R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Lezione...

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos

Lezione 4

R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 4 1 / 46

Meccanica Quantistica: cenni

Alla base della Meccanica Quantistica sono i seguenti principi:

esistono quantita che possono assumere solo valori discreti (v. il momentoangolare degli elettroni negli orbitali atomici e l’energia negli spettri atomici,l’energia trasportata dai fotoni nel corpo nero e nell’effetto fotoelettrico, lo spindelle particelle);

la radiazione e.m. ha una doppia natura onda-corpuscolo (come dimostratodall’effetto fotoelettrico e Compton, nei quali il fotone cede energia come unaparticella). L’energia della radiazione e.m. e portata da singoli quanti o fotoni dienergia E e impulso p (e lunghezza d’onda λ):

E = hνp = E

c= hν

c= h

λdove: λ = c

ν

(1)

I fotoni hanno massa a riposo nulla e viaggiano alla velocita c.N.B. La costante di Planck e molto piccola e vale:

h ' 6.6 · 10−34J · s



anche le particelle materiali hanno una doppia natura onda-corpuscolo. Ad ogniparticella materiale di impulso p e associata un’onda di lunghezza d’onda λlegata a p dalla relazione di De Broglie:

λ =h

p(2)

N.B. Questa e la stessa relazione che lega la lunghezza d’onda e l’impulso di unfotone (v. (1)).N.B. Questa relazione vale anche per i corpi macroscopici ma la costante diPlanck e talmente piccola che la loro lunghezza d’onda e estremamente ridotta etrascurabile alla scala dei corpi macroscopici (v. dopo).

la particella materiale viene descritta in termini di una ”funzione d’onda“ ψ(~r, t)che dipende dallo spazio e dal tempo (approccio di Schrodinger alla meccanicaquantistica), il cui modulo al quadrato fornisce la probabilita di trovare laparticella in un determinato punto dello spazio e a un determinato istante.



vale il principio di indeterminazione di Heisenberg per la posizione e la quantitadi moto di una particella: quanto maggiore e la precisione nella determinazionedi una delle due variabili, tanto minore e quella nella determinazione dell’altra:

∆x ·∆p & ~

dove ~ = h/2π.N.B. Tale principio vale anche nel mondo macroscopico, ma il piccolo valoredella costante di Planck fa sı che tale limitazione non abbia praticamentenessuna conseguenza (v. dopo).Piu in generale, il principio di indeterminazione afferma che coppie di variabilicanonicamente coniugate non possono essere simultaneamente determinateentrambe con la precisione voluta. Un esempio di variabili canonicamenteconiugate e costituito per l’appunto dalla coppia ”posizione-quantita“ di moto.Un altro esempio e quello della coppia ”energia-tempo“:

∆E ·∆t ≥ h

Questo significa che una misurazione di energia che abbia una determinataprecisione ∆E richiede una durata di tempo dell’ordine di almeno ∆t & h/∆E o,all’inverso, se un sistema ha una durata di vita dell’ordine di ∆t, la sua energiasara determinata con un’incertezza dell’ordine di almeno ∆E & h/∆t.



Perche le proprieta ondulatorie non sono visibili nei corpi macroscopici?Consideriamo un pallone di massa m = 1Kg che si muove a velocitav = 3.6Km/h = 1.m/s e un elettrone che ha un impulso di 1 GeV/c. Calcoliamo lalunghezza d’onda associata al pallone e all’elettrone:

CORPO MACROSCOPICO CORPO MICROSCOPICO

p = mv = 1Kg · 1ms

pc = 1Kg · 1ms· 3 · 108m

s=

= 3 · 108 Kgm2

s2︸︷︷︸J

=

= 3 · 108 · 0.624 · 1019eV = 1.9 · 1021MeV

λ = hp

= 2π~cpc

= 2π·200MeV ·fm1.9·1021MeV

= 6.3 · 10−34m

pc = 1000MeVλ = h

p= 2π~c

pc=

= 2π·200MeV ·fm1000·MeV

' 1.2fm == 1.2 · 10−15m

(N.B. 1 eV = 1.602 · 10−19J)

La lunghezza d’onda del pallone e piccolissima ed e totalmente trascurabile rispettoalle dimensioni dell’oggetto stesso e pertanto le sue proprieta ondulatorie non sonoosservabili. Quella, invece, dell’elettrone, piccola pur essa, e comunque maggiore delledimensioni dell’elettrone stesso ed e comparabile con quelle del nucleo e del nucleone.L’elettrone puo quindi essere usato come sonda per esplorare il nucleo e il nucleone.


Meccanica Quantistica: Cenni

Perche il principio di indeterminazione di Heisenberg non influenza la precisione nellemisure macroscopiche?Se conosciamo ad esempio la posizione di un pallone di diametro d = 0.2m e massam = 1Kg con una precisione dell’ordine di 0.1mm, in base al principio diindeterminazione di Heisenberg l’indeterminazione sul suo impulso sara:

∆p ≥ h

∆x=

6.63 · 10−34J · s0.1 · 10−3m

= 6.63 · 10−30 J · sm

e cioe potremo determinare la sua velocita con una precisione superiore a:

∆v =∆p

m=

6.63 · 10−30 J·sm

1.Kg= 6.63 · 10−30m

s2·m · s

m= 6.63 · 10−30m

s

Tale valore estremamente piccolo non rappresenta certamente un limite allaprecisione sulla determinazione della velocita, essendo gli errori strumentalisicuramente superiori a questo.


Meccanica Quantistica: Cenni

Se vogliamo invece determinare la posizione di un elettrone di impulso dell’ordine di1000 MeV/c, poiche (come abbiamo visto) esso e associabile a lunghezze d’ondadell’ordine del fm, potremo chiedere di determinare la sua posizione con unaprecisione dell’ordine, ad esempio, del decimo di fm. In tal caso potremodeterminare il suo impulso solo con una precisione superiore a:

∆p ≥ h

∆x=

2π~c∆x · c =

6.3 · 200MeV · fm0.1fm · c = 1.3 · 104MeV/c

Ma questa indeterminazione e dello stesso ordine di grandezza o addirittura superioreall’impulso dell’elettrone stesso. Quindi se vogliamo determinare con precisione laposizione dell’elettrone non possiamo determinare con precisione il suo impulso eviceversa.


Range delle interazioni - Massa del mediatore

La diffusione e.m. tra due particelle puoessere descritta in termini dello scambio diun fotone che funge da mediatore delleinterazioni e.m. La particella 1 di energiaE1 emette un fotone di energia ∆E(violando cosı il principio di conservazionedell’energia) e rincula di ∆p1 = −∆E/c;la particella 2 lo assorbe e rincula di∆p2 = ∆E/c.

Il principio di conservazione dell’energia puo essere violato solo per un tempomassimo ∆t tale che valga il principio di indeterminazione di Heisenberg:

∆E ·∆t ' ~⇒ ∆t ' ~∆E

Se r e lo spazio percorso dal mediatore nel tempo ∆t e la sua velocita e c, allora lospazio che esso potra percorrere nell’intervallo ∆t e:

r = ∆t · c ' ~c∆E

Dato che il fotone mediatore ha massa nulla, l’energia minima che esso puotrasportare e nulla: pertanto in tale limite il mediatore puo percorrere una distanzainfinita. La portata dell’interazione e.m. (”range“) e infinita.


Range delle interazioni - Massa del mediatore

Se invece il ”quanto“ che funge da mediatore dell’interazione ha massa m (comesuccede ad esempio nel caso delle interazioni deboli e di quelle nucleari), la minimaenergia da esso trasportata e pari a:

(∆E)min = mc2

e quindi la portata massima dell’interazione non potra essere infinita ma sara data da:

rmax '~c

(∆E)min=

~cmc2

Nel 1935 Yukawa per spiegare il fatto che le interazioni nucleari (nucleone-nucleone)mostravano una portata estremamente ridotta, dell’ordine di 2fm, propose l’idea cheil mediatore di tale interazione fosse una particella dotata di massa. Con questaipotesi, egli stimo la massa che doveva avere tale mediatore:

mc2 =~crmax

=200MeV · fm

2fm= 100MeV

La massa del pione, che puo essere considerato come il portatore delle interazioninucleone-nucleone, ha effettivamente una massa di 139 MeV.


Potere risolutivo di una particella

Per “vedere” un oggetto occorre illuminarlo con luce di una lunghezza d’onda che siacomparabile o inferiore alle dimensioni dell’oggetto e che, interagendo con esso, nevenga diffusa tutto intorno, colpendo l’occhio.

Se l’oggetto e piu piccolo della lunghezza d’onda della luce usata per illuminarlo, essosara “avvolto“ dalla luce, che non potra cosı interagire con esso. L’oggetto non puoessere osservato.



Con la luce visibile (λ ' 400÷ 700nm) possiamo risolvere oggetti con dimensionidell’ordine del centinaio di nm (batteri, cellule, virus). Per risolvere l’atomo che hadimensione ratomo ' 10−10m, occorre adoperare i raggi X che hanno lunghezzed’onda dell’ordine di:

λ ' 10−7m÷ 10−11m

Con i raggi γ, che hanno lunghezze d’onda inferiori a 10−11m, si possono sondareoggetti di dimensioni piu piccole, come i nuclei o i nucleoni (rnucleone ' 1.2fm).



Dato che una particella dotata di un certo impulso possiede una lunghezza d’ondafornita dalla relazione di De Broglie:

λ =h

p

allora per ”illuminare“ oggetti molto piccoli, come i nuclei o i nucleoni, si possonoadoperare anche particelle materiali di impulso opportuno, che vengono diffuse dalleparticelle bersaglio. L’occhio viene ovviamente sostituito da rivelatori di particelle,cioa apparecchiature in grado di segnalare il passaggio della particella diffusa.La distanza minima che possiamo sondare con una particella di impulso p e fornitadal principio di indeterminazione di Heisenberg:

p ·∆x & ~⇒ ∆x &~p

=λ

2π

La lunghezza d’onda λ ci da quindi una stima della taglia minima che si puo sondarecon una particella di un certo impulso o, all’inverso, ci dice quale impulso deve avereuna particella per sondare oggetti di una determinata dimensione.



Ad esempio, possiamo calcolare quale impulso minimo deve avere una particella perpoter risolvere l’atomo, il nucleo, un nucleone (il protone o il neutrone) o un quark:

ratomo ' 10−10m = 105fm

⇒ p & ~∆x⇒ pc & ~c

∆x' 200MeV ·fm

105fm= 2. · 10−3MeV = 2.KeV

rnucleo ' 1fm÷ qualche fm (rnucleo = r0A1/3 = 1.2A1/3fm)

⇒ p & ~∆x⇒ pc & ~c

∆x' 200MeV ·fm

1fm÷qualchefm = decine÷ centinaia di MeV

rnucleone ' 1fm

⇒ p & ~∆x⇒ pc & ~c

∆x' 200MeV ·fm

1fm= 200MeV

dinterquark ' 10−16 ÷ 10−18m = 10−1 ÷ 10−3fm

⇒ p & ~∆x⇒ pc & ~c

∆x' 200MeV ·fm

10−1÷10−3fm= 103 ÷ 105MeV =

GeV ÷ centinaio di GeV



I calcoli mostrati sono solo approssimativi. Andando avanti nello studio della fisicadella teoria della diffusione tra due particelle, scoprirete che in realta il parametrofondamentale per determinare la dimensione minima dell’oggetto esplorabile e ilquadrato del quadrimpulso trasferito dalla particella proiettile a quella bersaglio, piuche l’impulso del proiettile. Tuttavia il calcolo ci fornisce gia un ordine di grandezzadelle energie minime che deve avere un fascio per sondare un determinato bersaglio.Nell’esperimento di Rutherford (1911) che porto alla scoperta che le cariche positivesono concentrate in un nucleo che e molto piu piccolo dell’atomo, furono adoperateparticelle α (nuclei di 4He, cioe 2protoni+2neutroni ⇒ mα ' 4mp) di energiacinetica T ' 2MeV su nuclei di Au, che corrispondono a un impulso p:

T =p2

2mα⇒ p =

√2mαT =

√8mpT '

√8. · 103MeV · 2.MeV ' 126MeV

Pertanto la lunghezza d’onda associata alle particelle α usate come sonda era:

λ =h

p=

2π~cpc

=2π · 200MeV · fm

126MeV'

' 10fm = 10−14m→ Esattamente le dimensioni di un nucleo!!



Pertanto, la diffusione di particelle su un bersaglio rappresenta un fondamentalestrumento per studiare le interazioni tra le particelle e per conoscere la strutturainterna delle particelle bersaglio, nel caso in cui il proiettile non sia dotato a suavolta di struttura. Scegliendo sonde di natura diversa (fotoni, leptoni, adroni) persondare un bersaglio, si decide di sondarlo attraerso tipi di interazioni differenti.Ad esempio, se adoperiamo:

una sonda leptonica carica (e±, µ±) per studiare un bersaglio adronico (es.elettrone su nucleo o elettrone su protone), la diffusione sara dovuta alleinterazioni elettromagnetiche e non a quelle forti (perche i leptoni sono particellenon composte da quark); e dovuta anche alle interazioni deboli, ma queste sonomascherate dalle ben piu intense interazioni e.m.;

una sonda leptonica neutra (νe, νµ, νe, νµ) su un bersaglio adronico, ladiffusione sara unicamente dovuta alle interazioni deboli e non a quelle forti (dinuovo perche i leptoni non sono composti da quark) e neanche a quelle e.m.(perche i neutrini non hanno carica elettrica); pertanto i neutrini sono le sondeprivilegiate per studiare gli effetti delle interazioni deboli;

una sonda adronica (pioni π±, kaoni K±, protoni, antiprotoni) su un bersaglioadronico, la diffusione sara dovuta principalmente alle interazioni forti. Sarannopresenti anche le interazioni e.m. e quelle deboli, ma saranno molto menointense di quelle forti.


Accelerazione di particelle

Le prime scoperte e studi di particelle sono stati effettuati sui raggi cosmici.Successivamente la nascita degli acceleratori ha permesso di estendere la portata ditali indagini e di rendere sistematico lo studio delle proprieta delle particelle.Vennero infatti creati fasci di particelle dell’intensita e dell’energia desiderata ededicati a un particolare tipo di studio o di reazioni.E necessario accelerare le particelle per varie ragioni:

aumentando l’energia della particella diminuisce la sua lunghezza d’onda(λ = h/p) e pertanto aumenta il suo potere risolutivo della particella, cioe epossibile esplorare dimensioni piu piccole;

aumentando l’energia delle particelle e possibile creare particelle finali nuove e dimassa elevata

Gli esperimenti che si realizzano possono essere:- a bersaglio fisso- a fasci collidentiVediamo che differenza c’e tra le energie totali sviluppate nel C.M. nei due casi e leconseguenza che questo ha sull’energia di soglia per la produzione di particelle nellostato finale.


Energia totale nel C.M.

1) BERSAGLIO FISSO

{p1 = (E1; ~p1) dove: E1 =

√m2

1 + ~p 21

p2 = (m2;~0)

L’energia totale s disponibile nel C.M. e data da:

s = (p1 + p2)2 = (E1 +m2)2 − ~p 21 =

= E21 +m2

2 + 2E1m2 − ~p 21

x m21 y

= m21 +m2

2 + 2E1m2

√s =

√m2

1 +m22 + 2E1m2 (3)

L’energia totale disponibile nel C.M. cresce in proporzione alla radice quadratadell’energia totale del fascio.



Per masse trascurabili rispetto alle energie in gioco (come accade spesso nella fisicadelle alte energie), e cioe:

m1 � E1 m2 � E1

la (3) si riduce a:

√s '√

2E1m2 (4)

da cui si evince ancora piu chiaramente la dipendenza dalla radice quadratadell’energia totale del fascio incidente.A causa della conservazione del tri-impulso, una parte dell’energia cinetica dellaparticella proiettile viene “sprecata” in energia cinetica delle particelle nello statofinale e l’energia totale disponibile e piu bassa di quella che si potrebbe ottenerefacendo invece collidere due fasci tra loro.



2) FASCI COLLIDENTI

Far collidere due particelle con impulsi uguali in modulo e direzione e opposti inverso equivale a trovarsi nel S.R. del C.M. (nel quale infatti l’impulso totale delleparticelle e nullo):{

p1 = (E1; ~p ) dove: E1 =√m2

1 + ~p 2

p2 = (E2; −~p ) dove: E2 =√m2

2 + ~p 2


s = (p1 + p2)2 = (E1 + E2)2 − (~p − ~p )2 = (E1 + E2)2

√s = E1 + E2 (5)

L’energia totale disponibile nel C.M. cresce linearmente con le energie dei fasciincidenti.



Se i due fasci hanno la stessa energia E1 = E2 = E (come succede nel caso di duefasci collidenti di particelle che hanno anche la stessa massa oltre che lo stessomodulo di impulso), avremo:

√s = 2E (6)

Dato che il tri-impulso totale e nullo, tutta l’energia delle particelle incidenti vienemessa a disposizione dell’energia disponibile nel centro di massa (e quindi adisposizione della eventuale creazione di nuove particelle, come vedremo tra poco).



FASCI COLLIDENTI (continua)Se le due particelle collidenti non hannoimpulsi uguali in modulo e direzione eopposti in verso, allora il calcolodell’energia nel C.M. si complicheraleggermente. {

p1 = (E1; ~p1 ) dove: E1 =√m2

1 + ~p 21

p2 = (E2; ~p2 ) dove: E2 =√m2

2 + ~p 22


s = (p1 + p2)2 = (E1 + E2)2 − (~p1 + ~p2)2 =

= E21 + E2

2 + 2E1E2 − ~p 21 − ~p 2

2 − 2~p1 · ~p2 =

= m21 +m2

2 + 2E1E2 − 2|~p1 | · |~p2 |cosθ12 (7)

dove: θ12 e l’angolo tra i vettori ~p1 e ~p2.La formula (7) si riduce a quella particolare (5), nel caso in cui: |~p1 | = |~p2 | = |~p | eθ12 = π → cosθ12 = −1:

s = m21 +m2

2 + 2E1E2 + 2~p 2 = m21 + ~p 2︸︷︷︸E2

1

+m22 + ~p 2︸︷︷︸E2

2

+2E1E2 = (E1 + E2)2



La differenza tra un esperimento a bersaglio fisso e uno a fasci collidenti e quindievidente in termini dell’energia totale disponibile nel C.M. (prendiamo il caso dimasse trascurabili rispetto alle energie):

(√s)bers.fisso '

√2E1m2 (8)

(√s)collid.beams ' E1 + E2 oppure (

√s)collid.beams ' 2E (9)

Facciamo un esempio pratico. Consideriamo un fascio di protoni di energiaE1 = 100GeV incidenti su un bersaglio fisso di protoni (mp = 0.938GeV ' 1.GeV ) epoi consideriamo due fasci collidenti di protoni entrambi di energia 100 GeV ecalcoliamo

√s nei due casi (siamo in un caso in cui la massa a riposo delle particelle

e del tutto trascurabile rispetto alle energie in gioco, per cui useremo le (8) e (9)):

(√s)bers.fisso '

√2 · 100GeV · 1.GeV ' 14.GeV

(√s)collid.beams ' 2 · 100GeV = 200GeV

Per raddoppiare l’energia nel C.M. nel caso di un esperimento a bersaglio fissooccorre quadruplicare l’energia del fascio incidente; infatti se E = 400GeV abbiamo:

(√s)bers.fisso '

√2 · 400GeV · 1.GeV ' 28.GeV


Energia di soglia di una reazione

Presa una reazione che prevede la creazione di un certo numero di particelle nellostato finale, si definisce energia di soglia l’energia cinetica della particellaincidente in corrispondenza della quale le particelle dello stato finale sonoprodotte a riposo nel sistema del centro di massa.

Tra lo stato iniziale e finale, per la conservazione del quadrimpulso totale, deveconservarsi l’energia totale del centro di massa (anche detta “massa invariante” delsistema):

sin = sfin

dove: {sin = (p1 + p2)2

sfin =(∑n

i=3 p∗i

)2= (p∗3 + p∗4 + ...+ p∗n)2



In generale sfin calcolato nel C.M. e dato da:

sfin = (E∗3 + E∗4 + ...+ E∗n)2 − (~p ∗3 + ~p ∗4 + ...+ ~p ∗n︸︷︷︸~0

)2 = (E∗3 + E∗4 + ...+ E∗n)2

dove:

E∗i =√m2i + (~p ∗i )2

Nel caso particolare di una reazione in soglia, le particelle dello stato finale vengonoprodotte a riposo nel sistema del C.M. e pertanto si ha:

~p ∗i = ~0 i = 3, .., nE∗i = mi i = 3, .., n

e la corrispondente energia totale in soglia al quadrato (“threshold” in inglese) nelC.M. sara:

sthrfin = (m3 +m4 + ...+mn)2 =

(n∑i=3

mi

)2

L’energia cinetica minima per la quale la reazione ha luogo si trova imponendo:√sthrin =

√sthrfin =

n∑i=3

mi (10)



CASO 1) BERSAGLIO FISSOSe nello stato iniziale abbiamo un fascio incidente su un bersaglio fisso, il valore di sthrin e:

sthrin = (pthr1 + pthr2 )2 = (Ethr1 + m2)2 − (~p thr1 )2 == (Ethr1 )2 + m2

2 + 2m2Ethr1 − (~p thr1 )2

x m21 y

= m21 + m2

2 + 2m2Ethr1 (11)

Imponiamo l’uguaglianza tra sthrin e sthrfin tra stato iniziale e finale (v. (10)) e sostituiamo a

sthrin la (11):

sthrin = sthrfin =

(n∑i=3

mi

)2

m21 + m2

2 + 2m2Ethr1 =

(n∑i=3

mi

)2

Ethr1 =

(∑ni=3 mi

)2 −m21 −m2

2

2m2(12)

In termini di energia cinetica (N.B. E1 = T1 + m1), cio equivale a:

T thr1 =(∑ni=3mi)

2−m21−m

22

2m2−m1 =

(∑ni=3mi)

2−m21−m

22−2m1m2

2m2=

=(∑ni=3mi)

2−(m1+m2)2

2m2

(13)



Bersaglio fisso (continua)Facciamo l’esempio di produzione di un’unica particella o di due particelle in un esperimentoa bersaglio fisso:1) Reazione A + B → C (supponendo: A=proiettile e B= a riposo nel S.LAB.)v. formula (12)

EA =

(∑ni=3 mi

)2 −m2A −m2

B

2mB=

m2C −m2

A −m2B

2mB

N.B. In questo caso particolare non si tratta di un’energia di soglia, ma di un’energia unicain corrispondenza della quale la reazione con la produzione della particella di massa mC haluogo; in questo caso infatti la particella creata e unica e quindi nel C.M. puo solo essere

~p ∗C = ~pA + ~pB = ~0, cioe sthrfin = sfin. Se l’energia e diversa da quella indicata e le due

particelle si uniscono a formare un’unica particella, questa non avra massa mC ma un’altramassa.

2) Reazione A + B → C + D (supponendo: A=proiettile e B= a riposo nelS.LAB.):(v. formula (12))

EthrA,bers.fisso =

(∑ni=3 mi

)2 −m2A −m2

B

2mB=

(mC + mD)2 −m2A −m2

B

2mB



CASO 2) FASCI COLLIDENTISe nello stato iniziale abbiamo due fasci collidenti con tri-impulsi uguali in modulo edirezione e opposti in verso, sthrin sara dato da:

sthrin = (pthr1 + pthr2 )2 = (Ethr1 + Ethr2 )2 − (~p thr1 + ~p thr2︸︷︷︸~0

)2 = (Ethr1 + Ethr2 )2 (14)

Imponiamo l’uguaglianza tra sthrin e sthrfin tra stato iniziale e finale (v. (10)) e sostituiamo a

sthrin la (14):

sthrin = sthrfin =

(n∑i=3

mi

)2

(Ethr1 + Ethr2 )2 =

(n∑i=3

mi

)2

⇒ Ethr1 + Ethr2 =n∑i=3

mi (15)

o, in termini di energia cinetica:

T thr1 + T thr2 =n∑i=3

mi −m1 −m2 (16)

Nel caso in cui i due fasci abbiano anche energia uguale (E1 = E2 = E), l’energia totale ecinetica di ciascun fascio collidente per dar luogo alla reazione devono essere:

Ethr =

∑ni=3 mi

2T thr =

∑ni=3 mi − 2m

2(17)



Fasci collidentiFacciamo l’esempio di produzione di un’unica particella o di due particelle in un esperimentoa fasci collidenti:1) Reazione A + B → C (supponendo: A e B con stessa massa e impulsi uguali inmodulo e direzione e opposti in verso)(v. formula (17))

E = EA = EB =

∑ni=3 mi

2=

mC

2N.B. In questo caso particolare non si tratta di un’energia di soglia, ma di un’energia unicain corrispondenza della quale la reazione con la produzione della particella di massa mC haluogo; in questo caso infatti la particella creata e unica e quindi nel C.M. puo solo essere

~p ∗C = ~pA + ~pB = ~0, cioe sthrfin = sfin. Se l’energia e diversa da quella indicata e le due

particelle si uniscono a formare un’unica particella, questa non avra massa mC ma un’altramassa.

2) Reazione A + B → C + D (supponendo: A e B con stessa massa e impulsiuguali in modulo e direzione e opposti in verso):(v. formula (17))

Ethr = EthrA = EthrB =

∑ni=3 mi

2=

(mC + mD)

2


Relativita speciale: Esercizi

1) Calcolare l’energia totale e l’impulso di un pione carico e di un protone aventientrambi energia cinetica 200 MeV.Pione carico (m ' 139MeV ):Relazione energia totale-energia cinetica:

E = T +m = 200MeV + 139MeV = 339MeV

Relazione energia totale-impulso:

E2 = m2 + ~p 2 ⇒ |~p | =√E2 −m2 =

√(3392 − 1392)MeV 2 = 309.2MeV

Protone (m ' 938MeV ):Relazione energia totale-energia cinetica:

E = T +m = 200MeV + 938MeV = 1138MeV

Relazione energia totale-impulso:

E2 = m2 + ~p 2 ⇒ |~p | =√E2 −m2 =

√(11382 − 9382)MeV 2 = 644.4MeV



2) Calcolare l’energia cinetica di un protone avente un impulso di 5 MeV/c (massadel protone m ' 938MeV/c2).

T = E −mc2 =√

(~pc)2 + (mc2)2 −mc2 =

=√(

5MeVcc)2

+(938MeV

c2c2)2 − 938MeV

c2c2 =

=√

(5MeV )2 + (938MeV )2 − 938MeV =

= 938.01MeV − 938MeV = 0.01MeV

Avremmo potuto calcolarlo anche con la formula classica, dato che p2 � m2? Si,infatti:

T =p2

2m=

(5MeV )2

2 ∗ 938MeV= 0.01MeV



5) Due particelle, entrambe di massa m, collidono testa a testa con velocita entrambeuguali a (3/5)c e si uniscono a formare una particella unica di massa M. Qual e lamassa M della particella finale?Soluzione:

Stato iniziale Stato finalep1 = (E; ~p ) p3 = (E3; ~p3)p2 = (E;−~p )

Per la conservazione del tri-impulso e dell’energia abbiamo:

~p3 = ~p− ~p = ~0

⇒ E3 = M = 2E

Ricaviamo l’energia E e la massa M:

E = γm =1√

1− β2m =

1√1−

(35

)2m =5√

25− 9m =

5

4m

⇒M = 2E =5

2m

Notiamo che la massa della particella finale e superiore alla semplice somma dellemasse delle due particelle iniziali. Cio e possibile perche l’energia cinetica delle dueparticelle iniziali si e trasformata in energia di massa.



6) Una particella di massa M decade in due particelle di massa uguale m. A qualevelocita si muoveranno le due particelle finali nel sistema di riferimento in cui laparticella M e a riposo?Soluzione:

Stato iniziale Stato finale

p1 = (M ;~0) p2 = (E2; ~p2)p3 = (E3; ~p3)

m1 = m2 = mDalla conservazione del tri- impulso e dell’energia si ha:

~p2 + ~p3 = ~0⇒ ~p2 = −~p3 = ~p⇒ E2 = E3 = E (dato che m1 = m2 = m)

E2 + E3 = 2E = M ⇒ E =M

2

⇒ Le due particelle finali sono emesse “back-to-back” nel C.M. e, avendo la stessamassa, hanno anche la stessa energia nel C.M.



Per estrarre la velocita delle particelle finali, possiamo procedere in vari modiequivalenti:

a) E = M2⇒√m2 + ~p 2 = M

2⇒ m2 + ~p 2 = M2

4⇒ ~p 2 = M2−4m2

4

|~p | =√M2 − 4m2

2

Perche la radice abbia soluzione, occorre che il radicando sia positivo o nullo:

M2 − 4m2 ≥ 0⇒M2 ≥ 4m2 ⇒M ≥ 2m

Abbiamo trovato la condizione minima (soglia) perche la reazione abbia luogo.Calcoliamo il β (cioe la velocita delle particelle finali):

β =|~p |E

=

√M2−4m2

2M2

=

√M2 − 4m2

M

b) Calcoliamo il γ e quindi il β (cioe la velocita delle particelle finali):

E = γm =1√

1− β2m⇒ 1

1− β2=

(E

m

)2

⇒ 1− β2 =m2

E2⇒ β =

√1− m2

E2

Ma E = M/2 ⇒ β =√

1− m2

E2 =√

1− 4m2

M2 =

√M2−4m2

M



7) Un pione decade in un muone e un neutrino. A quale velocita si muoveranno ledue particelle finali nel sistema di riferimento in cui il pione e a riposo?Soluzione:

Stato iniziale Stato finale

p1 = (mπ;~0) p2 = (Eµ; ~pµ)p3 = (Eν ; ~pν)

Dalla conservazione del tri- impulso e dell’energia si ha:

~pµ + ~pν = ~0⇒ ~pµ = −~pν = ~p

Eµ + Eν = mπ

dove:

Eµ =√m2µ + ~p 2

Eν =√m2ν + ~p 2 ' |~p |

⇒ Le due particelle finali sono emesse “back-to-back” nel C.M. ma, non avendo lastessa massa, hanno energie diverse. Sostituendo si ha:√m2µ + ~p 2 + |~p | = mπ ⇒

√m2µ + ~p 2 = mπ − |~p | ⇒ m2

µ+ 6 ~p 2 = m2π+ 6 ~p 2 − 2mπ|~p |



m2µ = m2

π − 2mπ|~p | ⇒ |~p | =m2π −m2

µ

2mπ

Per ottenere la velocita del muone e del neutrino (o il loro β il che e lo stesso),ricordiamo la relazione che lega il β all’impulso e all’energia di una particella:

β =p

E

Per il muone:

|~p | =m2π−m

2µ

2mπ

Eµ =√m2µ + |~p |2 =

√m2µ +

(m2π−m2

µ

2mπ

)2

=

√4m2

πm2µ+m4

π+m4µ−2m2

πm2µ

4m2π

=m2π+m2

µ

2mπ

βµ =pµEµ

=

m2π−m2

µ2mπ

m2π+m2

µ2mπ

=m2π−m

2µ

m2π+m2

µ' 0.27 ⇒ vµ = 0.27c

Per il neutrino:Eν = |~p |β ' 1



8) Nell’acceleratore Bevatron di Berkeley nel 1955 fu osservato per la prima voltal’antiprotone, facendo incidere un fascio di protoni su un bersaglio fisso anch’esso diprotoni e producendo la seguente reazione:

p+ p→ p+ p+ p+ p

Qual’e l’energia di soglia che deve avere il fascio incidente perche la reazione abbialuogo?Soluzione:

LAB. Stato iniziale LAB. Stato finalep1 = (E1; ~p1 ) pi = (Ei; ~pi ) i = 3, 4, 5, 6

p2 = (mp;~0)dove: E3 + E4 + E5 + E6 = E1 +mp

~p3 + ~p4 + ~p5 + ~p6 = ~p1

C.M. Stato iniziale C.M. Stato finalep∗1 = (E∗; ~p ∗) p∗i = (E∗i ; ~pi

∗) i = 3, 4, 5, 6p∗2 = (E∗;−~p ∗)dove: E∗3 + E∗4 + E∗5 + E∗6 = 2E∗

~p3∗ + ~p4

∗ + ~p5∗ + ~p6

∗ = ~0



L’energia di soglia e quell’energia in corrispondenza della quale le particelle finalivengono prodotte a riposo nel sistema del C.M. Pertanto in soglia:

(~p ∗3 )thr = (~p ∗4 )thr = (~p ∗5 )thr = (~p ∗6 )thr = ~0

(E∗i )thr =√m2i + (~p ∗i )2

thr = mi = mp i = 3, 4, 5, 6

Nell’urto si deve conservare l’energia totale nel C.M. tra lo stato iniziale e quellofinale. Dato che questa e un invariante relativistico (cioe e uguale in tutti i sistemi diriferimento), calcoliamo tale energia totale nel sistema dove e piu facile (e anche piulogico) calcolarlo nel caso di una reazione alla soglia, e cioe: 1) nel sistema del LAB.per lo stato iniziale (perche e il sistema nel quale il bersaglio e a riposo ed e in questosistema che ci interessa calcolare l’energia cinetica minima che deve avere il fascio); 2)nel sistema del C.M. per lo stato finale (dove tutte le particelle emesse sono a riposo):1) Stato iniziale (calcolo di sin nel LAB.):

sin = (pthr1 + pthr2 )2 = (Ethr1 +mp)2 − (~p thr1 )2 =

= (Ethr1 )2 +m2p + 2Ethr1 mp − (~p thr1 )2

x m2p y

= m2p +m2

p + 2Ethr1 mp = 2m2p + 2Ethr1 mp

(18)



2) Stato finale (calcolo di sfin nel C.M.):

sfin = (p∗3,thr + p∗4,thr + p∗5,thr + p∗6,thr)2 =

(E∗3,thr︸︷︷︸mp

+E∗4,thr︸︷︷︸mp



)2 − ( 6 ~p ∗3,thr+ 6 ~p ∗4,thr+ 6 ~p ∗5,thr+ 6 ~p ∗6,thr)2 =

= 16m2p (19)

Uguagliamo la (18) e la (19) per estrarre l’energia minima del fascio per produrre lareazione:

sin = sfin

2m2p + 2Ethr1 mp = 16m2

p ⇒ Ethr1 =16m2

p − 2m2p

2mp=

14m2p

2mp= 7mp (20)

In termini di energia cinetica cio equivale a:

T thr1 = 7mp −mp = 6mp



10) Qual e la la vita media di un pione π+ con un impulso di 100 GeV/c nel LAB?(N.B. τπ = 2.6 · 10−8s e mπ = 0.139GeV/c2)Soluzione:

τ ′π = γτπ

dove:

γ =Eπmπ

=

√m2π + ~p 2

π

mπ=√

(0.139GeV/c2)2c4 + (100GeV/c)2c2

0.139(GeV/c2)c2' 100GeV

0.139GeV' 719

τ ′π = γτπ = 719 · 2.6 · 10−8s = 1.87 · 10−5s



11) A che velocita l’energia cinetica di una particella uguaglia la sua energia a riposo?Soluzione:

Energia cinetica: T = E −m = γm−m (21)

Energia di riposo: ER = m (22)

Uguagliandole avremo:

γm−m = m⇒ γm = 2m⇒ γ = 2

Ma γ e legato a β (e quindi alla velocita) dalla relazione:

γ =1√

1− β2⇒√

1− β2 =1

γ⇒ 1−β2 =

1

γ2⇒ β =

√1− 1

γ2=

√1− 1

4=

√3

2= 0.87

A una velocita pari a 0.87c l’energia cinetica di una particella uguaglia la sua energiaa riposo.



12) La particella J/ψ (stato legato di un quark c e un antiquark c) puo essereprodotta sia in urti protone-protone sia in urti elettrone-positrone (e cosı infattiquesta particella e stata scoperta simultaneamente da due gruppi di ricerca diversinel 1974) (mJ/ψ = 3.097GeV ).a) Calcolare l’energia di soglia di un fascio di protoni che incide su un bersaglio fissodi protoni nella reazione:

p+ p→ p+ p+ J/ψ

b) Calcolare l’energia che devono avere due fasci collidenti di elettroni e positroni dienergia uguale per produrre la reazione (N.B. in realta in questo caso non si tratta diun’energia di soglia ma di un’energia unica alla quale si verifica la reazione, perche adenergie piu basse o piu elevate la massa della particella prodotta sara minore omaggiore):

e+ + e− → J/ψ



Soluzione a): p+ p→ p+ p+ J/ψ

LAB. Stato iniziale LAB. Stato finalep1 = (E1; ~p1 ) p3 = (E3; ~p3 ) (protone)

p2 = (mp;~0) p4 = (E4; ~p4 ) (protone)pJ/ψ = (EJ/ψ; ~pJ/ψ) (J/ψ)

dove: E3 + E4 + EJ/ψ = E1 +mp

~p3 + ~p4 + ~pJ/ψ = ~p1

C.M. Stato iniziale C.M. Stato finalep∗1 = (E∗; ~p ∗) p∗3 = (E∗3 ; ~p3

∗) (protone)p∗2 = (E∗;−~p ∗) p∗4 = (E∗4 ; ~p4

∗) (protone)p∗J/ψ = (E∗J/ψ; ~pJ/ψ

∗) (J/ψ)

dove: E∗3 + E∗4 + E∗J/ψ = 2E∗

~p3∗ + ~p4

∗ + ~pJ/ψ∗ = ~0



Come abbiamo gia visto nell’es.8, l’energia di soglia e quell’energia in corrispondenzadella quale le particelle finali vengono prodotte a riposo nel sistema del C.M.Pertanto in soglia:

(~p ∗3 )thr = (~p ∗4 )thr = (~p ∗J/ψ)thr = ~0

(E∗i )thr =√m2i + ((~p ∗i )thr)2 = mi

⇒ (E∗3 )thr = (E∗4 )thr = mp e (E∗J/ψ)thr = mJ/ψ

Come gia visto, nell’urto si deve conservare l’energia totale nel C.M. tra lo statoiniziale e quello finale. e nel caso di una reazione alla soglia, la calcoleremo:1) nel sistema del LAB. per lo stato iniziale;2) nel sistema del C.M. per lo stato finale.1) Stato iniziale (calcolo di sin nel LAB.):

sin = (pthr1 + pthr2 )2 = (Ethr1 +mp)2 − (~p thr1 )2 =

= (Ethr1 )2 +m2p + 2Ethr1 mp − (~p thr1 )2 = m2

p +m2p + 2Ethr1 mp = 2m2

p + 2Ethr1 mp

(23)



2) Stato finale (calcolo di sfin nel C.M.):

sfin = (p∗,thr3 + p∗,thr4 + p∗,thrJ/ψ )2 =

(E∗,thr3︸︷︷︸mp

+E∗,thr4︸︷︷︸mp

+E∗,thrJ/ψ︸︷︷︸mJ/ψ

)2 − (6 ~p ∗,thr3 + 6 ~p ∗,thr4 + 6 ~p ∗,thrJ/ψ )2 =

= (2mp +mJ/ψ)2 = 4m2p +m2

J/ψ + 4mpmJ/ψ (24)

Uguagliamo la (23) e la (24) per estrarre l’energia minima del fascio per produrre lareazione:

sin = sfin

2m2p + 2Ethr1 mp = 4m2

p +m2J/ψ + 4mpmJ/ψ (25)

⇒ Ethr1 =4m2

p +m2J/ψ + 4mpmJ/ψ − 2m2

p

2mp=

2m2p +m2

J/ψ + 4mpmJ/ψ

2mp= 12.2GeV

(26)



Soluzione b): e+ + e− → J/ψ

LAB. Stato iniziale LAB. Stato finalep1 = (E; ~p ) pJ/ψ = (EJ/ψ; ~pJ/ψ)p2 = (E;−~p )dove: EJ/ψ = E + E = 2E

~pJ/ψ = ~0⇒ EJ/ψ = mJ/ψ

Notiamo che il sistema del LAB. coincide con quello del C.M. perche le particellehanno impulsi uguali in modulo e direzione e opposti in verso e la particella finale,essendo una sola, e necessariamente a riposo. Calcoliamo l’energia totale nel C.M.dello stato iniziale e finale e imponiamo che essa si conservi:1) Stato iniziale (calcolo di sin nel LAB./C.M.):

sin = (p1 + p2)2 = (2E)2 = 4E2 (27)

2) Stato finale (calcolo di sfin nel C.M./LAB.):

sfin = (p∗J/ψ)2 = m2J/ψ (28)

Uguagliamo la (27) e la (28) e troviamo l’energia che deve avere il fascio per produrrela J/ψ:

sin = sfin ⇒ 4E2 = m2J/ψ ⇒ E =

mJ/ψ

2= 1.5GeV (29)


R. Sparvoli-R. Di Salvo-P. Dimopoulos Lezione...

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