZIONE da una forma di energia all’altra

Conservazione Energia Meccanica


Bilancio energetico in presenza di forze non conservative 𝑭𝒏𝒄

• Si applica il teorema dell’energia cinetica, in generale sempre valido

𝑾𝒄 +𝑾𝒏𝒄 = 𝑬𝒌 𝑩 − 𝑬𝒌 𝑨 = 𝜟𝑬𝒌

Per le forze conservative, il lavoro vale:

𝑾𝒄 = −𝚫𝑬𝑷 = 𝑬𝑷 𝑨 − 𝑬𝑷 𝑩

Da cui:

𝑾𝒏𝒄 = 𝑬𝒌 𝑩 + 𝑬𝑷 𝑩 − 𝑬𝒌 𝑨 + 𝑬𝑷 𝑨 = 𝑬𝑴 𝑩 − 𝑬𝑴 𝑨 = 𝜟𝑬𝑴

o In presenza di forze non conservative, L’ENERGIA MECCANICA

NON SI CONSERVA

o La VARIAZIONE DI ENERGIA MECCANICA risulta uguale

al LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE 𝑾𝒏𝒄 = 𝚫𝑬𝑴

Lavoro delle Forze Dissipative


• Si studi il moto del corpo mostrato in figura nelle 5 situazioni illustrate, utilizzando

il concetto di energia meccanica. In particolare si ricavino le espressioni per le

velocità nelle situazioni 4 e 5.

1. Il corpo si trova in quiete (𝒗 = 𝟎) su un piano orizzontale;

2. Al corpo è applicata una forza 𝑭 verso l’alto, di modulo maggiore della

forza peso;

3. La forza 𝑭 smette di agire; il corpo cade da un’altezza 𝒉;

4. Il corpo si trova ad una quota 𝒉/𝟐;

5. Il corpo giunge nuovamente a terra.

Esercizio 4.13

Ԧ𝐹

𝑦

𝑃

𝑁

1 2 3 4 5

ℎ


• Si valuti l’energia meccanica per un punto materiale che si muova sotto l’influsso

di una forza elastica di moto armonico secondo la legge oraria

𝒙 𝒕 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝝎 𝒕 + 𝝓𝟎 .

Esercizio 4.14


• Si consideri un punto materiale posizionato ad un’altezza 𝒉 = 𝟐𝟓 𝒄𝒎 che scivola

lungo un piano inclinato di un angolo 𝜽 = 𝟐𝟎°, scabro (𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟏𝟓), partendo

da fermo.

1. Si calcoli la velocità con cui arriva alla base del piano inclinato,

attraverso lo studio del bilancio energetico.

Esercizio 4.15


• Dal momento che per le forze conservative si ha

𝚫E𝒑 𝒙 = −𝑾 = −𝑭𝒙𝚫𝐱

Si può dunque scrivere 𝐅𝐱 = −𝚫𝐄𝐏

𝚫𝐱

Passando agli infinitesimi:

𝐅𝐱 = −𝐝𝐄𝐏𝐝𝐱

La forza lungo la direzione 𝒙 è data dalla derivata della funzione energia potenziale rispetto a 𝒙, cambiata di segno.

• In termini vettoriali:

𝑭 =𝝏𝑬𝑷𝒅𝒙

ෝ𝒖𝒙 +𝝏𝑬𝑷𝒅𝒚

ෝ𝒖𝒚 +𝝏𝑬𝑷𝒅𝒛

ෝ𝒖𝒛

Operazione gradiente della funzione scalare 𝑬𝑷 𝒙, 𝒚, 𝒛

Ricerca analitica di una forza

𝐭𝐠 𝜶 = −𝒅𝑬𝑷𝒅𝒙𝑬𝑷 𝒙

𝑬𝑷


• Si consideri un pendolo semplice formato da un filo di lunghezza 𝑳 = 𝟏𝒎 e da

un punto materiale di massa 𝒎. Il punto materiale viene lasciato libero di

muoversi, partendo da fermo da una quota 𝒉𝟏, corrispondente ad un angolo

𝜽𝟏 = 𝟏𝟓° rispetto alla posizione verticale di equilibrio.

1. Esprimere la velocità in funzione della posizione angolare.

a) Quanto vale e in quale punto è massima la velocità?

b) Quanto vale la velocità del punto materiale nella posizione 𝜽𝟐 = 𝟏𝟎°?

Esercizio 4.16

𝟐𝟏


• Si consideri un punto materiale di massa 𝒎 che si muove su un piano orizzontale

liscio privo di attrito con velocità 𝒗𝟎. Quando passa nella posizione 𝑨 esso inizia

a salire lungo una guida circolare liscia di raggio 𝑹, che giace in un piano

verticale. Si calcolino:

1. La velocità del punto e la reazione della guida in 𝑩;

2. La velocità del punto e la reazione della guida in 𝑪;

3. Il valore minimo di 𝒗𝟎 affinché il punto materiale arrivi in 𝑪 mantenendo il

contatto con la guida.

Esercizio 4.17


Si consideri un generico vettore 𝒗, applicato in un punto 𝑷

DEFINIZIONE DI MOMENTO di 𝒗 rispetto ad un altro punto 𝑶 (detto polo)

𝑴𝑶 = 𝑶𝑷 × 𝒗 = 𝒓 × 𝒗

Risulta ORTOGONALE al piano definito dai vettori 𝒓 e 𝒗

Modulo: 𝑴𝑶 = 𝑶𝑷 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒉 𝒗

o 𝒉 = 𝑶𝑷 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝑶𝑯 = BRACCIO DEL VETTORE 𝒗 rispetto ad 𝑶

o La retta contenente 𝒗 è detta RETTA DI APPLICAZIONE di 𝒗

Momento di un vettore

𝑴𝑶

𝒓 𝒗𝑶

𝑷𝜽𝒉

𝑯


• Al variare della distanza della retta di applicazione del vettore 𝑭𝟏 dal polo, o

al variare del modulo del vettore 𝑭𝟏 stesso, il vettore 𝑴𝟏 varia solo in modulo,

ma rimane sempre centrato nel polo scelto.

Comunque si muova il vettore 𝒗 lungo 𝑯𝑷 il vettore 𝑴𝑶 non cambia,

poiché 𝑶𝑯 rimane lo stesso



• 𝑴𝑶 cambia se si cambia il polo stesso

Si introduce un nuovo polo 𝑶′

𝑴𝑶′ = 𝑶′𝑷 × 𝒗 = 𝑶′𝑶 + 𝑶𝑷 × 𝒗 = 𝑶′𝑶 × 𝒗 +𝑴𝑶


Ԧ𝑟 Ԧ𝑣𝑀

O

O’𝑀′ 𝑟′𝑂′𝑂

P


DEFINIZIONE DI MOMENTO ANGOLARE

𝑳 = 𝒓 ×𝒎𝒗 = 𝒓 × 𝒑

𝒎: massa del punto materiale

𝒓: raggio tra il punto materiale e il polo 𝑶 considerato

𝒗: velocità del punto materiale

o Poiché risulta che 𝒓 = 𝒓 𝒕 e 𝒗 = 𝒗 𝒕 , anche 𝑳 = 𝑳 𝒕

o Detto anche «momento della quantità di moto»

• Se si cambia polo (da 𝑶 a 𝑶′):

𝑳𝑶′ = 𝒓′ × 𝒑

= 𝒓 + 𝑶′𝑶 × 𝒑

= 𝑳𝑶 + 𝑶′𝑶 × 𝒑

Momento angolare

UNITÀ DI MISURA

𝟏 𝑵𝒎𝒔

𝒓 𝒗𝑳

O

O’𝐿′ 𝑟′

𝑂′𝑂


DEFINIZIONE DI MOMENTO di una forza

𝑴 = 𝒓 × 𝑭

𝒓: raggio tra il punto di applicazione della forza

e il polo 𝑶 considerato

𝑭: Forza applicata in un punto

• Nel caso vi siano più forze applicate nello stesso punto, il momento complessivo

risulta pari al momento della risultante delle forze 𝑹

𝑴 =𝒊𝒓 × 𝑭𝒊 = 𝒓 ×

𝒊𝑭𝒊 = 𝒓 × 𝑹

• Se si cambia polo (da 𝑶 a 𝑶′):

𝑴𝑶′ = 𝒓′ × 𝑭

= 𝒓 + 𝑶′𝑶 × 𝑭

= 𝑴𝑶 + 𝑶′𝑶 × 𝑭

Momento di una forza

𝒓 𝑭𝑀

O

O’𝑀′ 𝑟′𝑂′𝑂

UNITÀ DI MISURA

𝟏 𝑵𝒎


• Il momento di una forza dipende dall’origine del sistema di riferimento e dal

punto ove la forza è applicata

Si vedrà in seguito che la scelta dell’origine risulta molto importante negli studi

di corpi rigidi

o 𝝓: Angolo tra la forza 𝑭 e il vettore 𝒓, ovvero tra l’origine e il punto di

applicazione della forza

o 𝒅 = 𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝝓Braccio del momento o della leva

Solo la componente della forza

ORTOGONALE a 𝒓 produce

momento

o La componente della forza

lungo 𝒓 non produce momento

Momento di una forza


• Si valuti la variazione del momento angolare rispetto al tempo

𝒅𝑳

𝒅𝒕=𝒅(𝒓 ×𝒎𝒗)

𝒅𝒕=𝒅𝒓

𝒅𝒕×𝒎𝒗 + 𝒓 ×𝒎

𝒅𝒗

𝒅𝒕

Se il polo è fermo nel sistema di riferimento in cui avviene il moto, allora 𝒅𝒓

𝒅𝒕= 𝒗 e il primo prodotto vettoriale si annulla!

TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE

𝒅𝑳

𝒅𝒕= 𝒓 ×𝒎

𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝒓 ×𝒎𝒂 = 𝒓 × 𝑭 = 𝑴𝑶

La derivata del momento angolare rispetto al tempo è pari al

momento della forza

o SOLO SE entrambi sono calcolati rispetto al medesimo polo fisso in un

sistema di riferimento inerziale

Se il momento delle forze è nullo, o se 𝑭 || 𝒓,

il momento angolare risulta costante 𝑳 = 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Teorema del Momento Angolare


TEOREMA DEL MOMENTO DELL’IMPULSO

𝒅𝑳 = 𝑴𝒅𝒕

𝚫𝑳 = න𝟎

𝒕

𝑴𝒅𝒕 = න𝟎

𝒕

𝒓 × 𝑭 𝒅𝒕 = 𝒓 × න𝟎

𝒕

𝑭 𝒅𝒕 = 𝒓 × Ԧ𝑱

o Ԧ𝑱: Impulso della forza

La variazione del momento angolare è uguale al MOMENTO DELL’IMPULSO

applicato al punto

Valido quando la forza è applicata per tempi brevi

• Tutti i teoremi visti in quest’ultima parte risulteranno fondamentali per la

dinamica dei SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.

Teorema del Momento Angolare


• Una massa 𝑴 = 𝟐 𝒌𝒈 scivola su una superficie orizzontale liscia con 𝒗𝟏 = 𝟒𝒎/se va a finire contro una molla, comprimendola fino a fermarsi completamente.

Dal punto in cui comincia a comprimere la molla in poi vi è un attrito di modulo

𝟏𝟓 𝑵, e la costante elastica della molla è 𝒌 = 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝒎.

1. Di quanto si è compressa la molla?

Esercizio 4.18


• Un blocco di massa 𝑴 = 𝟐 𝒌𝒈 è poggiato contro una molla posta alla base di

un piano inclinato con una pendenza di 𝟑𝟎° e privo di attrito. La molla, avente

costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟗. 𝟔 𝑵/𝒄𝒎 è dapprima compressa di 𝟐𝟎 𝒄𝒎, quindi

lasciata libera.

1. Quanto si allontana il blocco sul piano inclinato?

Esercizio 4.19


• Un blocco di massa 𝟓 𝒌𝒈 viene fatto salire lungo un piano inclinato con velocità

iniziale 𝟖𝒎/𝒔. Il blocco si ferma dopo 𝟑𝒎 lungo il piano, che è inclinato di 𝟑𝟎°.Si calcolino:

1. La variazione di energia cinetica;

2. L’energia potenziale;

3. Il lavoro della forza di attrito;

4. Il coefficiente 𝝁𝒅.

Esercizio 4.20


• Una molla posta alla base di un piano inclinato può essere compressa di 𝟐 𝒄𝒎 se

viene applicata una forza di 𝟐𝟕𝟎 𝑵. Un blocco di massa 𝟏𝟐 𝒌𝒈, inizialmente

fermo in cima al piano inclinato, che risulta privo di attrito ed inclinato di 𝟑𝟎°sull’orizzonte, viene lasciato cadere. Il blocco si arresta dopo aver compresso la

molla di 𝟓. 𝟓 𝒄𝒎.

Si calcolino:

1. Lo spostamento totale del blocco lungo il piano inclinato;

2. La velocità finale del blocco quando tocca la molla.

Esercizio 4.21


• Una pallottola da 𝟑𝟎 𝒈, con velocità iniziale di 𝟓𝟎𝟎𝒎/𝒔, penetra per 𝟏𝟐 𝒄𝒎 in

una parete in muratura prima di fermarsi.

Si calcolino:

1. La variazione in energia meccanica della pallottola;

2. Il valore della forza esercitata dalla parete, assumendola costante.

Esercizio 4.22


• Un pacco di massa 𝟒 𝒌𝒈 sale lungo un piano inclinato di 𝟑𝟎° con energia cinetica

iniziale di 𝟏𝟐𝟖 𝑱. Il coefficiente di attrito dinamico tra pacco e piano inclinato

vale 𝝁𝒅 = 𝟎. 𝟑.

Quanto vale lo spostamento complessivo del pacco lungo il piano inclinato?

Esercizio 4.23


• Una bambina che pesa 𝟐𝟔𝟕 𝑵 scende per uno scivolo lungo 𝟔. 𝟏 𝒎 che forma un

angolo di 𝟐𝟎° con il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico vale

𝟎. 𝟏. Si calcolino:

1. L’energia dissipata in energia termica dalla forza di attrito;

2. La velocità all’arrivo, sapendo che la bambina parte dall’alto con una

velocità pari a 𝟎. 𝟒𝟓𝟕 𝒎/𝒔.

Esercizio 4.24


• Un punto materiale di massa m = 𝟐. 𝟓 𝒌𝒈 è attaccato all’estremo di una molla di

costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟐𝟎 𝑵/𝒎 e lunghezza a riposo 𝒍𝟎 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎. L’altro

estremo della molla è fissato al punto 𝑶. Il sistema si trova su un piano

orizzontale e ruota con velocità angolare costante 𝝎 = 𝟒 𝒓𝒂𝒅/𝒔 attorno ad 𝑶.

Si calcoli:

1. Il raggio della circonferenza descritta dal punto materiale

a) Si discuta il caso in cui 𝒍𝟎 → 𝟎.

Esercizio 4.25


• Un punto materiale di massa 𝒎 = 𝟓𝟎𝟎 𝒈 è sospeso tramite un filo verticale ed è

collegato al suolo da una molla di costante elastica 𝒌 = 𝟕𝟎 𝑵/𝒎, che si trova in

condizioni di riposo. Si taglia il filo.

Si calcolino:

1. La massima distanza percorsa dal punto;

2. La posizione in cui si raggiunge la massima velocità;

3. La massima velocità raggiunta;

4. Prima di tagliare il filo, il periodo di oscillazione nel caso in cui il punto

venga spostato dalla posizione di equilibrio.

Esercizio 4.26


• Un oscillatore armonico semplice è formato da un blocco di massa 𝒎 = 𝟐 𝒌𝒈attaccato da una molla avente 𝒌 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵/𝒎. Al tempo 𝒕𝟏 = 𝟏 𝒔, la posizione

e la velocità del blocco sono rispettivamente 𝒙(𝒕𝟏) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟗 𝒎 e

𝒗(𝒕𝟏) = 𝟑. 𝟒𝟏𝟓 𝒎𝒔.

La legge oraria dell’oscillatore si esprime come:

𝒙 𝒕 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 + 𝝓𝟎

• Si calcolino:

1. L’ampiezza delle oscillazioni;

2. Il valore di posizione e velocità al tempo 𝒕 = 𝟎.

Esercizio 4.27


• Un blocco di peso 𝟏𝟒 𝑵, che può scivolare senza attrito su una rampa inclinata di

𝟒𝟎°, è sostenuto da una molla fissata alla cima della rampa, di lunghezza a

riposo 𝒍𝟎 = 𝟎. 𝟒𝟓 𝒎 e costante elastica 𝒌 = 𝟏𝟐𝟎 𝑵/𝒎.

Si calcolino:

1. La distanza dalla cima alla quale il blocco si assesta in equilibrio;

2. Il periodo di oscillazione nel momento in cui il blocco venga spostato dalla

posizione di equilibrio.

Esercizio 4.28


• Un blocco è appoggiato sulla superficie orizzontale di una tavola vibrante che si

muove orizzontalmente di moto armonico semplice con frequenza di 𝟐 𝑯𝒛.

Il coefficiente di attrito statico tra blocco e piano d’appoggio è 𝟎. 𝟓.

1. Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice ammissibile per

evitare lo slittamento del blocco?

Esercizio 4.29

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