GEOMETRIA ANALITICA.

Nel corso dei nostri studi di geometria analitica abbiamo potuto studiare alcune funzioni ed alcune curve caratteristiche. Qui riassumiamo le caratteristiche fondamentali di queste curve:

RETTA

La retta è una funzione lineare del tipo:

y=mx+q

con: m= coefficiente angolare. Indica la pendenza della retta e i quadranti che questa attraversa.

q=ordinata all’origine. Indica il punto in cui la retta attraversa l’asse delle y.

Notare che x ed y sono entrambe di primo grado.

FAMIGLIA DELLE CONICHE:

Le coniche sono delle curve che sono rappresentabili attraverso delle equazioni di secondo grado (ossia x ed y possono comparire con grado 2). Il loro nome deriva dai Greci che osservarono come tali curve possono essere ottenute come intersezioni fra la superficie di un cono ed un piano qualsiasi. Variando l’inclinazione del piano si possono ottenere una circonferenza, un’ellisse, una parabola, oppure un’iperbole.

PARABOLA

La parabola è la prima conica che abbiamo studiato ed è una funzione del tipo:

y=ax2+bx+c

dove a parametro che determina “l’apertura” della parabola, e se a concavità è rivolta verso l’alto (a>0) o verso il basso.

Un punto importante nel disegno della parabola è il VERTICE di coordinate

V ¿ )

Notare che x ha grado massimo pari a 2 ed y è di primo grado.

CIRCONFERENZA

La circonferenza ed è una curve del tipo:

x2+y2+ax+by+c

Ed è definita come l’insieme dei punti equidistanti da un punto detto centro.

Per disegnare la circonferenza è pertanto necessario conoscere il centro C ed il raggio r:

C (−a2;−b2) e r=√ a24 + b

2

4−c

Notare che x ed y hanno grado massimo pari a 2, e che questi hanno uguale coefficiente numerico.

ELLISSE

L’ellisse è una curva del tipo:

x2

a2+ yb22

=1

Ed è definita come l’insieme dei punti che hanno somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi (F1 ed F2) costante.

Per disegnare l’ellisse è necessario conoscere le intersezioni con gli assi che si trovano nei punti: x=∓a e y=∓b.Inoltre i fuochi si trovano sul semiasse maggiore a coordinate:

F=∓√¿a2−b2∨¿

Notare che x ed y hanno grado massimo pari a 2, e che questi hanno diverso coefficiente numerico.

IPERBOLE

L’iperbole è una curva del tipo:

x2

a2− yb22

=1

Ed è definita come l’insieme dei punti che hanno differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi (F1 ed F2) costante.

Per disegnare l’iperbole è necessario conoscere le intersezioni con gli assi che si trovano nei punti: x=∓a e y=∓b.

Tracciando un rettangolo di questi lati si sa che l’iperbole si troverà esternamente a questo rettangolo.

Notare che x ed y hanno grado massimo pari a 2, e che questi hanno diverso coefficiente numerico e sono separati dal segno meno.