G.M. - Edile A 2002/03

Fluidi

I corpi in natura

• Gli oggetti che ci circondano si presentano come aggregati di punti materiali (sistemi di punti materiali)

• Tre stati– Solido

– Liquido

– Gassoso• (c’è anche un quarto stato (plasma) )

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Le proprietà dei corpi solidi• Corpo solido <-----> corpo rigido• In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole

deformazioni• Molti solidi hanno una struttura cristallina, altri sono amorfi• Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e

dalle forze molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione all’interno del reticolo

• È l’intensità elevatissima delle forze tra gli atomi che fa rassomigliare i solidi a corpi rigidi.

• Gli atomi occupano posizioni definite all’interno della struttura

• sono in continua oscillazione attorno alla posizione di equilibrio

• con una ampiezza che dipende dalla temperatura

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I moti del corpo rigido

• Traslazione– Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello

stesso intervallo di tempo• Il moto si può studiare attraverso il moto del centro di massa

• Rotazione attorno ad un asse fisso– I diversi punto del CR subiscono spostamenti diversi

• In particolare esistono dei punti allineati lungo un asse che non sibiscono alcuno spostamento (asse di rotazione)

• Rototraslazione– è la combinazione dei due moti elementari precedentemente

elencati• Il moto del centro di massa ci permette di descrivere la traslazione• A questo moto si sovrappone la rotazione attorno ad un asse passante

per il centro di massa la cui orientazione può variare con il tempo.

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Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

• E’ possibile determinare la posizione del CR con la sola conoscenza dell’angolo

• Un CR in rotazione attorno ad un asse fisso ha un solo grado di libertà

• È sufficiente una sola equazione scalare per determinare il suo moto.

• Facciamo riferimento all’anta di una porta

Asse di rotazione

Vista dall’alto

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Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso

• Nel caso della rotazione la forza non è direttamente responsabile dell’effetto prodotto.

• Supponiamo di applicare forze perpendicolari al piano della porta:

• Se applichiamo una forza a distanza nulla d’asse di rotazione:

• l’effetto è nullo: non c’è nessun moto

• Cerchiamo quindi una relazione tra le forze applicate e l’accelerazione (angolare) prodotta.

• Man mano che ci allontaniamo dall’asse di rotazione, a parità di forza, l’effetto (l’accelerazione angolare della porta ) è sempre più vistoso

• Ecco perché la maniglia si mette il più lontano possibile dall’asse di rotazione

Vista dall’alto

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Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso

• L’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, sembra dipendere dal momento della forza rispetto al polo O

• Il modulo del momento vale infatti:

• Sembra quindi che l’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, dipende dal prodotto della forza per il braccio

• Braccio=distanza della retta di azione della forza d’asse di rotazione

Vista dall’alto

b

O

O r

F

M o r

F Frsen Fb

rF

• Si osservi che in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione

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Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso

• L’effetto è maggiore quando l’angolo è 90°• È nullo quando è 0° o 180°• Questa osservazione ci conferma che la causa

delle rotazioni è il momento della forza. • Infatti:

• Possiamo ulteriormente investigare questa conclusione facendo variare l’angolo della forza rispetto al vettore posizione mantenendo la forza nel piano perpendicolare all’asse di rotazione

Vista dall’alto

O

O r

M o r

F Frsen Fb

r F

• Che è massimo quando è 90°, è nullo quando è 0° o 180°

• Si osservi che anche in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione

bF

b

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Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso

• Lo stesso modulo del momento quando la forza F è perpendicolare al piano della porta

• Ma in questo caso l’effetto prodotto è nullo!!• Non si verifica alcun moto della porta.

• Concludiamo questo discorso considerando forze nel piano della porta.• Se consideriamo una forza perpendicolare al vettore posizione r

• Il modulo del momento è

O r

F

M o r

F Frsen Fb

• Cosa c’è di diverso nei due casi??• Osserviamo che in questo caso il momento Mo è

perpendicolare all’asse di rotazione• In precedenza esso era parallelo all’asse di

rotazione• Possiamo concludere:

• Il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dalla componente del momento della forza lungo l’asse di rotazione (Momento assiale)

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Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

• Abbiamo dedotto:– il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal

momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo l’asse di rotazione)

• Si trova infatti che:I Mz

Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso

• I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse di rotazione

• accelerazione angolare

• Mz componente assiale del momento delle forze esterne

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I diversi tipi di sollecitazione• Trazione

– Produce un allungamento del campione• Compressione

– Produce una accorciamento del campione• Taglio

– Produce lo scorrimento di una sezione del campione sull’altra

• Compressione idrostatica– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del

campione ed è perpendicolare alla superficie stessa– Produce una diminuzione del volume del campione

L

F

F

F

F

F

F a) b) c)

L

F

F

F

F

F

F

LL

L

a) b) c)

• Sforzo– Forza applicata diviso per la sezione del campione

• Deformazione relativa– La deformazione prodotta diviso per il valore della

grandezza originaria

F

A

L

L

sforzo modulo di elaticità deformazione relativa

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Il comportamento dei materiali

• I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2

F

AE

L

LE modulo di Young (trazioni o compressioni)

F

AG

L

LG modulo di taglio (per sollecitazioni di taglio)

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Il comportamento dei materiali

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Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

• Abbiamo dedotto:– il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal

momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo l’asse di rotazione)

• Si trova infatti che:I Mz

Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso

• I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse di rotazione

• accelerazione angolare

• Mz componente assiale del momento delle forze esterne

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I diversi tipi di sollecitazione• Trazione

– Produce un allungamento del campione• Compressione

– Produce una accorciamento del campione• Taglio

– Produce lo scorrimento di una sezione del campione sull’altra

• Compressione idrostatica– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del

campione ed è perpendicolare alla superficie stessa– Produce una diminuzione del volume del campione

L

F

F

F

F

F

F a) b) c)

L

F

F

F

F

F

F

LL

L

a) b) c)

• Sforzo– Forza applicata diviso per la sezione del campione

• Deformazione relativa– La deformazione prodotta diviso per il valore della

grandezza originaria

F

A

L

L

sforzo modulo di elaticità deformazione relativa

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Il comportamento dei materiali

• I moduli di elasticità, E e G, si misurano in N/m2

F

AE

L

LE modulo di Young (trazioni o compressioni)

F

AG

L

LG modulo di taglio (per sollecitazioni di taglio)

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Il comportamento dei materiali

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Applicazione

• Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza L =81 cm. Una forza di modulo 6.2 x104 lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo nel tondino?

• Quanto l’allungamento e la sua deformazione?

• La sezione del tondino è data da:

A R2 3.14 9.5 10 3 2 283 10 6 m2

• Lo sforzo: F

A

6.2 104

283 10 6 2.19 108 N

m2

• La deformazione:L

L

E

2.19 108

200 109 0.0011

• L’allungamento:

L E

L 2.19 108

200 109 0.81 0.00110.81 0.00089m 0.9mm

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Risonanza• Per realizzare una qualunque struttura

meccanica, dalla più semplice alla più complicata, si utilizzano corpi solidi collegati insieme

• poiché i corpi solidi hanno un comportamento elastico, ci aspettiamo altrettanto da una qualunque struttura meccanica.

• Sottoponendo la struttura ad una sollecitazione rapida (un impulso),

– Essa entrerà in vibrazione

– Le vibrazioni si smorzeranno più o meno rapidamente a causa degli attriti

• Però se le sollecitazioni sono periodiche – le vibrazioni potranno sostenersi

• Per avere un’idea di quello che succede si può studiare l’oscillatore armonico sottoposto ad una forza variabile nel tempo.

d2y

dt2 b

m

dy

dt

k

my

Fcos f t m

F cos f t

d2x

dt2 b

m

dx

dt

k

mx

Fcos f t m

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I fluidi• Per fluidi si intendono i gas ed i liquidi

• le distanze tra le molecole sono in media più grandi rispetto ai solidi, – le forze di interazione sono estremamente meno intense: nei fluidi le

molecole sono debolmente legate l’una all’altra

– esse non occupano posizioni predeterminate all’interno del fluido

– ma possono muoversi al suo interno.

• I fluidi non oppongono alcuna resistenza a sollecitazioni di taglio– Se suddividiamo in due parti il fluido con una superficie ideale è possibile

far scorrere le due parti di fluido l’una rispetto all’altra.

– Si immagini la lama di un coltello che scorre all’interno di un fluido.

• Conseguenza:– Se separiamo il fluido in due parti mediante una superficie qualsiasi le

forze che una parte di fluido esercita sull’altra hanno solo la componete normale alla superficie.

– Questo vale per qualunque superficie.

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La pressione idrostatica• Sulla superficie immaginaria con cui abbiamo suddiviso il

fluido in due parti prendiamo una piccola area, A, attorno al punto P

• Si definisce pressione idrostatica nel punto P la grandezza scalare attenuta facendo il rapporto della forza (normale) che una delle due parti di fluido esercita sull’altra attraverso l’area A, diviso per l’area A (eventualmente si fa il limite per A che tende a zero) :

P Fn

A

• Le dimensioni P Fn A 1 MLT 2L 2 • Le unità di misura nl SI sono N/m2, che viene anche chiamata

“pascal”, Pa.

• Altre unità di misura della pressione:– Atmosfera (atm)=1 atmosfera è la pressione atmosferica al livello del

mare

– torr (o mm Hg) è la pressione che esercita una colonna di 1 mm di mercurio

– 1 bar= 105 Pa 1atm 1.013 105Pa 760torr

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La pressione sulle pareti del recipiente• Se la superficie ideale tracciata all’interno di un fluido viene sostituita da una

superficie reale– la parete del contenitore

• Possiamo usare la stessa definizione per valutare al pressione sulle pareti del contenitore

P Fn

A

• A è una piccola areola attorno al punto P in cui si vuole misurare la pressione

• Fn è la forza normale esercitata dalla fluido sulla piccola porzione A della parete

• A cosa è dovuta questa forza normale?– Agli urti delle particelle che costituiscono il fluido sulle pareti

– Per un urto elastico su una parete liscia

v

v '

F

x

y

1

2m vx

2 vy2 1

2m v' x

2 vy2 vx

2 v' x2 v' x vx

v' x vx

La molecola subisce la forza F dalla paretePer il principio di azione e reazione esercita sulla parete

una forza uguale e contraria.

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La densità• Si definisce densità media del fluido

P

m M

V

• Si definisce densità del fluido nel punto P

lim V 0M

V

– Il limite in senso “fisico”

dM

dV

• I fluidi si distinguono in – Comprimibili– Incomprimibili

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La legge di Stevino• Consideriamo in fluido incompribile

• è uniforme in tutto il volume del fluido

• Consideriamo un fluido stazionario

• Isoliamo idealmente una porzione di fluido racchiusa in un cilindro di area di base A orizzontale e altezza h (h=y1-y2)

• Se tutto il fluido è stazionario, questa porzione è ferma

• Applichiamo la secondo legge della dinamica– In particolare la sua componente verticale

P2A P1A A(y1 y2)g 0

P2 P1 (y1 y2 )g P1 gh • h profondità

• Punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione

• Punti alla stessa pressione si trovano alla stessa profondità– La superficie di separazione tra l’aria e l’acqua è orizzontale

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Applicazione

• A che profondità bisogna immergersi in mare perché la pressione raddoppi rispetto a quella in superficie

• Vogliamo trovare h* in modo che P sia uguale a 2Po.

• Dalla legge di Stevino ricaviamo che la pressione alla profondità h in un liquido conoscendo quella in superficie Po, è data da:

• Da cui:

P Po gh

h

2Po Po gh* h* Po

g

h* Po

g

1atm

1.024 103 kg

m3 9.81 ms2

1.01 105 Pa

1.024 103 kg

m3 9.81 m

s2

10.05m

• Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di un atmosfera

• Se al posto dell’acqua c’è un gas,– la densità del gas è circa 1000 volte più piccola di quella dell’acqua

• Alla profondità di 10 m in un gas la pressione sarebbe cambiata solo di 1 millesimo di atmosfera

• Per recipienti di piccolo volume, entro i 10 m di profondità, possiamo considerare la pressione costante in tutto il recipiente.

P Po gh

se h 0

P Po cos tan te

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La misura della pressione

• Barometro– Per la misura assoluta della

pressione atmosferica

• Manometro a tubo aperto– Misura la differenza di

pressione tra due ambienti

– Misura relativa di pressione

0 Po g h

Po gh

P Po gh

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Il principio di Pascal• Consideriamo un fluido contenuto in un cilindro

racchiuso da un pistone mobile

• Indichiamo con Pest la pressione esercitata dal pistone sul fluido

• La pressione in tutti gli altri punti sarà: P Pest gh

• Supponiamo ora di variare la pressione Pest , per esempio variando il carico sul pistone.

• Sia Pest la variazione di Pest.

• In tutti gli altri punti del fluido osserveremo una variazione di pressione:

P Pest gh se il liquido èincomressibile gh 0

P Pest

• Se produco una variazione di pressione in un punto del fluido questa si ripercuote su tutto il fluido.

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La leva idraulica• Consideriamo due cilindri pieni di un fluido incomprimibile (olio)• In condizioni di riposo entrambi i pistoni sono alla stessa altezza e la pressione

del fluido subito sotto i pistoni è la pressione atmosferica

• Se spingiamo il pistone Ai con una forza Fi, facciamo cioè aumentare la pressione del fluido in uno dei rami del pistone, allora la pressione aumenterà dappertutto della stessa quantità

P Fi

A i

• Il secondo pistone sarà quindi in grado di esercitare sull’ambiente esterno una forza

Fo PAo FiAo

Ai

• La forza risulta amplificata per un fattore pari al rapporto tra le aree

• Si osservi che lo spostamento del secondo pistone è ridotto rispetto a quello del primo dello stesso fattore.

• Il lavoro da fare per sollevare un oggetto pesante è sempre lo stesso

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Il principio di Archimede• La Spinta di Archimede è la forza a cui è soggetto un

corpo quando è immerso nel fluido

• Consideriamo, in un fluido stazionario, la porzione di fluido racchiusa in una superficie chiusa che riproduce perfettamente la superficie esterna di un corpo.

• Questa porzione di fluido è in equilibrio (fluido stazionario)

• La risultante delle forze che la porzione di fluido all’esterno del contorno esercita su quella all’interno del contorno è proprio uguale al peso del fluido racchiuso all’interno del contorno.

• Quando metteremo il corpo, la parte di fluido esterna al contorno del corpo è la stessa , continuerà ad esercitare sempre la stessa forza:

• La spinta di Archimede è pari al peso della massa di acqua spostata dal corpo