Elementi di Fisica Nucleare e...

Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare

Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo

Universita di Roma Tor Vergata

Lezione 12A.A. 2019-2020

Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 12 A.A. 2019-2020 1 / 55

Conservazione dello spin isotopico

Se raffiguriamo l’isospin come un vettore nello spazio tri-dimensionale dell’isospin,uno spazio astratto con assi I1, I2 e I3, la conservazione dell’isospin per leinterazioni forti equivale all’invarianza della lunghezza del vettore per rotazionidegli assi delle coordinate in questo spazio. L’hamiltoniana delle interazioni forti el’isospin totale commutano tra loro:

[Hstrong , I] = Hstrong I− IHstrong = 0

cioe l’isospin totale e costante nelle interazioni forti.La piu chiara evidenza della conservazione dell’isospin nelle interazioni forti vienedall’osservazione dell’indipendenza dalla carica elettrica, cioe l’interazionenucleare e la stessa per tutti i sistemi di nucleoni che si trovano nello stesso stato(indipendentemente dalla loro carica).Cio e evidente, ad esempio, nei livelli energetici dei nuclei speculari (nuclei chehanno il numero di protoni e neutroni invertiti Z1 = N2 e N1 = Z2), o piu ingenerale quelli con stesso numero di massa ma diverso numero di protoni (Es.14C ,Z = 6,N = 8; 14N,Z = 7,N = 7; 14O,Z = 8,N = 6), che differiscono peruna coppia nn-np-pp). La conclusione e che le forze pp, pn o nn hanno lastessa intensita .


Conservazione dello spin isotopico

Dato che la simmetria di isospin riguarda le interazioni forti, tutti gli adroni(cioe tutte le particelle soggette alle interazioni forti) possiedono il numeroquantico dell’isospin. Cio e evidente dall’osservazione che non soltanto ilprotone e il neutrone ma tutti i mesoni e i barioni possono essere raggruppati inmultipletti i cui membri hanno masse quasi identiche fra loro. Le piccole differenzetra le masse dei membri di uno stesso multipletto sono imputabili alle interazionie.m. (quelle deboli sono ininfluenti).

Significato della simmetria di isospin nel modello a quark.Dato che, in termini di modello a quark, il protone e composto da uud , mentre ilneutrone e composto da udd , la simmetria di isospin si deve riflettere nellasomiglianza di massa tra il quark u e il quark d.Lo stesso potra dirsi per tutti i barioni e mesoni che si ottengono uno dall’altroscambiando un quark u in un d e viceversa.


Multipletti di isospin

Vediamo ora qualche esempio di multipletto di isospin di mesoni e barioni(cioe particelle che hanno all’incirca la stessa massa ma carica diversa), tenendopresenti le seguenti considerazioni:

- se un adrone esiste in un solo stato di carica (Q = 0), esso appartiene aun singoletto di isospin I = 0 =⇒ I3 = 0, come il barione Λ o il mesone η;

- se un adrone esiste in due stati di carica, esso appartiene a un doppietto diisospin I = 1/2 =⇒ I3 = ±1/2, come il nucleone;

- se l’adrone esiste in tre stati di carica, esso appartiene a un tripletto diisospin I = 1 =⇒ I3 = 0,±1, come il pione;N.B. Un caso particolare e rappresentato dal kaone K , il quale, pur esistendoin tre stati di carica (Q = 0,±1), ha due stati neutri differenti, i cosiddettiK 0 e K 0. Da leggi di conservazione dell’isospin, si deduce che i quattrokaoni appartengono a due doppietti separati di I = 1/2; I3 = ±1/2;

- se l’adrone esiste in quattro stati di carica (Q = 0,±1,+2), esso appartienea un quadrupletto di isospin I = 3/2 =⇒ I3 = ±1/2,±3/2, come la ∆, ilprimo stato eccitato del nucleone.


Esempi di multipletti di isospin


Esempi di multipletti di isospin

Se l’isospin I = 1, come nel caso del pione o della ρ, la rappresentazione delgruppo SU(2) non sara piu quella fondamentale delle matrici di Pauli(matrici 2× 2), ma sara quella detta ”aggiunta” con le matrici:

Le autofunzioni di I3 sono i tre stati seguenti:

Definendo gli operatori I± = I1 ± iI2, avremo che che:


Esempi di applicazione della simmetria di isospin

1) Consideriamo le seguenti reazioni:

Lo stato iniziale della reazione (a) puo trovarsi solo in uno stato simmetrico diisospin, cioe Iin = 1. Lo stato finale si trova in uno stato di isospin Ifin = 1,pertanto la reazione puo sempre aver luogo perche l’isospin totale e conservato.Lo stato iniziale della reazione (b) puo esistere sia con Iin = 0 sia con Iin = 1,con la stessa probabilita ; ma, per la conservazione dell’isospin, la reazione (b)puo accadere solo se lo stato iniziale ha Iin = 1, il che e verificato nel 50% deicasi. Ci si attende allora che il rapporto tra le sezioni d’urto delle due reazioni sia:

σa : σb = 2 : 1

Tale ipotesi e verificata sperimentalmente.Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 12 A.A. 2019-2020 7 / 55


2) Un’altra conseguenza della simmetria di isospin e la predizione dei rapporti disezioni d’urto nella diffusione pione-nucleone:

π + N = π′ + N ′

I sei possibili processi sono (per costruire tutte le possibili reazioni, ci si deveaiutare con il principio di conservazione della carica e del numero barionico):

Possiamo dimostrare che, per via della simmetria di isospin, le ampiezze diquesti sei processi sono in realta riconducibili a due sole ampiezze tra statia isospin totale definito.



Il sistema pione-nucleone, infatti, ha isospin totale:

IN = 1/2 Iπ = 1 =⇒ IπN = 1/2, 3/2

Dato che le interazioni forti non cambiano l’isospin, l’hamiltoniana puo esserescomposta nella somma di due contributi, uno che determina transizioni trastati (iniziale e finale) con IπN = 1/2, e l’altra tra stati con IπN = 3/2:

Hstrong = H1/2 + H3/2

Infatti, grazie ai coefficienti di Clebsch-Gordan, possiamo scomporre gli statipione-nucleone (iniziali o finali) sulla base IπN = 1/2 e IπN = 3/2:



Le uniche transizioni possibili sono quelle da stati con IπN = 3/2 a stati conIπ′N′ = 3/2 (A3/2) o da stati con IπN = 1/2 a stati con Iπ′N′ = 1/2 (A1/2). Laterza componente deve essere la stessa per la conservazione della caricaIπN,3 = Iπ′N′,3.

Le ampiezze di probabilita dei sei processi sono calcolabili a partire da queste:


Esempi di applicazione della simmetria di isospinPer energie nel centro di massa vicine alla massa dellarisonanza ∆ (1232 MeV), che e una risonanza con I =3/2, domina il contributo dell’ampiezza A3/2 rispetto aquello dell’ampiezza A3/2:

|A3/2| |A1/2|In tale situazione i rapporti tra le sezioni d’urto di tre delle sei reazioni diventano(e questa e la situazione verificata sperimentalmente, v. pag. dopo):

I rapporti sarebbero totalmente diversi se i processi fossero dominati dallaproduzione di una risonanza con I = 1/2, anziche da una risonanza con I = 3/2:


Esempi di applicazione della simmetria di isospinNella figura sono rappresentate le sezionid’urto totali di di diffusione di π+ e π−

su protone. Come si vede, nella regionevicina alla soglia, in entrambe e visibile unforte picco ad un’energia cinetica del pioneTπ ' 200 MeV (v. scala delle ascisse inalto), che corrisponde a un’energia totale nelC.M.

√s ' 1232 MeV (v. scala delle ascisse

in basso).Nella sezione d’urto σπ+p e compresa solola reazione (a), mentre nella sezione d’urtoσπ−p sono comprese le reazioni (c) ed (e).Il rapporto tra le sezioni d’urto intorno al picco:

σ(π+ + p)→ (π+p)

σ(π− + p)→ X' 3

conferma che in questa regione di energia domina l’ampiezza A3/2 , il checorrisponde alla creazione di una risonanza intermedia, la ∆ (1232) di isospinI = 3/2 (cioe esistente in quattro stati di carica).


Numeri quantici additivi


Particelle con stranezza

Nel 1947 Rochester e Butler trovarono, in camere a nebbia esposte alla radiazionecosmica, eventi che sembravano prodotti dal decadimento di due tipi di particelleneutre nuove: una di massa dell’ordine di 500 MeV/c2 (detta K 0) chedecadeva in due pioni, e una di massa poco superiore a quella dei nucleoni(Λ0) che decadeva in un protone e un pione negativo.Due immagini di prime osservazioni di kaoni in camere a nebbia.



Lo studio sistematico di tali particelle divenne possibile, a partire dal 1953, graziealla costruzione del primo fascio di pioni da 1.4 GeV al Cosmotrone di Brookhaven.



La stranezza delle particelle K e Λ consiste nel fatto che si osserva:

1) che la produzione delle particelle K 0 e Λ0 avviene attraverso la reazione:

π− + p → K 0 + Λ0

che ha sezioni d’urto molto elevate (dell’ordine del millibarn), tipiche cioe delleinterazioni forti e quindi tempi dell’interazione molto brevi.

2) che non hanno invece mai luogo le seguenti reazioni:

π− + p → K 0 + n

π− + p → K 0 + π0

benche esse potrebbero aver luogo per la conservazione della carica (e anche delnumero barionico).



3) che il decadimento delle particelle K e Λ avviene attraverso le reazioni:

Λ0 → p + π−

K 0 → π+ + π−

che hanno tempi caratteristici lunghi (cioe sezioni d’urto piccole), tipici delleinterazioni deboli, cioe le particelle hanno una vita media lunga (dell’ordine di10−12 s).

Riassumendo: la produzione di K 0 e Λ0 avviene tramite interazione forte, mentreil loro decadimento avviene mediante le interazioni deboli.



Per giustificare questa differenza di comportamento tra la produzione e ildecadimento, Gell-Mann e Nishijima postularono l’esistenza di un nuovo numeroquantico, che venne denominato stranezza, conservato nelle interazioni forti edviolato in quelle deboli; la stranezza e uguale a 0 per pione e protone, ma havalore uguale e opposto per K 0 e Λ0, pertanto essa si conserva nel processo diproduzione. Consideriamo infatti la reazione forte di produzione vista prima:

π− + p → K 0 + Λ0

Stranezza 0 0 + 1 − 1

Se si assegna arbitrariamente stranezza S = +1 al K 0, poiche non vi sonoparticelle strane nello stato iniziale e la stranezza si deve conservare, occorreassegnare stranezza S = −1 alla Λ0.K 0 e Λ0, per poter decadere, devono farlo in particelle che hanno massa inferiore,ma tutte le particelle di massa inferiore hanno il numero quantico della stranezzanullo. Pertanto K 0 e Λ0, quando decadono lo fanno in particelle con stranezzanulla, cioe violano la stranezza e quindi possono decadere solo tramite leinterazioni deboli.


Assegnazione della stranezza

Poiche la stranezza e conservata nelle interazioni forti, l’assegnazione delnumero quantico della stranezza alle varie particelle viene fatto attraversole reazioni forti a cui esse prendono parte.

Per definizione, la stranezza del K+ e posta uguale a 1: S(K+) = +1.Dalla reazione forte:

π− + p → K+ + K− + n

Stranezza 0 0 + 1 ? 0

possiamo definire che il K− deve avere stranezza opposta al K+ e cioe :S(K−) = −1.



Consideriamo nuovamente la reazione di produzione di K 0 e Λ0. Sapendo che laΛ0 esiste in un unico stato di carica (cioe IΛ = 0) e applicando il principio diconservazione dell’isospin possiamo dedurre l’isospin del K 0:

Poiche il kaone esiste in tre soli stati di carica, esso puo avere al massimoIK = 1/2.Due kaoni insieme, il K+ e il K 0, formano un doppietto di IK = 1/2 (e stranezzaS = +1). Occorreva quindi che esistesse un quarto kaone, neutro, il K 0, cheinsieme al K− costituisse un secondo doppietto di isospin IK = 1/2 (e stranezzaS = −1). Il K± hanno uguali massa e spin, opposti carica e stranezza: neconcludiamo che essi sono una coppia particella-antiparticella.Il K 0 con stranezza S = −1 e l’antiparticella del K 0.


Considerazioni sul kaone

Il K 0 fu effettivamente scoperto nella reazione forte:

Dallo studio di tutte le reazioni che potevano e non potevano verificarsi, siconcluse anche che: il kaone e un mesone con spin s = 0, la Λ (e tutte le altreparticelle che introdurremo tra poco, cioe la Σ, la Θ e la Ω ) sono barioni.

Dalla reazione forte:π− + p → K + X

dove X e una particella generica, ne deduciamo che: S(X ) = −S(K ) , cioe

S(X ) = −1 se K = K+

S(X ) = +1 se K = K−



Ad esempio nella seguente reazione:

Anche da queste altre reazioni forti si possono trarre informazioni:


Considerazioni sulle particelle Σ± e Σ0

Prendiamo le reazioni di produzione della Σ± e Σ0:

π+ + p → K+ + Σ+ π− + p → K+ + Σ−

Sapendo che IK = 1/2 e applicando il principio di conservazione dell’isospin,possiamo dedurre l’isospin della particella Σ:

Dunque la Σ deve avere isospin IΣ = 0, 1 ma poiche erano gia noti i due staticarichi, poteva essere solo IΣ = 1. Cio porto a postulare l’esistenza di unstato neutro della Σ, la Σ0, che fu effettivamente scoperta nel 1959. Lo statoΣ0 fu rivelato con piu difficolta perche decade elettromagneticamente:

Σ0 → Λ0 + γ

con una vita media dell’ordine di 0, 6 · 1019. Il decadimento dimostra che leinterazioni e.m. non violano la stranezza, perche S(Σ) = S(Λ) = −1.


Considerazioni sulle particelle Ω− e Θ−,0

Dalla reazione:

deduciamo che anche la particella Σ0 deve avere stranezza S(Σ0) = −1.Osserviamo che le particelle Σ+ e Σ− sono entrambi barioni con B = 1 e hanno lastessa stranezza S(Σ±) = +1, pertanto NON costituiscono una coppiaparticella-antiparticella.

Dalla reazione:

deduciamo che la particella Θ− deve avere stranezza S(Θ−) = −2. La particellaesiste in due stati di carica (Θ0 e Θ−) e ha isospin IΘ = 1/2. Analogamente sitrova per la particella Ω− una stranezza S(Ω−) = −3 e un isospin IΩ− = 0.


Stranezza e quark

Nell’ambito del modello a quark, il numero quantico della stranezza puo essereinterpretato in termini di contenuto di quark dell’adrone. Un adrone possiedestranezza non nulla, se contiene al suo interno almeno un quark s o unantiquark s. L’assegnazione della stranezza S = −1 al barione Λ e S = +1 almesone K 0 equivale ad assegnare stranezza S = −1 al quark s e stranezzaS = +1 all’antiquark s.La conservazione della stranezza nelle interazioni forti ed e.m. (cioe il fatto che unquark s non possa trasformarsi in un quark u o d) deriva dalla conservazione delsapore dei quark in tali interazioni.

La violazione della stranezza nelle interazioni deboli (cioe il fatto che un quark spossa trasformarsi in un quark u o d) deriva dalla non conservazione del saporedei quark in tali interazioni (vedremo poi, studiando le interazioni deboli, comeessa si spieghi).


Relazione di Gell-Mann e Nishijima


Altri numeri quantici additivi


Coniugazione di carica o C-parita

L’operazione di coniugazione di carica o C-parita e una trasformazione discretache trasforma una particella nella sua antiparticella. Pertanto essa invertetutti i numeri quantici additivi della particella i.e. il numero barionico,leptonico, stranezza etc.Consideriamo il caso di una particella carica con impulso p e spin s descritta dallostato |Q,p, s〉. L’azione della C-parita da :

C|Q,p, s〉 = | − Q,p, s〉

Chiamando Q l’operatore della carica elettrica, avremo:

Q|Q,p, s〉 = Q|Q,p, s〉

CQ|Q,p, s〉 = Q| − Q,p, s〉

QC|Q,p, s〉 = Q| − Q,p, s〉 = −Q| − Q,p, s〉

Ne segue che:QC + CQ = 0 ⇐⇒ [Q, C]+ = 0



da cui si deduce che - essendo il loro commutatore non-zero - gli operatori dellacarica Q e della C-parita C non possono in genere condividere le stesseautofunzioni. Quindi gli autostati della carica quando Q 6= 0 non sono autostatidell’operatore della C-parita .La stessa conclusione vale anche per gli autostati di operatori che forniscononumeri quantici additivi, quando essi non sono nulli. Quindi in generale per lostato di una particella con numeri additivi Q, I3,B, L,Y , ... e con impulso p e spins sara :

C|Q,B, L, .....p, s〉 = | − Q,−B,−L, .....p, s〉

e per analogia con quanto mostrato sopra per la carica si avra :

[O, C]+ = 0 O ≡ Q, B, L ....

essendo Q, B, L i rispettivi operatori dei numeri quantici additivi.



Dall’azione della C-parita

C2|Q,B, L, .....p, s〉 = C| − Q,−B,−L, .....p, s〉 = |Q,B, L, .....p, s〉

si deduce che

C2 = I

cioe l’operatore della C-parita avra autovalori ±1. I suoi autostati sono quelli chehanno numeri quantici additivi nulli:

C|Q = 0,B = 0, L = 0, .....p, s〉 = C |Q = 0,B = 0, L = 0, ......p, s〉

con C = ±1.

C e un operatore unitario ed anche hermitiano, come tutti quelli da cuiderivano simmetrie discrete.



Esempi:

Ribadiamo inoltre che:

Simmetria rispetto all’operazione di coniugazione di carica, significa che leleggi della fisica rimangono le stesse per scambio di tutte le particellecon le loro antiparticelle;La C-parita , essendo una trasformazione di simmetria discreta, da luogo adun numero quantico moltiplicativo;Le interazioni forti e quelle e.m. sono invarianti per coniugazione di carica,mentre le interazioni deboli non lo sono.


C-parita del fotone

I campi e.m. derivano da cariche in moto che per effetto della coniugazione dicarica cambiano segno. Infatti per la corrente eletromagnetica sotto l’azionedella C-parita :

Jemµ

C→ −Jemµ

Siccome:Aµ = Jem

µ

sara :Aµ

C→ −Aµin modo che la hamiltoniana dell’interazione e.m.

∫dx JµAµ rimanga invariante.

Siccome il fotone e il quanto del campo e.m., si deduce che la C-parita delfotone e negativa:

C|γ〉 = −|γ〉

Inoltre un insieme di fotoni avra C-parita :

C|nγ〉 = (−1)n|γ〉


C-parita dei pioni

C-parita del π0

Dato che il pione decade elettromagneticamente in due fotoni:

π0 → γγ

e i decadimenti e.m. conservano la C-parita avremo:

C|π0〉 = C |2γ〉 = (−1)2|2γ〉 = |2γ〉 =⇒ C|π0〉 = +|π0〉

quindi la C-parita del π0 e positiva.Sara invece vietato il decadimento in tre fotoni:

π0 → γγγ NO !!!!

La non-osservazione del decadimento del π0 in tre fotoni e una prova dellaconservazione della C-parita nelle interazioni e.m. (analogamente per ilmesone η).


C-parita dei pioni

C-parita del sistema π+π−

I pioni carichi non sono autostati di C-parita , in quanto la coniugazione di caricatrasforma un π+ in un π− e viceversa:

C|π+〉 → |π−〉 6= |π+〉

C|π−〉 → |π+〉 6= |π−〉

Possiamo dimostrare che la C-parita del sistema (π+π−) (come in generale quelladei sistemi bosone-antibosone) e data da:

C|π+π−〉 = (−1)`|π+π−〉

cioe il sistema (π+π−) e autostato di C-parita e l’effetto dell’operazione diC-parita sul sistema e lo stesso che avrebbe l’operatore di parita P su diesso.


C-parita dei pioni

Abbiamo infatti che il sistema (π+π−) e formato da due mesoni (di spin zero) confunzione d’onda Ψ(π+π−). Sotto l’azione della C-parita i due pioni si scambiano eil risultato finale e uguale a quello dovuto all’azione della P-parita , e cioe l’azioneintroduce un fattore (−1)`, dove ` e il momento angolare relativo tra le dueparticelle. Quindi si ottiene:

CΨ(π+π−) = (−1)`Ψ(π+π−)

Pertanto

C (π+π−) = (−1)`

Quanto ad un sistema di due mesoni (M+M−) con spin s 6= 0, la funzione d’ondadello spin del sistema sara simmetrica o antisimmetrica per s =pari o s = dispari,rispettivamente. Quindi sulla base del discorso fatto prima si conclude che:

C (M+M−) = (−1)`+s


C-parita della ρ0

La particella ρ0 e un mesone vettore con stranezza e carica entrambe nulle chedecade in:

Pertanto la C-parita del sistema (π+π−) e quindi della ρ0 deve essere:

C (π+π−) = (−1)L = (−1)1 = −1

Alla ρ0 sono pertanto preclusi modi di decadimento come:

Il decadimento (1) e vietato dalla statistica dei bosoni, in quanto i due pionidovrebbero avere L = 1 (perche sρ = 1), e quindi la loro funzione d’onda (che esolo spaziale) sarebbe antisimmetrica, avendo simmetria (−1)L = (−1)1 = −1 ecio non e possibile per la funzione d’onda di due bosoni identici.


C-parita della ρ0

Il decadimento (2) e vietato perche :

C (γγ) = C (γ)C (γ) = (−1)2 = +1 6= C (ρ0)

E’ invece permesso il decadimento seguente

ρ→ π0γ

perche

C (π0γ) = C (ρ0)C (γ) = (+1) · (−1) = −1


C-parita del positronio e+e−

La funzione d’onda globale del positronio e composta da una funzione spaziale,una funzione di spin e una di carica:

Ψ(e+e−) = ψspazio(~r1 − ~r2)χ(s1, s2)

Vediamo come si comporta la funzione d’onda per scambio di tutti i numeriquantici. Per effetto dello scambio delle coordinate spaziali abbiamo:

ψspazio(~r1 − ~r2)→ ψspazio(~r2 − ~r1) = (−1)Lψspazio(~r1 − ~r2)

Per effetto dello scambio delle coordinate di spin abbiamo:

χ(s1, s2)→ χ(s2, s1) = (−1)s+1χ(s1, s2)

cioe e simmetrica per s = 1 e antisimmetrica per s = 0.Per effetto dello scambio delle due cariche dei fermioni, dato che la paritaintrinseca del sistema fermione-antifermione e uguale a (−1), abbiamo in totale

CΨ(e+e−) = (−1)(−1)L(−1)s+1Ψ(e+e−)

PertantoC (e+e−) = (−1)L+s



Consideriamo ora il decadimento del positronio in due e tre fotoni:

e+e− → γγ

e+e− → γγγ

e dimostriamo che, a seconda dei valori di momento angolare L e spin s delsistema positronio, sara permesso solo il decadimento in due o in tre fotoni.


Conservazione della C-parita nelle interazioni forti

La conservazione di C nelle interazioni forti e stata provata in numerose reazioni,come ad esempio nella annichilazione p − p. In una reazione del tipo:

p + p → π+ + π− + π0

si misura la distribuzione in energia dei pioni carichi emessi a 90 gradi nel C.M.Consideriamo infatti la reazione (v. immagine a sinistra) e quella che si ottieneper coniugazione di carica (v. immagine a destra).

Se le interazioni forti sono invarianti per C-parita , le distribuzioni in energia deipioni carichi devono essere le stesse. Il confronto delle due distribuzionisperimentali mostra la simmetria aspettata (limite sperimentale < 10−2).


Conservazione e non della C-parita nelle interazioni e.m. edeboli


Inversione temporale

L’inversione temporale e una trasformazione discreta che inverte il segno dellacoordinata temporale, lasciando inalterato quello delle coordinate spaziali:

(t, x , y , z)T−→ (−t, x , y , z)

In meccanica classica, sarebbe piu corretto parlare di inversione del moto anzichedi inversione del tempo. Se infatti consideriamo un corpo in una posizione r(t)|t=0

che ha una velocita v(t)|t=0, invertire la coordinata temporale equivale a cambiareil segno della velocita del corpo (la velocita infatti e la derivata prima dello spazio- che resta invariato - rispetto al tempo - che invece cambia segno):

v(t)|t=0T−→ −v(t)|t=0

L’effetto della sua applicazione a uno stato e appunto quello di invertire il moto.

La legge di Newton e invariante sotto la trasformazione dell’inversionetemporale nel caso in cui la forza sia indipendente dalla velocita (come einvece nel caso delle forze di attrito). In tal caso, infatti, essendo l’accelerazione laderivata seconda dello spazio rispetto al tempo, l’inversione temporale non alterala forma della legge di Newton.



Intuitivamente, se osserviamo il moto di un corpo come la sequenza di immagini diun film e, ad un tratto, invertiamo il senso della pellicola, il moto che ci sipresenta davanti e altrettanto possibile nella realta quanto quello precedente,ammesso che le forze a cui esso e soggetto siano indipendenti dalla velocita (cioesi tratti di un campo di forze conservativo).

Le varie quantita si trasformano nel modo seguente:

rT−→ r p

T−→ −p LT−→ −L

Per quanto riguarda il modo in cui si trasformano i campi elettrico e magnetico,pensiamo al campo B prodotto da una spira attraversata da una corrente: esso eproporzionale alla corrente I e diretto perpendicolarmente al piano della spira.L’effetto di una inversione temporale e quello di invertire il verso della corrente(I = dq/dt), pertanto il campo B viene invertito di segno.


Inversione temporale nella M.Q.

Consideriamo l’equazione di Schrodinger:

Hψ(t, r) = i∂

∂tψ(t, r)

con

H = − 1

2m~∇2 + V (r)

Applichiamo l’inversione temporale: t → −t. Si ottiene:

Hψ(−t, r) = −i ∂∂tψ(−t, r)

dalla quale concludiamo che la ψ(−t, r) non soddisfa all’eq. di Schrodinger.Se pero considerassimo l’equazione di Schrodinger sotto l’azione dell’inversionetemporale accompagnata dalla trasformazione della coniugazione complessadi entrambi i membri della terza equazione, otterremmo:

Hψ∗(−t, r) = i∂

∂tψ∗(−t, r)



cioe la funzione d’onda ψ∗(−t, r) soddisfa l’eq. di Schrodinger.Quindi, quanto all’effetto dell’operatore dell’inversione temporale sulla funzioned’onda, affinche l’eq. di Schrodinger rimanga invariata nella forma, si deveavere:

T ψ(t, r) = ψ∗(−t, r)

la quale quindi consiste nelle seguenti operazioni (per una singola particella conspin zero):

Si noti che per un autostato dell’energia sotto inversione temporale si ha:

mentre per le funzioni armoniche si ha:



In meccanica quantistica l’operatore di inversione temporale e un operatoreantiunitario (cioe 〈T ψ|T φ〉 = 〈ψ|φ〉∗ = 〈φ|ψ〉) e antilineare (vedi dopo). Ingenerale esso viene dato dal prodotto di un operatore unitario, U, perl’operatore della coniugazione, K , che coniuga il numero per cuil’operatore e moltiplicato:

T = U K

(Si noti che per qualunque numero complesso α : Kα = α∗). Si puo vedere subitoche:

K 2 = 1 =⇒ K−1 = K

In generale si avra :

T (c1|ψ1〉+ c2|ψ2〉) = c∗1 U|ψ1〉+ c∗2 U|ψ2〉 antilinearita′

Ancora si ottiene:

〈T ψ|T φ〉 = 〈UKψ|UKφ〉 = 〈U†UKψ|Kφ〉

= 〈Kψ|Kφ〉 = 〈φ|ψ〉 6= 〈ψ|φ〉 antiunitarieta′



Finora abbiamo dimostrato che per una particella singola di spin uguale a 0l’azione dell’inversione temporale in pratica coinvolge soltanto l’operazione dellaconiugazione complessa. Se ne deduce facilmente che T 2 = I. Si puo dimostrareche per una particella di spin uguale a 1/2 l’operatore dell’inversione temporale edato da:

T = iσ2K

per cui T 2 = −I.

Essendo T un operatore antiunitario non esiste un operatore hermitianocorrispondente ad esso, per conseguenza non si puo individuare nessunaquantita fisica che corrisponde all’azione dell’inversione temporale.Questo e vero indipendentemente dalla possibilita che l’operatore T commuti conla hamiltoniana. Pertanto gli autostati che sono utili nella descrizione di unsistema fisico nell’ambito della meccanica quantistica non vengono caratterizzatida un numero quantico conservato corrispondente all’operatore T .



Tuttavia lo studio dell’inversione temporale e ancora utile.

Diciamo che l’invarianza sotto l’azione di T implica che la sezione d’urto in unprocesso e uguale alla sezione d’urto del processo invertito. Per esempio se[Hint , T ] = 0 allora la sezione d’urto nel caso di una interazione tra due particelleA e B che producono lo stato finale di due particelle C e D:

A + B → C + D

e uguale a quella dell’interazione in cui si sia invertito lo stato iniziale con lo statofinale (con impulso e spin invertiti di segno):

C + D → A + B


Inversione temporale: il momento del dipolo elettrico

Si puo dimostrare che l’eventuale esistenza di un momento di dipolo elettrico peruna particella (elementare o meno come per es. il neutrone), definito come:

µel =

∫ρ(r) r dr

(dove r e misurato rispetto al baricentro di massa del sistema) sarebbe unaviolazione simultaneamente della parita e dell’inversione temporale.Infatti, per una particella elementare il vettore del dipolo elettrico puo soltantoessere allineato con l’unico vettore che caratterizza la particella, cioe lo spin.Pertanto sara

µel ∝ σ

Ora il termine della hamiltoniana corrispondente all’interazione del dipolo elettricoe dato da:

Hel = −µel E


Inversione temporale: il momento del dipolo elettrico

il quale non conduce ne alla conservazione della parita ne a quelladell’inversione del tempo:

Se P e T si conservano allora il momento di dipolo elettrico deve esserenullo. Pertanto l’esistenza del momento di dipolo elettrico implicherebbe unaviolazione simultanea sia di P sia di T .I limiti finora trovati sono:

µneutroneel < 0.6 · 10−25 e cm µelettrone

el < 2.0 · 10−27 e cm

sei o piu ordini di grandezza minori delle stime teoriche.


TEOREMA CPT

Le hamiltoniane che descrivono le interazioni fondamentali possono non essereinvarianti separatamente per effetto delle trasformazioni di coniugazione dicarica C, parita P e inversione temporale T .Tuttavia, a partire da principi molto generali della teoria dei campi e dellarelativita , Luders e Pauli hanno dimostrato che ogni hamiltoniana, essendoinvariante per effetto delle trasformazioni di Lorentz, e invariante per effettodell’azione combinata di CPT , indipendentemente dall’ordine in cui essevengono applicate, anche se non e invariante per C, P o T separatamente.

=⇒ Se un processo e invariante per effetto di una qualunque delle tretrasformazioni, lo sara anche per effetto del prodotto delle altre due;

=⇒ Se un processo non e invariante per effetto di una qualunque delle tretrasformazioni, allora non lo sara neanche per effetto del prodottodelle altre due.


TEOREMA CPT

Conseguenza importante di questo teorema e che le particelle e le antiparticelledevono avere:

=⇒ uguali masse;

=⇒ uguali vite medie;

=⇒ uguali momenti magnetici in modulo ma opposti in verso.


Interazioni e simmetrie conservate


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