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GEODESIA: PROPRIETA’ GEOMETRICHE DELL’ELLISSOIDE

PROPRIETA’ GEOMETRICHE DELL’ELLISSOIDE

Al fine di stabilire una geometria sull’ellissoide di rotazione è necessario non solo definire leequazioni delle curve idonee ad individuare in modo univoco la posizione relativa di punti(meridiani e paralleli) appartenenti alla superficie stessa, ma anche conoscere la lorocurvatura, che in generale sarà variabile da punto a punto.

Distinguiamo subito tra sezioni normali e sezioni oblique.

Consideriamo un punto P che giace sull'ellissoide e la suanormale: il fascio di piani che ha per costola la normale,intersecherà l'ellissoide secondo delle linee pianechiamate sezioni normali.

Tutte le altre linee che si ottengono dall’intersezionedell’ellissoide con un qualsiasi fascio di piani che noncontiene la normale sono chiamate sezioni oblique.

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GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

•Sono sezioni normali i meridiani, non lo sono i paralleli

•Le sezioni normali nel punto P hanno raggi di curvatura diversi in funzione dell’angolo chela sezione normale forma con il piano che assumiamo come riferimento.

RAGGIO DI CURVATURA DEL PARALLELO:

Raggio di curvatura della sezione obliqua PARALLELO

( )ϕϕϕ

ϕcosNcos

Wacos

sinea

YXr 22

==−

=

=+=

221

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GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI

Considerando l'insieme delle infinite sezioni normali della superficie, ottenutodall'intersezione di tale fascio di piani con l'ellissoide di rotazione, si può verificare che iraggi di curvatura delle sezioni normali nel generico punto P considerato variano concontinuità:

- da un minimo ρ (curvatura massima)

- ad un massimo N (curvatura minima)

ρ e N sono i raggi principali di curvatura a cui corrispondono le sezioni normali principaliche hanno la proprietà di essere tra loro ortogonali.

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La gran normale N corrisponde al segmento dinormale n compreso tra il punto P e l’intersezioneQ con l’asse di rotazione Z.

Non si confonda il primo verticale con il parallelo, ilcui piano è parallelo a quello equatoriale.

- la curva meridiana di raggio ρ (raggio del meridiano):intersezione fra ellissoide e piano contenente la normale n e l’asse di rotazione

- il primo verticale di raggio N (gran normale):la curva perpendicolare al meridiano (intersezione fra ellissoide e piano che contiene lanormale n e la tangente al parallelo)

GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

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GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

A

aK

N

O1Q1B

aAK N=

21

2

2

cossin

a

a

Q K NeOQ Ne BOK Ne B

=

=

=

( )21 1AQ N e= −

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GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

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Tutte le sezioni dell’ellissoide ottenute tagliandolo con dei piani che contengano la normaleall’ellissoide in un punto P si chiamano sezioni normali. Nella figura 4 si sono rappresentatedue delle infinite sezioni normali, le più significative per i calcoli della topografia e dellageodesia. In particolare la sezione verde, che contemporaneamente contiene la normaleall’ellissoide nel punto P e l’asse polare è detta sezione meridiana e il suo contorno è unmeridiano, cioè un’ellisse.

La sezione rossa é perpendicolare alla sezione meridiana e contiene (come le altre infinitesezioni normali) solo la normale all’ellissoide nel punto P, il suo contorno è una curva che,come la sezione meridiana, ha raggio di curvatura diverso in ogni suo punto (il raggio dicurvatura in un punto di una curva é il raggio del cerchio che in quel punto approssima lacurva).

GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

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RAGGIO PRINCIPALE DI CURVATURA MINIMO:

raggio di curvatura del meridiano per P

( )( )

( )2

323

22

2

11

1 eWa

seneea

−=−

−=

ϕρ

Dove:

a rappresenta il semiasse equatoriale dell'ellissoide

ed e l'eccentricità

2

22

abae −

=

GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

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L’equazione ricavata in precedenza per le ellissimeridiane è:

In una curva piana il raggio di curvatura è il limitedel rapporto tra un elemento di arco ds e l’angolocompreso fra le normali alla superficie condotteagli estremi del segmento ds (→ differenza dilatitudine).

GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI –APPROFONDIMENTI

Determinazione dell’espressione del raggio di curvatura minimo →Raggio di curvatura del meridiano per P

Determiniamo le espressioni dei raggi principali di curvatura:

1bZ

ar

2

2

2

2

=+

ϕϕ ddZdr

ddsρ

22 +==

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GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI –APPROFONDIMENTI

Deriviamo le equazioni parametriche dell’ellissoide trovate in precedenza:

( ) ϕϕ

ϕϕ

ϕ 22

22

2

22sine-1W

sine1e1sinaZ

sine1cosar ⋅=

⋅−−⋅⋅

=⋅−

⋅=

( )

( )

( )3

2

3

2

3

222

3

2223

3

222

2

2

Wcose1a

ddZ

W

sine1a

Wcossinesinasina

Wesincosaesinasina

WesincosaWsina

W

cossin2e2W1cosaWsina-

ddr

ϕϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕ

⋅−⋅=

⋅−⋅−=

=⋅+⋅⋅⋅−⋅

−=⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅

−=

=⋅⋅⋅−⋅⋅

−=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

=

( ) ( ) ( )3

2

6

2222222222

We1a

Wcose1asine1a

ddZ

ddrρ −⋅

=⋅−⋅+⋅−⋅

=

+

=ϕϕ

ϕϕSi ottiene quindi:

( )3

2

We1aρ −⋅

=

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GEODESIA: TEOREMA DI MEUSNIER

Teorema di Meusnier :

il raggio di curvatura di una sezione obliqua Rθ (r) in un punto P, è uguale al raggio dicurvatura della sezione normale Rn (N), corrispondente al piano che contiene la tangente inP alla sezione obliqua, moltiplicato per il coseno dell'angolo formato dai piani delle duesezioni (θ).

θθ cosnRR =

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GEODESIA: TEOREMA DI MEUSNIER

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GEODESIA: TEOREMA DI MEUSNIER

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GEODESIA: TEOREMA DI MEUSNIER

La gran normale N è espressa dalla seguente relazione:

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GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

Wa

senea

cos1

seneacos

cosYX

cosrN

22

=−

=−

=

=+

==

ϕϕϕϕ

ϕϕ

2222 11

ϕcosNr =

RAGGIO PRINCIPALE DI CURVATURA MASSIMO:

Raggio di curvatura della sezione primo verticale per P

Per il Teorema di Meusnier, pensando al parallelo per P come una sezione obliqua, ne derivache:

Teorema di Meusnier :il raggio di curvatura di una sezione obliqua Rθ (r) in un punto P, è uguale al raggio di curvatura della sezione normale Rn (N),corrispondente al piano che contiene la tangente in P alla sezione obliqua, moltiplicato per il coseno dell'angolo formato daipiani delle due sezioni (θ).

θθ cosnRR =

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-la differenza tra i raggi principali di curvatura:

-è massima all'equatore (ϕ=0° senϕ=0);

-è nulla ai poli (ϕ=90° senϕ=1)

GEODESIA: RAGGI DI CURVATURA DELLE SEZIONI NORMALI PRINCIPALI

Dalle espressioni di ρ ed N si possono trarre le seguenti considerazioni:

( )( )

( )3

2

322

2 11

1W

easeneea −

=−

−=

ϕρ

Wa

senea

=−

=ϕ221

N

-N è sempre maggiore o uguale a ρ;

( )( )

)senee(

senea

seneea

seneaN

ϕϕϕϕρ 22

2

22322

2

22 111

11

11 −

−−

−=

−

−−

−=−

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GEODESIA: RAGGIO MEDIO DI CURVATURA

Raggio medio di curvatura

In un punto P, si definisce raggio medio di curvatura delle infinite sezioni normaliall’ellissoide, la media geometrica tra il raggio minimo e massimo:

Risulta minimo all’equatore (ϕ=0) e massimo ai poli (ϕ=90°).

E' un parametro di grande interesse nella semplificazione delle elaborazioni analitichegeodetiche e topo-cartografiche.Vedremo che tale raggio Rm può considerarsi come il raggio di una sfera, detta sfera locale, tangente all’ellissoide nel punto P (ha quindi la stessa normale) e che meglio l'approssima in un intorno di circa 100 km di raggio dal punto stesso

2

2

22

2

211

11

Wea

seneeaNRRRm

−=

−−

==⋅=ϕ

ρ

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GEODESIA: RAGGIO DI CURVATURA DI UNA GENERICA SEZIONE NORMALE

Raggio di curvatura di una generica sezione normale

Il raggio di curvatura Rα di una generica sezione normale che forma un angolo α, (chiamatoazimut) con il meridiano in funzione del raggio principale di curvatura minimo (ρ) emassimo (N), è dato dal Teorema di Eulero:

NRα

ρα

α

22 sincos1+=

Teorema di Eulero

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GEODESIA: PROPRIETA’ GEOMETRICHE DELL’ELLISSOIDE

ESEMPIO 5:

Il vertice IGM di M.te Pagliano (1°ordine) ha coordinate su ROMA40:

lat 44° 32’ 21.594’’ lon -5° 00’ 11.276’’aHayford = 6378388 e2

Hayford = 0.006722670022

Calcolare nel punto:

1) Raggi principali di curvatura ρ, N.2) Raggio sfera locale R.3) Raggio del parallelo4) Raggio di curvatura della sezione obliqua di azimut α=45° ed inclinata di β=60° rispetto

alla normale.

750.99834498sine1W

744.5393316/3600'' # /60' # #

22 =−=

°=++°=

ϕ

ϕ

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GEODESIA: PROPRIETA’ GEOMETRICHE DELL’ELLISSOIDE

1m3188998.22cosβRR

1m6377996.44αsinραcosN

NρR Nαsin

ραcos

R1

2m4553854.75cosNr

αβ

22α

22

α

=⋅=

=⋅+⋅

⋅=→+=

=⋅= ϕ

( )

5m6378005.83NρR

m 16388342.28WaN 6m6367068.64

We-1aρ 3

2

=⋅=

===⋅

=