Do

tt.ssa D

on

ate

lla C

occa

Intro

du

zion

e al P

ian

o C

artesia

no

IL R

IFE

RIM

EN

TO

CA

RT

ES

IAN

O

Un

sistema

di

riferimen

toca

rtesian

o(d

elp

iano

)è

costitu

itod

auna

cop

pia

di

retteorien

tate ,d

ettea

ssex

(oa

ssed

ellea

scisse)e

asse

y(o

asse

delle

ord

ina

te),perp

endico

laritra

loro

.Il

pu

nto

0d

iin

tersezione

di

talirette

èch

iamato

orig

ine.

Fissiam

osu

di

esseo

ltread

un

verso

anch

eu

n’u

nità

di

misu

ra.A

desso

po

ssiamo

intro

du

rreil

con

cettod

i

coo

rdin

atecartesian

e:

Co

nsid

eriamo

un

arbitrario

pu

nto

Pd

el

pian

oal

quale

associam

ou

nco

pp

iadi

nu

meri

reali(x

1 ,y1 )

ov

ex

1in

dica

la

pro

iezion

edi

Psu

ll’assed

elleascisse

ey

1

lap

roiezio

ne

di

Psu

ll’assed

elleo

rdin

ate.

Le

coo

rdin

atex

1e

y1

indiv

idu

ano

ilpu

nto

Pin

mo

do

un

icoe

son

od

etteco

ord

ina

te

cartesia

ne

del

pu

nto

P

Dista

nza

di d

ue p

un

ti

Per

determ

inare

lad

istanza

trai

pu

nti

A(x

A ;y

A )B

(xB

;y

B )ap

plich

iamo

il

teorem

ad

iP

itago

rae

otten

iamo

:

Per

determ

inare

ilp

unto

med

iod

iu

n

segm

ento

M(x

M;

yM

),co

nsid

eriamo

le

2

AB

2

AB

)(

)(

AB

yy

xx

−+

−=

segm

ento

M(x

M;

yM

),co

nsid

eriamo

le

pro

iezioni

A1 ,

M1 ,

B1

di

A,

Me

B

sull’asse

x.

Osserv

iamo

che:

Ein

mo

do

analo

go

sih

a:.

Qu

ind

i:2

2

xx

xx

x

MA

AO

MO

x

BA

AB

A

11

11

M

+=

−+

=

=+

==

2

yy

yB

A

M

+=

+

+

2;

2M

yy

xx

BA

BA

La

Retta

La

rettaè

un

ente

geo

metrico

fon

dam

entale,

com

eil

pu

nto

eil

pian

o.

Ing

eom

etriaan

alitica,la

rettaè

rapp

resentata

da

un

’equazio

ne

lineare

(di

prim

og

rado

)nelle

du

ev

ariabili

xe

y;facen

do

riferimen

toal

pian

o

cartesiano

,u

n’eq

uazio

ne

del

tipo

ax

+b

y+c=

0in

div

idu

al’eq

uazio

ne

di

una

retta.V

iceversa,

og

ni

equazio

ne

lineare

ind

ue

variab

iliè

rapp

resentata

sul

pian

ocartesian

od

au

na

retta.

Eq

ua

zion

e di u

na

retta p

assa

nte p

er du

e pu

nti

Eq

ua

zion

e di u

na

retta p

assa

nte p

er du

e pu

nti

Sian

oA

(xA ;

yA )

B(x

B;

yB )

du

ep

unti

gen

ericidel

pian

ocartesian

o.

Vo

gliam

o

calcolare

l’equ

azione

della

retta

passan

tep

ertali

pu

nti.

Per

ilteo

rema

di

Talete

po

ssiamo

scrivere:

MN

:LM

=B

P:A

Bed

an

che:

SR

:TS

=B

P:A

B.

E,

ug

uag

liand

oi

prim

i

mem

bri

po

ssiamo

scrivere:

Eq

ua

zion

e di u

na

retta

Eq

uazio

ne

della

rettapassa

nte

per

du

e

pu

nti.

Da

qu

estaeq

.(eq

.=eq

uazio

ne)

se

po

niam

oy

A−

yB

=a

ex

B−

xA

=b

otten

iamo:

ax+

by−

ax

B−

by

B=

0.

Infin

e,p

osto

−ax

B−

by

B=

csi

ha: y

y

yy

xx

xx

yy

yy

xx

xx

BA

B

BA

B

AB

B

AB

B

− −

=− −

⇒− −

=− −

otten

iamo:

ax+

by−

ax

B−

by

B=

0.

Infin

e,p

osto

−ax

B−

by

B=

csi

ha:

ax+

by+

c=0

(1)

eq. d

ella retta

No

tiamo

che

un

pu

nto

app

artiene

allaretta

di

equ

azion

e(1

)se

lesu

e

coo

rdin

ateso

dd

isfano

detta

equ

azion

e,o

vv

erola

rend

on

ou

na

iden

tità.

Casi

partico

lari:

�S

ea

=0

;b

≠0

;c≠

0si

ha

:

laretta

èp

arallelaall'asse

xb c

y−

=b c

y−

=y

x

Eq

ua

zion

e di u

na

retta

�S

ea

≠0

;b

=0

;c≠

0si

ha:

laretta

èp

arallelaall'asse

y

�S

e a≠

0; b

≠0

; c=0

si ha a

x+by=

0 la retta p

assa per l'o

rigin

e, infatti le

coo

rdin

ate di O

(0;0

) sod

disfan

o l'eq

uazio

ne d

ella retta.

�S

ea

≠0

;b

=0;

c=0

sih

ax

=0

che

èl'eq

uazio

ne

dell'asse

y(tu

ttii

a cx

−=

a cx

−=

x

y

�S

ea

≠0

;b

=0;

c=0

sih

ax

=0

che

èl'eq

uazio

ne

dell'asse

y(tu

ttii

suo

ip

un

tih

ann

oin

fattiascissa

nu

lla)

�S

ea

=0

;b

≠0

;c=

0si

ha

y=

0ch

eè

l'equ

azion

ed

ell'assex

(tutti

i

suo

ip

un

tih

ann

oin

fattio

rdin

atan

ulla)

Eq

ua

zion

e di u

na

retta in

form

a esp

licita

Div

idiam

ola

ax+

by+

c=0

per

b≠

0e

otten

iamo

:

yb c

xb a

y

0

b cy

xb a

−−

=⇒

=+

+

Eq

ua

zion

e di u

na

retta in

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a esp

licitaP

on

end

o:

sih

ay=

mx+

qè

l'equ

azion

erich

iesta.

Ilco

efficiente

msi

chiam

aco

efficiente

an

go

lare

(ind

icain

fattil'in

clinazio

ne

della

rettarisp

ettoal

semiasse

po

sitivo

delle

ascisse);

iln

um

eroq

sich

iama

ord

ina

taa

ll'orig

ine

(indica

qu

anto

staccala

rettasu

ll'assey

,in

fattiper

x=0⇒

y=q

).D

allafig

ura

seguen

tep

ossiam

oo

sservare

che

sela

rettap

assap

erl'o

rigin

e(q

=0

)y=

mx

qu

ind

i

b c-

q

e

b am

=−

=

⇒

osserv

arech

ese

laretta

passa

per

l'orig

ine

(q=

0)

y=m

xq

uin

di

edan

che

du

nq

ue,

ilco

efficiente

ang

olare

della

retta

passan

tep

erd

ue

pu

nti

dati

sio

ttiene

dal

rapp

orto

trala

differen

zad

ellelo

roo

rdin

ate

ela

differen

zad

ellelo

roascisse.

O

KH P

N

Q

r

x ym

=

xx

yy

PQ

PQ

PN

QN

m− −

==

Co

efficiente a

ng

ola

re

Osserv

iamo

che:

�S

em

>0

laretta

giace

nel

prim

oe

terzo

qu

adran

te(ascissa

eo

rdin

ataso

no

con

cord

i)

�S

em

<0

laretta

giace

nel

secon

do

eq

uarto

qu

adran

te(ascissa

eo

rdin

ataso

no

disco

rdi)

0m

>

qu

adran

te(ascissa

eo

rdin

ataso

no

disco

rdi)

�S

em

=1

(cioè

y=x)

laretta

èla

bisettrice

del

prim

oe

terzoq

uad

rante

�S

em

=-1

(cioè

y=-x)

laretta

èla

bisettrice

del

secon

do

eq

uarto

qu

adran

te

0m

<

1m

=

1m

−=

Co

efficiente a

ng

ola

re

Esem

pio

:C

alcolare

ilco

efficiente

ang

olare

delle

segu

enti

rette

Co

nsid

erole

segu

enti

rette:

1)

2y

-x-1

=0

2)

y+

4x

=0

3)

7y

-2x

+9

=0

Calco

liamo

ilco

efficiente

ang

olare:

1)

2)

3)

2 1 m

2 1

x2 1

y=

⇒+

=

4- m

x 4

y=

⇒−

=

9 2 m

7 9

x7 2

y=

⇒−

=

Retta

pa

ssan

te per u

n p

un

to

Co

nsid

eriamo

ilgen

ericop

un

toP

(x0 ,y

0 )le

infin

iterette

(fasciod

irette)

passan

tip

erq

uel

pu

nto

han

no

laseg

uen

teeq

uazio

ne

:

a(x-x

0 )+b

(y-y0 )=

0⇒

y-y0 =

-a/b

(x-x0 )

cioè

y-y0

= m

(x-x0 )

Rette p

ara

lleli, perp

end

icola

ri dista

nza

di u

n p

un

to d

a

un

a retta

Sian

od

ated

ue

retter:

y=m

1 x+q

1ed

s:

y=m

2 x+q

2si

ha

che:

�r

eds

son

oP

ara

llelise

eso

lose:

m=

m1 =

m2

�r

eds

son

oP

erpen

dico

lari

see

solo

se:m

=m

1 =-1

/m2

�C

on

sidero

ilg

enerico

pu

nto

P(x

0 ,y0 )

ela

rettagen

ericar

.L

a

dista

nza

dd

elp

un

tod

allaretta

èd

atad

a:

ba

yb

xa

22

00

cd

+

++

=

Fa

scio d

i rette pro

prio

E'l'in

sieme

di

tutte

lerette

che

passan

op

eru

n

pu

nto

.P

erd

etermin

arel'eq

uazio

ne

di

un

fasciod

irette

chiam

iamo

(x0 ,y

0 )il

centro

del

fascioe

(x,y)

ilp

un

tog

enerico

di

un

aretta

qu

alun

qu

ed

elfascio

.S

em

èil

coefficien

te

ang

olare

della

rettap

resain

esame

avrem

o:

yy

−

Si

pu

òn

otare

che

per

og

ni

md

iverso

avrem

ou

na

div

ersaretta

del

fascio,n

eseg

ue

che

l'equ

azio

ne

del

fascio

di

retteè:

y -

y0

= m

(x -

x0 )

xx

yy

0 0m

− −=

Fa

scio d

i rette imp

rop

rio

Si

defin

iscefascio

di

retteim

pro

prie

l'insiem

ed

itu

ttele

rettep

arallelead

un

aretta

data.

Visto

che

lerette

son

otu

tteparallele

allora

da

un

aretta

all'altravarierà

solo

l'ord

inata

all'orig

ine,

cioè

q,

qu

indi

l’equ

azion

eall'o

rigin

e,cio

èq

,q

uin

di

l’equ

azion

e

gen

ericad

elfascio

è:

y =

m1 x

+ q

do

ve

qe'v

aria

bile

edm

1e'u

nn

um

erod

ato

.

Esercizi su

lle rette

Esercizio

1:

Scrivere

l'equ

azio

ne

della

rettap

assa

nte

per

ilp

unto

A(2

,-1)

eda

vente

coefficien

tea

ng

ola

re5

.

Utilizziam

ola

form

ula

dell'eq

uazio

ne

della

rettap

assante

per

un

pu

nto

:

y -y

0=

m(x -

x0 )

So

stituen

do

sih

a:

y-

(-1)

=5

(x-

2)

⇒y

=5

x–

11

Esercizio

2:

Esercizio

2:

Scrivere

l'equ

azio

ne

della

rettap

assa

nte

per

ip

unti

A(-2

,3)

eB

(1,-5

).

Utilizziam

ola

form

ula

dell'eq

uazio

ne

della

rettap

assante

per

du

ep

un

ti

sih

a:

07

3y

8x

21

2x

35

3y

=+

+⇒

+ +=

−−

−

Esercizi su

lle rette

Esercizio

3:

Scrivere

l'equ

azio

ne

della

rettap

assa

nte

per

A(3

,0)

e

pa

rallela

alla

rettar

di

equ

azio

ne:

y=

-2x

+5

.

La

rettar

ha

coefficien

tean

golare

m=

-2.

Utilizziam

ola

form

ula

dell'eq

uazio

ne

della

rettap

assante

per

un

pu

nto

.S

ostitu

end

osi

ottien

e:

y-

0=

-2(x

-3

)⇒

y=

-2x

+6

Esercizio

4:

Scrivi

l'equ

azio

ne

della

rettap

assa

nte

per

A(-2

,1)

eE

sercizio4

:S

crivil'eq

uazio

ne

della

rettap

assa

nte

per

A(-2

,1)

e

perp

end

icola

rea

llaretta

rd

ieq

uazio

ne

y=

-1/2

x+

3.

La

rettar

ha

coefficien

tean

go

larem

=-1

/2q

uin

di

ilco

efficiente

ang

olare

della

rettarich

iestaè:

m=

2.

Utilizziam

ola

form

ula

dell'eq

uazio

ne

della

rettap

assante

per

un

pu

nto

.

So

stituen

do

sio

ttiene:

y -1

= 2

(x +2) ⇒

y = 2

x -5

La

Circo

nferen

za

Nella

geo

metria

euclid

ea,u

na

circon

ferenza

èil

luo

go

dei

pu

nti

del

pian

oeq

uid

istanti

da

un

pu

nto

fisso,

detto

centro

.L

ad

istanza

di

questi

pu

nti

dal

centro

sid

efinisce

rag

gio

.

L’eq

uazio

ne

cartesiana

ocan

on

icad

ella

circon

ferenza

è:

x2+

y2-2

ax-2

by+

c=0 (1

)

do

ve

c=a

2+b

2-r2.

do

ve

c=a

2+b

2-r2.

IlC

entro

della

circon

ferenza:

C(a

,b).

L'eq

uazio

ne

della

circon

ferenza

con

centro

nell'o

rigin

ee

ragg

ior

èd

atad

a:

x2+

y2=

r(2

)

Da

cui

siricav

ach

el’eq

uazio

ne

gen

ericad

ellacirco

nferen

zad

icen

tro

C(x

0 ,y0 )

erag

gio

r:(x-x

0 )2+

(y-y0 )

2=r

(3)

La

Circo

nferen

zaL

aco

nd

izion

ed

irealtà

della

circon

ferenza:

a2+

b2-c>

0

Co

efficiente

ang

olare

della

rettatan

gen

tein

un

suo

pu

nto

di

ascissax

0 :

Esercizio

1:

Scrivere

l'equ

azio

ne

della

circonferen

zad

icen

troil

pu

nto

C(-1

,2

)e

rag

gio

r=

3.

()

2

0

2

0

ax

r

ax

m−

−

−±

=

C(-1

,2

)e

rag

gio

r=

3.

L'eq

uazio

ne

della

circon

ferenza

sio

ttiene

imm

ediatam

ente

sostitu

endo

nella

gen

ericaeq

uazio

ne

(x-x0 )

2+(y-y

0 )2=

rle

coo

rdin

ated

elcen

troC

edil

valo

red

ir.

Si

ottien

e:

(x+1

)2+

(y-2)

2=9

esv

olg

end

oi

calcoli

avrem

o:

x2+

y2+

2x-4

y-4=

0

La

Circo

nferen

za

Esercizio

2:

Scrivere

l'equ

azio

ne

della

circonferen

zad

icen

troil

punto

C(2

,-3

)e

passa

nte

per

ilp

un

toP

=(-1

,1).

Inq

uesto

casoil

ragg

ion

on

èd

atodirettam

ente,

ma

sicalco

la

imm

ediatam

ente

com

ed

istanza

trai

du

ep

un

tiC

eP

.

()

()

()

()

516

91

31

22

22

2=

+=

−−

++

=−

+−

=p

cp

cy

yx

xrL'eq

uazio

ne

della

circon

ferenza,

ora

siottien

eso

stituen

do

nella

gen

ericaeq

uazio

ne

(x-x0 )

2+(y-y

0 )2=

rle

coo

rdin

ated

elcen

troC

edil

valo

red

ir:

(x-2)

2+(y+

3)

2=2

5e

svo

lgen

do

icalco

liav

remo

:

x2+

y2-4

x+6y-1

2=

0

Le co

nich

e

Ing

eom

etriaan

alitica,co

nsezio

ne

con

ica,

osem

plicem

ente

con

ica,

si

inten

de

gen

ericamen

teu

na

curv

ap

iana

che

sialu

og

od

eip

unti

otten

ibili

intersecan

do

lasu

perficie

di

un

con

ocirco

lareretto

con

un

pian

o.

La

sup

erficieco

nica

può

esserein

tersecatad

aun

pian

oα

no

np

assante

per

ilv

erticed

elco

no

Vin

trem

od

id

istinti:

Le co

nich

e

�S

eil

con

oè

intersecato

da

pian

ich

eco

nil

suo

assefo

rman

oan

go

li0<

θ≤

π/2

lasezio

ne,

così

otten

uta,

èu

na

ellisse.

Se,

inp

articolare,

il

pian

oè

anch

ep

erpen

dico

lareall'asse

lasezio

ne

è

un

acirco

nferen

za

�S

esi

interseca

ilco

no

con

un

pian

op

aralleloa

un

asu

aretta

gen

eratricesi

ottien

eu

na

conica

chiam

atap

ara

bo

la(co

me

siv

ede

infig

ura

AL

èu

na

gen

eratricedel

con

oed

ilpian

odi

intersezio

ne

èp

aralleload

AL

)

Le co

nich

e

�S

esi

interseca

ilco

no

con

un

pian

op

aralleloal

suo

assesi

determ

inan

ocu

rve

aperte

(eillim

itate)

chiam

ateip

erbo

li.

Le

curv

ep

receden

tiso

no

dette

con

iche

no

nd

egen

eri.V

iso

no

po

ile

cosid

dette

con

iche

deg

eneri

otten

ute

serven

do

sid

ipian

ich

ep

assano

per

ilv

erticeV

del

con

o

Le co

nich

e

Dal

pu

nto

di

vista

della

geo

metria

analitica

laco

nica

èu

na

curv

ach

e

vien

erap

presen

tatada

un

aeq

uazio

ne

di

secon

do

grad

oin

due

variab

ili.

Se

sico

nsid

eral'eq

uazio

ne

qu

adratica

nella

form

a:

si ha la seg

uen

te casistica:

0c

fy2

gx

2b

yh

xy2

ax

22

=+

++

++

�se h

2=

ab

, l'equ

azion

e rapp

resenta u

na p

ara

bo

la

�se h

2<

ab

e a=

be h

=0

, l'equ

azion

e determ

ina u

na ellisse

�se h

2>

ab

, l'equ

azion

e rapp

resenta u

na ip

erbo

le

La

pa

rab

ola

La

pa

rab

ola

èu

na

sezion

eco

nica

gen

eratad

all'intersezio

ne

di

un

con

ocirco

lareretto

eu

np

iano

parallelo

au

na

rettag

eneratrice

del

con

o.

La

pa

rab

ola

pu

òan

che

esseredefin

itaco

me

luo

go

geo

metrico

dei

punti

equ

idistan

tid

au

np

un

toF

detto

fuo

coe

un

aretta

rd

ettad

irettrice.L

aretta

passan

tep

eril

fuo

coe

perp

endico

larealla

direttrice

sich

iama

asse

della

parab

ola.

L'asse

della

parab

ola

èu

nasse

di

simm

etriae

interseca

lap

arabo

lan

elvertice.

Un

ap

ara

bo

laco

nasse

pa

rallelo

all'a

ssey

èrap

presen

tatada

all'a

ssey

èrap

presen

tatada

un

'equ

azion

ed

eltip

o:

y=a

x2+

bx

+c

Un

ap

ara

bo

laco

nasse

pa

rallelo

all'a

ssex

èrap

presen

tatada

un

'equ

azion

ed

eltip

o:

x=

ay

2+b

y+c

La

pa

rab

ola

: pa

ram

etri a, b

e c

1)

Ilco

efficiente

adeterm

ina

ilv

ersocu

iè

rivolta

laco

nca

vità(d

etta

anch

eap

ertura)

della

parab

ola

�a

> 0

: con

cavità v

erso l’alto

(ord

inate crescen

ti), vertice in

basso

�a

< 0

: con

cavità v

erso il b

asso (o

rdin

ate decrescen

ti), vertice in

alto

�a

= 0

: parab

ola d

egen

ere (in u

na retta)

La

pa

rab

ola

: pa

ram

etri a, b

e c

2)

Ico

efficienti

ae

bso

no

legati

allapo

sizion

edell'a

ssed

isim

metria

della

parab

ola,

l’equ

azion

ed

itale

rettap

arallelaall’asse

yè

:

3)

Ilp

unto

d’in

tersezione

della

parab

ola

con

l’assey

dip

end

edal

coefficien

tec

:il

valo

red

ell’ord

inata

di

talep

un

toè

pro

prio

c

L’o

rdin

ata

del

verticed

ipen

de

da

a,

be

ce

sip

uò

otten

ere

a2 b

x−

=

4)

L’o

rdin

ata

del

verticed

ipen

de

da

a,

be

ce

sip

uò

otten

ere

utilizzan

do

larelazio

ne:

5)

L’a

scissad

elvertice

dip

end

eda

ae

b:

ilsu

ovalo

resi

pu

òotten

ere

utilizzan

do

larelazio

ne:

xV =

-b/2

a a4

ac

4b

y2

V

+−

=

La

pa

rab

ola

: pa

ram

etri a, b

e c

6)

La

mu

tua

po

sizion

edi

parab

ola

easse

xd

ipen

de

da

a,

be

c,

più

precisam

ente

dalla

loro

com

bin

azion

eesp

ressad

alco

sidd

etto

discrim

ina

nte

:∆∆∆ ∆

=b

2-4

ac

�∆

>0

:l’asse

xè

secante

rispetto

allap

arabo

la

�∆

=0

:l’asse

xè

tang

ente

rispetto

allap

arabo

la

�∆

<0

:l’assex

èestern

oalla

parab

ola

La

pa

rab

ola

cara

tteristiche

Pa

rab

ola

con

asse

vertica

le

�D

iscrimin

an

te:∆

=b

2−

4a

c

�E

qu

azion

ed

ell'asse

di

simm

etria:

x=

-b/2

a

�C

oo

rdin

ated

elvertice:

V(-b

/2a

;-∆∆∆ ∆

/4a

)

�C

oo

rdin

ated

elfu

oco

:F

(-b/2

a;

(1- ∆ ∆ ∆ ∆

)/4a

)

La

pa

rab

ola

cara

tteristiche

�E

qu

azion

ed

ellad

irettrice:y=

-(1

+ ∆ ∆ ∆ ∆)/4

a

Pa

rab

ola

con

asse

orizzo

nta

le

�D

iscrimin

an

te:∆

=b

2−

4a

c

�E

qu

azion

ed

ell'asse

di

simm

etria:

y=-b

/2a

�C

oo

rdin

ated

elvertice:

V(-∆∆∆ ∆

/4a

;-b

/2a

)�

Co

ord

inate

del

vertice:V

(-∆∆∆ ∆/4

a;

-b/2

a)

�C

oo

rdin

ated

elfu

oco

:F

((1- ∆ ∆ ∆ ∆

)/4a

;-b

/2a

)

�E

qu

azion

ed

ellad

irettrice:x

=-

(1+ ∆ ∆ ∆ ∆

)/4a

La

pa

rab

ola

Esercizio

1:

Determ

inare

l'equ

azio

ne

della

para

bo

lap

assa

nte

per

i

pu

nti

A(-1

;3)

B(0

;4)

C(3

;-5)

Sap

piam

och

el’eq

uazio

ne

della

parab

ola

è:y

=ax

2+b

x+

c.S

ostitu

end

oi

trep

un

tiab

biam

o:

A(-1

;3)

⇒3

=a-b

+c

B(0

;4) ⇒

4=

+c

C(3

;-5) ⇒

-5=

9a+

3b

+c

Per

cui

dob

biam

oriso

lvere

ilsistem

ad

ieq

uazio

ne:

Per

cui

dob

biam

oriso

lvere

ilsistem

ad

ieq

uazio

ne:

Da

cui

otten

iamo

:c=

4;

b=

0;

a=-1

cioè

lap

arabo

lah

aeq

uazio

ne

y=

-x2+

4

=+

= =

⇒

=+

=

=

⇒

−=

++

=

=+

−

-93b

9-

9b

1-

ba

4c

-93b

9a

-1b

-a

4c

5c

b3

a9

4c

3c

ba

La

pa

rab

ola

Esercizio

2:

Determ

inare

l'equ

azio

ne

della

pa

rab

ola

aven

teil

vertice

inV

(1;3

)e

passa

nte

per

A(3

;-1)

Ilvertice

cifo

rnisce

du

eco

ndizio

ni

laterza

lafo

rnisce

ilp

assagg

ioper

ilp

un

toA

.Q

uin

di

abb

iamo

:

c3b

9a

1-

A

(3;-1

)

cb

a3

2a b

-1

)

3;1

(V

++

=⇒

++

= =⇒

Osserv

azione:

3=

a+

b+

cè

otten

uta

sostitu

end

ole

coord

inate

del

vertice

nell’eq

uazio

ne

della

parab

ola

(ilvertice

èu

npu

nto

della

parab

ola).

Ilsistem

ad

ariso

lvere

è:

La

parab

ola

ha

equ

azion

e:y

=-x

2+2

x+

2

cb

a3

+

+=

= = =

⇒

=+

+

+= =

⇒

−=

+−

=+

−

−=

2c

2b

-1a

-13

a3

a

3a

c

-2a

b

1c

a6

a9

3c

a2

a

a2

b

L’ip

erbo

le

L’ip

erbo

leè

un

asezio

ne

conica

gen

eratad

all'intersezio

ne

di

un

cono

circolare

rettoco

nu

np

iano

parallelo

alsu

oasse.

L’ip

erbole

pu

òan

che

esseredefin

itaco

me

luo

go

geo

metrico

dei

pu

nti

del

pian

op

eri

quali

risulta

costan

tela

differen

zad

elled

istanze

da

due

pu

nti

fissiF

1 ;F

2d

ettifu

och

i:

Co

nsid

eriamo

id

ue

fuo

chi

F1

edF

e

)1(

a

2P

FP

F2

1=

−

Co

nsid

eriamo

id

ue

fuo

chi

F1

edF

e

con

sideriam

oco

me

assex

laretta

passan

tep

eressi

eco

me

assey

laretta

adessa

perp

end

icolare

ep

assante

per

il

pu

nto

med

iod

i.

Detta

2c

lalo

ro

distan

za,i

fuo

chi

avran

no

coo

rdin

ate:

F1 (−

c;0) ed

F2

(c;0)

F2

F1

L’ip

erbo

le

Utilizzan

do

la(1

)tram

iteop

po

rtune

tramite

opp

ortu

ne

trasform

azioni

avrem

o:

equ

azion

ecartesian

ad

ell’iperb

ole

do

ve:

b2

=a

2-

c2.

La

(2)

èl’eq

uazio

ne

dell’ip

erbo

lech

e

(2)

1

b y

a x2 2

2 2

=−

La

(2)

èl’eq

uazio

ne

dell’ip

erbo

lech

e

interseca

l’assed

ellex.

Se

interseca

l’assed

elley

l’equ

azion

ed

iven

ta:

1

b y

a x2 2

2 2

−=

−

L’ip

erbo

le

Ca

siP

artico

lari:

�P

erx

=0

l’equ

azione

div

enta:

lacu

rva

no

nin

terseca

l’assey

�P

ery

=0

l’equ

azion

ed

iven

ta:

1

b y2 2

−=

ax

ax

a x

1

22

2 2

±=

⇒=

⇒=

lacu

rva

interseca

l’assex

nei

pu

nti

A1 (−

a;0

)A

2 (a;0

)ch

e

ven

go

no

chiam

ativertici

dell’ip

erbo

le.

L’ip

erbo

le

Co

nsid

eriamo

leseg

uen

tifo

rmu

lesu

ll’iperb

ole:

�E

qu

azion

ed

ell’iperb

ole

che

interseca

l’assex:

�F

uo

chi:

F1 (-c;0

)ed

F2 (c;0

)co

n

�A

sinto

ti:y=

(-b/a

)x,y=

b/a

x

1

b y

a x2 2

2 2

=−

ba

c2

2+=

�A

sinto

ti:y=

(-b/a

)x,y=

b/a

x

�E

ccentricità:

e=c/a

�C

oefficien

tean

go

lared

ellaretta

tang

ente

inu

nsu

op

un

todi

ascissa

x0 :

ax

xa b

m2

20

0

±±

=

L’ip

erbo

le

Co

nsid

eriamo

leseg

uen

tifo

rmu

lesu

ll’iperb

ole:

�E

qu

azion

ed

ell’iperb

ole

che

interseca

l’assey:

�F

uo

chi:

F1 (0

;-c)ed

F2 (0

;c)co

n

�A

sinto

ti:y=

(-b/a

)x,y=

b/a

x

1

b y

a x2 2

2 2

−=

−

ba

c2

2+=

�A

sinto

ti:y=

(-b/a

)x,y=

b/a

x

�E

ccentricità:

e=c/a

�C

oefficien

tean

go

lared

ellaretta

tangen

tein

un

suo

pu

nto

di

ord

inata

y0 :

ay

y

a bm

220

0

±±

=

L’ip

erbo

le

Se

gli

asinto

tiso

no

perp

end

icolari

(sea

=b

)l'ip

erbole

sid

iceip

erbo

le

equ

ilatera

.C

on

sideriam

ole

segu

enti

form

ule

sull’ip

erbo

leeq

uilatera:

�E

qu

azion

ed

ell’iperb

ole

equ

ilatera:

�L

un

gh

ezzad

elsem

iassetrasv

erso:

x cy

=

c 2a

=

�C

oo

rdin

ated

eiv

erticisu

lsem

iassetrasv

erso:A

1 (-;

)A

(;

)

con

c>0

�C

oo

rdin

ated

eifu

och

i:F

1 (-;-

)F

2(

;)

con

c>0

c

cc

cc

c2

c2

c2

c2

L’ip

erbo

le

La

figu

raseg

uen

tem

ostra

ilgrafico

di

un

’iperb

ole

equ

ilatera

con

equ

azion

e:y=

1/x

L’ip

erbo

le

La

figu

raseg

uen

tem

ostra

com

eal

variare

di

av

arial’eccen

tricità

dell’ip

erbo

le(rico

rdo

che

e=c/a

)

L’ip

erbo

le

Esercizio

1:

Scrivere

l'equ

azio

ne

dell'ip

erbo

lea

vente

per

assi

gli

assi

coo

rdin

ati

ep

assa

nte

per

ip

un

tiP

(2,3

),Q

(4,7

)

Se

imp

on

iamo

all'equ

azione

gen

eraledell'ip

erbo

leil

passag

gio

per

i

pu

nti

Pe

Qo

tteniam

o:

14

91

6

e

19

4

ba

ba

22

22

=−

=−

Po

nen

do

do

vrem

oriso

lvere

ilsistem

a:

Qu

ind

il’eq

uazio

ne

del’ip

erbo

leè:

ba

ba

ba

22

1v

e

1

u=

=

13 3

v

e

13

10

u

1

v49

u16

1v

9u

4=

=⇒

=−

=−

1

13 y

3

13 x

10

22

=−

L’ip

erbo

le

Ilcu

ig

raficoè:

L’ellisse

L’ellisse

èu

na

sezione

con

icag

enerata

dall'in

tersezione

di

un

con

o

circolare

rettoco

np

iani

che

con

ilsu

oasse

form

ano

ang

oli

0<

θ≤

π/2

.

L’ellisse

può

anch

eessere

defin

itaco

me

luo

go

geo

metrico

dei

pu

nti

del

pian

oper

iq

uali

risulta

costan

tela

som

ma

delle

distan

zeda

du

ep

un

ti

fissiF

1 ;F

2d

ettifu

och

i:

indich

iamo

con

2c

ladistan

zatra

id

ue

fuo

chi

eco

n2

ala

som

ma

id

ue

fuo

chi

eco

n2

ala

som

ma

costan

te.D

ettir

1ed

r2

led

istanze

da

un

pu

nto

della

curv

ad

alfu

oco

siav

rà:

)(

ar

r1

2

21

=+

L’ellisse

Dalla

defin

izione

sip

osso

no

ded

urre

facilmen

tele

seguen

tip

rop

rietà

di

simm

etria:

�la

rettaF

1 F2

(infig

ura

la

rettaA

B)

passan

teper

id

ue

fuo

chi

ela

rettaad

essa

perp

endico

larenel

suo

pu

nto

med

io(in

figu

rala

rettaC

D)

son

oassi

di

simm

etriap

erl'ellisse;

�il

pu

nto

Op

un

tom

edio

del

segm

ento

con

giu

ngen

te

id

ue

fuo

chi

(intersezio

ne

dei

preced

enti

assi)è

centro

di

simm

etriap

erl'ellisse.

O

L’ellisse

Utilizzan

do

la(1

)tram

iteo

pp

ortu

ne

tramite

op

po

rtune

trasform

azion

iav

remo

:

equ

azion

ecartesian

ad

ell’ellisse

(2)

1

2 2

2 2

=+

b y

a x

L’ellisse

Ca

siP

artico

lari:

�P

era

>b

l’assefo

caleF

1 F2

èp

aralleloall’asse

x

�P

era

<b

l’assefo

caleF

1 F2

èp

aralleloall’asse

y

�P

era

=b

sio

ttiene

l'equ

azion

edi

un

acirco

nferen

zaco

ncen

tro�

Per

a=

bsi

ottien

el'eq

uazio

ne

di

un

acirco

nferen

zaco

ncen

tro

nell'o

rigin

ee

ragg

ioa.

L’ellisse

Co

nsid

eriamo

leseg

uen

tifo

rmu

lesu

ll’ellisse:

�E

qu

azion

ecartesian

ad

ell’ellisse:

�F

uo

chi:

F1 (-c;0

)ed

F2 (c;0

)co

n,

sea

2>b

2

F1 (0

;-c)ed

F2 (0

;c)co

n,

sea

2<b

2

12 2

2 2

=+

b y

a x

ba

c2

2−=

ab

c2

2−=

�V

ertici:(a

;0),

(-a;0

),(0

;-b),

(0;b

)

�E

ccentricità:

e=c/a

�L

un

gh

ezzaasse

mag

gio

re:2

a

�L

un

gh

ezzaasse

min

ore:

2b

�C

oefficien

tean

go

lared

ellaretta

tang

ente

inu

nsu

op

un

todi

ascissa

x0 :

xa

xm

−±

=2

20

0

ab

c

L’ellisse

Esercizio

1:

Determ

inare

ae

bin

mo

do

che

l'ellissep

assi

per

ip

un

tiP

(-3,1

,)e

Q(-2

,2).

So

stituiam

ole

coord

inate

dei

pu

nti

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