Sperimentazioni con Geogebra · Geometria del piano ... Prof.ssa Anna Scialino Introduzione alla...

Progetto Lauree Scientifiche

Sperimentazioni

con Geogebra

Corso di formazione

“Software dinamici per la Matematica”

Anno Accademico 2010/2011

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Nell’anno accademico 2010/2011 si è svolto presso il Liceo L. Da Vinci di Trento il corso di formazione per

insegnanti “Software dinamici per la Matematica”.

Il materiale seguente è stato prodotto dagli insegnanti esperti che hanno condotto gli incontri e dagli

insegnanti che hanno seguito il corso e hanno successivamente progettato e sperimentato percorsi didattici

nelle loro classi.

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Sommario

Materiale dei coordinatori ................................................................................................................................ 4

Prof. Domenico Luminati Mediane, rimbalzi e scatolette ...................................................... 4

Prof.ssa Renata Paoli Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi .............. 10

Prof. Giancarlo Dorigotti Volumi: Cubi e piramidi iscritte .................................................... 29

Prof. Stefano Pegoretti Grafico di funzione, derivata e integrale ......................................... 43

Composizione dei gruppi ................................................................................................................................. 55

Geometria del piano ........................................................................................................................... 61

Proff. Michele Avancini e Maura Bonazza Geometria del piano .......................................... 61

Prof.ssa Manola Bollani Introduzione alla geometria euclidea .............................................. 64

Prof.ssa Antonella Franceschini Le disuguaglianze dei triangoli ............................................ 73

Prof.ssa Marina Mingazzini Quadrilateri, triangoli e trasformazioni geometriche ................ 78

Prof.ssa Cristina Piva Parallelogrammi, teoremi di Talete, Pitagora ed Euclide ..................... 85

Prof.ssa Anna Scialino Introduzione alla geometria euclidea ................................................. 87

Prof.ssa Susan Veronesi Triangoli e quadrilateri con Geogebra ............................................. 93

Prof.ssa Tiziana Zambonato Geometria del piano .................................................................. 98

Gruppo funzioni ................................................................................................................................ 101

Proff. Alessandra Burattini e Clara Delpero Grafici di Funzione ........................................ 101

Proff. Claretta Carrara e Michela Pagliacci Funzioni e coniche .......................................... 108

Prof.ssa Alessandra Dalcolmo Parabole, disequazioni e traslazioni ..................................... 127

Prof.ssa Francesca Mazzini Rette e funzioni ......................................................................... 134

Prof.ssa Roberta Rizzi Funzioni inverse ................................................................................. 145

Gruppo integrale ............................................................................................................................... 150

Prof.ssa Angela Aldrighetti Punti, funzioni e funzione integrale .......................................... 150

Prof. Luciano Cappello Integrale come area e funzione integrale ...................................... 155

Prof.ssa Antonella Frisanco Approssimazione di integrali .................................................... 161

Prof.ssa Cristina Bonmassar Approssimazione di integrali ................................................... 165

Mediane, rimbalzi e scatolette a cura di Domenico Luminati

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Materiale dei coordinatori

Prof. Domenico Luminati Mediane, rimbalzi e scatolette

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Mediane

Tre segmenti e un punto

È facile far passare tre segmenti da uno stesso punto?

Prova a fare il seguente esperimento con GeoGebra:

1. traccia due segmenti a= AB e b= CD che si intersecano in un punto E (puoi trovare

E usando lo strumento intersezione );

2. traccia ora un terzo segmento FG=c e sposta gli estremi F e G in modo che il segmento c passi per il punto E.

3. Ci sei riuscito? Prova a verificarlo con lo strumento relazione .

4. Se non ci sei riuscito prova a zoomare sul punto E (puoi farlo con la rotellina del

mouse o con lo strumento ) e cerca di nuovo di spostare il segmento c (basta prenderlo con la freccetta e trascinarlo) per farlo passare da E.

5. Ci sei riuscito? Prova a verificarlo.

6. …

Ripeto la domanda: è facile far passare tre segmenti da uno stesso punto?

Scommettiamo che ci riesco al primo tentativo?

Traccia un triangolo di vertici A, B, C e di lati a, b, c. Usando lo strumento punto medio

trova I punti medi D, E,F dei lati a, b, c rispettivamente.

Traccia i segmenti AD, BE e CF.

Osservi qualcosa di particolare?

Prova a verificarlo?

Cosa succede se muovi I vertici A, B, C del triangolo?

È stata solo fortuna, o...

Caspita, che punto!

Traccia un triangolo ABC e prendi un punto D al suo interno.

Traccia I triangoli DAB=T1 DBC=T2 DCA=T3 . Magari per evidenziarli meglio falli di colori

diversi.

Sapresti trovare H in modo che I tre triangoli abbiano la stessa area? Controlla nella

finestra di algebra le tre aree. (prova a dare il comando T_1-T_2,comparirà una nuova

costante che esprime la differenza delle aree dei due triangoli.)

Prova con il punto G determinato come in precedenza (l'intersezione delle mediane).

È stata solo fortuna o c'è sotto qualcosa?


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Rimbalzi

Erone

Qual è il modo più “economico” (dal punto di vista della distanza percorsa) per andare a prendere acqua al fiume e poi andare ad annaffiare un assegnato albero?

Se rappresentiamo la posizione di partenza e la posizione dell'albero con due punti e la sponda del fiume con una retta, il problema si riformula – in matematichese: dati due punti, qual è il percorso più breve che li congiunge e che tocca una retta assegnata?

Senza perdere in generalità si può supporre che la retta sia l'asse delle x e che i due punti siano nel semipiano superiore (y > 0).

Prova a fare qualche esperimento con GeoGebra.

1. Traccia due punti A e B nel semipiano superiore e un punto C sull'asse delle x.

2. Traccia i due segmenti AC=a e BC=b .

3. Traccia la semiretta con origine in C, perpendicolare all'asse delle ascisse e contenuta nel semipiano superiore e determina su di essa il punto P tale che la sua distanza da C sia pari alla somma delle lunghezze di a e b.

4. Cosa succede muovendo C?

5. Cosa rappresenta la curva descritta da P al variare di C?. Disegnala con lo

strumento luogo geometrico ( )

6. Muovi C e cerca di congetturare quale sia il punto di minimo. Puoi aiutarti col disegno e con il foglio elettronico, tabulando il punto P. Per far questo è

consigliabile legare la posizione di C ad uno slider ( ) in modo da avere una tabulazione uniforme dei valori delle ascisse di P.

Prova a disegnare gli angoli ACP=α e BCP=β , osservali al variare di C ed eventualmente

prova a tabularne i valori.

7. Noti qualcosa di particolare?

8. Sapresti dimostrare la congettura?

9. Prova a disegnare l'immagine speculare A ' del punto A rispetto all'asse delle

ascisse (ad esempio usando il comando ) . Congiungi A ' con C e con B e chiama

D, il punto di intersezione dell'asse x con il segmento A' B . Cosa puoi dire dei

segmenti AC CA' BA' BC ?


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Un biliardo particolare

Come rimbalzerebbero le biglie in un biliardo a forma di ellisse?

Facciamo qualche esperimento virtuale con GeoGebra.

1. Traccia un'ellisse per esempio assegnando i due fuochi A e B e l'asse maggiore (da

linea di comando ellisse[A,B,5]) oppure assegnando i due fuochi e un punto ( ).

2. Prendi un punto P sull'ellisse, un punto Q al suo interno e traccia il segmento PQ .

3. Come faresti a trovare una retta passante per P e che produrrebbe lo stesso rimbalzo dell'ellisse?

4. Traccia la retta t tangente a e in P e prova a vedere cosa succede zoomando (con

la rotellina dal mouse o con ) ripetute volte sul punto P.

Cosa noti?

Facciamo l'ipotesi che rimbalzare contro la curva sia lo stesso che rimbalzare contro la retta tangente nel punto di contatto e sappiamo che il rimbalzo contro una retta avviene con angoli di incidenza e di riflessione uguali.

Puoi allora cercare di determinare la traiettoria di rimbalzo.

5. Traccia la retta n normale a t in P e quindi l'immagine speculare Q' di Q rispetto alla retta n.

6. Traccia la semiretta PQ' e verifica che gli angoli di incidenza e di riflessione sono

uguali.

7. Puoi a questo punto determinare il punto D dell'ellisse e che sarà colpito dal

rimbalzo e quindi tracciare il segmento PD .

8. Prova a muovere il punto Q e vedi cosa succede. Ad esempio se Q = A? Prova anche a cambiare P o a cambiare ellisse...

9. Costruisci un nuovo strumento che prende in input l'ellisse e . il punto P su e un

punto Q e produce in output il punto D, e il segmento PD .

10. Prova a vedere cosa succede con 10, 20, se ne hai voglia 50 rimbalzi successivi... muovi il punto Q. Cosa osservi? Per esempio, si riescono a trovare traiettorie chiuse? Cosa succede se Q è uguale a A?

Al fuoco!

Se il punto di partenza è un fuoco il raggio riflesso passa per l'altro fuoco.

Fai un po' di prove cambiando il punto di incidenza, cambiando l'ellisse...

Evidentemente non è un caso.

Prova a eseguire la seguente costruzione con GeoGebra:

1. Traccia un'ellisse e di fuochi A e B.

2. Prendi un punto P sull'ellisse e.

3. Traccia i segmenti AP e BP .

4. Traccia la retta t tangente all'ellisse in P.


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5. Prendi un generico punto Q su t e traccia i segmenti AQ , BQ .

6. Confronta la lunghezza del percorso APB con quella del percorso AQB. Cosa noti al variare di Q?

7. Sapresti provare la tua congettura? Può forse esserti d'aiuto tracciare il punto R

d'intersezione tra l'ellisse e il segmento AQ e considerare il percorso ARB.

Scatolette

Un classico problema di scatolette

Che forma deve avere una scatoletta cilindrica per avere il miglior rapporto tra capacità e quantità di materiale utilizzato per costruirla?

Dato che la quantità di materiale è proporzionale all'area della superficie, la domanda può essere tradotta in matematichese così:

che forma (ossia che raggio di base e che altezza) deve avere un cilindro di volume fissato, per avere superficie esterna di area minima?

Se un cilindro ha volume V, area della superficie esterna (totale) S, raggio di base r e altezza h, allora

1. V= π r2h

2. πrh+πr=S 22 2

dalle quali si ricava

3. rV+πr=S /22 2 .

Il problema è allora diventato quello di trovare r tale che la funzione rV+πr=rS /22 2

assuma il valore più piccolo possibile.

Puoi provare a fare una simulazione con GeoGebra. Per semplificare i calcoli, inizia dando al volume il valore 16π.

1. Traccia un punto A sull'asse delle x, e traccia il rettangolo simmetrico rispetto all'asse delle y, avente un vertice in A e altezza determinata dalla (1). Cosa rappresenta – in termini del problema – questo rettangolo?

Che curva viene tracciata dal vertice in alto a destra del rettangolo, al variare di A?

1. traccia ora il grafico della funzione S di cui si vuole trovare il punto di minimo. Come puoi vedere la funzione S cresce molto rapidamente, può essere quindi opportuno riscalarla, ossia considerare al suo posto una funzione del tipo S/30, S/40,... che ha gli stessi punti di minimo di S, ma il cui andamento è “più morbido”.

2. Traccia il punto sul grafico di S corrispondente al punto A.

3. Muovi A e cerca di congetturare quale sia il punto di minimo. Puoi aiutarti col disegno e con il foglio elettronico. Per far questo è consigliabile legare la posizione

di A ad uno slider ( ) in modo da avere una tabulazione uniforme dei valori di S.

4. Sapresti dimostrare la congettura?

5. E se cambi il valore di V?...

Prova a collegare il valore V a uno slider e a fare qualche esperimento.


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Nota per l'insegnante

Riguardo alle richieste dei punti 2 e 3, è evidente che poste in questo modo sottintendono che lo studente abbia una certa familiarità con il concetto di funzione. E anche in questo caso non a tutti potrebbe essere chiara la necessità di riscalare la funzione S e soprattutto che farlo non altera le soluzioni del problema. Si possono però riformulare, aggirando il problema:

1. Traccia, inserendolo dalla linea di comando, il punto E che ha la stessa ascissa di A

e per ordinata il corrispondente valore di S ossia S x A . Riesci a vederlo? Se no, controlla sulla finestra algebrica quali sono le sue coordinate. Come si può agire (anche cambiando S, ma “senza snaturarla”) per renderlo visibile?

2. Traccia la curva descritta da E al variare di A. Per farlo puoi usare lo strumento

luogo geometrico ( ) o alternativamente inserendo la funzione S, da linea di comando.

A questo punto è sicuramente opportuno affrontare la questione insieme, con la mediazione attiva dell'insegnante, magari facendo esperimenti su un altro file tipo scala1.ggb e scala2.ggb, proponendo di tracciare il grafico di una funzione con diverse scale sull'asse delle ordinate e/o di funzioni, differenti per un fattore di scala, per arrivare alla conclusione, poi dimostrabile, che pur alterando i valori, i cambiamenti di scala mantengono i punti di minimo e di massimo e contemporaneamente possono “ammorbidire” la variazione della funzione.

Una buona occasione per introdurre/richiamare il concetto di funzione e di grafico di una funzione

Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi a cura di Renata Paoli

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Prof.ssa Renata Paoli Triangoli, quadrilateri, trasformazioni geometriche e luoghi



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I CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI

Primo criterio

Con il comando poligono disegna il triangolo ABC (non importa se il senso è orario o

meno).

Misura i lati AB ed AC ed osserva la vista algebra: ad ogni segmento corrisponde un nome

ed una misura (al vertice A sta opposto il lato a..).

Segna e misura l’angolo CAB;

Prendi un punto A’ esterno alla figura e disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il

nome del lato AC (che dovrebbe essere b);

Prendi un punto C’ sulla circonferenza e disegna il raggio A’C’ e visualizza la sua misura;

Scegli il tasto angolo di data misura e seleziona nell’ordine C’ ed A’ e digita poi il nome

dell’angolo CAB (che dovrebbe essere α) ;

Sulla circonferenza comparirà un punto C’’ per cui far passare una semiretta di origine A’;

Disegna ora la circonferenza di centro A’ e raggio AB (lato c);

L’intersezione fra essa e la semiretta sarà B’; disegna e misura A’B’;

Costruisci il triangolo A’B’C’ con l’opzione poligono; modifica le posizioni di A, B, C,

A’….

Come sono i due triangoli?

Misura il loro terzo lato: cosa noti?

Misura anche gli altri due angoli: cosa puoi dire circa i due triangoli?

Il triangolo A’B’C’ ha due lati congruenti al triangolo di partenza ed anche l’angolo fra essi

compresi è congruente ad α: i due triangoli cioè soddisfano le ipotesi del primo criterio di

congruenza dei triangoli.

Con il tasto Relazione fra due oggetti, presente nella penultima tendina, puoi selezionare

nell’ordine i due triangoli e il software ti conferma che essi sono congruenti.

Secondo criterio

Con il comando poligono disegna il triangolo ABC.

Misura il lato AB ed osserva la vista algebra: ad ogni segmento corrisponde un nome ed una

misura.

Segna e misura l’angolo CAB e l’angolo ABC;


nome del lato AB (che dovrebbe essere c);

Prendi un punto B’ sulla circonferenza e disegna il raggio A’B’ e visualizza la sua misura;


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Scegli il tasto angolo di data misura e seleziona nell’ordine B’ ed A’ e digita poi il nome

dell’angolo CAB (che dovrebbe essere α) (se non ottieni l’angolo nel verso desiderato

cancella, ricomincia, ma quando digiti il nome dell’angolo, nella finestra in basso a sinistra

cambia l’opzione antiorario in orario) ;

Sulla circonferenza comparirà un punto B’’ per cui far passare una semiretta di origine A’;

Ripeti ora l’operazione con l’angolo β nel punto B’;

Il punto di incontro delle due semirette costruite chiamalo C’.

Costruisci il triangolo A’B’C’ con l’opzione poligono; modifica le posizioni di A, B, C,

A’….


Misura gli altri due lati: cosa noti?

Misura anche il terzo angolo: cosa puoi dire circa i due triangoli?

Il triangolo A’B’C’ ha due angoli congruenti al triangolo di partenza ed anche il lato fra essi

compresi è congruente: i due triangoli cioè soddisfano le ipotesi del secondo criterio di

congruenza dei triangoli.



Terzo criterio

Con il comando poligono disegna il triangolo ABC.

Misura i tre lati ed osserva la vista algebra: ad ogni segmento corrisponde un nome ed una

misura.


nome del lato AB (che dovrebbe essere c);

prendi un punto B’ sulla circonferenza e disegna il raggio A’B’ e visualizza la sua misura;

disegna la circonferenza di centro B’ e raggio il nome del lato BC (che dovrebbe essere a);

prendi un punto C’ sulla circonferenza e disegna il raggio B’C’ e visualizza la sua misura;

Chiama D’ e D’’ i punti di intersezione fra la seconda e la terza circonferenza; disegna A’D’

e A’D’’ e misurali;

SCRIVERE FORSE: Apri ora Proprietà del punto C’: scegli l’opzione avanzate e

colori dinamici, quindi nella casella rosso scrivi x(C’)==x(D’)&&y(C’)==y(D’) (questo

serve a colorare il punto C’ di rosso quando esso si sovrappone a D’, ha cioè le stesse

coordinate) e nella casella verde scrivi x(C’)==x(D’’)&&y(C’)==y(D’’) (questo serve a

colorare il punto C’ di verde quando esso si sovrappone a D’’, ha cioè le stesse coordinate).


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Solo quando C’ e uno dei due D’ o D’’ si sovrappongono, il triangolo si chiude e tale

triangolo è congruente a quello di partenza.

Il triangolo A’B’C’ ha tre lati congruenti al triangolo di partenza: i due triangoli cioè

soddisfano le ipotesi del terzo criterio di congruenza dei triangoli.



Esercizio ulteriore: due triangoli aventi congruenti due lati e l’angolo fra essi non compreso

congruente, sono congruenti fra loro?

Con il comando poligono disegna il triangolo ABC in modo che il lato AB sia più piccolo di

AC.

Misura i lati AB ed AC ed osserva la vista algebra per conoscere i loro nomi;

Segna e misura l’angolo ACB;

Vogliamo tentare di costruire un triangolo ulteriore che abbia tre elementi con le stesse

misure ( posti nello stesso ordine).


nome del lato AB;

disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il nome del lato AC e prendi su di essa un

punto C’; disegna e misura A’C’;

Scegli il tasto angolo di data misura e seleziona nell’ordine A’ ed C’ e digita poi il nome

dell’angolo ACB (che dovrebbe essere α);

Compare nel piano un punto A’’ per cui fai passare una retta passante anche per C’: essa

interseca la prima circonferenza in due punti D ed E: disegna i due triangoli A’C’E e

A’C’D;

Misura i loro lati:

Cosa osservi? Come sono i tre triangoli fra loro?

Cosa puoi concludere a proposito della proposizione posta all’inizio dell’esercizio?


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Quadrilateri particolari con GeoGebra

Attività 1: costruzione di un trapezio Prima di iniziare qualunque costruzione può essere comodo, dal menù opzioni, scegliere l’opzione

etichettatura e poi solo i nuovi punti.

Disegna un segmento AB ed un punto D esterno: vogliamo costruire un trapezio di base AB

e lato AD;

Traccia il segmento AD e la parallela ad AB per D;

Su tale retta prendi un punto C (in modo che il trapezio non sia intrecciato e congiungi B

con C; A questo punto se muovi i punti A, B, D e C la figura si trasforma mantenendo però il parallelismo fra le

basi rimanendo perciò un trapezio (eventualmente intrecciato).

Di esso si possono misurare i segmenti AB, AD e BC che sono stati costruiti, per la lunghezza invece di DC si

deve misurare la distanza fra D e C selezionando nell’ordine i due punti.

L’area del poligono non si può misurare fino a quando il poligono non è stato definito costruendolo

utilizzando i quattro punti presenti.

Attività 1bis: costruzione di un trapezio isoscele

Esegui i due primi punti precedenti;

Apri la vista algebra dal menù visualizza: al segmento AD è stato assegnato il nome b

(essendo il secondo segmento costruito);

Traccia ora la circonferenza di centro B e raggio b (scegliendo il comando circonferenza

dati centro e raggio): il punto di intersezione fra la retta per D e la circonferenza, quello più

vicino a D, sarà C, il quarto vertice del trapezio isoscele;

Traccia il poligono ABCD.

Questa volta il punto C è vincolato da due fattori: la misura di AD e la retta r, quindi ha zero

gradi di libertà. NB: le due costruzioni precedenti possono essere ottenute anche tracciando le parallele ad AB per un punto

qualunque.

Attività 2: costruzione di un parallelogramma

Disegna un segmento AB ed un punto C esterno: vogliamo costruire un parallelogramma di

lati AB e BC (che quindi va tracciato)

Traccia le parallele ad AB per C e a BC per A: chiama D il loro punto di intersezione;

traccia il poligono ABCD: esso è un parallelogramma anche se lo modifichi trascinando i

punti base A, B o C.

A questo punto puoi nascondere le rette costruite in precedenza scegliendo il comando

apposito dall’ultima tendina e selezionandole una dopo l’altra.

Puoi misurare i lati opposti : cosa osservi?

Disegna le diagonali: se misuro le parti in cui si tagliano una con l’altra cosa succede?

Misura gli angoli opposti, cosa ottieni?


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Attività 3: costruzione di un rettangolo

Disegna un segmento AB ed un punto C esterno; per esso traccia la parallela ad AB;

Traccia poi le perpendicolari ad essa per A e per B e chiama F ed E i punti ottenuti;

Il poligono ottenuto ABEF è un rettangolo: disegna e misura le due diagonali: cosa osservi?

Attività per approfondire

Costruire un quadrato (ricordando la definizione)

Costruire un rombo (partendo dalla proprietà delle sue diagonali che sono fra loro………….

e si tagliano……………….)

Costruire un quadrilatero qualunque ed unire i punti medi dei suoi lati: ciò che si ottiene è

sempre un………………………………..

Poligoni regolari

Attività 4: costruzione di un triangolo equilatero e di mediane, altezze e bisettrici

E’ possibile anche costruire poligoni regolari scegliendo l’opzione apposita: dopo aver

disegnato due punti nel piano (che danno la misura del lato) si apre una finestra in cui viene

richiesto il numero di lati del poligono desiderato: in questo caso 3;

Selezionando i vari lati si possono ottenere le loro misure, selezionando al centro il triangolo

si può ottenere o il perimetro (se si stanno misurando distanza e lunghezza) o l’area.

Si possono tracciare gli assi dei lati; le bisettrici degli angoli e le rette passanti per i vertici e

perpendicolari ai lati opposti; apparentemente la figura, dopo aver tracciato gli assi, non

cambia ma se si fa un clic sopra una delle rette si apre una piccola finestra che ne elenca tre

diverse (asse, bisettrice e retta dell’altezza).

Si può notare che il punto di intersezione fra esse è sempre lo stesso anche se si modifica il

triangolo trascinando uno dei vertici.


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Trasformazioni geometriche con GeoGebra

Attività 1: Simmetria centrale

Costruisci un triangolo ABC con il comando poligono (assegna i nomi ai vertici in modo

che l’etichetta sia in mostra);

Scegli un punto P qualunque e con il comando simmetrico rispetto ad un punto seleziona

prima il triangolo (con un clic al centro della figura) e poi il punto P:

Compare un triangolo i cui vertici sono A’, B’ e C’ (A’ il simmetrico di A…………..…….);

Muovendo i vertici di partenza (A, B e C) oppure P si possono osservare le caratteristiche

della trasformazione:

Misura i lati del triangolo di partenza e i lati del secondo triangolo: cosa osservi?

(quindi la simmetria centrale viene definita una isometria);

Cosa succede se misuri gli angoli? Ed i vertici come sono disposti?

Quindi la simmetria si dice trasformazione ……………………..

Attività 2: Simmetria assiale

Costruisci un triangolo ABC con il comando poligono (assegna i nomi ai vertici in modo

che l’etichetta sia in mostra);

Scegli una retta r qualunque e con il comando simmetrico rispetto ad una retta seleziona

prima il triangolo (con un clic al centro della figura) e poi r:

Compare un triangolo i cui vertici sono A’, B’ e C’ (A’ il simmetrico di A, B’ ……………);

Muovendo i vertici di partenza (A, B e C) oppure r si possono osservare le caratteristiche

della trasformazione:

Misura i lati del triangolo di partenza e i lati del secondo triangolo: cosa osservi?

(quindi la simmetria centrale viene definita una isometria);

Cosa succede se misuri gli angoli? Ed i vertici come sono disposti?

Quindi la simmetria si dice trasformazione ……………………..

Se si traccia una retta per A perpendicolare all’asse di simmetria, essa passa anche per

………………..; chiama H il punto di intersezione fra le due rette e misura AH e A’H;

Costruiamo quindi insieme la definizione di simmetria assiale e poi di simmetria centrale.


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Traslazione

Attività 3: Traslazione di un triangolo .

Disegna un triangolo ABC ed un vettore qualsiasi v;

Con il comando trasla di un vettore , seleziona prima il triangolo ABC e poi v: otterrai il triangolo A’B’C’;

Esplora la situazione, usando la possibilità di trascinare i singoli punti, il triangolo ABC ed il vettore v.

Quali informazioni sono necessarie per individuare A’B’C’ partendo da ABC?

Come sono i segmenti AB e A’B’ ?

Lo stesso vale per le altre coppie di segmenti?


Il triangolo ABC è il trasformato di A’B’C’ nella traslazione individuata dal vettore v.

Attività 4: Traslazione di un punto. (affrontiamo questa trasformazione in maniera diversa costruendo

inizialmente la traslazione senza utilizzare il menù predefinito)

Disegna un segmento qualsiasi AB ed un punto P AB;

traccia la retta r parallela ad AB e passante per P;

quindi traccia la retta s, passante per A e per P, e la retta t, passante per B e parallela ad s;

chiama P’ il punto di intersezione fra r e t .

Esplora la situazione, usando la possibilità di trascinare i singoli punti e il segmento AB.

Completa la frase e rispondi alle domande:

Quali informazioni sono necessarie per individuare P’ partendo da P?

Che tipo di quadrilatero hai ottenuto?

Costruisci la definizione di traslazione di un punto ed elenca le sue proprietà.


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Composizione di trasformazioni

Attività 5: Composizione di simmetrie assiali con assi paralleli..

Disegna un triangolo qualunque ABC ed una retta r esterna ad esso,

disegna quindi il suo simmetrico A’B’C’ rispetto ad r;

disegna un’altra retta s parallela alla retta r, in modo che il triangolo A’B’C’ sia compreso nella striscia

formata dalle due rette (per semplificare la costruzione iniziale);

disegna il triangolo A‘B‘C‘, simmetrico di A’B’C’ rispetto alla retta s;

Misura le distanze fra A ed A’’ e quella fra le rette r ed s (osserva che le due misure si modificano solo se

muovi una delle rette … non se muovi A o B o C!)

Esplora la situazione, usando la possibilità di trascinare i singoli punti, il triangolo ABC ed le rette r ed s.

Il secondo triangolo è il trasformato, nella simmetria assiale individuata dalla retta r, di

quale triangolo?

Il terzo triangolo è il trasformato, nella simmetria assiale individuata dalla retta s, di quale

triangolo?

Come sono i due triangoli ABC e A’’B’’C’’? (osserva i loro lati)

Quali informazioni sono necessarie per individuare A’’B’’C’’ partendo da ABC?

Costruisci sulla retta s un punto d, traccia la perpendicolare per esso ad r e sia E il punto di intersezione

con essa: disegna e misura DE.

Traccia e misura il segmento AA’’;

Modificando le posizioni delle due rette, cosa noti?

Che relazione c’è fra questi due segmenti?

I due triangoli ABC ed A’’B’’C’’ sono l’uno il traslato dell’altro. Di quale vettore?

Attività 6: Composizione di simmetrie assiali con assi incidenti.

Disegna un triangolo qualunque ABC ed una retta r esterna ad esso;

disegna, rispetto ad essa, il triangolo A’B’C’ simmetrico di ABC e poi un’altra retta s incidente alla r, in

modo che essa sia esterna ai due triangoli;

applica nuovamente l’opzione simmetria rispetto ad una retta (al triangolo A’B’C’ con la retta s)

ottenendo il triangolo A’’B’’C’’.

Il secondo triangolo è il trasformato, nella simmetria assiale individuata dalla retta r, di

quale triangolo?

Il terzo triangolo è il trasformato, nella simmetria assiale individuata dalla retta s, di quale

triangolo?




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Chiama O il punto di intersezione fra r ed s; disegna i segmenti OA e OA’’ e misura l’angolo AOA’’ e

l’angolo rOs (nell’opzione stile delle proprietà di α cambia le dimensioni in modo da distinguere un

angolo dall’altro).

Muovi i triangoli e/o le rette.

A’’B’’C’’ è il trasformato di ABC nella rotazione individuata da quale angolo?

Che relazione c’è fra tale angolo e l’angolo rOs?

Attività 7: Composizione di simmetrie assiali con assi perpendicolari.

Disegna un triangolo qualunque ABC ed una retta r esterna ad esso;

disegna il triangolo A’B’C’ simmetrico di ABC, disegna un’altra retta s perpendicolare alla retta r, in modo

che essa sia esterna ai due triangoli;

applica nuovamente l’opzione simmetria rispetto ad una retta (al triangolo A’B’C’ con la retta s)

ottenendo il triangolo A’’B’’C’’.



Chiama O il punto di intersezione fra r ed s; disegna i segmenti OA e OA’’ e misura l’angolo AOA’’.

A’’B’’C’’ è il trasformato di ABC secondo quale trasformazione?

Che relazione c’è fra l’angolo AOA’’ e l’angolo rOs?

Ma A’’B’’C’’ è anche il trasformato di ABC rispetto ad un’altra trasformazione: sai

individuarla?


20

L’omotetia

Attività 8: Dato un qualunque triangolo, costruisci un secondo triangolo i cui lati siano doppi e paralleli di

quelli del primo.

Disegna un triangolo ABC e sia P un qualunque punto del piano (inizialmente per facilitare la costruzione fissalo fuori dal triangolo)

disegna ora tre semirette uscenti da P e passanti per i punti A, B e C;

come puoi ora disegnare su tali semirette dei segmenti adiacenti a PA, PB e PC e congruenti ad essi?..................(pensa alla circonferenza di centro .... e raggio........);

detti A’, B’ e C’ gli estremi di tali segmenti, disegna il triangolo che li ha come vertici, misura i suoi lati e quelli del triangolo iniziale.

Che relazione intercorre fra tali triangoli (cioè fra i loro lati)? Essi sono .................... e ...............

Osservazione: la trasformazione appena applicata al triangolo ABC per ottenere il triangolo A’B’C’ è detta

omotetia (di centro P e rapporto 2)

Attività 9: Dato un qualunque triangolo, costruisci un secondo triangolo i cui lati siano uguali e paralleli a

quelli del primo, ma esso sia ribaltato.

Attività 10: Dato un qualunque triangolo, costruisci un secondo triangolo i cui lati siano in proporzione (con

rapporto k) a quelli del primo.

Disegna un triangolo ABC e sia P un qualunque punto del piano (inizialmente per facilitare la costruzione fissalo fuori dal triangolo)

Inserisci nella barra sottostante la scrittura k = 2.3;

Visualizza la vista algebra: compare l’elenco degli oggetti inseriti nella vista grafica; fai un clic sul pallino a fianco della k: a destra compare un segmento con un punto. Esso rappresenta lo slider di k, ovvero muovendo il punto lungo il segmento il valore del parametro k varia (si possono impostare intervallo di variazione e incremento attraverso proprietà del punto).

Ora scegli l’opzione Dilata l’oggetto da un punto, dato un fattore e seleziona nell’ordine il triangolo, il punto P e poi digita k nella casella di testo che compare.

Ottieni un secondo triangolo A’B’C’: esso è il trasformato di ABC nell’omotetia di centro P e rapporto k.

Modifica lo slider, vedi come varia l’immagine di ABC, cioè il triangolo A’B’C’, al variare del rapporto di omotetia, cioè k. Modifica la posizione di P e osserva come variano i triangoli.

Cosa succede se k = 1?

Cosa succede se k = -1?

Cosa succede se k = 2?


21

I luoghi geometrici con GeoGebra

Attività 1: costruzione di un’ellisse (attraverso l’applicazione di una affinità ad una

circonferenza)

Disegna una circonferenza di centro O e passante per un punto A;

sia B un punto esterno ad essa e disegna la circonferenza di centro O e raggio OB;

considera un punto Q sulla circonferenza esterna;

disegna i segmenti OQ ed OB e sia M il punto di intersezione fra OQ e la circonferenza interna;

costruisci una retta passante per M e parallela ad OB;

costruisci una retta passante per Q e perpendicolare ad OB; sia P il punto di intersezione fra le

due rette;

Costruisci ora il luogo dei punti descritto dal punto P al variare di Q lungo la circonferenza esterna:

è un’ellisse.

Attività 1b: costruzione di un’ellisse (attraverso la costruzione detta “del giardiniere”)

Disegna un segmento AB e su di esso prendi il punto C;

Disegna quindi i segmenti AC e CB (ad essi vengono assegnati i nomi b e c che puoi

visualizzare nella vista algebra);

Disegna due ulteriori punti F1 ed F2 (distanti fra loro meno della lunghezza del segmento

AB);

Costruisci quindi due circonferenze, usando il comando “circonferenza dato centro e

raggio”: C1(di centro F1 e raggio b che inserisci nella finestra che è comparsa) e C2 (di

centro F2 e raggio c);

Chiama E ed F i punti di intersezione fra le circonferenze e costruisci i due luoghi: luogo1

di E al variare di C e luogo2 di F al variare di C;

L’unione dei due luoghi dà origine all’ellisse in cui l’asse maggiore è lungo AB.

Attività 2: costruzione di un’ellisse (secondo la definizione)

Disegna tre punti F1, F2 ed A; sia C la circonferenza di centro F1 e raggio F1A (con A scelto a

piacere purché F2 risulti all’interno di C);

segnare su C un qualunque punto Q e disegnare il segmento QF2;

tracciare la retta s asse di QF2 e tracciare la retta r passante per Q ed F1;

individuare il punto P intersezione delle due rette;

costruendo il luogo dei punti descritto da P al variare di Q, si trova una ellisse: è infatti costante la

somma delle distanze di P dai due fuochi (la somma di tali segmenti è sempre uguale al raggio della

circonferenza C).


22

Attività 3: l’iperbole

Disegna una iperbole ricostruendo la figura

della precedente attività, disegnando però la

circonferenza con questa modifica: il secondo

fuoco sia esterno ad essa.

Attività 4: costruzione di una parabola

Siano F ed A due punti del piano;

sia r una retta passante per A e non per F;

sia Q un punto della retta r (diverso da A e da B

(secondo punto della retta); disegna il segmento

FQ ed il suo asse;

disegna la retta s passante per Q e perpendicolare ad r;

sia P il punto di intersezione dell’asse con s;

costruisci quindi il luogo geometrico di P al variare di Q sulla retta r.


23

Ricerca di luoghi geometrici

Problema 1: determina il luogo dei centri delle circonferenze che sono interne ad una stessa

circonferenza, tangenti ad essa ed ad un suo diametro.

Disegna una circonferenza di centro O e raggio a piacere; su di essa prendi un punto P;

disegna la retta passante per P ed O e sia Q il suo ulteriore punto di intersezione con la

circonferenza;

considera sulla circonferenza un punto P’ diverso da P;

disegna il raggio P’O e successivamente la retta t perpendicolare a P’O passante per P’ (retta che

sarà quindi tangente alla circonferenza nel punto P’);

un punto C che sia centro di una circonferenza tangente internamente in P’ a quella di partenza e

al diametro PQ è equidistante da esso e dalla retta t, quindi appartiene alla bisettrice dell’angolo

formato dalla t e dalla retta PQ.

Una volta disegnata l’intera figura vi sono due modi possibili di operare:

1. sfruttando l’opzione luogo dei punti applicata a punto C al variare di P’ sulla circonferenza;

2. segnando con l’opzione traccia il punto C e quindi, in modalità puntatore, spostando il punto

P’ lungo la circonferenza alla quale è vincolato.

Il risultato finale sarà quasi identico, la configurazione del luogo geometrico cercato più o meno

raffinata. Al variare della circonferenza e del punto P si deve fare attenzione ai comportamenti del

luogo creato nell’uno o nell’altro caso perché diversi: nel primo esso si modifica, nel secondo

invece la traccia ottenuta resta ferma.

Problema 2: determina il luogo dei punti medi delle corde staccate su una circonferenza da un

fascio di rette aventi per centro un punto della circonferenza stessa.

Disegna una circonferenza qualunque e siano C (centro del fascio di rette) e D due suoi punti

(sempre diversi da quelli dati dal sistema);

disegna la retta r passante per essi e sia E il punto medio del segmento CD;

A questo punto puoi procedere come sopra nel caso 1 o nel caso 2 (E è il punto che crea il luogo),

lasciando fisso C e modificando la posizione di D sulla circonferenza.

Osservazione: tale problema può essere risolto nello stesso modo se il centro del fascio di rette si

trova fuori o dentro la circonferenza (in entrambi i casi esso deve rimanere fisso e varia invece uno

dei due punti appartenenti alla retta ed alla circonferenza, cioè il punto D).


24

Problema 3: determina il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti ad una retta e

passanti tutte per uno stesso punto.

disegna una retta t ed un suo punto P (diverso da…) quindi un punto esterno Q;

perché una circonferenza sia tangente alla retta t nel punto P deve avere il centro C sulla retta s,

perpendicolare a t in P;

tale centro deve poi essere equidistante da P e da Q (punti della circonferenza) e quindi

appartenere all’asse del segmento PQ.

Dopo aver eseguito la costruzione sopra descritta è sempre possibile optare per uno dei due modi di

procedere; nel caso si scelga il numero 2 è opportuno evidenziare la traccia non solo del punto C

(centro della circonferenza), ma anche della circonferenza stessa.

Problema 4: determina il luogo geometrico descritto dal vertice Q dei triangoli ABQ che hanno

perimetro costante e vertici A e B fissi.

disegna un segmento AB ed un ulteriore segmento CD maggiore di AB,1 sul quale prendi un

punto P (al variare di P su CD la somma dei segmenti CP e PD rimane invariata);

crea la circonferenza con centro in A e di raggio CP (che il sistema avrà chiamato b),

successivamente quella di centro B e di raggio PD (sarà c);

siano Q1 e Q2 i punti di intersezione fra le due circonferenze;

costruisci i due triangoli ABQ1 e ABQ2; il perimetro di tali triangoli è costante al variare di P sul

segmento CD

Come nei problemi 1 e 2 si ottiene il luogo seguendo le posizioni di Q1 e Q2 al variare di P lungo

il segmento CD. Che scopri essere……………………………

1 La condizione CD >AB assicura l’esistenza dei triangoli ABC (disuguaglianza triangolare).


25

Esercizi sui luoghi geometrici

1. Per un punto quante circonferenze passano…perché….dove sono i loro centri?

2. Per due punti circonferenze passano…perché….dove sono i loro centri?

3. Per tre punti…?

4. Data una circonferenza disegna il luogo geometrico dei punti medi delle corde aventi un estremo in

comune P appartenente alla circonferenza.

5. Data una circonferenza disegna il luogo geometrico dei punti medi delle corde aventi un estremo in

comune P interno alla circonferenza.

6. Disegna il luogo geometrico dei punti medi delle corde di una circonferenza data, fra loro congruenti

ad una data corda AB. Giustifica perché esso è………………………………….?

7. Disegna il luogo geometrico dei punti di intersezione fra le rette appartenenti a due distinti fasci di

centri rispettivamente A ed O assegnati.

8. Disegna il luogo geometrico dei punti che sono i piedi delle perpendicolari condotte da un punto A a

tutte le rette passanti per un punto B.

9. Data una circonferenza C, disegna il luogo geometrico dei vertici dei triangoli equilateri circoscritti

alla C.

10. Data una circonferenza C, disegna il luogo geometrico dei vertici dei quadrati circoscritti alla C.

11. Data una circonferenza C, disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti

contemporaneamente ad un diametro AB ed alla circonferenza C.

12. Disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze di dato raggio e tangenti ad una

circonferenza data.

13. Disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze di dato raggio minore di r e tangenti ad una

circonferenza data di raggio r.

14. Disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze di dato raggio e tangenti ad una retta data.

15. Disegna il luogo geometrico dei centri delle circonferenze tangenti a due rette date.


26

16. Date tre rette come in figura disegna:

a. Le circonferenze tangenti contemporaneamente alle tre rette (quante sono ?)

b. Tutte (se possibile ) le circonferenze tangenti ad almeno due delle suddette rette.

17. Disegna la circonferenza passante per due punti A e B assegnati e con centro appartenente ad una

retta data.

18. Disegna la circonferenza tangente ad una retta data e con centro in P assegnato.

19. Disegna la circonferenza tangente a due rette date e con centro appartenente ad una retta data.

20. Disegna il luogo geometrico dei punti medi dei segmenti che hanno per estremi un punto assegnato

A ed un punto della retta r data.

21. Dati due punti A e B , disegna il luogo geometrico dei punti P tali che i due segmenti PA e PB siano

perpendicolari.


27

Geometria analitica con GeoGebra

La retta nel piano cartesiano

Inserisci nella barra di algebra m=1 e l’equazione y=m*x;

Clicca sui cerchietti verdi in corrispondenza del simbolo m nella vista algebra per visualizzare lo

slider di m;

Spostando il pallino dell’m sul segmento si muove anche la retta la cui inclinazione cambia al

variare di m;

Se si vuole modificare l’intervallo entro cui varia m, clicca sul tasto dex del mouse in corrispondenza

del punto dello slider e vai su Proprietà; la finestra che compare permette variazioni di vario tipo

tra cui anche l’ampiezza dell’intervallo di m.

Fasci di rette

Inserisci due equazioni di due rette a e b che saranno le generatrici del fascio (per esempio a:y=3*x

e b:x=2), l’espressione k=1 e poi la scritta a+k*b=0 (non in questa forma ma come y-3*x+k*(x-2)=0)

Come sopra visualizza lo slider di k;

Al variare di esso sul segmento si visualizzano le rette del fascio.

Fasci di circonferenze

Inserisci l’espressione k=1 e visualizza lo slider corrispondente

Inserisci l’equazione di una circonferenza del tipo

Selezionando con il tasto destro del mouse la circonferenza, rendi attiva la traccia e quindi anima k

(sempre con il tasto destro del mouse)

I due punti fissi che appartengono a tutte le circonferenze che si disegnano sono proprio i punti di

intersezione fra la circonferenza di partenza e la retta generatrici del fascio.


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La trigonometria con Geogebra

Funzione seno

Disegna una circonferenza di centro O e raggio 1 (detta circonferenza goniometrica);

Segna un punto P su di essa, il segmento OP e segna l’angolo AOP;

Definisci ora α = Angolo[A , O, P ] ed il punto S = ( α, y(P));

A questo punto se selezioni S con il tasto destro del mouse e fai traccia attiva e poi animi P, al

muoversi di esso S disegna l’andamento della funzione senα, fintanto che l’angolo α varia da 0 a 2π.

Funzione coseno

Come sopra ma definisci C = ( α, x(P));

A questo punto se selezioni S con il tasto destro del mouse e fai traccia attiva e poi animi P, al

muoversi di esso C disegna l’andamento della funzione cosα, fintanto che l’angolo α varia da 0 a 2π.

Funzione tangente

Come da definizione si costruisce la circonferenza goniometrica, un angolo α il cui lato che non è

sovrapposto all’asse x, interseca in R la tangente alla circonferenza per il punto

A(1, 0);

Si definisce T = ( α, x(R));

Al variare di α, la traccia di T è proprio il grafico della tangente di α fra 0 a 2π.

Volumi - Cubi e piramidi iscritte a cura di Giancarlo Dorigotti

29

Prof. Giancarlo Dorigotti Volumi: Cubi e piramidi iscritte



30

Volume del cubo

Costruzione del cubo

Basta costruire un quadrato e poi con opportune simmetrie assiali ottenere le altre 5 facce.

In Geogebra per costruire il primo quadrato:

Pulsante Poligono Regolare

Click del tasto sinistro per indicare i due

punti A e B, estremi del lato, appare la

finestra di dialogo punti dove si deve digitare

il numero di lati: 4 è il valore predefinito,

click sul pulsante OK e si ottiene il quadrato.

Costruire lo sviluppo del cubo:

Accanto al primo quadrato si possono

costruire altri quadrati (attenzione ad indicare

i due punti nell’ordine giusto2 per non

disegnare il quadrato sovrapposto a quello

iniziale) in modo da ottenere lo sviluppo,

oppure si possono usare i comandi per

ottenere il Simmetrico rispetto a una retta.

(vedi file 01Cubo.ggb)

Per visualizzare la misura del lato del quadrato in

modo da permettere di valutare se la stampa riuscirà

a sfruttare tutto il foglio disponibile, verificare le

lunghezze dei lati sulla finestra algebrica. Per

verificare se si riesce a rimanere all’interno di un

foglio A4 tener presente che le misure sono

210mm*297mm: Geogebra lascia un bordo di più di

2 cm, quindi conviene disegnare un rettangolo di

misura 16,5mm*25,5mm, selezionando la zona da

stampare e utilizzando l’anteprima di stampa che

permette anche di scegliere la stampa del foglio in orizzontale o in verticale.

Per i dettagli relativi alla costruzione di tale rettangolo si veda l’APPENDICE Stampare con

Geogebra, alla fine del testo.

Attività

In quanti modi si può disegnare lo sviluppo di un cubo?

Disegnare lo sviluppo di un cubo in modo da massimizzarne la superficie esterna e rimanere

all’interno di un foglio A4 (vedi file 01CuboStampa.ggb)

Costruire il cubo con forbici e nastro adesivo lasciando una faccia aperta per poter accedere

all’interno

Costruire un cubo di lato k ed uno di lato 2k, riempirli di farina (o sabbia). Se quello di lato

k pesa w grammi, quando peserà quello di lato 2k?

Pesare i due cubi e confrontare la misura con la previsione fatta.

2 Il senso di rotazione predefinito è antiorario, quindi per disegnare un quadrato in alto (sopra al segmento

iniziale) basta indicare il primo punto a destra e il secondo a sinistra, per disegnare un quadrato in basso (sotto al segmento iniziale) basta indicare il primo punto a sinistra e il secondo a destra: la costruzione prosegue nel senso indicato.


31

Volume del parallelepipedo

Costruzione di un rettangolo qualunque

Costruiamo ora un rettangolo generico: si potrebbe pensare che sia sufficiente immettere le

lunghezze dei lati, ma per costruire il rettangolo sarà necessario dare un punto di base e la retta su

cui si trova il primo lato o, meglio, i due estremi AB. Procediamo in questo modo:

Inserire i punti A e B, che nella nostra costruzione abbiamo collocato in altezza

Tracciare una retta passante per A e B

Calcolare la distanza fra i punti A e B

utilizzando il pulsante (Distanza o

lunghezza)3

Inserire il valore del parametro b: ad

esempio nella riga di inserimento

digitare b=5

Usando il pulsante Circonferenza dati

centro e raggio si seleziona il centro

(ad esempio B), appare una finestra di

dialogo si digita b (parametro che

rappresenta la lunghezza del secondo

lato): si ottiene la circonferenza c

Tracciare le due perpendicolari ad AB

passanti per A e per B

Trovare il punto d’incontro fra

circonferenza e perpendicolare

passante per il suo centro A, sia C tale punto

Tracciare la perpendicolare a BC passante per C

Trovare il punto d’incontro fra tale perpendicolare e quella precedente, sia D tale punto

Costruire il poligono ABCD, usando il pulsante Poligono

(vedi file 02aCostruzioneRettangoloGenericoLati_a_b.ggb)

Macro comando per ottenere rettangoli di formato generico

Comando Crea un nuovo strumento … del Menù Strumenti

Prima inserire gli Oggetti iniziali (click su linguetta in alto): Selezionare gli oggetti nella

costruzione o sceglierli dall’elenco (click sui punti A e B e sul parametro b=5)

Poi gli Oggetti finali (click sul poligono ABCD e sui punti C e D)

Linguetta Nome e icona: Nome strumento digitare il nome: Rettangolo di lati dati (il Nome

comando viene scritto in automatico eliminando gli spazi dal comando precedente)

Guida rapida strumento, digitare: Dati i punti A, B e la lunghezza b costruisce un

rettangolo ABCD

Pulsante di spunta Nella barra strumenti: il comando è nelle barra degli strumenti

Bottone Icona: dove si sceglie il disegno da utilizzare come bottone di comando

Per modificare l’icona o altri aspetti usare il comando Organizza strumenti … del menù

Strumenti.

(vedi file 02bCostruzioneRettangoloGenericoLati_a_bConMacro.ggb)

3 Nella finestra algebrica appare l’oggetto distanzaAB


32

Per costruire un bottone nuovo come immagine

In Geogebra, disegnare un rettangolo piccolo, inserire il testo, selezionare il disegno trascinando col

tasto sinistro del mouse premuto, poi File, Esporta, Vista grafica come Immagine, scegliere il

formato .png, altrimenti costruirlo usando altri software grafici nel formato .jpg

(vedi file 02cBottoneRettangoloGenericoLati_a_b.ggb)

Costruzione del parallelepipedo

Per costruire il parallelepipedo bisognerà collocare i punti iniziali A, B e definire i 2 parametri che

rappresentano le lunghezze degli altri due lati, in questo modo:

Collocare i punti iniziali A, B, con i quali si assegna implicitamente la lunghezza del primo

lato: le loro coordinate possono esser digitate direttamente nella riga di inserimento, ad

esempio digitando A=(-1,8) si inserisce il punto A alle coordinate (-1,8)

Inserire i 2 parametri (b=5 e c=2 ad esempio4), che rappresentano le lunghezze degli altri

due lati (si tenga presente che gli slider associati ai parametri vengono impostati

automaticamente da -5 a +5: visto che rappresentano lunghezze di lati conviene partire da

zero e arrivare magari a 10; comunque se si visualizza lo slider anche senza modificarlo e

successivamente si vuol assegnare al parametro b il valore 11 non è possibile e bisogna

prima modificare il valore massimo dello slider)

Disegnare 2 rettangoli uguali di lato iniziale AB e con l’altro lato b (ad esempio) usando la

macro Rettangolo di lati a e b, due rettangoli di lato AD e con l’altro lato c (ad esempio) e

due rettangoli di lato AB con l’altro lato c (sempre usando la macro Rettangolo),

Ovviamente i rettangoli vanno collocati

nel posto giusto per ritagliare il disegno

e ottenere così lo sviluppo del

parallelepipedo.

Calcolare poi le distanze AB, AD ed AF

e il volume.

(vedi file 03CostruzioneParallelepipedoGenericoLati_a_b_c.ggb)

4 Per modificarli, doppio click sulla loro definizione nella finestra algebrica o click sul bottone di visualizzazione che

fa apparire uno slider nel disegna per la modifica diretta.


33

Per visualizzare la misura del lato dello sviluppo in modo da permettere di valutare se la stampa

riuscirà a sfruttare tutto il foglio disponibile, è possibile calcolare direttamente la distanza fra due

punti: ad esempio la distanza complessiva in larghezza , quella in altezza .

Attività

In quanti modi si può disegnare lo sviluppo di un parallelepipedo?

Disegnare lo sviluppo di un parallelepipedo in modo da massimizzarne la superficie esterna

e rimanere all’interno di un foglio A4

Costruire il parallelepipedo con forbici e nastro adesivo lasciando una faccia aperta per poter

accedere all’interno

Ingrandire lungo una direzione lo spigolo di un parallelepipedo di un fattore k. Come varia il

volume? (fare il rapporto fra il peso della farina contenuto nel parallelepipedo iniziale e

quello contenuto nel parallelepipedo finale. - Aumenta del fattore k).

Cosa succede se ingrandiamo in un un’altra direzione lo spigolo di un fattore h? (il volume

aumenta del fattore h).

Cosa succede se effettuiamo le due trasformazioni? (otteniamo un parallelepipedo di base kh

e il volume aumenterà del fattore kh).

Cosa succede se ingrandiamo in tutte tre le direzioni di un fattore 2? (il volume aumenterà di

un fattore 8, e in generale se aumentiamo di un fattore h in tutte tre le direzioni il volume

aumenterà di un fattore h3).


34

Volume della piramide

Costruzione diretta di una piramide a base quadrata con spigoli uguali

La piramide più semplice da costruire è quella con gli spigoli uguali; le attività che possiamo

organizzare sul volume sono analoghe a quelle precedenti.

Si utilizza Geogebra per disegnare lo sviluppo con triangoli equilateri di lato uguale al lato del

quadrato di base.

Costruire il quadrato di base con il pulsante Poligono regolare

Per visualizzare la misura del lato del

quadrato in modo da permettere di valutare

se la stampa riuscirà a sfruttare tutto il

foglio disponibile, verificare le lunghezze

dei lati sulla finestra algebrica.

Per ottenere lo sviluppo bisogna costruire

dei triangoli equilateri di lato uguale al

lato del quadrato:

Usare il pulsante Poligono

regolare indicando gli estremi dei

lati e digitando 3 nella finestra di

dialogo

Si ripete l’operazione per 4 volte

per disegnare le 4 facce triangolari

della piramide (come si è visto in

precedenza, indicando i vertici del

quadrato di base in senso antiorario

i triangoli vengono disegnati

all’esterno, mentre in senso orario

vengono disegnati all’interno)

(vedi file 04PiramideBaseQuadrataSpigoliUguali.ggb)

Attività

In quanti modi si può disegnare lo sviluppo di una piramide?

Disegnare lo sviluppo di una piramide in modo da massimizzarne la superficie esterna e

rimanere all’interno di un foglio A4

Costruire la piramide con forbici e nastro adesivo lasciando la faccia cubica aperta per poter

accedere all’interno

Ingrandire lo spigolo della piramide di un fattore k. Come varia il volume? (fare il rapporto

fra il peso della farina contenuto nella piramide iniziale e quello contenuto nella piramide

finale. - Aumenta del fattore …).

Raddoppiando l’altezza della piramide, come cambia il volume? E ingrandendo l’altezza di

un fattore h?

Si possono fare altre trasformazioni?


35

Piramide inscritta in un cubo

Più interessante è il caso della piramide inscritta in un cubo; in questo caso si pone il problema di

ricavare il rapporto fra il volume del cubo e quello della piramide.

Consideriamo una piramide retta a base quadrata ABCD iscritta in un cubo: il vertice sarà sul centro

della faccia superiore del cubo.

Per ottenere lo sviluppo bisognerà costruire dei triangoli isosceli aventi come base lo spigolo del

cubo; il problema è individuare la lunghezza dei lati obliqui.

A tale scopo possiamo pensare ad una sezione del cubo lungo un piano che passa per gli spigoli

opposti (ad esempio gli spigoli verticali uscenti da C e da A): la sezione che tale piano individua sul

cubo sarà un rettangolo avente come base la diagonale del quadrato di base e come altezza lo

spigolo del cubo.

Inoltre tale piano passerà per il vertice della piramide e quindi ci permette di individuarlo.

Per disegnare lo sviluppo procediamo quindi in questo modo:

disegnare il quadrato ABCD,

disegnare il cerchio di centro C e raggio CA,

tracciare le rette r1 ed r2 perpendicolari a DC e passanti per gli estremi D e C,

disegnare la retta r3 perpendicolare ad r1 e passante per E, intersezione di r1 con la

circonferenza c,

disegnare il rettangolo DCEF che rappresenta la sezione del cubo, con lato minore uguale allo

spigolo del cubo e lato maggiore uguale alla diagonale di base AC del cubo,

il punto medio M del lato lungo di tale quadrilatero, ad esempio FD, rappresenterà il vertice

della piramide ed il segmento MC lo spigolo.

(vedi file 05aPiramideIscrittaCubo.ggb)


36

A questo punto, per evitare confusione possiamo nascondere il resto della costruzione e riportare lo

spigolo MC sul quadrato di base, in modo da ottenere il triangolo isoscele che individua la faccia

laterale della piramide:

disegnare la circonferenza c2 di centro C e raggio MC,

trovare il punto medio O sulla diagonale AC (ad esempio),

tracciare la retta ra passante per O e perpendicolare al segmento DC,

trovare il punto V1, di intersezione fra la circonferenza c2 e la retta ra

disegnare il triangolo DCV1 passante per V1.

(vedi file 05bPiramideIscrittaCubo.ggb)


37

Disegnare successivamente le altre tre facce laterali:

simmetria del triangolo DCV1 rispetto al punto O e si può ottenere la faccia opposta;

le facce che appoggiano sui lati DA e CB si possono ottenere con rotazioni di 90° rispetto al

centro O.

(vedi file 05cPiramideIscrittaCubo.ggb)

successivamente si nascondono le costruzioni intermedie

(vedi file 05dPiramideIscrittaCubo.ggb)

Dalla costruzione del solido si vede che non sembrano esistere semplici suddivisioni dello spazio

lasciato libero dalla piramide all’interno del cubo in modo da poter stabilire facilmente un

rapporto fra i volumi della piramide e quello del cubo.

Attività

Disegnare lo sviluppo di una di queste piramidi di altezza uguale al lato del cubo in modo da

poterle inserire all’interno del cubo. Perciò le misure dovranno esser leggermente inferiori a

quelle del cubo.

Costruire la piramide con forbici e nastro adesivo, lasciando la faccia uguale a quella del

cubo aperta per poter accedere all’interno

Per confrontare il volume di questa piramide col volume del cubo cosa si può fare?

E quindi quale è la stima del rapporto tra il volume del cubo della piramide a base quadrata e

il volume della piramide a base quadrata iscritta nel cubo?


38

Piramide inscritta in un cubo di altezza metà del lato

Uno dei modi per stabilire un rapporto fra i volumi del cubo e

quello della piramide inscritta, è quello di costruire una

piramide di lato base uguale a quella del cubo e altezza metà

del lato.

Tali piramidi avranno volume uguale a metà di quello della

piramide inscritta (dato che l’altezza è metà); siccome nel cubo

sono contenute sei di tali piramidi (una per ogni faccia del

cubo), il volume della piramide inscritta sarà un terzo di quello

del cubo5.

Ci si basa sulla costruzione precedente per disegnare il parallelepipedo DCEF, sezione del

cubo.

Successivamente, per individuare lo spigolo si troverà M’ punto medio del segmento E’C’6.

(vedi file 06aPiramideIscrittaCuboAltezzaMeta.ggb)

Il segmento MC è lo spigolo cercato e il triangolo DCM’ una faccia della piramide.

(vedi file 06bPiramideIscrittaCuboAltezzaMeta.ggb)

Poi con successive rotazioni di 90° rispetto ad O, il centro del quadrato, si completa lo

sviluppo e si nascondono le costruzioni intermedie.

(vedi file 06cPiramideIscrittaCuboAltezzaMeta.ggb)

Attività

Disegnare lo sviluppo di una di queste piramidi di altezza uguale a metà del lato del cubo.

Quale è il volume di una di queste piramidi di altezza uguale a metà del lato del cubo in

rapporto al volume della piramide a base quadrata iscritta nel cubo?

Quante piramidi di altezza uguale a metà del lato del cubo, sono contenute nel cubo stesso?

Quale caratteristica del cubo bisogna conoscere per contarle?

Costruire la piramide con forbici e nastro adesivo e metterne assieme 6 per ottenere ..

E quindi quale è il rapporto tra il volume della piramide a base quadrata e il volume del

cubo?

Costruiamo piramidi di volume uguale al cubo: se la base è uguale al cubo, quale sarà la

misura dell’altezza? E se l’altezza è uguale all’altezza cubo, come cambia il lato del

quadrato di base? E se l’altezza e un lato di base sono uguali alla lunghezza dello spigolo del

cubo, come deve ambiare l’altro lato?

5 Se le sei piramidi vengono invece girate verso l’esterno (appoggiandole alle facce esterne del cubo)

otteniamo il dodecaedro rombico, che ha ovviamente volume doppio rispetto a quello del cubo. 6 Dove E’ è punto medio del segmento FE e C’ è punto medio del segmento CD.


39

Piramide inscritta in un cubo con vertice sul vertice del cubo

Un altro modo per stabilire un rapporto fra i volumi

del cubo e quello della piramide inscritta, è quello di

deformare la piramide spostando il vertice su quello

del cubo (ovviamente bisognerebbe dimostrare

l’equivalenza fra il volume delle due piramidi. Si veda

la scheda successiva).

Gli spigoli verticali B’C e D’C saranno uguali allo

spigolo del cubo mentre la base coincide con i due

spigoli di base del cubo (DC e CB): in questo modo

posso costruire le due facce triangolari che si

appoggiano alle facce laterali del cubo (DCB’ e CBD’)

Le altre 2 facce triangolari le ottengo costruendo uno

spigolo di lunghezza uguale allo spigolo D’B della

faccia precedente e congiungendo il vertice così

ottenuto con il vertice di base.

Quindi dato il quadrato di base ABCD, trovo il punto D’ simmetrico di D rispetto al lato BC

e il punto B’ simmetrico di B rispetto al lato DC

Questo mi permette di disegnare le due facce perpendicolari rispetto alla base e con altezza

uguale alla base

Il lato obliquo di tali facce sarà uguale (e in 3 dimensioni contiguo) ad uno dei lati delle altre

due facce e lo potrò trasportare sulla verticale della base usando una circonferenza di centro

B raggio BD’: in tal modo ottengo il punto B’’, intersezione di tale cerchio con la

perpendicolare ad AB.

Il punto D’’ lo posso ottenere con lo stesso metodo a partire da una circonferenza di centro

D e raggio DB’, oppure trovando direttamente il triangolo ADD’’ simmetrico di AB’’B

rispetto alla diagonale del quadrato AC.

(vedi file 07cPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)

Attività

Disegnare lo sviluppo di una di queste piramidi.

Costruire la piramide con forbici e nastro adesivo e metterne assieme 3 per ottenere ..

Quante di queste piramidi, sono contenute nel cubo stesso?

E quindi quale è il rapporto tra il volume della piramide a base quadrata e il volume del

cubo?

La costruzione evidenzia che il cubo contiene tre di tali piramidi e pertanto il volume della

piramide inscritta sarà un terzo di quello del cubo.


40

Equivalenza fra piramide retta e piramide con vertice sul vertice del cubo Uno dei modi per dimostrare l’equivalenza fra le due piramidi è quello di tener presente che

abbiamo già dimostrato che il volume del cubo è il triplo del volume della piramide retta

(utilizzando le 6 piramidi di altezza metà del cubo), quindi sarà anche uguale al volume delle tre

piramidi uguali che hanno il vertice su uno dei vertici del cubo e che lo riempiono completamente.

Usando invece il teorema di Cavalieri, un modo per dimostrare l’equivalenza è riuscire a trovare

una suddivisione della piramide in sezioni che rimangono equivalenti nella traslazione del vertice

della piramide dal centro della faccia del cubo ad uno dei vertici (del cubo).

Una sezione parallela al piano di base (costituito dalla faccia del cubo) sarà sempre un quadrato e

nella traslazione del vertice rimane sempre un quadrato (equivalente a quello iniziale) che scivola

verso lo spigolo della piramide fino a che gli spigoli e i due lati adiacenti non coincidono.

Ovviamente la dimostrazione dovrà verificare questo, ma poter visualizzare quanto succede può

essere di grande aiuto.

In Geogebra ho visualizzato la sezione della piramide vista dall’alto.

(vedi file 07dPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)

Il vertice della piramide retta si trova sul punto rosso O; muovendo il vertice V7 verso il basso lungo

la diagonale DB, la piramide e tutte le sue sezioni (fra le quali ho evidenziato la sezione S1S2S3S4

che si trova a metà altezza ed è costruita sui punti medi delle diagonali rispetto al vertice V) si

spostano rimanendo equivalenti8, finché S2 non coincide con B.

Quindi i volumi della piramide iniziale e finale coincidono.

Per evitare la difficoltà di catturare con il mouse il vertice V quando coincide con O9, è possibile

utilizzare uno slider, in modo da intervenire solo su quel pulsante. Allo scopo la diagonale può esser

definita come una funzione, ad esempio f(x) = Se[x ≥ 0 ∧ x ≤ 10, 10 - x]10

Lo slider che modifica la variabile e, permette di costruire il vertice V della piramide di coordinate

(e,f(e)) e i vertici del quadrato che rappresenta la sezione si possono costruire facendo i punti medi

dei segmenti che collegano i vertici del quadrato di base al punto V.

(vedi file 07ePiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)

Facendo molti punti medi (ad esempio 7) per ognuno dei segmenti che collegano i vertici del

quadrato di base al punto V e collegandoli assieme con 7 quadrilateri iniziando dal più grande (la

sezione che, vista dall’alto, si troverebbe in basso) si visualizzano le varie sezioni della piramide

con quella più vicina al vertice V di colore più scuro.

Muovendo lo slider in modo che il vertice V della piramide si sposti verso il vertice B del cubo, le

sezioni si spostano tutte assieme, avvicinandosi sempre più verso il vertice B del cubo e

allontanandosi sempre più dal vertice D del cubo. Quando il vertice V si sovrappone al vertice B, si

sovrappongono anche tutti i punti della diagonale VB, i punti delle diagonali VA e VC si allineano

sul rispettivo lato, mentre i punti sulla diagonale VD si collocano sulla diagonale del cubo.

(vedi file 07fPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)

Sullo sviluppo possiamo anche riportare le intersezioni fra le facce laterali e le linee di livello:

(vedi file 07gPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)

7 Che inizialmente è disegnato come leggermente spostato rispetto ad O, per facilitarne l’aggancio col mouse.

8 Avendo calcolato l’area iniziale di questo quadrato si può controllare che nel movimento non cambia. Deve

esser chiaro che questa non è una dimostrazione ma una verifica su un gran numero di casi e sotto condizioni costruttive da dimostrare.

9 O con uno dei vertici del cubo.

10 Supponendo che il primo vertice del cubo abbia coordinate (0,0) e che il secondo abbia coordinate (10,0).


41

Semi piramide con vertice sul vertice del cubo e orientazione dello spazio 3d Nel piano l’impronta della mano destra e della mano sinistra possono esser sovrapposte con una

simmetria assiale, operazione con la quale l’immagine viene ribaltata nello spazio e che così

diventa sovrapponibile.

Se utilizziamo oggetti collocati nello spazio, ad esempio una mano destra e una sinistra reali, tale

operazione non si può eseguire dato che non possiamo ribaltare oggetti nello spazio a 4 dimensioni.

Questo si può verificare anche con semplici oggetti tridimensionali come le piramidi costruite in

precedenza.

Consideriamo una delle piramidi con il vertice sul vertice del cubo. Dividiamola a metà lungo la

diagonale del cubo con la seguente costruzione:

Quadrato ABCD, faccia di base cubo

La faccia di base sarà il Triangolo ABC, metà della faccia di base del cubo

La faccia BED ha base e altezza uguali allo spigolo del cubo, il punto E si può ottenere

come intersezione della circonferenza di centro B e raggio DB con la retta per CD o come

simmetrico del punto D rispetto al centro C: così posso costruire lo spigolo BE (e quindi il

triangolo)

La faccia AFB ha base uguale allo spigolo del cubo e spigolo BF uguale allo spigolo BE

(precedentemente costruito) e perpendicolare allo spigolo AB

(vedi file 08aSemiPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)

Per procedere oltre nascondiamo la faccia di base ABCD del cubo, tracciamo il cerchio di

centro A e raggio AF, che rappresenta la lunghezza di uno degli spigoli diagonali del cubo

L’intersezione fra tale cerchio ed il cerchio di centro C che serve a costruire lo spigolo

uguale all’altezza del cubo, mi permette anche di trovare lo spigolo diagonale AI da

incollare ad AF: quindi disegnare l’ultima faccia triangolare ACI

(vedi file 08bSemiPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)

Riportiamo tale sviluppo sul rettangolo di stampa verticale A4, in modo da massimizzarne le

dimensioni

(vedi file 08cSemiPiramideIscrittaCuboSuVerticeCubo.ggb)

Abbiamo costruito una delle due piramidi, come possiamo costruire l’altra?

Dato che sono simmetriche rispetto al piano diagonale del cubo, basterà utilizzare lo stesso

sviluppo della precedente, ma invertirne il verso piegando il foglio sul lato opposto rispetto all’altra:

se la prima è stata piegata sulla faccia stampata del foglio, la seconda va piegata sul lato bianco del

foglio.

Con tre di queste semi piramidi scelte in modo opportuno si può riempire un cubo tagliato a metà

lungo due spigoli opposti e paralleli, ma tali semi piramidi vanno scelte con l’orientamento

adeguato, altrimenti la composizione non riesce: rimanendo all’interno dello spazio a tre dimensioni

ci sono oggetti equivalenti e con la stessa forma che però sono orientati in modo diverso e non sono

sovrapponibili.

Un esempio classico è quello delle mani: la destra e la sinistra non sono sovrapponibili, invece con

una riflessione l’impronta della mano destra e di quella sinistra diventano sovrapponibili (anche se

mantengono un orientamento diverso e quindi un verso di percorrenza diverso)


42

Appendice Ritorna alla Costruzione del cubo

Stampare con Geogebra

La stampa di un disegno Geogebra, soprattutto nel caso in cui si vogliano mantenere le dimensioni

o se comunque si vuol sfruttare al massimo l’area di stampa richiede alcune considerazioni:

Dato un qualunque disegno, con i menù File, Anteprima di stampa … viene visualizzata una

finestra di stampa11

, che quasi sempre ritaglia una parte del disegno; tale finestra sulla prima riga

contiene 4 pulsanti:

Stampa, Chiudi, un terzo pulsante con una % che si riferisce all’ingrandimento a video e non alla

stampa, e il quarto pulsante che permette di stampare sul foglio in Verticale o in Orizzontale.

Sotto a questi pulsanti ci sono due righe in cui si può inserire Titolo, Autore e Data, quindi c’è una

riga che permette di cambiare e visualizzare la scala di stampa.

Cambiando la scala di solito si riesce ad ottenere una visualizzazione completa del disegno, ma con

dimensioni diverse da quelle previste, anche se in realtà il disegno poteva stare facilmente

all’interno di un foglio A4 (210mm*297mm)

Per evitare questo è bene selezionare con il mouse la figura da stampare12

e se la figura rimane

all’interno dell’area stampabile da Geogebra verrà visualizzata per intero.

Dato che Geogebra lascia un bordo di più di 2 cm, quindi conviene predisporre il disegno

all’interno di un rettangolo di misura 16,5mm*25,5mm, selezionando poi la zona da stampare e

utilizzando l’anteprima di stampa che permette anche di scegliere la stampa del foglio in orizzontale

o in verticale. Abbiamo preparato un rettangolo che rappresenta la massima dimensione stampabile.

(vedi file 10aRettangoloDiStampaVerticale.ggb)

Iniziare sempre i disegni con tale file e, a disegno ultimato, cambiare l’origine del rettangolo, in

modo che si trovi nel punto più in basso e più a sinistra del disegno, modificare quindi le

dimensioni del disegno spostandone i punti base fino a raggiungere i confini del rettangolo

Il disegno del rettangolo di stampa verticale è costruito in modo da parametrizzarne le dimensioni e

il punto origine in basso a sinistra:

Definire ed assegnare due variabili x_i=-2 e y_i=-1013

, che rappresentano le coordinate del

punto origine in basso a sinistra (e che possono esser facilmente modificate)

Definire ed assegnare due variabili base=15.5 e altezza=25.5 che rappresentano le massime

dimensioni stampabili da Geogebra sul foglio A4, ma che vanno determinate

sperimentalmente e modificate se si vuol stampare su un foglio A3

Definire ed assegnare i 4 vertici del rettangolo: P_1= (x_i, y_i)

P_2= (x_i + base, y_i) P_3= (x_i + base, y_i + altezza) P_4= (x_i, y_i + altezza)

Disegnare il rettangolo P1P2P3P4, ponendo il Riempimento a zero con il comando Opzioni

Stile.

Per ottenere il disegno del rettangolo a stampa orizzontale basterà scambiare i valori delle variabili

base e altezza!

(vedi file 10bRettangoloDiStampaVerticale.ggb)

11

Finestra che rappresenta l’aspetto finale del foglio stampato. 12

Partire ad esempio dal punto più in alto e più a sinistra del disegno e trascinare con il tasto sinistro del mouse premuto fino ad arrivare al punto più in basso e più a destra del disegno: viene visualizzato un rettangolo azzurrino che rappresenta l’area selezionata.

13 Tali variabili vengono visualizzate con un pedice in basso; se l’indice in basso richiede più di una lettera o

numero, allora va racchiuso tra parentesi graffe.

Grafico di funzione, derivata e integrale a cura di Stefano Pegoretti

43

Prof. Stefano Pegoretti Grafico di funzione, derivata e integrale



44

Scheda introduzione a Geogebra

Dati due numeri a e b definire P(a,b).

1. a=3

2. b=5

3. P=(a,b)

Dato k intero compreso tra -2 e 1 determinare un numero b=k2 e determinare il punto Q(k,b)

1. Slider k tra -2 e 1 con incremento 1

2. B=k^2

3. Q=(k,b)

Al variare di k visualizzare la traccia del punto Q

1. Con il mouse che punta Q pulsante dx scegliere traccia attiva.

Data la funzione f(x)=x3-1 determinare un punto P sul grafico di f(x) di ascissa a=1.32.

1. f(x)= x^3-1

2. a=1.32

3. P=(a,f(a))

Dato il punto P definire un punto Q in modo che le sue coordinate risultino aumentate di 0.7

ovunque sia P.

1. punto P sul piano

2. x_P=x(P)

3. y_P=y(P)

4. Q=(x_P+0.7,y_P+0.7)

5. Muovere P.

Data una retta r calcolare il coefficiente angolare m

1. Strumento retta per due punti

2. Punti P e Q sulla retta

3. Δx=x(P)-x(Q)

4. Δy=y(P)-y(Q)

5. m=Δy/Δx


45

Dato il punto P definire un punto Q in modo che le sue coordinate risultino aumentate di una

quantità k definita da uno slider


2. slider k

3. P=(x(P)+k,y(P)+k)

4. Muovere P e lo slider

Dato un punto P sul grafico di f(x) definire Q, ancora sul grafico di f(x), in modo che le ascisse dei

due punti distino un valore h definito da uno slider.

1. f(x)=0.2x^2-3x

2. P sul grafico di f(x)

3. Slider h da -2 a 6 incremento 0.2

4. x_Q=x(P)+h

5. Q=(x_P,f(x_Q))

Rappresentare la funzione f(x) = x2-3. Colorare in rosso la parte di funzione con ordinate negative

o nulle.

1. f(x)=x^2-3

2. determina le intersezioni del grafico di f(x) con l’asse x pulsante punto opzione “intersezione di

due oggetti”

3. rinomina con A e B i due punti di intersezione

4. x_A=x(A)

5. x_B=x(B)

6. g(x)=funzione[f(x),x_A,x_B]

7. proprietà di g(x) colore rosso


46

Scheda grafico di funzione

Rappresentazione del grafico di una funzione

Utilizzando la traccia

1. Punto A sull’asse X

2. xA =x(A)

3. fneA =

4. P=(xA,fneA)

5. Attiva traccia per il punto P

6. Muovi il punto P sull’asse x

Utilizzando il foglio di calcolo

Esempio: sequenza di punti da -3 a 3 con passo 0.25

1. Visualizza vista foglio di calcolo

2. Nella cella A1 digitare -3

3. Cella A2 formula =A1+0.25

4. Trascinare in basso fino a cella A25

5. Cella B1 digitare =1/4*A1^3 ( )

6. Trascina in basso fino a B25

7. Seleziona le celle da A1 a B25

8. Pulsante dx e opzione “crea lista di punti”

per evitare le etichette su ogni punto: menu opzioni e disattiva etichettatura per nuovi oggetti

Funzione definita su un intervallo

( ) [ ]

1. Comando: f(x)=funzione[x^2,0,2]

Funzione definita su intervalli diversi

( ) {

1. Comando: f(x)=Se[x>=0,x^2,x-1]


47

Scheda derivata

Significato geometrico di derivata (e grafico funzione derivata)

La figura vuole essere un aiuto per la comprensione della definizione di derivata prima e del suo significato

geometrico; ed offrire inoltre la possibilità di valutare la relazione fra crescenza della funzione e segno della derivata.

In questa figura si è volutamente tralasciato il concetto di derivata dx e sx rimandandone lo studio in un successivo

modello nel quale sia rappresentata una funzione che possa valere quale contro esempio.

Comandi utilizzati:

ascissa x(punto) Restituisce l’ascissa del punto

Ordinata y(punto) Restituisce l’ordinata del punto

Punto P=(2,3) Crea un punto definito P di coordinate 2,3

Funzione f(x)=-2*x^2+3*x Crea una funzione definita f di equazione

Scheda slider

Permette di definire un parametro variabile (numero oppure angolo) in un determinato intervallo min max con un determinato incremento. E’ possibile utilizzare il parametro definito dallo slider ad esempio per costruire un punto mobile oppure una famiglia di funzioni. Per avere a disposizione un parametro a che varia da -2 a 3 con incremento 0,2 occorre definire una lunghezza della barra slider pari a 25= 5/0,2

Derivata[f(x)] Rappresenta il grafico della derivata di una funzione f(x)

Costruzione:

1. Definire funzione f(x)=

2. Punto X0 sull’asse x. Sarà l’ascissa del punto P sul grafico di f(x) dove vogliamo calcolare il coeff angolare della

retta tangente (nascondi l’etichetta. (Usa la sintassi X_0 per ottenere il pedice e se il pedice è composto ES:

X0+h :usa la sintassi X_{0+h}).

3. Determina il punto P sul grafico di ascissa X0. P=(x(X0),f(x(X0)))

Costruire un punto Q sul grafico di f(x) in modo che xQ disti h da xP.

1. Slider definito h1 da 0 a 3 con passo 0.01 e lungo quindi 300 (3/0.01).

-lo slider simulerà il limite h→0.

2. Punto X0+h=(x(X0)+h1,0) (in questo modo X0+h dipende dalla scelta di X0).

3. Q=(x(X0+h),f(x(X0+h)))

4. Segmento h da X0 a X0+h colore rosso e spessore 6

5. Retta r passante per P e Q.

Calcolare il coefficiente angolare m della retta r

1. Variazione della x tra P e Q: Δ_x=x(Q)-x(P) notare come il valore coincida con h

2. Variazione della y tra P e Q: Δ_y=y(Q)-y(P)

3. m= Δ_y/ Δ_x

4. casella di testo per riportare il valore di m nel foglio

muovendo lo slider verso 0 la retta r si approssima a quella tangente.

Poiché quando h=0 si ha QP la retta r non può essere rappresentata conviene disegnare la retta

tangente in P e valutarne la pendenza mediante i pulsanti di comando dedicati.


48

Ovviamente sarà opportuno nasconderla mediante una casella di controllo da attivare solo quando

necessario.

Segno della derivata

Con lo slider a zero e la retta tg a P visibile muovere il punto X0 ed osservare il valore del coefficiente angolare

Funzione derivata mediante il foglio di calcolo

1. crea il punto DP=(x(X0),m) nascosto

2. Posizionare il punto X0 in ascissa 2

3. Attivare vista foglio di calcolo

4. Attivare traccia su foglio di calcolo per il punto DP

5. Muovere il punto X0 fino ad ascissa 6 (NB: senza inversioni di movimento!)

6. Disattivare traccia su foglio di calcolo per Dp

7. Per ripetere la generazione di nuova sequenza di punti eliminare i vecchi dati dal foglio di calcolo posizionare

lo slider nel punto di partenza e ripartire dal punto 4.

A questo punto è possibile analizzare la serie di dati

Rappresentare i dati del foglio di calcolo nel piano

8. Disattivare l’etichettatura automatica per i nuovi oggetti (menu opzioni)

9. Selezionare tutte le coppie di punti

10. Pulsante dx sulla selezione e creare lista di punti.

Attività

Perché la tangente non è definita quando h=0? Come risolvere il problema (limite h->0)?

Ricostruisci la figura utilizzando la funzione: ( )

come puoi distinguere i punti stazionari di

ascissa 2 e -2?

Ricostruisci la figura utilizzando la funzione ( )

cosa succede in (0,3)?

Derivata destra e sinistra

Rappresentare la funzione ( ) | | secondo il procedimento descritto dai punti 1. – 12. Con l’unica

variazione costituita dallo slider h1 che dovrà variare tra -0.5 e 0.5 con incremento 0.01 (e quindi lunghezza

100) e valore iniziale 0.5.

Attività

Scorrere lo slider da un estremo all’altro in X0=0.4 e quindi in X0

Che cosa rappresenta il movimento dello slider?

Osservare come varia il coefficiente angolare della retta PQ nei due casi.

Eventualmente registrare la sequenza di valori nel foglio di calcolo.

Funzione derivata

1. Rappresenta la funzione ( )

2. Rappresenta il grafico della derivata di f(x) con il comando f’=derivata[f(x)] oppure f’(x)

3. Individua le intersezioni della derivata con l’asse X (secondo pulsante)

4. (eventualmente) traccia le perpendicolari all’asse X per i punti di intersezione derivata asseX


49

Attività

Cosa rappresentano i punti di intersezione derivata –asse X?

Quando il grafico della derivata è nel semipiano positivo (negativo) delle ordinate?

Cosa indica il punto di massima ordinata della derivata?

Rappresenta il grafico della derivata della derivata f’’=derivata[f’(x)]

Dove si annulla f’’?

Ripeti con ( ) ( ) NB: colora i grafici in modo opportuno!

Ripeti con ( ) ( ) con k definito attraverso uno slider da -5 a 5 incremento 1 e valore iniziale 0.

Cosa succede al variare di k?


50

Scheda Area sottesa da un grafico, funzione integrale

Comandi utilizzati:

integrale Integrale[f,a,b] Calcola l’area con segno di f(x) tra a e b

poligono p=poligono[A,B,C,..] Costruisce il poligono p di vertici A,B,C,… e ne restituisce l’area

Somma superiore SommaSuperiore[f,a,b,n]

Approssima per eccesso l’area sottesa da f(x) nell’intervallo [a,b] con

n rettangoli

Somma inferiore SommaInferiore[f,a,b,n]

Approssima per difetto l’area sottesa da f(x) nell’intervallo [a,b] con n

rettangoli

Somma Trapezi SommaTrapezi[f,a,b,n]

Approssima per difetto l’area sottesa da f(x) nell’intervallo [a,b] con n

trapezi

Calcolare l’area sottesa al grafico della funzione ( )

nell’intervallo [1,6],

utilizzando il metodo dei trapezi.

Preparazione

1. definire la funzione ( )

2. punti A e B sull’asse x di ascissa rispettivamente 1 e 6 (usa il mouse con l’opzione cattura punto

automatica oppure attiva). Rappresentano gli estremi dell’area da calcolare.

3. a=x(A), b=x(B)

4. area = integrale[f,a,b). Con questa istruzione la variabile area=∫ ( )

è istanziata con il valore

numerico dell’area ed il sottografico tra a e b è evidenziato con una zona colorata.

Creazione dinamica dei trapezi

1. slider numTrapezi da 1 a 20 incremento 1 con valore iniziale 3

ciò significa che l’area sarà divisa con un massimo di 20 trapezi

2. Slider trapezioNum da 1 a 20 incremento 1 con valore iniziale 1

Individuiamo ora la lunghezza Δ della base dell’ i-esimo trapezio ed i suoi 4 vertici: Xi e Xj sull’asse X e Xif,

Xjf sulla curva f

1. Δ=(b-a)/numTrapezi

2. xi=a+(trapezioNum-1)*Δ

Se trapezioNum=1 allora xi coincide con a.

Se trapezioNum=n allora xi coincide con il punto distante (n-1)*Δ da a.

3. Xi=(xi,0)

4. xj=x(Xi)+Δ

xj precede xi di Δ

5. Xj=(xj,0)

6. Xif=(xi,f(xi))

7. Xjf=(xj,f(xj))


51

Costruire il poligono (trapezio) di vertici Xi e Xj, Xif, Xjf

8. trapezio=Poligono[Xi, Xj, Xjf, Xif]

la variabile trapezio è istanziata con la misura dell’area.

Muovendo lo slider trapezioNum visualizziamo , uno per volta, i trapezi che ricoprono l’area sottesa

dal grafico mentre la variabile trapezio ci da l’area relativa.

Calcolare l’area approssimata mediante il foglio di calcolo.

1. Per avere traccia di un valore nel foglio di calcolo è necessario che tale valore sia rappresentato da

un punto. Quindi creiamo il punto AT non necessariamente visibile sul foglio di coordinate

2. AT=(trapezioNum,trapezio)

3. Visualizza foglio di calcolo

4. Sposta slider trapezioNum su 1

5. Con il mouse su AT pulsante dx scegli “traccia sul foglio di calcolo”

6. Sposta lo slider trapezioNum facendo attenzione a non superare il limite dx dell’area.

7. Disattivare la traccia sul foglio di calcolo

8. Calcola la somma dei valori delle singole aree =somma[B1:Bn]

È possibile risolvere il problema delle aree, con una modalità molto più strutturata,

anche utilizzando i comandi forniti da geogebra.


52

Integrale definito come limite di successioni approssimanti

Esempio per l’uso del comando SommaSuperiore e SommaInferiore

Preparazione

1. Definire la funzione: f(x) = 4 sin((x + π / 4) / 4)

2. Impostare l’unità di misura delle ascisse in π con separazione in π/2 pulsante dx mouse sulla figura: opzione “vista grafica”unità π e distanza π/2

3. punti A e B sull’asse x di ascissa rispettivamente

e

(usa il mouse con l’opzione cattura punto

automatica oppure attiva). Rappresentano gli estremi dell’area da calcolare 4. a=x(A), b=x(B)

5. area = integrale[f,a,b). 6. Slider numRettangoli da 1 a 100 incremento 1 valore iniziale 3 larghezza 200 7. comando sommaInf= SommaInferiore[f(x), x(A), x(B), numRettangoli] 8. comado sommaSup= SommaSuperiore[f(x), x(A), x(B), numRettangoli]

Esempio per comando SommaTrapezi

1. Ripetere i passi da 1. a 5. 2. Slider numTrapezi da 1 a 30 incremento 1 valore iniziale 2 3. Comando areaApprox=SommaTrapezi[f(x),a,b,numTrapezi]

Funzione Integrale

Rappresentare il grafico (come traccia) della funzione integrale ( ) ∫ (

)

Preparazione

1. Definire la funzione: ( )

2. Slider b da 0 a 6 incremento 0.001 lunghezza 400 valore iniziale 0 3. Comando area=integrale[f(x),0,b] 4. Casella di testo con: "F(b)= \int_{0 }^{ " + b + "} " + f

Si tratta ora di associare alla variabile area un punto P nel piano di coordinate b ed area.

5. P=(b,area) proprietà: traccia attiva 6. Muovere lo slider per visualizzare la traccia menu visualizza ->aggiorna videata per eliminare la

traccia presente.

Attività

Cosa rappresenta il punto di massima ordinata della traccia?

Cosa rappresenta il punto di intersezione della traccia con l’asse X?

Traccia crescente? Traccia decrescente?

Variare l’intervallo dello slider e del comando integrale: da -4 a 6.

Al posto della traccia sul foglio grafico possiamo utilizza la traccia sul foglio di calcolo


53

Rappresentare il grafico (come Luogo) della funzione integrale ( ) ∫ (

)

Preparazione

1. Punto X sull’asse x nell’intervallo (0,6)

2. Definire la funzione: f(x)=funzione[

,0,6]

Poiché il punto X non ha una reale limitazione in [0,6] è utile definire la funzione f(x) nell’

intervallo ove calcoliamo l’integrale

3. Comando area=integrale[f(x),0,x(X)] l’area dipende dalla posizione di X

Si tratta ora di associare alla variabile area un punto P nel piano della stessa coordinata x del punto X

ed ordinata area.

4. P=(x(X),area)

5. Comando FneIntegrale=luogo[P,X]

NB: geogebra costruisce il luogo per ogni x senza limitarsi all’intervallo scelto. C’è però il

vantaggio di poter porre un punto mobile sul luogo e valutarne la posizione.


54

Scheda funzione integrale

Dopo aver rappresentato il luogo geometrico della funzione integrale con la procedura già vista è

interessante offrire una “prova” grafica della congettura che lo studente ha costruito, nostra

speranza, riguardo al teorema fondamentale del calcolo integrale.

Ovvero provare graficamente che la derivata della funzione integrale è la funzione stessa.

Voglio quindi calcolare il coefficiente angolare della retta tg alla funzione integrale nel punto P che

ha generato il luogo.

1. definisco f(x)

2. areaB=integrale[f(x),0,x(B)] . (B è il punto mobile sull’asse x)

3. Definisco PB=(x(B),areaB)

4. Luogo di B al variare di PB. (la funzione integrale)

5. Opzioni arrotondamento: 3 cifre decimali.

6. Slider h da 0.01 a 0.5 passo 0.01 lunghezza 300 (è il )

Costruisco un altro punto sulla funzione integrale per poter trovare una secante e calcolare,

quando h->0, il limite del rapporto incrementale.

7. Definisco Bx+h=(x(B)+h,0) Dipende dalla posizione di B e dista h da esso e sarà la ascissa del

nuovo punto sul luogo

8. areaB+h= integrale[f(x),0,x(Bx+h)] è l’ordinata del nuovo punto sul luogo

9. Definisco PB+h=(x(Bx+h),areaB+h). (PB+h sta sul luogo)

10. Retta t per PB e PB+h

11. Definisco m=(y(Bx+h)-y(B))(x(Bx+h)-x(B)) è il coefficiente angolare di t

quando h->0 t è la tangente alla funzione integrale ed m la derivata della funzione integrale

nota: i punti 7. …11. sono necessari poiché Geogebra non permette di calcolare la tangente ad

un punto del luogo né di calcolare l’intersezione del luogo con una retta.

12. Q=(x(B),m)

13. Opzione traccia per Q. Muovendo B avremo che Q lascia la sua traccia sovrapposta ad f(x)

14. Un Ooh di straordinario stupore ora sarebbe gradito (dagli studenti, naturalmente -:))

Nota: è possibile nascondere i punti PB+h e Bx+h impostando la proprietà “condizione per mostrare

l’oggetto”per entrambi a: h > 0.01

Composizione dei gruppi

55


Gruppo Geometria del piano

Do

cen

te

Cla

sse

/i

coin

vo

lta

/e

Nu

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ni

pe

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e d

eg

li

stu

de

nti

Ev

en

tua

le c

om

pre

sen

za

di

coll

eg

hi

Tip

olo

gia

di

ve

rifi

ca

Franceschini 1 G

1 H scientifico 20 21

10/2010 03/2010

15 Prime costruzioni, triangoli, quadrilateri. Computer aula

informatica Schede

Salvataggio files No

In laboratorio (parte teorica,

parte al computer)

Mingazzini 1 A scientifico 20 12/2010 05/2010

13 Criteri congruenza triangoli Computer aula

informatica

Schede Salvataggio files,

Appunti sul quaderno

No Verifica scritta

Avancini 1

scientifico

03/2011 06/2011

15 Introduzione alla geometria piana Triangoli parallelogrammi

Computer aula informatica

Appunti Salvataggio files

No Verifica pratica


56

Zambonato 1

scientifico 16

01/2011 03/2011

10 Triangoli Computer aula

informatica Schede No Verifiche in itinere

Piva 2

Tecnico agrario

22 11/2010 03/2011

10 Parallelogrammi, Talete, Euclide. Rette, parabole, sistemi lineari.

Aula informatica: lezione partecipata,

esercitazione singoli e a coppie

Schede con esercizi

No Correzione

elaborati studente su file.

Bollani 1 A ITI

10 Introduzione alla geometria euclidea Criteri congruenza triangoli


Schede No Verifica orale/

Pratica in laboratorio

Scialino

1 A scienze umane

1B scienze umane

economico

23 18

03/2011 06/2011

10 Introduzione alla geometria euclidea Criteri congruenza triangoli


Schede No Verifica scritta

Veronesi

1 Formazione

professionale agraria

14 12/2010 02/2011

12

Triangoli e loro classificazione punti notevoli nei triangoli proprietà dei triangoli quadrilateri e loro costruzione


Schede da compilare, files da salvare su una cartella personale

No Verifica teorica


57

Gruppo Funzioni

Do

cen

te

Cla

sse

/i

coin

vo

lta

/e

Nu

me

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lun

ni

pe

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Nu

me

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nit

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rari

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ate

e l

oro

co

nsi

ste

nza

(5

0, 6

0 m

in.

etc

.)

Arg

om

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Mo

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Mo

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stu

de

nti

Ev

en

tua

le c

om

pre

sen

za

di

coll

eg

hi

Tip

olo

gia

di

ve

rifi

ca

Rizzi 4 Rag 22 11/2010 5 Introduzione alle funzioni Lavagna interattiva

Files No Orale

Dalcolmo 3 S 19 10/2010 04/2011

6 Parabola Disequazioni Vettori e traslazioni


Schede da compilare Files da salvare

No Parte di una

verifica tradizionale

Burattini 4

5 SB

Grafici di funzioni, funzioni definite a tratti, Analisi delle discontinuità


58

Delpero 2 3

Grafici di funzioni, funzioni definite a tratti, Analisi delle discontinuità

Carrara 2 3 PNI 01/2010 Coniche, proprietà focali. Equazioni e disequazioni irrazionali


Schede Verifica

tradizionale

Carrara 1 3 PNI 11/2010 6 Introduzione alle funzioni e loro proprietà


Schede Sì

Docente informatica

In laboratorio, salvataggio

files

Pagliacci 3 Liceo

Scientifico 3 ITI

Introduzione alle funzioni e loro proprietà Coniche, proprietà focali. Equazioni e disequazioni irrazionali

Mazzini 2

Professionale 15 03/2011 8

Grafico funzioni Rette


Schede e appunti

Sì Docente sostegno

Verifica tradizionale


59

Gruppo Integrale

Do

cen

te

Cla

sse

/i

coin

vo

lta

/e

Nu

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lun

ni

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r cl

ass

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pre

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lle

gh

i

Tip

olo

gia

di

ve

rifi

ca

Bonmassar 5 S 23 Febbraio marzo 11

6 Area, Integrale e Funzione integrale

Aula informatica,

lavoro a casa, discussione

uso LIM

Appunti quaderno,

fogli esercizi no

Controllo lavoro svolto a casa, parte di una verifica tradizionale

Cappello 5 S 21 01/2011 7 Area, Integrale e Funzione integrale

Aula informatica,

lavoro a casa, discussione

uso LIM

Appunti quaderno,

fogli esercizi, salvataggio

files

2 lezioni con osservatrice

(Ossanna)

Controllo lavoro svolto a casa, parte di una verifica tradizionale


60

Frisanco 5 LT 20 03/2011 2 Approssimazione di integrali Computer aula

informatica

Schede in parte da

compilare No

Orali, parte di una

verifica tradizionale

Aldrighetti 1 4 ITI 11 01/2011 2 Significato geometrico derivata

Proiezione su schermo di

files preparati discussione

Schede, files salvati, appunti sul quaderno

ITP No

Aldrighetti 2 5 ITI 21 01/2011 4 Integrali, funzione integrale

Proiezione su schermo di

files preparati discussione

Schede, files salvati, appunti sul quaderno

ITP No


61

Geometria del piano

Proff. Michele Avancini e Maura Bonazza Geometria del piano



62

Classe/i coinvolta/e 1^ Liceo Scientifico

Numero di alunni per

classe 28

Periodo dell’anno

(data inizio – data fine) da metà marzo a giugno

Numero unità orarie

impiegate e loro

consistenza (50, 60 min.

etc.)

Circa 15 ore scolastiche (50 min.) di esercitazioni in laboratorio e

11 ore scolastiche (50 min.) di lezioni di teoria

Argomenti trattati

Concetti introduttivi della geometria euclidea (definizioni, assiomi,

struttura dei teoremi e schemi di dimostrazioni). Triangoli,

parallelogrammi e loro proprietà.

Modalità di lavoro

(individuale, a gruppi, con

lavagna interattiva, sulle

postazioni al computer in

aula informatica, etc.)

Gli studenti hanno potuto svolgere lavori individuali o collettivi su

postazioni al computer in aula informatica, mentre le lezioni

teoriche sono state svolte normalmente in classe.

Modalità di registrazione

del lavoro da parte degli

studenti

(schede da compilare, files

da salvare, appunti sul

quaderno etc.)

Gli studenti hanno registrato il loro lavoro sia attraverso appunti

personali sia salvando esercizi (svolti in classe oppure assegnati

come compito per casa) su file che venivano periodicamente

consegnati al docente.

Tipologia di verifica

(scritta, orale, relazione a

casa etc.) e tempo di

somministrazione

Per quanto riguarda l’aspetto di teoria, sono state svolte verifiche

scritte e orali, mentre è stata effettuata una verifica “pratica” al

computer in laboratorio di informatica.

Esiti della verifica

(in percentuale)

valutazione Pratica Teoria

- Buono: 25% 43%

- Discreto: 14% 29%

- Sufficiente: 32% 21%

- Insufficiente: 29% 7%


63

Valutazione dell’attività

(dal punto di vista

dell’apprendimento, del

coinvolgimento degli

studenti e del

gradimento… )

Aspetti critici, aspetti

migliorabili …

E’ stato positivo il fatto di poter affiancare lezioni teoriche con lezioni

laboratoriali: gli argomenti vengono trattati in teoria e poi rivisti in laboratorio

(oppure viceversa). In questo modo i concetti possono essere assimilati più

facilmente perché studiati da punti di vista diversi. Inoltre, l’approccio “pratico” è

stato effettuato nelle ore di informatica: si è quindi cercato, ove possibile, di

richiamare anche alcuni aspetti legati non solo alla matematica ma al linguaggio

informatico di base: ad esempio, si è analizzato come è possibile

nascondere/visualizzare semplici oggetti (come caselle di testo) usando condizioni

espresse con un linguaggio di tipo logico-informatico, oppure come definire

semplici variabili e poi farle comparire, oltre che nella finestra algebra, nel foglio

da disegno.

Gli aspetti critici invece sono relativi all’approccio degli studenti sia nello studio

della geometria razionale, sia nell’utilizzare correttamente il computer. Infatti, dal

momento che non tutti hanno la stessa abilità e dimestichezza nell’usare il

computer, alcuni studenti hanno mostrato difficoltà anche nell’eseguire passo

passo, sotto dettatura del docente, semplici operazioni e istruzioni. Sicuramente,

se l’approccio alla geometria con il software geogebra verrà svolto anche nel

prossimo anno, ci si potrà avvalere del fatto che gli studenti hanno già imparato

ad usare il software, seppure nelle sue funzioni base, e quindi verrà a mancare la

fase di difficoltà iniziale riscontrata quest’anno. L’altro elemento di criticità

riscontrata riguarda, come si diceva, l’approccio degli studenti allo studio della

geometria: emerge infatti una consueta difficoltà generale, dal momento che

molti studenti credono di possedere già i concetti chiave della geometria piana,

convinti di averli già studiati nel corso degli studi della scuola secondaria di primo

grado.

Elenco dei files allegati:

schede di lavoro

esempi di file .ggb

utilizzati o prodotti

dagli studenti

eventuale descrizioni di

percorsi

1 tema teorico e 1 tema di recupero

File lezione/esercizi per casa/esercizi di verifica (vedi allegati)


64

Prof.ssa Manola Bollani Introduzione alla geometria euclidea



65

Presentazione del percorso fatto

Istituto: M. Curie di Pergine

Classe: 1° A tecnologico

Tempi: un’ora settimanale in laboratorio per un totale di 10 incontri

Argomenti: introduzione alla geometria euclidea

Descrizione del percorso Introduzione alla geometria euclidea

Ho utilizzato le prime due schede (tesi-ipotesi) per introdurre alcune semplici costruzioni (triangolo

isoscele ed equilatero) ed in generale per avvicinare gli studenti all’uso del programma geogebra.

L’obiettivo delle schede era anche quello di far riflettere sul significato di ipotesi e tesi di un teorema.

Il primo obiettivo è stato generalmente raggiunto dagli studenti, anche se con notevoli differenze tra

individuali; le maggiori difficoltà riscontrate sono state in merito alla lettura attenta della scheda.

L’obiettivo di determinare ipotesi e tesi dalla lettura dell’enunciato è stato raggiunto solo in parte.

Le schede sugli angoli e sui segmenti avevano lo scopo di rivedere e precisare concetti già definiti alle

scuole medie mediante semplici costruzioni. Gli obiettivi sono stati generalmente raggiunti.

Ho verificato il raggiungimento degli obiettivi mediante una verifica orale/pratica in laboratorio.

Conclusione

Gli studenti hanno apprezzato le attività di laboratorio e l’uso del programma; ho dovuto dare una

valutazione formale alle attività svolte in laboratorio perché la tendenza diffusa era quella di non

considerare la modalità laboratoriale come lezione vera e propria.

I tempi si sono dilatati molto rispetto al previsto.

Continuerò a utilizzare il programma come utile supporto per la trattazione di altri argomenti.

SEGMENTI

Definizione di segmento: data una retta orientata e due suoi punti A e B, il segmento AB è l’insieme dei

punti della retta formato da A, B e dai punti compresi fra A e B.

A e B si dicono estremi del segmento.

Definizione di segmenti consecutivi: sono segmenti che hanno in comune soltanto un estremo.

Definizione di segmenti adiacenti: sono segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta.

Es 1: costruiamo segmenti consecutivi e adiacenti

- Disegna due segmenti: AB e CD a piacere


66

Costruisci ora due segmenti uguali ad AB e CD ma che siano consecutivi, seguendo le seguenti istruzioni:

- fissa un punto P, che sarà il punto che avranno in comune i due segmenti - disegna la circonferenza di centro P e raggio AB; su di essa scegli un punto e collegalo con P

mediante un segmento; disegna una seconda circonferenza di centro P e raggio CD; scegli su di essa un punto e collegato con P

- Come sono i due segmenti?...........................................Quale punto hanno in comune?.......

Costruisci ora due segmenti uguali ad AB e CD che non siano solo consecutivi ma anche adiacenti:

- come prima disegna le due circonferenze di centro P e raggi rispettivamente uguali ai segmenti AB e CD.

- Disegna ora una qualsiasi retta passante per P e per un punto appartenente ad una delle due circonferenze (chiamalo Q); questa retta intersecherà anche la seconda circonferenza in due punti: scegli tra questi due punti quello che rispetto a P sta dalla parte opposta di Q.

- Come sono i due segmenti?.............................. Quale punto hanno in comune?..............

Es 2: costruiamo l’insieme dei punti che sono equidistanti da due punti dati A e B.

- Segna i punti A e B - Traccia il segmento AB - Traccia ora due circonferenze di centro rispettivamente A e B ed entrambe di raggio AB. - Che tipo di triangolo hai costruito?......................................................................... - Segna i due punti in cui le circonferenze si incontrano C e C’ - Traccia la retta passante per C e C’ - Prendi un qualsiasi punto P su questa retta e misura la distanza tra questo punto e l’estremo A e tra

lo stesso punto e l’estremo B. Cosa osservi?........................................................ - Il triangolo ABP è quindi un triangolo ……………………

perché………………………………………………………………………………………. - Tutti i punti appartenenti alla retta CC’ hanno la stessa proprietà che hai verificato per il punto P?

……….. LA RETTA CC’ CHE HAI TRACCIATO SI CHIAMA ASSE DEL SEGMENTO AB ED E’ L’INSIEME DI TUTTI I PUNTI

DEL PIANO CHE SONO EQUIDISTANTI DAI PUNTI A E B

Es 3: dati due segmenti vogliamo costruire il segmento che è la somma dei due

- disegna i segmenti AB e CD (non farli uguali) - disegna la semiretta AB - vogliamo ora disegnare un segmento uguale a CD che sia adiacente al segmento AB: traccia la

circonferenza di centro B e raggio CD. Chiama E il punto di intersezione tra la circonferenza e la semiretta AB. Il segmento BE è ……………………………………

- i segmenti AB e BE sono …………………………………

- il segmento AE è il segmento che è la somma tra i due segmenti e si scrive: AB+CD=AE

CON QUESTO ESERCIZIO ABBIAMO IMPARATO CHE PER SOMMARE DUE SEGMENTI PER PRIMA COSA

DOBBIAMO FARE IN MODO CHE SIANO ADIACENTI; A QUESTO PUNTO LA LORO SOMMA E’ IL SEGMENTO

CHE HA PER ESTREMI I LORO ESTREMI NON COMUNI.


67

Definizione di multiplo di un segmento: si chiama multiplo di un segmento a, secondo il numero naturale

n, un segmento b congruente alla somma di n segmenti congruenti ad a, cioè: b=na.

Definizione di sottomultiplo di un segmento: si chiama sottomultiplo di un segmento a, secondo il numero

naturale n≠0, un segmento b tale che a=nb.

UN POSTULATO AFFERMA CHE DATO UN SEGMENTO ESISTE SEMPRE IL SUO SOTTOMULTIPLO SECONDO

UN QUALSIASI NUMERO NATURALE n≠0

Definizione di punto medio di un segmento: il punto medio di un segmento è quel suo punto che lo divide

in due segmenti congruenti (uguali)

UN POSTULATO AFFERMA CHE ESISTE SEMPRE IL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO ED E’ UNICO

Es 4: Dato un segmento vogliamo costruire un suo multiplo e sottomultiplo

a) dato il segmento AB vogliamo costruire il multiplo del segmento AB secondo il numero naturale n=5 - traccia la semiretta AB; traccia la circonferenze di raggio AB e centro B; chiama C il punto di

intersezione tra circonferenza e semiretta diverso da A; disegna ora la circonferenza di centro C e raggio AB e prosegui con le altre circonferenze in modo da avere 5 segmenti a due a due adiacenti e tutti uguali ad AB. Il segmento che ha per estremi A e l’ultimo estremo trovato è il segmento multiplo che si indica con 5AB

b) vogliamo ora costruire il sottomultiplo di AB secondo il numero n=5 - Disegna un segmento PQ uguale al segmento AB - Traccia una qualunque semiretta di origine in P (che non sia PQ) - Su questa semiretta riporta con il compasso 5 segmenti uguali tra loro di misura a piacere - Il primo segmento sarà PA1, il secondo A1A2, il terzo A2A3, il quarto A3A4 e il quinto A4A5 - Traccia ora la retta QA5 - Traccia la retta passante per il punto A4 e parallela alla retta QA5 - Traccia la retta passante per il punto A3 e parallela alla retta QA5 - Traccia la retta passante per il punto A2 e parallela alla retta QA5 - Traccia la retta passante per il punto A1 e parallela alla retta QA5 - Queste cinque rette dividono il segmento PQ in 5 segmenti ………………… Ognuno di questi segmenti è un sottomultiplo secondo il numero 5 del segmento AB

Es 5: vogliamo costruire il punto medio del segmento AB

- Traccia i segmenti AB e CD (fai in modo che CD sia maggiore della metà di AB) - Traccia la circonferenza di centro A e raggio CD - Traccia la circonferenza di centro B e raggio CD - Segna i due punti in cui le due circonferenza di incontrano E ed F - Traccia il segmento EF - Chiama M il punto di intersezione tra EF e il segmento AB Verifica che M è il punto medio dell’intervallo AB

Es 6: vogliamo costruire la circonferenza circoscritta ad un triangolo

- Disegna un triangolo qualsiasi ABC (scaleno) - Costruisci per ogni lato l’asse del segmento come hai imparato nell’esercizio n° 2 - Osserva che tutti e tre gli assi si incontrano in un unico punto che chiamerai O - Disegna la circonferenza che ha centro O e ha per punto uno dei tre vertici del triangolo (è lo stesso il

punto che scegli) - Osserva che la circonferenza tracciata passa per tutti e tre i punti


68

IL PUNTO O CHE E’ L’INTERSEZIONE TRA I TRE ASSI DEI LATI DEL TRIANGOLO SI CHIAMA CIRCOCENTRO IN

QUANTO E’ IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTI AL TRIANGOLO.

Definizione di angolo: un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la

stessa origine, incluse le due semirette.

Definizione di angoli consecutivi: due angoli sono consecutivi se hanno in comune soltanto il vertice e un

lato.

Somma di angoli: dati due angoli consecutivi la loro somma è l’angolo che ha lo stesso vertice e ha per lati i

loro lati non comuni; quindi per sommare due angoli, prima li trasporto in modo che siano consecutivi.

Multiplo di un angolo: si chiama multiplo di un angolo α, secondo il numero naturale n>1, un angolo β che

sia la somma di n angoli congruenti (uguali) ad α. Scriviamo β=n α.

Definizione di bisettrice di un angolo: la bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide

l’angolo in due angoli congruenti.

COSTRUZIONE DI UN ANGOLO CONGRUENTE AD UN ANGOLO DATO

- Disegna un angolo ABC di ampiezza qualsiasi che vogliamo riprodurre - Traccia le semirette per AB (a) e per BC ( b) - Con il comando “ circonferenza di dato centro” disegna una circonferenza di centro B e di raggio

qualsiasi che incontra le semirette a e b rispettivamente nei punti D e E - Determina il raggio di tale circonferenza tracciando il segmento AD (d). - Traccia il segmento DE (e)

Vogliamo ora trasportare l’angolo ABC su una data semiretta

- Traccia una semiretta (f) di origine O (su questa semiretta costruiremo l’angolo congruente ad ABC e quindi fai in modo che ci sia spazio sufficiente)

- Traccia una circonferenza di centro O e raggio d e sia F il punto in cui tale circonferenza incontra la semiretta e.

- Traccia la circonferenza di centro F e raggio e. - Sia H uno dei due punti d’intersezione tra le due circonferenze - l’angolo FOH misura………… quindi è uguale all’angolo …………

Esercizi da fare utilizzando la costruzione di un angolo congruente ad un angolo dato

1) Somma di due angoli Disegna due angoli qualsiasi α e β; disegna una semiretta; costruisci sulla semiretta un angolo

congruente ad α; ora sul lato dell’angolo che hai costruito che non è la semiretta iniziale costruisci un

angolo che sia congruente a β. I due angoli sono …………………………. l’angolo che ha per lati i lati non

comuni è l’angolo ………..

2) Costruzione del multiplo secondo il numero 3 di un dato angolo Disegna un angolo qualsiasi γ; su una semiretta disegna un primo angolo congruente a γ; sul lato di

questo nuovo angolo (che non sia la semiretta iniziale) costruisci un secondo angolo congruente a γ;

ripeti ancora una volta il procedimento in modo da ottenere 3 angoli congruenti ad γ che siano a due a

due consecutivi. L’angolo ………. che è la somma dei tre angoli è il multiplo ………………………………………….


69

COSTRUZIONE DELLA BISETTRICE DI UN ANGOLO

- Traccia due semirette a e b aventi in comune l’origine A :misura l’ampiezza dell’angolo BAC. - Disegna una circonferenza avente centro A e raggio qualsiasi : essa incontra le semirette a e b in due

punti che rinomini E ed F. - Traccia una circonferenza di centro E e raggio qualsiasi; con lo stesso raggio disegna anche la

circonferenza di centro F; se le circonferenza non si incontrano aumenta il raggio - Chiama M uno dei due punti di intersezione tra le due circonferenze. - Traccia la semiretta AM e misura l’ampiezza degli angoli EAM e MAF : come risultano?........... Verificala

relazione tra i due angoli anche con il comando “ relazione tra due oggetti Per ogni teorema costruisci con geogebra la figura corrispondente e scrivi ipotesi e tesi

Leggi con attenzione le istruzioni e completa le parti richieste

1. Enunciato: Nel triangolo isoscele ABC, di vertice C, disegna le bisettrici AE e BF degli angoli alla base, indicando con

M il loro punto di intersezione. Dimostra che ME=MF.

Per costruire il triangolo isoscele ABC segui le seguenti istruzioni

- Disegna un segmento GH (in automatico il segmento sarà AB usa il tasto destro mouse opzioni rinomina oppure seleziona il punto nel riquadro oggetti liberi e sempre con il tasto destro rinomina); i lati obliqui del triangolo isoscele avranno la stessa lunghezza di GH

- Disegna il segmento AB (sarà la base del triangolo isoscele); poi con il comando circonferenza dati centro e raggio traccia la circonferenza che ha come centro A e come raggio il segmento GH (a); allo stesso modo traccia la circonferenza che ha centro in B e raggio a.

Le due circonferenze hanno punti in comune? Se non li hanno devi modificare il segmento GH.

- Le due circonferenze si incontrano in due punti; segna con intersezione tra oggetti uno dei due punti d’intersezione (C)

- Congiungi A con C e B con C. Il triangolo che si forma è isoscele perché ………………………………………………………………………………………..

- Ora nascondi tutto tranne il triangolo ABC Fine costruzione triangolo isoscele

- Con il comando bisettrice traccia la bisettrice dell’angolo in A (clicca sui punti CAB) e dell’angolo in B (clicca sui punti CBA).

- Le due bisettrici si incontrano in un punto, con il comando intersezione tra oggetti segna questo punto (D) che rinominerai M

- Segna il punto di intersezione tra la bisettrice in A con il lato opposto BC che rinominerai con E e il punto di intersezione tra la bisettrice in B e il lato opposto AC che rinominerai con F.

- Con il comando distanza o lunghezza misura i segmenti ME e MF e verifica che sono uguali.

Scrivi ora l’ipotesi di questo teorema utilizzando il comando inserisci testo.

Ricorda che l’ipotesi è l’insieme di tutte le affermazioni considerate vere.

Leggendo l’enunciato del teorema per prima cosa abbiamo che il triangolo ABC è ……………, poi la retta AE è

bisettrice dell’angolo ……… e la retta BF è la bisettrice dell’angolo …….

M è il punto di intersezione tra………………………..


70

Quindi scriveremo:

Ipotesi: ABC è un triangolo………….

AE è …………

BF è…………..

M è…………….

Scrivi ora la tesi di questo teorema utilizzando il comando inserisci testo.

Ricorda che la tesi è l’insieme delle affermazioni che devono essere dimostrate

Nel nostro teorema è semplice perché nell’enunciato c’è dimostra che ME=MF

Quindi la tesi è ………………………………………………………..

Enunciato: Nel triangolo equilatero ABC disegna le bisettrici degli angoli in A e B. Indica con E il loro punto di intersezione.

Dimostra che i triangoli ABE, BEC e AEC sono congruenti (uguali).

Per costruire il triangolo equilatero ABC segui le seguenti istruzioni

- Disegna il segmento AB che sarà il lato del triangolo equilatero. - Con lo strumento circonferenza dati centro e raggio costruisci la circonferenza di centro A e raggio AB (a) - Allo stesso modo costruisci la circonferenza di centro B e raggio AB (a) - Le due circonferenze si incontrano in due punti, segna uno di questi due punti (C) - Congiungi con un segmento A con C - Congiungi con un segmento B con C - Il triangolo ABC è equilatero perché…………………………………………………………………………………………. - Nascondi tutto tranne il triangolo ABC Fine costruzione del triangolo equilatero

- Traccia le bisettrice degli angoli in A e in B (come hai fatto nell’esercizio precedente) - Segna il punto di intersezione tra le due bisettrici; rinominalo E. Nascondi le bisettrici. - Con lo strumento poligono disegna i triangoli ABE, BEC e AEC ; per ognuno scegli un colore diverso per

differenziarli - Con lo strumento relazione tra due oggetti verifica che i triangoli sono tutti uguali


71

Scrivi ora l’ipotesi di questo teorema

Leggendo l’enunciato del teorema per prima cosa abbiamo che il triangolo ABC è ……………, poi la retta AE è

bisettrice dell’angolo ……… e la retta BE è la bisettrice dell’angolo …….

E è il punto di intersezione tra………………………..

Quindi scriveremo:


AE è …………

BE è…………..

E è…………….

Scrivi ora la tesi di questo teorema

Nel nostro teorema è semplice perché nell’enunciato c’è: dimostra che i triangoli ABE, BEC e AEC sono uguali.

Quindi la tesi è ……………

2. Enunciato: In un triangolo equilatero le mediane sono congruenti (uguali).

- Seguendo le istruzioni dell’esercizio 2 disegna un triangolo equilatero ABC - Devi ora tracciare le tre mediane; ricorda che la mediana riferita ad un lato è il segmento che congiunge il

punto medio del lato con il vertice opposto - Inizia a tracciare la mediana relativa al lato AB: - per prima cosa segna il punto medio del lato AB usando il comando punto medio o centro - congiungi con un segmento il punto medio trovato (D) e il vertice opposto al lato, in questo caso il vertice C. Il

segmento tracciato DC è la mediana relativa al lato AB - Allo stesso modo traccia le altre due mediane - Con il comando distanza o lunghezza misura le tre mediane esse sono ………………….

Scrivi ora in cosa consistono ipotesi e tesi

Ipotesi……………………………………………………….

Tesi……………………………………………………………

1. Enunciato: Nel triangolo equilatero ABC , prolunga la base AB da ambo le parti di due segmenti congruenti

AE e BF. Dimostra che i triangoli AEC e BCF sono congruenti (uguali).

- Costruisci il triangolo isoscele ABC seguendo le istruzioni della scheda precedente - Per prolungare il segmento AB: traccia la retta AB

Traccia un segmento AE (g) che sarà il prolungamento del lato AB

Traccia la circonferenza di centro B e raggio AF (g)

Segna il punto di intersezione tra la circonferenza e la parte di retta che non contiene la base AB;

rinominalo F

Osserva che i due segmenti AE e BF sono uguali

- Disegna i triangoli AEC e BCF; con lo strumento relazione tra due oggetti verifica che questi due triangoli sono uguali.


72

Scrivi ora l’ipotesi di questo teorema


AE … BF

Tesi: ………………………………………………………..

2. Enunciato: Sui tre lati di un triangolo equilatero ABC considera tre punti, R, S e T, in modo che risulti

AR=BS=CT. Congiungi i tre punti. Dimostra che il triangolo RST è equilatero.

- Per costruire il triangolo equilatero ABC segui le istruzioni nella scheda precedente - Devi ora disegnare tre punti (R, S e T) in modo che abbiano la stessa distanza con i vertici del

triangolo: traccia un punto R appartenente al lato AB e traccia il segmento AR (e)

Per tracciare il punto S sul lato BC disegna la circonferenza di centro B e raggio AR (e); rinomina S

il punto di incontro tra circonferenza e lato BC

traccia la circonferenza di centro C e raggio e; chiama T il punto di incontro tra questa circonferenza

e il lato CA.

- Traccia il triangolo RST congiungendo i tre vertici - Con lo strumento distanza o lunghezza verifica che il triangolo RST è equilatero cioè che i tre lati

sono ……………… Scrivi ora l’ipotesi di questo teorema


R….. AB

S….. BC

T….. CA

AR=…….=………=……..

Scrivi ora la tesi di questo teorema

Tesi …………………………………………………………

3. Enunciato: Nel triangolo equilatero ABC, costruisci sui tra lati, esternamente al triangolo, tre triangoli

isosceli congruenti (uguali) aventi per basi i lati di AB, BC e CA.

Dimostra che i loro vertici individuano un triangolo equilatero.

Prova tu a fare la costruzione utilizzando quanto hai imparato negli esercizi precedenti

Ipotesi……………………………………………………….

Tesi……………………………………………………………


73

Prof.ssa Antonella Franceschini Le disuguaglianze dei triangoli



74

Prima di iniziare qualunque costruzione può essere comodo, dal menù opzioni, scegliere l'opzione


Attività 1 : verifichiamo i due teoremi dell'angolo esterno

(PRIMO TEOREMA: In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli

interni non adiacenti ad esso;

SECONDO TEOREMA: In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due

angoli interni non adiacenti ad esso).

Traccia una semiretta di origine A e passante per B.

Disegna il triangolo di vertici A, B e C, dove C è un punto del piano scelto da te a piacere.

Sulla semiretta AB, dalla parte di B scegli un punto, a tuo piacere, che chiamerai D.

Segna e misura gli angoli , , e . Confronta tali misure in modo tale da verificare la validità

del primo teorema dell'angolo esterno, anche variando con il puntatore la forma del

triangolo ABC.

Per verificare la validità del secondo teorema, scrivi nella linea di inserimento ( in basso), la

seguente dicitura: somma = dove e dovrebbero corrispondere rispettivamente agli angoli e .

E' vero che tale somma corrisponde alla misura dell'angolo

ovvero dell'angolo esterno ?

Sullo stesso triangolo traccia e misura gli altri due angoli esterni e ripeti la verifica avendo cura di

indicare in diversi modi le varie somme (somma1, somma2 ecc.).

Salva il file con il nome Teoremi angolo esterno.

Attività 2: verifichiamo le relazioni fra i lati di un triangolo

(TEOREMA: In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della

loro differenza).

Traccia un triangolo ABC, segna e misura i suoi lati ed i suoi angoli. E' vero che a lato

maggiore sta opposto angolo maggiore e viceversa?

Per ciascuna coppia di lati scrivi nella linea di inserimento la loro somma e la loro differenza

( esempio sommaab= a+b, differenzaab= a-b ) stando attento nel calcolo della differenza a

sottrarre lato minore da lato maggiore. Osserva e confronta i dati. E' vero che ogni lato è

minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza?

Controlla variando anche la forma del tuo triangolo con l'utilizzo del puntatore.

Salva il file con il nome Relazioni lati di un triangolo.


75

SCHEDA NUMERO 10

PERPENDICOLARITA' E PARALLELISMO con GeoGebra



Attività 1 : Data una retta r ed un punto P del piano, costruisco la retta passante per P e

perpendicolare ad essa ( senza fare uso del comando retta perpendicolare).

Caso 1: il punto P appartiene ad r.

Traccia una retta r per due punti A e B ( si consiglia di nascondere tali punti per non

confonderli con altri punti importanti per la costruzione).

Traccia un punto P appartenente a tale retta.

Prendi su r due punti C e D equidistanti da P.

Traccia una circonferenza di centro C e raggio a piacere purché maggiore di CP e una

circonferenza di centro D e lo stesso raggio della circonferenza precedente ( per costruire

due circonferenze con lo stesso raggio si consiglia di fare uso del comando compasso e di

costruire da parte un segmento maggiore di CP)

Chiama E uno dei punti di intersezione di tali circonferenze.

Traccia la retta passante per P e per E e verifica ( con il comando relazione fra due oggetti)

che tale retta è perpendicolare ad r.

Caso 2 : il punto P è esterno alla retta r.

Adesso tocca a te ….

Aiutandoti con la seguente descrizione ( della costruzione fatta con riga e compasso) scrivi

sul tuo quaderno i vari passaggi per ottenere la stessa costruzione con geogebra ed

eseguila.

Al termine verifica che la retta costruita sia perpendicolare a quella data.

(in questo spazio dovrebbe essere inserita la spiegazione della costruzione fatta con riga e

compasso)


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SCHEDA NUMERO 11

PROPRIETÀ DEL PARALLELISMO



Attività 1: Teorema fondamentale del parallelismo

Traccia una retta r e, dato un punto P esterno ad essa, traccia la retta s passante per P e

parallela ad r. Traccia poi una trasversale che interseca le parallele in A e in B.

Inserendo opportunamente delle lettere sulle varie semirette, indica e misura gli otto angoli

che esse formano.

Verifica che vale quanto enunciato dal teorema del parallelismo ovvero che :

a) angoli alterni interni o esterni sono congruenti;

b) angoli corrispondenti sono congruenti;

c) angoli coniugati interni o esterni sono supplementari.

In quest'ultimo caso conviene calcolare la somma dei due angoli utilizzando la barra di

inserimento come nella scheda 9.

Scrivi di seguito i nomi e le misure delle coppie di angoli:

alterni interni : __________________ ________________________

alterni esterni : ___________________ ________________________

corrispondenti: ___________________ ________________________

coniugati interni: ___________________ ________________________

coniugati esterni: ___________________ ________________________

Attività 2 : Teorema della somma degli angoli interni di un triangolo.

Traccia un triangolo qualsiasi ABC, segna e misura i suoi angoli interni.

Nella barra di inserimento scrivi la somma dei tre angoli e verifica che è sempre di 180

gradi.

Nei seguenti problemi la scelta delle lettere è arbitraria.

Problema 1

Disegna due rette parallele r ed s ed una trasversale t che interseca r nel punto A ed s nel punto B.

Scegli sul segmento AB un punto C. Dalla stessa parte sulla trasversale, traccia sulla retta r il

segmento AD AC e sulla retta s il segmento BE BC. Congiungi C con D e con E. Verifica che il

triangolo DCE è rettangolo in .

Problema 2

Disegna due rette parallele r ed s ed una trasversale t che interseca r nel punto A ed s nel punto B.

Traccia poi le bisettrici di due angoli coniugati interni che si incontrano nel punto P. Verifica che il

triangolo APB è rettangolo in .


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Liceo scientifico da Vinci Trento, sabato 9 aprile 2011

NOME E COGNOME ……………………………… CLASSE ….......................

PROVA DI GEOMETRIA

PARTE A (CON GEOGEBRA)

1. Esegui le seguenti istruzioni, dopo essere entrato nel programma applicativo geogebra. 2. Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB. 3. Traccia poi una retta parallela ad AB che interseca i lati AC e BC del triangolo rispettivamente in P e

Q. 4. Traccia la retta passante per P e parallela a BC e la retta passante per Q e parallela ad AC. Indica

quindi con R il loro punto di intersezione. 5. Verifica, misurando i suoi lati, che il triangolo PQR è isoscele. 6. Verifica, misurando gli angoli da essa formati, che la semiretta CR è la bisettrice dello angolo

BCA ˆ . 7. Dal vertice A di un triangolo ABC conduci la parallela a BC. 8. Dal punto medio M di AC conduci la parallela ad AB che incontra CB in E 9. Indica con D il punto d'intersezione delle due rette tracciate. 10. Verifica, con il tasto relazione fra due oggetti, che i triangoli AMD ed EMC sono congruenti.

PARTE B (DIMOSTRATIVA)

1. Relativamente all'esercizio precedente, dimostra la congruenza dei due triangoli AMD e EMC dopo aver individuato ipotesi e tesi.

2. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C. Si consideri un punto E sul lato AC e un punto F sul prolungamento di CB dalla parte di B in modo che sia AE = BF. Si indichi con T il punto di intersezione di EF con AB e sia R il punto in cui la parallela a CB per E interseca il lato AB. Dimostrare che:

il triangolo AER è isoscele.

BFER TBFERT

FACOLTATIVO

Nella seguente figura supponiamo che

CDACAB e BDAD .

Quanto misura in gradi l'angolo CDA ˆ ?

Risposta:

L'angolo CDA ˆ misura ….................................


78

Prof.ssa Marina Mingazzini Quadrilateri, triangoli e trasformazioni geometriche



79

DESCRIZIONE PERCORSO

Ho utilizzato quasi interamente le schede prodotte dalla collega prof.ssa Renata Paoli, integrando o

togliendo alcune parti a seconda delle considerazioni e necessità che lungo il percorso emergevano.

Lezione 1 Scheda – I quadrilateri particolari con Geogebra

Obiettivo: Imparare a costruire figure con Geogebra utilizzando le proprietà

delle figure geometriche

Lezione 2 Disegnare segmenti e angoli adiacenti e consecutivi.

Verificare il Teorema relativo agli angoli opposti al vertice

Verifica del seguente teorema: le bisettrici di due angoli adiacenti sono

perpendicolari tra loro

Lezione 3 Verifica dei criteri di congruenza dei triangoli

Per il primo e secondo criterio schede già pronte.

Terzo criterio Allegato 1

Lezione 4 Verifica con geogebra di alcune dimostrazioni che avevano creato difficoltà o

per la costruzione della figura o per il riconoscimento dei triangoli. Allegato 2

Lezione 5 Le disuguaglianze nei triangoli . Allegato 3

Lezione 6 Perpendicolarità e parallelismo. Allegato 4a e 4b

Lezione 7 Problemi Allegato 5

Lezione 8 Le trasformazioni geometriche con geogebra: Simmetria centrale e assiale

Lezione 9 Traslazione

Lezione 10 Rotazione

Lezione 11 Composizione di trasformazioni: composizione di simmetrie assiali con assi

paralleli, con assi incidenti, e con assi perpendicolari

Lezione 12 Prova


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Allegato 1

TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA

Problema: a partire da un triangolo dato, vogliamo costruire un triangolo che abbia tre lati congruenti ai

rispettivi elementi del triangolo di partenza .

Istruzioni:

Con il comando poligono disegna il triangolo ABC

Misura i tre lati ed osserva la vista algebrica: ad ogni segmento corrisponde un nome ed una misura

Prendi un punto A’ esterno alla figura e disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il nome del lato AB (che dovrebbe essere c)

Prendi un punto B’ sulla circonferenza e disegna il raggio A’B’ e visualizza la sua misura

Disegna la circonferenza di centro B’ e raggio il nome del lato BC (dovrebbe essere a)

Disegna la circonferenza di centro A’ e raggio il nome del lato AC (dovrebbe essere b)

La seconda e la terza circonferenza si incontrano in due punti; scegli uno dei due e chiamalo C’

Se unisci i punti A’B’C’ con il comando poligono, troverai un triangolo che è congruente al triangolo dato

Con il tasto relazione tra due oggetti potresti verificarlo

Allegato 2

Problemi proposti

1) Sui lati AB e BC di un triangolo isoscele ABC di base AC, si considerano rispettivamente due punti T e Q tali che BT BQ. Sui prolungamenti di AB e BC rispettivamente dalla parte di A e di C, si considerano due punti P ed R tali che AP CR. PQ interseca AC in E e TR interseca AC in F. PQ e TR si incontrano nel punto D. Dimostrare che: a. PQ TR b. I triangoli TDP e DQR sono congruenti c. BD è bisettrice dell’angolo al vertice del triangolo dato d. EDF è un triangolo isoscele.

2) Considera un triangolo isoscele di base AB. Traccia le bisettrici degli angoli alla base A e B che incontrano i lati BC e AC rispettivamente nei punti P e Q. Prolunga i due lati congruenti di due segmenti congruenti AR e BS. Sia O il punto di intersezione di QS e PR. Dimostra che: a. I triangoli QBS e PAR sono congruenti; b. I triangoli CQS e CPR sono congruenti;

c. CO è la bisettrice dell’angolo ^

ACB

3) Nel triangolo ABC sia AB=AC=2BC e sia O il punto di intersezione delle due mediane BM e CN relative ai lati uguali. Congiungi M e N. Dimostra che nella figura così formata sono individuabili sei triangoli isosceli; dimostra inoltre che sono individuabili quattro coppie di triangoli tra loro uguali. Vi sono nella figura triangoli isosceli uguali tra loro?

4) Dato il triangolo ABC isoscele sulla base BC, considera su AB e AC i segmenti AE e AF fra loro congruenti e su BC i segmenti BS e CT fra loro congruenti. Le rette FS ed ET si intersecano in O.

5) Dimostra che: a. I triangoli STO ed FEO sono isosceli; b. I punti A ed O sono allineati con il punto medio M della base BC.


81

6) Disegna due segmenti consecutivi e congruenti AB e BC; dai vertici A e C traccia due semirette che formano angoli congruenti con i segmenti considerati e che si incontrano in P. Dimostra che AP=PC

7) Disegna un angolo acuto ^

AOB ; da un punto P del lato OA traccia la perpendicolare PH ad OB;

disegna poi la bisettrice dell’angolo ^

OPH che incontra OB in Q; da Q traccia infine la perpendicolare QR ad OB. Dimostra che il triangolo PQR è isoscele.

8) Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C. Si consideri un punto E sul lato AC e un punto F sul prolungamento di CB dalla parte di B in modo che sia AE BF. Si indichi con T il punto di intersezione di EF con AB e sia R il punto in cui la parallela a CB per E interseca il lato AB. Dimostra che: a. Il triangolo AER è isoscele b. ER BF c. ERT TBF (triangoli)

Allegato 3 LE DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI

Attività 1 : verifichiamo il primo teorema dell’angolo esterno In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso

Traccia una semiretta di origine A e passante per B

Disegna un triangolo di vertici A, B, C, dove C è un punto del piano scelto da te a piacere

Sulla semiretta AB, dalla parte di B scegli un punto, a piacere, che chiamerai D

Segna e misura gli angoli ^

BAC , ^

ACB e ^

DBC . Confronta tali misure in modo tale da verificare la validità del primo teorema dell’angolo esterno, anche variando con il puntatore la forma del triangolo.

Attività 2: verifichiamo le relazioni fra i lati di un triangolo Teorema: In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della loro differenza

Traccia un triangolo ABC, segna e misura i suoi lati ed i suoi angoli. Osserva: è vero che a lato maggiore si oppone angolo maggiore e viceversa?

Per ciascuna coppia di lati scrivi nella linea di inserimento la loro somma e la loro differenza (esempio sommaab=a+b, differenzaab=a-b) stando attento nel calcolo della differenza a sottrarre lato minore da lato maggiore.

Osserva e confronta i dati : è vero il teorema. Controlla variando anche la forma del triangolo.

Allegato 4 Problemi proposti

1) Sia ABC un triangolo isoscele di vertice C. Si consideri un punto E sul lato AC e un punto F sul prolungamento di CB dalla parte di B in modo che sia AE BF. Si indichi con T il punto di intersezione di EF con AB e sia R il punto in cui la parallela a CB per E interseca il lato AB. Dimostra che: a. Il triangolo AER è isoscele b. ER BF c. ERT TBF (triangoli)

2) Nel triangolo ABC sia BE la bisettrice dell’angolo in B; dal punto E (E AC) si conduca la parallela a BC che intersechi in D il lato AB. Dimostrare che BD è congruente a ED.

3) Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH l’altezza relativa ad AB. Prolunghiamo CH, dalla parte di H, di un segmento HD CH; dimostrare che la retta AC è parallela alla retta BD.


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Verifica proposta

Liceo scientifico L. da Vinci 9 maggio 2011

Nome e Cognome …………………………………………….. Classe …….

Vero o falso?

1. un invariante di una trasformazione può essere l’allineamento di punti 2. l’inversa di una trasformazione geometrica non è una trasformazione geometrica 3. una trasformazione geometrica è una funzione biunivoca tra punti del piano 4. una simmetria centrale non conserva le direzioni 5. la figura simmetrica di un quadrato rispetto al suo centro è il quadrato stesso 6. la simmetria assiale è una trasformazione involutoria 7. due figure congruenti sono anche isometriche 8. ogni isometria conserva il parallelismo 9. la composizione di due traslazioni è sempre una traslazione 10. data una traslazione, esiste sempre almeno un punto unito nella traslazione

V F

V F

V F

V F

V F

V F

V F

V F

V F

Test

Quali, fra i seguenti, sono invarianti per tutte le isometria

o la lunghezza dei segmenti o l’ampiezza degli angoli o le direzioni o l’incidenza tra le rette o l’orientamento delle figure o il parallelismo tra rette

La trasformazione composta di due isometrie è una isometria.

Completa gli enunciati dei seguenti teoremi:

T1) La trasformazione composta di due simmetrie assiali con assi paralleli è una ………………….. di

vettore ……………………..agli ……….. , con verso dal ……… al ……… asse, e modulo uguale al ……………….

della distanza tra gli assi.

T2) La trasformazione composta di due simmetrie assiali con assi incidenti in O è una …………………..

avente centro in …. e un ………………………., orientato dal primo al secondo asse, di ampiezza uguale

al ………………. dell’angolo formato dai due assi.


83

Esercizio 1

Esegui il seguente esercizio utilizzando geogebra e ricava opportune considerazioni

rispondendo alle domande

Disegna il triangolo ABC

Disegna il punto O esterno alla figura

Applica al triangolo ABC una simmetria centrale di centro O; sia A’B’C’ il triangolo trasformato

Disegna un nuovo punto O’

Applica al triangolo A’B’C’ una simmetria centrale di centro O’; sia A’’B’’C’’ il nuovo triangolo trasformato.

Esplora la situazione, usando la possibilità di trascinare i singoli punti ed i triangoli

Calcola le seguenti distanze:

_____

'OO = _____

''AA =

_____

''BB _____

''CC =

Scrivi le informazioni che puoi ricavare osservando la trasformazione che porta ABC in A’’B’’C’’.

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

Ora scrivi il teorema relativo alla trasformazione composta di due simmetrie centrali.

T3) ……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………….

Esercizio 2

Esegui il seguenti esercizio utilizzando geogebra e scrivi in modo dettagliato quali comandi hai usato per

fare la figura e verificare la richiesta

Disegna un triangolo isoscele ABC e prolunga la base AB di due segmenti AD e BE tra loro congruenti.

Verifica che i triangolo DAC e CBE sono tra loro congruenti.


84

TABELLA DI VALUTAZIONE DEI RISULTATI Prova

Voto finale Indicatori Sufficiente insufficiente

Conoscenze Vero o Falso

Test

T1

T2

40% 60%

Capacità di eseguire un

disegno date le istruzioni

Esercizio 1 100%

Capacità di fare

osservazioni e ricavare

informazioni dalla

costruzione fatta

Compilazione tabella

T3

35% 65%

Dato un testo visualizzare

la situazione con geogebra

Correzione durante

la prova del disegno

da effettuare

95% 5%

Capacità di descrivere in

modo dettagliato i

passaggi effettuati

Esercizio 2 : scrittura

dei comandi.

45% 55%


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Prof.ssa Cristina Piva Parallelogrammi, teoremi di Talete, Pitagora ed Euclide



86

Classe/i coinvolta/e Seconda sez.B ITA

Numero di alunni per classe 22

Periodo dell’anno (data inizio – data fine)

Da novembre a marzo

Numero unità orarie impiegate e loro consistenza (50, 60 min. etc.)

Circa 10 ore da 50 minuti

Argomenti trattati Caratteristiche del parallelogramma, tipi di parallelogramma, teorema di Talete, teorema di Pitagora, teoremi di Euclide, Soluzione grafica di sistemi lineari, equazione retta e parabola.

Modalità di lavoro

Lezione partecipata in aula di informatica con computer collegato al proiettore, esercitazioni singole e a coppie. Abbiamo verificato sperimentalmente alcuni degli argomenti affrontati in classe ed anche alcuni problemi che i ragazzi avevano dimostrato teoricamente.

Modalità di registrazione del lavoro da parte degli studenti

Assegnazione di schede con esercizi .

Eventuale compresenza di colleghi

Tipologia di verifica(scritta, orale, relazione a casa etc.) e tempo di somministrazione

Correzione da parte dell’insegnante dell’elaborato dello studente sulla chiavetta USB.

Esiti della verifica (in percentuale)

- Buono: 3

- Discreto: 14

- Sufficiente 4

- Insufficiente 1

Valutazione dell’attività (dal punto di vista dell’apprendimento, del coinvolgimento degli studenti e del gradimento… ) Aspetti critici, aspetti migliorabili …

Gli studenti hanno lavorato con impegno e passione. Il fatto di aver svolto parte del programma di geometria con GeoGebra ha favorito sicuramente l’apprendimento anche di contenuti teorici. L’uso del software non è stato per nulla difficoltoso, i ragazzi hanno quasi fatto a gara a chi imparava più velocemente. La loro è stata una competizione positiva, si sono infatti aiutati molto fra loro. Certo è il fatto che questo modo di operare implica tempo a disposizione e la possibilità di usare l’aula di informatica con una certa regolarità ( fatto non banale).

Elenco dei files allegati: schede di lavoro

esempi di file .ggb utilizzati o prodotti dagli studenti

eventuale descrizioni di percorsi

Ho pensato potesse essere utile inviarvi il contenuto della chiavetta USB di un ragazzo che dall’uso del software ha sicuramente avuto giovamento anche nell’apprendimento generale della matematica. E’ cambiato, infatti il suo atteggiamento.


87

Prof.ssa Anna Scialino Introduzione alla geometria euclidea



88

Insegno in una prima classe del Liceo delle Scienze applicate ( 1ASA) , in una prima del Liceo

delle Scienze Umane (1ASU) e in una prima del Liceo delle Scienze Umane indirizzo economico

(1BSE) e queste schede di lavoro e alcuni file prodotti da studenti vorrebbero essere la

esemplificazione di un pacchetto di dieci ore da proporre a studenti del Liceo delle Scienze

Umane e/o indirizzo economico.

Perché dieci ore e perché questa tipologia di Istituto? Perché il monte ore settimanale in questi

Licei è previsto in tre ore , il libro di testo di geometria non è stato adottato, l’utenza è debole

e ha , generalmente, difficoltà in matematica e di astrazione e al Dipartimento abbiamo deciso

che dieci ore erano il monte ore da dedicare a geometria per quest’anno scolastico.

Ho utilizzato alcune schede che avevo preparato per la classe 1ASA e mi sono servita dell’ora di

laboratorio come strumento per spiegare la teoria geometrica sperando che operare con un

programma come geogebra entusiasmasse maggiormente gli studenti rispetto a lezioni

frontali.

Devo dire che i ragazzi lavorano volentieri e sono contenti di usare uno strumento informatico; con queste classi la lezione diventa per l’insegnante un po’ pesante perché, essendo le classi numerose, non ho la postazione al proiettore e devo continuamente passare da un banco all’altro perché c’è sempre qualcuno che non ha capito quale comando utilizzare, qualcun altro che non segue la scheda….

Inoltre la lezione è vissuta come un bel momento più di divertimento che di conoscenza di nuovi contenuti. Lo studio è scarso e non prendono appunti e per questo sono stata costretta a fare una verifica sulle prime costruzioni che abbiamo affrontato. Questo atteggiamento è trasversale in tutti i corsi di studio.

La parte di geometria che intendo svolgere può così essere sintetizzata:

definizione di geometria; enti, enti primitivi; assiomi, definizioni, teorema

assioma di appartenenza e di ordine

definizione di segmento, segmenti consecutivi, adiacenti; poligonali

duplicazione di un segmento; punto medio di un segmento; costruzione di un punto equidistante dagli estremi di un segmento 8 costruzione dell’asse di un segmento)

definizione di angolo; classificazione di angoli; angoli concavi e convessi ; duplicazione di un angolo

costruzione della bisettrice di un angolo e notare che è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo

definizione di teorema e riconoscimento di ipotesi e tesi

costruzione di un triangolo isoscele e accenno ai teoremi relativi al triangolo isoscele

costruzione dei punti notevoli di un triangolo

criteri di congruenza dei triangoli ( con geogebra e senza la dimostrazione)

dimostrazione del teorema : in un triangolo l’angolo esterno è maggiore degli angoli interni non adiacenti ad esso

verificare con geogebra il teorema: in un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore

dimostrazione del teorema: in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due


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PRIME COSTRUZIONI CON GEOGEBRA

TRASPORTO DI UN SEGMENTO

Con il pulsante “Segmento tra due punti “ traccia il segmento AB: nella finestra Algebra ti compaiono come oggetti liberi il punto A , il punto B, mentre come oggetto vincolato compare il nome e la misura del segmento a disegnato.

Azionando il tasto” Muovi “ puoi modificare la lunghezza del segmento variando la posizione dell’estremo A oppure B

Per trasportare il segmento in modo che il nuovo segmento sia adiacente a quello appena disegnato:

seleziona il comando “Circonferenza di dato raggio e centro “ , clicca sul vertice B e inserisci come misura di raggio il segmento a.

Costruisci il segmento BC essendo C un punto della circonferenza tale che AC risulti il diametro della circonferenza; il nuovo segmento b che compare anche nella finestra Algebra è il segmento a trasportato( verifica che la misura di a e quella di b sono uguali)

Per trasportare il segmento in un generico punto del piano:

seleziona il comando “Circonferenza di dato raggio e centro “ , clicca su un punto generico del piano e inserisci come misura di raggio il segmento a.

Costruisci il segmento CD che è il raggio della circonferenza ma che è anche il segmento a trasportato.

A questo punto, spuntando sulla circonferenza della finestra Algebra non è più evidente la circonferenza e rimane solo il segmento trasportato

DUPLICAZIONE DI UN SEGMENTO

Con le stesse modalità illustrate sopra puoi duplicare il segmento a :nella circonferenza che disegni traccia il diametro che risulta essere la duplicazione del segmento a

DUPLICAZIONE DI UN ANGOLO

Traccia due semirette a, b aventi la stessa origine A ( ti compaiono i punti B e C) e misura con il pulsante apposito l’ampiezza dell’angolo BAC ( ricorda di digitare i vertici i senso antiorario)

Disegna la circonferenza di centro A e raggio AB : essa interseca le semirette dell’angolo in due punti di cui uno manca di nome: con il pulsante “ Intersezione tra due oggetti” determina il punto D

Traccia la circonferenza di centro D e raggio il segmento DB che avrai prima tracciato .

La nuova circonferenza interseca la prima in un punto che chiami E : traccia il segmento DE e misura l’ampiezza dell’angolo BED :essa risulta essere doppia rispetto a quella dell’angolo BAC

(ci possono essere errori di approssimazione nelle ultime cifre)


90

COSTRUZIONE DEL TRIANGOLO NOTI DUE VERTICI E IL BARICENTRO

Siano A e B i vertici del triangolo ABC e sia G il baricentro ( rinomini G il punto C). Traccia i segmenti AG e BG che rappresentano una parte delle mediane: poiché il baricentro di un triangolo divide le mediane in segmenti che stanno tra loro come…………………, per tracciare le mediane complete segui il procedimento seguente. Con il comando “ punto medio” determina il punto medio di AG (sarà D ) e di BG ( sarà E); con il pulsante terzultimo a partire da destra, linguetta “ simmetrico rispetto ad un punto” traccia il simmetrico di D e di E rispetto al baricentro G :troverai due punti D’ e E’. Traccia la semiretta AD’ e BE’ :esse s’intersecano in un punto che chiamerai C. Verifica che la mediana relativa al lato AB passi per il baricentro G.

COSTRUZIONE DELLE ALTEZZE DI UN TRIANGOLO

Con il comando “ poligono” disegna un triangolo ABC in modo che la base sia AB. Accanto ai lati del triangolo compariranno i loro nomi per cui il lato AC si chiama b . Disegna la circonferenza di centro C e raggio b : essa incontra la base in un punto che chiamerai D. Disegna la circonferenza di centro A e raggio b e la circonferenza di centro D e raggio b : esse s’incontrano in un punto che chiamerai E. Traccia la retta CE che incontra la base Ab in un punto che chiamerai H usando l’opzione “rinomina”. Verifica che gli angoli AHC e BHC sono retti. Dalla vista algebra spunta tutte le circonferenze: ti rimarranno i punti E,D e H:con il comando “segmento tra due punti” traccia l’altezza CH Costruiamo adesso l’altezza relativa al lato BC. Disegna la circonferenza di centro B e raggio a : essa incontra AC in un punto F( se non lo riesci ad individuare sposta il vertice C in modo che ci sia intersezione tra la circonferenza disegnata e il lato AC o il suo prolungamento ). Disegna le circonferenze di centro F e raggio a e quella di centro C e raggio a : esse s’intersecano in un punto G. Traccia la retta BG e verifica che sia perpendicolare al lato AC ( chiama con H1 l’intersezione tra la retta BG e il lato AC). Spunta tutte le circonferenze che hai disegnato e traccia l’altezza BH1. Costruiamo adesso l’altezza relativa al lato BC. Disegna la circonferenza di centro….e raggio c : essa interseca il lato BC (o il suo prolungamento) in un punto F. Disegna la circonferenza di centro F e raggio …, la circonferenza di centro B e raggio….: esse s’intersecano in un punto G. Traccia la retta AG e verifica che sia perpendicolare al lato BC. Traccia l’altezza AH2 essendo H2 il punto d’intersezione tra …. E…….. Chiama Ortocentro il punto d’intersezione delle tre altezze Osservazioni .

Con il tasto muovi prova a variare la posizione di un vertice del triangolo: sono sempre interne le altezze del triangolo? Esiste sempre il punto d’intersezione tra le tre altezze? Dove cade? La sua posizione varia al variare dell’ampiezza degli angoli?


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I CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

(Ipotenusa e cateto)

Costruisci una retta passante per due punti A B (a) Traccia la perpendicolare alla retta (a) passante per A(b) Fissa un punto C sulla retta perpendicolare (b) e disegna con il comando POLIGONI il triangolo rettangolo ABC Misura con il comando Distanza i lati del triangolo ABC Prendi un punto E esterno al triangolo e traccia una retta passante per E (d) Traccia la perpendicolare alla retta (d) passante per E(e) Traccia la circonferenza di centro E e raggio c ( cateto AB) e chiama F una delle intersezioni tra la circonferenza e la retta Traccia la circonferenza di centro F e raggio ipotenusa a1 e sia G l’intersezione questa circonferenza e la retta e. Costruisci il triangolo EGF e misurane, con il comando Distanza, i lati. Osserva che il nuovo triangolo è uguale al triangolo ABC e verifica con il comando Relazione tra due oggetti che i due triangoli sono uguali. (ipotenusa e un angolo acuto)

Costruisci una retta passante per due punti A B (a) Traccia la perpendicolare alla retta (a) passante per A(b) Fissa un punto C sulla retta perpendicolare (b) e disegna con il comando POLIGONI il triangolo rettangolo ABC Misura con il comando Distanza i lati del triangolo ABC Prendi un punto E esterno al triangolo e traccia una retta passante per E (d) Traccia la perpendicolare alla retta (d) passante per E(e) Traccia la circonferenza di centro E e raggio l’ipotenusa

PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO

ORTOCENTRO

Def. Si chiama ortocentro il punto d’incontro delle tre altezze di un triangolo Con il comando poligono disegna un triangolo qualsiasi ABC. Con il comando retta perpendicolare traccia da C la perpendicolare al lato AB :quest’ultimo viene intersecato nel punto D. Costruisci il segmento CD :esso è l’altezza relativa al lato AB. Con lo stesso procedimento traccia le altezze AE e BF. Noterai che le tre altezze s’incontrano in un punto che individuerai con il comando intersezione e che chiamerai ORTOCENTRO. Valuta se ci sono relazioni tra le lunghezze delle tre altezze, come variano al variare della tipologia del triangolo ABC ( con il tasto muovi prova ad alterare il triangolo ABC facendolo diventare acutangolo, rettangolo, isoscele, ottusangolo ).La posizione dell’ortocentro è Interna Esterna ( scrivi la tipologia del triangolo in cui si verifica che sia interno o esterno)


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INCENTRO

Def. Si chiama incentro il punto d’intersezione delle bisettrici relative agli angoli interni Con il comando poligono disegna un triangolo qualsiasi ABC. Con il comando bisettrice traccia le bisettrici dei tre angoli interni :esse s’intersecano in un punto che chiamerai INCENTRO. Con in comando retta perpendicolare traccia la perpendicolare condotta dall’incentro ai tre lati del triangolo e siano M, P, Q i punti in cui tali rette intersecano i lati AB,BC, AC rispettivamente. Determina, con il comando segmento, i segmenti INCENTRO-M, INCENTRO-P, INCENTRO-Q e determina la loro lunghezza. Cosa noti? Sia a il segmento INCENTRO-M, con il comando circonferenza di centro e raggio disegna la circonferenza di centro Incentro e raggio a : cosa noti? Ebbene, l’incentro è il centro della………………………………………………………………. Prova a far variare le dimensioni del triangolo ABC e vedi come varia la posizione dell’incentro BARICENTRO

Def. Si chiama baricentro il punto d’intersezione delle tre mediane di un triangolo Con il comando poligono disegna un triangolo qualsiasi ABC. Con il comando Punto medio determina i punti medi dei tre lati ( oppure serviti del procedimento imparato per determinare il punto medio di un segmento) e siano rispettivamente M ( punto medio di AB) ; P( punto medio di BC) e Q ( punto medio di AC). Traccia i segmenti CM, AP, BQ : essi s’intersecano in un punto che chiamerai BARICENTRO. Prova a muovere un vertice del triangolo ABC e vedi come varia la posizione del baricentro. Determina le lunghezze di Baricentro-A, Baricentro-B, Baricentro-C , Baricentro-P, Baricentro-Q, Baricentro-M : cosa noti ?

CIRCOCENTRO

Def. Si chiama circocentro il punto d’intersezione degli assi dei lati di un triangolo Con il comando poligono disegna un triangolo qualsiasi ABC. Con il comando Punto medio determina i punti medi dei tre lati ( oppure serviti del procedimento imparato per determinare il punto medio di un segmento) e siano rispettivamente M ( punto medio di AB) ; P( punto medio di BC) e Q ( punto medio di AC).Traccia le rette perpendicolari ad AB e passante per M, a BC e passante per P, ad AC e passante per Q. Esse s’incontrano in un punto che chiamerai CIRCOCENTRO. Determina la lunghezza del segmento Circocentro-A ( a), traccia la circonferenza di centro Circocentro e raggio a : cosa noti? Allora il circocentro è il centro……………………………………………………………….


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Prof.ssa Susan Veronesi Triangoli e quadrilateri con Geogebra



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I TRIANGOLI CON GEOGEBRA

Attività 1: classificazione dei triangoli in base ai lati.

Come ben sappiamo, i triangoli si classificano in base ai lati in triangoli scaleni, isosceli ed

equilateri: costruiamo i tre tipi di triangoli.

Triangolo scaleno:

Il triangolo scaleno è il più generico dei triangoli, quindi per disegnarlo basta disegnare 3

punti e congiungerli;

Triangolo isoscele:

1. Disegna la base AB ed il suo asse (con il comando apposito);

2. Sull’asse scegli un punto C, che sarà il terzo vertice del triangolo.

3. Traccia il poligono ABC e misurane gli angoli: che cosa osservi?

Osserva inoltre che se muovi i punti A, B o C, la figura continua ad essere un triangolo

isoscele.

Triangolo equilatero:

1. Disegna la base AB;

2. Utilizzando il compasso, disegna la circonferenza di raggio AB e centro A;

3. Analogamente, disegna la circonferenza di raggio AB e centro B;

4. Il punto di intersezione delle due circonferenze è il terzo vertice C del triangolo.

5. Traccia il poligono ABC e nascondi la costruzione mediante la Vista Algebra

6. Misura gli angoli del triangolo ABC: che cosa osservi? Sai spiegarti il perché?

Osserva inoltre che se muovi i punti A, B o C, la figura continua ad essere un triangolo

equilatero.

Il triangolo equilatero, essendo un poligono regolare (ovvero un poligono con tutti i lati e gli

angoli congruenti), può essere disegnato anche mediante il l’opzione apposita: dopo aver

disegnato due punti nel piano (che danno la misura del lato) si apre una finestra in cui

viene richiesto il numero di lati del poligono desiderato, in questo caso 3.

Attività 2: classificazione dei triangoli in base agli angoli.

Come ben sappiamo, i triangoli si classificano in base agli angoli in triangoli acutangoli,

ottusangoli e rettangoli: costruiamo i tre tipi di triangoli.

Triangolo acutangolo:

Disegna 3 punti e congiungili in modo che gli angoli risultanti del poligono siano tutti acuti.

Triangolo ottusangolo:

Disegna 3 punti e congiungili in modo che uno degli angoli risultanti del poligono sia ottuso.

Triangolo rettangolo:

1. Disegna il segmento AB: vogliamo costruire un triangolo rettangolo con angolo retto

in A.

2. Traccia la perpendicolare passante per A al segmento AB; su tale perpendicolare,

scegli un punto C e congiungilo con B.

3. Traccia il poligono ABC e nascondi la costruzione mediante la Vista Algebra.

4. Misura gli angoli A, B e C: che cosa osservi? Come si definiscono fra di loro gli angoli

B e C?


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Attività 3: punti notevoli dei triangoli.

1. Disegna un triangolo ABC qualsiasi.

2. Per ogni angolo del triangolo, traccia le bisettrici (mediante l’apposito comando); le 3

bisettrici si incontrano in un punto I comune detto……………………………..……….

3. Su di un secondo triangolo DEF, traccia ora le mediane relative ad ogni lato (per farlo,

dovrai prima disegnare il punto medio di ogni lato….). Le 3 mediane si incontreranno in

un punto B detto ……………………………………………………………..

4. Disegna ora un nuovo triangolo e rinomina i vertici con le lettere RST; traccia la

perpendicolare passante per R al segmento ST, la perpendicolare passante per S al

segmento RT, la perpendicolare passante per T al segmento SR. Le tre perpendicolari

rappresentano le ……………………………………… del triangolo RST; esse si incontrano in un

punto comune detto………………………………

Prova ora a spostare i vertici R, S o T del triangolo: che cosa osservi? Succede lo stesso

per i triangoli precedentemente costruiti ABC e DEF?

ESERCITAZIONE SUI TRIANGOLI

1. Sui prolungamenti della base AB di un triangolo isoscele ABC si considerino due segmenti

congruenti AD e BE che giacciono sulla retta che passa per A e B. Verificare che il triangolo

DEC è isoscele.

2. Siano AH e BK le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele ABC. Verificare che

CK = CH.

3. Si prolunghi la mediana AM di un triangolo ABC di un segmento ME = AM. Verificare che i

segmenti AC e BE risultano congruenti.

4. Sui prolungamenti dei lati AC e CB di un triangolo isoscele ABC si considerino

rispettivamente i segmenti AD e BE tra loro congruenti. Detto N il punto di intersezione dei

segmenti AD e AE, si verifichi che il triangolo ANB è isoscele.

5. Dato il triangolo equilatero ABC, sui prolungamenti dei lati AB, BC, CA si prendano, sempre

nello stesso senso, tre segmenti BD, CE, AF congruenti fra loro. Verificare che il triangolo FDE

è equilatero.

6. E’ dato il triangolo ABC. Si prolunghi AC, dalla parte di C, di un segmento CE=CB; si

prolunghi poi CB, dalla parte di C, di un segmento CF=CA. Verificare che i segmenti FE ed AB

sono congruenti.


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I QUADRILATERI PARTICOLARI CON GEOGEBRA

Attività 1: costruzione di un parallelogramma.

1. Disegna un segmento AB ed un punto C esterno: vogliamo costruire un

parallelogramma di lati AB e BC (che quindi va tracciato)

2. Traccia le parallele ad AB per C ed a BC per A: chiama D il loro punto di intersezione;

3. Traccia il poligono ABCD: esso è un parallelogramma anche se lo modifichi trascinando

i punti base A, B o C

4. A questo punto puoi nascondere le rette costruite in precedenza utilizzando la Vista

Algebra

5. Puoi misurare i lati opposti: che cosa osservi?

6. Disegna le diagonali: se misuro le parti in cui si tagliano l’una con l’altra cosa succede?

Misura gli angoli opposti, cosa ottieni?

Attività 2: costruzione di un rettangolo.

1. Disegna un segmento AB ed un punto C esterno; per esso traccia la parallela ad AB;

2. Traccia quindi le perpendicolari ad essa per A e per B e chiama F ed E i punti ottenuti;

3. Il poligono ottenuto ABEF è un rettangolo: disegna e misura le due diagonali: cosa

osservi?

Attività 3: costruzione di un rombo.

1. Per la costruzione del rombo bisogna partire dalle due diagonali che sono fra loro

perpendicolari e si tagliano scambievolmente a metà; per tale motivo, disegna un

segmento AB e l’asse del segmento;

2. Sull’asse scegli un punto C; chiama inoltre O il punto di intersezione delle due

diagonali;

3. Tramite il compasso, disegna la circonferenza di raggio CO e centro O: chiama D il

punto di intersezione della circonferenza con l’asse del segmento AB;

4. Traccia il poligono ABCD: esso è un rombo anche se lo modifichi trascinando i punti

base A, B o C.

Attività 4: costruzione di un quadrato.

1. Partendo dalla costruzione del rettangolo e tenendo presente la definizione di quadrato

………………

2. Il quadrato è un poligono regolare; può essere quindi costruito semplicemente con

GeoGebra utilizzando l’opzione apposita: dopo aver disegnato due punti nel piano (che

danno la misura del lato) si apre una finestra in cui viene richiesto il numero di lati del

poligono desiderato, in questo caso 4.

Attività 5: costruzione di un trapezio.

Prima di cominciare dai la definizione di trapezio e indica quali tipi di trapezio conosci.

1. Disegna un segmento AB ed un punto D esterno: vogliamo costruire un trapezio di base

AB e lato AD;

2. Traccia il segmento AD e la parallela ad AB per D;

3. Su tale retta prendi un punto C (in modo che il trapezio non sia intrecciato e congiungi

B con C);


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A questo punto se muovi i punti A,B,C e D la figura si trasforma mantenendo però il

parallelismo fra le basi (e rimanendo perciò un trapezio, eventualmente intrecciato).

Di esso si possono misurare i segmenti AB, AD, BC che sono stati costruiti, per la lunghezza

invece di DC si deve misurare la distanza fra D e C selezionando nell’ordine i due punti.

L’area del poligono non si può misurare fino a quando il poligono non è stato definito

costruendolo utilizzando i quattro punti presenti.

Attività 6: costruzione di un trapezio isoscele.

1. Disegna un segmento AB ed un punto D esterno: vogliamo costruire un trapezio di base

AB e lato AD;

2. Traccia il segmento AD e la parallela ad AB per D;

3. Traccia ora la circonferenza di raggio AD e centro B con il compasso: il punto di

intersezione fra la retta per D e la circonferenza (quello più vicino a D) sarà C, il quarto

vertice del triangolo isoscele;

4. Traccia il poligono ABCD;

Osserviamo che questa volta C è vincolato da due fattori: la misura di AD e la retta, quindi ha

zero gradi di libertà.

Attività di approfondimento.

1. Costruisci un quadrilatero qualsiasi ed unisci i punti medi dei suoi lati: ciò che si ottiene

è sempre un ………………………………………….

2. Costruisci un rombo con le diagonali della stessa lunghezza: che cosa osservi? Prova a

spiegare il perché………………………………………………………………………………………………………………….

ESERCITAZIONE SUI QUADRILATERI

1. Dato il triangolo ABC si prolunghi il lato AB, dalla parte di A, di un segmento AD=AB e il

alto AC, dalla parte di A, di un segmento AE=AC. Verificare che gli angoli opposti del

quadrilatero BCDE sono congruenti.

2. Disegna un parallelogramma ABCD e traccia le bisettrici degli angoli interni DAB e ABC. Esse

s’incontrano in E. Verifica che l’angolo AEB è retto.

3. Verificare che le bisettrici degli angoli di un parallelogrammo formano un rettangolo.

4. Verificare che congiungendo i punti medi dei lati di un rettangolo si ottiene un rombo.

5. Disegna un rombo ABCD e le sue diagonali, traccia per ogni vertice la parallela alla

diagonale opposta. Le quattro rette s’incontrano a due a due nei punti M, N, E, F. Verifica che

MNEF è rettangolo.


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Prof.ssa Tiziana Zambonato Geometria del piano



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Classe/i coinvolta/e PRIMA LICEO SCIENTIFICO

Numero di alunni per classe

16

Periodo dell’anno (data inizio – data fine)

Metà gennaio- febbraio- marzo

Numero unità orarie impiegate e loro consistenza

10 unità da 50 minuti

Argomenti trattati Geometria del piano

Modalità di lavoro Ogni studente ha lavorato individualmente alla sua postazione al PC in aula

informatica.

Modalità di registrazione del lavoro da parte degli studenti

Agli studenti, ogni volta è stata assegnata una scheda con la richiesta di

un'esercitazione che ha consentito di verificare sul piano pratico le proprietà

delle figure. Lo studente stampava l' esercitazione e a fianco riportava la

relativa dimostrazione teorica del teorema e rispondeva alle domande.

Tipologia di verifica (scritta, orale, relazione a casa etc.) e tempo di somministrazione

Ogni elaborato è stato valutato attribuendo un voto sia alla parte relativa

all'uso di geogebra sia alla parte della dimostrazione.

Esiti della verifica

(in percentuale)

- Buono: 3

- Discreto: 8

- Sufficiente 5

- Insufficiente 0

Valutazione dell’attività (dal punto di vista dell’apprendimento, del coinvolgimento degli studenti e del gradimento…) Aspetti critici, aspetti migliorabili …

Il programma ha aiutato gli studenti a capire i ragionamenti logici, a costruire figure geometriche imponendo caratteristiche iniziali riconducibili alle ipotesi e utilizzando le funzionalità del programma, a vedere che anche se le figure cambiano forma le proprietà restano e che esse costituiscono la tesi. E' stato introdotto l'uso di geogebra dopo aver già trattato la parte riguardante i triangoli e il parallelismo. Se da un lato per gli studenti questo è stato un vantaggio perché il programma ha permesso di verificare le proprietà e ripetere le dimostrazioni, dall'altro inizialmente li ha disorientati nelle consegne, perché abituati all'astrazione e a non lavorare più in geometria con i numeri.

Elenco dei files allegati:

schede di lavoro

esempi di file .ggb utilizzati o prodotti dagli studenti

eventuale descrizioni di percorsi

1^ e 2^ lezione Possibilità offerte dal programma. I comandi della barra degli strumenti e loro funzionamento 3^ lezione Costruire un triangolo dati due lati e l'angolo tra essi compreso. Quale criterio di congruenza dei triangoli rappresenta? Costruire un triangolo dati i tre lati. Quale criterio di congruenza dei triangoli rappresenta?


100

Dimostra il terzo criterio di congruenza dei triangoli. 4^ lezione Disegna un triangolo isoscele ABC di vertice C. Traccia le mediane relative ai lati congruenti AD e BE. Verifica che : a) tali mediane sono congruenti; b) che i triangoli ADB e AEB sono congruenti; c) indicata con O il punto di intersezione di AD con BE, verifica che la semiretta CO è perpendicolare alla base AB e la interseca nel punto medio. Enuncia quali criteri dei triangoli e quali proprietà dei triangoli isosceli hai usato. 5^ lezione Dato il triangolo ABC. Misura l'angolo esterno CBD e confrontalo con l'angolo A: Traccia un segmento parallelo al lato AC, passante per B e verifica quanto misura l'angolo CBD. Dimostra il teorema dell'angolo esterno. 6^ lezione Disegna un triangolo ABC. Misura i suoi lati e angoli. Cosa puoi dire? Dimostra il teorema : a lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore e viceversa. 7^ lezione Disegna due angoli opposti al vertice. Disegna le bisettrici degli angoli. Come sono gli angoli? Dimostra che gli angoli opposti al vertice sono congruenti . Dimostra che le bisettrici degli angoli opposti al vertice sono perpendicolari 8^ lezione Disegna un segmento e l'asse del segmento. Prendi dei punti qualsiasi sull'asse e collegali con gli estremi del segmenti e poi misurali. Cosa puoi concludere? Fai la dimostrazione. Disegna un angolo e la sua bisettrice. Prendi dei punti qualsiasi sulla bisettrice e traccia le distanze dai punti ai lati dell'angolo. Cosa puoi concludere? Fai la dimostrazione. 9^ lezione Disegna un triangolo equilatero. Traccia per i vertici del triangolo le parallele ai lati e verifica che esse individuano ancora un triangolo equilatero. Si conduca la bisettrice AD dell'angolo A di un triangolo qualsiasi ABC. Per un punto qualunque M del lato AC si conduca la parallela alla bisettrice AD che incontri il prolungamento del lato AB nel punto P. Verificare che il triangolo AMP è isoscele. Enuncia e dimostra quali teoremi del parallelismo hai usato? 10^ lezione Disegna un triangolo qualsiasi. Congiungi i punti medi di due lati del triangolo. Verifica che il segmento è parallelo al terzo lato ed è la metà di esso. Per la dimostrazione traccia le parallele agli altri due lati passanti per i punti medi e considera i triangoli che si formano....... Come sono i triangoli?

Gruppo Funzioni

101

Gruppo funzioni

Proff. Alessandra Burattini e Clara Delpero Grafici di Funzione


Gruppo Funzioni

102

Obiettivo: Verificare se il grafico assegnato rappresenta una funzione

Procedura

1. Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica del tuo grafico

Es. A ) digitando: ”x^2+y^2=25”

2. Digita nella barra di inserimento l’equazione della retta parallela all’asse y, x=K con K qualsiasi

Sia ad esempio K=3. Selezionala con il tasto dx e colorala di blu.

3. Ora utilizzando il pulsante “muovi” puoi controllare quante intersezioni ha il grafico con la

retta verticale. OSS: Puoi muovere alternativamente sia la retta che il grafico

4. Se vuoi, puoi, con l’apposito pulsante indicare il/i punto/i di intersezione tra la retta parallela

all’asse y e il grafico disegnato (secondo pulsante della barra degli strumenti).

5. Il grafico rappresenta una funzione?.....................................................

6. Ricorda! Affinché un grafico rappresenti una funzione l’intersezione tra la retta verticale ed il

grafico deve essere una sola!!

7. Clicca sul grafico e sulla retta con il tasto dx e deseleziona mostra oggetto. La vista grafica sarà

così vuota e pronta per un nuovo esercizio

8. Ripeti i passi da 1 a 4 per il grafico:

Es. B) digitando “ y=x^2 ”

9. Il grafico rappresenta una funzione?.....................................................

Esercizio: Traccia i grafici

C) 1169

22

yx

D) 1169

22

yx

E) 342 yx F) 032 2 xy

Quali rappresentano una funzione?.....................................................

10. Riesci a individuare due curve che si comportano analogamente a quelle degli esempi A e B?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Gruppo Funzioni

103

Obiettivo: Verificare se la funzione assegnata è iniettiva

Procedura

1. Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica della tua funzione

Es. A ) digitando: ”y=x^3”

2. Digita nella barra di inserimento l’equazione della parallela all’asse x, y=K con K qualsiasi Sia

ad esempio K=3. Selezionala con il tasto dx e colorala di blu.

3. Ora utilizzando il pulsante “muovi” puoi controllare quante intersezioni ha il grafico con la

retta orizzontale. OSS: Puoi muovere alternativamente sia la retta che il grafico

4. Se vuoi, puoi, con l’apposito pulsante indicare il/i punto/i di intersezione tra la retta parallela

all’asse x (retta orizzontale) e la funzione disegnata (secondo pulsante).

5. Il grafico rappresenta una funzione iniettiva?.....................................................

6. Ricorda! Affinché una funzione sia iniettiva l’intersezione tra la retta orizzontale ed il grafico

della funzione deve essere una sola!!

7. Clicca sul grafico e sulla retta con il tasto dx e deseleziona mostra oggetto. La vista grafica sarà

così vuota e pronta per un nuovo esercizio

8. Ripeti i passi da 1 a 4 per il grafico:

Es. B) digitando “ y=x^2 ”

9. Il grafico rappresenta una funzione iniettiva?.....................................................

Esercizio: Traccia i grafici

C) 123 xxy D) 3

2

x

xy E) 342 yx F) 45 24 xxy

Quali rappresentano una funzione iniettiva?.....................................................

11. Riesci a individuare due curve che si comportano analogamente a quelle degli esempi A e B?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

NB! Se, per ogni punto di intersezione si chiede di mostrare traccia sul foglio di calcolo, il foglio mostrerà che per 2 valori diversi della x si hanno 2 valori uguali di y ( nel caso della parabola ovviamente!)

Gruppo Funzioni

104

Obiettivo: Individuare il dominio ed il codominio

Procedura

1. Sia A un punto sull’asse x (vincolato) 2. Digitare nella barra di inserimento x_A=x(A) INVIO 3. Digitare nella barra di inserimento f_A=x_A^2 INVIO (questa espressione rappresenta

l’equazione analitica della funzione y=x^2) 4. Digita nuovamente nella barra di inserimento B=(0,f_A) 5. Nella finestra traccia ora la retta passante per B parallela all’asse x (retta ) 6. Nella finestra traccia ora la retta passante per A parallela all’asse x (retta ) 7. Con l’apposito pulsante evidenzia il punto di intersezione P tra la retta e la retta

8. Con il pulsante destro su A, poi su B ed infine su P chiedi “mostra traccia attiva”

9. Seleziona un colore diverso per ogni traccia.

10. La traccia di A rappresenta l’insieme del ……………………………..

11. La traccia di B rappresenta l’insieme del ……………………………..

12. La traccia di P rappresenta la dipendenza y=f(x) ovvero …………………

13. Si può rifare la stessa procedura su un altro tipo di funzione (per es. un’iperbole) oppure

modificare la funzione inserita inserendone un’altra direttamente nel riquadro Vista algebra

ES: f_A=

Rappresentazione del grafico utilizzando il foglio di calcolo

(materiale del corso)

Esempio: sequenza di punti da -5 a 5 con passo 0.25

1. Visualizza vista foglio di calcolo

2. Nella cella A1 digitare -5

3. Nella cella A2 digita -4.75

4. Trascinare in basso fino a cella in cui compare 5

5. Cella B1 digitare =A1^2 ( )

6. Trascina in basso fino alla corrispondente cella A……

7. Seleziona le celle da A1 a B……..

8. Pulsante dx del mouse, opzione “crea lista di punti”

per evitare le etichette su ogni punto: menu opzioni e disattiva etichettatura per nuovi

oggetti

Gruppo Funzioni

105

Grafici di funzioni

In uno stesso piano cartesiano:

1. Traccia il grafico della funzione definita su un intervallo 2,00,2 1

)(2

xconx

xf

[Procedura] Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica della )(xf come segue: f(x)=

funzione[1/(x^2),-2,2]

2. Traccia il grafico della funzione definita per casi:

1

1 1

)(2 xsex

xsexxg

[Procedura] Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica della )(xg come segue: g(x)= Se[x<=-1,1/x,x^2]

3. Traccia il grafico della funzione definita per casi:

3per 3

31per

1per 2

)(

x

xx

x x

xh

[Procedura] Digita nella barra di inserimento l’espressione analitica della )(xh come segue: h(x)= Se[x<-1,-x-2, Se[x

< 3, x, 3]]

NB: Per analizzare separatamente i tre grafici puoi cliccare sul grafico col dx e deselezionare mostra

oggetto.

ESERCIZIO: Tracciare il grafico delle funzioni xxxf 2)( 21 (analogo al terzo caso)

Solo successivamente puoi confrontare il grafico con quello che si ottiene digitando nella barra di inserimento la funzione h(x)= abs(x^2-2x)

◊ x

xf

1

1)(2

Analisi del comportamento : continuità

NB: nel retro trovi una tabella che ti spiega l’utilizzo dei comandi di questa scheda.

Aiutandoti con il grafico, individua gli eventuali punti di discontinuità di ciascuna delle precedenti

funzioni e analizza il comportamento delle medesime in un intorno di tali punti.

Analisi del comportamento della funzione definita per casi:

3per 3

31per

1per 2

)(

x

xx

x x

xh

in un intorno di x = 3.

Gruppo Funzioni

106

[Procedura per determinare il limite sinistro]

1. Nella barra Inserimento, digitare l’espressione analitica della )(xh come segue:

h(x)= Se[x<-1,-x-2, Se[x < 3, x, 3]]

2. Barra degli strumenti Penultima icona Slider Click con sx del mouse nella vista grafica

Definire i parametri: Min - Max - Incremento dello slider numerico a - colore rosso

3. Nella barra Inserimento, digitare P = (a, h(a))

4. Click con dx sul punto P Impostare il Colore rosso

5. Click con dx sul punto P Impostare “mostra traccia attiva”

6. Animare lo slider a

7. Dal menù Visualizza Vista foglio di calcolo

8. Click con dx sul punto P Impostare “traccia sul foglio di calcolo”

A quale valore tende la funzione per x che tende a 3 da sinistra? ………………………………..

Suggerimento: Nella barra Inserimento, digitare y_P = y(P) , e notare che ……………………..

[Procedura per determinare il limite destro]

Ripetere i punti da 2 ad 8, definendo uno slider b di colore blu. Come punto, scegliere il punto Q.

A quale valore tende la funzione per x che tende a 3 da destra? ………………………………..

Suggerimento: Nella barra Inserimento, digitare y_Q = y(Q) , e notare che ……………………..

Il valore della funzione in 3 è …………………….. uguale ai limiti dx e sx.

La funzione è quindi ……………………………… in x = 3.

Gruppo Funzioni

107

Comandi utilizzati

SCOPO COMANDO SIGNIFICATO

Disegnare il grafico di

una funzione

Nella barra Inserimento, digitare:

h(x)= Se[x<-1,-x-2, Se[x < 3, x, 3]]

Crea la funziona h(x), e ne

disegna il grafico

Visualizzare il limite sx

di una funzione in un

punto.

Barra degli strumenti Penultima icona Slider Click

con sx del mouse nella vista grafica

Per avere a disposizione un parametro a che varia da 2 a 3

con incremento 0.01 , impostare i seguenti comandi:

Dalla scheda Animazione, si può scegliere il verso

dell’animazione dello slider (verticale o orizzontale)

Permette di definire un

parametro variabile

(numero o angolo) in un

determinato intervallo min

max con un dato

incremento. Utilizzeremo

il parametro definito dallo

slider per costruire un

punto mobile che simuli il

comportamento della

funzione in un intorno di

un dato valore di x.

Disegnare un punto su un

grafico, vincolandolo al

movimento di uno slider

Nella barra Inserimento, digitare P = (a, h(a))

Il punto P appartiene al

grafico della funzione h(x)

e le sue coordinate sono

correlate al movimento

dello slider a

Eliminare animazioni

precedenti

Dal menù Visualizza Aggiorna Videata

(oppure, CTRL + F) Aggiornare la videata

ESERCIZIO 1: Analizza il comportamento della funzione h(x) in un intorno di x=-1

ESERCIZIO 2: Classifica le discontinuità delle funzioni studiate nella precedente

scheda:

◊ 2,00,2 1

)(2

xconx

xf

◊

1

1 1

)(2 xsex

xsexxg

Gruppo Funzioni

108

Proff. Claretta Carrara e Michela Pagliacci Funzioni e coniche


FUNZIONI CON L’AIUTO DI GEOGEBRA

Introduzione

In classe abbiamo lavorato sulle funzioni studiandone diverse caratteristiche: immagine, simmetria pari odispari, iniettivita, suriettivita; composizione di funzioni e funzione inversa; equazioni delle trasformazioni esimmetrie rispetto a rette orizzontali; verticali e bisettrici dei quadranti; dal grafico di f(x) dedurre quello di

|f(x)|, di −f(x),1

f(x). Ci siamo esercitati sulla realizzazione dei grafici di funzioni definite per casi (anche per

approfondire il concetto di immagine di un elemento del dominio) e come caso particolare il valore assoluto.Abbiamo quindi lavorato all’applicazione di questi concetti alla risoluzione grafica di equazioni razionali edirrazionali, utilizzando anche lo studio delle coniche.

Gli studenti non avevano mai lavorato con GeoGebra, quindi sono state fornite anche indicazioni elementariper l’approccio al programma.

Naturalmente le schede di lavoro sono solo delle tracce per alcuni esercizi. In laboratorio gli esercizi sonostati integrati con altri suggerimenti circa i comandi di GeoGebra, con altri esempi e con osservazioni anchedi carattere matematico teorico. Alcuni studenti hanno inoltre personalizzato l’esecuzione arricchendo larappresentazione grafica e la visualizzazione dei risultati.

109

Gruppo funzioni

Geogebra: funzioni - scheda di lavoro 1 -

Esercizio 1. Inventa, se esiste, un polinomio p(x) di quarto grado che abbia

• Nessuno zero• Uno zero• Due zeri• Tre zeri• Quattro zeri• Cinque zeri

Ne sai inventare piu di uno significativemente differenti?Risolvi poi algebricamente le equazioni e disequazioni associate: p(x) = 0, p(x) > 0, p(x) < 0.

Esercizio 2. Utilizzando GeoGebra rappresenta graficamente i polinomi da te inventati nell’esercizio prece-dente. Cosa puoi osservare riguardo alla risoluzione delle equazioni e disequazioni associate?

Nota tecnica. Per rappresentare le funzioni puoi:

• Scrivere nella barra di inserimento: p(x) = . . .

• Scrivere nella barra di inserimento: y = . . .

Esercizio 3. Utilizzando GeoGebra rappresenta graficamente la funzione polinomiale f(x) = x3−x2+x+2e risolvi, approssimativamente, la disequazione x3 − x2 + x+ 2 ≥ 0.

Se non avessi a disposizione un software che rappresenta funzioni, in quale altromodo potresti procedere?Rappresenta nello stesso piano di f le funzioni g(x) = x3 e h(x) = x2 − x − 2, cosa che sapresti fare anchesenza l’ausilio di un software. Per non creare troppa confusione, colora in maniera differente i grafici:

Nota tecnica.

• Traccia il grafico.• Posizionato sul grafico, scegli con il tasto destro del mouse proprieta.• In questo modo, oltre a cambiare colore, puoi variare lo spessore della linea ed altre opzioni.• Con il tasto destro del mouse puoi anche cambiare il nome agli oggetti inseriti.

A questo punto puoi osservare l’equivalenza

x3 − x2 + x+ 2 ≥ 0 ⇔ x3 ≥ x2 − x− 2

f(x) ≥ 0 ⇔ g(x) ≥ h(x)

e notarne l’interpretazione grafica.

Esercizio 4. Vediamo un altro modo per tracciare il grafico di una funzione, per esempio y = x2, decisamentepiu complicato, ma utile in qualche occasione. Innanzitutto si tratta di costruire uno slider, cioe un parametrovariabile.

Nota tecnica per la costruzione di uno slider.

• Scegli dalla seconda icona da destra l’opzione slider .• Posizionati in un punto qualsiasi del piano; questo fa apparire una finestra in cui scegli numero, ilnome del parametro e l’intervallo di variabilita del parametro. Per il momento lascia tutto invariatoe scegli applica. Questo fa apparire un segmento nel piano e a = . . . nella finestra algebrica tra glioggetti liberi.

• Nella barra di inserimento digita P = (a, a2) (ricorda la virgola come separatore tra le coordinate delpunto). Questo fa apparire un punto P nel piano.

• Scegli la prima icona a sinistra e muovi il puntino sullo slider. Questo fa muovere P nel piano.• Per capire meglio come si muove P nel piano, posizionati su P e con il tasto destro scegli lascia tracciaattiva. Cosa succede ripetendo l’operazione precedente?

Per capire bene la situazione, traccia il grafico di y = x2.Se sullo slider con il tasto destro del mouse scegli proprieta puoi cambiare alcune opzioni dello slider.

110

Gruppo funzioni

Esercizio 5. Data una funzione f(x) ed una retta r, vediamo come tracciare il grafico della funzione sim-metrica a f rispetto a r.

• Traccia f(x) = x3 + 1 e y = x.• Dalla seconda icona scegli nuovo punto e posizionati in un punto della funzione. Questo fa appariresul grafico di f un punto A.

• Dalla terza icona scegli simmetrico rispetto a una retta. Seguendo le istruzioni che appaiono a destra,posizionati prima su A e poi sulla retta r. Questo fa apparire un nuovo punto A′, simmetrico di Arispetto a r. Cosa puoi notare, in questo caso, rispetto alle coordiante di A e di A′?

• Posizionati sulla prima icona, quindi su A e fallo muovere. Questo fa muovere anche il punto A′.• Se, come nell’esercizio precedente, scegli per A′ l’opzione lascia la traccia attiva, ottieni in sostanzail grafico della funzione simmetrica a f rispetto a r.

• Per migliorare il grafico puoi:– Dalla quarta icona scegli luogo.– Seguendo le istruzioni che appaiono a destra, posizionati prima su A′ e poi su A. Questo fa

apparire il grafico della funzione simmetrica a f rispetto a r.

In maniera del tutto analoga puoi costruire il grafico simmetrico rispetto ad un punto. Per esempio tracciail grafico simmetrico ad f rispetto al punto P (1; 2). L’unica differenza e la scelta dell’opzione simmetricorispetto ad un punto.

Qual e il problema di queste costruzioni?

111

Gruppo funzioni


Esercizio 1. Data una funzione f(x), allora

• f(x) e pari sse f(−x) = f(x),• f(x) e dispari sse f(−x) = −f(x),

In alternativa si puo dare la seguente definizione Data una funzione f(x), allora

• f(x) e pari sse il grafico di f(x) e simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.• f(x) e dispari sse il grafico di f(x) e simmetrico rispetto all’origine.

Stabilisci, con carta e penna utilizzando la prima definizione, se le seguenti funzioni sono pari o dispari

f1(x) =x2 + 1

2x2 − 5

f2(x) = x3 − 4x+ 1

f3(x) = x3 − 5x

f4(x) =x3 − x

x2 + 1

f5(x) =x3 − x

x3 + 2x

Stabilisci poi con GeoGebra, utilizzando la costruzione del grafico simmetrico vista nell’esercizio precedente,se i risultati corrispondono in base alla seconda definizione.

Esercizio 2. Data f(x) = 2x + 1, traccia con GeoGebra il grafico della funzione simmetrica rispetto allabisettrice del I e III quadrante. Cosa ottieni? Se si tratta di una funzione sai stabilirne l’equazione? Cosahai notato rispetto alle coordinate del generico punto A di f e del suo punto simmetrico A′. Sai scrivere leequazioni della trasformazione effettuata?

Ripeti l’operazione precedente con la funzione f(x) = x2.

Esercizio 3. Con GeoGebra si possono anche tracciare i grafici di funzioni definite solo su un determinatodominio, oppure di funzioni definite per casi. Basta utilizzare la funzione se che ha la seguente struttura:

se[ condizione , allora, altrimenti ]

Ad esempio per tracciare il grafico della funzione

f : D = [−1; 4] → R

x → 3x− 1

cioe della funzione f(x) = 3x− 1, definita pero solo sul Dominio [−1; 4], basta digitare nella barra:

se[x >= −1 && x <= 4, 3x− 1]

Analogamente per tracciare il grafico della funzione

g(x) =

{

x2 − 1 se x < 1

x+ 1 se x ≥ 1

basta digitare nella barra:

se[x < 1 , 3x− 1, x+ 1]

Prova a tracciare il grafico della funzione

h(x) =

x2 − 1 se x < 1

x+ 1 se 1 ≤ x < 4

3 se x ≥ 4

Come puoi segnalare sul grafico in quale estremo e contenuto l’uguale?Traccia poi delle rette verticali nei possibili punti di discontinuita: x = 1 e x = 4.

Esercizio 4. Dopo avere tracciato il grafico della funzione h(x) dell’esercizio precedente, determina:

112

Gruppo funzioni

• Le immagini di −3, 1, 2, 4, 6.• Le controimmagini di −2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

In entrambi i casi puoi aiutarti con il grafico e, se necessario, risolvere poi algebricamente le equazioniopportune.

Si ricorda che, data f : D → C, dove con D e C indichiamo rispettivamente il dominio e codominio dellafunzione, abbiamo le seguenti definizioni di immagine e controimmagine:

• Immagine.

Dato a ∈ D, l’immagine di a e quell’unico b ∈ C tale che f(a) = b.

L’immagine di f e l’insieme Imm(f) = {b ∈ C| esiste a ∈ D, con f(a) = b} ⊆ C

L’immagine di un elemento del dominio e quindi un elemento del codominio, mentre l’immaginedella funzione e un sottoinsieme del codominio.

• La controimmagine di un elemento b ∈ C e l’insieme formato da tutti gli elementi a del dominioD, tali che f(a) = b:

f−1(b) = {a ∈ D | f(a) = b}La controimmagine di un elemento puo quindi essere un insieme vuoto, un insieme formato da unnumero finito di elementi o formato da infiniti elementi.

Esercizio 5. Ritorniamo alla funzione f(x) = x2 e alla sua simmetrica rispetto alla retta y = x.

• Come puoi modificare il dominio di f in modo che anche anche il grafico della curva simmetricarappresenti una funzione g? Qual e l’immagine Imm(f) di f?

• Quali sono le equazioni della trasformazione? Tramite questa, e con l’aiuto del grafico tracciato,ricava l’equazione di g.

• Che relazione c’e tra il dominio di f e il dominio di g (e le loro immagini Imm(f) e Imm(g))?.

Esercizio 6. Ripeti l’esercizio precedente con la funzione f(x) = x2 − 2x− 3

113

Gruppo funzioni


Esercizio 1. Dopo aver tracciato con Geogebra il grafico della fuzione f(x) =| x2−3 |, f : R → R. Riportalosul quaderno e determina l’insieme immagine di f

Im(f) =

Dato l’insieme D = {−1, 2, 0, 4} determina sul grafico di f , l’insieme

{(x, f(x)) | x ∈ D} =

Completa

f(D) =

Nel seguente esercizio utilizza GeoGebra per rispondere alle domande attraverso i grafici delle funzionicoinvolte.

Esercizio 2. Considera la funzione f : R → R, definita da f(x) = 4x2 e completa, se possibile, le seguentiuguaglianze. Nel caso non sia possibile spiegane il motivo:

a) f(−8) = . . . . . . f(. . . . . . ) = 60 f(. . . . . . ) = −5 f

(

3

4

)

= . . . . . .

b) Giustifica utilizzando un grafico cartesiano il motivo per cui l’equazione f(x) = −4 non ha soluzioni.Sempre utilizzando il grafico determina e spiega come deve essere y affinche l’equazione f(x) = y

abbia esattamente 2 soluzioni.

Esercizio 3. Utilizzando la funzione slider in GeoGebra, osserva per alcuni valori di a ∈ R i grafici della

seguente famiglia di funzioni: f(x) =1

x− a, con a ∈ [−5, 5]. Rispondi alle domande sul quaderno.

(1) Determina dominio e codominio di f .

(2) Stabilisci se esiste un valore di a tale che f sia pari o dispari, motivando la risposta.

(3) Stabilisci se f e iniettiva e/o suriettiva, motivando la risposta.

(4) Basandoti sulla risposta al punto 3) stabilisci per quali sottinsiemi A,B ⊆ R, f : A → B e invertibilee determina l’espressione analitica della sua inversa f−1, motivando la risposta.

(5) Considera la funzione | f(x) | e rispondi alle domande 1), 2), 3), 4)

(6) Disegna il grafico della funzione

∣

∣

∣

∣

1

f

∣

∣

∣

∣

per a = 3.

Esercizio 4. Risolvi graficamente l’equazione | x2 − 4 |=| 3x− 2 |. Annota grafici e risposte sul quaderno.

114

Gruppo funzioni

Verifica di Claretta: funzioni e GeoGebra

Crea una cartella con il tuo cognome, dove salverai i file es1, es2, es3, es4, es5 che andrai a svolgere.Tempo a disposizione: 50 minuti.

Esercizio 1. Completa la seguente tabella rispondendo alle successive domande

zeri polinomio insieme soluzione di p(x) = 0 insieme soluzione di p(x) > 0 polinomio per (0 ; 1)

0

2

3

a) Inventa, se esiste, un polinomio p(x) di quarto grado che: non abbia zeri, oppure ne abbia 2 o 3.

b) Rappresenta graficamente i polinomi y = p(x) (su un unico grafico, rendendo chiara la rappresen-tazione) e risolvi le equazioni e disequazioni associate: p(x) = 0 e p(x) > 0.

c) Modifica i polinomi trovati in modo che il loro grafico tagli l’asse delle ordinate nel punto (0 ; 1).

Esercizio 2.

a) Traccia il grafico della funzione f(x) = x3 − 3 e della retta bisettrice del primo e terzo quadrante.Traccia poi il grafico della funzione g(x) simmetrica di f rispetto alla retta tracciata.

b) Esprimi le equazioni della trasformazione che permettono di trasformare il grafico di f nel grafico dig.

{

x′ =

y′ =

c) Ricava l’equazione della funzione g.

g(x) =

Traccia il grafico di g(x) per verificare il risultato. Con GeoGebra le funzioni radice quadrata eradice cubica sono rispettivamente sqrt(x) e cbrt(x).

d) Traccia il grafico della funzione h(x) simmetrica di f rispetto al punto C(1, 2).

Esercizio 3.

a) Dimostra algebricamente che la funzione f(x) =x2 + 1

3xe dispari:

b) Traccia il grafico della funzione f(x) =x2 + 1

3xe della sua simmetrica g(x) rispetto all’origine. Qual

e la relazione tra i due grafici?

115

Gruppo funzioni

c) Indica il punto P del grafico di f di ascissa 2 e determina in quale punto P ′ del grafico di g(x) vienetrasformato P nella simmetria rispetto all’origine.

P = P ′ =

Esercizio 4.

a) Traccia il grafico della funzione f : D ⊆ R → R definita da:

f(x) =

−3 se −4 ≤ x ≤ −1

x3 se −1 < x ≤ 1

x− 2 se x > 1

b) Indica il dominio di f e la sua immagine.

D = Im(f) =

c) Stabilisci, giustificando la risposta, se f e iniettiva, suriettiva e/o biiettiva.

INIETTIVA:

SURIETTIVA:

BIIETTIVA:

d) Determina l’immagine di −2, −1, 0, 1, 2.

f(−2) = f(−1) = f(0) = f(1) = f(2) =

e) Determina la controimmagine di −4, −3, 0, 2. Ricorda che la controimmagine puo essere un insiemedi valori.

f−1(−4) = f−1(−3) = f−1(0) = f−1(2) =

Esercizio 5. Utilizzando un slider, rappresenta il seguente luogo geometrico di punti{

(a+ 1; a2 − 2a) ∈ R2 | a ∈ R

}

116

Gruppo funzioni

Sai descrivere in maniera differente tale luogo di punti? Puo essere il grafico di una funzione? Quale?

f(x) =

Voti. I primi quattro esercizi erano valutati 20, mentre l’ultimo (l’unico effettivamente mai visto) era

valutato 10. Il voto l’ho sostanzialmente ottenuto con la formula: voto =totale × 8

90+ 2.

Insufficienze: 3; sufficienze: 15 (molti 6−, che io considero sufficienti); voto minimo: 4; voto massimo: 9−;voto medio: 6.4

Commenti alla verifica

La verifica era pensata, e preannunciata, anche per verificare alcune conoscenze teoriche viste in classe.Speravo inoltre che, sotto la minaccia della verifica, tutti cercassero di utilizzare il programma a casa inmodo da acquisire una certa dimestichezza con i comandi e magari scoprire da soli alcune potenzialita diGeoGebra. In parte questo e avvenuto; per esempio il voto piu alto l’ha ottenuto una studentessa studiosa,ma generalmente non appassionata di computer, che ha anche consegnato in anticipo. Qualcuno pero neanchericordava che GeoGebra non ama la scrittura dei punti con il “;” come separatore delle coordinate, il cheindica che evidentemente non avevano neanche provato ad utilizzare il programma prima della verifica.

Commenti agli esercizi:

• Esercizio 1. Molti studenti si sono messi a completare la tabella senza leggere le istruzioni sotto,quindi polemizzando sul fatto che non capivano cosa dovevano fare. Quasi nessuno ha completatocorrettamente l’ultima colonna della tabella. Nessuno ha completato correttamente tutta la tabella.

• Esercizio 2. Quasi tutti hanno svolto completamente l’esercizio in maniera corretta.• Esercizio 3. Meno di meta classe ha svolto il punto a) (dimostrazione), due terzi della classe ha svoltoil punto b) (costruzione), solamente in cinque hanno svolto il punto c) (punto simmetrico).

• Esercizio 4. Una parte degli studenti non l’ha neanche iniziato. In pochi hanno rappresentato corret-tamente la funzione, in sei hanno scritto correttamente dominio e immagine. Quasi tutti quelli chehanno affrontato l’esercizio hanno svolto correttamente il punto d) (immagine di vari elementi).

• Esercizio 5. Cinque studenti hanno costruito correttamente lo slider e svolto il punto a) (altri duestudenti hanno scritto il punto con il “;” come separatore, ottenendo cose insensate). In due hannocompletato il punto b), uno ricavandolo dal grafico, l’altra utilizzando le equazioni parametriche (dicui in realta non avevo mai parlato).

Mediamente gli studenti hanno trovato la verifica lunga, ma io penso che questo sia dovuto anche al fattoche non si sono allenati a sufficienza ad utilizzare il programma. Comunque, dal punto di vista di conoscenzadel programma i risultati sono stati discreti.

Per quanto riguarda invece gli aspetti matematici teorici, che sapevano sarebbero stati chiesti, ci sono statimolti punti non svolti, o svolti con errori.

Io, purtroppo, resto dell’idea che l’uso consapevole, come vera integrazione, dei vari software richieda sforziche lo studente medio non e disposto a fare. L’ora di laboratorio resta per molti l’ora in cui si fanno coseseguendo le istruzioni o i suggerimenti e possibilmente staccando il cervello, come quando si fanno i solitarial computer. E una visione troppo negativa? Insistero...

117

Gruppo funzioni

CONICHE

Parabola

Ricordiamo che la parabola e definita come luogo geometrico di punti nel seguente modo:

Fissato nel piano un punto F e una retta d non passante per F , la parabola di fuoco F e direttrice d eil luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da F e da d:

parabola = {P | d(P ;F ) = d(P ; d)}

L’asse (di simmetria) della parabola e la retta perpendicolare alla direttrice passante per il fuoco dellaparabola.

Il vertice della parabola e dato dall’intersezione tra la parabola ed il suo asse.

I punti P della parabola sono caratterizzati dal fatto che PH = PF .

Supponiamo ora di lavorare nel piano cartesiano e consideriamo parabole con asse verticale, ovvero diret-trice orizzontale.

Cominciamo a considerare il caso in cui l’asse e l’asse delle ordinate e il vertice e nell’origine. Il fuoco equindi un punto sull’asse delle ordinate di coordinate F (0; f). Considerando il fatto che il vertice e equidistanteda fuoco e direttrice, quale sara l’equazione della direttrice?

d :

Notiamo che la distanza di P dalla direttrice d e data dal segmento PH, dove H e il piede della perpendi-colare alla direttrice. P e quindi un punto equidistante da F e da H, cioe e un punto dell’asse di FH. InoltreP appartiene alla retta verticale passante per H.

Utilizzando queste informazioni costruiamo la parabola come luogo di punti.

Esercizio 6.

• Cosrtuisci uno slider f , traccia il fuoco F (0; f), l’asse a : x = 0 e la direttrice d : y = −f .• Prendi un punto H sulla direttrice e traccia l’asse a del segmento FH.

118

Gruppo funzioni

• Traccia la retta p per H perpendicolare alla direttrice (cioe verticale) e indica il punto P = a ∩ p,intersezione dell’asse e della retta verticale appena tracciate.

• Muovi H con la traccia del punto P attiva, oppure traccia il luogo di P al variare di H sulla direttrice.• Cosa puoi osservare circa le rette a ottenute?• Fissato un valore di F di tuo gradimento, determina l’equazione della parabola e tracciala per verificareil risultato.

Esercizio 7. Modifica la costruzione dell’esercizio precedente in modo da ottenere una parabola con asseorizzontale e vertice nell’origine.

Ripensando alle due precedenti costruzioni, si puo osservare qualche nuova proprieta sulla tangente allaparabola tracciata da un punto sulla parabola stessa? Questo ti suggerisce un metodo alternativo per calcolarela tangente ad una parabola passante per un punto della parabola?

Esercizio 8. Considera la parabola di equazione y = x2 − 5x+ 6.

a) Dopo averne determinato: il vertice V, l’equazione dell’asse di simmetria e le intersezioni con gli assicartesiani, disegnane il grafico sul piano cartesiano.

b) Verifica che il punto P = (1, 2) appartiene alla parabola e determina l’equazione della tangente in P

alla parabola stessa. (Disegnala sul grafico).

c) Determina le equazioni della tangenti alla parabola data passanto per il punto B = (2,−1).(Disegnalesul grafico)

d) Traccia sullo stesso grafico precedente la retta di equazione y = 2x e risolvi utilizzando il grafico ladisequazione x2 − 5x+ 6 < 2x.

Esercizio 9. La parabola ha la seguente proprieta focale:

Ogni raggio parallelo all’asse della parabola, dopo avere colpito (internamente) la parabola viene riflesso nelfuoco della parabola. Viceversa, ogni raggio che esce dal fuoco della parabola, dopo avere colpito la parabola,viene riflesso parallelamente all’asse della parabola.

Ricordiamo che un raggio che colpisce una superficie piana viene riflesso nel raggio simmetrico rispetto allanormale alla superficie nel punto di incidenza.

Se la superficie e curva, vale l’analogo discorso considerando il piano tangente alla superficie nel punto diincidenza del raggio.

Verifichiamo tale proprieta per le parabole con vertice l’origine, utilizzando GeoGebra:

• Costruisci uno slider a, traccia la parabola y = ax2 e, ricordando le formule, indicane il fuoco F .• Traccia una retta verticale r che colpisca la parabola utilizzando uno slider k (puoi ignorare il fattoche il raggio attraversa la parabola) e indica con P il punto di intersezione tra r e la parabola (chesarebbe il punto in cui il raggio colpisce la parabola).

• Traccia la retta t, tangente alla parabola in P e la nornale n, perpendicolare alla tangente t in P .• Mediante il simmetrico rispetto a una retta traccia la retta r′ simmetrica ad r rispetto alla normalen appena tracciata.

• Osserva che r′ passa per F facendo variare sia k (cioe il raggio che colpisce la parabola) che a (cioel’apertura della parabola)

• Migliora la grafica utilizzando colori ed opzioni a tuo piacimento.

119

Gruppo funzioni

Circonferenza: posizione reciproca di due circonferenze.

Esercizio 1. Secanti. Traccia il grafico delle circonferenze x2 + y2 +2y− 9 = 0 e x2 + y2 − 8x− 2y+7 = 0.

a) In quali punti si incontrano?b) Qual e l’equazione della retta passante per i due punti?c) Risolvi per riduzione il sistema tra le due circonferenze; cosa trovi al primo passaggio rispetto al punto

b)?d) Determina l’equazione della retta passante per i centri delle due circonferenze. In che relazione e con

la retta trovata al punto b)?

Esercizio 2. Tangenti. Traccia il grafico delle circonferenze x2 + y2 − 2x = 0 e x2 + y2 − 10x+ 16 = 0.

a) In quale punto si incontrano? Indica con P tale punto.b) Se prendi la retta passante per i due centri, in che posizione e il punto rispetto a tale retta?c) Che relazione c’e la tangente per P a ciascuna circonferenza e la retta trovata in b)?d) La retta tangente trovata nel punto c) coincide con quella trovata imitando il procedimento del punto

c) dell’Esercizio 1?

Esercizio 3. Esterne. Traccia il grafico delle circonferenze x2 + y2 − 2x = 0 e x2 + y2 − 4x− 10y+ 25 = 0.

a) Con il metodo della riduzione verifica che le due circonferenze sono esterne.b) Considera la retta congiungente i due centri e determinane l’equazione.c) In che relazione e la retta trovata al punto precedente con la retta trovata al primo passaggio di

riduzione del punto a)?

Esercizio 4. Se due circonferenze non si incontrano quale puo essere la loro posizione? Fai degli esempigrafici per giustificare la risposta.

Esercizio 5. Verifica che la retta passante per i punti di intersezione tra le due circonferenze descritta nelpunto b dell’Esercizio 1 e nel punto c dell’Esercizio 2 ha la seguente proprieta:

Se per ogni punto P di tale retta detta asse radicale si conducono i segmenti di tangente PT e PT ′ alledue circonferenze, allora risulta PT = PT ′.

Prova poi a fornirne una dimostrazione geometrica (ricorda le similtudini e le proprieta delle rette secantie tangenti ad una circonferenza).

Fasci di circonferenze

Esercizio 6. Considera due punti A e B di R2.

• Traccia due circonferenze passanti per A e B con centro da parti opposte rispetto alla retta AB.Osservazione: dove si trova, rispetto ad A e B, il centro di una circonferenza passante per tali punti?

Eventualmente sposta i punti A e B e i centri delle circonferenze in modo da ottenere equazionidelle circonferenze a coefficienti interi. Colora le due circonferenze.

• Se le due circonferenze hanno equazioni del tipo:

C1 : p1(x, y) = 0 C2 : p2(x, y) = 0

con p1(x, y) e p2(x, y) polinomi di secondo grado, considera il fascio di circonferenze

Φ : p1(x, y) + k · p2(x, y) = 0

dove k e un parametro dipendente da uno slider.• Traccia Φ e notane l’equazione. Scegli per Φ l’opzione traccia attiva e fai variare lo slider k; eventual-mente scegli per k l’opzione animazione attiva e fai variare l’intervallo di variabilita e l’incremento.

• Cosa noti? Cosa hanno in comune tutte le curve tracciate? Ci sono valori di k per cui Φ coincide conle due circonferenze C1 o C2? Cosa accade per k = −1?

120

Gruppo funzioni

• Considera la retta r ottenuta al punto precedente quando k = −1 e sia p3(x, y) = 0 la sua equazione(con p3(x, y) polinomio di primo grado). Considera il fascio di circonferenze

Ψ : p1(x, y) + k · p3(x, y) = 0

• Traccia Ψ, di un colore differente rispetto a Φ e, facendo variare k, osserva cosa succede.Quali sono le analogie e differenze tra Φ e Ψ?

La retta r e detta asse radicale del fascio e si tratta della circonferenza degenere del fascio (Φ o Ψ).

Esercizio 7.

• Traccia due circonferenze tangenti esternamente in un punto A e traccia la retta passante per i centri.Cerca di ottenere equazioni delle circonferenze a coefficienti interi. Colora le due circonferenze.

• Come nell’esercizio precedente considera il fascio di circonferenze generato dalle due precedenticirconferenze:

Φ : p1(x, y) + k · p2(x, y) = 0

dove k e un parametro dipendente da uno slider.• Traccia Φ e notane l’equazione. Scegli per Φ l’opzione traccia attiva e fai variare lo slider k; eventual-mente scegli per k l’opzione animazione attiva e fai variare l’intervallo di variabilita e l’incremento.

• Cosa noti? Cosa hanno in comune tutte le curve tracciate? Ci sono valori di k per cui Φ coincide conle due circonferenze C1 o C2? Cosa accade per k = −1?

• Come nell’esercizio precedente considera la retta ottenuta quando k = −1, di equazione p3(x, y) = 0,e considera il fascio di circonferenze

Ψ : p1(x, y) + k · p3(x, y) = 0

• Confronta quanto ottenuto come nell’esercizio precedente.La retta r e detta asse radicale del fascio e si tratta della circonferenza degenere del fascio (Φ o Ψ).

Esercizio 8. Ripeti l’esercizio precedente partendo da due circonferenze esterne.

Esercizio 9. Se provi a ripetere l’esercizio precedente partendo da due circonferenze concentriche, qualeproblema incontri?

Esercizio 10. Traccia una circonferenza e considera un fascio di rette parallele (utilizza uno slider).Considera il punto medio M della corda staccata dalla circonferenza da una retta del fascio e traccia il

luogo geometrico di punti descritto da M al variare della corda (cioe della retta del fascio). Scegli per M

l’opzione traccia attiva e osserva che figura traccia M .Prova a cambiare fascio di rette parallele o osserva cosa ottieni. Prova quindi a fornire una nuova definizione

di diametro di una circonferenza.

Esercizio 11. Ripeti l’esercizio precedente partendo da un’ellisse. Prova quindi a fornire due differentidefinizioni di diametro di un’ellisse.

Esercizio 12. Ripeti l’esercizio precedente partendo da un’iperbole. Nota le differenze a seconda di scegliereun fascio di rette parallele con coefficiente angolare maggiore, minore o uguale al coefficiente angolare di unodegli asintoti dell’iperbole.

Prova quindi a fornire una definizione di diametro di un’iperbole.

Esercizio 13.

a) Determina l’equazione della circonferenza γ1 di raggio 4 avente il centro nell’origine del sistema diriferimento e rappresentala graficamente.

b) Scrivi l’equazione delle circonferenze γ2 e γ3 aventi raggio 4 e centro nei punti di intersezione di γ1con l’asse delle ascisse.

121

Gruppo funzioni

c) Le circonferenze γ2 e γ3, intersecano γ1 in quattro punti A, B, C, D. Determina le coordinate di talipunti; risolvi sul quaderno il sistema γ2 ∩ γ1 poiche il programma fornisce approssimazioni di numerinon interi, per simmetria troverai gli altri due. Determina le equazioni delle circonferenze di centroA, B, C, D e raggio 4.

d) Calcola la superficie del fiore a sei petali che si e creato all’interno di γ1 con le altre sei circonferenze.

122

Gruppo funzioni

Ellisse

Ricordiamo che l’ellisse e definita come luogo geometrico di punti nel seguente modo:

Fissati nel piano due punti F1 e F2, detti fuochi e un numero reale d > F1F2, l’ellisse di fuochi F1 e F2

e asse maggiore di lunghezza d e il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da F1 eF2 e d:

ellisse ={

P ∈ R2 | PF1 + PF2 = d

}

Il punto medio del segmento F1F2 e detto centro dell’ellisse.Il segmento A1A2, formato dalla parte della retta passante per i fuochi compreso all’interno dell’ellisse e

detto asse maggiore.Il segmento B1B2, formato dalla parte dell’asse del segmento F1F2 compresa all’interno dell’ellisse e detto

asse minore.I punti A1, A2, B1 e B2 sono detti vertici dell’ellisse.

I punti P dell’ellisse sono caratterizzati dal fatto che PF1 + PF2 = d.

Esercizio 1. L’ellisse come luogo di punti: costruzione 1.

Assegnati due punti F1 e F2 e un numero d (per d utilizza uno slider, magari definendo i limiti dello sliderin maniera opportuna), costruisci l’ellisse di fuochi F1 e F2 e asse maggiore d.

Per la costruzione segui i seguenti suggerimenti:

• Posiziona F1 e F2 in due punti casuali e costruisci lo slider d,• traccia la retta r congiungente i fuochi,• disegna una circonferenza con centro nel punto F1 e avente raggio d,• prendi un punto A sulla circonferenza e traccia il segmento AF1,• traccia l’asse a del segmento AF2 e sia P il punto di intersezione tra tale asse ed il segmento AF1.• fai variare A sulla circonferenza ed osserva come si muove P .

Domande. Rispondi alle seguenti domande sul quaderno.

a) Perche questa costruzione funziona? Danne una dimostrazione.b) Cosa noti nell’equazione dell’ellisse che hai ottenuto rispetto a quella che conoscevi con fuochi sull’asse

delle ascisse? Per ottenere l’equazione devi chiedere a GeoGebra di tracciarti l’ellisse di dati fuochi epassante per un punto.

c) Prendi i fuochi con ordinate uguali e rispondi alla domanda b).

123

Gruppo funzioni

d) Prendi i fuochi sull’asse delle ordinate e rispondi alla domanda b).e) Prendi i fuochi con ascisse uguali e rispondi alla domanda b).f) Prendi i fuochi in modo diverso dai precendenti, qual e la differenza sostanziale nell’equazione di

questa nuova ellisse rispetto alle precedenti?

Esercizio 2. L’ellisse come luogo di punti: costruzione 2.

Assegnati due punti F1 e F2 e un numero d (per d utilizza uno slider, magari definendo i limiti dello sliderin maniera opportuna), costruisci l’ellisse di fuochi F1 e F2 e asse maggiore d.

Per la costruzione segui i seguenti suggerimenti:

• Posiziona F1 e F2 in due punti casuali e costruisci lo slider d,• traccia la retta r congiungente i fuochi,• in un punto differente del piano traccia un segmento AB di lunghezza d e prendi su di esso un punto

H,• disegna una circonferenza con centro nel punto F1 e avente raggio uguale alla lunghezza del segmentoAH e una circonferenza con centro nel punto F2 e avente raggio uguale alla lunghezza del segmentoHB,

• indica con P e Q i punti di intersezione tra le due circonferenze.• . . .

Domande.

Perche questa costruzione funziona? Danne una dimostrazione.

Esercizio 3. L’ellisse ha la seguente proprieta focale:

Ogni raggio che parte da un fuoco, dopo avere colpito l’ellisse, viene riflesso nell’altro fuoco.

Ricordiamo che un raggio che colpisce una superficie piana viene riflesso nel raggio simmetrico rispetto allanormale alla superficie nel punto di incidenza.

Se la superficie e curva, vale l’analogo discorso considerando il piano tangente alla superficie nel punto diincidenza del raggio.

Verifica la proprieta utilizzando GeoGebra:

124

Gruppo funzioni

Alcune equazioni e disequazioni irrazionali

Un’equazione irrazionale e un’equazione in cui l’incognita appare come argomento di un radicale.Nella risoluzione di equazioni e disequazioni irrazionali quadratiche dobbiamo fare attenzione alla facile

tentazione di elevare i due membri dell’equazione a quadrato. Per esempio, l’equazione

√x = −2

non ha evidentemente soluzioni: S = ∅; elevando a quadrato otterremmo invece

(√x)2

= (−2)2 ⇒ x = 4

4 non e pero una soluzione dell’equazione iniziale infatti√4 6= −2.

Viceversa per risolvere l’equazione

√x = 2

possiamo tranquillamente elevare i due membri a quadrato ottenendo

(√x)2

= 22 ⇒ x = 4

e la corretta soluzione dell’equazione iniziale S = {4}.Le cose si fanno complicate se anche a secondo membro compare l’incognita o se si tratta di disequazioni.In questi casi ci puo essere di aiuto un procedimento misto algebrico-grafico.

Esercizio 1. Risolvere la disequazione√x+ 1 − 1 ≥ x− 2

Intanto scriviamo la disequazione in maniera piu opportuna, isolando il radicale:

√x+ 1 ≥ x− 1

Consideriamo ora le due funzioni

f(x) =√x+ 1 g(x) = x− 1

La nostra disequazione e quindi equivalente a

f(x) ≥ g(x)

1) Rappresentiamo le due funzioni:– f(x) =

√x+ 1 ⇒ y =

√x+ 1 ⇒ y2 = x + 1 ⇒ x = y2 − 1, con Df = [−1;+∞[ e

Im(f) = R+o .

– g(x) = x− 1 ⇒ y = x− 1

125

Gruppo funzioni

2) Risolviamo algebricamente, ignorando le problematiche dell’elevamento a quadrato, l’equazione asso-ciata:

√x+ 1 = x− 1 ⇒

(√x+ 1

)2= (x− 1)

2 ⇒ x+ 1 = x2 − 2x+ 1 ⇒x2 − 3x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 3

3) Utilizzando il grafico, vediamo se o quale delle soluzioni e effettivamente soluzione dell’equazioneiniziale e ricaviamo la soluzione della disequazione, facendo anche attenzione al dominio di definizione:S = [−1, 3].

Osservazioni. In realta utilzzando un software grafico, per rappresentare la funzione f(x) =√x+ 1 non

abbiamo bisogno di passare alla funzione x = y2 − 1. Per esempio con GeoGebra basta digitare

f(x) = sqrt(x+ 1)

Il procedimento indicato precedentemente e quello da seguire facendo tutto il lavoro senza l’ausilio di unsoftware.

Esercizio 2. Utilizzando il procedimento indicato, risolvere le disequazioni.

a) −√x + 3 ≥ −x+ 1 S = [0; +∞[

b)√x+ 4 − 1 ≤ x− 1

4S = [5 + 4

√5; +∞[

c)√

4− x2 ≤ −2x+ 2 S = [−2; 0]

d)√

6x− x2 + 2 <5

3x S =]3; 6]

126

Gruppo Funzioni

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Prof.ssa Alessandra Dalcolmo Parabole, disequazioni e traslazioni


Gruppo funzioni

COSTRUZIONE DELLA PARABOLA

Costruzione geometrica

1. Disegnare un punto F (fuoco) nel piano

2. Disegnare una retta d (direttrice) non passante per F

3. Posizionare un punto P vincolato a rimanere sulla direttrice

4. Tracciare il segmento PF

5. Tracciare l’asse a del segmento PF

6. Tracciare la retta r perpendicolare a d e passante per P

7. Individuare l’intersezione Q fra a ed r

8. Costruire il luogo geometrico di Q al variare di P sulla direttrice

9. Individuare l’intersezione M fra l’asse a e il segmento FP

10. Individuare gli angoli α = FQM e β = MQP

Domande

• Come sono i segmenti FQ e PQ?

• Come sono gli angoli α e β?

• La retta a risulta esterna, secante o tangente alla parabola?

Per verificare quest’ultima affermazione, provare a rappresentare la traccia della retta a al variare delpunto P.

CARATTERISTICHE DELLA PARABOLA

1. Visualizza gli assi cartesiani

2. Definisci i tre slider a, b e c

3. Definisci la parabola p : y = ax2 + bx+ c

Domande

1. Facendo variare a, come varia il grafico della parabola?

2. Facendo variare b, come varia il grafico della parabola?

3. Facendo variare c, come varia il grafico della parabola?

128

Gruppo funzioni

RISOLUZIONE GRAFICA DELLE DISEQUAZIONI

Vediamo come risolvere graficamente la disequazione:

2x+ 3 > 0

Interpretiamola graficamente: risolverla significa risolvere il sistema seguente:{y = 2x+ 3y > 0

L’equazione y = 2x+ 3 rappresenta una retta sul piano cartesiano.Inoltre,

• il punto di intersezione tra la retta e l’asse x è il punto della retta in cui y .................. ;

• i punti della retta che si trovano .................. l’asse delle x hanno ordinata positiva cioè y > 0;

• i punti della retta che si trovano .................. l’asse delle x hanno ordinata negativa cioè y < 0.

Calcoliamo l’ascissa del punto di intersezione tra la retta e l’asse x:

y = 0 quindi 2x+ 3 = 0 cioè x = ..................

Verifichiamo che tale soluzione individui proprio l’ascissa del punto di intersezione tra la retta data e l’assex.Per farlo,

1. individuiamo il punto A di intersezione fra la retta e l’asse x;

2. estrapoliamo l’ascissa del punto A: nella barra di inserimento, scriviamo x_1 = x(A).

La disequazione di partenza chiede i punti della retta che hanno ordinata positiva.

Dal grafico si osserva che le ascisse di tali punti sono i valori della x che sono .............. di −3

2. Quindi

la soluzione della disequazione è:

x.......− 3

2.

Esercizio Prova a risolvere graficamente la seguente disequazione:

3− x ≥ 0

1. Disegna la retta di equazione y = 3− x

2. Determina l’ascissa del punto di intersezione fra tale retta e l’asse x

3. La soluzione della disequazione sarà .................

Proviamo ora ad estendere quanto visto al caso delle disequazioni di secondo grado. Vogliamo risolverela disequazione:

2x2 − 7x+ 5 < 0

Interpretiamola graficamente traducendola nel sistema seguente:{y = 2x2 − 7x+ 5y < 0

L’equazione y = 2x2 − 7x+ 5 rappresenta una .................. sul piano cartesiano.Calcoliamo le ascisse dei punti di intersezione tra la .................. e l’asse x: .................

Dal grafico si osserva che le ascisse di tali punti sono i valori della x che sono ................. Quindi lasoluzione della disequazione é:

..................

129

Gruppo funzioni

Esercizio Risolvere graficamente le seguenti disequazioni:

1. 2x2 − 7x+ 5 > 0

2. −x2 + 2x+ 3 ≤ 0

3. x2 + 5 > 0

4. x2 + 5 < 0

5. x2 + 10x+ 25 > 0

6. x2 + 10x+ 25 < 0

7. x2 + 10x+ 25 ≥ 0

130

Gruppo funzioni

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI PARTICOLARI CURVE

Traccia graficamente la curva y =√4− x2.

Domande

1. È una funzione?

2. Qual è il suo dominio?

3. Qual è il suo codominio?

4. Che tipo di curva rappresenta?

Prova ora con la curva y = 1 +√2x− x2.

Domande

1. È una funzione?

2. Qual è il suo dominio?

3. Qual è il suo codominio?

4. Che tipo di curva rappresenta?

RISOLUZIONE GRAFICA DELLE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Vogliamo risolvere la disequazione√4− x2 ≤ −2x+ 2.

1. Interpretiamola graficamente traducendola nel sistema seguente: y1 =√4− x2

y2 = −2x+ 2y1 ≤ y2

2. Cosa rappresenta l’equazione y = −2x+ 2?

3. Cosa rappresenta l’equazione y =√4− x2?

4. Disegna entrambe le curve sul piano ed evidenzia sul grafico le zone in cui vale la disequazione

y1 ≤ y2

5. Qual è la soluzione della disequazione?

Esercizi Prova a risolvere graficamente le seguenti equazioni e disequazioni:

1.√−x2 − 2x− 3 = x+ 3

2. x <√8x− x2

3.√2x− x2 ≤ |x+ 1|

131

Gruppo funzioni

LE TRASLAZIONI NEL PIANO CARTESIANO

I vettori

Un vettore ~v nel piano cartesiano è individuato da una coppia ordinata di numeri reali (p, q). Esso èrappresentato dal segmento orientato OA, con A = (p, q) ed è caratterizzato da un modulo, una direzionee un verso.

Per costruire un vettore, dal menù “Linee rette”, scegli (Vettore tra due punti) e costruisci un vettorecon origine in O(0, 0).

Domande

• Come si determina il modulo di un vettore?

...............................................................................................................................................

• Come si determina la direzione del vettore (ossia la pendenza della retta su cui giace)?

...............................................................................................................................................

Equazioni della traslazione

• Rappresenta un punto P (x, y) sul piano cartesiano e definisci un vettore ~v = (p, q).

• Applica al punto P (x, y) la traslazione di vettore ~v: dal menù “Trasformazioni geometriche”, scegli(Trasla di un vettore).In tal caso si dice che il punto P ′ che hai ottenuto è il corrispondente di P nella traslazione divettore ~v.

• Osserva come variano x′ in funzione di x e y′ in funzione di y, spostando il punto P nel piano cartesiano.Per capire meglio usiamo le tre tabelle seguenti: la prima è in parte compilata per la traslazione divettore ~v = (1, 2) e per tre posizioni di P : (3, 2), (1,−1) e (4, 3). Individuane altre e completa.

p = 1 q = 2x x′ y y′

3 4 2 41 2 −1 10 0

p = −3 q = 0x x′ y y′

p = 1 q = −2x x′ y y′

Le equazioni della traslazione di vettore ~v = (1, 2) sono:

τ(1,2) =

{x′ = .....y′ = .....

Le equazioni della traslazione di vettore ~v = (−3, 0) sono:

τ(−3,0) =

{x′ = .....y′ = .....

Le equazioni della traslazione di vettore ~v = (1,−2) sono:

τ(1,−2) =

{x′ = .....y′ = .....

In generale, le equazioni della traslazione di vettore ~v = (p, q) sono:

τ(p,q) =

{x′ = .....y′ = .....

132

Gruppo funzioni

Esercizi

• Costruisci il triangolo di vertici A(−3, 3), B(1, 2) e C(2,−2) e ad esso applica la traslazione di vettore~v = (−3,−2). Il triangolo che si ottiene ha come vertici i punti A′(....., .....) B′(....., .....) e C ′(....., .....).

• Scrivi l’equazione della traslazione che trasforma il punto P (3,−2) nel punto P ′(−4, 3).

...............................................................................................................................................

• Disegna due segmenti AB e CD. Come devono essere fra loro tali segmenti per corrispondersi in unatraslazione?

...............................................................................................................................................

133

Gruppo Funzioni

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Prof.ssa Francesca Mazzini Rette e funzioni


Gruppo Funzioni

135

PIANO CARTESIANO

Data: 7 dicembre 2010

Modalità di lavoro:

In aula computer ripasso del piano cartesiano utilizzando geogebra, senza uso di

scheda di lavoro (asse x, asse y, coordinate di un punto, caratteristica coordinate

punti, simmetrie, ecc.)

Come compito per casa gli studenti hanno compilato la seguente scheda sul piano

cartesiano.

Esito compito a casa non buono: pochi studenti hanno consegnato schede e con

moltissimi errori (sicuramente a casa non hanno libro di testo e/o appunti presi in

classe)

Gruppo Funzioni

136

Allegato 1: scheda su piano cartesiano

PIANO CARTESIANO

Oggi abbiamo ripassato alcune caratteristiche del piano cartesiano, utilizzando il software di geometria dinamica Geogebra14, liberamente scaricabile dal sito http://www.geogebra.org/cms/. Grazie all’esercitazione appena fatta dovresti essere in grado di rispondere alle seguenti domande… prova a farlo! 1. Scrivi le coordinate di un punto (da te inventato) appartenente al primo quadrante:

Che caratteristica hanno le coordinate dei punti appartenenti al primo quadrante?

2. Scrivi le coordinate di un punto appartenente al terzo quadrante:

Che caratteristica hanno le coordinate dei punti appartenenti al terzo quadrante?

3. In quale quadrante si trova il punto )5,2(A ?

Per quale motivo? (suggerimento: che caratteristica hanno i punti di questo quadrante?)

4. Scrivi le coordinate di un punto A appartenente all’ asse delle ascisse (asse x).

14

GeoGebra è un software didattico di matematica dinamica, che comprende geometria, algebra e analisi

http://www.geogebra.org/cms/

Gruppo Funzioni

137

Che caratteristica hanno le coordinate dei punti appartenenti all’asse delle ascisse?

5. Dove si trova nel piano cartesiano il punto )7,0( A ?

6. Disegna un punto P nel primo quadrante del piano cartesiano. Scrivi le coordinate di questo punto.

Secondo te quali sono le coordinate del punto Q simmetrico del punto P rispetto all’asse delle ascisse?

Perché? (prova a disegnare tale punto)

Secondo te quali sono le coordinate del punto Z simmetrico del punto P rispetto origine degli assi

cartesiani? Perché?

Gruppo Funzioni

138

GRAFICO DI UNA FUNZIONE CON GEOGEBRA

Data: 19 marzo2011

Osservazione (Prerequisiti): gli studenti conoscono già il concetto di funzione


L’attività (basata sulle schede del prof. Pegoretti) si è svolta in aula computer, agli

studenti non sono state consegnate schede di lavoro.

Agli studenti viene detto di considerare la funzione che associa ad ogni numero il suo

quadrato e si chiede loro di “tradurre” questa legge in simboli (gli studenti

conoscono già il concetto di funzione e la notazione t t^2. In questa occasione si

introduce in modo informale la notazione f(t)=t^2).

Si dice agli alunni che il nostro obiettivo è ora quello di rappresentare graficamente

(nel piani cartesiano) la suddetta funzione.

1° attività

Gli studenti rappresentano “qualche punto della funzione nel piano cartesiano”… ma

come sarà il grafico completo? Gli studenti hanno difficoltà a fare previsioni sul

grafico.

Rappresentiamo la funzione con Geogebra (scrivendo f(x)=x^2 nella barra

d’inserimento).

Si chiede agli studenti che caratteristica hanno le coordinate dei punti costituenti il

grafico. Una studentessa risponde che la y di quei punti è il quadrato della x. Per

verificare questa affermazione usiamo il foglio di calcolo: nella cella A1 si scrive t e

nella cella B1 t^2, gli studenti assegnano alcuni valori a t e poi rappresentano i punti

nel piano cartesiano… questi punti “sono sul grafico” che avevamo precedentemente

disegnato…

Gruppo Funzioni

139

2° attività

Per capire meglio il grafico della funzione f(x)=x^2 si prova ad applicare ora un altro

metodo.

Si chiede agli studenti di rappresentare nel piano cartesiano il punto P(t,t^2) al

variare di t…

Si spiega gli studenti come utilizzare lo slider e con questo strumento creano uno

slider t… muovendo lo slider t il punto P descrive una curva… sembra ricordare la

curva disegnata con l’attività 1… rappresentiamo nuovamente il grafico della

funzione f(x)=x^2 (inserendola nella barra d’inserimento) e vediamo che P si muove

proprio sopra al grafico della funzione…

Nota:

- Le attività sono state svolte da ogni singolo studente su un computer mentre l’insegnante proietta e illustra le attività dal suo computer.

- Gli studenti sembrano (anche a distanza di molte lezioni) aver chiaro il concetto di grafico di una funzione.

Data: 25 marzo2011


In aula computer agli studenti viene consegnata la seguente scheda, della quale

svolgono le lettere a), b), c). Utilizzando geogebra i ragazzi rappresentano il grafico

della funzione f(x)= 4x per verificare la risposta fornita al punto c).

Alcuni studenti rispondono al punto d) e poi verificano la loro risposta con Geogebra

(facendo riferimento ad attività “grafico di una funzione con Geogebra”), altri

studenti non sono in grado di rispondere e quindi sono invitati a “ricostruire”

l’attività “grafico di una funzione con Geogebra”.

Gruppo Funzioni

140

Allegato 2: scheda su funzioni e…

Esercizio – “Funzioni e … ” – 26 marzo 2011

Considera la funzione che fa corrispondere ad ogni numero reale il suo quadruplo.

a) Traduci in simboli la suddetta funzione

b) Cerca di rappresentare graficamente nel piano cartesiano tale funzione.

c) Che tipo di rappresentazione grafica ottieni?

d) Che caratteristica hanno le coordinate dei punti che costituiscono il grafico della funzione?

e) Le coordinate dei punti del grafico soddisfano l’equazione xy 4 ? Perché?

Il grafico della funzione è …………………………………. Individuato dall’equazione………………….

Gruppo Funzioni

141

RETTE

Data: 25 marzo2011 e lezioni seguenti( 29 marzo e 2 aprile)


Agli studenti, in aula computer, viene consegnata la seguente scheda. Per questioni

di tempo, si riesce a svolgere solamente l’esercizio 1.

La lezione successiva, in classe (laboratorio non disponibile), si discute l’esercizio 1.

L’esercizio 2 viene svolto dagli studenti (autonomamente, senza spiegazioni da parte

dell’insegnante)in aula computer il 2 aprile 2011.

Allegato 3: scheda su rette

Laboratorio: Rette con Geogebra 1

1. Utilizzando il software Geogebra rappresenta le rette sotto indicate (scrivi le equazioni delle rette nella “barra di inserimento”), stampa i grafici ottenuti e completa la scheda

xy2

1

a) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata

b) Scrivi due punti appartenenti alla retta

c) Il punto )2;1(C appartiene alla retta? Perché?

d) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?

xy 2





Gruppo Funzioni

142

xy 3





xy 5





2. Cerchiamo di capire come varia la rappresentazione della retta mxy , al variare del numero

reale m (ad esempio cosa succede prendendo .,5,3,2 eccmmm ) Usiamo per tale

scopo ora lo strumento “slider”.

a) Crea lo slider m utilizzando l’apposito comando di Geogebra, impostando -10 come valore minimo che può assumere m e 10 come valore massimo che può assumere m (considera un incremento di 0.1)

b) Nella barra di inserimento scrivi la retta di equazione xmy *

c) Fai variare m… Cosa osservi?

d) Prova se vuoi a modificare l’intervallo in cui si trova m e/o il passo di incremento di m e osserva come varia la rappresentazione della retta xmy * … riesci a rispondere alle

seguenti domande?

Cosa cambia nella rappresentazione della retta al variare di m?

Se 0m che tipo di rappresentazione ottieni?

Se 0m tipo di rappresentazione ottieni?

Se 0m tipo di rappresentazione ottieni

Gruppo Funzioni

143

Data: 2 aprile 2011


Agli studenti viene consegnata la seguente scheda con la richiesta di stampare i grafici dell’esercizio 1 che dovranno svolgere a casa per la lezione seguente(gli studenti devono incollare i grafici sul quaderno). Gli studenti in modo autonomo svolgono esercizio 2 che poi viene discusso prima di fine lezione. Nella lezione successiva (5 aprile 2011) in classe si discute esercizio 1 e, basandosi si attività laboratorio, si discute su significato coefficiente angolare e intercetta. Nota: non tutti gli studenti hanno svolto il compito a casa. La discussione in classe è positiva, l’attività svolta in laboratorio sembra esser stata efficiente, anche se a distanza di tempo (molte lezioni successive) studenti non ricordano più risultati ottenuti in laboratorio al variare di m e q…

Allegato 4: scheda su rette

Laboratorio: Rette con Geogebra 2

1. Utilizzando il software Geogebra rappresenta le rette sotto indicate (scrivi le equazioni delle rette nella “barra di inserimento”), stampa i grafici ottenuti e completa la scheda

xy 3

e) Scrivi una funzione la cui rappresentazione grafica sia la retta indicata

f) Scrivi due punti appartenenti alla retta

g) Il punto )3;1(C appartiene alla retta? Perché?

h) Quali sono le coordinate dei punti che costituiscono la retta?

13 xy





13 xy





Gruppo Funzioni

144

2. Cerchiamo di capire come varia la rappresentazione della retta qxy 3 , al variare del numero

reale q (ad esempio cosa succede prendendo .,5,3,2 eccqqq ) Usiamo per tale

scopo ora lo strumento “slider”.

e) Crea lo slider q utilizzando l’apposito comando di Geogebra, impostando -10 come valore minimo che può assumere q e 10 come valore massimo che può assumere q (considera un incremento di 0.1)

f) Nella barra di inserimento scrivi la retta di equazione qxy 3

g) Fai variare q… Cosa osservi?

h) Prova se vuoi a modificare l’intervallo in cui si trova q e/o il passo di incremento di q e

osserva come varia la rappresentazione della retta qxy 3 … riesci a rispondere alle

seguenti domande?

Cosa cambia nella rappresentazione della retta al variare di q?

Se 0q quale tipo di rappresentazione ottieni?

Gruppo Funzioni

145

Prof.ssa Roberta Rizzi Funzioni inverse


Gruppo Funzioni

146

Protocolli studente

Funzioni inverse

Una funzione si dice invertibile quando è biiettiva, ovvero è sia iniettiva che suriettiva.

def. Iniettiva: quando ad un elemento distinto del primo insieme associo uno e un solo elemento del

secondo insieme. x1 ≠ x2 → ƒ(x1) ≠ ƒ(x2)

def. Suriettiva: quando l'immagine coincide al codominio, ovvero quando ad ogni elemento del secondo

insieme corrisponde almeno un elemento del primo insieme. J ≡ B

Nell'ora di matematica del 16/11 abbiamo analizzato le funzione inverse; dapprima abbiamo constatato che

una parabola è una funzione iniettiva soltanto se escludiamo dal dominio i numeri negativi, altrimenti ad

ogni elemento dell'immagine si associano 2 elementi del dominio.

In questa parabola all'elemento y=4 sono associati

l'elemento x=2 e x=-2 ma per rendere la funzione

iniettiva abbiamo evidenziato solo x=2.

Successivamente abbiamo disegnato nel piano i punti A(x1,y1) e A'(y1,x1) ed altri punti invertendo le

coordinate, abbiamo così supposto che essi ruotassero. Per verificare l'ipotesi abbiamo tracciato i segmenti

che collegavano l'origine con i suddetti punti. Dopo aver confrontato l'ampiezza tra AÔA' e BÔB' abbiamo

scartato l'ipotesi perché se i punti fossero ruotati l'ampiezza dei due angoli avrebbe dovuto essere la

stessa.

Gruppo Funzioni

147

Siamo cosi arrivati alla conclusione che i punti non ruotavano ma erano simmetrici alla bisettrice del primo

quadrante e che il segmento creato tra i 2 punti è perpendicolare alla stessa.

Infine abbiamo applicato lo stesso principio alla metà della parabola stante nel primo quadrante ed

abbiamo constatato che il principio era egualmente valido.

In conclusione è definita funzione inversa una funzione nella quale i punti della stessa sono simmetrici

rispetto alla bisettrice che taglia il primo quadrante.

Gruppo Funzioni

148

FUNZIONI PARI E FUNZIONI DISPARI

Nell’ora di venerdì 5/11 abbiamo trattato l’argomento delle funzioni pari e dispari. Per parlare di

questo argomento abbiamo sfruttato un programma molto utile per l’utilizzo della geometria

analitica chiamato Geogebra.

Per iniziare abbiamo analizzato la funzione y=x3+k scrivendola su geogebra ed abbiamo visto che

usciva questa figura:

Analizzando la figura all’inizio sembrava una parabola rovesciata per meta ma facendo il confronto

abbiamo notato che non era cosi in quanto nell’intervallo 0-1 la curva era più pronunciata che nella

parabola e che nell’intervallo dopo l’1 la salita della parabola era meno ripida.

Gruppo Funzioni

149

Sempre facendo il confronto con la parabola abbiamo fatto il confronto tra la simmetria della

parabola e la simmetria della parabola e quella della figura cubica notando che la parabola era

simmetrica soltanto rispetto all’asse delle y mentre la figura cubica era simmetrica prima rispetto

all’asse delle y e poi rispetto all’asse delle x sintetizzando che la parabola era simmetrica rispetto

all’asse delle y mentre la figura cubica era simmetrica rispetto all’origine.

y=x2+k y=x3+k

Facendo il confronto tra il grafico delle due figure ma anche con le rispettive formule abbiamo

notato che le funzioni in cui la x ha un esponente pari si ha la simmetria rispetto all’asse delle y

mentre le funzioni dove la x aveva un esponente dispari si aveva la simmetria rispetto all’origine

potendo definire quindi:

funzioni pari tutte le funzioni che sono simmetriche rispetto all’asse delle y mentre si

definiscono funzioni dispari tutte le funzioni simmetriche rispetto all’origine

Gruppo Integrale

150

Gruppo integrale

Prof.ssa Angela Aldrighetti Punti, funzioni e funzione integrale


Gruppo Integrale

151

CONOSCIAMO GEOGEBRA

GeoGebra è un software di matematica dinamica che comprende geometria, algebra e analisi, sviluppato per la didattica e l’apprendimento della matematica da Markus Hohenwarter e un team internazionale di programmatori.

LAVORIAMO CON I PUNTI

Dati due numeri a e b definire P(a,b).

1. a=3

2. b=5

3. P=(a,b)

Se impostiamo direttamente Q(3,5) : che differenza noti?

Dato k intero compreso tra -2 e 1 determinare un numero b=k2 e determinare il punto

Q(k,b)

1. Slider k tra -2 e 1 con incremento 1

2. b=k^2

3. Q=(k,b)

Imposta intervallo di variazione e incremento

Al variare di k visualizzare la traccia del punto Q

1. Con il mouse che punta Q pulsante dx scegliere traccia attiva.

Prova con b1=k3+1

Dato il punto P definire un punto Q in modo che le sue coordinate risultino aumentate di

0.7 ovunque sia P.


2. x_P=x(P) (estrae ascissa di P)

3. y_P=y(P)

4. Q=(x_P+0.7,y_P+0.7)

5. Muovere P.

Dato il punto P definire un punto Q in modo che le sue coordinate risultino aumentate di

una quantità k definita da uno slider


2. slider k

3. Q=(x(P)+k,y(P)+k)

4. Muovere P e lo slider

Gruppo Integrale

152

LAVORIAMO CON LE FUNZIONI

Data la funzione f(x)=x3-1 determinare un punto P sul grafico di f(x) di ascissa a=1.32.

1. f(x)= x^3-1

2. a=1.32

3. P=(a,f(a))

Come possiamo muovere P?

Data una retta r calcolare il coefficiente angolare m

1. Strumento retta per due punti

2. Punti P e Q sulla retta

Come facciamo a calcolare il coefficiente angolare?

3. Δx=x(P)-x(Q)

4. Δy=y(P)-y(Q)

5. m=Δy/Δx

Usiamo strumento pendenza. Costruiamo noi lo strumento.

Dato un punto P sul grafico di f(x) definire Q, ancora sul grafico di f(x), in modo che le

ascisse dei due punti distino un valore h definito da uno slider.

1. f(x)=0.2x^2-3x

2. P sul grafico di f(x)

3. Slider h da -3 a 7 incremento 0.2

4. x_Q=x(P)+h

5. Q=(x_Q,f(x_Q))

Rappresentare la funzione f(x) = x2-3. Colorare in rosso la parte di funzione con ordinate

negative o nulle.

1. f(x)=x^2-3

2. determina le intersezioni del grafico di f(x) con l’asse x pulsante punto opzione “intersezione di

due oggetti”

3. x_A=x(A)

4. x_B=x(B)

5. g(x)=funzione[f(x),x_A,x_B]

6. proprietà di g(x) colore rosso

Se f(x)=(x-1)(x+1)(x-3)? Se f(x)=-x2+3?

Gruppo Integrale

153

SCHEDA 1

COSTRUIAMO FUNZIONE INTEGRALE

con traccia

4. f(x)= 2

5. numero b

6. numero A : integrale di f(x) tra 0 e b

7. punto P(b,A)

8. Traccia di P

Prova con f(x)=x f(x)=x2 f(x)=x3 f(x)=-1/10x3+x+1 Osservazioni:

come luogo di punti

1. f(x)= x

2. punto X su asse x

3. numero A : integrale di f(x) tra 0 e x(X)

4. punto P(x(X),A)

5. Luogo di X al variare di P

6. punto B su luogo

7. retta a passante per X e perpendicolare asse x

8. g(x) definita come integrale di f(x)

Prova con f(x)=ex f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=1/x f(x)=1/x2

Osservazioni:

SCHEDA 2

PRIMITIVE CON COSTANTE DI INTEGRAZIONE

9. f(x)= x

10. punto X su asse x

11. numero A1 : integrale di f(x) tra 0 e x(X)

12. punto P(x(X),A)

13. Luogo di X al variare di P

14. ripeti i 5 passi precedenti con altri due numeri (A2,A3)

Prova con f(x)=ex f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=1/x f(x)=1/x2

Osservazioni:

Gruppo Integrale

154

SCHEDA 3

Dopo aver rappresentato il luogo geometrico della funzione integrale , andiamo a provare

graficamente che la derivata della funzione integrale è la funzione stessa.

Voglio quindi calcolare il coefficiente angolare della retta tg alla funzione integrale nel punto P che

ha generato il luogo.

1. definisco f(x)

2. AB=integrale[f(x),0,x(B)] . (B è il punto mobile sull’asse x)

3. Definisco PB=(x(B),AB)

4. Luogo di B al variare di PB. (la funzione integrale)

5. Opzioni arrotondamento: 3 cifre decimali.

6. Slider h da 0.01 a 0.8 passo 0.0001 lunghezza 300 (è il )

Costruisco un altro punto sulla funzione integrale per poter trovare una secante e calcolare,

quando h->0, il limite del rapporto incrementale.

7. Definisco Bx+h=(x(B)+h,0) Dipende dalla posizione di B e dista h da esso e sarà la ascissa del

nuovo punto sul luogo

8. AB+h= integrale[f(x),0,x(Bx+h)] è l’ordinata del nuovo punto sul luogo

9. Definisco PB+h=(x(Bx+h),AB+h). (PB+h sta sul luogo)

10. Retta t per PB e PB+h

11. Definisco m coefficiente angolare di t

quando h->0 t è la tangente alla funzione integrale ed m la derivata della funzione integrale

12. Q=(x(B),m)

13. Opzione traccia per Q. Muovendo B avremo che Q lascia la sua traccia sovrapposta ad f(x)

Gruppo Integrale

155

Prof. Luciano Cappello Integrale come area e funzione integrale


Gruppo Integrale

156

Area: motivazioni (applicazione alla probabilità, importanza per il cittadino, …), stime dell’area di sottografici e

valutazione dell’errore, area come limite.

Integrale: dall’area ad altri contesti (lavoro di una forza, consumo energetico di un dispositivo, …), definizione di

integrale per funzioni continue come limite di somme e notazione di Leibniz, relazione con l’area; calcolo di integrali di

funzioni lineari a tratti tramite le aree; proprietà elementari dell’integrale (linearità, additività sul dominio, monotonia).

Funzione integrale: investigazioni sulla relazione tra funzione integrale e funzione, teorema fondamentale del calcolo

integrale e formula di Newton-Leibniz, primitive di una funzione.

Lo sviluppo successivo del percorso è stato il calcolo delle primitive di una funzione.

Il lavoro è stato essenzialmente di tipo laboratoriale, non solo perché si è fatto uso del laboratorio di informatica e del

PC, ma soprattutto perché le attività sono state strutturate in modo operativo-sperimentale, volte alla costruzione di

significati per gli oggetti matematici introdotti.

All’inizio del percorso gli studenti hanno installato Geogebra sui propri PC a casa.

In aula informatica, con lavoro individuale alla propria postazione, i ragazzi hanno preso confidenza con gli aspetti

specifici del software utili per il percorso [file: Area_Poligoni; GraficoFunzioni].

Una stima dell’area del sottografico di una funzione è stato svolto in laboratorio di informatica: il lavoro individuale al PC,

ciascuno alla propria postazione, è stato preceduto da una discussione sulle modalità di realizzazione e di

implementazione e seguito dalla discussione e confronto dei risultati ottenuti [files: Area_x^2*].

Altre stime [foglio11.doc] sono state effettuate con lavoro individuale a casa e discusse successivamente in aula; la

lavagna interattiva è stata utile per presentare tale attività ed in particolare per fornire precise indicazioni di lavoro e gli

elementi che permettessero poi agli studenti di lavorare autonomamente. Gli studenti non avevano mai utilizzato prima

Geogebra; relativamente a tale foglio di esercizi si è pensato allora di fornire loro direttamente dei file ggb che

prevedessero solo qualche semplice manipolazione: hanno potuto così centrare l’attenzione sui concetti, senza perdere

tempo nella risoluzione di aspetti tecnici, non funzionali alla comprensione dell’argomento in esame [files:

AreaRadiceSlider, AreaGaussSlider]

Gli esercizi di calcolo degli integrali tramite le aree, o le congetture sulle proprietà dell’integrale [foglio12.doc] sono stati

svolti a casa dai ragazzi, dopo essere stati brevemente impostati in classe; eventuali dubbi sono stati chiariti nelle lezioni

successive. Per uno svolgimento più consapevole ed efficace dell’esercizio relativo alla funzione integrale è stato fornito

un file ggb opportuno [EsamePNI].

La lavagna interattiva è stata utile anche nella investigazione della relazione tra funzione integrale e funzione[file:

FunzioneIntegrale]. Per una verifica “dinamica” del teorema fondamentale del calcolo integrale in un caso notevole si è

rivelato utile il file FunzioneIntegrale_Stef. Una parte dei file ggb proposti sono stati rielaborati ed adattati a partire dai

materiali forniti da Stefano Pegoretti.

Le motivazioni iniziali, gli aspetti più teorici e le conclusioni sono state invece discusse con i ragazzi con lezioni

partecipate.

Gruppo Integrale

157

I ragazzi hanno tenuto traccia sul quaderno delle lezioni e delle attività da svolgere a casa, in particolare i fogli di

esercizi 11 e 12. Hanno realizzato interamente dei files ggb, mentre hanno semplicemente manipolato altri files, forniti

dall’insegnante; in ogni caso, hanno salvato tutto il lavoro in una apposita cartella. Dove possibile, si è cercato di far

riferimento al libro di testo.

A due lezioni, una di laboratorio ed una in aula, ha partecipato come osservatrice Elisabetta Osanna.

Oltre ad osservare quanto succedeva a lezione (allo scopo di reindirizzare eventualmente il percorso), si è cercato di

controllare, volta per volta, il lavoro svolto a casa. In particolare, si potrebbe pensare di farsi inviare in posta elettronica i

files ggb, realizzati dai ragazzi.

Sull’argomento vi sono state anche verifiche sommative orali ed una scritta, Quinta3.doc. In realtà quest’ultima (tempo

90 minuti) riguardava un ambito più vasto del percorso affrontato: i quesiti più specificamente relativi al percorso in

esame sono i numeri 4, 5, 6.

Proprio per questo è difficile e non significativo trarre delle conclusioni sul raggiungimento degli obiettivi di

apprendimento del percorso in esame, dalla verifica scritta: i quesiti specifici potrebbero non essere stati affrontati o non

analizzati in modo compiuto solo per mancanza di tempo.

In realtà il percorso è stato strutturato in modo che i saperi coinvolti fossero ben radicati e quindi disponibili a lungo

termine. In questo senso una verifica attendibile è costituita dalla capacità di esprimere alcune grandezze tramite gli

integrali, a distanza di tempo e in un contesto diverso dalla matematica; ad esempio, durante una lezione di fisica a

proposito del flusso del campo magnetico: per la maggior parte dei ragazzi la formalizzazione con gli integrali è risultata

abbastanza evidente.

L’uso dei Geogebra si è rilevato utile, perché permette di focalizzare l’attenzione sul processo e sui concetti più che sui

calcoli, permette la realizzazione di attività operativo-sperimentali (verifica di congetture, …) e quindi la costruzione di

significati degli oggetti matematici introdotti, prevede di riservare un’attenzione particolare alla formalizzazione (che non

rimane quindi un’esigenza astratta imposta dall’insegnante), veicola (perché lo esige) lo sviluppo di diverse abilità

trasversali (quali il controllo dei risultati, la schematizzazione, l’uso di diversi registri, il confronto tra più punti di vista,

l’interpretazione di eventuali errori …), risulta più accattivante per alcuni ragazzi. Naturalmente le attività proposte si

sarebbero potute realizzare anche con altri software: Geogebra, integrando con relativa semplicità aspetti grafici ed

algebrici, sembra davvero efficace; peccato che non permetta il calcolo simbolico.

Rispetto a modalità di lavoro “tradizionali”, richiede una pianificazione più accurata e dettagliata delle attività,

essenzialmente per tre motivi: un primo, magari banale, è il fatto che i tempi si dilatano, poi l’uso del software non

sostituisce il lavoro su carta e, più in generale, non è il fine delle attività, ma il mezzo; infine alcuni studenti potrebbero

incontrare difficoltà anche ad iniziare le attività richieste a casa. Anche il controllo delle produzioni dei ragazzi risulta più

difficoltoso ed articolato.

Nello specifico del percorso, i ragazzi hanno generalmente partecipato alle attività con interesse e motivazione. E a

questo direi che l’uso di Geogebra ha contribuito: in particolare sono stati coinvolti alcuni studenti, attirati da una

modalità di lavoro più vicina alla loro sensibilità. Alcune difficoltà mostrate erano da ascrivere più ad aspetti tecnici,

derivati dalla poca confidenza con il software (meglio allora se l’uso di Geogebra viene proposto a partire dalle prime

classi anni del liceo), che a problemi di tipo concettuale. Diverse attività di stima sono state rese possibili proprio grazie

all’uso del software: determinare le prime cifre decimali dell’area è improponibile per la lunghezza dei calcoli con carta e

penna, ma contribuisce a rafforzare l’idea che quello che si ottiene con la costruzione dei plurirettangoli non è solamente

un’approssimazione, ma un valore preciso quanto si vuole. Analogamente la relazione tra funzione integrale e funzione

Gruppo Integrale

158

Aree

Per rispondere alle questioni degli esercizi 1, 2, 3 utilizza il software Geogebra.

1. Fornisci una stima dell’area del sottografico della funzione x

xf 1)( nell’intervallo ]2,1[ . Precisamente:

suddividi ]2,1[ nello stesso numero n di intervalli che hai considerato a lezione, e calcola le aree dei plurirettangoli

approssimanti ns e nS .

2. Considera il sottografico R della funzione 24)( xxf nell’intervallo ]2,0[ . Utilizza il file:

Area_Radice_Slider. - Quali sono le prime due cifre decimali dell’area di R?

- A partire da quale numero di suddivisioni n , l’errore che si commette approssimando l’area di R con quelle dei

plurirettangoli ns e nS è certamente minore di 0,1? E di 0,01?

- Potevi prevedere il valore dell’area anche prima di eseguire il calcolo? Spiega.

3. Considera il sottografico R della funzione 2

2

2

1)(x

exp

nell’intervallo ]1,0[ . Utilizza il file:

Area_Gauss_Slider. - Quali sono le prime tre cifre decimali dell’area di R?

- A partire da quale numero di suddivisioni n , l’errore che si commette approssimando l’area di R con quelle dei

plurirettangoli ns e nS è certamente minore di 0,01?

- Conoscendo l’area di R cosa puoi dedurre sulla probabilità degli eventi x?

- Se una variabile x ha distribuzione di probabilità p(x), ossia normale (e standardizzata), calcola la probabilità che il valore di x si discosti dalla media meno di due volte lo scarto quadratico medio.

- Prova a calcolare l’area del sottografico di tale funzione sull’insieme dei numeri reali. Potevi prevedere tale risultato anche prima di eseguire il calcolo? Spiega, ricordandoti che p(x) rappresenta una distribuzione di probabilità.

4. Uno strumento a lettura continua ha rilevato l’andamento della concentrazione nell’aria di una determinata sostanza, in tre città A, B, C. I grafici prodotti sono i seguenti. In quale delle tre città si è riscontrato il livello di inquinamento maggiore (individua prima una grandezza che “misuri” il livello di inquinamento ed elabora poi una strategia

per stimarla)?

era già stata intuita dai ragazzi dopo alcune prove su carta, ma è stata sondata con più precisione effettuando con

Geogebra diverse verifiche con più funzioni elementari; in questo caso, per non ingenerare miscomprensioni, si è dovuto

porre attenzione sui limiti dello strumento, rimarcando che prove di casi particolari non costituiscono una dimostrazione.

Un ultimo aspetto riguarda il mantenimento e la disponibilità dei saperi a lungo termine ed in altri contesti: il fatto di aver

realizzato passo per passo un procedimento per calcolare l’area plurirettangoli, ha permesso di dare concretezza a

somme della forma i

i xxf )( e a radicarle con continuità sulle conoscenze pregresse, rendendola così realmente

disponibile.

Il percorso proposto si può ulteriormente semplificare, ad esempio trascurando le applicazioni alla probabilità, il calcolo

di integrali con il teorema di Archimede o l’applicazione alla fisica.

Gruppo Integrale

159

Integrali ed aree

5. Calcola il valore dei seguenti integrali, ricorrendo al loro significato geometrico. Controlla i risultati numerici ed il procedimento con Geogebra, utilizzando il comando: “ Integrale[f(x),a,b]”.

dxx

3

1

21 1

4

1

3|| dxx 02

3

0

adxax

1

0

21 dxx (esame 2007)

dxx

3

0

21

1

0

dxx dxx

2

0

2

6. Calcola il valore degli integrali relativi alle seguenti funzioni definite a tratti.

a

1se32

1se||)(

xx

xxxf dxf

2

3

0

3

2

dxf

b

0se1

0se1)(

xx

xxf

1

1

dxf 0

1

adxfa

11

adxf

a

7. Un’automobile accelera costantemente partendo da ferma e arrivando alla velocità di 100km/h in 8.3 secondi. Poi

prosegue a velocità costante per 10 secondi e infine decelera costantemente fermandosi 45 secondi dopo la partenza. Rappresenta graficamente la situazione e trova lo spazio percorso. Esprimi lo spazio percorso utilizzando la notazione di integrale.

8. Se kdxf

b

a

, è vero che 11 kdxf

b

a

e 22 kdxf

b

a

?

Trova due esempi di numeri reali ba, e di funzioni Rbaf ,: che rendono una volta vera e una volta falsa

ciascuna delle uguaglianze indicate.

9. Considera la funzione p(x) dell’ex. 3 (distribuzione normale e standardizzata di probabilità). Da una tabella si può

leggere che 4998,0

5,3

0

dxp e 4938,0

5,2

0

dxp . Allora quanto vale

5,2

5,3

dxp ?

10. Se )(xf è una funzione reale dispari, definita e integrabile nell’intervallo 2,2 , che dire del suo integrale

esteso a tale intervallo? Quanto vale nel medesimo intervallo l’integrale della funzione )(3 xf ? (esame 2007)

11. Considera la funzione g(x) il cui grafico è costituito da tre semicirconferenze di centri (0,0), (3,0), (9/2,0) e raggi rispettivi 2, 1, ½; solo la seconda si trova nel semipiano delle y negative.

- Se dttgxf

x

2

)()( , determina )4(f , )1(f .

- Per quali valori di x, 52 x la funzione f presenta un massimo o un minimo relativo? (da esame PNI 2010)

Utilizza anche il file: Geogebra Esame_PNI. per effettuare delle congetture. Ma poi scrivi una giustificazione dettagliata basandoti solo sul significato di integrale.

Alcune soluzioni. 1. 2 , 2

13 , 93 a , 4

. 3 ,32

, 4234 .

2 21

43 ; ,

222

21

23 2

;; aaa 3. Circa

Gruppo Integrale

160

Verifica di matematica

1. Studia la convessità della funzione seguente e determina gli eventuali flessi

x

xxf

log32

1log2)(

Scrivi l’equazione della tangente inflessionale ed abbozza l’andamento del grafico di f vicino al punto di flesso.

2. Determina per quale valore dei parametri a, b, c, il grafico della funzione csenxbxsenaxf 2)( passa per

)2,0(A ed ha in )0,(65 B tangente parallela alla retta di equazione 05233 yx .

3. Calcola le seguenti primitive

dxtgx

dxx

32

dx

x

x

2

12

2

dxx3cos

4. Considera la funzione )(xf il cui grafico è costituito, per ]2,0[x , dal segmento di retta che ha pendenza

21 e che interseca l’asse y nel punto )1,0( ; per ]4,2(x , dalla semicirconferenza di centro )0,3( e raggio 1 e

che si trova nel semipiano delle y negative. Sia dttfxh

x

0

)()( .

- Per quale o quali x , tali che 40 x , vale 0)( xh ? Giustifica.

- Spiega perché h ha uno zero. Trova un intervallo di lunghezza 1 a cui esso appartiene.

5. Sia b1 e bbx , . Prova che 21|1| bdxx

b

b

.

6. - Come si definisce tramite l’integrale il lavoro di una forza )(xF che agisce lungo un retta ? Illustrane i motivi.

- Prova a dimostrare che il lavoro per caricare un condensatore di capacità C, con carica Q e d.d.p. V sulle

armature, è 2

21 CV (suggerimento: puoi pensare di portare tante “piccole” cariche da una armatura all’altra finché la

carica totale è Q; il lavoro su ciascuna carica è dato dal prodotto della d.d.p., che aumenta nel processo, per tale carica).

7*. Determina per quale valore del parametro c le rette di equazione cy dividono in due regioni di area uguale il

sottoinsieme limitato del piano, delimitato dal grafico di 2)( xxf e dalla retta 1y .

Gruppo Integrale

161

Prof.ssa Antonella Frisanco Approssimazione di integrali


Gruppo Integrale

162

Approssimazione di integrali

Con questa attività utilizziamo geogebra per introdurre l’approssimazione di integrali con il

metodo dei rettangoli, dei trapezi e Cavalieri Simpson (metodo delle parabole).

Attività preliminare: definire un poligono e calcolarne l’area. Apri il programma geogebra e inserisci il foglio di calcolo (Visualizza – vista foglio di

calcolo) sulla parte destra compare un foglio di calcolo molto simile ad Excel). In una

colonna inserisci le ascisse di cinque punti a tua scelta e nella colonna a fianco inserisci le

corrispondenti ordinate (anche queste a tua scelta).

Ora seleziona le due colonne di punti e clicca sul tasto destro del mouse selezionando poi

la voce crea lista di punti.

A questo punto è necessario definire il poligono: per fare ciò clicca sulla quinta icona da

sinistra e seleziona poligono. Clicca con il mouse su tutti i vertici del poligono in modo che

venga convesso e “chiudi il poligono” cliccando sul primo vertice che hai scelto. A questo

punto hai definito il poligono e puoi calcolarne l’area, utilizzando l’ottava icona da sinistra.

Seconda attività: calcolo dell’area approssimata sottostante il grafico di una funzione

Utilizziamo la funzione 21

4

xy

. Sintassi: f(x)=4/(1+x^2)

Apri un altro foglio geogebra e, dopo aver digitato l’equazione della funzione, visualizza il

grafico.

Vogliamo calcolare un valore approssimato dell’area della parte di piano compresa tra il

grafico della funzione, l’asse delle ascisse e le due rette x=0 e x=1.

Suddividi l’intervallo [0,1] in quattro parti uguali (o otto) e inserisci il foglio di calcolo. Su

una colonna riporta i valori delle ascisse che risultano dalla suddivisione, nella colonna a

fianco calcola le ordinate ricordando che sono punti della funzione. Puoi definire i rettangoli

che approssimano per difetto la funzione o quelli che approssimano per eccesso.

Dopo aver definito i punti opportuni e i relativi poligoni calcola le aree e la somma delle

aree. (Utilizza il foglio elettronico)

Gruppo Integrale

163

Terza attività: miglioriamo l’approssimazione

Dopo aver digitato l’espressione della funzione f(x)=…… , inserisci ora da comandi

sommainferiore[f(x),0,1,n] in cui f(x) rappresenta la funzione da integrare, 0 e 1 sono

rispettivamente il primo e il secondo estremo di integrazione mentre n è il numero delle

suddivisioni dell’intervallo che vuoi effettuare.

Con n=4, ottieni sommainferiore =…………

Se n=10 ottieni sommainferiore =………….

Se n=100 ottieni sommainferiore =…………

Ora cerchiamo di ottenere una versione più dinamica della stessa situazione. Inserisci dalla

barra in alto uno slider (corrisponde alla decima icona da sinistra) che rinomini n e al quale

dai intervallo da 1 a 100 con incremento di 1.

Dai poi il nome n al numero delle suddivisioni di sommainferiore.

In questo modo hai legato il numero delle suddivisioni alla posizione dello slider ed è

sufficiente trascinarlo con il mouse per vedere il numero dei rettangoli sotto il grafico

aumentare e l’approssimazione del valore dell’integrale migliorare.

Se vuoi animare lo slider è sufficiente cliccare il tasto destro avendo il cursore puntato sullo

slider e scegliere la voce animazione attiva.

Che cosa accade ora? A partire da quale numero n il valore dell’integrale si stabilizza?

Per eliminare l’animazione clicca con il tasto destro sullo slider e deseleziona animazione

attiva.

Ripeti ora lo stesso procedimento con il comando somma superiore.

Che cosa ti aspetti possa succedere?……………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………..

Gruppo Integrale

164

Definisci una nuova funzione, chiamandola mediainfesup, che sia la semisomma di somma

inferiore e superiore.

Pensi che questa funzione costituisca un’approssimazione migliore dell’integrale?

Perché?........................................................................................................................

…………………………………………………………………………………………………

Ora inserisci, da comandi, la funzione somma trapezi e rinominala sommatrapezi.

Confronta i valori ottenuti per somma trapezi e per mediainfeesup. Che cosa noti? Perché

succede questo?.............................................................................................

…………………………………………………………………………………………………

Problema

Utilizzando il metodo dei trapezi, trova un’approssimazione di ln2.

Gruppo Integrale

165

Prof.ssa Cristina Bonmassar Approssimazione di integrali


Gruppo Integrale

166

UN PERCORSO

SULL’INTEGRALE CON

GEOGEBRA

CONTESTO

Classe

5sA liceo scientifico doppia lingua formata da 23 studenti

Periodo

Dal 26 febbraio 2011 al 19 marzo 2011, per un totale di 10 unità orarie da 50 minuti (compresa la verifica)

Gruppo Integrale

167

MODALITÀ DI LAVORO

Lavori di gruppo in laboratorio

gruppi di 3-4 studenti di

formazione spontanea

Lezioni partecipate/discussione

Rielaborazione individuale a casa

IL PERCORSO

1. Motivazioni allo studio dell’area

Gruppo Integrale

168

IL PERCORSO

2. Un caso semplice: l’area del cerchio

IL PERCORSO

3. L’area del sottografico di una funzione positiva Come potremo procedere “in analogia” a quanto visto per il cerchio?

l’approssimazione con i rettangoli

Gruppo Integrale

169

IL PERCORSO

4. L’area del sottografico della

funzione f(x)=x2 tra 1 e 2 con

Geogebra I ragazzi lavorano a gruppi sul PC,

cercando di costruire un

plurirettangolo inscritto con un

numero loro assegnato di rettangoli.

IL PERCORSO

5. L’area del sottografico di una

funzione positiva con Geogebra I ragazzi lavorano a gruppi sul PC,

utilizzando i comandi predefiniti

Sommainferiore e Sommasuperiore

Gruppo Integrale

170

IL PERCORSO

6. La definizione di integrale definito

e la sua relazione con l’area Rielaborazione e formalizzazione di

quanto i ragazzi hanno “scoperto” con

Geogebra.

IL PERCORSO

7. Proprietà dell’integrale definito

8. Definizione di funzione integrale e

calcolo su carta per le funzioni

f(x)=k e f(x)=x.

Gruppo Integrale

171

IL PERCORSO

9. La funzione integrale con

Geogebra. I ragazzi lavorano sul PC seguendo

le indicazioni di una scheda

IL PERCORSO

10. Il calcolo dell’integrale definito Alla luce di quanto osservato con

Geogebra, si perviene al teorema

del calcolo integrale e alla formula

di Newton Leibniz. Si parla poi di

primitive e si calcolano quelle

immediate.

Gruppo Integrale

172

VERIFICA FINALE

Tempo di somministrazione

due unità orarie da 50 minuti

Esiti

2 insufficienze

1 voto massimo

Media: 7,6

Gruppo Integrale

173

STUDENTI

Possibilità di scambio di

idee nel gruppo

Possibilità di giungere

autonomamente al

risultato

Coinvolgimento e

motivazione

INSEGNANTI

Introduzione di un

metodo di lavoro

utilizzabili in altre fasi

successive del percorso

annuale

Permanenza dei

contenuti nel tempo

Gruppo Integrale

174

STUDENTI

Poca abilità nel

lavorare con

Geogebra

INSEGNANTI

Tempi lunghi, sia di preparazione che in classe

Frequenti interventi dell’insegnante nel lavoro con Geogebra

Sperimentazioni con Geogebra · Geometria del piano ... Prof.ssa Anna Scialino Introduzione alla...

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