1

Dinamica dei sistemi di punti

Forze interne: forze dovute a particelle che fanno parte del sistema di punti materiali

Forze esterne: forze dovute a particelle che non fanno parte del sistema di punti materiali

Sistema di punti materiali:

ii

n

ij

ijin

iest amFF

,

i=1,2..n

dt

pdFF i

n

ij

ijin

iest

,

L. Newton

2

Centro di massa

z

y

x

P2

P1

P3

r 1

r 3

r 2

r CM

r 2

M

M

M

n

i

n

i

n

i

1ii

CM

1ii

CM

1ii

CM

zm=z

ym=y

xm=x

Si definisce centro di massa di un sistema di punti il punto geometrico la cui posizione è individuata, nel sistema di riferimento considerato, dal raggio vettore:

M

n

i1

ii

CM

rm=

r

n

iimM

1

3

Centro di massa

Si trovi il centro di massa di un sistema costituito da tre punti materiali m1: 2 kg nell’origine, m2 = 4 kg sull’asse y in y = 3 m e m3= 6 kg sull’asse x in x = 4m

m3m1

m2

Ancora sul Centro di Massa

4

OOOOOO

MMM

n

i

n

i

n

i

CM

1ii

1ii

1ii

CM

rm)r(mrm= rr

La posizione del centro di massa non dipende dal sistema di riferimento, mentre le sue coordinate invece variano a seconda del sistema.

5

Velocità del centro di massa

Se i vari punti materiali si muovono, anche il centro di massa si muoverà con velocità:

M

P

M

m

Mdtd

mm

dt

d

MM

m

dt

d

dt

d T

n

iii

n

i

iin

iii

n

iii

CMCM

1

costante è m perchè esomma sulla edistribuir

può si derivata la perchè

1

costante è M

1 perchè

1

1

edefinizionper

i

1v

r

rr

rv

TCM PM

vLa quantità di moto totale del sistema coincide con quella del CM!!

6

a CM

dv CM

dtper definizione

d

dt

m iv i

i1

n

M

1

M

d

dtm i

v i

i1

n

perchè 1

M è costante

m idv idt

i1

n

M

perchè la derivata si può distribuire sulla sommae perchè mi è costante

m ia i

i1

n

M

Dinamica dei sistemi non isolati

n

i ijij

n

ii

i ijiji

n

iiiCM FFFFmM

1

interne,

1

esterneinterne,

esterne

1

aa

esterneRM CM

a

Teorema del moto del CM: il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne.

Teorema del moto del CM: il CM si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne.

7

dtdt

)v(

dt

v CMCMesterne TPdMddMR

La risultante delle forze esterne è pari alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema.

La risultante delle forze esterne è pari alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema.

Quantità di moto del centro di massa

0int F

8

Se il sistema è isolato ossia non si sono forze esterne che agiscono…

cost TCM PM

v cost CMv

Nel sistema CM la quantità di moto totale è nulla.

0** TCM PM

v

nel sistema inerziale

Dinamica dei sistemi isolati

…la quantità di moto TOTALE del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso. La quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare.

…la quantità di moto TOTALE del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso. La quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare.

0 estR

Esempio

9

Supponiamo che durante l’esplosione le forze siano solo interne: la forza peso sia trascurabile

0vmvm

0cost

2211 xP

t

xv

t

xv

22

11

0t

xm

t

xm 2

21

1 2211 xmxm

0vCMx

Il CM cade verticalmente

0M

mxmx0x 2211

CM

10

Momento angolare

Per un sistema di particelle il momento L rispetto al polo O (in un sistema di riferimento inerziale):

N

iilL

1

dt

ld

dt

ld 22

11 e

z

x

P2

P1

r 1

r 2

r 2

F1

F2

dt

lld )( 21

21

)()( 2122121121 FFrFFr

1221221121 )( FrrFrFr

Momento delle forze interne…

11

1,2F

2,1F

2r

1r

2

1

O

0)( 1,221

1,222,11int2

int1

Frr

FrFr

1,221 //)( Frr

12

Momento angolare e torcente

EXTN

iidt

Ld

1

Il momento torcente totale dovuto alle forze esterne che agiscono sul sistema di particelle è uguale alla variazione temporale del momento angolare del sistema stesso, entrambi calcolati rispetto al medesimo polo fisso nel sistema di riferimento inerziale scelto per studiare il moto (o rispetto al CM).

Il momento torcente totale dovuto alle forze esterne che agiscono sul sistema di particelle è uguale alla variazione temporale del momento angolare del sistema stesso, entrambi calcolati rispetto al medesimo polo fisso nel sistema di riferimento inerziale scelto per studiare il moto (o rispetto al CM).

Conservazione del momento angolare

13

EXTN

iidt

Ld

1

0EXTSe costante L 0

dt

Ld

Se il sistema è isolato il momento angolare tot. del sistema si conserva rispetto a qualunque polo. Se il momento delle forze esterne è nullo rispetto ad un determinato polo (anche in presenza di forze esterne) il momento angolare si conserva se calcolato rispetto a quel polo. Il momento angolare di ogni singola particella invece può variare, a causa delle forze interne.

Se il sistema è isolato il momento angolare tot. del sistema si conserva rispetto a qualunque polo. Se il momento delle forze esterne è nullo rispetto ad un determinato polo (anche in presenza di forze esterne) il momento angolare si conserva se calcolato rispetto a quel polo. Il momento angolare di ogni singola particella invece può variare, a causa delle forze interne.

Esempio

14

Sia 0 il polo

cost0 TEXT L

2121

ffii LLLL

122

21

2

22

222

212

112

1

r

r

mrmrmrmr

21 mm

15

Momento angolare rispetto ad un polo mobile

CMO vv

M

dt

Ld EXT

z

x

P2

P1

r 1

r 2

r 2

F1

F2

O’’

CMO

CMO

CM

O

CMO

v//v

vv CMcon coincide'

0v

0v fisso'

0vv

O

O

M

Teorema di Koning per il momento angolare

16

CM* v

CMrMLL

M. Angolare nel sist. inerziale

CMi*

CM*

i**

CMi**

i

vvvv

)vv()(v

ii

CMii

CMii

ii

ii

iiCMi

iii

mrmrmrmr

mrrmrL

0 0

M. Angolare rispetto al CM

M. Angolare del CM

Dim

Teorema di Koning per l’energia cinetica

17

CMKK MEE 2* v2

1

CMi

iiCM

iii

ii

CMi

iii

iiK

mmm

mmE

**2*2*

**2

vv)v(2

1)v(

2

1

)vv(2

1v

2

1

0

Teorema delle forze vive

18

rdFrdFrdFdL iiext

iii

int

0)(

)(

int

intintint

ijijij

ijijijij

rdrdF

rdFrdFL

intLLL exttot

Ktot EL

ULext Se le forze esterne sono conservative

intLUEK