R.Sparvoli-R.Di Salvo-P.Dimopoulos Lezione...

$: R.Sparvoli-R.Di Salvo-P.Dimopoulos Lezione 11people.roma2.infn.it/~sparvoli/istituzioni_16-17/wp-content/... · D. Tong, \Lectures on Quantum Field Theory" R.Sparvoli-R.Di Salvo-P.Dimopoulos$
Istituzioni di Fis. Nucl. e Subnucl.

R.Sparvoli-R.Di Salvo-P.Dimopoulos

Lezione 11

R.Sparvoli-R.Di Salvo-P.Dimopoulos Istituzioni di Fis. Nucl. e Subnucl. Lezione 11 1 / 40

Testi consigliati

Oscillatore armonico quantisticoCohen-Tannoudji “Quantum Mechanics”, Vol.1, Cap. 5, pag. 482 e sgg. nell’edizioneingleseCohen-Tannoudji “Quantum Mechanics”, Vol.1, Cap. 5, Complement KV , pag. 605 esgg. nell’edizione inglese

Seconda quantizzazioneA. Bottino e C. Giunti “Lezioni di Fisica Teorica - Anno Accademico 2001-2002”,Parte II, Cap. 1,2,3 (pagg.II.3 e sgg.), www.to.infn.it/∼giunti/fisteo/M. Peskin, Daniel V. Schroeder, “An Introduction to Quantum Field Theory”, Cap.2D. Tong, “Lectures on Quantum Field Theory”


La quantizzazione dei campi

L’equazione relativistica di Klein-Gordon non puo essere adottata come un’equazione diparticella scalare libera (nel caso relativistico), perche la densita di probabilita alla qualeessa conduce non e definita positiva.

Questo aveva condotto Dirac a scrivere un’equazione relativistica lineare nelle derivatespaziali e temporali per uno spinore di N componenti; ciascuna di queste componentisoddisfa separatamente a un’equazione di K-G. Dirac trova che la dimensione minima dellospinore e N = 4.I successi dell’equazione di Dirac sono molteplici perche essa porta in modo naturale alconcetto di spin, descrivendo le particelle puntiformi di spin 1/2, permette di predire ilvalore del momento magnetico dell’elettrone, poi misurato sperimentalmente, e la strutturafine dello spettro energetico dell’atomo idrogenoide (tra le altre cose).

Rimangono pero aperti diversi problemi:

- come trattare l’annichilazione e creazione di coppie particella-antiparticella?come trattare in generale i processi di creazione e distruzione di particelle cheavvengono del corso delle reazioni?

- come trattare i problemi con un numero variabile di particelle?

- come trattare le particelle scalari?

- puo essere dato un qualche significato all’equazione di K-G?

Si presenta dunque la necessita di dare una nuova descrizione alle particelle e alla lorointerazione, che porta alla “quantizzazione dei campi”. In natura vi sono campi scalari,campi fermionici (di Dirac), campi e.m. e le particelle sono i “quanti” che realizzano talicampi. Vedremo tra poco che cosa cio vuole dire ma facciamo prima alcuni richiami sullaprima quantizzazione e sulla quantizzazione di un campo classico.



La meccanica quantistica combinata alla teoria della relativita porta inevitabilmente allanon-conservazione del numero delle particelle. Vediamo perche.Immaginiamo di voler localizzare ”classicamente” una particella di massa m. Questosignifica che la dovremo colpire con un fascio di luce di lunghezza d’onda λ comparabile conle dimensioni della particella stessa. Ci chiediamo se sia possibile localizzare la particella conun fascio di lunghezza d’onda λ inferiore alla lunghezza d’onda Compton λC della particella:

λ . λC(=h

mc)⇒ λ .

h

mc

In termini di energia E del fascio (E = hν = hc/λ), cio equivale a chiedere che sia:

E &= mc2

Poiche la soglia energetica per la creazione di una coppia di particella-antiparticella e 2mc2,cioe dello stesso ordine di grandezza, cio significa che il fascio, adoperato per localizzare laparticella, ha in realta energia sufficiente a creare due o piu particelle. Si puo dunque pensarealla lunghezza d’onda Compton della particella come al limite di lunghezza al di sotto delquale la particella cessa di essere vista come indistruttibile e non ha piu senso parlare delladeterminazione della sua posizione. Al di sotto di questa scala non e piu possibile unadescrizione classica della particella, ma entra in gioco la teoria quantistica dei campi.

N.B. λC e quindi la lunghezza d’onda di un fotone di energia pari alla massa a riposo della

particella: λC = cν

= hcE

= hcmc2

= hmc


Richiami sulla “prima quantizzazione”

Sistema classico di N gradi di libertaNella meccanica classica un sistema costituito da un numero finito N di gradi di libertaviene descritto dalle variabili canonicamente coniugate:

qi e pi =dL

dqii = 1, . . . , N

dove L = L(qi, qi, t) = T − V e la lagrangiana del sistema.Imponendo il principio di minima azione:

δS = 0 dove S =

∫ t2

t1

L(qi, qi, t)dt

si ottengono le equazioni di Euler-Lagrange (equazioni del moto del sistema):

d

dt

(∂L

∂qi

)−∂L

∂qi= 0

“Prima quantizzazione” di un sistema di N gradi di libertaCon la prima quantizzazione si sostituiscono operatori alle variabili dinamiche e siimpongono loro i commutatori seguenti:

[qi, pj ] = i~δij , [qi, qj ] = [pi, pj ] = 0

Queste regole sono alla base dell’equazione di Schrodinger, che descrive il comportamento di

una particella singola non relativistica soggetta a un potenziale. La particella e

descritta da una funzione d’onda il cui modulo quadro e la probabilita che la particella sia in

un certo punto dello spazio a un certo istante.R.Sparvoli-R.Di Salvo-P.Dimopoulos Istituzioni di Fis. Nucl. e Subnucl. Lezione 11 5 / 40

Richiami sull’oscillatore armonico

Richiamiamo in particolare la quantizzazione dell’oscillatore armonico unidimensionale, checi sara utile successivamente per la quantizzazione dei campi classici.L’energia totale di un oscilatore armonico classico e data da:

E =1

2mω2x2 +

p2

2m(1)

Sostituiamo nella (1) alle quantita classiche x e p gli operatori X e P , il cui commutatorecanonico e :

[X,P ] = i~ (2)e otteniamo l’operatore Hamiltoniana di un oscillatore armonico quantistico di frequenza ω:

H =1

2mω2X2 +

P 2

2mL’equazione agli autovalori dell’Hamiltoniana H e :

H|ϕn〉 = En|ϕn〉Sostituendo a X e P gli operatori adimensionali X e P cosı definiti:

X =

√mω

~X P =

√1

m~ωP ⇒

[X, P

]= i (3)

l’hamiltoniana assume la forma:

H = ~ωH dove H =1

2(X2 + P 2) (4)

e l’equazione agli autovalori (adimensionali) dell’hamiltoniana H diventa:

H|ϕn〉 = εn|ϕn〉 ⇒ En = ~ωεnR.Sparvoli-R.Di Salvo-P.Dimopoulos Istituzioni di Fis. Nucl. e Subnucl. Lezione 11 6 / 40


Operatori di creazione e distruzione

Definiamo i seguenti operatori adimensionali, combinazioni lineari degli operatori X e P :

a =1√

2(X + iP ) a† =

1√

2(X − iP ) (5)

In seguito alle proprieta (3) di anticommutazione di X e P , si puo dimostrare facilmente cheil loro commutatore e: [

a, a†]

= 1 (6)

(Ovviamente, usando le equazioni (5) e (2) si puo verificare che [a, a] = [a†, a†] = 0.)

Questi operatori, se invertiti, forniscono X e P in funzione di a† e a:

X =1√

2(a+ a†) P =

i√

2(a† − a) (7)

Si puo dimostrare che l’hamiltoniana (4) puo essere cosı riscritta in termini di a e a† (bastasostituire nella (4) le (7) e sfruttare la (6)):

H = a†a+1

2(8)

N.B. Il termine “1/2” e causato dalla non-commutativita degli operatori X e P .

Definiamo ora l’operatore N :

N = a†a (9)

che possiamo dimostrare essere hermitiano (N† = N):

⇒ N† = (a†a)† = a†(a†)† = a†a = N ⇒ H = N +1

2(10)


Richiami sull’oscillatore armonico quantistico

Definiamo gli stati:

|ϕn〉 = (a†)n|ϕ0〉 ≡ (a†)n|0〉 (17)

Si ha

H|ϕn〉 = H(a†)n|ϕ0〉 = H a†a† . . . a†︸︷︷︸n−termini

|ϕ0〉 = (a†H + a†) a†a† . . . a†︸︷︷︸(n−1)−termini

|ϕ0〉 ⇒ (18)

. . .⇒ H|ϕn〉 =1

2(a†)n|ϕ0〉+ n(a†)n|ϕ0〉 = (n+

1

2)|ϕn〉 (19)

Pertanto gli autovalori dell’energia En devono essere interi e non negativi (l’energiadell’oscillatore armonico e quantizzata):

En =

(n+

1

2

)~ω con: n = 0, 1, 2, . . . (20)

Il livello fondamentale (“ground state”) non ha energia nulla, ma ~ω/2.

Differenza energetica tra stati contiguiLa differenza di energia tra due livelli contigui e ∆E = ~ω:

∆E = En+1 − En =

(n+ 1 +

1

2

)~ω −

(n+

1

2

)~ω = ~ω (21)


Richiami sull’oscillatore armonico quantistico

Azione degli operatori a e a†

In generale l’effetto degli operatori a† e a su uno stato |ϕn〉 e quello di produrre un autostatodi energia piu alta o piu bassa di un’unita, cioe (trascurando i fattori di normalizzazione):

a†|ϕn〉 ∝ |ϕn+1〉a |ϕn〉 ∝ |ϕn−1〉

Dato che, come dimostrato dalla (21), la differenza di energia tra due stati contigui e pari aun quanto di energia ~ω, possiamo definire gli operatori a† e a come operatori di creazione edistruzione perche il loro effetto e quello di creare o di distruggere un quanto di energia ~ω.

Interpretazione dell’operatore NVisto lo spettro energetico dell’oscillatore armonico (20), possiamo dire che l’autovalore n

dell’operatore N ci dice il numero di quanti di energia ~ω dello stato. Per questa ragioneesso viene chiamato “numero di occupazione” dello stato stesso.



Campo classicoSe un sistema e costituito da un numero infinito di gradi di liberta (es. ipunti di una corda vibrante giacente lungo la direzione x e fissata agliestremi e che puo oscillare solo nella direzione z), lo descriviamo con uncampo che e una funzione continua delle coordinate spazio-temporali:

ϕ(~x, t) = ϕ(x)Ogni valore del campo nel punto x e lo spostamento della corda dall’asse x nella direzione z.Le variabili dinamiche non sono le ~x, ma tutti i valori che il campo assume in ogni punto ~xdello spazio ad un dato istante t ed ad esso possiamo associare una densita lagrangiana:

L = L(ϕ, ϕ,

dϕ

dxi

)= L(ϕ, ∂µϕ) (L = L/V )

e un campo canonicamente coniugato π(~x, t) cosı definito:

π(~x, t) =∂L∂ϕLa densita hamiltoniana del sistema e :

H = π(x)ϕ(x)− L(x)

Imponendo il principio di minima azione:

δS = 0 dove S =

∫d4x L(x) =

∫dt

∫d3xL =

∫dtL

si puo derivare l’equazione di Euler-Lagrange (equazione del campo):

∂L∂ϕ− ∂µ

(∂L

∂(∂µϕ)

)= 0 (22)


Quantizzazione di un campo scalare classico

Il problema viene cosı trattato attraverso una variabile (il campo ϕ(~x, t)) i cui valori nelpunto (~x, t) dipendono dai valori che la stessa variabile assume nei punti infinitamente vicini,attraverso un’equazione delle onde.Si puo dimostrare che il sistema puo essere equivalentemente descritto da un set di variabilidisaccoppiate tra loro fk(x), che soddisfano cioe a equazioni tra loro indipendenti e tali che ilcampo ϕ(~x, t) sia una combinazione lineare delle variabili fk(~x). I coefficienti qk(t) dellosviluppo sono i coefficienti di Fourier dell’espansione del campo ϕ(~x, t) su questa nuova base,di cui si possono dimostrare le proprieta di ortonormalita.Il sistema puo quindi essere descritto in ogni istante t in modo equivalente dai seguenti dueset di valori: {

ϕ(~x, t),∂

∂tϕ(~x, t)

}⇐⇒ {qk(t), qk(t)}

ma il vantaggio di adoperare la base delle qk sta nel fatto che esse sono variabilidisaccoppiate e cioe che le equazioni del campo (22) si traducono in termini dei coefficientiqk(t) in infinite equazioni indipendenti, una per ciascun qk(t):[

d2

dt2+ ω2

k

]qk(t) = 0 (23)

che sono equazioni di oscillatore armonico nella coordinata generalizzata qk di frequenza ωk.



Abbiamo quindi scomposto il campo nei suoi modi vibrazionali, ciascuno di frequenza ωk.Si puo dimostrare che l’hamiltoniana del sistema puo essere separata nella somma di infinitehamiltoniane, ciascuna associata a un modo vibrazionale:

H =∑k

1

2~ωk

[q2k + p2k

]=∑k

Hk

dove abbiamo introdotto, come prima, le variabili adimensionali:

qk =

√µωk

~qk pk =

√1

µωk~pk (24)

Possiamo allora quantizzare il problema, come prima, sostituendo alle variabili classiche gli

operatori Qk e Pk tali che: [Qk, Pk

]= i

Hk =1

2~ωk

(Q2k + P 2

k

)Dato che le variabili associate a frequenza di vibrazione diverse (k 6= k′) sono disaccoppiate,assumiamo che gli operatori associati a due diversi oscillatori commutino:[

Qk, Pk′]

= iδkk′



L’equazione agli autovalori di ciascuna hamiltoniana e:

Hk|nk〉 =

(nk +

1

2

)~ωk|nk〉 con: nk = 0, 1, 2, . . .

e i livelli energetici di ciascun oscillatore sono:

Enk =

(nk +

1

2

)~ωk

Come prima, possiamo interpretare il livello |nk〉 dell’oscillatore armonico k-esimo come lostato in cui vi sono nk quanti di energia ~ωk.Dato che gli oscillatori armonici sono disaccoppiati, gli autostati di H sono il prodotto deglistati indipendenti |nk〉:

|n1, n2, . . . , nk, . . .〉 = |n1〉|n2〉 . . . |nk〉 . . . (25)

Il livello fondamentale o stato di vuoto corrisponde allo stato in cui tutti gli nk = 0:

|0, 0, . . . , 0, . . .〉 = |0〉|0〉 . . . |0〉 . . .

Scegliendo che l’origine dell’energia sia l’energia dello stato di vuoto, l’energia dello stato(25) sara :

En1,n2,...,nk,... = En1 + En2 + . . .+ Enk + . . . =∑k

nk~ωk

Un tale stato puo essere pensato come un set di n1 quanti di energia ~ω1, n2 quanti di

energia ~ω2, . . ., nk quanti di energia ~ωk, . . ..


La seconda quantizzazione dei campi

L’idea di quantizzare i campi associati alle particelle nasce spontaneamente nel casodel campo e.m., che ha un carattere dualistico, in quanto puo essere pensatocontemporaneamente come campo di radiazione e come insieme di quanti di energia(i fotoni).

Dato che il campo e.m. puo essere pensato come un insieme di infiniti oscillatoriarmonici (analogamente a quanto visto per il campo associato a una corda vibrante),il modo piu ovvio per quantizzare il campo e.m. e quello di quantizzare gli oscillatoriarmonici associati alle varie frequenze vibrazionali, secondo le usuali regole diquantizzazione.

Il campo puo essere sviluppato in serie di Fourier rispetto ai modi normali in terminidi operatori di creazione e di distruzione di fotoni, considerati come quanti del campoe.m. associati a particolari frequenze.

In modo del tutto analogo possiamo pensare di quantizzare un campo scalare (i cui“modi” di realizzazione cioe sono particelle di spin=0) oppure un campo di Dirac (icui “modi” di realizzazione sono particelle di spin 1/2).

Per semplicita partiremo dal caso del campo scalare e dalla sua quantizzazione.


La quantizzazione dei campi (“seconda quantizzazione”)

Abbiamo visto che nel caso di un numero finito di gradi di liberta, le variabili dinamichecanonicamente coniugate qi e pi vengono sostituite (con la prima quantizzazione) conoperatori a cui si impongono i commutatori seguenti:

[qi, pj ] = i~δij , [qi, qj ] = [pi, pj ] = 0 (26)

Nel caso di un numero infinito di gradi di liberta, il campo e il campo ad esso canonicamenteconiugato, rappresentano con tutti i loro infiniti valori in un punto ~x le variabili dinamichedel sistema. Sostituiamo loro degli operatori ϕ(~x, t) e π(~x, t). In analogia con le (26), validetra una variabile dinamica e una variabile canonicamente coniugata, si impongono leseguenti condizioni di commutazione, valide per campi calcolati nello stesso istante t:

[ϕ(~x, t), π(~y, t)] = i~δ3(~x− ~y) (27)

[ϕ(~x, t), ϕ(~y, t)] = [π(~x, t), π(~y, t)] = 0 (28)

Se abbiamo N campi, le condizioni di quantizzazione saranno:

[ϕi(~x, t), πj(~y, t)] = i~δ3(~x− ~y ) δij (29)

[ϕi(~x, t), ϕj(~y, t)] = [πi(~x, t), πj(~y, t)] = 0 (30)

Spieghiamo le (27) per analogia con le (26):- un campo ϕ(~x, t) calcolato nel punto ~x e il campo coniugato π(~y, t) calcolato nel punto ~ynello stesso istante t rappresentano una variabile dinamica e quella coniugata a un altrogrado di liberta come sono qi e pj ;- un campo ϕ(~x, t) calcolato nel punto ~x e il campo coniugato π(~x, t) calcolato nello stessopunto ~x nello stesso istante t rappresentano una variabile dinamica e quella ad essaconiugata come sono qi e pi;


La quantizzazione dei campi (“seconda quantizzazione”)

Nel caso di un unico campo scalare, si puo mostrare che possiamo svilupparlo in serie diFourier:

ϕ(~x, t) = N∑~k

1√

2k0

{a~ke−ik·x + a†

~ke+ik·x

}(31)

dove: kµ = (k0, ~k) e k0 =√~k2 +m2

e a~k e a†~k

sono operatori di distruzione e creazione di modi vibrazionali di impulso ~k,

analoghi a quelli definiti nel caso di un oscillatore armonico.Si puo anche far vedere che il campo coniugato e:

π(~x, t) = N∑~k

−i√k0

2

{a~ke−ik·x − a†

~ke+ik·x

}(32)

e si puo dimostrare che le regole di commutazione tra campi e campi coniugati (27) e (28)

equivalgono per gli operatori a~k e a†~k

ai seguenti commutatori:[a~k, a

†~k′

]= δ~k,~k′ ,

[a~k, a~k′

]=[a†~k, a†~k′

]= 0


Lagrangiana del campo di Klein-Gordon

Il campo scalare φ di Klein-Gordon e un campo unico (N = 1) per il quale la formadella lagrangiana e:

LK.G. =1

2(∂µφ)(∂µφ)− 1

2m2φ2 (33)

L’equazione di Euler-Lagrange (una sola perche uno e il campo) che ne deriva eproprio l’equazione di K.-G. per un campo scalare libero, e cioe:

(�+m2)φ = 0 (34)

Prendiamo l’equazione di Euler-Lagrange:

∂LK.G.∂φ︸︷︷︸

Termine (a)

− ∂µ

(∂LK.G.∂ (∂µφ)

)︸︷︷︸Termine (b)

= 0 (35)

e calcoliamone esplicitamente i vari termini, supponendo gia che LK.G. abbia laforma (33):Termine (a):

∂LK.G.∂φ

=∂

∂φ(−1

2m2φ2) = −m2φ (36)


Lagrangiana del campo di Klein-Gordon

Termine (b): per calcolarlo esplicitiamo la lagrangiana (33) del campo di K.-G.:

LK.G. =1

2(∂µφ)(∂µφ)− 1

2m2φ2 =

1

2{(∂0φ)(∂0φ) + (∂iφ)(∂iφ)} − 1

2m2φ2 =

=1

2{(∂0φ)(∂0φ)− (∂iφ)(∂iφ)} − 1

2m2φ2 =

1

2{(∂0φ)2 − (∂iφ)2} − 1

2m2φ2 (37)

Calcoliamo quindi il termine b):

∂µ

(∂LK.G.∂(∂µφ)

)= ∂0

(∂LK.G.∂(∂0φ)

)+ ∂i

(∂LK.G.∂(∂iφ)

)=

= ∂0∂

∂(∂0φ)

1

2

[(∂0φ)2 − (∂iφ)2 −m2φ2]︸︷︷︸

LK.G.

+∂i∂

∂(∂iφ)

1

2

[(∂0φ)2 − (∂iφ)2 −m2φ2]︸︷︷︸

LK.G.

=

=1

2{∂0(2∂0φ) + ∂i(−2∂iφ)} =

1

2{2∂2

0φ− 2∂2i φ} = �φ (38)

Inseriamo la (36) e la (38) nell’equazione di Euler-Lagrange (35) e otteniamo:

−m2φ−�φ = 0⇒ (�+m2)φ = 0 ⇒ EQ. DI KLEIN-GORDON

L’equazione di Klein-Gordon descrive un campo bosonico scalare (spin s = 0) dimassa m.


Quantizzazione di un campo scalare

La hamiltoniana del campo in funzione degli operatori a~k e a†~k e data da

H =∑~k

~ωk(a†~ka~k +

1

2

)=∑~k

~ωk(N~k +

1

2

)(39)

L’hamiltoniana del sistema e quindi la somma di infiniti oscillatori armoniciindipendenti, descritti dagli operatori di distruzione e creazione a~k e a†~k.

Il campo scalare e un operatore che agisce sul sistema e quando un operatore dicreazione a†~k agisce in un certo istante, in quel punto viene creato un “quanto” del

campo, cioe una particella di massa m ed impulso ~k (quindi energia

k0 =√~k 2 +m2).

Se invece ad agire e un operatore di distruzione a~k in un punto in cui vi era una

particella di massa m e impulso ~k, questa viene distrutta.



Azione degli operatori a~k e a†~kCome nel caso dell’oscillatore armonico, l’azione di a†~k e a~k e quella di creare odistruggere, rispettivamente, un quanto di energia ~ωk:

ak|n1, n2, . . . , nk, . . .〉 ∝ |n1, n2, . . . , nk − 1, . . .〉 (40)

a†k|n1, n2, . . . , nk, . . .〉 ∝ |n1, n2, . . . , nk + 1, . . .〉 (41)

L’operatore:

N~k = a†kak (42)

e definito “numero di occupazione” del livello ~k, perche ci fornisce il numero diquanti nk di quel livello:

N~k|n1, n2, . . . , nk, . . .〉 = nk|n1, n2, . . . , nk, . . .〉 (43)

N.B. Dalla relazione:

ak|nk〉 ∝ |nk − 1〉possiamo definire lo stato di vuoto come quello stato tale che, applicandovil’operatore ak, otteniamo un valore nullo per qualunque valore di k:

ak|0〉 = 0 (44)



Osservazioni:

In meccanica quantistica relativistica, il campo non e piu come il campo classico, cioe unostrumento per descrivere l’interazione tra due particelle (pensate ad es. al campo elettrico,che viene creato da una carica elettrica e permea tutto lo spazio, dando cosı origine alla forzaelettrica repulsiva o attrattiva con un’altra carica).

Il campo in meccanica quantistica relativistica e un operatore che agisce sul sistema, creandoo annichilando particelle fermioniche o bosoniche (a seconda del campo descritto).

Gli operatori del campo dipendono dallo spazio-tempo. Le coordinate dello spazio-temposono variabili anziche operatori attribuiti alla singola particella come e il caso dellameccanica quantistica.

Siccome lo spazio-tempo e infinito i valori degli operatori dei campi quantistici sono ancheessi infiniti e equivalentemente diciamo che abbiamo a che fare con un numero infinito digradi di liberta .

Questo formalismo permette non solo di descrivere la comparsa e la scomparsa di particelle

(come succede in una reazione o in un decadimento), ma anche di trattare sistemi a molte

particelle, scomponendoli in stati di particella singola con un certo numero di occupazione.



Stato di vuoto (= stato con 0 particelle nel livello ~k1, 0 particelle nel livello ~k2 etc...)

|0〉 = | 0︸︷︷︸~k1

, 0︸︷︷︸~k2

, ..., 0︸︷︷︸~k

, ...〉

Stato a una particella nel livello ~k

| 0︸︷︷︸~k1

, 0︸︷︷︸~k2

, ..., 1︸︷︷︸~k

, ...〉 ∝ a†~k| 0︸︷︷︸~k1

, 0︸︷︷︸~k2

, ..., 0︸︷︷︸~k

, ...〉 = a†~k|0〉

Stato a n particelle nel livello ~k

E ottenuto applicando piu volte allo stato di vuoto l’operatore di creazione a†~k

:

|0, 0, ..., n, ...〉 ∝ a†~ka†~k. . . a†

~k︸︷︷︸n

|0〉 = (a†~k

)n|0〉

Stato |n~k1 , n~k2 , ..., n~k, ....〉 (= stato con n~k1particelle nel livello ~k1, n~k2

particelle nel livello

~k2, ..., n~k particelle nel livello ~k, in totale N =∑~kn~k):

|n~k1 , n~k2 , ..., n~k, ....〉 ∝ (a†~k1

)n~k1 (a†

~k2)n~k2 . . . (a†

~k)n~k ...|0〉


Quantizzazione di un campo fermionico

L’equazione del campo fermionico libero e quella di Dirac:

(iγµ∂µ −m)Ψ = 0 (45)

le cui soluzioni sono due stati di particella a energia positiva e due di particella a energianegativa e due stati di spin. Nella quantizzazione del campo fermionico, quindi, lascomposizione di Fourier dovra contenere due tipi di operatori differenti per particella eantiparticella e per i due stati di spin (r = 1, 2):

Ψ(~x, t) =1

√V

∑r=1,2

∑~p

√m

E

[b(r)~p

u(r)

(~p )e−ip·x

+ d(r)†~p

v(r)

(~p )e+ip·x

]= Ψ

(+)(x) + Ψ

(−)(x) (46)

Ψ(~x, t) =1

√V

∑r=1,2

∑~p

√m

E

[d(r)~p

v(r)

(~p )e−ip·x

+ b(r)†~p

u(r)

(~p )e+ip·x

]= Ψ

(+)(x) + Ψ

(−)(x) (47)

dove:

b(r)~p distrugge un elettrone di energia positiva nello stato ~p, r

d(r)†~p distrugge un elettrone di energia negativa nello stato ~p, r

⇒ crea un positrone di energia positiva

d(r)~p crea un elettrone di energia negativa nello stato ~p, r

⇒ distrugge un positrone di energia positiva

b(r)†~p crea un elettrone di energia positiva nello stato ~p, r


Campo fermionico

Affinche i campi fermionici soddisfino la statistica di Fermi-Dirac, tra gli operatoridevono valere le regole di anticommutazione seguenti:

{b(r)~p , b(r′)†~p ′ } = δ3~p,~p ′δrr′ (48)

{d(r)~p , d(r′)†~p ′ } = δ3~p,~p ′δrr′ (49)

{b(r)~p , b(r′)~p ′ } = {b(r)†~p , b

(r′)†~p ′ } = 0 (50)

{d(r)~p , d(r′)~p ′ } = {d(r)†~p , d

(r′)†~p ′ } = 0 (51)

{b(r)~p , d(r′)~p ′ } = {b(r)†~p , d

(r′)~p ′ } = 0 (52)

{b(r)~p , d(r′)†~p ′ } = {b(r)†~p , d

(r′)†~p ′ } = 0 (53)


Campo fermionico

Dimostriamo infatti che le regole di anticommutazione (48)÷(53) sono tali che:1) due fermioni NON possano trovarsi mai esattamente nello stesso stato di impulso e spincontemporaneamente;2) che uno stato di due fermioni sia ANTISIMMETRICO.1) Dalla seconda relazione della (50) segue che:

{b(r)†~p

, b(r′)†~p ′ } = 0

Quindi si ha nei due casi:

{b(r)†~p

, b(r′)†~p ′ } =

b(r)†~p

b(r)†~p

+ b(r)†~p

b(r)†~p

= 0⇒ 2b(r)†~p

b(r)†~p

= 0 se ~p = ~p ′, r = r′

b(r)†~p

b(r′)†~p ′ + b

(r′)†~p ′ b

(r)†~p

= 0⇒ b(r)†~p

b(r′)†~p ′ = −b(r

′)†~p ′ b

(r)†~p

se ~p 6= ~p ′, r 6= r′

(54)Prendiamo ora lo stato di due fermioni identici, cioe con uguali numeri quantici ~p e r:

b(r)†~p

b(r)†~p|0〉

Per la prima delle (54) si avra :

b(r)†~p

b(r)†~p|0〉 = 0

pertanto non puo esistere uno stato composto da due fermioni identici.


Campo fermionico

2) Dalla (48) segue che:

{b(r)~p , b(r′)†~p ′ } = b

(r)~p b

(r′)†~p ′ + b

(r′)†~p ′ b

(r)~p = δ3~p,~p ′δrr′

Quindi si ha nei due casi:

{b(r)~p , b(r′)†~p ′ } =

b(r)~p b

(r)†~p + b

(r)†~p b

(r)~p = 1⇒ b

(r)~p b

(r)†~p = 1− b(r)†~p b

(r)~p se ~p = ~p ′, r = r′

b(r)~p b

(r′)†~p ′ + b

(r′)†~p ′ b

(r)~p = 0⇒ b

(r)~p b

(r′)†~p ′ = −b(r

′)†~p ′ b

(r)~p se ~p 6= ~p ′, r 6= r′

(55)Prendiamo ora lo stato di due fermioni in cui il primo fermione ha numeri quantici ~pe r e il secondo fermione ha numeri quantici ~p ′ e r′ e quello in cui i due fermionihanno i numeri quantici scambiati (il primo fermione ha numeri quantici ~p ′ e r′ e ilsecondo fermione ha numeri quantici ~p e r):

b(r)†~p b

(r′)†~p ′ |0〉 b

(r′)†~p ′ b

(r)†~p |0〉

Per la seconda delle (55) si avra :

b(r′)†~p ′ b

(r)†~p |0〉 = −b(r)†~p b

(r′)†~p ′ |0〉

pertanto lo stato e globalmente antisimmetrico per scambio dei numeriquantici dei due fermioni.


Campo fermionico

In analogia a quanto gia visto per il campo bosonico, si puo dimostrare chel’operatore hamiltoniano e dato dalla seguente espressione:

H =∑

~p,r E{b(r′)†~p ′ b

(r)~p + d

(r′)†~p ′ d

(r)~p − 1} (56)

Da questa espressione segue che possiamo interpretare:

N(r)~p (e−) = b

(r)†~p b

(r)~p (57)

come il “numero di occupazione di elettroni” del livello con impulso ~p e spin r, cioe ilnumero di elettroni che si trovano in tale livello, e:

N(r)~p (e+) = d

(r)†~p d

(r)~p (58)

come il “numero di occupazione di positroni” del livello con impulso ~p e spin r, cioe ilnumero di positroni che si trovano in tale livello.


Campo fermionico

Sulla base delle definizioni (57) e (58), la (56) diventa:

H =∑

~p,r E(b(r′)†~p ′ b

(r)~p + d

(r′)†~p ′ d

(r)~p − 1

)=∑

~p,r E(N

(r)~p (e−) +N

(r)~p (e+)− 1

)(59)

Nella (59), il termine −∑

~p,r E rappresenta l’energia del vuoto, che non e misurabilee quindi possiamo sottrarla. Rimarra pertanto:

H =∑

~p,r E(N

(r)~p (e−) +N

(r)~p (e+)

)(60)

cioe l’energia totale di un campo di fermioni (ed antifermioni) e data dalla sommadelle energie di tutti gli elettroni e di tutti i positroni (notate che sia gli elettroni sia ipositroni contribuiscono all’energia totale con energia positiva).


Campo fermionico

Riguardo al numero di occupazione di elettroni (57) e di positroni (58), sulla base diquanto gia dimostrato precedentemente, si ottiene:

N(r)~p (e−,+) = 0, 1 (61)

(In generale per numero di occupazione fermionico, N = b†b, si ha:

N(1−N) = b†b(1− b†b) = b†b− b†bb†b = b†b− b†b(1− bb†) = b†b− b†b+ b†bbb† = 0

perche bb=0. Ne segue che N(1−N) = 0⇒ N = 0, 1.)

Cioe che il numero di occupazione di elettroni (o positroni) del livello dello stato diimpulso ~p e spin r (cioe il numero di fermioni che lo possono occupare) puo essereuguale solo a 0 o 1 (ricordiamo che invece il numero di occupazione per il campobosonico puo essere qualunque), il che e in accordo con il fatto che un “ensemble” didue fermioni e globalmente antisimmetrico e che non possono esistere due fermioni“identici“ (cioe con identici numeri quantici).


Campo fermionico

Pertanto applicando gli operatori b(r)†~p e b

(r)~p ad uno stato in cui vi sono n

(r)~p = 0, 1

fermioni nello stato con impulso ~p e spin r, otterremo:

b(r)†~p | . . . , n(r)

~p , . . .〉 ∝

| . . . , n(r)

~p + 1, . . .〉 se n(r)~p

= 0

= 0 se n(r)~p

= 1

b(r)~p | . . . , n

(r)~p , . . .〉 ∝

= 0 se n

(r)~p

= 0

| . . . , n(r)~p − 1, . . .〉 se n

(r)~p

= 1

Analogamente alla (44), possiamo affermare che lo stato di vuoto e quello stato tale

che, applicandovi l’operatore b(r)~p , il risultato e nullo per qualunque valore di ~p ed r:

b(r)~p |0〉 = 0 (62)


Campo fermionico

Dimostriamo infine che vale la seguente relazione:

b(r)~pb(r′)†~p ′ |0〉 = {b(r)

~p, b

(r′)†~p ′ }|0〉 (63)

che ci tornera utile nella prossima lezione.Applichiamo infatti l’anticommutatore contenuto nella (63) allo stato di vuoto e otteniamo:

{b(r)~p, b

(r′)†~p ′ }|0〉 = (b

(r)~pb(r′)†~p ′ + b

(r′)†~p ′ b

(r))~p

)|0〉 = b(r)~pb(r′)†~p ′ |0〉+ b

(r′)†~p ′ b

(r)~p|0〉︸︷︷︸

= 0

(64)

Il termine sottolineato dalla parentesi graffa e nullo in quanto ottenuto dalla applicazione diun operatore di distruzione allo stato di vuoto (vedi (62)). Pertanto la (64) si ridurra a:

{b(r)~p, b

(r′)†~p ′ }|0〉 = b

(r)~pb(r′)†~p ′ |0〉 (65)

che coincide proprio con la (63) che volevamo dimostrare.Dato che poi conosciamo dalla (48) il valore del commutatore contenuto nella (63), la stessa(63) potra essere cosı riscritta:

b(r)~pb(r′)†~p ′ |0〉 = {b(r)

~p, b

(r′)†~p ′ }|0〉 = δ3~p,~p ′δrr′ |0〉 (66)


Campo e.m.

Per il campo e.m. la scomposizione del campo ~A fornisce:

~A(~x, t) = N∑~k

2∑λ=1

~ε λ(~k)[a~k,λe

−ik·x + a†~k,λe+ik·x

](67)

dove: λ = 1, 2 sono gli stati di polarizzazione.Le regole di commutazione tra gli operatori di creazione e distruzione sono leseguenti: [

a~k,λ, a†~k′,λ′

]= δ3~k,~k′δλλ′[

a~k,λ, a~k′,λ′]

=[a†~k,λ, a

†~k′,λ′

]= 0


Lagrangiana del campo e.m. nel vuoto

La forma della lagrangiana del campo e.m. nel vuoto e:

Le.m. = −1

4F ρσFρσ = −1

4(∂ρAσ − ∂σAρ)(∂ρAσ − ∂σAρ) (68)

Le componenti del campo e.m. sono quattro (Aµ con µ = 1, . . . , 4) e quindi quattrosaranno le equazioni di Eulero-Lagrange che ne deriveranno. Come prima conl’equazione di Klein-Gordon, mostriamo che le equazioni di Eulero-Lagrange chederivano dalla (68) sono proprio le equazioni di Maxwell del campo e.m. nel vuoto, ecioe:

�Aµ = 0 con: µ = 1, . . . , 4 (69)

Prendiamo l’equazione di Eulero-Lagrange per il campo Aµ:

∂Le.m.∂Aµ︸︷︷︸

Termine (a)

−∂ν(

∂Le.m.∂ (∂νAµ)

)︸︷︷︸Termine (b)

= 0 (70)

e calcoliamone esplicitamente i vari termini, supponendo che Le.m. abbia la forma(68):


Lagrangiana del campo e.m. nel vuoto

Termine (a):

∂Le.m.∂Aµ

= 0 (71)

Termine (b):

∂Le.m.∂(∂νAµ)

=∂

∂(∂νAµ)

(−1

4(∂ρAσ − ∂σAρ)(∂ρAσ − ∂σAρ)

)=

= −1

4(δνρδµσ − δνσδµρ) (∂ρAσ − ∂σAρ)−

1

4(∂ρAσ − ∂σAρ) (δνρδµσ − δνσδµρ) =

= −1

4(∂νAµ − ∂µAν − ∂µAν + ∂νAµ)− 1

4(∂νAµ − ∂µAν − ∂µAν + ∂νAµ) =

= −1

4(4∂µAν − 4∂νAµ) = −∂µAν + ∂νAµ = −Fµν (72)

Derivata del Termine b):

∂µ

(∂Le.m.∂(∂µAν)

)= ∂µ(−∂µAν + ∂νAµ) = (73)

= −∂µ∂µAν + ∂µ∂νAµ = −�Aν + ∂ν ∂µA

µ︸︷︷︸=0

= −�Aν (74)

Inseriamo la (71) e la (74) nell’equazione di Eulero-Lagrange (70) e otteniamo:

�Aν = 0 ⇒ EQ. DI MAXWELL NEL VUOTOR.Sparvoli-R.Di Salvo-P.Dimopoulos Istituzioni di Fis. Nucl. e Subnucl. Lezione 11 35 / 40

Lagrangiana del campo e.m. in presenza di sorgenti

Analogamente si puo dimostrare che la forma della lagrangiana del campo e.m. inpresenza di sorgenti descritte dalla quadricorrente jµ e:

Le.m. = −1

4FµνFµν − jµAµ (75)

dove:

jµ = (ρ,~j)

e le equazioni di Euler-Lagrange coincidono con le equazioni di Maxwell del campoe.m. in presenza di sorgenti:

�Aµ = jµ ⇒ EQ. DI MAXWELL IN PRESENZA DI SORGENTI


Lagrangiana del campo di Dirac libero

La forma della lagrangiana del campo fermionico di Dirac libero e:

LDirac = iΨγµ∂µΨ−mΨΨ (76)

Si puo dimostrare che l’equazione di Euler-Lagrange che ne deriva coincide conl’equazione di Dirac del campo fermionico libero, e cioe:

(iγµ∂µ −m)Ψ = 0⇒ EQ. DI DIRAC PER CAMPO FERMIONICO LIBERO (77)


Lagrangiana del campo di Dirac in interazione con un campoe.m. esterno

La forma della lagrangiana del campo fermionico di Dirac in interazione con uncampo e.m. esterno e:

LDirac−e.m. = iΨγµ∂µΨ−mΨΨ− JµDIRAµ (78)

dove:

JµDirac = qΨγµΨ

Pertanto la (78) diventa:

LDirac−e.m. = iΨγµ∂µΨ−mΨΨ− qΨγµΨAµ (79)

Si puo dimostrare che l’equazione di Euler-Lagrange che ne deriva coincide conl’equazione di Dirac del campo fermionico in interazione con un campo e.m., e cioe:

(iγµ∂µ − qγµAµ −m)Ψ = 0⇒ EQ. DI DIRAC IN INT. CON CAMPO E.M. (80)


Lagrangiana della Q.E.D.

Per ottenere la lagrangiana completa della quanto-elettrodinamica (QED) oelettrodinamica quantistica, occorre aggiungere a quella di Dirac in interazione conun campo e.m. anche quella del campo e.m.:

LQED = iΨγµ∂µΨ−mΨΨ− qΨγµΨAµ −1

4FµνFµν (81)

Nel termine qΨγµΨAµ e contenuta l’interazione tra la quadricorrente del campofermionico:

qΨγµΨ

e il campo e.m. Aµ. Il vertice dell’interazione tra fermioni e fotoni sara quindi datodall’interazione di due campi fermionici e un campo e.m. cioe da due fermioni (o unfermione e un anti-fermione) e un fotone.


Equazioni dei campi bosonico, fermionico ed e.m.

Equazione di Klein-Gordon per campo bosonico (particella scalare)

(�+m2)φ = 0 (82)

Equazione del campo e.m. nel vuoto

�Aµ = 0 con: µ = 1, . . . , 4 (83)

Equazione del campo e.m. in presenza di sorgenti

�Aµ = jµ con: µ = 1, . . . , 4 (84)

Equazione di Dirac per campo fermionico (particella puntiforme a spin 1/2)

(iγµ∂µ −m)Ψ = 0 (85)

Equazione di Dirac per campo fermionico in interazione con il campo e.m.

(iγµ∂µ − qγµAµ −m)Ψ = 0 (86)


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