Sistemi di punti materiali

• Finora si è parlato solo di “punti materiali”: è un po’ limitativo (oggetti “piccoli” o moto di pura traslazione). E’ opportuno estendere.

• La 3a Legge di Newtonci permette di ricavare teoremi riguardanti il “moto globale” di un sistema

• Si osserva sperimentalmente che in ogni sistema esiste un punto notevoleil cui moto è particolarmente semplice (centro di massa o baricentro)

• C’è una grandezza vettoriale che si conserva in un sistema isolato (quantità di moto)

un punto di questo manubrio segue la traiettoria parabolica che ci aspettiamo per un punto materiale

La Terra ruota veramente intorno al Sole? Che succede in un sistema di due stelle?

m1 m2

x1 x2

O

x

Caso di 2 punti materialisull’asse x (problema 1D)

21

2211

mm

xmxmx cm +

+=

ll

21

12

21

21 mm

md

mm

md

+=

+=

lm1 m2

d1 d2

Centro di massa di un sistema di punti materiali

1

2

2

1

m

m

d

d =

scegliendo x1=0 si trova

cdm

notare che

21

2

mm

mxcm +

= l

TOT

NNcm m

rmrmrmr

rrrr +++= ...2211

21

2211

mm

xmxmxcm +

+=

Nello spazio, il baricentro di due punti materiali, m1 di coordinate r1 = (x1, y1, z1), e m2, di coordinate r2 = (x2, y2, z2) ha coordinate:

Vettorialmente:

∫= dmrm

rTOT

cm

rr 1Per corpi continui:

Centro di massa (o baricentro). Caso generale

N

NNcm mmm

xmxmxmx

++++++=

...

...

21

2211generalizzazione per N punti:

NNcmTOT rmrmrmrmrrrr +++= ...2211

⇒

→

→

∫∑Vk

k dmm

∑=k

kkTOT

cm rmm

rrr 1

ecc.

ovvero

può essere utile riscrivere

21

2211

mm

ymymycm +

+=21

2211

mm

zmzmzcm +

+=

Centro di massa e simmetria

Centro di massa di sistemi composti.

m1 m2

x1x2

Il c.d.m. di un triangolo omogeneo sta all’incrocio delle mediane

Il centro di massa giace• nei punti di simmetria • lungo gli assi di simmetria• sui piani di simmetria

21

2211

mm

xmxmxcm +

+=

cdm1 cdm2

Centro di massa di una persona

traiettoria parabolica del c.d.m.

Sistemi di punti materiali: forze internee forze esterne

Sistema: LunaFTL e FSL sono forze esterne

Sistema: Luna + Terra.FTL e FLT sono forze interneFST e FSL sono forze esterne

Le forze internehanno una proprietà importante: a due a due si annullano.

1

2

3

12F

21F13F

31F

32F

23F

TLFr

LTFr

TSFr

STFr

SLFr

LSFr

Moto del centro di massa

∑=+++=k

kkTOTTOT

NNcm rm

mm

rmrmrmr

rrrr

r 1....2211

posizionedel baricentro (definizione)

∑=+++==k

kkTOTTOT

NNcmcm vm

mm

vmvmvm

dt

rdv

rrrrr

r 1....2211

∑=+++==k

kkTOTTOT

NNcmcm am

mm

amamam

dt

vda

rrrrr

r 1....2211

velocitàdel c.dl.m.

accelerazionedel c.d.m.

ESTNcmTOT FFFFamrrrrr =+++= .....21

ESTCMTOT Famrr =

Teorema del moto del centro di massa

Il centro di massa si muove come un punto materiale

♦ in cui è concentrata la massa totale mTOT

♦ soggetto alla risultante delle forze esterne

Moto del centro di massa

Le forze interne si annullano a 2 a 2.

∑=+++=k

kkNNcmTOT amamamamamrrrrr

....2211

si ottiene così l’importante

2a Legge di Newton per un sistema di punti materiali

somma di tutte le forze agenti sul sistema, sia interneche esterne

Moto del centro di massa. Esempi

Se il moto del baricentro è parabolico

Traiettorie paraboliche

Una persona, inizialmente ferma, si mette in cammino.Una persona, inizialmente accucciata, si alza in piediUn’auto percorre una curva circolare con |v| costante.

quali sono le forze esterne?

gmF TOTEST

rr= se g costante ed è trascurabile

la resistenza dell’aria

Quantità di moto

vmprr =

mvr

si definiscequantità di moto di un “punto materiale”

dt

vmd

dt

vdmamF

)(rr

rr===

In funzione della quantità di moto la 2a Legge di Newtonsi può riscrivere:

dt

pdF

rr

=

la quantità di moto è modificata da una forza.

m1 m2

k, ∆x

m1 m2

k, ∆xv1 v2

01 ≠∆pr

02 ≠∆pr

?TOTpr∆

Quantità di moto del sistema

NNTOT vmvmvmprrrr +++= ....2211

ESTTOT F

dt

pd rr

=

Teorema della quantità di moto

quantità di moto totale(definizione)

⇒== ESTCMTOTcmTOT Fam

dt

vmd rrr)(

è la quantità di moto di un punto materiale di massamTOT coincidente con il centro di massa.

La risultante delle forze esterne ci dice quanto rapidamente varia la quantità di moto del sistema.

L’impulso delle forze esterne misura quanto è cambiata la quantità di moto, in un dato intervallo di tempo

cmTOTTOT vmprr =

Teor. moto del cdm

sono solo formulazioni diverse della 2a Legge di Newton per un sistema di punti materiali

ESTTOT Jprr =∆

formulazione differenziale

formulazione integrale

Sistemi isolati.

Luna: sistema non isolato

Luna + Terra: sistema non isolato

Un sistema è (meccanicamente) isolato se su di esso non agiscono forze esterne.

se le forze esterne sono trascurabili

0=CMTOT amr

0=dt

pd TOT

r

Teorema del moto del baricentro(Seconda L.Newton per i sistemi)

Teorema della quantità di moto(sia in forma differenziale che integrale)

TLFr

LTFr

TSFr

STFr

SLFr

LSFr

Luna + Terra + Sole: sistema (quasi) isolato

cost=TOTpr

cost=CMvr

⇒

⇒

Dal nostro punto di vista, però, non è necessario che il sistema sia assolutamente isolato, basta che la risultante delle forze esterne sia uguale a zero

Promemoria: teorema dell’impulso

Un modo alternativo di vedere la 2a legge di Newton è tramite il teorema dell’impulso

Se un corpo di massa m è soggetto ad una forza F(t) [può dipendere dal tempo] allora

( )tFdt

pd rr

= ( )dttFdtdt

pdtf

ti

tf

ti∫∫ =r

r

( )dttFpptf

ti

if ∫=−rrr

Jprr =∆Teorema dell’impulso

E’ la 2a Legge di Newton scritta in forma integrale

Se abbiamo un «sistema di punti materiali» la 3a Legge di Newton garantisce che l’impulso delle forze interne è zero, quindi

EXTJprr =∆

( )am

dt

vmd rr

=

Piano orizzontale liscio: sistema uomo+cassa isolato

0=ESTFr la quantità di moto si conserva

(è costante nel tempo).

c.d.m.

02211 =+ vmvmrr

if pprr =

0=CMar

D’altronde

prima dopo

Sistemi isolati. Conservazione della quantità di moto

12

12 v

m

mv

rr −=

0=ipr

con

cost=CMv

⇒

0,, == iCMfCM vv

se 0=CMv

⇒

cost=CMrr

il c.d.m. rimane immobile

m1 m2

F

1

F

2

m1 m2v1v2

Sistemi isolati. Conservazione della quantità di moto.

PC

PC

PPCC

vm

mv

vmvm

rr

rr

−=

=+ 0Rinculo di un cannone.

Razzo isolato, inizialmente in quiete

gas espulsi ad alta velocità rinculo del razzo

posizione del c.d.m

m1 m2

k, ∆x

m1 m2

k, ∆xv1 v2

0=∆ TOTpr

"That Professor Goddard, with his 'chair' in Clark College and the countenancing of the Smithsonian Institution, does not know the relation of action to reaction, and of the need to have something better than a vacuum against which to react -to say that would be absurd. Of course he only seems to lack the knowledge ladled out daily in high schools."

Il famoso commento del New York Times, 13 Gennaio 1920.

Il 17 Luglio 1969, mentre gli astronauti dell’equipaggio Apollo si apprestavano a sbarcare sulla Luna, il giornale stampò una rettifica:

“Further investigation and experimentation have confirmed the findings of Isaac Newton in the 17th Century and it is now definitely established that a rocket can function in a vacuum as well as in an atmosphere. The Times regrets the error “

da AstronauticsNow.com

v0m

v1m1

m2

v2

m3

v3?

m=35 kg v0=200 m/sm1=8,0kg v1=150 m/s (45°)m2=12kg v2=80 m/sm3=10,0kg

Un altro esempio

(trascurando la massa del gas liberato)

Y

X

vmvmvm

vmvmmv

332211

33110

45sin0

45cos

+−°=+°=

Sistemi non isolati.

chi vincerà la gara di tiro alla fune?

Urto totalmente anelastico: le due masse restano attaccate dopo l’urto(procedono insieme)

Urto totalmente anelastico. 1D.

m1 m2 vf

prima dopo

( )21

2211212211 mm

vmvmvvmmvmvm ff +

+=⇒+=+

m1 m2v1 v2

questa è la velocità del cdm!

In genere una delle due masse (bersaglio) è inizialmente in riposo: 21

11

mm

vmv f +

=

Che succede all’energia cinetica? In un urto anelastico essa diminuisce(Kf < Ki), anzi, in questo genere di urto si ha la massima dissipazione possibile di energia meccanica(compatibilmente con le condizioni iniziali). Essa si trasforma in energia interna del sistema.

urto in 1D significa urto frontale

Urto totalmente anelastico: le due masse restano attaccate dopo l’urto(procedono insieme)

( ) ⇒+=+ fii vmmvmvmrrr

212211

Urto totalmente anelastico. 2D

m1

m2

v1

v2

m1+m2

cdm

( )( )

+=+

+=+

fYYY

fXXX

vmmvmvm

vmmvmvm

212211

212211

21

2211

mm

vmvmv ii

f ++=

rrr

velocità del cdm

Anche in questo caso si ha la massima dissipazione di energia cinetica possibile (cioè compatibile con lo stato iniziale)

Urto elastico. Caso 1D

v1

m1 m2

′+′=

′+′=

22

221

121

1

221111

222v

mv

mv

m

vmvmvm

Urto Elastico: Energia cinetica costanteNell’urto elastico si applicano • conservazione della quantità di moto• conservazione dell’energia cinetica.

Caso particolare: urto frontale (1D) con un corpo inizialmente fermo.

( )

+=′

+−=′

21

112

21

1211

2

mm

vmv

mm

vmmv

21 mm =

21 mm >

21 mm <

cons. p

cons. K

Urto elastico. Un caso particolare in 3D

Problema complicato: vediamo solo un esempio interessante:

urto elastico fra due corpi di massa uguale, con bersaglio fermo

Dopo l’urto, l’angolo fra le direzioni di m1 e m2 è sempre 90°

21

22

21

211

222 iff

ffi

vm

vm

vm

vmvmvm

=+

+= rrr

22

2121

22

21 2 ffffff vvvvvv +=⋅++ rr

... C.V.D.

iv1

r

90°

fv1

r

fv2

r

Riassunto

definizionedi centro di massadi un sistema

dimostrazionedella 2a Legge di Newton per ad un sistemamateriale

definizionedi quantità di motodi un punto e di un sistema

dimostrazionedel teorema della quantità di moto

corollario: conservazione della quantità di moto in un sistema isolato

applicazione dei teoremi precedenti agli urti

limitatamente agliurti elasticie totalmente anelastici

per entrambe le dimostrazioni ci siamo serviti delle leggi di Newton (2a e 3a)

Esempi di urto completamente anelastico.

Un corpo di massa m1=2kg scivola su un piano orizzontale liscio, convelocità v=5m/s. Si scontra con un corpo m2=3kg rimanendovi attaccato.Determinare vf..

smmm

vmv f /2

21

1 =+

=

Come sopra, ma il piano è scabro con µD=0.3 per entrambe le masse. Se v=5m/s al momento dell’impatto, determinare la velocità dopo l’urtoe la distanza percorsa dal sistema prima di fermarsi.

cmDsmgfasmv Df 68/94.2/2 2 =⇒===

Due auto, di massa m1=1400kg e m2=1600kg viaggiano a velocità v1=60km/h e v2=90km/h, che formano un angolo di 90° fra loro. Se si scontrano in un urto totalmente anelastico, determinare la velocitàdel sistema subito dopo l’urto.

( )

2

22

21

212211

.3.30/4.15)(

vrispsmm

qqv

vmmvmvm

TOTf

f

°=+

=

+=+rrr

m

F

1

F

2

m

v

prima dopo

Forze esterne e variazione di energia interna

intEEL Mext ∆+∆=

K i=0K i>0

in questo caso Lext=0

intEEM ∆−=∆... l’aumento di EM avviene a spese dell’energia interna del sistemaIl compito delle forza esterna in questo caso è di convertire una forma di energia in un’altra.

quindi ...

NEXT JJprrr ==∆

potremmo dire che in questo casola forza esterna fornisce l’impulso, le forze interne il lavoro.

Una persona nel vagone lasciato a sè stesso non è in grado di modificare il moto globaledel sistemauomo+vagone. Ciò perché le forze che esercita sono forze interne.Se il sistema è isolato la “quantità di moto“ resta costante

v

piano orizzontale

Se il sistema terra soleè isolato vcm cost. Il centro di rotazione non è il sole ma il c.d.m. terra-sole !sole terra

700.000km

150.000.000km

1.99.1030kg5.97.1024kg

cdm (450km)