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Corso di Matematica - Geometria

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Geometria



Postulati Postulati di appartenenza

Postulato 0: lo spazio è l’insieme di tutti i punti; rette e piani sono sottoinsiemi dello spazio. Una retta contiene infiniti punti, un piano contiene infinite rette, uno spazio contiene infiniti piani. Postulato 1: Per due punti distinti passa una e una sola retta. Vi è un’importante conseguenza del postulato 1, per cui due rette distinte non possono avere più di un punto in comune; quindi, date due rette r ed s, esse possono essere:

• incidenti se hanno un punto in comune; in questo caso si dice che le rette si intersecano in quel punto, e il punto si dice punto di intersezione;

• non incidenti se non hanno punti in comune, quindi se non si intersecano.

• Coincidenti o sovrapposte se hanno tutti i punti in comune tra loro. Punti che appartengono ad una stessa retta si dicono allineati. Due rette che giacciono sullo stesso piano e che non si intersecano in nessun punto si dicono parallele. Postulato 2: Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. I punti che appartengono ad uno stesso piano si dicono complanari. Postulato 3: Se due punti di una retta appartengono ad un piano, allora tutti i punti della retta appartengono a quel piano ( la retta appartiene al piano).

Postulati d’ordine

Postulato 4: Tra i punti di una retta è possibile stabilire una relazione di ordine totale, cioè si possono ordinare i punti di una retta in modo che: dati due punti A e B della retta, o A e B coincidono, o A precede B, o B precede A (proprietà di tricotomia); se A precede B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva). Una retta su cui è stato scelto un verso di percorrenza si dice retta orientata. Postulato 5: Su una retta orientata ogni punto è seguito da almeno un altro punto ed è preceduto da almeno un altro punto. Postulato 6: Tra due punti di una retta è compreso almeno un terso punto. Teorema: Per un punto passano infinite rette.



L’insieme di tutte le rette passanti per un punto è detto fascio di rette, o anche fascio proprio di rette; il punto comune a tutte le rette è detto centro del fascio. Un fascio improprio di rette è, invece, costituito da una retta e da tutte le rette parallele ad essa.

Teoremi Si consideri: Inoltre, siano note:

Teorema di Talete

'''' BA

AB

OB

OB

OA

OA==

'' BB

OB

AA

OA=

Fasci di Rette

O

'A

'B

A

B



Triangoli Triangolo qualunque – somma degli angoli interni, calcolo del perimetro e dell’area

Oggetti Vertici Lati Angoli Altezza Raggio

Simbolo A, B, C a, b, c ∝, 𝛽, 𝛾 ℎ S, r

Perimetro 𝒑 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 Somma

angoli int. ∝ + 𝜷 + 𝜸 = 𝟏𝟖𝟎°

Area: 𝑨𝒓𝒆𝒂 =𝟏

𝟐𝒃𝒉 𝑨𝒓𝒆𝒂 =

𝒂𝒃𝒄

𝟒𝒓

Area con Erone:

𝑨𝒓𝒆𝒂 = √𝒑𝒐 ∙ 𝒑𝒂 ∙ 𝒑𝒃 ∙ 𝒑𝒄 𝑝𝑜: = 𝑝 2⁄

𝑝𝑎 ≔ 𝑝𝑜 − 𝑎 𝑝𝑏 ≔ 𝑝𝑜 − 𝑏 𝑝𝑐 ≔ 𝑝𝑜 − 𝑐

Area con vertici

𝐴 = (𝐴𝑥 , 𝐴𝑦) 𝐵 = (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦) 𝐶 = (𝐶𝑥, 𝐶𝑦)

𝑨𝒓𝒆𝒂 =𝟏

𝟐|(𝑩𝒙 − 𝑨𝒙)(𝑪𝒚 − 𝑨𝒚) − (𝑩𝒚 − 𝑨𝒚)(𝑪𝒙 − 𝑨𝒙)|

Triangolo rettangolo – teorema di Pitagora e teoremi di Euclide

Cateti Ipotenusa Altezza

𝒂, 𝒃 𝒄 𝒉

Teorema di Pitagora

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Teorema di Euclide (I T. Euclide)

{𝑎2 = 𝑎′𝑐𝑏2 = 𝑏′𝑐

𝑐 = 𝑎′ + 𝑏′

𝑎2

𝑎′=

𝑏2

𝑏′

Teorema dell’altezza (II T. Euclide)

ℎ2 = 𝑎′𝑏′ ℎ =𝑎𝑏

𝑐

Il Triangolo Equilatero e le sue relazioni interne

Nel triangolo equilatero, i lati sono tutti uguali e gli angoli, misurano tutti 60°.

trova/dati -> 𝑙 ℎ 𝑟 𝜌 𝐴𝑟𝑒𝑎

Lato 𝑙 𝑙 2

3ℎ√3 𝑟√3 2𝜌√3 2 ∙ 3−1 4⁄ √𝐴

Altezza ℎ 1

2𝑙√3 ℎ

2

3𝑟 3𝜌 31 4⁄ √𝐴

Raggio 𝑟 1

3𝑙√3

2

3ℎ 𝑟 2𝜌 2 ∙ 3−3 4⁄ √𝐴

Apotema 𝜌 1

6𝑙√3

1

3ℎ

1

2𝑟 𝜌 3−3 4⁄ √𝐴

Area 𝐴 1

4𝑙2√3

1

3ℎ2√3

3

4𝑟2√3 3𝜌2√3 𝐴𝑟𝑒𝑎

Il Baricentro, il Circocentro, l’Ortocentro e l’Incentro sono sovrapposti.



Classificazione dei triangoli

• I triangoli si dividono in 7 tipologie e possono essere classificati in base alla lunghezza relativa dei lati: o In un triangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero si può

definire anche come triangolo equiangolo, ovvero triangolo avente i suoi angoli interni di uguale ampiezza, pari a 60°.

o In un triangolo isoscele, due lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo isoscele si può definire anche come triangolo avente due angoli interni di uguale ampiezza.

o In un triangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Un triangolo scaleno si può definire anche come triangolo avente i tre angoli interni di diverse ampiezze. Classificazione dei triangoli osservando dapprima i lati e poi gli angoli:

• I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più

ampio: o Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di 90°, cioè un angolo retto.

Il lato opposto all'angolo retto è detto ipotenusa; è il lato più lungo del triangolo rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti cateti. Per questo triangolo valgono il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide.

o Un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90°, cioè un angolo ottuso.

o Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90°, cioè ha tre angoli acuti.

o Classificazione dei triangoli osservando dapprima gli angoli e poi i lati:



Tipologie di triangoli

Triangolo equilatero Triangolo isoscele Triangolo scaleno

tutti i lati lunghi uguali due lati uguali tutti i lati di lunghezza diversa

Triangolo rettangolo Triangolo ottusangolo Triangolo acutangolo

un angolo retto (90°) un angolo ottuso (maggiore di 90°)

tre angoli acuti (minori di 90°)



Baricentro o Centro di gravità



Circocentro



Ortocentro



Retta di Eulero

Con compasso, riga e squadra, trova il baricentro, il circocentro, l’ortocentro e la retta di Eulero



Quadrilateri Quadrilateri Un quadrilatero, è un poligono con quattro lati Parallelogrammi Un parallelogramma è un quadrilatero contraddistinto da un centro di simmetria. Di conseguenza, i lati opposti, sono tra loro paralleli. Il parallelogramma è un caso particolare di trapezio.

Quadrato



Romboide



Perpendicolare al segmento passante per un dato punto

La sezione aurea

Sezione aurea di un segmento Rettangolo aureo

𝐴𝐵/𝐴𝐹 = 𝐴𝐹/𝐹𝐵

Spirale aurea Pentagono



Poligoni

Poligoni Regolari Numero di

vertici (numero di lati)

n

Lato m

Raggio cerchio circoscritto

r

Angolo al centro α

Apotema (raggio cerchio inscritto)

ρ

𝑨𝒓𝒆𝒂 =𝟏

𝟐∙ 𝒎 ∙ 𝒏 ∙ 𝝆

𝜶 =𝟑𝟔𝟎°

𝒏

𝒎 = 𝟐 ∙ √𝒓𝟐 − 𝝆𝟐

Triangolo Equilatero (n=3) Quadrato (n=4) Pentagono (n=5)

Esagono (n=6) Eptagono (n=7) Ottagono (n=8)



Cerchio Cerchio e Circonferenza

Raggio cerchio r Circonferenza c

Circonferenza (𝒄)

𝒄 = 𝟐𝒓 ∙ 𝝅

Arco di circonferenza 𝒌

𝒌 =𝜶𝒓

𝟏𝟖𝟎∙ 𝝅

Area cerchio (𝑨𝒄)

𝑨𝒄 = 𝒓𝟐 ∙ 𝝅

Area settore circolare (𝑨𝒔𝒄)

𝑨𝒔𝒄 =𝟏

𝟐𝒓𝒌 =

𝜶𝒓𝟐

𝟑𝟔𝟎∙ 𝝅

Ellisse Ellisse

Perimetro e Area

Perimetro ellisse (𝒑𝒆)

𝒑𝒆 = 𝝅 (𝟑

𝟐(𝒂 + 𝒃) − √𝒂𝒃)

Area ellisse (𝑨𝒆)

𝑨𝒆 = 𝒂𝒃 ∙ 𝝅



Cilindro Cilindro retto

Raggio di base

𝒓

Altezza 𝒉

Circonferenza di base

𝒄 𝒄 = 𝟐𝒓 ∙ 𝝅

Area di base 𝑨𝒃 𝑨𝒃 = 𝒓𝟐 ∙ 𝝅

Superficie laterale

𝑺𝒍 𝑆𝑙 = 𝑐 ∙ ℎ = 2𝑟 ∙ 𝜋 ∙ ℎ ⇒

𝑺𝒍 = 𝟐𝒓𝒉 ∙ 𝝅

Superficie totale

𝑺 𝑆 = 2𝐴𝑏 + 𝑆𝑙 = 2𝑟

2 ∙ 𝜋 + 2𝑟ℎ ∙ 𝜋

𝑺 = 𝟐𝒓(𝒉 + 𝒓) ∙ 𝝅 ⇒ 𝑆 = 𝑐 ∙ (ℎ + 𝑟)

Volume 𝑽 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ = 𝑟

2 ∙ 𝜋 ∙ ℎ ⇒

𝑽 = 𝒓𝟐𝒉 ∙ 𝝅

Sviluppo del ciclindro Rettangolo di rotazione

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