Argomento 2 -...
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[email protected] Argomento 2 Francesca Apollonio Dipartimento Ingegneria Elettronica E-mail: [email protected] Lezione 3 Lezione 4
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Argomento 2
Francesca Apollonio
Dipartimento Ingegneria Elettronica
E-mail: [email protected]
Lezione 3Lezione 4
Proprietà EM dei mezzi materiali
J tDH
tBE
+∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
B D
0=⋅∇=⋅∇ ρ
tJ
∂∂
−=⋅∇ρ
Eq di Maxwell nel vuoto
+
Eq di continuità della corrente Propagazione del campo elettromagnetico
tJ
∂∂
−=⋅∇
+∂∂
=×∇
∂∂
−=×∇
ρ
J tDH
tBE Sistema di 2 eq vettoriali + 1 scalare
in 6 funz scalari incognite + 1 scalare:7 eq scalari × 16 incognite scalari
mancano 9 equazioni scalari
Peraltro le eq. di Maxwell non contengono alcuna info sulle proprietà delmezzo. Questo sotto l’azione del campo si polarizza e, se è conduttore,viene attraversato da correnti di conduzione
Eq di Maxwell
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0≠
+=+=
tttt
ttt
r,Jr,Mr,H r,B
r,Pr,E r,D
0
0
µε
vuoto( ) ( )( ) ( )( ) 0=
==
ttt
tt
r,Jr,H r,B
r,E r,D
0
0
µε
smc
mHenry
m
Farad
/1031
1043610
8
00
70
90
⋅≅=
=
= −
−
εµ
πµπ
ε
B D
0=⋅∇=⋅∇ ρ
Proprietà EM dei mezzi materialidominio del tempo
Proprietà di un mezzo:•Linearità (L)•Stazionarietà (S)•Omogeneità (O)•Isotropia (I)•Non dispersività (nonD)
E, H
Mezzo
P, J->D
M->B
Effetti
funzione di E
funzione di H
Proprietà EM dei mezzi materiali
Cause
εε 0 r
ε 0
Piano conduttore
Striscia conduttrice
Classificazione dei mezziMezzi non in movimento: ogni effetto è determinato da una singola causa
( ) ( ) ( ) EJJ HMM EP P ===1. Mezzi lineari (Linearità L)
La relazione tra causa ed effetto è lineare (vale il principio di sovrapposizione degli effetti)
( ) ( ) ( ) EPEP EEP 2121 +=+
2. Mezzi stazionari (Stazionarietà S)Le caratteristiche sono indipendenti dal tempo ( ) ( ) ( ) ( )212121 tttttt P PE E : , =⇒=∀
3. Mezzi omogenei (Omogeneità O)Le caratteristiche sono indipendenti dal punto ( ) ( ) ( ) ( )212121 rP rPrE rE : r ,r =⇒=∀
4. Mezzi isotropi (Isotropia I)Le caratteristiche sono indipendenti dalla direzione del vettore ‘causa’
( ) ( ) ( )t//tt r,E r,P E , r, ⇒∀5. Mezzi non dispersivi temporalmente (nonD)
L’effetto dipende dalla causa solo nell’istante considerato (e non in istanti precedenti)( ) ( )[ ]tftt E P 1=⇒∀
6. Mezzi non dispersivi spazialmente (nonDs)L’effetto dipende dalla causa solo nel punto considerato (e non in punti circostanti)
( ) ( )[ ]rE rPr 2f=⇒∀
Relazioni costitutive del mezzo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ttt
tttr,Mr,H r,B
r,Pr,E r,D
0
0+=
+=µε
Intensità di polarizzazione elettrica (C/m2)
Intensità di polarizzazione magnetica (Wb/m2)
( ) 0≠tr,J
( ) 0=tr,J
Mezzo dissipativo
Mezzo non dissipativo
( ) ( )( ) ( )( ) ( )tt
tttt
r,E r,Jr,H r,B
r,E r,D
r0
r0
σµµεε
===
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )tttivozo dissipaper un mez
tttt
m
r,E r,J
r,H r,Mr,E r,P
0
0
σ
χµχε
=
==
( ) ( )( ) ( )tt
tt
m r,H r,Br,E r,D
0
0
)1()1(
χµχε
+=+=
r0
r0
1104
10080)36(
10
2
2
7
9
==
==
−
−
OH
OH
(H/m)
MHz)(fino a (F/m)
µπµ
επ
ε
rεεχεε 00 )1( =+=
rm µµχµµ 00 )1( =+=
Esempio
Relazioni costitutive – Mezzo L.S.O.I.nonD.
Relazioni costitutive – Mezzo L.S.O.I.nonD.
rεεχεε 00 )1( =+=
rm µµχµµ 00 )1( =+=
suscettività elettrica
suscettività magnetica
costante dielettrica o permettività assoluta (scalare, costante)
permeabilità assoluta (scalare, costante)
costante dielettrica o permettività relativa, adimensionale (scalare, costante)
permeabilità relativa, adimensionale (scalare, costante)
( ) ( )ttJ r,E r, σ=conducibilità (S/m) scalare costante
0 =σdielettrico ideale
Relazioni costitutive – Altri mezzi materiali
- Nella maggior parte delle applicazioni EM è possibile trascurare le non-linearità del mezzo (i campi sono sufficientemente deboli)
- La dispersività spaziale è un effetto che raramente ha importanza
- La dispersività temporale assume importanza notevole quando i tempi che caratterizzano le variazioni dei campi diventano paragonabili ai tempi che caratterizzano la risposta del mezzo (tipicamente nell’intervallo di frequenze delle microonde).
L-S-nonO-I-nonD( ) ( )( ) ( )( ) ( )tt
tttt
r
r
r,E rr,Jr,Hr r,B
r,Er r,D
)()(
)(
0
0
σµµεε
===
L-S-O-anisotropo-nonD( ) ( )( ) ( )( ) ( )tt
tt
tt
r,E r,J
r,H r,Br,E r,D
r0
r0
σ
µµεε
=
=
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
=
z
y
x
zzrzyrzxr
yzryyryxr
xzrxyrxxr
z
y
x
EEE
DDD
εεεεεεεεε
L-nonS-O-I-dispersivo( ) ( ) ( ) ''', dttttt r,E r,D ∫+∞
∞−
= ε
( ) ( ) ( )ttdttttt E r,E r,D ⊗=
+∞
∞−
−= ∫ εε ''' L-S-O-I-dispersivo
Relazioni costitutive – Altri mezzi materiali
i puntofunzioni d : , , σµε
diadicheti : , ,
tancosσµε
Relazioni costitutive – Altri mezzi materiali
Anisotropia
( ) ( )tEt r,xr,E 01 1= Causa in una direzione
( ) ( ) ( ) ( )tEtEtEt r,xr,xr,xr,D 030201 131121111 εεε ++= Effetto non parallelo
Caso generale
Caso particolare
( ) ( ) ( ) ( )ttEtEt jj
j r,Exr, r,xr,E 0j0j ⋅==∑=
3
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) r,E r,Ex x r,xr,εr,D 0j0i0ij ttεtEεtEti j
ijj i
jijj
j ⋅=⋅=== ∑∑∑∑∑= == ==
ε3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
=
z
y
x
zzrzyrzxr
yzryyryxr
xzrxyrxxr
z
y
x
EEE
DDD
εεεεεεεεε
Relazioni costitutive – Altri mezzi materiali
Dispersività temporale
( ) ( ) ( ) ''', dtttttt
r,E r,D ∫∞−
= ε Inerzia delle strutture atomiche
Ipotesi di causalità
( ) ( ) ( ) ''', dttttt r,E r,D ∫+∞
∞−
= ε( ) tttt >= ' 0, 'ε
t: istante di osservazione dell’effetto
t’: istante, variabile di applicazione della causa
Mezzo dispersivo e stazionario
( ) ( ) ( )ttdttttt E r,E r,D ⊗=
+∞
∞−
−= ∫ εε ''' Integrale di convoluzione
funzioni scalari di punto, reali e ind da ω
Vuoto
Relazioni costitutive – Altri mezzi materialidominio della frequenza
( ) ( )( ) ( )( ) 0
0
0
===
ωωµω
ωεω
r,Jr,H r,B
r,E r,D
costantiL-S-O-I-ND
( ) ( )( ) ( )( ) ( )ωσω
ωµµωωεεω
r,E r,Jr,H r,B
r,E r,D
===
r
r
0
0
L-S-nonO-I-ND
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ωσω
ωµωωεω
r,E rr,Jr,H r r,B
r,Er r,D
===
( ) ( )( ) ( )( ) ( )ωσω
ωµω
ωεω
r,Er,J
r,H r,B
r,E r,D
⋅=
⋅=
⋅=L-S-O-nonI-ND
diadici, reali e ind da ω
L-S-O-I-D
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ωωσω
ωωµωωωεω
r,E r,Jr,H r,B
r,E r,D
===
funzioni complesse di ω
( ) ( ) ( )ωεωεωε JR j+=ω: pulsazione del campo EM applicato
Relazioni costitutive – Altri mezzi materialidominio della frequenza
L-S-O-I-D
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ωωσω
ωωµωωωεω
r,E r,Jr,H r,B
r,E r,D
===
funzioni complesse di ω
( ) ( ) ( )ωεωεωε JR j+=
( ) ( ) ( )( )ωεωεεωε '''
0 j−=
( )ωε R( )ωε J
( ) ( ) ( )( )ωµωµµωµ '''
0 j−=
( )ωµR( )ωµ J
In questo caso ε e µ prendono il nome di permeabilità complesse elettrica e magnetica. Attraverso ε si tiene conto non solo della polarizzabilità elettrica dei materiali ma anche della loro conducibilità.
( ) ( ) ( ) ( )
+−=+=
0
'''0 ωε
σωεωεεωσωεωε
jj
jc
permeabilità elettrica complessa
'εrε''ε
Dispersività - EsempiMEZZI DIELETTRICI ( ) ( ) ( )( )ωεωεεωε '''
0 j−=
Esempio 1: dielettrici polari, il caso dell’acqua
Esempio 2: dielettrici non polari.La dispersività diviene importante solo quando la f del campo è dell’ordine di migliaia di GHz (frequenza di risonanza delle strutture atomiche)
Frequenza di rilassamento
Dispersività – EsempiDielettrico dispersivo non polare
Momento di dipolo
-q +q
x
E=Ex0
p=qxx0
Polarizzazione atomica
Polarizzazione elettronica
Se abbiamo N dipoli uguali per unità di volume, il vettore intensità di polarizzazione elettrica P è dato da: 0x P Nqx=Per ricavare la relazione tra P ed E consideriamo il movimento della carica –q rispetto alla carica +q. Tale movimento si svolge nella direzione x0 del campo elettrico applicato ma nel verso opposto. Lo spostamento avviene sotto l’azione delle forze seguenti:
a) Forza di Coulomb -qEx0
b) Forza di richiamo (elastica) kxx0
c) Forza di smorzamento (dovuta alle collisioni) β dx/dt x0dtdx
kxqdt
xdm
ma
β++−=−
=
E
F
2
2
)(2
2
tqEkxdtdx
dtxdm =++ β
)()()()( 2
2
2
tENqtkPdt
tdPdt
tPdm =++ β
Nq×
)()()( 22 ωωβωω ENqPkjm =++−
)(2)(
1)()(22
0
2
2
2
ωαωωωβωω
ωω Ejm
Nqjmk
ENqP+−
=+−
=
m
mk
2
0
βα
ω
=
=
dominio frequenza
NqxP =
Dispersività – EsempiDielettrico dispersivo non polare
)()()( 0 ωωεω PED +=
)()()(2)(
1)(
220
2
0 ωωεωαωωω
εω EED =
+−+=
jmNq
222220
2
222220
220
2
0
4)(2
)(
4)()(
)(
ωαωωωαωε
ωαωωωω
εωε
+−−=
+−−
+=
m
Nq
mNq
J
R
Frequenza di risonanza
Dispersività – EsempiDielettrico dispersivo non polare
0)(
)(20
2
00
≅
+≅<<
ωεω
εωεωω
j
R mNq
123
12
3
1 bassa frequenza
( )
( ) 22
00
2
22
0
0
0
2
00
2)(
2)(
αωωα
ωωε
αωωωω
ωεωεωω
+−−≅
+−−
+≅≅
mNq
mNq
j
R
2 alta frequenza
3 risonanza
0)(
)(2
2
00
≅
−≅>>
ωεω
εωεωω
j
R mNq
m
mk
2
0
βα
ω
=
=
Dispersività dei dielettrici
dielettrici polari
dielettrici non polari
rilassamento
risonanze
Dispersività - EsempiMEZZI MAGNETICI
(ferriti)( ) ( ) ( )( )ωµωµµωµ '''
0 j−=
( )ωµR( )ωµ J
Esempio: ferrite al nichel
Frequenza di rilassamento(MHz)
Dispersività - Esempi
MEZZI CONDUTTORI EJ σ=
( )ωσωεjc ≈
I valori di conducibilità sono così elevati che il secondo termine prevale sul primo (che è dell’ordine di εo=8.86 10-12 F/m) fino a frequenze dell’ordine di migliaia di GHz.
( ) ( )ωσωεωεjc +=
( )EEJEJH ' ''00 εωεσεωεωε +++=+=×∇ jj ici
'0
''0 εωεεωεσ >>+
Ricapitolando
MEZZI DIELETTRICI εMisura di quanto il mezzo scherma rispetto al campo elettrico
>−Costante per L-S-O-I-nonDFunzione di punto per L-S-NO-I-nonDDiade per L-S-O-NI-nonDFunzione per L-S-O-I-Dcomplessa di ω
MEZZI MAGNETICI µMisura di quanto il mezzo scherma rispetto al campo magnetico
>−Costante per L-S-O-I-nonDFunzione di punto per L-S-NO-I-nonDDiade per L-S-O-NI-nonDFunzione per L-S-O-I-Dcomplessa di ω
MEZZI CONDUTTORI σMisura di quanto il mezzo sia dissipativo (presenza di perdite)
>−Costante per L-S-O-I-nonDFunzione di punto per L-S-NO-I-nonDDiade per L-S-O-NI-nonDFunzione per L-S-O-I-Dcomplessa di ω
ωσεεjc +=
![Gflihlf` MX`ccXek6...Le\ gfdg\ ~ Z_Xc\li mflj gifZli\ Y\XlZflg XmXekX^\j% Efe j\lc\d\ek \cc\ eË d\k gXj [\ gXik`Zlc\j efZ`m\j dX`j \e gclj cX eXkli\ ]flie`k ^iXkl`k\d\ek ., [\j Y\jf`ej](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/60245b66ee8fdb6dee3ea359/gflihlf-mxccxek6-le-gfdg-zxcli-mflj-gifzli-yxlzflg-xmxekxj-efe.jpg)
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