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Geometria analitica: curve e superfici Sfere e circonferenze

©2006 Politecnico di Torino 1

Geometria analitica: curve e superfici

2

Sfere e circonferenze

Sfere Coordinate sferiche e sfere in forma parametricaSfere, rette e pianiCirconferenze nello spazioCirconferenze in forma parametrica




4

Sfere come luoghi geometrici

Ricordiamo che, dati un punto P0 nello spazio e un numero reale R > 0, la sfera S (P0, R ) di centro P0 e raggio R è il luogo dei punti la cui distanza da P0 è R.



5

Equazione della sfera (1/3)

Fissato un sistema di riferimento, se P0 = (x0, y0, z0) ∈ e R > 0, abbiamo l’equazione di S (P0, R ) riferita a centro e raggio:

3

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0 0, : − + − + − =S P R x x y y z z R

6


La sfera di centro O = (0, 0, 0) e raggio 1 ha equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 (sfera unitaria).

La sfera di centro (-1, 2, 3) e raggio 3 ha equazione (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 9.



7


Sviluppando i quadrati nell’equazione della sfera e ponendo a = -2x0, b = -2y0, c = -2z0, d = otteniamo

Nell’esempio precedente abbiamo

2 2 2 20 0 0+ + −x y z R

( ) 2 2 20 , : 0.+ + + + + + =S P R x y z ax by cz d

( )( ) 2 2 21,2,3 ,3 : 2 4 6 5 0.− + + + − − + =S x y z x y z

8

Sfere come luoghi di zeri (1/4)

Viceversa consideriamo l’insiemedefinito da un’equazione del tipo

con . A meno di dividere per λ possiamo assumere che

( ) 3= ⊂E Z f

( ) 2 2 2, 0.= + + + + + + =f x y x y z ax by cz dλ λ λ

0≠λ1.=λ



9


Per completamento dei quadrati abbiamo

2 22

2 4⎛ ⎞⎟⎜+ = + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

a ax ax x

2 22

2 4⎛ ⎞⎟⎜+ = + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

b by by y

2 22 .

2 4⎛ ⎞⎟⎜+ = + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

c cz cz z

10


Posto e0 0 0, , 2 2 2

=− =− =−a b cx y z

2 2 2

4+ +

= −a b ch d

( ) ( ) ( )2 2 20 0 0: 0.− + − + − − =E x x y y z z h



11


Abbiamo tre casi:

Se a 2 + b 2 + c 2 > 4d, allora h > 0 e, posto E è la sfera di centro P0 = (x0, y0, z0) e

raggio R ;

Se a 2 + b 2 + c 2 = 4d, allora h = 0 e E è il punto P0 = (x0, y0, z0);

Se a 2 + b 2 + c 2 < 4d, allora h < 0 e E = ∅.

,=R h

12

Esempio

Consideriamo la famiglia di insiemi Ek definita da

Poiché

Ek è una sfera di centro (-1, 2, 3) e raggio se k < 14, coincide col punto (-1, 2, 3) se k = 14 ed è vuoto se k > 14.

2 2 2: 2 4 6 0.+ + + − − + =kE x y z x y z k

14 − k

( ) ( ) ( )2 2 2: 1 2 3 14 0.+ + − + − + − =kE x y z k




14

Coordinate sferiche

In consideriamo il seguente cambiamento di coordinate

con

La sfera S (O, R ) : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 in coordinate sferiche ha equazione ρ = R.

3

sen cossen sencos

⎧ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

xyz

ρ ϕ θρ ϕ θρ ϕ

0, 0 e 0 2 .> ≤ ≤ ≤ ≤ρ ϕ π θ π



15

Parametrizzazione della sfera (1/3)

La sfera

S (P0, R ) : (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R 2

di centro P0 = (x0, y0, z0) è l’immagine di S (O, R ) tramite la traslazione

( )0 0.= +Pt X X P

16


Abbiamo la parametrizzazione di S (P0, R)

Le coordinate ϕ e θ si dicono rispettivamente latitudine e longitudine.

( )0

0

0

sen cos, sen sen ,

cos

⎧ = +⎪⎪⎪⎪= = +⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩

x R xP y R y

z R z

ϕ θϕ θ ϕ θ

ϕ0 , 0 2 .≤ ≤ ≤ ≤ϕ π θ π



17


18

Esempio (1/2)

Se P0 = (2, -5, 1) abbiamo la parametrizzazionedi S (P0, 3)

( )3sen cos 2

, 3sen sen 53cos 1

xP y

z

ϕ θϕ θ ϕ θ

ϕ

⎧ = +⎪⎪⎪⎪= = −⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩

0 , 0 2 .≤ ≤ ≤ ≤ϕ π θ π



19

Esempio (2/2)

Se S : x 2 + y 2 + z 2 = 1, le seguenti sono parametrizzazioni della semisfera S + = S ∩ {z ≥ 0}:

( )1

sen cos, sen sen , 0 , 0 2 ,

2cos

⎧ =⎪⎪⎪⎪= = ≤ ≤ ≤ ≤⎨⎪⎪ =⎪⎪⎩

xP y

z

ϕ θπϕ θ ϕ θ ϕ θ π

ϕ

( ) 2 22

2 2

, , 1.

1

⎧⎪ =⎪⎪⎪= = + ≤⎨⎪⎪⎪ = − −⎪⎩

x tP t u y u t u

z t u




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Intersezione tra sfere e piani (1/4)

Se S è la sfera di centro P0 e raggio R e Πè un piano, esiste un sistema di riferimento Oxyztale che Π : z = 0 e P0 = (0, 0, z0) con z0 ≥ 0.

Poiché i cambiamenti di riferimento sono isometrie, abbiamo z0 = d (P0, Π).

22


In tale sistema di riferimento S ha equazione

Quindi S ∩ Π è l’insieme delle soluzioni del sistema

2 2 2 20

0

⎧⎪ + = −⎪⎨⎪ =⎪⎩

x y R zz

( )22 2 20: .+ + − =S x y z z R



23


Abbiamo tre casi:

Se z0 > R, S ∩ Π = ∅;

Se z0 = R, S ∩ Π = {(0, 0, R )} è un punto;

Se z0 < R, S ∩ Π = C è la circonferenza contenuta nel piano z = 0 di centro O e raggio .2 2

0−R z

24


Dati una sfera S = S (P0, R ), un piano Π e posto d = d (P0, Π) si ha:

Se d > R, Π è esterno a S ;

Se d = R, allora S ∩ Π è un punto P e Π ètangente a S in P ;

Se d < R, allora S ∩ Π è la circonferenza C di centro pΠ (P0) (proiezione di P0 su Π) e raggio

in Π.2 2−R d



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Piano tangente

Se S = S (P0, R ) è una sfera e P ∈ S, il piano tangente tgp (S ) a S in P è il piano passante per P con direzione ortogonale a P – P0.

Infatti in questo caso d (P, Π) = d (P, P0) = R, quindi P = pΠ (P0) e d (Q, P0) > R se Q ∈ Π e Q ≠ P. Dunque S ∩ Π = {P }.

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Esempio

Se S : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y – 6z + 3 = 0, Sha centro P0 = (1, -2, 3) e P = (2, -1, 0) ∈ S.Poiché P – P0 = (1, 1, -3),

( ) : 3 1 0.+ − − =Ptg S x y z



27

Intersezione di sfere (1/4)

Se S1 : x 2 + y 2 + z 2 + a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e S2 : x 2 + y 2 + z 2 + a2x + b2y + c2z + d2 = 0 sono sfere,

2 2 21 1 1 1

1 2 2 2 22 2 2 2

0:

0

⎧⎪ + + + + + + =⎪∩ ⎨⎪ + + + + + + =⎪⎩

x y z a x b y c z dS S

x y z a x b y c z d

28


Sottraendo la prima equazione alla seconda abbiamo il sistema equivalente

Il piano

si dice piano radicale di S1 e S2.

( ) ( ) ( )

2 2 21 1 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1

0

0

⎧⎪ + + + + + + =⎪⎨⎪ − + − + − + − =⎪⎩

x y z a x b y c z da a x b b y c c z d d

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 0− + − + − + − =a a x b b y c c z d d



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Siano S1 = S (P1, R1), S2 = S (P2, R2) e d = d (P1, P2) con R1 ≥ R2.

Se d > R1 + R2 o d < R1 – R2, S1 e S2 sono disgiunte;

Se d = R1 + R2 o d = R1 – R2, S1 e S2 sono tangenti esternamente o internamente;

Se R1 – R2 < d < R1 + R2, S1 ∩ S2 è una circonferenza.

30




31

Esempio (1/2)

S1 : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y – 6z – 2 = 0 e S2 : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0, sono le sfere di centri P1 = (1, -2, 3), P2 = (1, -1, 2) e raggi R1 = 4 e R2 = 3 rispettivamente.Quindi R1 – R2 = 1 < d (P1, P2) = < R1 + R2 = 7 e S1 ∩ S2 è una circonferenza C.

2

32

Esempio (2/2)

Il piano radicale di S1 e S2 è Π: 2y – 2z + 1 = 0, da cui

Osserviamo che si può studiare S1 ∩ S2 tramite questa rappresentazione.

2 2 2 2 4 6 2 0:

2 2 1 0

⎧⎪ + + − + − − =⎪⎨⎪ − + =⎪⎩

x y z x y zCy z



33

Intersezione tra sfere e rette (1/2)

Se S = S (P0, R ) è una sfera e r è una retta, possiamo ragionare come nel caso dei piani.

Se d (P0, r ) > R allora S ∩ r = ∅ e r èesterna a S ;

Se d (P0, r ) = R allora S ∩ r è un punto P e rè tangente a S in P ;

Se d (P0, r ) < R allora S ∩ r sono due punti e rè secante S.

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Intersezione tra sfere e rette (2/2)

Osserviamo che una retta r passante per P ètangente a S se e solo se r ⊆ tgP (S ).

Per determinare i punti di intersezione quando esistono, conviene parametrizzare la retta e sostituire nell’equazione di S.



35

Esempio

Siano S : x 2 + y 2 + z 2 + 2x – 2z – 1 = 0 e

Sostituendo otteniamo 3t 2 – 3 = 0, da cui t = ± 1 e S ∩ r = {(0, 1, 2), (-2, -1, 0)}.

1:

1

⎧ = −⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎩

x tr y t

z t




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Circonferenze in forma cartesiana (1/4)

Sia S : x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 la sfera di raggio R e centro P0. Sia Π : αx + βy + γz + δ = 0 un piano tale che d0 = d (P0, Π) < R.

Quindi S ∩ Π è la circonferenza C di centro Q0 = pΠ (P0) e raggio in Π.2 2

0= −r R d

38


Il sistema

rappresenta la circonferenza C in forma cartesiana.

2 2 2 00

⎧⎪ + + + + + + =⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩

x y z ax by cz dx y zα β γ δ



39


40


Viceversa, assegnati Π : αx + βy + γz + δ = 0, Q0 = (x0, y0, z0) ∈ Π e r > 0, la circonferenza Cdi centro Q0, raggio r in Π si può rappresentare in forma cartesiana con il sistema

( ) ( ) ( )2 2 2 20 0 0

0

⎧⎪ − + − + − =⎪⎨⎪ + + + =⎪⎩

x x y y z z r

x y zα β γ δ



41

Cerchi massimi

Se S è la sfera di centro P0 e raggio R e se Π èun piano tale che P0 ∈ Π, la circonferenza C = S ∩ Π si dice cerchio massimo di S in Π.

È immediato che C ha centro P0 e raggio R.

42

Esempio (1/3)

S : x 2 + y 2 + z 2 + 2x – 2y – 2 = 0 è la sfera di centro P0 = (-1, 1, 0) e raggio R = 2. Se Π : 2x – 2y + z + 1 = 0, allora d0 = d (P0, Π) = 1 < R e C = S ∩ Π è una circonferenza in Π di equazioni

2 2 2 2 2 2 0:

2 2 1 0

⎧⎪ + + + − − =⎪⎨⎪ − + + =⎪⎩

x y z x yCx y z



43

Esempio (2/3)

Il raggio di C è

Se s : t (2, -2, 1) + (-1, 1, 0) è la retta ortogonale a Π per P0, il centro di C è

2 20 1.= − =r R d

01 1 1

, , .3 3 3

⎛ ⎞⎟⎜∏= ∩ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Q s

44

Esempio (3/3)

Viceversa, la circonferenza C di centro

e raggio r = 1

in Π : 2x – 2y + z + 1 = 0 si può rappresentarecome cerchio massimo in Π della sfera con stessi centro e raggio:

2 2 21 1 11

: 3 3 32 2 1 0

⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎪ + + − + − =⎟ ⎟ ⎟⎪⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎨⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎪ − + + =⎪⎩

x y zC

x y z

01 1 1

, ,3 3 3

⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠Q



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Circonferenza per tre punti

Se P0, P1, P2 sono punti non allineati, esiste una sola circonferenza C passante per tali punti. Per i = 1, 2 siano:

Π il piano per P0, P1, P2;

Mi il punto medio tra P0 e Pi ;

Πi il piano per Mi con direzione ortogonale Pi – P0.

Allora C è la circonferenza di centro Q0 = Π ∩ Π1 ∩ Π2 e raggio R = d (P0, Q0) in Π.

46

Esempio (1/2)

Se P0 = (1, 1, -2), P1 = (1, -1, 0), P2 = (-1, 3, -2), allora

Π : x + y + z = 0;

P1 – P0 = (0, -2, 2) e P2 – P0 = (-2, 2, 0);

M1 = (1, 0, -1) e M2 = (0, 2, -2).

Quindi Π1 : y – z – 1 = 0 e Π2 : x – y + 2 = 0.



47

Esempio (2/2)

Si verifica che

Q0 = Π ∩ Π1 ∩ Π2 = (-1, 1, 0) e

Quindi

2 2 .=R

( ) ( )2 2 21 1 8:

0.

x y zCx y z

⎧⎪ + + − + =⎪⎨⎪ + + =⎪⎩

48

Retta tangente a una circonferenza

Se C = S ∩ Π è una circonferenza e se P ∈ C, allora la retta tgP (C ) tangente a C in P èl’intersezione del piano Π con il piano tangente tgP (S ) alla sfera S in P.



49

Esempio

Se

e

P ∈ C e tgP (S ) : x – y – z – 2 = 0, quindi

2 2 2 2 2 0:

0

⎧⎪ + + − − =⎪⎨⎪ + + =⎪⎩

x y z zCx y z

( )1, 1,0 ,= −P

( )2 0

:0.P

x y ztg C

x y z⎧ − − − =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩




51

Circonferenze in forma parametrica (1/5)

Sia C ⊂ una circonferenza di centro O e raggio R nel piano Π. Poiché O ∈ Π, abbiamo Π : ax + by + cz = 0, quindi Π è un sottospazio vettoriale di di dimensione 2.

Allora esiste una base ortonormale di Π, cioè una base {X1, X2} tale che e

3

1 2 1= =X X

3

1 2 0.⋅ =X X

52


Se X ∈ Π, esistono unici c1, c2 ∈ tali che X = c1X1 + c2X2. Abbiamo

( ) ( )21 1 2 2 1 1 2 2

2 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 22

= + ⋅ + =

+ + ⋅ = +

X c X c X c X c X

c X c X c c X X c c



53


Si ha che X ∈C se e solo se X ∈ Π equindi se e solo se

Pertanto X ∈ C se e solo seper

2 2 2 21 2= + =X c c R

1 2cos sen = +X R X R Xθ θ

2 2,X R=

)0 2 .⎡∈ ⎣θ π

54


In generale, se C è la circonferenza nel piano Π di centro P0 e raggio R, siano

Π0 il piano parallelo a Π e raggio R e passante per O ;

C0 la circonferenza di centro O e raggio R in Π0;

{X1, X2} una base ortonormale di Π0.



55


Se è la traslazione di P0, vale

Quindi abbiamo la parametrizzazione di C

( ) 1 2 0cos sen ,= + +P R X R X Pθ θ θ 0, 2 .⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦θ π

( )0 0= +Pt X X P

( )0 0 .=Pt C C

56

Esempio (1/2)

Sia C la circonferenza di centro P0 = (1, -1, 1) e raggio R = 3 in Π : x + y + z - 1 = 0.

Una base ortonormale di Π0 : x + y + z = 0 è

( ) ( )1 21 1

1, 1,0 , 1,1, 2 .2 6

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭X X



57

Esempio (2/2)

Abbiamo la parametrizzazione

( )

3 3cos sen 1

22

3 3: cos sen 1

22

6 sen 1

⎧⎪⎪ = + +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪= =− + −⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ +=−⎪⎪⎩

x

C P y

z

θ θ

θ θ θ

θ

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