un sistema rigido di punti materiali

un sistema rigido di punti materialiUn Un sistema rigido di punti materiali sistema rigido di punti materiali è capace di è capace di ruotareruotare mantenendo tutte mantenendo tutte le distanze tra una coppia qualsiasi di due particelle reciprocamente le distanze tra una coppia qualsiasi di due particelle reciprocamente invariate fra di loro,e quindi mantenendo la sua forma.invariate fra di loro,e quindi mantenendo la sua forma.

Un sistema composto da Un sistema composto da moltemolte particelle è particelle è rigidorigido soltanto quando le soltanto quando le distanze tra le particelle non cambiano sotto l’azione di una distanze tra le particelle non cambiano sotto l’azione di una forzaforza o di un o di un momento meccanicomomento meccanico

se se PPi i e Pe Pjj sono due punti qualsiasi del sistema, la condizione di rigidità è: sono due punti qualsiasi del sistema, la condizione di rigidità è:

tPP ji cos

osservazione

• cercheremo subito di definire alcune variabili che tengono conto delle proprietà del sistema rigido di punti materiali nel suo insieme

• tali variabili permettono di semplificare molto le equazioni che descrivono la dinamica e la statica di questi insiemi

• queste considerazioni sono applicabili anche ad un corpo rigido, continuo

Energia cinetica rotazionale di un corpo rigido e momento di inerzia

UN ESEMPIO

La lama di una sega circolare che gira ad alta velocità ha una energia cinetica rotazionale. Come calcolarla?

Considereremo la lama un insieme di punti materiali ognuno dotato della sua velocità, e calcoleremo la sua energia cinetica nel solito modo:

......2

1

2

1........ 2

22211321 vmvmKKKK

2222

2

1

2

1

2

1 iiiiii rmrmvmK2

2

1 IK

x

z

yo iri

sistema rigido di punti materiali, sistema rigido di punti materiali,

velocità , masse, posizioni etc diversevelocità , masse, posizioni etc diverse

i=1,2,...17

,.....,,, iiii avmr

2222

2

1)(

2

1

2

1iiiiii rmrmvmK

energia cinetica rotazionale di tutto il sistema è energia cinetica rotazionale di tutto il sistema è uguale alla somma delle energie cinetiche singoli uguale alla somma delle energie cinetiche singoli puntipunti

ma ogni punto iesimo ha una stessa velocità angolarema ogni punto iesimo ha una stessa velocità angolare

iii IrmI 2

2

2

1 IK

L’energia L’energia necessaria per necessaria per

ruotare un corpo ruotare un corpo rigido dipende rigido dipende

anche dalla anche dalla distribuzione distribuzione

della sua massa della sua massa attorno all’asse attorno all’asse

di rotazionedi rotazione

momento di inerzia di un sistema di punti

materiali

2.mkgI

il centro di massa di un sistema di punti materiali

x

z

yo

iicm

iicm

iicm

mzM

z

myM

y

mxM

x

1

;1

1

iicm mrM

r 1

ir imMcmr

im

sistema di punti materiali

Centro di Massa CM

Momento di Inerzia I

iicm mrM

r 1

imM

iii IrmI 2

il momento di inerzia di un insieme di punti materiali calcolato rispetto ad un asse fisso è dato dalla somma dei singoli momenti di inerzia di ogni punto materiale, dove ri è la distanza del punto i dalla retta di rotazione

.....

......

222

211

21

rmrm

III

che,scritto in forma compatta, diventa 2

iirmI

x

y

z

iir

im

ku

momento di inerzia rispetto ad un asse

se l’asse di rotazione è coincidente con l’asse

z

22iii yxmI

raggio giratore

• Il raggio giratore del corpo Rg è dato dalla relazione

• Rg è la distanza dall’asse di rotazione di un punto materiale ideale nel quale è concentrata tutta la massa M del sistema, avente il momento di inerzia I del sistema rigido

• Il raggio girtore è spesso indicato con la lettera K

2; gg MRIM

IR

2; MKIM

IKRg

Alcuni esempi

• la molecola di bromuro di potassio KBr

• un sistema di punti materiali

moto del CM un sistema rigido di punti materiali

iii vmpP

dt

vdm

dt

vdmamF iiiiiinet

dt

Pd

dt

pdF inet

In un sistema isolato e In un sistema isolato e

chiuso (F=0) la quantita’ chiuso (F=0) la quantita’ di moto di moto P si conservaP si conserva..

Newton:Newton: “ “ la la variazione della variazione della quantita’ di moto quantita’ di moto di una particella di una particella e’ proporzionale e’ proporzionale alla forza netta alla forza netta che agisce su che agisce su quel punto ed ha quel punto ed ha la stessa la stessa direzione della direzione della forzaforza””

dt

pdF inet

conservazione della quantità di moto (o momento linerare) in conservazione della quantità di moto (o momento linerare) in un sistema di punti materailiun sistema di punti materaili

forza esterna netta e quantità di moto totale per un insieme di forza esterna netta e quantità di moto totale per un insieme di punti materialipunti materiali

cmMP

dt

PdFnet

iii vmpP

dt

drm ii

dt

rmd ii

iicm mrM

r 1

dt

drM CM

Per un sistema di punti materiali Per un sistema di punti materiali od un corpo rigido di massa M la od un corpo rigido di massa M la quantita di moto del sistema e’ quantita di moto del sistema e’ uguale alla massa del sistema per uguale alla massa del sistema per la velocita del CM. la velocita del CM.

Dal punto di vista delle forze Dal punto di vista delle forze esterne,l’intero sistema si esterne,l’intero sistema si comporta come se tutta la comporta come se tutta la massa fosse concentrata nel CMmassa fosse concentrata nel CM

cmCM

net aMdt

dMF

realazione tra centro di massa e quantità di moto totalerealazione tra centro di massa e quantità di moto totale

cmnet aMF

Nell’esplosione di un razzo, Nell’esplosione di un razzo, trascurando la resistenza dell’aria,trascurando la resistenza dell’aria, FFnetnet e’ la forza di gravita`. Le forze e’ la forza di gravita`. Le forze

dell’esplosione sonodell’esplosione sono interneinterne. . Il Il CMCM si si muove in un campo di forza muove in un campo di forza gravitazionalegravitazionale g.g.

netF

risultante risultante forze esterneforze esterne

Un esempio: esplosione di un razzoUn esempio: esplosione di un razzo

Energia di un sistema di punti materiali

• l’energia di un sistema di punti materiali è data dalla somma :

• della energia cinetica interna, calcolata dalle velocità dei singoli punti rispetto alla velocità del centro di massa

++• l’energia cinetica di traslazione del

CM 22

2

1

2

1CMii vMmK

dinamica di rotazione

• Il centro di massa di un sistema segue la traiettoria che dipende dalla Forza Risultante Esterna Fnet

• Massa e centro di massa però non caratterizzano completamente il moto di un sistema di particelle.

• La dinamica di rotazione di un sistema di particelle rigido deve tenere conto della distribuzione delle masse: dovremo tener conto del momento di inerzia

il momento meccanico di un sistema di particelle

II legge di Newton II legge di Newton per la rotazioneper la rotazione

Il momento netto delle forze è uguale al momento di inerzia per la accelerazione angolare del sistema rigido di punti materiali

II leggedi Newoton per il moto rotatorio

n.b.: angoli in radianti!

n

iii

n

iinet Fr

11

ii I

iII

in un sistema rigido in moto rotatorio tutti i punti hanno la

stessa velocità e la stessa accelerazione angolare

il momento meccanico di un sistema di il momento meccanico di un sistema di particelleparticelle

il momento meccanico netto ( o risultante) di un sistema di punti materiali è dato dalla somma vettoriale dei singoli moment meccanici dei singoli punti materili

inet I

Inet

il ruolo del momento meccanico

• Il momento meccanico svolge nel moto rotatorio un ruolo analogo a quello della forza nel moto traslatorio

• Utilizzando questa grandezza, potremo scrivere una equazione del moto (analoga a quella di Newton per il moto traslatorio), che fornisce una accelerazione angolare e permette di calcolare le variazioni della posizione angolare e della velocità angolare

un esercizio sul momento meccanico di un sistema di punti materiali

momentomomento angolare di un sistema di particelle

iL

.....21

x

z

yo

dt

d

dt

Ld i

idt

Ld

netdt

Ld

iii pr

momento angolare momento angolare iesima particellaiesima particella

momento momento angolare totaleangolare totale

ii

dt

d

momento momento meccanico iesima meccanico iesima particellaparticella

la somma risultante la somma risultante netnet di tutti i vettori momento di tutti i vettori momento meccanico meccanico ii delle singole particelle è uguale alla delle singole particelle è uguale alla variazione temporale del momento angolare di tutto il variazione temporale del momento angolare di tutto il sistema stessosistema stesso

i

j

ir ip

netCM FaMdt

Pd

netIdt

Ld

le equazioni cardinali del moto di un sistema di punti materiali soggetto ad una forza risultante esterna Fnet e ad un momento meccanico net

0dt

Ld

se il sistema di punti materiali se il sistema di punti materiali non è soggetto ad un non è soggetto ad un momento meccanico esterno, momento meccanico esterno, il momento angolare si il momento angolare si conservaconserva

0net

0dt

Pd

0netF

se il sistema di punti materiali se il sistema di punti materiali non è soggetto ad una forza non è soggetto ad una forza risultante esterna, la quantità risultante esterna, la quantità di moto si conservadi moto si conserva

leggileggi conservativeconservative

esercizi sulla composizione di momenti angolari di sistemi di punti

materiali• il momento angolare del bromuro di

potassio

• due particelle su un piano in moto rettilineo uniforme

• il manubrio

• manubrio con asse di rotazione inclinato

Una domanda teorica

le forze che originano i cicloni