Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo Lezione...

Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare

Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo

Lezione 10

Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 10 1 / 56

RIASSUNTO - BUCA CENTRALE

Riassumiamo brevemente i passaggi della lezione scorsa:- Abbiamo impostato l’equazione di Schrödinger per un generico potenziale a simmetriacentrale: (

−~2

2m∇2 + V (r)

)ψ(~r ) = Eψ(~r ) (1)

- Abbiamo espresso l’equazione di Schrödinger in coordinate sferiche:

r2[p2r + 2m (V (r)− E)

]ψ(r, ϑ, ϕ) = −L2ψ(r, ϑ, ϕ) (2)

- Abbiamo fattorizzato la funzione ψ(~r ) in una funzione dipendente solo da r e una funzionedipendente solo dagli angoli ϑ e ϕ:

ψ(r, ϑ, ϕ) = φ(r)Y (ϑ, ϕ)

e abbiamo separato la (2) in due equazioni agli autovalori:- l’equazione agli autovalori del quadrato del momento angolare (che ha comeautofunzioni le armoniche sferiche):

L2Yml (ϑ, ϕ) = ~2l(l + 1)Yml (ϑ, ϕ) l = 0, 1, 2, . . . |m| ≤ l (3)

- l’equazione di Schrödinger radiale:

φ′′(r) +2

rφ′(r) +

[2m

~2(E − V (r))−

l(l + 1)

r2

]φ(r) = 0 (4)


RIASSUNTO - BUCA CENTRALE (centrale)

- Abbiamo impostato la risoluzione dell’Eq. di Schrödinger radiale (4) ponendo:

χ = rφ→ φ =χ

r

e trasformando la (4) nella seguente equazione:

χ′′ +

[2m

~2E −

2m

~2

(V (r) +

~2

2m

l(l + 1)

r2

)]χ = 0 (5)

che è formalmente identica all’equazione di Schrödinger unidimensionale:

ψ′′ +2m

~2(E − V (r))ψ = 0

dove al posto del potenziale si sostituisca il cosiddetto “potenziale efficace”:

V → Veff = V (r) +~2

2m

l(l + 1)

r2

nel quale, al potenziale V (r) si aggiunge un termine centrifugo. Per procedere oltre nella

soluzione dell’equazione (5), sostituiamo adesso al generico potenziale V (r) il potenziale

dell’oscillatore armonico.


OSCILLATORE ARMONICO

Consideriamo dunque l’equazione di Schrödinger radiale nel caso dell’oscillatorearmonico. L’equazione generale (5) diventerà:

χ′′ +

[2m

~2E − 2m

~2

(−V0 +

1

2kr2 +

~2

2m

l(l + 1)

r2

)]χ = 0 (6)

Nella (6) poniamo: ω =√k/m

χ′′ +

[2m

~2E − 2m

~2

(−V0 +

1

2mω2r2 +

~2

2m

l(l + 1)

r2

)]χ = 0 (7)

dove per χ′′ intendiamo: χ′′ = d2χdr2

.Introduciamo il seguente cambiamento di coordinate:

ρ =

√mω

~· r

da cui ricaviamo:

r2 =~mω

ρ2 ⇒ 1r2

=mω

~1

ρ2e: mω2r2 =��mω �

2 ~��m�ω

ρ2 = ~ωρ2

dρ

dr=

√mω

~⇒ d

dr=

d

dρ

dρ

dr=

√mω

~d

dρ⇒ d

2

dr2=

d

dr

(d

dr

)=mω

~d2

dρ2


OSCILLATORE ARMONICO (continua)

Con queste sostituzioni l’equazione (7):

χ′′ +

[2m

~2E −

2m

~2

(−V0 +

1

2mω2r2 +

~2

2m

l(l + 1)

r2

)]χ = 0

diventa:

mω

~d2χ

dρ2+

2m~2

E −2m

~2

−V0 + 12~ωρ2 +

~�2

2�m�mω

�~l(l + 1)

ρ2

χ = 0d2χ

dρ2+

[�~

�mω2�m

~�2E − �

~

�mω2�m

~�2

(−V0 +

1

2~ωρ2 +

~ω2

l(l + 1)

ρ2

)]χ = 0

d2χ

dρ2+

[2

~ωE −

2

~ω

(−V0 +

1

2~ωρ2 +

~ω2

l(l + 1)

ρ2

)]χ = 0

d2χ

dρ2+

(2

~ω(E + V0)− ρ2 −

l(l + 1)

ρ2

)χ = 0

Ponendo:

ε =2

~ω(E + V0)

si ha: [d2

dρ2+ ε−

l(l + 1)

ρ2− ρ2

]χ = 0



Riscriviamo l’equazione ottenuta:[d2

dρ2+ ε−

l(l + 1)

ρ2− ρ2

]χ = 0 (8)

Dato che il potenziale armonico è un potenziale confinante, le soluzioni fisicamenteaccettabili della (8) devono descrivere degli stati legati e quindi devono essere normalizzabilie tendere a 0 per ρ→∞. In tale limite la (8) si riduce a:(

d2

dρ2− ρ2

)χ ∼ρ→∞

0 (⇒ χ′′ ∼ρ→∞

ρ2χ) (9)

Cerchiamo di capire quale debba essere il comportamento asintotico della χ affinché valga la(9). Osserviamo che l’operatore applicato alla funzione χ nella (9) è fattorizzabile perρ→∞. Vale infatti la seguente identità:(

d2

dρ2− ρ2

)+ 1 =

(d

dρ− ρ)(

d

dρ+ ρ

)Infatti applicando il prodotto di destra a una funzione otteniamo:(

ddρ− ρ)(

ddρ

+ ρ)χ =

(ddρ− ρ)(

dχdρ

+ ρχ)

=

= d2χdρ2

+ ddρ

(ρχ)− ρ dχdρ− ρ2χ = d

2χdρ2

+ χ+��ρ dχdρ−��ρ dχdρ− ρ2χ =

=[(

d2

dρ2− ρ2

)+ 1]χ



Nel limite di ρ→∞ possiamo lecitamente trascurare il termine +1 rispetto a ρ2 e possiamoquindi riscrivere la (9): (

d2

dρ2− ρ2

)χ ∼ρ→∞

0

come: (d

dρ− ρ)(

d

dρ+ ρ

)χ ∼ρ→∞

0

che sarà soddisfatta se χ è soluzione di una delle due equazioni seguenti:

dχ

dρ∓ ρχ = 0

che sono equazioni a variabili separabili che ammettono le soluzioni esatte:

χ = Ae±12ρ2 (10)

(dove la costante di integrazione è inessenziale). Notiamo però che tale risultatorappresenterà solo il termine dominante del comportamento asintotico prevedibile per la

funzione χ, in quanto l’andamento dominante del tipo e±12ρ2 può mascherare un andamento

di tipo potenza, e quindi se la (10) è una soluzione asintotica della (9) allora lo sarà ancheuna funzione della forma:

χ(ρ) ∼ρ→∞

e±12ρ2ρβ (11)

dove β è un parametro che, a priori, potrebbe essere arbitrario. Solo la soluzione conl’esponente negativo è fisicamente accettabile perché deve essere una funzione normalizzabile.



Cerchiamo pertanto una soluzione della (8):

χ′′ +

(ε−

l(l + 1)

ρ2− ρ2

)χ = 0 (12)

nella forma:

χ(ρ) = e−12ρ2K(ρ) (13)

le cui derivate saranno:

χ′(ρ) = −ρe−12ρ2K + e−

12ρ2K′ = e−

12ρ2 (K′ − ρK)

χ′′(ρ) = −ρe−12ρ2 (K′ − ρK) + e−

12ρ2 (K′′ −K − ρK′) = e−

12ρ2(K′′ − 2ρK′ + (ρ2 − 1)K

)(14)

dove K(ρ) è una nuova funzione incognita tale che: K(ρ) ∼ρ→∞

ρβ .

Sostituiamo la (13) e le (14) nella (12) e semplifichiamo l’esponenziale a fattore:

K′′ − 2ρK′ +(ε−

l(l + 1)

ρ2− 1)K(ρ) = 0 (15)

la cui soluzione deve comportarsi come potenza per ρ→∞. Il punto ρ = 0 è ancora unasingolarità di tipo regolare (come nell’equazione radiale di partenza).



Esaminiamo adesso come si riduce l’equazione (8):

χ′′ +

(ε−

l(l + 1)

ρ2− ρ2

)χ = 0 (16)

per ρ→ 0:

per: ρ→ 0 χ′′ −l(l + 1)

ρ2χ = 0 (17)

Tentiamo una soluzione della forma:χ(ρ) ∼ ρs

e calcoliamone le derivate:χ′ = sρs−1

χ′′ = s(s− 1)ρs−2

e la (17) diventa:

per: ρ→ 0 s(s− 1)ρs−2 − l(l + 1)ρs−2 = 0che è soddisfatta per: {

s = l + 1s = −l

Solo la prima soluzione è però accettabile (si tratta di una soluzione regolare). Pertanto:

per: ρ→ 0 χ(ρ) ∼ρ→0

ρl+1 (18)



Unendo il comportamento all’origine (per ρ→ 0) di χ (v. (18)) e il fatto che la funzione Kdeve essere soluzione della (15), con un comportamento asintotico per ρ→∞ tipo potenza,si dimostra che K deve avere necessariamente una forma del tipo:

K(ρ) = ρl+1∞∑k=0

ckρk (19)

Essendo il punto all’infinito l’unico altro punto singolare dell’equazione (15), la serie haraggio di convergenza infinito e quindi, se la serie non si tronca, presenta una singolaritàall’infinito e rappresenta una soluzione fisicamente non accettabile. I coefficienti ck sonodunque tutti nulli per k > n′ con n′ intero e il comportamento all’infinito della (19) sarà:

K(ρ) ∼ρ→∞

ρl+1+n′

(20)

Deriviamo la (20):

K′ = (l + 1 + n′)ρl+n′

K′′ = (l + 1 + n′)(l + n′)ρl+n′−1 (21)

e sostituiamo la (20) e le (21) nell’equazione differenziale (15):

K′′ − 2ρK′ +(ε−

l(l + 1)

ρ2− 1)K(ρ) = 0

(l + 1 + n′)(l + n′)ρl+n′−1 − 2ρ(l + 1 + n′)ρl+n

′+

(ε−

l(l + 1)

ρ2− 1)ρl+1+n

′= 0 (22)



Riportiamo l’equazione (22):

(l + 1 + n′)(l + n′)ρl+n′−1 − 2ρ(l + 1 + n′)ρl+n

′+

(ε−

l(l + 1)

ρ2− 1)ρl+1+n

′= 0

e svolgiamola:

(l+ 1 + n′)(l+ n′)ρl+n′−1 − 2(l+ 1 + n′)ρl+n

′+1 + ερl+n′+1 − l(l+ 1)ρl+n

′−1 − ρl+n′+1 = 0

Essendo un’equazione valida asintoticamente (per ρ→∞), teniamo conto solo dei terminidominanti (cioè proporzionali alla potenza (l + n′ + 1)):

ρl+n′+1 (ε− 1− 2(l + 1 + n′)) = 0

che può essere soddisfatta se e solo se:

ε− 2l − 3− 2n′ = 0⇒ ε = 2n′ + 2l + 3 (23)Questa uguaglianza è una legge di quantizzazione per il parametro ε. Ricordando che:

ε =2

~ω(E + V0)

si ha:2

~ω(E + V0) = 2n

′ + 2l + 3

e quindi:

E =

(n′ + l +

3

2

)~ω − V0 (24)



In realtà il numero n′ deve essere pari, come conseguenza della struttura dell’equazione (15):

K′′ − 2ρK′ +(ε−

l(l + 1)

ρ2− 1)K(ρ) = 0

Se infatti sostituiamo in quest’ultima il valore di un generico autovalore trovato (23):

ε = 2n′ + 2l + 3

otteniamo:

K′′ − 2ρK′ +(

2n′ + 2l + 3−l(l + 1)

ρ2− 1)K(ρ) = 0

K′′ − 2ρK′ +(

2(n′ + l + 1)−l(l + 1)

ρ2

)K(ρ) = 0 (25)

Avendo posto (v. (19)):

K(ρ) = ρl+1∑k

ckρk =

∑k

ckρk+l+1

da cui:K′(ρ) =

∑k

ck(k + l + 1)ρk+l

K′′(ρ) =∑k

ck(k + l)(k + l + 1)ρk+l−1



Con queste imposizioni la (25):

K′′ − 2ρK′ +(

2(n′ + l + 1)−l(l + 1)

ρ2

)K(ρ) = 0

diventa: ∑kck(k + l)(k + l + 1)ρ

k+l−1 − 2∑kck(k + l + 1)ρ

k+l+1+

+2(n′ + l + 1)∑kckρ

k+l+1 − l(l + 1)∑kckρ

k+l−1 = 0

∑kck [(k + l)(k + l + 1) − l(l + 1)] ρ

k+l−1 +∑kck

[−2(k + l + 1) + 2(n′ + l + 1))

]ρk+l+1 = 0

∑kck[k(k + l + 1) + lk +��l(l + 1) −��l(l + 1)

]ρk+l−1 +

∑kck

[−2k − �2l − �2 + 2n

′ + �2l + �2)]ρk+l+1 = 0∑

k

ck [k(k + 2l + 1)] ρk+l−1 +

∑k

ck[−2k + 2n′

]ρk+l+1 = 0 (26)

che sarà soddisfatta annullando separatamente la somma di tutti i coefficienti di potenzeomogenee. Notiamo che, chiamando k′ = k + l − 1, le potenze k′′ = k + l + 1 saranno:

k′′ = k + l + 1 = k + l − 1 + 1 + 1 = k + l − 1 + 2 = k′ + 2

cioè nella sommatoria di destra le potenze con coefficiente ck−2 sono omogenee a quelle dellasommatoria di sinistra con coefficiente ck.



Se sviluppiamo infatti i primi termini della (26):∑k

ck [k(k + 2l + 1)] ρk+l−1 +

∑k

ck[−2k + 2n′

]ρk+l+1 = 0

otteniamo:

c0 · 0 + c1(2l + 2)ρl +c2 · 2(2l + 3)ρl+1 +c3 · 3(2l + 4)ρl+2 +c4 · 4(2l + 5)ρl+3+ . . .++c0 · 2n′ρl+1 +c1(−2 + 2n′)ρl+2 +c2 · (−4 + 2n′)ρl+3 · · · = 0

da cui ricaviamo:c0 = arbitrario

c1 = 0∑k=2

{ck [k(k + 2l + 1)] + ck−2

[−2(k − 2) + 2n′)

]}ρk+l−1 = 0

che è soddisfatta per:

ck = ck−22(k − n′ − 2)k(k + 2l + 1)

(27)



La (27): ck = ck−22(k − n′ − 2)k(k + 2l + 1)

lega tra loro separatamente i coefficienti di posto pari con quelli di posto dispari e mostrache possiamo considerare c0 arbitrario e c1 = 0. Saranno quindi nulli tutti i coefficienti diposto dispari e la serie contiene solo potenze pari. Pertanto il numero quantico n′ cheavevamo introdotto nella (20):

K(ρ) ∼ρ→∞

ρl+1+n′

deve essere pari e lo poniamo per convenzione:

n′ = 2(n− 1)

La relazione (24) che fornisce i possibili energetici dell’oscillatore armonico:

E =

(n′ + l +

3

2

)~ω − V0

diventa allora:E =

(2(n− 1) + l +

3

2

)~ω − V0

Poniamo: N = 2(n− 1) + l dove: n ≥ 1e otteniamo:

E =

(N +

3

2

)~ω − V0 (28)

N.B.: l = N − 2(n− 1)→ l ≤ N e l = . . . , N − 2, Nn = 1 + N

2− l

2



Facciamo una piccola digressione sull’oscillatore armonico in una dimensione e ricordiamoche in tal caso gli autovalori dell’energia sono:

Enl = −V0 + ~ω(n+

1

2

)con: ω =

√k/m

Gli autovalori sono equidistanziati:

∆E = En+1,l − Enl =[−V0 + ~ω

(n+ 1 +

1

2

)]−[−V0 + ~ω

(n+

1

2

)]= ~ω

Nel caso dell’oscillatore unidimensionale, vi è un unico numero quantico.Nella slide successiva sono illustrate le autofunzioni corrispondenti ai livelli n = 0, 1, 2 en = 10 (riga in alto) e le funzioni di densità di probabilità. Si dimostra che le autofunzionihanno parità:

ψ(−x) = (−1)nψ(x)e che n= numero di zeri della funzione e n+ 1= numero di valori max e min della funzione.

Come si vede anche dalla figura accanto, in cui èmostrata la densità di probabilità per n = 15,all’aumentare di n la situazione si avvicina sempre dipiù alla situazione classica, indicata dalla curva wcl.



Cohen-Tannoudji, Cap. V Fig.4 Cohen-Tannoudji, Cap. V Fig.6 (a)

Funzioni d’onda dell’oscillatore armonico per i primi tre livelli e per il livello con n=10

Cohen-Tannoudji, Cap. V Fig.5 Cohen-Tannoudji, Cap. V Fig.6 (b)

Densità di probabilità dell’oscillatore armonico per i primi tre livelli e per il livello con n=10



Nel caso invece dell’oscillatore armonico tridimensionale illustrato precedentemente, gliautovalori di energia sono espressi dalla (28):

EN = −V0 + ~ω(N +

3

2

)con: N = 0, 1, 2, . . .

con: N = 2(n− 1) + l dove: n ≥ 1dove: l = N − 2(n− 1)→ l ≤ N e l = . . . , N − 2, N

n = 1 + N2− l

2

Benchè i livelli energetici dipendano solo da N , i numeri quantici sono tre e sono: n “numeroquantico radiale”; l “numero quantico orbitale”; m, terza componente del momento angolare,numero quantico “nascosto” (m = −l,−l + 1, . . . , l− 1, l).Notiamo che l, oltre a essere limitato superiormente da N , ha anche la sua stessa parità epertanto: per N = 0 ⇒ l = 0, per N = 1 ⇒ l = 1, per N = 2 ⇒ l = 0, 2.La parità delle autofunzioni è fissata dal valore di l: P = (−1)lAnche nel caso tridimensionale, la distanza tra due livelli energetici consecutivi è costante,cioè gli autovalori sono equispaziati tra loro.I livelli energetici sono degeneri perchè:

dipendono dal valore di N che è una combinazione di n ed l;

ogni livello con l fissato è degenere, in quanto si possono avere (2l + 1) valori differentidi m (m = −l,−l+ 1, . . . , l− 1, l) e ognuno di questi ammette due possibili valori diversidi spin (s = ± 1

2); il numero di occupazione di ogni livello con l fissato (cioè il numero di

nucleoni diversi che possono stare in uno stesso stato) è pertanto pari a 2(2l + 1).



Applichiamo allora le regole viste per costruire i livelli dell’oscillatore:

N = 0⇒ lmax = N = 0 n = 02 + 1−02

= 1 n = 1 l = 0 1s

N = 1⇒ lmax = N = 1 n = 12 + 1−12

= 1 n = 1 l = 1 1p

N = 2⇒ lmax = N = 2 n = 22 + 1−22

= 1 n = 1 l = 2 1dl = N − 2 = 0 n = 2

2+ 1− 0

2= 2 n = 2 l = 0 2s

N = 3⇒ lmax = N = 3 n = 32 + 1−32

= 1 n = 1 l = 3 1fl = N − 2 = 1 n = 3

2+ 1− 1

2= 2 n = 2 l = 1 2p

N = 4⇒ lmax = N = 4 n = 42 + 1−42

= 1 n = 1 l = 4 1gl = N − 2 = 2 n = 4

2+ 1− 2

2= 2 n = 2 l = 2 2d

l = N − 4 = 0 n = 42

+ 1− 02

= 3 n = 3 l = 0 3s

N = 5⇒ lmax = N = 5 n = 52 + 1−52

= 1 n = 1 l = 5 1hl = N − 2 = 3 n = 5

2+ 1− 3

2= 2 n = 2 l = 3 2f

l = N − 4 = 1 n = 52

+ 1− 12

= 3 n = 3 l = 1 3p



Fig. 8.5 (c) da Williams

SOLO I PRIMI TRE NUMERI MAGICI PREVISTI SONO CORRETTI


POTENZIALE DI WOODS-SAXON

V (r) = − V01 + exp

(r−ab

)da Ceradini, Fig. 2.13 Pag. 181

Nell’equazione di Schrödinger radiale possiamo usare un potenziale di Woods-Saxon,che ai bordi della buca è più attrattivo rispetto al potenziale dell’oscillatore armonicoe che riproduce meglio del potenziale armonico la distribuzione radiale della densitàdei nucleoni. L’equazione può essere risolta per via numerica e nelle soluzioni vienerimossa la degenerazione degli stati con diverso momento angolare. Infatti gli staticon momento angolare l maggiore sono più legati rispetto a quelli dell’oscillatorearmonico:

El+1 < El < El−1


OSCILLATORE ARMONICO + TERMINE CENTRIFUGOGENERALIZZATO

È possibile avvicinare i livelli energetici dell’oscillatore armonico a quelli più correttiprevisti dal potenziale Woods-Saxon, aggiungendo al potenziale di oscillatorearmonico un termine, detto “centrifugo generalizzato”, che è proporzionale a l2. Intal modo si ottiene la seguente forma per i livelli energetici, nei quali stati che hannodiverso l anche se uguale n hanno energie diverse:

Enl = −V0 + ~ω(N +

3

2

)− Vl · l(l + 1)

con: V0 ' 50MeV , a ' 1.25 ·A13 , b ' 0.524 fm.

La differenza in energia tra i livelli con diverso l è però molto più piccola dell’energiadei vari livelli armonici:

∆El � ~ω0e pertanto i numeri magici previsti sono gli stessi dell’oscillatore armonico.


Confronto Livelli Oscillatore Armonico - Potenziale di Woods-Saxon


BUCA SFERICA DI POTENZIALE (continua)

Nel caso di una buca sferica di potenziale rettangolare, il termine centrifugo modifica la

forma del potenziale, producendo un potenziale che confina sempre di più il nucleone,

all’aumentare di l, in prossimità della superficie, come è illustrato in figura. Il confinamento

crescente ha come effetto un aumento della curvatura delle funzioni d’onda per un valore

fissato di n e un conseguente aumento dell’energia dei livelli.

Williams, Fig. 8.4 Pag.136



Nel caso di buca sferica, le soluzioni saranno funzioni del tipo:

ψElm(r, ϑ, ϕ) = hEl(r)Yml (ϑ, ϕ)

dove le funzioni Y ml sono le armoniche sferiche e le hEl sono le funzioni di Bessel. Gliautovalori dell’energia dipendono dai numeri quantici n e l, ma non da m. Ladegenerazione di ogni livello con l fissato è quindi uguale a 2(2l + 1), in quanto perogni livello di l esistono (2l + 1) possibili valori di m e ciascuno può esistere con duepossibili orientazioni di spin del nucleone.Viene quindi rimossa la degenerazione dell’oscillatore armonico.I numeri magici che si ottengono sommando i vari numeri di occupazione sono:

2 8 20 34 40 58 92

invece di:

2 8 20 28 50 82 126

Anche in questo caso sono corretti solo i primi tre numeri magici.



Buca sferica Oscillatore Armonico



ACCOPPIAMENTO SPIN-ORBITA

La soluzione al problema fu trovata nel 1949 da M. Mayer e H. Jensen (premi Nobel nel1963) con l’aggiunta al potenziale di un termine di interazione di spin-orbita.In fisica atomica, come sappiamo, l’interazione elettromagnetica tra il momento magnetico dispin dell’elettrone e il campo magnetico generato dal suo moto intorno al nucleo provoca unosplitting dei livelli energetici, a seconda che lo spin e la terza componente di momentoangolare siano allineati in modo concorde o discorde.Nel caso delle interazioni nucleari, si può introdurre un accoppiamento spin-orbita, che haorigine dall’interazione a due corpi nucleone-nucleone e che è descritto da un termine che si

aggiunge al potenziale centrale ed è proporzionale a ~l · ~s:

V (~r) = Vcentr(r) + Vls(r)< ~l · ~s >

~2(29)

Ci si può domandare perchè il termine aggiuntivo debba avere la forma ~l · ~s. Le ragioni sonodue: 1) che questo è lo scalare più semplice che si possa costruire per tenere conto anche delvettore di spin; 2) è costruito in analogia con il termine di spin-orbita del caso atomico.L’equazione di Schrödinger radiale conterrà dunque il potenziale (29).Nei problemi a potenziale centrale si conserva il momento angolare orbitale; e inoltre siconserva lo spin in quanto esso non figura esplicitamente nell’hamiltoniana. Il termine dispin-orbita invece ha come effetto che le terze componenti del momento angolare orbitale edello spin non si conservino più separatamente, cioè che essi non siano più separatamente deibuoni numeri quantici.


ACCOPPIAMENTO SPIN-ORBITA (continua)

Nel caso elettrodinamico si ricava il potenziale di Thomas:

dove:

è la lunghezza d’onda Compton della particella considerata. Nel caso del nucleo, sostituendoa M la massa del nucleone, abbiamo:

Per un potenziale di tipo oscillatore armonico:

V (r) = −V0 +1

2kr2

e quindi:

Per un potenziale di Woods-Saxon,invece, il potenziale di Thomas siconcentra sulla superficie del nucleo,dove, cioè, la derivata del potenzialenon è nulla, come è facile capiredalla figura.da: Heyde, Fig. 9.11(a) Pag. 250



Quello che si conserva è la terza componente della loro somma vettoriale:

~j = ~l + ~s

in quanto essa commuta con l’hamiltoniana di spin-orbita. La vecchia base degliautostati sarà pertanto sostituita da:

|n l ml s ms > ⇒ |n j mj l s > (30)Elevando a quadrato ~j = ~l + ~s si ottiene:

j2 = l2 + s2 + 2~l · ~sPertanto il valore atteso contenuto nella (29) sarà dato da:

< ~l · ~s >= 12

(j2 − l2 − s2

)(31)

Applicando la (31) alla nuova base di autostati (30) avremo:

< ~l · ~s > |n l ml s ms > = 12(j2 − l2 − s2

)|n l ml s ms >=

= 12

(j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)) |n l ml s ms >(32)



< ~l · ~s >= ~2

2[j(j + 1)− l(l + 1)− s(s+ 1)] (33)

Per s = 1/2 la (31) diventa:

< ~l · ~s >~2

=1

2

[j(j + 1)− l(l + 1)− 3

4

](34)

con: j = l + 12

o j = l − 12.

Per j = l + 12

la (34) diventa:

~2 =

12

[(l + 1

2

) (l + 3

2

)− l(l + 1)− 3

4

]= 1

2

(l2 + 1

2l + 3

2l + 3

4− l2 − l − 3

4

)= 1

2l (35)

Per j = l − 12

la (34) diventa:

~2 =

12

[(l − 1

2

) (l + 1

2

)− l(l + 1)− 3

4

]= 1

2

(l2 + 1

2l − 1

2l − 1

4− l2 − l − 3

4

)= − 1

2(l + 1)

(36)



Questo comporta una separazione energetica tra il livello j = l + 12

e quello conj = l − 1

2e questa separazione cresce linearmente con il momento angolare:

∆El+ 12,l− 1

2= Vls

[1

2l −(−1

2l − 1

2

)]= Vls

(l +

1

2

)= Vls

2l + 1

2

Sperimentalmente si trova che Vls è negativo e quindi lo stato con j = l +12

è piùlegato di quello con j = l − 1

2(a differenza di quanto avviene nel caso atomico per il

quale gli stati con maggior momento angolare sono meno legati).È proprio l’abbassamento dell’orbitale con j = l + 1/2 di una shell a grande N cheviene abbassato al livello delle orbite della shell N − 1, che è responsabile, comevedremo tra poco, della chiusura delle shell a dei numeri “magici” differenti da quelliprevisti dal puro oscillatore armonico.Nella notazione spettroscopica, il valore di j viene indicato come indice aggiuntivodel livello nl. Tale livello è (2j + 1) volte degenere in quanto per un certo valore di jsono consentiti valori di mj che variano tra:

mj = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j



Riassumiamo l’espressione del livello energetico Enlj che contiene tutti i contributifin qui visti:

Enlj = −V0 + ~ω(N +

3

2

)− Vll(l + 1)−

1

2Vlsj

[j(j + 1)− l(l + 1)− 3

4

]Le costanti contenute in questa espressione possono essere determinate a partire daidati sperimentali. Si trova:

~ω ' 41 ·A−13 MeV

Vl = ~ω

{ 0.04 per neutroni0.05 per protoni

Vls = ~ω

{ 0.10 per neutroni0.12 per protoni

Di seguito vi ho riportato varie raffigurazioni del confronto tra livelli previstidall’oscillatore armonico, dal potenziale di tipo Woods-Saxon, in modo che possiatescegliere voi quella che vi sembra più chiara.


Confronto Oscillatore Armonico + Woods-Saxon + Spin-Orbita

Ceradini, Fig. 2.14 Pag.182



Heyde, Fig. 9.10 Pag.249


Confronto Osc. Armonico + Centrifugo Generalizzato + Spin-Orbita

Brivio, Tesi Triennale, Fig. 3.6 Pag.6



Osserviamo che i primi livelli non vengono di molto alterati dall’interazione di spin-orbita.Il primo effetto è osservabile a proposito del livello:

(1f 72

)

L’effetto dello splitting è tale da separare nettamente tale livello, abbassandolo, dagli altri trelivelli (1f), (2p): [

(2p 32

), (1f 52

), (2p 12

)]

Il livello rimane tuttavia ancora nettamente più alto dei tre livelli sottostanti (1d), (2s):[(1d 5

2), (2s 1

2), (1d 3

2)]

Si osservano pertanto due chiusure di shell abbastanza ravvicinate, che rendono il nucleo

particolarmente stabile: una prima in corrispondenza del riempimento di questi tre livelli,

che hanno numeri di occupazione rispettivamente 6, 2 e 4 (dal basso verso l’alto), e che

fornisce quindi il numero magico 20(=8+6+2+4); una seconda in corrispondenza del

riempimento del livello (1f 72

), che ha numero di occupazione pari a 8 e che fornisce

l’ulteriore numero magico 28 (=20+8).



Un effetto analogo, anche se con esiti differenti, si osserva per il livello:

(1g 92

)

che risulta molto più basso rispetto al suo omologo:

(1g 72

)

e molto più vicino, invece, ai tre livelli (2p), (1f) sottostanti:[(2p 3

2), (1f 5

2), (2p 1

2)]

che hanno rispettivamente numeri di occupazione pari a 4, 6 e 2.L’effetto è che non si osserva una chiusura di shell in corrispondenza del riempimento diquesti tre livelli, che hanno numeri di occupazione rispettivamente 4, 6 e 2 (dal basso versol’alto), e che fornirebbe quindi il numero magico 40(=28+4+6+2); ma la si osserva incorrispondenza dell’ulteriore riempimento del livello (1g 9

2), che ha numero di occupazione

pari a 10: questo fornisce quindi il numero magico 50 (=28+4+6+2+10) invece di 40.

La particolarità dello spettro nucleare è che, mentre l’effetto del termine di spin-orbita è

molto piccolo nel caso dei livelli atomici e genera la cosiddetta “struttura fine” degli spettri,

nel caso dei livelli energetici nucleari esso porta invece a una separazione molto pronunciata

dei livelli. La chiusura delle shell comporta brusche discontinuità nelle proprietà dei nuclei,

come le energie di eccitazione, la stabilità, lo spin.


APPLICAZIONI DEL MODELLO A SHELL

Il modello a shell fornisce predizioni particolarmente in accordo con i datisperimentali per i nuclei magici (cioè quelli con l’ultima shell completa) nonchè per inuclei pari-pari in generale e per i nuclei con un nucleone in più o in meno ripettoalla shell completa.Il nucleo può essere pensato come un nocciolo (core in inglese) di nucleoni appartentia strati completi e una nube (cloud in inglese) di k nucleoni degli strati incompleti.In particolare assumeremo:

k > 0: se il numero delle particelle della nube è inferiore alla metà dei postidisponibili nella shell parzialmente occupata;

k < 0: se il numero delle particelle della nube è superiore alla metà dei postidisponibili nella shell parzialmente occupata e in tal caso k viene preso uguale alnumero delle lacune.

Gli spettri dei nuclei con k = ±1 sono tipici spettri di particella singola, in cui leprincipali proprietà del nucleo sono determinate dalla particella in più o dalla lacuna.


APPLICAZIONI DEL MODELLO A SHELL (continua)

Ecco le principali informazioni che riesce a riprodurre il modello a shell:

1 Numeri magici:

2 8 20 28 50 82 126

42He2

168O8

4020Ca20

5628Ni28

12050Sn70

20882Pb126

20882Pb126

4820Ca28

4820Ca28

2 Momento angolare totale dei nuclei con shell complete: j = 0. Esso deve essere nullo inquanto i nucleoni si dispongono accoppiandosi a due a due.

3 Momento angolare totale dello stato fondamentale di tutti i nuclei con Z pari-N pari:j = 0, per la stessa ragione di prima.

4 Parità dei nuclei con shell complete e in generale dei nuclei Z pari-N pari: P = +1Poichè la parità è determinata dal momento angolare orbitale attraverso la formula:

P = (−1)l dove ~l =∑i

~li

se il numero di nucleoni è pari potremo riscrivere:

~l =∑i

~li = 2∑j

~lj = pari⇒ P = (−1)l = +1

5 Spin totale e parità dei nuclei con k = ±1: essi sono uguali al momento angolare totalee alla parità del nucleone in eccesso o della lacuna.

6 Primi livelli di eccitazione di nuclei con k = ±1Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 10 41 / 56

MODELLO A SHELL - NUCLEI LEGGERI CON SHELL CHIUSE

Ecco il riempimento successivo delle shell nel caso dei nuclei leggeri con shell chiuse.Tutti questi nuclei hanno spin-parità (j)P = 0+ in quanto vi sono tanti nucleoni conmomento angolare in su quanti con momento angolare in giù.

p n Num. nucl.

da: C. Schaerf, didattica.uniroma2.it, Lezione 26/03/2012


LIVELLI DI PARTICELLA SINGOLA - NUCLEI CON k = ±1

Particolarmente interessante, tra i nuclei con k = ±1, è il caso dei nuclei speculari,cioè i nuclei isobari il cui numero di protoni dell’uno è uguale al numero di neutronidell’altro:

(N,Z) (N ′, Z′) con N ′ = Z e Z′ = N

La cosa interessante (e che si spiega alla luce del modello a shell) è che, quando essipossiedono un protone o un neutrone isolati nella shell più esterna (k = +1), glispettri energetici di questi nuclei sono livelli di particella singola e cioè livelli le cuicaratteristiche di spin-parità sono determinate dal nucleone isolato in una shellesterna alle shell complete. Vale un discorso analogo se alla shell completa manca unnucleone (cioè in essa è presente una lacuna, k = −1). La spin-parità del nucleo saràallora determinata dalla lacuna.Inoltre, essendo i nuclei speculari ed essendo l’interazione nucleare indipendente dallacarica, gli spettri di tali nuclei sono spesso simili tra loro nella struttura, mentre sonocompletamente diversi da quelli del nucleo più vicino con le shell complete. Lepiccole differenze che si osservano sono imputabili all’interazione e.m. tra protoni.


SPETTRI DI NUCLEI SPECULARI CON k = ±1 - Nuclei intorno al 12CPrendiamo adesso l’esempio dei nuclei intorno al 12C (per capirne la struttura e i numeri

quantici v. le 2 slides successive):115B6Z = 5, N = 6⇒ k = −1Lacuna di protone in (1p3/2)

−1 (3/2)−(GS)

Liv. Ecc. di Part. Sing. (1/2)−(2.12MeV )

116C5Z = 6, N = 5⇒ k = −1Lacuna di neutrone in (1p3/2)

−1 (3/2)−(GS)


136C7Z = 6, N = 7⇒ k = +1Neutrone isolato in (1p1/2)

1 (1/2)−(GS)

Liv. Ecc. di Part. Sing. (5/2)+(3.85MeV )

137N6Z = 7, N = 6⇒ k = +1Protone isolato in (1p1/2)

1 (1/2)−(GS)

Liv. Ecc. di Part. Sing. (5/2)+(3.55MeV )

Questi nuclei hanno un nucleone isolato in una shell esterna o una lacuna in una shellcompleta. Anche gli spettri energetici di questi nuclei sono stati di particella singola.Vediamone la struttura a shell.


SPETTRI DI NUCLEI SPECULARI CON k = ±1 - Nuclei intorno al 12C


SPETTRI DI NUCLEI SPECULARI CON k = ±1 - Nuclei intorno al 12C (continua)


SPETTRI DI NUCLEI SPECULARI CON k = ±1 - Nuclei intorno all’16O

Prendiamo l’esempio dei nuclei intorno all’16O (per capirne la struttura e i numeri quantici

v. le 2 slides successive):

158O7Z = 8, N = 7⇒ k = −1Lacuna di neutrone in (1p1/2)

−1 (1/2)−(GS)


157N8Z = 7, N = 8⇒ k = −1Lacuna di protone in (1p1/2)

−1 (1/2)−(GS)


178O9Z = 8, N = 9⇒ k = +1Neutrone isolato in (1d5/2)

1 (5/2)+(GS)

Liv. Ecc. di Part. Sing. (1/2)+(0.87MeV ) (3/2)+(5.08MeV )

179F8Z = 9, N = 8⇒ k = +1Protone isolato in (1d5/2)

1 (5/2)+(GS)

Liv. Ecc. di Part. Sing. (1/2)+(0.50MeV ) (3/2)+(5.1MeV )

Vediamone più dettagliatamente la struttura a shell.


SPETTRI DI NUCLEI SPECULARI CON k = ±1 - Nuclei intorno all’16O(continua)

Ricordiamo innanzitutto la struttura a shell del nucleo di 168O8


SPETTRI DI NUCLEI SPECULARI CON k = ±1

Vediamo adesso il confronto pittorico di alcuni spettri di nuclei speculari, confrontati con

quelli di nuclei con lo stesso A ma diversa composizione di Z e N .

Notiamo:1) la somiglianza tra gli spettri dei nucleispeculari già visti:

115 B6 −

116 C5

e la differenza rispetto all’isobaro:114 Be7

2) la somiglianza tra gli spettri dei nucleispeculari:

125 B7 −

127 N5

e la differenza rispetto all’isobaropari-pari:

126 C6

3) la somiglianza tra gli spettri dei nucleispeculari già visti:

136 C7 −

137 N6

e la differenza rispetto all’isobaro:138 O5

da: Basdevant, Fig. 1.16 Pag. 53


SPETTRI DI NUCLEI SPECULARI CON k = ±1 (continua)

da: P. Corvisiero, Corso di Fisica Nucleare delle Particelle e Astrofisica 1 (a.a. 2014/15), Univ. Genova


SPIN-PARITÀ DEI NUCLEI CON k = ±1Dato che il momento angolare totale del nocciolo è nullo, la j−parità di un nucleo conk = ±1 sarà quello del livello occupato dalla particelle singola (nucleone o lacuna) (anche nelcaso di nuclei pari-dispari con un nucleone in più o in meno in una sub-shell). Lo stesso dicasi

per la parità. Questa previsione è quasi sempre verificata (le rare eccezioni sono spiegate nel

quadro della forma generalizzata del modello a shell). Vediamo qualche esempio.(JP )meas

168 O8 Z = 8 N = 8 ⇒ k = 0

(1s1/2)2 (1p3/2)

4 (1p1/2)2 per protoni e neutroni

⇒ P = (−1)0 = +1 ⇒ JP = (0)+ (0)+

178 O9 Z = 8 N = 9 ⇒ k = +1 per i neutroni

(1s1/2)2 (1p3/2)

4 (1p1/2)2 per protoni

(1s1/2)2 (1p3/2)

4 (1p1/2)2 (1d5/2)

1 per neutroni

⇒ P = (−1)2 = +1 ⇒ JP = (5/2)+ (5/2)+

2713Al14 Z = 13 N = 14 ⇒ k = −1 per i protoni

(1s1/2)2 (1p3/2)

4 (1p1/2)2 (1d5/2)

5 per protoni

(1s1/2)2 (1p3/2)

4 (1p1/2)2 (1d5/2)

6 per neutroni

⇒ P = (−1)2 = +1 ⇒ JP = (5/2)+ (5/2)+

3919K20 Z = 19 N = 20 ⇒ k = −1 per i protoni

(1s1/2)2 (1p3/2)

4 (1p1/2)2 (1d5/2)

6 (2s1/2)2 (1d3/2)

3 per protoni

(1s1/2)2 (1p3/2)

4 (1p1/2)2 (1d5/2)

6 (2s1/2)2 (1d3/2)

4 per neutroni

⇒ P = (−1)2 = +1 ⇒ JP = (3/2)+ (3/2)+


SPIN-PARITÀ DEI NUCLEI CON k = ±1 (continua)

(JP )meas6730Zn37 Z = 30 N = 37 ⇒ k = −1 per i neutroni

shell complete per 28 protoni + (2p3/2)2

shell complete per 28 neutroni + (2p3/2)4 (1f5/2)

5

⇒ P = (−1)3 = −1 ⇒ JP = (5/2)− (5/2)−

20882 Pb126 Z = 82 N = 126 ⇒ k = 0

shell complete per 82 protoni e 126 neutroni

⇒ JP = (0)+ (0)+

20982 Pb127 Z = 82 N = 127 ⇒ k = +1 per i neutroni

shell complete per 82 protonishell complete per 126 neutroni + (2g9/2)

1

⇒ P = (−1)4 = +1 ⇒ JP = (9/2)+ (9/2)+


SPETTRI DEI NUCLEI CON k = ±1 - Nuclei pesanti intorno al 208Pb

Un discorso analogo può essere fatto a proposito dei primi livelli eccitati dei nuclei conk = ±1, in quanto gli spettri di tali nuclei sono tipici spettri di particella singola.Prendiamo ad esempio il nucleo:

20882 Pb126

(già citato prima) e dei nuclei pesanti intorno a tale nucleo. Si tratta, come sappiamo, di unnucleo doppiamente magico, che ha JP = 0+, momento di quadrupolo nullo e si presentacome una sfera rigida. Infatti non ha livelli eccitati di bassa energia (v. Fig. slide successiva).L’isotopo del 208Pb:

20982 Pb127

ha una nube costituita da k = +1 neutroni. Nello stato fondamentale tale neutrone occupa illivello (2g9/2) e il nucleo ha J

P = (9/2)+. Gli stati eccitati del nucleo sono quelli per i quali

il neutrone della nube transisce nei suoi stati eccitati (di particella singola) e cioè (1i11/2),

(3d5/2) e (1j15/2), per cui in tali stati eccitati il nucleo avrà J = (11/2)+, (5/2)+, (15/2)−.

Un discorso simile vale per un altro isotopo del 208Pb e cioè :

20782 Pb125

che ha k = −1 (una lacuna nella shell completa dei neutroni) e per i nuclei pesanti intorno al208Pb e cioè :

20983 Bi126

20781 T l126

che hanno rispettivamente k = +1 (un protone in più nella nube) e k = −1 (una lacuna nellashell completa dei protoni).


SPETTRI DEI NUCLEI CON k = ±1 - Nuclei pesanti intorno al 208Pb(continua)

A sx (alto): Spettro del 208Pb da Prosperi, Fig. 7.4 Pag. 363

A dx (alto e basso): Spettri di 209Bi, 209Pb, 207Pb, 207Tl da C. Schaerf, Lezione 26/03/2012


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