URTI

{Ci riferiamo a corpi di cui non

consideriamo la struttura interna}

Coinvolgono due o più particelle (corpi puntiformi):

Che interagiscono

Forze interne INTENSE. Non è necessario

un contatto

Per un tempo breve

Rispetto ai tempi di osservazione

Modificando il proprio moto

Occorre uno studio di PTot

, Pie Energia

Cinetica per capire queste

“modificazioni”

Quindi si parla di urti quando due punti materiali (o due sistemi di punti

materiali) interagiscono per un intervallo di tempo estremamente breve. Si

sviluppano forze INTERNE di intensità elevata dette “IMPULSIVE”.

Dinamica Fenomeni di urto tra punti materiali

Durante questo tempo, piuttosto breve rispetto alla durata complessiva del

moto, i punti non si muovono in modo apprezzabile.

Fest non

impulsiva

F impulsiva

Dt

Esempio di URTO: collisione frontale

impatto

deformazione

carrozzeria

Parti

“dure”

deformazione

parti “dure”

fine collisione

vAvB

2112 FF

Forze intense e su tempi brevi: IMPULSIVE

[1000 Kg a 100 Km/h fermati in 0.1 sec: 3·105 N]

Ora vale:dt

pdF 1

12

e invertendo si ha

JdefdttFp

t

t

D )()(

2

1

121 Impulso

J

Graficamente l’impulso J corrisponde all’area sottesa

dalla curva

Si introduce quindi la forza MEDIA

t

JF

D

Ma il sistema è formato da 2 corpi

22121

121212111

pJdtF

dtFdtFJppp if

D

D

-F12

Così vale: urtouninppp tot 021 DDD

Ovvero:ffii PPPP 2121

NB: Se non ci sono forze esterne

Se infatti

0

0

212112

21

DDD

i

ext

i

extext

totext

JJJJJ

pppF

Ma se extFF intallora

J ext

Jext ~0Si trascura

Le forze esterne non devono essere di tipo

impulsivo

Trascuro Fext

Se Dt è piccolo

ΔP è trascurabile

In presenza di forze esterne, la variazione della quantità di

moto dovuto alle forze esterne è:

tFdtFP est

m

t

t

est DD 2

1

finfin

inin

PrL

PrL

Inoltre finin LL

costP

Dinamica

gm

costP

costP

Conservazione della quantità di moto

Dal punto di vista dell’energia gli urti si

classificano

• Elastici: si conserva l’energia cinetica

quindi le forze interne sono

conservative.

• Anelastici: quando non si conserva

l’energia cinetica. Gli urti sono

completamente anelastici quando i

due corpi restano attaccati dopo l’urto.

L’energia cinetica può anche

aumentare, esplosioni).

Conservazione dell’energiaDinamica

URTI Unidimensionali

La velocità del centro di massa rimane invariata(vale sempre in un sistema isolato)

URTO PARZIALMENTE ANELASTICO

Si conserva solo quantità di moto:

ffii vmvmvmvm 22112211

Per il Centro di Massa: CdMTotCdM MvPP

Nel nostro caso vale: iiCdM PPvmm 2121

iCdM

iTotfTot

fCdM vmm

P

mm

Pv

2121

URTO ELASTICO in 1 Dimensione

A) Conservazione quantità di motoffii

vmvmvmvm22112211

B) Conservazione dell’Energiaffii

KKKK2121

Con 2

2

1mvK

)()(222111 iffi

vvmvvm

)(2

)(2

2

2

2

2

22

1

2

1

1

iffivv

mvv

m

21pp DD

iifv

mm

mmv

mm

mv

2

21

12

1

21

1

2

2

La soluzione si ricava facilmente se si considera che:

)()()( 22

fififivvvvvv

E dividendo la seconda equazione con la prima membro a membro per il primo si ottiene :

)()(2211 iffi

vvvv

)()(222111 iffi

vvmvvm

iifv

mm

mv

mm

mmv

2

21

2

1

21

21

1

2

Esempio: Serie di Urti su bersaglio massivo

Una serie di urti su un corpo equivale ad esercitare sul corpo una forza media che vale:

pNt

pn

t

JF D

D

D

D

Con N = numero di urti al secondo e mvp 2D

In quanto si può approssimare come ad un urto contro una parete

essendo mbersaglio >> mproiettile

La prima si ferma e parte la seconda

iiifvv

m

mvv

21

2

1

22

2

Casi particolari di Urti Elastici

A) Masse uguali m1=m2if vv 21

Ovvero le due particelle si scambiano le velocità

B) Seconda particella ferma v2=0 ifif

vmm

mvev

mm

mmv

1

21

1

21

21

21

1

2

Se le due particelle hanno massa uguale iffvvev

1210

C) Bersaglio massiccio m2>>m1

iifvvv

2112

Se vi=0 si ha la condizione di “quasi rimbalzo”

D) Proiettile massiccio m1>>m2

ifvv

11

iifvvv

2122

if vv 12

Urto nel sistema del CMDinamica

2 1

2 2 1 1

mm

vmvmvCM

2 1

1 2 2 1

2 1

2 1 2 1 2 2 1 1

mm

vvmm

mm

vvmmvmvmPT

1

2

2

1

m

v

m

v

2 1

1 2 1 2 2 2

mm

vvmvvvv CM

0TP

2 1

2 1 2 1 1 1

mm

vvmvvvv CM

Calcoliamo la velocità di m1 e m2 nel sistema CM :

m1 m2

m1 m2CM

Urti nel sistema del CM

*2

21 )(2

1KCMK EvmmE

Energia del centro di massaEnergia nel sistema

centro di massa

2*

22

2*

11

* )(2

1)(

2

1vmvmEK

Dinamica

***

infin KKK EEE D

anelasticontecompletameurtoEE

anelasticourtoE

elasticourtoE

inKK

K

K

**

*

*

0

0

D

D

D

Urti completamente anelastici

tmm

vmvmv

vmmvmvm

CM

CMinin

cos

)(

21

2211

212211

0* kfinE

2

21 )(2

1cmk vmmE

fin

Dinamica

m1 m2

m1 m2

m1 m2CM

Sistema laboratorio

Sistema CM

0*

22

*

11 inin

vmvm

L’energia cinetica dei punti rispetto al CM viene

trasformata in calore o deformazione.

Solo la parte dell’energia disponibile nel CM viene trasformata

infin Kk EEQ

infin kk EE

(Q = “Q” valore dell’urto)

Q = 0 collisione elastica

Q < 0 collisione anelastica di 1° tipo

Q > 0 collisione anelastica di 2° tipo

Ricordando che

m

PEk

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2222 m

P

m

P

m

P

m

PQ ininfinfin

Urti anelasticiDinamica

infin kk EE

Nel caso di un urto completamente anelastico

(anche detta “reazione di cattura”) k*EQ

Urto in due dimensioni

Conservazione della quantità di motoDinamica

finin PP

f inin xPxP )()( f inin yPyP )()(

La quantità di moto è un vettore e si

conserva per componenti

URTO ELASTICI in 2 Dimensioni

A) Conservazione quantità di motofin

y

fin

y

in

y

in

yvmvmvmvm

22112211

B) Conservazione dell’Energiaffii

KKKK2121

f in

x

fin

x

in

x

in

xvmvmvmvm

22112211

Ad Esempio: 02inv

22211111coscos f infinin vmvmvm

222111sinsin0 f infin vmvm

2

,22

2

,11

2

,112

1

2

1

2

1finfinin

vmvmvm

4 Incognite

Essendoci solo 3 Equazione il problema non è risolvibile a meno che non si conosca un altro dato

(ad Es. 1)

X

Y

Il muro esercita una forza impulsiva durante

l’urto: la quantità di moto non si conserva

reazionexinxfin Jmvmv (Impulso della reazione)

Un caso particolareDinamica

X

Y

reazionexinxfin Jmvmv

0 yinyfin mvmv

Py si conserva

xP

yP

xP

yP

xP

xP

Studiamo il caso Q > 0 Esplosione (decadimento)

2m

1m

mvmPin

2211 vmvmP fin

finin PP

Nel sistema cm :

0

0

*

*

ink

in

E

P

0

0

*

*

fink

fin

E

P *

2

*

1 fininPP

0** kinkfin EEQ

EsposioneDinamica

La quantità di moto si conserva

nelle sue componenti

21

21

2

21

xyy

xxx

vmmvmv

vmvmmv

La conservazione della quantità di moto si intende

applicata ad un intervallo di tempo τ intorno all’istante

dell’esplosione

Urti anelasticiDinamica

2m

1m

m

Il pendolo balisticoDinamica

Pendolo balistico