Esercitazione 1 - bioem.diet.uniroma1.itbioem.diet.uniroma1.it/bioem_group/people/apollonio/corso...
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[email protected] Esercitazione 1 Francesca Apollonio Dipartimento Ingegneria Elettronica E-mail: [email protected]
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Campo:Regione dello spazio in cui è definita una grandezza fisica variabile infunzione dei punti della regione.
per estensione:un campo è la grandezza fisica stessa il cui valore dipende dai punti di una certa regione dello spazio in cui viene considerata.
Il campo elettromagneticoè la grandezza fisica, generalmente funzione dello spazio e del tempo, in grado di descrivere quantitativamente le interazioni collegate alle cariche elettriche in quiete o in moto
( )BvEF ×+= q Forza di LorentzEv
Bq
Concetto di ‘campo’
Rappresentazione di un ‘campo’Solo pochissime grandezze fisiche assumono valori costanti. Più frequentemente il valore di una quantità fisica (es. temperatura, forza) dipende dai punti dello spazio e dai valori temporali in cui essa è considerata.
Per fare riferimento alla totalità dei valori della quantità fisica in tutti i punti dello spazio di interesse si intro-duce il concetto di campo.In sostanza i campi sono rappresentati come funzioni (scalari o vettoriali) di posizione e tempo.
)( tS r,)
)(Sfericher
he(Cilindriczre)(Cartesianzyx
r kr
kjir
=+=
++=
Sebbene una rappresentazione analitica dei campi sia essenziale per una rigorosa trattazione teorica, una rappresentazione grafica risulta molto efficace.
Campo scalare:linee di livello
Campo vettoriale:linee di forza
Divergenza di un vettorex
Ax
A
xA zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇ A
rotore di un vettore
zyx AAAzyx
zyx
∂∂
∂∂
∂∂
=×∇000
A
Operatore nabla ∇zyx ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇[][][]
[] 000 zyx
Operatori differenziali
Gradiente di uno scalare zyx ∂Φ∂
+∂Φ∂
+∂Φ∂
=Φ∇ 000 zyx
Divergenza di un vettore:campo scalare 3
3
2
2
1
1xA
xA
xA
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇ A
Rotore di un vettore:campo vettoriale
321
321
030201
AAA
xxx
xxx
∂∂
∂∂
∂∂
=×∇ A
Operatore nabla ∇321
[][][][]
xxx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ 030201 xxx
Operatori differenziali
Gradiente di uno scalare:campo vettoriale 321 xxx ∂
Φ∂+
∂Φ∂
+∂Φ∂
=Φ∇ 030201 xxx
Campo scalare Campo vettoriale
Gradiente: interpretazione fisica
zyx ∂Φ∂
+∂Φ∂
+∂Φ∂
=Φ∇ 000 zyx
dzz
dyy
dxx
dd∂Φ∂
+∂Φ∂
+∂Φ∂
=⋅Φ∇=Φ r
dzdydxd 000 zyxr ++=
dldΦ
=⋅Φ∇ nderivata direzionale
La componente su n del gradiente misura il tasso di variazione della funzione rispetto alla distanza nella direzione di n. Quindi quanto più rapidamente varia agli occhi di un osservatore che si allontana da un punto iniziale nella direzione di n tanto più grande sarà la componente di in quella direzione.
ΦΦ
Φ∇
x0
y0
z0r n
r’dr
dld nr =
Esempio: gradiente
dlE dl E ⋅−==>⋅−==Φ ∫ dΦqL P
P
2
121
dzdydx 000 zyxdl ++=
zΦ
E
yΦ
E
xΦ
E
z
y
x
∂∂
−=
∂∂
−=
∂∂
−=
( )dzEdyEdxEdΦ zyx ++−=
dzzΦdy
yΦdx
xΦdΦ
∂∂+
∂∂+
∂∂=
ΦzΦ
yΦ
xΦ
−∇=
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
−= 000 zyxE
P1
P2
qdl
E0
x0
y0
z0
zyx EEE 000 zyxE ++=
Divergenza: interpretazione fisica
∫∫ =⋅
VS
dVdSD n ρV
dV
V
dSD
VV
SV ∆
=∆
⋅ ∫∫>−∆>−∆
n ρ
00 limlim
ρ=⋅∇ D
Flusso del vettore D per unità di volume
Il flusso netto attraverso il volume infinitesimo ∆x, ∆y, ∆z sarà pari al flusso attraverso le sei facce del volume :
( ) ( )x
xDxxD
xxD x
xx ∂∂∆
+≅
∆+
22( ) ( )
xxDx
xDx
xD xxx ∂
∂∆−≅
∆−
22
per la direzione x
xyx
xDxyx
xD xx ∆∆
∆−−∆∆
∆+
22e questo vale anche per le altre direzioni y e z
Divergenza: interpretazione fisicaQuindi il flusso netto:
zD
zyxy
Dzyx
xD
zyx zyx∂
∂∆∆∆+
∂
∂∆∆∆+
∂∂
∆∆∆
zyxz
Dzyx
y
Dzyx
xD
zyx zyx ∆∆∆=∂
∂∆∆∆+
∂
∂∆∆∆+
∂∂
∆∆∆ ρ
Al limite per ∆v->0:
ρ=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
zD
y
D
xD zyx
ρ=⋅∇∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=⋅∇
Dz
Dy
D
xD
D zyx
La divergenza di un campo vettoriale è quindi una descrizione del modo in cui il campo varia in un punto. E’ la quantità di flusso per unità di volume che emerge da un volumetto elementare in un punto.
Rotore: interpretazione fisica
[ ]i
iSi S
d
∆
⋅
=×∇
∫>−∆
lF
F 0lim
Rotore->integrale di linea su un percorso chiuso infinitesimo, diviso per l’area racchiusa da quel percorso. Vettore le cui componenti si trovano orientando una
piccola area normale alla direzione di interesse e facendo il limite dell’integrale di linea diviso per l’area.
yxxyyyxxxy xFyFxFyFd ∆+∆−∆−∆=⋅ ∆+∆+∫ lF
x
yxyxxy
xyxyyx x
FxFF
yF
yFF∂
∂∆+≅
∂∂
∆+≅∆+∆+
y
yxy
Fx
Fd xy ∆∆
∂∂
−∂
∂≅⋅∫ lF [ ]
∂∂
−∂
∂=×∇
yF
x
F xyzF
[ ] [ ] F F
∂
∂−
∂∂
=×∇
∂
∂−
∂∂
=×∇x
Fz
Fz
F
yF zx
yyz
x
z yxF 000
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
+
∂
∂−
∂∂
=×∇y
Fx
F
xF
zF
z
F
yF xyzxyz
[ ] [ ]∫∫ =∇SV
dSdV n
Formula di Green
Proprietà integrali dell’operatore ∇
Ne discende:
∫∫ =∇sV
dSΦdVΦ n 1) Teorema del gradiente
Vn
S
∫∫ ⋅=⋅∇sV
dSdV A n A2) Teorema della divergenza
∫∫ ×=×∇sV
dSdV A n A3) Teorema del rotore
Teorema di Stokes (o della circuitazione)
nS
s
ds
∫∫ ⋅=⋅×∇sS
dS ds A nA
Proprietà integrali dell’operatore
∫∫Γ
⋅=⋅×∇ ds F nF dS
S
S
∆Si∑∫∫ ⋅=⋅ >−∆
Γ i iiS ds Fds F 0lim
( ) ii
iiS ∆SFds F ∑∫ ⋅×∇=⋅ >−∆
Γ
0lim
∫∫ ⋅×∇=⋅
Γ S
dSFds F
Teorema di Stokes
Identità vettoriali differenzialiManipolazione di espressioni contenente l’operatore nabla:
• si svolgono le operazioni come se fosse un vettore ordinario
•quando opera su prodotti (essendo un operatore differenziale) va applicata la regola di derivazione di un prodotto
∇
∇
( ) ( ) ( ) Ψ∇Φ+Φ∇Ψ=ΦΨ∇+ΦΨ∇=ΦΨ∇ ΨΦ
1)ΨΦ=ΦΨ=ΦΨ CCC
2)( ) ( ) ( ) AAAAA A ⋅∇Φ+⋅Φ∇=Φ⋅∇+Φ⋅∇=Φ⋅∇ Φ
( ) ( ) ACACAC ⋅Φ=⋅Φ=Φ⋅
3)( ) ( ) ( ) AAAAA A ×∇Φ+×Φ∇=Φ×∇+Φ×∇=Φ×∇ Φ
( ) ( ) ACACAC ×Φ=×Φ=Φ×
Identità vettoriali differenziali
4)( ) ( ) ( ) BA-ABBABABA BA ×∇⋅×∇⋅=×⋅∇+×⋅∇=×⋅∇
( ) BC-AACBBAC ×⋅=×⋅=×⋅
5)( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )BA-ABBA-ABBABABA BA
∇⋅⋅∇+⋅∇∇⋅=××∇+××∇=××∇
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BCA - ABC BAC - ACBBAC ⋅⋅=⋅⋅=××
Operatori differenziali del II ordine
6)( ) Laplaciano⇒∇Φ∇=Φ∇⋅∇ 22
In coordinate cartesiane: 2
2
2
2
2
22
zyx ∂
Φ∂+
∂
Φ∂+
∂
Φ∂=Φ∇
( ) ( ) Φ=Φ⋅=Φ⋅ 2CCCCC
Identità vettoriali differenziali
7)
( ) ( ) ( ) ( ) AAAAA 2∇−⋅∇∇=∇⋅∇−⋅∇∇=×∇×∇
( ) ( ) ( ) ( ) AC-CCA ACC - CCAACC 2⋅=⋅⋅=××
8) ( ) 0=Φ∇×∇ ( ) ( ) 0=Φ×=Φ× CCCC
9) ( ) 0=×∇⋅∇ A ( ) ( ) 0=⋅×=×⋅ ACCACC
Lemmi di Green
1)( ) ( )∫∫ Ψ∇Φ+Ψ∇⋅Φ∇=Ψ∇Φ⋅∇
ττ
ττ dd 2( ) Ψ∇Φ+Ψ∇⋅Φ∇=Ψ∇Φ⋅∇ 2
( )∫∫∫ Ψ∇Φ+Ψ∇⋅Φ∇=∂Ψ∂
Φ=⋅Ψ∇Φ
τ
τddSn
dS
SS
n 2
Identità vettoriali differenziali
2)
( )∫∫∫ Φ∇Ψ+Ψ∇⋅Φ∇=∂Φ∂
Ψ=⋅Φ∇Ψ
τ
τddSn
dS
SS
n 2
scambiando le due funzioni e sottraendo membro a membro
( ) ( )∫∫∫ Φ∇Ψ+Ψ∇Φ=
∂Φ∂
Ψ−∂Ψ∂
Φ=⋅Φ∇Ψ−Ψ∇Φ
τ
τddSnn
dS
SS
n 22
Generalizzazione: sistemi di coordinate curvilinee
Non sempre l’uso di coordinate cartesiane è il più conveniente
( ) ( ) ( )zyxqqzyxqqzyxqq ,,,,,,,, 332211 === funzioni ad un solo valore
Con riferimento ad un sistema di coordinate cartesiane le equazioni
332211 ,, CqCqCq === rappresentano tre superfici il cui punto di intersezione P è individuato dai tre valori delle coordinateq1, q2 e q3
Sistema di coordinate curvilinee
Se incremento q1di dq1il punto P si sposta sulla linea q1 della quantità ds1 che in generale non coinciderà condq1 come avviene per le coordinate cartesiane, ma sarà proporzionale ad esso. Il coefficiente di proporzionalità verrà indicato con chiamato coefficiente metrico
1
11 q
sh
∂∂
=
P(q1,q2,q3)
Esempi
Sistemi di coordinate curvilinee
333222111 ,, dqhdsdqhdsdqhds ===
303320221011
30320210133
22
11
qqq
qqqrrr r
dqhdqhdqh
dsdsdsdqq
dqq
dqq
d
++=
=++=∂∂
+∂∂
+∂∂
=
0iii
hq
qr=
∂∂
1,2,3i =∂∂
=
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=i
i
iiii q
sqz
qy
qx
h222
Sistemi di coordinate curvilinee
zqyqxq === 321 ,,
1,1,1 321 === hhh
Coordinate cartesiane
2 rxy
z
yx zyxr
q q rq
22222
πϕπθ
ϕθ
ϕθ
≤≤<≤∞<≤
=+
=++=
===
000
arctanarctan
,, 321
Sistemi di coordinate curvilinee
( ) rh rh h θsin,,1 321 ===
Coordinate sferiche
Sistemi di coordinate curvilinee
z 2
zz xy
yx
zq q q
22
∞<<∞−<≤∞<≤
==+=
===
πϕρ
ϕρ
ϕρ
00
arctan
,, 321
h h h 1,,1 321 === ρ
Coordinate cilindriche
[ ] [ ]∫∫ =∇SV
dSdV n Formula di Green
Sistemi di coordinate curvilinee
[ ] [ ] [ ] [ ]33
30
22
20
11
10qhqhqh ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇qqq
[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ q q q 21303
31202
32101321
1hh
qhh
qhh
qhhh
33
30
22
20
11
10qhqhqh ∂Φ∂
+∂
Φ∂+
∂Φ∂
=Φ∇qqq
( ) ( ) ( )
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇ A 321 Ahhq
Ahhq
Ahhqhhh 21
331
232
1321
1
332211
321
321
321
1
AhAhAh
qqq
hhh
hhh∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
302010 qqq
A
Sistemi di coordinate curvilinee
Campi scalari e vettorialiLe proprietà dei campi EM sono descritte attraverso relazioni fra grandezze fisiche gran parte delle quali hannola natura di ‘campi vettoriali’
Campi scalari e vettoriali
Campo scalare: funzione scalare di puntoavvenire attraverso le superfici di livello
Campo vettoriale: funzione vettoriale di puntoavvenire mediante linee di forza o linee di flusso del vettore
( ) ( )rΨ=Ψ P
( ) ( )rAA =P
• Campo solenoidale: le linee di forza sono chiuse, non hanno né inizio né fine(deriva da “vortici”, privo di sorgenti)
• Campo irrotazionale o conservativo: le linee di forza sono aperte, hanno origine e termine in particolari puntidello spazio (deriva da “sorgenti”, privo di vortici)
La rappresentazione di un campo vettoriale può
La rappresentazione di un campo vettoriale può
Campi irrotazionali e solenoidali
Consideriamo ora un campo vettoriale che sia privo di vortici in una regione τ (irrotazionale), cioè supponiamo:
F
τ 0F in=×∇ci chiediamo se esiste una funzione scalare il cui gradiente sia pari al campo vettoriale Cioè: F
F=Φ∇ se questa funzione esiste essa si chiama potenziale scalare del campo vettoriale F
E’ possibile dimostrare che tale funzione esiste a patto che la regione in cui è irrotazionale sia a connessione lineare semplice
F
Consideriamo ora un campo vettoriale che sia privo di sorgenti in una regione τ (solenoidale), cioè supponiamo:
B
τ 0B in=⋅∇ci chiediamo se esiste una funzione vettoriale il cui rotore sia pari al campo vettoriale Cioè: B
BA =×∇ se questa funzione esiste essa si chiama potenziale vettore del campo vettoriale B
Dato un campo vettoriale che sia il gradiente di una funzione scalareF Φ 0=×∇ F
Dato un campo vettoriale che sia il rotore di una funzione scalareB A 0=⋅∇ B
Φ∇=F
AB ×∇=
E’ possibile dimostrare che tale funzione esiste a patto che la regione in cui è solenoidale sia a connessione superficiale semplice
B
