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[email protected] Argomento 6 Francesca Apollonio Dipartimento Ingegneria Elettronica E-mail: [email protected] Lezione 9 Lezione 10
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Argomento 6
Francesca Apollonio
Dipartimento Ingegneria Elettronica
E-mail: [email protected]
Lezione 9Lezione 10
c
iimi j
jkεω
µω
JJ JEE
⋅∇∇−+×∇=+∇ 22
ck εµω 22 =
La classe di soluzioni fornita dal-l’eq. di Helmholtz è più ampia diquella fornita dal sistema di eq. di Maxwell (operazione di derivazione)
c
i
j εω J
E ⋅∇
−=⋅∇ quindi tra tutte le soluzioni dell’equazione di Helmholtz scegliamo quelle che soddisfano anche la
Equazione di Helmholtz
022 =+∇ EE kck εµω 22 =
0=⋅∇ E
OMOGENEA
Soluzione equazione di H.
022 =+∇ EE k
( ) )()()(0 zZyYxXx,y,z EE =
vettore complesso funzioni scalari complesse
Metodo di soluzione per separazionedelle variabili
( ) ( )zkykxkj zyxezyx ++−= 0,, EE
determina la polarizzazione del campo elettrico
determina la propagazione cioèla dipendenza dalle coordinate
ck εµω 22 =
2222 kkkk zyx =++ Condizione di separabilità
rk ⋅=++ zkykxk zyx
( ) ( ) rk ErEE ⋅−== jezyx 0,,
( ) ( ) rβ rαErEE ⋅−⋅−== jeezyx 0,, sol. dell’eq. vettoriale di H. omogenea
αβk j−=
k=vettore di propagazione
β=vettore di faseα=vettore di attenuazione
Determinazione di k (come modulo)
( ) ( ) rk ErEE ⋅−== jezyx 0,, Rappresenta un’onda piana
ωµσµεωµεω jk c −== 222
( ) ( )2
Re
2
Re2 µεµεω
µεµεωµεω cccc
c jkk−
−+
===
JR jkkk −=
( )
( )2
Re
2
Re
µεµεω
µεµεω
ccJ
ccR
k
k
−=
+=
Caratteristiche di propagazione delle onde piane
( ) ( ) rk ErEE ⋅−== jezyx 0,,
( ) ( ) rβ rαErEE ⋅−⋅−== jeezyx 0,,
ωµσµεωµεω jk
kkkk
c
zyx
−==⋅=
⋅==++22kk
kk2
2222
( ) ( ) ωµσµεωαβ jkjjj −==⋅−−=−⋅− 2αβαβαβ 222 2
µεωαβ 2=− 22
2ωµσ
=⋅αβ
parte reale
parte immaginaria
Consideriamo un mezzo L-S-O-I-nonD->ε, µ reali positivi
αβ >
αβk j−=
Casi particolari
0=σ1) Mezzo privo di conducibilità (senza perdite)
0=⋅αβ
µεω2=2k
a) verificata per 0=α Onda piana e uniforme
000 ββ β βk µεωβ ==== k
µεβω 1
==u velocità della luce nel mezzo
k=reale
µεωµεω
αµεωαµεωβ >+=+=2
222 1 µε
µεωαµε
1
1
11
2
2<
+
=u
b) verificata per α β Onda piana non uniformeattenuata in direzioneperpendicolare alla direzione di propagazione
k=reale
Onda evanescente
Onda piana non uniforme
θ
µεωαµε cos
1
1
11
2
2+
=ru
µεωα
θ
2
20
1
1arccos
+
= se
µε
1=ru
µεθθ 1
0 <⇒< ruper onda lenta
µεθθ 1
0 >⇒> ruper onda veloce
Esempio onda piana e uniforme
Calcolo parametri di base:Un’onda piana uniforme con una frequenza di 3 GHz si propaga in un mezzo senza superfici di discontinuità con εr=7 e µr=3. Calcolare la velocità di fase e la lunghezza d’onda:
( )( ) m/s
cu
rr
78
1055.637
1031
====
εµµε
ella lucevelocità ddella <= 58.421
mfu
fu
fu
2
9
7
102103
1055.62222 −≈=====⇒=ππ
µεω
πβπλλ
0≠σ2) Mezzo dissipativo (con perdite)
non nullientrambi α e β
Caso particolare α // β Onda piana uniforme e attenuata
0β β β= 0α α α= ( ) 00 β β k kαj-β ==
−=−==
ωεσµεωωµσµεωµεω jjk c 12 222
Onda che si propaga nella direzione di β con velocità di fase u=ω/β, lunghezzad’onda λ=2π/βed un fattore esponenziale di attenuazione.
k=complesso
3) Mezzo dissipativo e dispersivo (con perdite) 0≠σ complessa ε
( )
−−=
=−−=−==
'0
'
'''
0
'''0
2
1εωε
σεεεµεω
ωµσεεµεωωµσµεωµεω
jj
jjjk c
2
222
Caso particolare α // β Onda piana uniforme e attenuata
Perdite legate allacorrente di spostamento
Perdite legate allacorrente di conduzione
0'' ≠ε
k=complesso
JR jkkk −=
( )
( )2
Re
2
Re
µεµεω
µεµεω
ccJ
ccR
k
k
−=
+=
( )
+−=−−=
ωσεεεε
ωσεεεε ''
0'
0'''
0 jjjc
Caratteristiche di polarizzazione delle onde piane
( ) ( ) rk ErEE ⋅−== jezyx 0,,L’operatore opera sulla funzione come ∇ k j−
[ ] [ ] ( )[ ] [ ]kzyxzyx jkkkjzyx zyx −=++−=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ 000000
( )zkykxkjj ee zyx rk ++−⋅− =
( ) 0E EE EE =+∇⋅∇=+∇⋅∇=+∇ 2222 kkk
( ) ( ) 222 0 kkkjj =⋅⇒=+⋅−=+−⋅− kkkkkk condizione di separabilità
EkEEkE×−=×∇
⋅−=⋅∇j
j
( ) ( ) rk ErEE ⋅−== jezyx 0,, La funzione d’onda è stata ottenuta come solu-zione dell’eq. vettoriale di Helmholtz
00 =⋅⇒=⋅∇ EkE ⇒ 0=⋅ 0Ek
JR j 00 EEE0 +=
( ) ( ) 000 =+⋅ JR jj EEα-β
0
0
00
00
=⋅−⋅
=⋅+⋅
RJ
JR
EαEβ
EαEβTrovato il campo elettrico, quello magneticosi può ricavare dalla:
H E ωµj−=×∇
H Ek ωµjj −=×−
rkrk HEkEk
H ⋅−⋅− =×
=×
= jj ee 00
ωµωµfunzione d’onda dello stesso tipo di quella di E
ωµ0
0Ek
H×
=
Casi particolari
1) Mezzo non dispersivo e non dissipativo 0, =σµε ; sitivereali e po
0=α Onda piana e uniforme (non attenuata)
0
0
00
00
=⋅−⋅
=⋅+⋅
RJ
JR
EαEβ
EαEβ
0
0
0
0
=⋅
=⋅
J
R
Eβ
Eβ
( )ωµωµ
JRJR
jj 000
000EEβEβ
HHH+×
=×
=+=
ωµ
ωµ
JJ
RR
00
00
EβH
EβH
×=
×=
ωε
ωεJ
J
RR
00
00
HβE
HβE
×−=
×−=
βk =
Onda piana e uniforme (non attenuata)
la costante di propagazione coincidente con β è ortogonale a E0R e a E0J, H0R, H0Jsia il vettore campo elettrico E che quello campo magnetico H non hanno componenti nella direzione di propagazione
Onda TEM(TrasversoElettroMagnetica)
00 =⋅ REβ
ωµR
R0
0Eβ
H×
=
00 =⋅ JEβ
ωµJ
J0
0Eβ
H×
=
Sovrapposizione di due onde polarizzate linearmente: onda risultante polarizzata ellitticamente
1) 2)
00 =⋅ REβ
ωµβ 00
000eβ
hH 0 RRR
EH
×==
1)
0β βhH
eE
βHE
RR
RR
===
000
000
ωµR
R0
0Eβ
H×
=
00 000 =⋅⇒=⋅ eβeβ 00 REβ
RRR
R EEE
H 000
0
00
µε
ωµµεω
ωµβ
===
×=
eβh 0
E0R
e0
H0R
h0
β
β0
εµς ==
R
R
HE
0
0 Impedenza caratteristica del mezzo
Ω=Ω== 3771200
00 π
εµ
ς vuoto
000
01
EβEβ Eβ
H 00 ×=
×=
×=
ςωµβ
ωµ
Vettore di Poynting per l’onda piana uniforme:
0*
000*
000*
00 21
21
21
21 β heHEHEΠ rβrβ*
RRRRj
Rj
R HHHEee ς=×=×=×= ⋅⋅−
( ) 000000 βeβehe =××=×
Vettore costante reale diretto come il vettoredi propagazione
Stesso procedimento vale per la soluzione 2)
1) Mezzo non dispersivo e non dissipativo
0, =σµε ; sitivereali e po
Onda piana non uniformeα β
Consideriamo il campo elettrico polarizzato linearmente
JR j 00 EEE0 += ad esempio E0J=0
0000 xeEE 00 RRR EE ===
0z β β=
0y α α=
( ) z xEE jyR eeEy,z βα −−== 00
( ) ( ) =
×−×=
×== −−⋅−− zjβyαRRjj ee
Ej
Eey,z rαβ xyxz
EkHH 00
000
00
ωµα
ωµβ
ωµ( ) zjβyαR eej
E z y −−+= 000 αβ
ωµ
( ) 000 =⋅− eαβ REj0=⋅ 0Ek 00
0
0
=⋅=⋅
eαeβ
x
E0
H0R
y
z
β
H0Jα
Il campo elettrico è polarizzato linearmente, quello magneticoè polarizzato ellitticamente
il vettore di propagazione k=β-jα è ortogonale al campo elettrico
Onda TE(TrasversoElettrica)
Vettore di Poynting per l’onda piana non uniforme attenuata:( ) =
××=×=×= ⋅−⋅⋅− rk-k
*rkrk* *Ek
EHEHEΠ jjj eeeωµ
*0
0*
00 21
21
21 *
( ) ( )[ ] ( )αβk EkEk EE rα*rαrα**** jeE
eE
e +==⋅−⋅= ⋅−⋅−⋅− 22
022
020000 222
1ωµωµωµ
reale, diretta come β immaginaria, diretta come α
( )00 y z jαe
E yαR +=Π − βωµ
22
0
2
Se si parte dal considerare il campo magnetico polarizzato linearmente si arrivain modo duale ad un’onda
Onda TM(TrasversoMagnetica)h0
βα
2) Mezzo non dispersivo e dissipativo 0, ≠σµε ; sitivereali e po
endicolarie non perpnon nullientrambi α e β
Caso particolare α // β Onda piana uniforme e attenuata
( ) 000 ββ β k ckjαβ µεω==−=
0=⋅ 0Ek 0=⋅ 00 Eβ
00 EβH 0 ×=ωµk
Onda TEM
00 eE 0E= campo elettrico polarizzato linearmente
000 heβH 000 H
kE=×=
ωµ
0eβh 00 ×= 000
0 EEkE
H cc
µε
ωµµεω
ωµ===
anche il campo magnetico è polarizzato linearmente
ςεµ
==cH
E
0
0
02*
000*
000 21
21 β heΠ rβ rβ rβ rβ rβ 00000 ⋅−⋅−⋅⋅−⋅− =×= ααβαβ ς eHHeeHeeE jj
Vettore di Poynting per l’onda piana uniforme attenuata:
quantità complessa
complessa, diretta come β, che si attenua con cost 2α nella stessa direzione
Costanti secondarie del mezzo
Costanti primarie del mezzo: ε, µ , σ
Costanti secondarie del mezzo: k, ζ
JRc jkkk −== µεω
( )
( )2
Re
2
Re
µεµεω
µεµεω
ccJ
ccR
k
k
−=
+=
JRc
jk
ςςωµεµς +===
22
22
JR
JJ
JR
RR
kk
kkkk
+=
+=
ωµς
ωµς
αβ
==
J
R
kk
Costanti secondarie del mezzo
Trattazione analitica
ωµσµεω jkjkkkk JRJR −=−−= 22222
JR jkkk −=
µεω2=− 22JR kk
2ωµσ
=JRkk
++=
2
1121
ωεσµεωRk
++−=
2
1121
ωεσµεωJk
Costanti secondarie del mezzo
JR jςςς +=
( )222
222 2εωσωεσωµ
ωεσωµ
εµςςςςς
+−
=+
==+−=jj
jj
jc
JRJR
222
222
εωσµεωςς
+=− JR
22221
εωσωµσςς+
=JR
222 εωσς
+= R
Rk
222 εωσς
+= J
Jk
Onda piana in un buon conduttore ωεσ >>
Esempi
Onda piana in un buon dielettrico ωεσ <<
εµσωµσ
ωµσµεω
22
21
≅=
=≅
RJ
JRR
kk
kkk
εµ
ωεσ
εως
εµ
εως
2≅≅
≅≅
JJ
RR
k
k
22
21
2
ωµσωµσα
ωµσωµσβ
≅==
=≅=
RJ
JRR
kk
kkk
σωµ
σς
σωµ
σς
2
2
≅≅
≅≅
JJ
RR
k
k
( )2
1ωµσ
jk −=
βδ
ωµσαδ
11
211
==
===
R
J
k
kProfondità di penetrazione
( ) ( ) ( ) 0
00 xxxErE zzjjkzx eeEeEzEz αβ −−− ==== 00
00 eE 0E=
000 heβH 000 H
kE=×=
ωµ
00 xE 0E=
00 yH 0H=
00 zβ 0β=
( ) ( ) ( ) 0
00 yyyHrH zzjjkzy eeHeHzHz αβ −−− ==== 00
( ) ( ) 02*
0021
z ΠrΠ zeHHz ας −==Es: ramePer f=1 MHz,
0
117108.5µµ
σ== -- mΩ
115132 −≅≅ mkk JR mkJ
310065.0211 −====
ωµσαδ
sRjjj )1()1(2
)1( +=+=+= σδσ
ωµς
Esempio onda piana in un buon conduttore
Calcolare la profondità di penetrazione di alluminio, rame, oro e argento alla frequenzadi 10 GHz:
( )( ) σσππσσµπωµσαδ 1
1051
1041011121 3
7100
-
f =====
−
alluminio: m-
77
3 101.8108.31
105 −=⇒
rame: m-
77
3 106.6108.51
105 −=⇒
oro: m- .
77
3 1086.710141
105 −=⇒
argento: m- .
77
3 104.610161
105 −=⇒
Propagazione di un’onda piana in un buon conduttore
( )δδδδδδδδ
δδ
ςωµ
zjz
s
zjzzjzzjz
zjz
eeRj
Eee
Eee
kEee
eeE
−−−−−−−−
−−
×+
=×=×==
=
000000
0
ezezezHH
eE
1000
0
0
in z=0
( ) TsRj
EHez 00 =×
+10
( ) 00 z z k kjαβ =−=
sRj)1( +=ς000 =⋅=⋅ ezek 0
0000 ezez =××
( ) 00 zHe ×=+ T
sRjE
10
( ) δδzjz
Ts eeRj−−
×+= 0zHE 1
δδzjz
T ee−−
= HH
la densità di corrente:
( ) δδδ
σzjz
T eej −−
×+
== 0zHEJ1 è diretta parallelamente alla superficie
ed ha valori sensibili solo in uno strato superficiale di spessore δ
Effetto pelle
Nei metalli ad alta conducibilità lo spessore della ‘pelle’ è talmente piccolo da poter assimilare il campo di corrente ad una lamina concentrata sulla superficie del conduttore
0s zHJ ×= T
( )
L
dzeej
L
dzLL
T
zjz
T
0
0
s
zHm
zHm
J mJm
×⋅=
=+
×⋅=
=⋅=⋅
∫
∫∞ −−
∞
0
0
1 δδδ
Ipotesi:• lo spessore della ‘pelle’ molto minore di tutte le dimensioni caratteristiche del corpo• lo spessore della ‘pelle’ molto minore delle minime distanze per cui si hanno apprez-zabili variazioni di HT sulla superficie• ∆s molto maggiore di δ ma piccolo a sufficienza da poter considerare l’elementopiano
nHJs ×=( ) TsT Rj H HEn ς=+=× 1
Condizione di Leontovic
impedenza superficiale
superficie o parete d’impedenza
0=×Enparete elettrica
Generalizzazione:
dSR
dSR SS 22
22 ∫∫ ==S
SS
T JHW potenza dissipata in un corpo conduttore
![[8] Nisi DominusVn.1 Vn.2 C 1 C 2 B.c. 15 œ ŒÓ œ ŒŒ‰œœ j œ j œ j œ j œ . j œ j˚ œœ ni si, ni si Do mi nus ∑ œ œœ # œœœ œœ n œœœœœ œ œœœœœ œ](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/5e3fa2be0e0d0f0f7152fb5f/8-nisi-vn1-vn2-c-1-c-2-bc-15-a-j-j-j-j-.jpg)
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