Elementi di Fisica Nucleare e Subnuclearepeople.roma2.infn.it/.../09/lezione_14-scattering.pdf ·...

Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare

Roberta SparvoliRachele Di Salvo

Universita di Roma Tor Vergata

Lezione 14A.A. 2019-2020

Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 14 A.A. 2019-2020 1 / 69

La teoria della diffusione

La diffusione di particelle su un bersaglio rappresenta un fondamentalestrumento per studiare le interazioni tra le particelle e per conoscere lastruttura interna delle particelle bersaglio.Informazioni sulla forma dei nuclei potrebbero essere estratte tramite esperimentidi diffusione di protoni o particelle alfa su nuclei. Questo fece Rutherford. Cisono pero due tipi di problemi associati a questa pratica:

I proiettili non sono puntiformi. La sezione d’urto riflettera non solo lastruttura del bersaglio ma anche quella del proiettile;

L’interazione nucleare tra proiettile e bersaglio e molto complessa.

E’ quindi molto piu comodo usare elettroni come proiettile, in quanto sonopuntiformi. Inoltre, l’interazione e solo elettromagnetica, con scambio di un fotonevirtuale, e la dinamica e ben descritta dalla QED.

Come sappiamo, l’interazione elettromagnetica ha una costante diaccoppiamento α ∼ 1/137 molto piu piccola di 1. Questo fa sı che lecorrezioni di ordine superiore al primo giochino un ruolo trascurabile.


Diffusione di elettrone su nucleo (nucleone)

Infatti, con buona accuratezza, la diffusione di un elettrone su un nucleo (o unnucleone) puo essere approssimata con lo scambio di un fotone virtuale (OnePhoton Approximation), grazie al valore ridotto della costante di accoppiamentoche rende poco probabile l’emissione di piu di un fotone.Il fotone e virtuale in quanto il valore del quadrimpulso a quadrato che essotrasporta e negativo e non nullo, come dovrebbe essere per un fotone reale.

Il valore di q2 di una diffusione, infatti, hasempre un valore negativo:

q2 = −4E1 · E3 sin2 θ

2

In tal caso il fotone e detto fotone ditipo-spazio (space-like) in quanto la suaparte-spazio e superiore alla suaparte-tempo.


Da sapere che...

1) Negli esperimenti con fasci di elettroni o con fasci di fotoni reali l’energia delfascio e conosciuta e puo in genere essere variata.Inoltre si puo scegliere a quale angolo posizionare il rivelatore che rivela adesempio l’elettrone diffuso. L’energia che avra l’elettrone diffuso a quell’angolo,come vedremo, dipende dal tipo di cinematica.

2) I bersagli di protoni liberi esistono in natura sotto forma di atomi diidrogeno (uniti in molecole di H2); invece i bersagli di neutroni liberi nonesistono perche il neutrone libero decade in protone per decadimento beta, cioeemettendo un elettrone e un antineutrino (l’inverso non avviene perche il protonelibero ha una massa piu piccola di quella del neutrone; puo accadere solo neinuclei dove il protone non e libero, ma e dotato dell’energia di legame).Pertanto il bersaglio piu semplice contenente un neutrone e il deuterio, isotopodell’idrogeno formato da un protone e da un neutrone. Questo rende un po’piu difficile lo studio delle reazioni su neutrone rispetto a quelle su protone.

3) Per quanto riguarda i prodotti finali di una reazione, la rivelazione di unprotone e tecnicamente semplice, mentre quella di un neutrone e piucomplessa e ha efficienza molto piu bassa.


Potere risolutivo

Avete gia visto che per ”illuminare” oggetti molto piccoli, come i nuclei o inucleoni, si possono adoperare anche particelle materiali, che vengono diffuse dalleparticelle bersaglio. Infatti ad una particella dotata di impulso p e associata unalunghezza d’onda data dalla relazione di de Broglie:

λ =~p

La relazione afferma che i sistemi materiali possono presentare, oltre ad unaspetto corpuscolare, anche un aspetto ondulatorio. Questa analogia riflette ildualismo onda-particella.La distanza minima che possiamo sondare con una particella di impulso p e fornitadal principio di indeterminazione di Heisenberg:

p ·∆x ≥ ~→ ∆x ≥ ~p

= λ

La lunghezza d’onda λ ci da quindi una stima della taglia minima che si puosondare con una particella di un certo p o, all’inverso, ci dice quale p deve avereuna particella per sondare oggetti di una determinata dimensione.


Particelle come sonde

In realta l’elettrone conserva nell’urto una parte della sua energia epertanto non tutta l’energia che esso possiede e messa a disposizione persondare l’oggetto bersaglio.Pertanto la variabile cinematica importante per stimare la dimensione dell’oggettoche si puo sondare sara il quadrato del quadrimpulso Q portato dal fotonevirtuale. La lunghezza d’onda portata dal fotone e quindi la dimensioneosservabile e data da:

λ =~√Q2

In conclusione, la diffusione di particelle su un bersaglio rappresenta unfondamentale strumento per studiare le interazioni tra le particelle e per conoscerela struttura interna delle particelle bersaglio, nel caso in cui il proiettile non siadotato a sua volta di struttura.Se invece anche il proiettile e dotato di struttura, la sezione durto sara piucomplessa e potra fornirci informazioni sulla struttura interna di entrambe leparticelle oltre che sul tipo di interazione.


Particelle come sonde

Ad esempio, possiamo calcolare quale impulso deve avere una particella per poterrisolvere il nucleo o un nucleone (il protone o il neutrone) o un quark:


Diffusioni elastiche ed anelastiche

Ricordiamo che le diffusioni possono essere classificate in:

Elastiche: quando le particelle iniziali e finali sono le stesse. Le indichiamocon un apice per dire che cambia solo la loro energia cinetica ma non la loronatura: A + B → A′ + B ′.Dal momento che non c’e trasferimento di energia cinetica in energia dieccitazione o di massa, si conserva non soltanto l’energia totale ma anchel’energia cinetica totale. Noti l’energia di A e l’angolo di diffusione,l’energia EA′ di A dopo l’urto e automaticamente determinata.

Anelastiche: quando le particelle iniziali e finali non sono le stesse. Nei casidi reazioni anelastiche di elettroni, l’elettrone rimane della stessa natura, mafornisce all’altra particella (a scapito della sua energia cinetica) l’energianecessaria a transire in uno stato eccitato; questa poi decadra nel suo statofondamentale emettendo una o piu particelle piu leggere oppure sidisintegrera in due o piu particelle.

A + B → A′ + B∗ → A′ + B + particella leggera.A + B → A′ + B∗ → A′ + C + D + .... .


Invarianti relativistici

Si definiscono 4 variabili cinematiche che possono caratterizzare qualunque tipo didiffusione e che sono degli invarianti relativistici:

q2 = (p1 − p3)2

quadrimpulso quadro trasferito dall’elettroneal bersaglio. Si usa anche Q2 = −q2;

ν =q · p2

m2

energia trasferita dall’elettrone al bersaglio;

W 2 = −p4 · p4

massa invariante del sistema;

x =Q2

2m2ν

misura dell’elasticita del processo.Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 14 A.A. 2019-2020 9 / 69


Abbiamo visto che il valore di q2 di una diffusione ha sempre un valore negativo:

q2 = −4E1 · E3 sin2 θ

2

Per lavorare con quantita definite positive, utilizziamo Q2 = − q2 per cui:

Q2 = 4E1 · E3 sin2 θ

2

Il valore minimo del quadrato del quadrimpulso trasferito Q2 dall’elettroneal bersaglio si ha quando l’elettrone e diffuso elasticamente in avanti:

per θ → 0 anche Q2 → 0

Il valore massimo del quadrato del quadrimpulso trasferito Q2 dall’elettroneal bersaglio si ha quando l’elettrone e diffuso all’indietro:

per θ → 1800 Q2 = 4E1 · E3



Data la sua stessa definizione, il valore di Q2 dipende solo dalle variabilidell’elettrone incidente e di quello diffuso.Un determinato valore di Q2 puo dunque essere ottenuto fissando l’energia E1

dell’elettrone incidente, l’energia E3 e l’angolo θ dell’ elettrone diffuso. In chemodo si ottiene cio ?

L’energia del fascio incidente E1 viene fornita dall’acceleratore.

L’angolo θ a cui viene rivelato l’elettrone diffuso viene fissato ponendo ilrivelatore di elettroni a quel determinato angolo.

Il rivelatore puo essere uno spettrometro magnetico, costituito da unsistema di focalizzazione e dispersione in impulso delle particelle, chefocalizza su uno stesso punto del piano focale (dove sono posti i rivelatori) glielettroni che hanno lo stesso impulso all’uscita dal bersaglio.Sul piano focale dello spettrometro sono installati i rivelatori.Il valore della energia dell’elettrone diffuso E3 viene selezionato fissando ilcampo magnetico all’interno dello spettrometro in modo da far entrarenell’apparato gli elettroni diffusi che hanno una determinata energia E3.


1) Diffusione di Rutherford: α + A→ α + A

Caratteristiche della diffusione:

a) e una diffusione elastica;b) la particella proiettile non e relativistica;c) ne il proiettile ne il bersaglio hanno spin;d) la particella proiettile ”vede” il bersaglio come puntiforme;e) e dovuta all’interazione coulombiana tra tutta la carica elettrica dellaparticella proiettile e tutta la carica elettrica del nucleo;f) si trascura il rinculo del bersaglio nell’ipotesi che il bersaglio sia pesante e ilproiettile di bassa energia.

Energie tipiche dell’α : qualche MeV.

La cinematica in questo caso e molto semplice, tipo la traiettoria parabolica diuna cometa in prossimita del sole.Fino a che il raggio del centro diffusore, sole o nucleo, e molto piu piccolo dellaminima distanza di approccio del proiettile, l’estensione spaziale del bersaglio noninfluenza il risultato, e la trattazione e puramente classica.


Sezione d’urto di Rutherford: caso classico

Il calcolo porta alla formula di Rutherford per la diffusione di una particella dicarica ze ed energia cinetica Ecin su un nucleo bersaglio di carica Ze:(

dσ

dΩ

)=

(zZe2)2

(4πε0)2 (4Ecin)2 sin4 θ2

Notare la dipendenza dal quadrato delle cariche e inversamente dal quadratodell’energia cinetica. Notare inoltre la dipendenza inversa dalla quarta potenzadel seno di θ/2, dove θ e l’angolo di diffusione, cioe l’angolo che misura ladeviazione dell’elettrone che ha subito diffusione, rispetto alla direzione iniziale.E’ chiaro che urti a grandi angoli sono fortemente sfavoriti.


Se al posto della particella α mettiamo un elettrone non relativistico, la sezioned’urto del processo e analoga alla sezione d’urto di Rutherford, con la variazionedella carica: (

dσ

dΩ

)=

(Ze2)2

(4Ecin)2 sin4 θ2

.


Sezione d’urto di Rutherford

L’esperimento, pensato come un urto α-atomo, si rivelo in realta essere un urtoelastico α-nucleo, essendo l’atomo sostanzialmente vuoto, con al centro un nucleodenso nel quale e concentrata tutta la carica positiva dell’atomo.

Se l’atomo fosse pieno, ci si aspetterebbero solo deflessioni ad angoli piccoli. Ilfatto che vi siano anche deflessioni a grandi angoli significa che puo avvenire unurto testa-testa tra il proiettile e un oggetto puntiforme, cioe molto piu piccolodella dimensione dell’atomo. La probabilita di avere tali deflessioni a grandeangolo e comunque piccola. Le particelle poco deflesse sono invece quelle chesono passate ad una certa distanza dal nucleo e sono i casi piu frequenti.


2) Diffusione elastica di elettroni relativistici con spin sunucleo puntiforme senza spin (Mott): e− + A→ e− + A

Finora si e parlato di elettroni di bassa energia e sono stati trascurati sia lo spindel nucleo che quello dell’elettrone.Ad energie relativistiche, la sezione d’urto di Rutherford e alterata da effetti dispin. La sezione d’urto di Mott descrive la diffusione di elettroni relativistici conspin. Caratteristiche della diffusione:

a) e una diffusione elastica;b) la particella proiettile e relativistica;c) il proiettile ha spin (e quindi i suoi effetti si fanno sentire perche erelativistico);d) il bersaglio non ha spin;e) la particella proiettile ”vede” il bersaglio come puntiforme;f) e dovuta all’interazione coulombiana tra tutta la carica elettrica dellaparticella proiettile e tutta la carica elettrica del nucleo;g) si trascura il rinculo del bersaglio.


Sezione d’urto di Mott

La sezione d’urto di Mott diminuisce piu rapidamente di quella di Rutherfordal crescere dell’angolo di diffusione:(

dσ

dΩ

)∗Mott

=

(dσ

dΩ

)Rutherford

·(

1− β2 sin2 θ

2

)Nel limite β → 1, essa si scrive come:(

dσ

dΩ

)∗Mott

=

(dσ

dΩ

)Rutherford

· cos2 θ

2=

4Z 2α2(~c)2E ′2

|~qc|4· cos2 θ

2

che implica che, nel limite β(= v/c)→ 1, la diffusione a 180 gradi e proibita.L’asterisco indica che i fattori di rinculo sono trascurati.

Il fattore aggiuntivo cos2 θ2 puo essere capito nel caso estremo di diffusione a 180

gradi. Per particelle relativistiche, la proiezione dello spin s nella direzione delmoto ~p e l’elicita , ed e una quantita che si conserva.

h =~s · ~p|~s||~p|


La soppressione a 180 gradi e dovuta alfatto che, nel caso di questo urto, laconservazione dell’elicita implica che lospin dell’elettrone debba ribaltarsi(spin-flip). Questo non e possibile se ilbersaglio non e dotato di spin, perchenon ci sarebbe conservazione delmomento angolare. Pertanto, nel limiteβ → 1, la diffusione a 180 gradi etotalmente soppressa.

Energie tipiche dell’elettrone : decine di MeV.Es. E1 = 25Mev → |qmax | ∼ 2E1, da cui

λ ≥ ~|qmax |

=200MeV · fm

50MeV= 4 fm

Con queste energie l’elettrone non puo risolvere il nucleo e lo vede comepuntiforme.


3) Diffusione elastica di e− relativistici con spin su nucleoesteso senza spin (Mott+nucleo esteso): e−+ A→ e−+ A

Negli esperimenti di diffusione su nuclei, la sezione d’urto di Mott e in accordocon le misure sperimentali solo nel limite |~q| → 0. Per valori piu grandi, la sezioned’urto sperimentale risulta essere sempre piu piccola. Questo dipende dal fatto chei nuclei hanno estensione spaziale non nulla, cosa di cui la sezione d’urto di Mottnon tiene conto. All’aumentare di |~q|, quindi, il potere risolutivo dell’elettroneaumenta e si ”vedono” le dimensioni nucleari. Caratteristiche della diffusione:a) e una diffusione elastica;b) la particella proiettile e relativistica;c) il proiettile ha spin (e quindi i suoi effetti si fanno sentire perche erelativistico);d) il bersaglio non ha spin;e) la particella proiettile ”vede” il bersaglio come esteso: pertanto e dovuta all’interazione coulombiana tra tutta la carica del proiettile e solo una parte dellacarica del bersaglio, cioe la parte di distribuzione sondata dal proiettile: questo fası che la sezione d’urto di Mott su bersaglio esteso sia piu ridotta rispetto aquella su nucleo puntiforme;f) si trascura il rinculo del bersaglio.


E’ necessario quindi inserire il fattore di forma nucleare nella sezione di Mottper tornare in accordo con i dati sperimentali. Avremo allora:(

dσ

dΩ

)∗Mott,esteso

=

(dσ

dΩ

)∗Mott

· |F (~q2)|2

Il fattore di forma della distribuzione di carica:

F (~q2) =1

Ze

∫e i~q·~x/~ ρ(~x) d3x

e la trasformata di Fourier della distribuzione di carica ρ(~x), normalizzata allacarica totale. Il fattore di forma contiene tutte le informazioni riguardanti ladistribuzione spaziale di carica del bersaglio.

Nel calcolo di Rutherford si assume bersaglio puntiforme, per cui la ρ(~x) e unafunzione δ. Ne segue che il fattore di forma e uguale a 1.

Il valore assoluto del fattore di forma e determinabile sperimentalmente dalrapporto tra la sezione d’urto misurata e la sezione d’urto di Mott.


Distribuzione di carica elettrica

L’andamento della distribuzione spaziale della carica elettrica potrebbe essereottenuto dalla anti-trasformata di Fourier del fattore di forma elettrico misuratosperimentalmente se le misure fossero disponibili per tutti i valori di ~q2.Questo non e pero facile da ottenersi per due motivi:

1 il valore di ~q2 e limitato a grandi valori dall’energia del fascio dell’acceleratore;

2 a causa della rapida decrescita del fattore di forma all’aumentare di ~q2, non esemplice la determinazione di F (~q2) per alti valori di ~q2.

Si preferisce pertanto ipotizzare per la densita di carica ρ(r) una funzione conparametri liberi e si aggiustano questi parametri fino ad ottenere l’andamentomisurato di F (~q2).Si vede sperimentalmente che l’andamento del fattore di forma elettrico presentauna brusca decrescita all’aumentare di ~q2 (cosicche la sezione d’urto su nucleoesteso risulta molto piu piccola di quella attesa per nucleo puntiforme) e questo eun indice del fatto che, all’aumentare di ~q2, il proiettile penetra maggiormentenella distribuzione di carica e ne vede solo una parte, pertanto la probabilita didiffusione e minore.



Piu e estesa la distribuzione di carica e piu il fattore di forma decrescerabruscamente in funzione di ~q2; meno e estesa la distribuzione di carica e piu ilfattore di forma decrescera lentamente. Il caso limite e quello di una distribuzionedi carica puntiforme (δ di Dirac) che corrisponde a un fattore di forma costante.Una distribuzione di carica estesa che decresce gradualmente corrisponde a unfattore di forma che decresce anch’esso gradualmente.


Il raggio dei nuclei

Il comportamento dei fattori di forma elettrici dei nuclei e simile a quello che ci siattenderebbe per una sfera omogenea di raggio R dai contorni precisi, e cioe :

F (~q2) = 3sinα− αcosα

α3con α =

|~q| · R~

I minimi teorici di diffrazione si hanno quando il numeratore del fattore di forma siannulla: α = tgα, e il primo minimo si ha in corrispondenza del seguente valore diα:

α =|~q| · R

~∼ 4.5 −→ R ∼ 4.5

~|~q|

I valori di |~q| in corrispondenza dei quali si trovano i minimi ci danno informazionesulle dimensioni del nucleo. Maggiore e il numero dei minimi di diffrazione che siriescono ad inviduare e maggiore e la precisione con cui si determina il valore di R.Vediamo pero se i valori sperimentali sono in accordo con una distribuzione dicarica a sfera omogenea dai contorni precisi.


Il raggio dei nuclei

L’andamento sperimentale del fattore di forma (o analogamente della sezioned’urto) del 58Ni e il seguente, in cui la posizione dei minimi e la stessa di quellaattesa per una sfera omogenea di raggio R = 4.1 fm, ma i minimi sono moltomeno pronunciati, segno che la distribuzione di carica non ha contorni ben definiti.A destra vediamo la distribuzione spaziale della densita di carica elettrica.Questo andamento e valido per tutti i nuclei pesanti.


Figure di diffrazione

Da cosa deriva l’andamento a figura di diffrazione dei fattori di formanucleari?La figura di diffrazione e dovuta al fatto che, esattamente come accade in ottica,la parte del fronte d’onda che passa ad una distanza r dal centro del nucleo e cheviene deflessa di un angolo θ, percorre un cammino diverso da quella parte di onda,anch’essa deflessa di un angolo θ, che attraversa ad esempio il centro del nucleo.Tale differenza di cammino ottico produce uno sfasamento relativo tra le due partidel fronte d’onda, che dipende dall’angolo θ di diffusione e che risulta pari a: ~q · ~r .L’ampiezza totale di diffusione e data dalla somma coerente di tutte le ampiezzeper ogni distanza r e l’interferenza da appunto origine alla figura di diffrazione.


Raggio quadratico medio

Un’altra informazione sui nuclei puo essere estratta dal comportamento delfattore di forma per ~q2 → 0. Si puo infatti dimostrare che il fattore di forma delnucleo e legato al raggio quadratico medio del nucleo nel limite di piccoli impulsitrasferiti dalla seguente relazione:

dove R e il raggio del nucleo. Il raggio quadratico medio e definito come:

Pertanto per determinare il valore del r.q.m. e necessario misurare il fattore diforma per valori molto piccoli di ~q2:


Riassunto dei risultati sui nuclei pesanti


4) Diffusione anelastica di elettroni relativistici con spin sunucleo : e− + N → e− + N∗

Caratteristiche della diffusione:a) e una diffusione anelastica;b) la particella proiettile e relativistica;c) il proiettile ha spin;d) il bersaglio e esteso e non ha spin;e) interazione coulombiana tra tutta la carica del proiettile e i componenti delnucleo, i nucleoni, anche presi nel loro insieme, che si eccitano dando vita a statieccitati nucleari;f) non si trascura piu il rinculo del bersaglio.

L’energia cinetica depositata dall’elettrone nel nucleo corrisponde all’energiacinetica di rinculo piu una energia di eccitazione ε∗ che lo fara transire o in unostato eccitato discreto (ε∗ dell’ ordine di qualche decina di keV fino a qualcheMeV) o in uno stato eccitato colletivo vibrazionale o rotazionale (risonanze gigantidel nucleo per ε∗ da 10 a 50 MeV):

Energie tipiche dell’elettrone: da qualche centinaio di MeV a qualche GeV.


La risonanza gigante di dipolo e un moto di vibrazione del nucleo che consiste in

un’oscillazione in opposizione di fase di protoni e neutroni: sollecitati da un campo e.m.

esterno i protoni si muovono coerentemente in una direzione mentre i neutroni, per

mantenere a riposo il c.d.m. del sistema, si muovono nella direzione opposta. Si instaura

un’oscillazione che si smorza tramite l’emissione di raggi γ caratteristici.Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 14 A.A. 2019-2020 34 / 69

5) Diffusione quasi-elastica di elettroni relativistici con spinsu uno dei nucleoni del nucleo : e− + A→ e− + N + B∗

La diffusione quasi-elastica dell’elettrone su un nucleo A (con Z protoni e Nneutroni) puo essere interpretata non come l’interazione dell’elettrone con tutti icomponenti del nucleo, ma come la diffusione elastica dell’elettrone stesso suun singolo nucleone del nucleo, che, in seguito all’interazione, viene espulso dalnucleo genitore A; gli altri nucleoni, che fungono da spettatori, rinculano in unostato eccitato B*, che:- nel caso di emissione di un protone, e un nucleo con Z-1 protoni e N neutroni,quindi e un nucleo di natura diversa rispetto al nucleo iniziale;- nel caso di emissione di un neutrone, e un nucleo con Z protoni e N-1 nucleoni,cioe e un isotopo del nucleo genitore (stesso Z, numero di neutroni N diverso).

Il fatto che il picco quasi-elastico non sia stretto come il picco elastico su nucleodipende dal fatto che il nucleone nel nucleo non e fermo, ma e dotato di unmoto, detto di Fermi, e questo fa sı che le relazioni che legano l’energiadell’elettrone diffuso al suo angolo siano alterate dalla presenza dell’impulsoiniziale del nucleone bersaglio.


Diffusione di elettroni dienergia E1=400 MeV sunuclei di 4He.Angolo di diffusioneθ = 45o .

Energie tipiche dell’elettrone: centinaia di MeV.Es. E1 = 500MeV → Q2

max ∼ 4E 21 mN/(mN + 2E1), da cui

λ ≥ ~|qmax |

=0.2GeV · fm

1GeV= 0.5 fm

Con queste energie l’elettrone puo vedere il nucleone all’interno del nucleo.Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 14 A.A. 2019-2020 37 / 69

Struttura del nucleone

Il fatto che lo studio della diffusione di elettroni sul nucleone legato nel nucleo siacomplicato dagli effetti dovuti ai legami del nucleo all’interno del nucleo diappartenenza, ha spinto a studiare la diffusione direttamente su nucleone libero(cioe protone nell’idrogeno e neutrone nel deuterio).La prima evidenza sperimentale del fatto che il nucleone e una struttura compostae venuta dalla misura del momento magnetico del protone e del neutrone,che presentano forti deviazioni rispetto ai valori attesi del momentomagnetico per una particella di Dirac, cioe una particella puntiforme e di spin1/2.I nucleoni non sono pure particelle di Dirac, con momento di dipolo magnetico diDirac:

µD = g · e

2M· ~

2

che corrisponde invece a particelle puntiformi cariche di spin 1/2.Per particelle di Dirac, g dovrebbe essere esattamente 2 (come visto nell’equazionedi Dirac). Per i nucleoni i fattori g dipenderanno dalla loro struttura interna.


Struttura del nucleone

I valori misurati per il protone e il neutrone sono:

µp =gp2µN = +2.79 · µN µn =

gn2µN = −1.91 · µN

dove il magnetone nucleare vale:

µN =e~

2Mp

Le distribuzioni di carica e corrente, in analogia con il caso dei nuclei, possonoessere scritte per mezzo di fattori di forma, ma ne saranno necessari due percaratterizzare sia la distribuzione di carica che quella magnetica.

La diffusione elastica di elettroni su protone libero e su neutrone nel deuterio hasuccessivamente permesso, a partire dalla meta degli anni ’50, di determinare ladistribuzione spaziale della carica e delle correnti all’interno del nucleone.


6) Diffusione elastica di elettroni relativistici con spin sunucleone esteso con spin (Rosenbluth) : e−+ N → e−+ N

Caratteristiche della diffusione:a) e una diffusione elastica su nucleone libero;b) la particella proiettile e relativistica;c) il proiettile ha spin;d) il bersaglio ha spin;e) la particella proiettile ”vede” il bersaglio come esteso e pertanto la diffusione edovuta all’interazione e.m. tra la carica della particella proiettile e ladistribuzione di carica del protone e tra lo spin dell’elettrone e ladistribuzione di momento magnetico nel protone;f) non si puo trascurare il rinculo del bersaglio.

Informazioni che si estraggono:1) il FATTORE DI FORMA ELETTRICO di protone e neutrone G p

E (q2) eG nE (q2);

2) il FATTORE DI FORMA MAGNETICO di protone e neutrone G pM(q2) e

G nM(q2).


Calcolo di Rosenbluth

La sezione d’urto per il processo di diffusione di un elettrone su un nucleone edata dalla formula di Rosenbluth:(

dσ

dΩ

)=

(dσ

dΩ

)Mott

·[G 2E (Q2) + τG 2

M(Q2)

1 + τ+ 2τG 2

M(Q2)tan2 θ

2

]dove:

τ =Q2

4M2c2

Le quantita GE (Q2) e GM(Q2) sono i fattori di forma elettrico e magnetico(fattori di forma di Sachs) ed entrambi dipendono da Q2. Nel caso di Q2 → 0, cisaranno le seguenti normalizzazioni:

G pE (Q2 = 0) = 1 G n

E (Q2 = 0) = 0

G pM(Q2 = 0) = 2.79 G n

M(Q2 = 0) = −1.91

GE coincide con con la carica elettrica del bersaglio, e GM col momentomagnetico del bersaglio.


Fattori di forma dei nucleoni

Per poter determinare sperimentalmente questi due fattori di forma, si fannoesperimenti a valori di Q2 fissato e a diversi valori di θ/2. Le sezioni d’urtosperimentali cosı trovate devono essere divise per la sezione d’urto di Mott.

Se si rappresentano i punti sperimentalisu un grafico in funzione di tan2θ/2, sivede che giacciono su una retta, comepredice Rosenbluth.La pendenza della retta e l’intercettaci forniscono i valori dei due fattori diforma.

Energie tipiche dell’elettrone: qualche GeV.Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 14 A.A. 2019-2020 43 / 69


Negli anni 60 e 70 verreno fatti molti esperimenti per determinare GE e GM .Risulto che hanno un andamento con Q2 molto simile. Essi possono esseredescritti dal cosiddetto andamento di dipolo:

G pE (Q2) =

G pM(Q2)

2.79=

G nM(Q2)

−1.91= G dipolo(Q2)

G dipolo(Q2) =

(1 +

Q2

0.71(GeV /c)2

)−2

Il neutrone, visto dall’esterno, e neutro e quindiha un fattore di forma elettrico molto piccolo.

L’andamento di dipolo corrisponde ad una distribuzione di carica chediminuisce esponenzialmente al crescere della distanza:

ρ(r) = ρ(0) e−ar con a = 4.27 fm−1

I nucleoni non sono quindi ne puntiformi ne sfere cariche, ma sistemi diffusi.Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 14 A.A. 2019-2020 44 / 69


Il raggio quadratico medio della distribuzione di carica del protone e quello delledistribuzioni di momento magnetico del protone e del neutrone sono praticamenteuguali. Dal fit dell’andamento dipolare di ricava:

< r2 >dipolo= −6~2 dGdipolo(Q2)

dQ2[Q2=0]

=12

a2= 0.66 fm2

√< r2 >dipolo = 0.81 fm

Misure piu precise danno adesso come migliore stima del raggio quadraticomedio del protone il seguente valore:√

< r2 >p = 0.862 fm

Questo raggio quadratico medio sara quindi lo stesso per la distribuzione elettricae magnetica del protone, e per quella magnetica del neutrone.



Determinare sperimentalmente il fattore di forma elettrico del neutrone e piudifficile perche un bersaglio di neutroni liberi non e disponibile. Le informazioni suG nE devono essere dedotte da scattering di elettroni su deuterio (H2), e quindi si

deve tener conto di possibili correzioni.Il risultato delle misure disponibili porta ad un raggio quadratico medio delneutrone pari a: √

< r2 >n = 0.10± 0.001 fm

Il neutrone, in conclusione, appare elettricamente neutro solo se lo si osservadall’esterno. Al suo interno, invece, vi sono costituenti che trasportano caricae momento magnetico.Il fatto che il raggio della distribuzione di carica sia cosı piccolo indica che lacarica portata dai suoi costituenti si cancella quasi completamente all’interno delvolume della particella.


Raggio delle distribuzioni del pione e del kaone

Il raggio di carica di diverse particelle puo essere determinato come per i neutroni.E’ il caso dei pioni π e dei kaoni K . Essendo particelle di spin nullo, hanno unfattore di forma elettrico ma non magnetico.La dipendenza da Q2 dei loro fattori di forma ha un andamento a ”monopolo”:

GE (Q2) = (1 + Q2/a2~2)−1 con a2 =6

< r2 >dal quale si ricavano i raggi quadratici medi:√

< r2 >π = 0.67± 0.02 fm√< r2 >K = 0.58± 0.04 fm

Se paragonati al protone, i raggi del pione e del kaone sono piu piccoli e quindi ladistribuzione di carica risulta meno estesa. Questo puo essere capito sulla base diuna diversa struttura interna di queste particelle. Infatti il protone e compostoda tre quark mentre il pione e il kaone sono composti da una coppiaquark-antiquark. Il kaone, inoltre, ha un raggio piu piccolo. Questo puo esserericondotto al fatto che il kaone, a differenza del pione, contiene un quark pesantes. In un sistema costituito da coppie quark antiquark, il raggio del sistemadiminuisce al crescere della massa dei suoi costituenti.


La diffusione anelastica

La diffusione anelastica ha rivelato:a) alle basse energie, la presenza di uno spettro delle risonanze molto ricco e

complesso e ha permesso di estrarre informazioni sui multipoli elettrici emagnetici associati a tali risonanze e sulle ampiezze di transizione dallo statofondamentale del nucleone agli stati risonanti eccitati; tali stati risonanti sonogenerati dall’eccitazione dei partoni nel nucleone;

b) alle alte energie, il regime di diffusione profondamente anelastica (”DeepInelastic Scattering (DIS)”), interpretabile come la diffusione elasticadell’elettrone sui componenti puntiformi del nucleone, detti partoni.


7) Diffusione anelastica di elettroni relativistici con spin sunucleone : e− + N → e− + X (adroni)

Caratteristiche della diffusione:a) e una diffusione anelastica su nucleone libero;b) la particella proiettile e relativistica;c) il proiettile ha spin;d) il bersaglio e esteso, dotato di struttura e ha spin;e) la diffusione e dovuta all’interazione e.m. tra la distribuzione di carica e dispin della particella proiettile e la distribuzione di carica e di spin deicomponenti del nucleone, i partoni, che si eccitano;f) non si puo trascurare il rinculo del bersaglio.

Energie tipiche dell’elettrone: GeV - decine di GeV.Es. E1 = 6GeV → Q2

max ∼ 4E 21 mN/(mN + 2E1)→ 2mNE1 , da cui

λ ≥ ~√Q2

max

=0.2GeV · fm√

12GeV= 0.06 fm

Con queste energie l’elettrone puo risolvere anche i componenti all’interno delnucleone.


Diffusione anelastica

Se facciamo urtare un elettrone contro un protone, vedremo il picco elastico e poi,a valori piu piccoli dell’energia dell’elettrone E ′, altri picchi aggiuntivi che sonoassociati a eccitazioni nucleari dette ”risonanze nucleoniche”.



Introduciamo il concetto di massa invariante W . Essa e calcolata a partire dalquadri-impulso del fotone virtuale q e da quello del protone P, secondo larelazione:

W 2c2 = P ′2 = (P + q)2 = M2c2 + 2Pq + q2 = M2c2 + 2Mν − Q2

La quantita ν, invariante per trasformazioni di Lorentz, e definita come:

ν =Pq

M

Il protone bersaglio e a riposo nel sistema del laboratorio, il che corrisponde aP = (Mc , 0), e q = ((E − E ′)/c , ~q). Ne segue che, nel sistema del laboratorio,l’energia trasferita dall’elettrone al protone, tramite il fotone virtuale, e :

ν = E − E ′ .


Per valori di massa invariante minori di 2 GeV siamo nella regione dellerisonanze, nella quale il nucleone viene eccitato in uno stato risonante (lecosiddette risonanze di tipo ∆ (con isospin I=3/2) o N* (con isospin I=1/2)).Il fotone eccita i costituenti del nucleone (i partoni) che si riarrangiano all’internodel nucleone dando vita a uno stato eccitato. Il nucleone transisce in uno statoeccitato (di massa maggiore), che decade in uno stato fondamentale conemissione di mesoni (in genere pioni), ma non si spacca.

La prima risonanza visibile del nucleone e la cosiddetta ∆, che ha una massa dicirca 1232 MeV ed esiste in quattro stati di carica (∆−,∆0,∆+,∆++).

Le risonanze nucleoniche hanno una vita media estremamente breve,dell’ordine di circa 10−24 s, e questo significa che esse, benche prodotte pereffetto dell’interazione e.m. del fotone virtuale con il nucleone, decadono pereffetto delle interazioni forti. Cio ha come conseguenza che la larghezza del piccovisibile in corrispondenza della massa di tali risonanze e grande (dell’ordine delcentinaio di MeV).Questa peculiarita delle risonanze adroniche rende difficile la separazione eidentificazione dei singoli picchi, che distano in genere fra di loro (per massadelle risonanze prodotte) meno di quanto sia la larghezza di ciascun picco.



Per valori di massa invariante W ≥ 2.5 GeV/c2 nello spettro di eccitazione non sivedono piu risonanze singole. Si osserva pero che viene prodotto un alto numerodi adroni, tramite il processo di adronizzazione.


8) Diffusione profondamente anelastica (DIS) di elettronirelativistici con spin su nucleone (diffusione elastica supartoni) : e− + N → e− + X (adroni)

Caratteristiche della diffusione:a) e una diffusione profondamente anelastica su nucleone libero;b) la particella proiettile e relativistica;c) il proiettile ha spin;d) il bersaglio e puntiforme e ha spin 1/2;e) la diffusione e dovuta all’interazione e.m. tra la distribuzione di carica e dispin della particella proiettile e la distribuzione di carica e di spin delpartone;f) non si puo trascurare il rinculo del bersaglio.

Energie tipiche dell’elettrone: decine di GeV.Es. Q2 = 4÷ 50 GeV /c2, da cui

λ ≥ ~√Q2

= 0.1÷ 0.03 fm

Con queste energie l’elettrone puo risolvere i componenti all’interno del nucleone.Roberta Sparvoli Rachele Di Salvo (Universita di Roma Tor Vergata)Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 14 A.A. 2019-2020 55 / 69

Le funzioni di struttura

Come nel caso della diffusione elastica, possiamo trattare questo tipo di diffusioneintroducendo il concetto di fattori di forma. Nel caso anelastico, questi vengonochiamati funzioni di struttura e vengono indicati con W1 e W2.

Nei processi di diffusione anelastica, l’energia di eccitazione del protone introduceun ulteriore grado di liberta . Le funzioni di struttura e le sezioni d’urto sarannodunque funzioni di due parametri liberi indipendenti : (E ′, θ) oppure (Q2, ν).

La formula di Rosentbluth e sostituita dall’espressione:

dσ

dΩdE ′=

(dσ

dΩ

)Mott

·[W2(Q2, ν) + 2W1(Q2, ν) tan2 θ

2

]I primi esperimenti di diffusione profondamente anelastica furono fatti alla finedegli anni ’60.



Al crescere di Q2, le sezioni d’urto diminuiscono rapidamente nella regione dellerisonanze, ma molto meno nella zona del profondamente anelastico.

Questo risultato fu inatteso. Il rapporto:

dσ

dΩdE ′/

(dσ

dΩ

)∗Mott

ci si aspettava dipendesse molto da Q2 con unandamento di dipolo tipico dei fattori di formaelastici dei nucleoni.Invece le funzioni di struttura, per valori fissi diW, sono praticamente indipendenti da Q2.



Le due funzioni di struttura vengono ulteriormente sostituite da due funzioni distruttura adimensionali:

F1(x ,Q2) = Mc2W1(Q2, ν)

F2(x ,Q2) = νW2(Q2, ν),

espresse in funzione della variabile di scala di Bjorken x.

Se si studiano queste funzioni avalori di x prefissati, si nota chela loro dipendenza da Q2 epraticamente inesistente.La figura mostra F2(x ,Q2) infunzione di x , in un ampiointervallo di Q2.



Appare evidente l’analogia del comportamento di F2 con quello del fattore diforma nucleare elastico che si ottiene nel caso di bersaglio puntiforme:

Fattore di forma costante → bersaglio puntiforme

Dal momento che il valore di Q2 e legato alla dimensione dell’oggetto sondato, ilfatto che le funzioni di struttura siano indipendenti da tale variabile indica che ladiffusione profondamente anelastica sta in realta avvenendo su oggettipuntiformi, che costituiscono il nucleone e che vengono chiamati ”partoni”.

Infatti, se aumentando Q2 avessimo osservato una diminuzione delle funzioni distruttura, questo avrebbe significato, come nel caso del fattore di forma elettricodel nucleo o in quello del nucleone, che la sonda sta penetrando sempre di piu nelbersaglio e quindi risente di una carica piu piccola.

Il comportamento osservato delle funzioni di struttura, che variano solo in funzionedi x anziche di Q2 e ν separatamente, viene definito ”scaling” di Bjorken.


Sezione d’urto come sovrapposizione

Possiamo dunque affermare che la diffusione profondamente anelastica di elettronisu nucleoni corrisponde in realta alla diffusione elastica di elettroni suicostituenti del nucleone che sono i partoni:

La situazione e analoga al caso della diffusione quasi-elastica di elettroni sunucleo, che si era rivelata in realta essere una diffusione dell’elettrone sulsingolo nucleone del nucleo: il nucleone colpito usa l’energia e l’impulsocedutigli dall’elettrone per acquistare energia cinetica di rinculo, con la qualeabbandonare il nucleo di appartenenza, che rimarra in uno stato eccitato:



C’e pero una grossa differenza rispetto al caso appena citato: infatti nelladiffusione quasi-elastica su nucleo, il nucleone sul quale e avvenuta ladiffusione elastica viene separato dal suo nucleo e puo essere ancherivelato.

Al contrario, nel caso della diffusione profondamente anelastica su nucleone, ilpartone sul quale e avvenuta la diffusione elastica non puo essere rivelatoseparatamente, in quanto i partoni sono oggetti non osservabili allo statolibero.

Questo complica ovviamente la natura della sezione d’urto misurata, perche nonpossiamo ottenere la sezione d’urto elastica dell’elettrone sul singolo partone, maquella sperimentale sara la somma incoerente di tutte le sezioni d’urto dielettrone su singolo partone (”incorente” significa che le varie sezioni d’urtonon interferiscono tra loro, ma si sommano in modo puro e semplice).



Possiamo allora esprimere la sezione d’urto profondamente anelastica in funzionedella F1 e F2:

Nel sistema del laboratorio, dove il partone e in quiete, la variabile x vale: x =m/M, ed e quindi la frazione di massa del nucleone portata dal partone. Ladiffusione profondamente anelastica ad un dato valore di x e la sommaincoerente di sezioni d’urto elastiche dell’elettrone su tutti i partoni del nucleoneaventi una massa relativa pari ad x.

Se ci mettiamo nel riferimento del modello a partoni di Feynmann (”Infinitemomentum frame”), la variabile x rappresenta invece la frazione dell’impulsotrasportata dal partone, mentre la funzione di struttura F2(x)/x rappresenta lafunzione di distribuzione dei partoni nel nucleone.


Costituenti dei nucleoni

La funzione F1 e legata all’interazionemagnetica. Essa si annulla quandol’interazione avviene su particelle di spin0, mentre nel caso di particelle di Dirac(spin 1/2) segue che:

2xF1(x) = F2(x)

Questa e nota come la Relazione diCallan-Gross.Il rapporto 2xF1(x)/F2(x) e mostratonella figura che segue, in funzione di x.Tale rapporto e , nel limite dell’erroresperimentale, consistente con 1.i costituenti puntiformi dei nucleonihanno spin 1/2.


Quark del mare e gluoni

I costituenti puntiformi di spin 1/2 vengono identificati con i quark, a caricafrazionaria.

Si definisca q(x) la distribuzione dei quark con frazione di impulso x , e q(x) quelladegli antiquark.

L’integrale della funzione x [q(x) + q(x)] su tutti i valori di x rappresenta ilcontributo di tutti i quark e gli antiquark all’interazione, e deve valere 1.

Si trova invece che assume il valore di circa 0.5.

Questo risultato dice che i quark trasportano solo il 50% dell’impulso delnucleone.Il restante 50% deve essere portato da costituenti che non interagiscono neelettromagneticamente ne debolmente.Questi costituenti sono identificati con i gluoni.


Quark del mare e gluoni

Dato che le due funzioni di struttura F1(x) e F2(x) non sono tra loro indipendenti,d’ora innanzi tratteremo solo la funzione F2(x).

L’andamento della funzione F2(x) ci dice come interagiscono i quark nel partone:

Insieme ai quark di valenza, ci sono coppie di quark-antiquark (del mare)create dai gluoni, che contribuiscono di piu a bassi valori di x .


Cosa si impara dal D.I.S.

La diffusione profondamente anelastica di elettroni su nucleoni corrisponde alladiffusione elastica di elettroni sui partoni.Il partone non puo essere rivelato separatamente, ed emerge dalladiffusione sotto forma di adroni (adronizzazione).

Dal D.I.S. abbiamo imparato:

il protone e il neutrone sono costituiti da quark con carica frazionaria (e ilneutrone non e uniformemente elettricamente neutro);

il protone e il neutrone contengono quark del mare e quindi coppiequark-antiquark;

nei nucleoni debbono esserci costituenti neutri con spin intero, i gluoni, chetrasportano all’incirca la meta dell’impulso del nucleone.


Riassunto - Diffusione di elettroni

Decine di MeV:- sezione d’urto elastica di Mott su nucleo puntiforme

Centinaia di MeV (100-500 MeV):- sezione d’urto elastica di Mott su nucleo esteso (fattore di forma elettricodei nuclei)- sezione d’urto anelastica su nucleo esteso (livelli eccitati discreti e risonanzadi dipolo gigante del nucleo)- sezione d’urto quasi-elastica sul nucleone del nucleo

Centinaia di MeV − > vari GeV:- sezione d’urto elastica di Rosenbluth sul nucleone libero (fattori di formaelettrico e magnetico del nucleone)- sezione d’urto anelastica sul nucleone libero (regione delle risonanze)

Decine di GeV:- sezione d’urto profondamente anelastica sul nucleone libero = scatteringelastico su partone


Elementi di Fisica Nucleare e Subnuclearepeople.roma2.infn.it/.../09/lezione_14-scattering.pdf ·...

Documents

Transcript of Elementi di Fisica Nucleare e Subnuclearepeople.roma2.infn.it/.../09/lezione_14-scattering.pdf ·...