Le sezioni coniche di Apollonio e i luoghi

geometrici di Descartes

Rosa ZolloLiceo Scientifico “G. Galilei” Pescara

APPROCCIO SCOLASTICO ALLE SEZIONI CONICHE

• Storia dell’arte

• Proprietà della parabola come proprietà di uno specchio parabolico

• Costruzione per punti del grafico del moto di un proiettile

• Osservazione della zona della parete illuminata da una torcia

Come l’uomo ha sviluppato il concetto delle sezioni coniche

Osservazione dello spazio circostante

Possibile descrizione delle sezioni coniche

PARABOLA ORTOTOME

IPERBOLE AMBLITOMEELLISSE OXITOME

La costruzione secondo Menecmo

APOLLONIO di Perga (262 - 190 a.C.)

Se una retta, prolungata all'infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio

Libro “ Coniche”

Definizione di cono

THEOREMA XI PROPOSITIO XI

“Si conus plano per axem secetur; secetur autem et altero plano

secante basis secundum rectam lineam, quae ad basim trianguli

per axem sit perpendicularis: et sit diameter sectionis uni later

trianguli per axem aequidistans: recta linea, quae a sectione

coni ducitur aequidistans communi sectioni plani secantis, et

basis coni, usque ad sectionis diametrum; poterit spatium

aequale contento linea, quaeex diametro abscissa inter ipsam

et verticemsectionis interiicitur, et alia quadam, quae ad linea

inter coni angulum, et verticem sectionis interiectam, eam

proportionem habeat, quam quadratum basis trianguli per

axem, ad id quod reliquis duobus trianguli lateribus continetur.

Dicantur autem huiusmodi sectio parabole.”

THEOREMA XI PROPOSITIO XI

Un cono sia tagliato da un piano passante per l’asse del cono e da un altro piano secante la base del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC del triangolo passante per l’asse del cono. Inoltre il diametro ZH della sezione conica risultante sia parallelo ad uno dei due lati (ad esempio AC) del triangolo passante per l’asse del cono. S dimostra allora che il quadrato di ogni segmento KP condotto dalla sezione conica sul diametro della conica parallelamente al segmento ED è equivalente al rettangolo che ha per lati il segmento ZP, Z vertice della sezione conica risultante, ed un segmento OZ individuato dalla seguente relazione:

TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA PARABOLA

THEOREMA XIII PROPOSITIO XIIIUn cono sia tagliato da un piano passante per l’asse del cono e da un

altro piano che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia condotto né parallelamente né antiparallelamente alla base del cono, inoltre il piano della base del cono e il piano secante si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC del piano , perpendicolare al prolungamento di questa base. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante b e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP1 che incontrerà il prolungamento della base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione:

TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA ELLISSE

PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)

PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR.

THEOREMA XII PROPOSITIO XII

Un cono sia tagliato da un piano passante per l’asse del cono e da un altro piano che, incontrando ciascuno dei lati del triangolo passante per l’asse del cono, non sia condotto parallelamente alla base del cono, inoltre il piano della base del cono e il piano secante si incontrino secondo una retta perpendicolare alla base del triangolo passante per l’asse del cono secondo una retta ED perpendicolare alla base BC in un punto interno a tale lato. Si dimostra che il quadrato di ogni segmento condotto da un punto della sezione conica (così ottenuta) parallelamente alla retta risultante dalla intersezione fra il piano secante e la base del cono, fino al diametro della sezione conica è equivalente all’area (ottenuta nel modo che segue), con riferimento alla figura si tracci dal vertice A del cono la parallela al diametro PP1 (si osservi che il punto P1 si trova sull’altra falda del cono) che incontrerà la base del triangolo BC nel punto F. Si applichi quindi al punto P un segmento PL che verifichi la condizione:

TALE SEZIONE VERRÀ CHIAMATA IPERBOLE

PP1 : PL = AF2 : (BF . FC)

Quindi da V si conduca la parallela a PL che lo interseca in R, situato sul prolungamento di P1L , si consideri quindi il rettangolo ottenuto moltiplicando PV con VR.

Analisi del testo dei teoremi

INTERPRETAZIONE GRAFICA

DEGLI STUDENTI

PARABOLA

ELLISSE

IPERBOLE

COSTRUZIONE

EQUAZIONE CARTESIANA DELLE CONICHE

Equazione cartesiana della PARABOLA

Sia P l’origine degli assi cartesianiZP = xPK = yPL indica il parametro p Dalla tesi abbiamoKP2 = OZ. ZPQuindi y2 = px

Equazione cartesiana della ELLISSE

Sia V l’origine degli assi cartesiani PV = xQV = yPL indica il parametro k, PP ‘ diametro a dell’ellisse Dalla similitudine dei triangoli PP’L e P’VRsi ottieneLS = (k/a)xDalla tesi abbiamoQV2 = VR . PV = (PL – LS)PVQuindi y2 = kx - (k/a) x2

Equazione cartesiana della IPERBOLE

Sia V l’origine degli assi cartesiani PV = xQV = yPL indica il parametro k, PP’ l’asse trasverso dell’iperbole aDalla similitudine dei triangoli PP’L e P’VR si ottieneVR = (x + a)k/aDalla tesi abbiamoQV2 = VR . PVQuindi y2 = kx + (k/a) x2

EQUAZIONE CARTESIANA

COSTRUZIONE DEI LUOGHI GEOMETRICI

DESCARTES (1596-1650)

GEOMETRIE (1637)

Problema delle costruzioni indeterminate

Problema di Pappo

• Date tre rette in un piano trovare la posizione di tutti i punti da cui si possono tracciare rette che intersecano le rette date n modo tale che il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite abbia un rapporto dato con il quadrato della terza retta costruita. Se le rette fissate sono quattro allora il rettangolo contenuto da due delle due rette costruite ha un rapporto dato con il rettangolo costruito dalle altre due.

Se le rette sono tre o quattroil luogo generato è una sezione conica

CR . CQ = k CP2

Curva di secondo grado

In questa costruzione fissa tre rette AG, OD ed AL. Considera il fascio di rette improprio generato da CD, pendenza fissa b/c. la curva è generata dai punti P intersezione di AL e CD, al variare di AL nel fascio di centro A e al variare delle rette nel fascio CD.

Luogo geometrico della PARABOLA

Fissate tre rette due parallele L1 ,L2 ed una perpendicolare L3Il luogo geometrico

è determinato da tutti i punti Pd1d2 = ad3

EQUAZIONE CARTESIANAay = x2 – 2ax

Luogo geometrico della IPERBOLE

Fissate tre rette due parallele L1 ,L2 ed una perpendicolare L3

Il luogo geometrico è determinato da tutti i punti P che verificanod1d3 = ad2

EQUAZIONE CARTESIANAxy = a(2a – x)

CONCLUSIONI

Analisi delle costruzioni

Punto di vista ApollonioPunto di vista Apollonio

Costruzione sezione

Equazione cartesiana

Punto di vista di DescartesPunto di vista di Descartes

Luoghi geometrici

Costruzione grafico del luogo