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Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare

Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo

Lezione 7

Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 7 1 / 32

Libri di testo consigliati

B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche: “Particelle e Nuclei”W.S.C. Williams: “Nuclear and Particle Physics”F. Ceradini: “Appunti del Corso di Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare”,Roma3, A.A. 2001-2002D. Prosperi: “Corso di Istituzioni di Fisica Nucleare”K. Heyde: “Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics”J.L. Basdevant, J. Rich, M. Spiro: “Fundamentals in Nuclear Physics - FromNuclear Structure to Cosmology”W.N. Cottingham, D.A. Greenwood: “An Introduction to Nuclear Physics”W. Greiner, J.A. Maruhn: “Nuclear Models”C. Dionisi, E. Longo: “Fisica Nucleare e Subnucleare”C. Schaerf: Slides del Corso di Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare,Universita di Roma “Tor Vergata”, Anno 2012


CARATTERISTICHE FONDAMENTALI DEI NUCLEI

Numero atomico Z : indica il numero di protoni nel nucleo

Numero di neutroni N

Numero di massa atomica A : A = Z +N

Carica del nucleo : Q = Ze (e = 1.6 · 10−19C =carica elementare)

Carica dell’atomo : Nulla, perche contiene Z protoni e Z elettroni

Nucleo o nuclide = combinazione di protoni e neutroni

Nuclei con ugual numero di massa A ⇒ nuclei ISOBARI

Nuclei con ugual numero di protoni Z ⇒ nuclei ISOTOPI

Nuclei con ugual numero di neutroni N ⇒ nuclei ISOTONI


CARATTERISTICHE FONDAMENTALI DEI NUCLEI (continua)

Notazione spettroscopica del nucleo X: AZX oppure AZXN

Nuclei stabili: 284di cui:

1 Con A dispari: 110di cui:

con Z dispari e N pari: 53con Z pari e N dispari: 57

2 Con A pari: 174di cui:

con Z dispari e N dispari: 8con Z pari e N pari: 166

Notiamo immediatamente una sorprendente disparita nel numero di nuclei stabili trale varie combinazioni e sara necessario giustificarla.


CARATTERISTICHE FONDAMENTALI DEI NUCLEI (continua)

Come massa di riferimento per i nuclei e utile adoperare la massa del 12C e l’unita dimassa atomica e definita come 1/12 della sua massa:

1 unita di massa atomica (u.m.a.) = 1/12M12C

= 931.481MeV/c2

= 1.6604310−27 Kg

Massa del protone

mp = (938.2796± 0.0027)MeV/c2

mn = (939.5731± 0.0027)MeV/c2

n→ p+ νe + e−


SCALE ATOMO-NUCLEO-NUCLEONE

Povh, fig. 1.1 pag.2


CARTA DEI NUCLEI STABILI

E la carta dei nuclei stabili in cuie rappresentato N vs. Z.La bisettrice rappresenta lasituazione in cui N = Z.Come si vede, i nuclei pesantipresentano un eccesso di neutroni.La massima deviazione dallabisettrice e : (N − Z)/A ' 26%.I nuclei leggeri si dispongonolungo la retta N = Z.


I NUCLEI STABILI

I nuclei stabili si dispongono solo lungo una striscia nel piano N − Z. Gli altri nuclei sonoinstabili e decadono per emissione α, β+, β−.

⇓

Se un neutrone in eccesso diventa protone ⇒ Emissione β−

Il nucleo si trasforma in un ISOBARO (stesso A) ma con un numero atomico in piu (Z + 1):

n→ p+ e− + νe

(A,Z) → (A,Z + 1) + e− + νe

Se un protone in eccesso diventa neutrone ⇒ Emissione β+

Il nucleo si trasforma in un ISOBARO (stesso A) ma con un numero atomico in meno(Z − 1):

p→ n+ e+ + νe

(A,Z) → (A,Z − 1) + e+ + νe

Se un nucleo emette due protoni e due neutroni ⇒ Emissione α ↪→ (nucleo di 4He, cioeuna particella α) Il nucleo si trasforma in un nucleo piu leggero:

(A,Z) → (A− 4, Z − 2) + α


DECADIMENTI NUCLEARI


ENERGIA DI LEGAME

L’energia di legame e data dalla differenza tra la massa del sistema e la somma dellemasse dei suoi costituenti allo stato libero. Il rapporto tra l’energia di legame e lamassa del sistema legato dipende dalla natura delle forze che tengono legato ilsistema. Nel caso dei nuclei e pari a circa l’1% della massa nucleare, mentre nel casodi sistemi legati da forze gravitazionali o e.m. essa e molto piu bassa:

Sistema Terra-Sole ∆ M / M ' 10−14 ⇒ Forza Gravitazionale

Cristalli ∆ M / M ' 10−11 ⇒ Forza E.M.

Legami chimici ∆ M / M ' 10−8 ÷ 10−10 ⇒ Forza E.M.

Atomo di H ∆ M / M ' 10−5 ⇒ Forza E.M.

Nuclei ∆ M / M ' 10−2 ⇒ Forza Forte o Nucleare


CARTA DELLE ABBONDANZE RELATIVE NEL SISTEMASOLARE

Normalizzate al Si(=106)

Povh, fig. 2.2 pag.16


ENERGIA DI LEGAME (continua)

Nel 1913 J. J. Thomson scopre gli isotopi. La misura sistematica delle masseatomiche inizia nel 1919 con F. W. Aston.L’energia di legame di un nucleo e definita come:

M(A,Z) = Z ·Mp +N ·Mn +B(Z,A) (1)

dove:Mp = massa del protoneMn = massa del neutroneM(A,Z) = massa del nucleo con massa atomica A e numero atomico Z

L’energia di legame viene estratta dalla misura precisa delle masse atomiche, cheviene realizzata con tecniche di spettrometria di massa. Girando la (1), l’energia dilegame e data da:

B(Z,A) = M(A,Z)− Z ·Mp − (A− Z) ·Mn < 0 (2)

La quantita interessante e comunque l’energia di legame per nucleone, che si ottienedividendo la (2) per il numero A di nucleoni che e circa costante su un ampiointervallo di nuclei:

B(Z,A)

A' 7− 8MeV (3)



Energia di Legame in funzione della massa atomica A. L’andamento ecrescente in modo quasi lineare con A.

Ceradini, fig. 2.3 pag. 154



Energia di Legame per Nucleone in funzione della massa atomica A. L’andamentoe approssimativamente costante per un ampio intervallo di nuclei e si aggira intorno ai7− 8MeV . Il rapporto B/A e massimo per A ' 60, in particolare per:

Isotopo Z N A B/A

62Ni 28 34 62 8, 795MeV56Fe 26 30 56 8, 790MeV

Heyde, pag. 7Prof.ssa R. Sparvoli-Dr.ssa R. Di Salvo Elementi di Fisica Nucleare e Subnucleare Lezione 7 14 / 32

FORMULA DI WEISZACKER O FORMULA SEMIEMPIRICA DIMASSA

La formula semiempirica delle masse rappresenta un tentativo di esprimere l’energiadi legame in funzione dei suoi contributi fondamentali. Vediamoli uno ad uno:

B(Z,A) = −b0A︸︷︷︸ + b1A2/3︸︷︷︸ + b2

Z(Z − 1)

A1/3︸︷︷︸ + b3(N − Z)2

A︸︷︷︸ + δ(A)︸︷︷︸termine di termine di termine termine di termine di

volume superficie coulombiano asimmetria pairing︸︷︷︸Termine Dominante

︸︷︷︸Termini Correttivi


FORMULA DI WEISZACKER O FORMULA SEMIEMPIRICA DIMASSA (continua)

Contributo dei vari termini alla formula semiempirica delle masse

Ceradini, Fig. 2.11 Pag. 175


TERMINE DI VOLUME - MODELLO A GOCCIA

L’andamento circa costante dell’energia di legame per nucleone e una forteindicazione del fatto che le forze nucleari siano a corto “range”, cioe a corto raggio diazione. Questa proprieta e ben descritta nell’ambito del cosiddetto “modello a gocciadi liquido”, proposto da Bohr nel 1935, nel quale il nucleo e appunto assimilato a unagoccia di liquido nella quale i nucleoni svolgono il ruolo delle molecole.Le ipotesi di tale modello sono:

e un modello collettivo del nucleo basato su pochi parametri;

l’energia di interazione tra due nucleoni e indipendente dal tipo e numero dinucleoni;

l’interazione e attrattiva e a breve raggio d’azione (come succede per le molecoledella goccia di liquido che hanno interazioni dipolo-dipolo);

l’energia di legame del nucleo e approssimativamente proporzionale al numero dinucleoni.

Da tali ipotesi discende che:

le forze nucleari siano saturate;

il volume del nucleo cresca proporzionalmente al numero di massaatomica A;

che l’energia di legame sia ridotta a causa degli effetti di superficie.


TERMINE DI VOLUME (continua)

Vediamo per quale motivo il fatto che l’interazione sia a corto “range” abbia comeconseguenza che il volume del nucleo cresca in modo proporzionale al numero dimassa atomica A.Se per assurdo ogni singolo nucleone del nucleo interagisse con ogni altro nucleone, ilnumero di legami che si verrebbero a creare sarebbe pari al numero di coppiepossibili e cioe:

Nlegami = A(A−1)2

Se chiamiamo EL l’energia associata ad ogni singolo legame, l’energia totale di unsistema di A nucleoni in tale ipotesi sarebbe:

B = NlegamiEL =A(A− 1)

2EL ⇒ B ∝ A(A− 1)

2⇒ B ∝ A2(per A� 1)



Come conseguenza, l’andamento di B/A dovrebbe essere lineare con il numero dinucleoni, cioe:

B

A∝ A

cosa che non e confermata dall’andamento della curva B/A vista prima, che cifornisce invece:

B

A∝ cost.

Se invece ogni nucleone creasse legami solo con i primi vicini, cioe con i nucleonicontenuti in un piccolo volume Vint (indicato con il cerchietto azzurro in figura) diinterazione circostante, il numero di legami sarebbe proporzionale alla frazione dinucleoni Vint/Vnucl in esso contenuti:

Nlegami = A(A−1)2

VintVnucl



Dunque, chiamando sempre EL l’energia del singolo legame, l’energia totale dilegame sarebbe:

B = Nlegami · EL =A(A− 1)

2

VintVnucl

EL

Il fatto che sperimentalmente B sia proporzionale alla massa atomica A implica che:

Vnucl ∝ A

In tal caso infatti avremmo (per A� 1):

B =A(A− 1)

2

VintVnucl

EL ∝A(A− 1)

2

VintA

EL ⇒ B ∝ A⇒ B

A' cost.

Questo fenomeno prende il nome di “saturazione” della forza nucleare. La forzanucleare e una forza intensa ma a cortissimo “range”, cioe che agisce solo per piccoledistanze (dell’ordine del fm = 10−15m).


DENSITA NUCLEARE

Una conseguenza della saturazione e che la densita dei nucleoni nella regionecentrale deve essere approssimativamente costante cioe uguale per tutti i nuclei.Infatti:

ρ =A

Vnucl∝ A

A= cost.

e vale:ρ = 0.17 nucleoni/fm3

Se introduciamo un modello sferico per il nucleo, abbiamo:

Vnucl =4

3πR3

nucl ∝ A⇒ R3nucl ∝ A⇒ Rnucl = r0A

1/3 (4)

r0 ' 1.2 fm (da esperimenti di diffusione)

Il termine dominante dell’energia di legame sara pertanto:

B(Z,A) = −b0A+ . . .

che prende il nome di ”termine di volume“ perche il volume del nucleo Vnucl eappunto proporzionale ad A.


TERMINE DI SUPERFICIE - MODELLO A GOCCIA

Nel quadro del “modello a goccia” possiamo anche spiegare il termine di correzioneall’energia di legame, che e detto “termine di superficie”.

In una goccia d’acqua, infatti, le molecole che sono sulla superficie della gocciarisentono di una forza attrattiva minore di quelle situate all’interno della gocciastessa, in quanto sono circondate da molecole solo da un lato.Analogamente i nucleoni piu esterni del nucleo saranno meno legati dei nucleoni piuinterni, perche non hanno legami con nucleoni verso la parte esterna.Questo implica che, valutando l’energia di legame con il solo termine di volume,l’abbiamo sovrastimata, in quanto abbiamo attribuito a tutti i nucleoni (anche aquelli della superficie) la stessa energia di legame. Occorre quindi sottrarre al terminedi volume un contributo “slegante” proporzionale al numero di nucleoni Nsup che sitrovano in superficie.


TERMINE DI SUPERFICIE (continua)

Valutiamo innanzitutto l’andamento di questo contributo. In figura:1 il nucleone rosso e quello di cui ci occupiamo (interno al nucleo, nella figura a

sinistra, e sulla corteccia nella figura a destra);2 i cerchietti continui e quelli tratteggiati sono rispettivamente i nucleoni con i

quali interagisce e quelli con i quali non interagisce;3 i segmenti continui o tratteggiati rappresentano il numero di legami che crea un

nucleone interno o uno sulla corteccia (Nlegami,int o Nlegami,sup ).

Possiamo intuire l’andamento del termine di superficie, considerando che il numero dinucleoni in superficie e proporzionale al volume della corteccia (= Superficie delnucleo SN moltiplicata per lo spessore della ”corteccia“ t del nucleo):

SN = 4πR2nucl = 4πr20 ·A

23 essendo: Rnucl = r0A

13

Vcorteccia = SN · t = 4πr20 ·A23 · t (5)



Pertanto l’energia di legame sara data da (fin qui...):

B(Z,A) = −b0 ·A+ b1 ·A23 + . . . (6)

Valutiamo adesso il valore di b1.Definiamo f1 come il rapporto tra il numero di legami che crea un nucleonesuperficiale Nlegami,sup e quelli che crea un nucleone all’interno del nucleo Nlegami,int:

f1 =Nlegami,supNlegami,int

(7)

Nella figura, i cerchietti continui rappresentano i nucleoni sulla corteccia esterna(Nsup) e quelli tratteggiati sono i nucleoni interni al nucleo (Nint) e il numero totaledei nucleoni e A = Nsup +Nint.



Definiamo f2 come il rapporto tra il numero di nucleoni della corteccia esterna Nsupe il numero dei nucleoni totali A:

f2 =NsupA⇒ Nint = A−Nsup = A

(1− Nsup

A

)= A(1− f2) (8)

L’energia di legame sara data dalla somma delle energie di legame dei nucleoniinterni e di quelle dei nucleoni superficiali:

B(A,Z) = Bint(A,Z) +Bsup(A,Z) =

= −b0 ·Nint − b0Nlegami,sup

Nlegami,int·Nsup

che, sfruttando le definizioni (7) e (8) date prima per f1 e f2, diventa:

B(A,Z) = −b0 ·A(1− f2)− b0 · f1 · f2 ·A =

= −b0 ·A [(1− f2) + f1 · f2] (9)



Per stimare f1 sfruttiamo il modello a goccia che ci fornisce:

f1 =Nlegami,supNlegami,int

' 2

3(10)

Per stimare f2 dalla sua definizione abbiamo (sostituendo le (4 e (5)):

f2 =NsupA

=VcortecciaVnucl

=4πr20 ·A

23 · t

43πr30 ·A

=3t

r0 ·A13

(11)

dove:t ' 1÷ 2 fm⇒ t ' r0

Pertanto la (11) diventa:

f2 =3t

r0 ·A13

' 3

A13

(12)



Sostituendo le stime di f1 e f2 (10) e (12), la (9) diventa:

B(A,Z) = −b0 ·A [(1− f2) + f1 · f2] = −b0 ·A[(

1− 3

A13

)+ 2

3· 3

A13

]=

= −b0 ·A(

1− 1

A13

)= −b0 ·A+ b0 ·A

23

B(A,Z) = −b0 ·A+ b1 ·A23 (13)

con b1 ' b0.Nella (13) il primo termine rappresenta il termine di volume della formulasemiempirica, mentre il secondo termine rappresenta il contributo ”slegante“ dovutoai nucleoni superficiali. Il termine e chiaramente di natura ”superficiale“ in quanto eproporzionale al quadrato del raggio del nucleo, essendo:

Rnucl ' A13 ⇒ A

23 ' R2

nucl


TERMINE COULOMBIANO

Anche la forza repulsiva coulombiana che si esercita tra i protoni di un nucleocontribuira, come il termine di superficie, a ridurre l’energia di legame del nucleo.L’energia repulsiva tra due cariche e poste a distanza r e:

EC =e2

r

Per Z cariche sara:

EC =1

2Z(Z − 1)e2

⟨1

r

⟩(14)

dove:12Z(Z − 1) e il numero di tutte le coppie possibili di protoni (N.B. la forza

coulombiana ha portata infinita e pertanto essa si esercita tra ciascun protone etutti gli (Z − 1) protoni del nucleo);

< 1/r > e il valor medio dell’inverso della distanza di due protoni nel nucleo.


TERMINE COULOMBIANO (continua)

Valutiamo il termine < 1/r >, assumendo che il nucleo sia una sfera di raggio Rnucluniformemente carica. Pertanto la densita di carica ρcarica all’interno del nucleo sara:

ρcarica =Ze

Vnucl=

Ze43πR3

nucl

=3Ze

4πR3nucl

Chiamiamo n(~r )d~r la probabilita di trovare un protone ad una distanza compresa tra~r e ~r + d~r dal centro della sfera. Avremo dunque:

⟨1

r

⟩=

∫ ∫n(~r ) n(~r ′)

|~r − ~r ′| d~r d~r ′ (15)

Tale probabilita e ovviamente nulla all’esterno della sfera di raggio Rnucl del nucleo:

n(~r ) =

{ 1Vnucleo

per r ≤ Rnucl (dentro la sfera)

0 per r > Rnucl (fuori dalla sfera)

Possiamo quindi spezzare l’integrale (15) in due contributi:⟨1

r

⟩=

∫r<r′

∫n(~r ) n(~r ′)

|~r − ~r ′| d~r d~r ′ +

∫r>r′

∫n(~r ) n(~r ′)

|~r − ~r ′| d~r d~r ′ (16)



Scambiando le variabili di integrazione ~r ↔ ~r ′ nella (16), possiamo verificare che idue integrali sono identici:∫

d~r

∫d~r ′

n(~r ) n(~r ′)

|~r − ~r ′| =

∫d~r ′

∫d~r

n(~r ) n(~r ′)

|~r − ~r ′|Pertanto possiamo riscrivere la (16):⟨

1

r

⟩= 2

∫r<r′

∫n(~r ) n(~r ′)

|~r − ~r ′| d~r d~r ′ = 2

∫r<Rnucl

n(~r )d~r

∫r′<r

n(~r ′)

|~r − ~r ′|d~r′ (17)

dove:∫

r′<r

n(~r ′)|~r −~r ′|d~r

′ e il potenziale prodotto in r dalla distribuzione di cariche n(~r ′)

contenute all’interno di una sfera di raggio r.Per il teorema di Gauss questo e equivalente al potenziale generato dalla carica comese essa fosse concentrata tutta al centro della sfera di raggio r:∫

r′<r

n(~r ′)

|~r − ~r ′|d~r′ =

Q(r)

r(18)



La carica Q(r) e la frazione di carica del nucleo contenuta nel volume della sfera di raggio r epertanto:

=⇒ Q(r) = n(r) · Vsfera,raggio r =3

4πR3nucl

4

3πr3 =

r3

R3nucl

La (18) diventa allora: ∫r′<r

n(~r ′)

|~r − ~r ′|d~r ′ =

Q(r)

r=

r2

R3nucl

(19)

Sostituendo la (19) nella (17) e integrando separatamente sulle coordinate angolari e radialeotteniamo:

⟨1

r

⟩= 2

∫r<Rnucl

n(~r )d~rQ(r)r

= 2∫

r<Rnucl

34πR3

nucl

r2

R3nucl

d~r = (20)

= 2 · 34π

1R6

nucl

∫r<Rnucl

r2 · r2drπ∫0

sinϑ dϑ2π∫0

dϕ = (21)

= 2 · 3

��4π1

R6nucl

��4πRnucl∫

0

r4dr = 65

R5nucl

R6nucl

= 65

1Rnucl

(22)



Torniamo alla (14) che ci dava l’energia repulsiva tra le cariche del nucleo esostituiamo al termine < 1/r > la (22):

EC =1

2

Z(Z − 1)e2

< r >=

1

2Z(Z − 1)e2

6

5

1

Rnucl=

3

5

Z(Z − 1)e2

Rnucl=

3

5

Z(Z − 1)e2

r0A13

Pertanto possiamo esprimere EC come proporzionale all’inverso di A13 :

EC = +b2Z(Z − 1)

A1/3

dove: b2 = 35e2

r0.

L’energia di legame sara quindi data (fin qui...) da:

B(Z,A) = −b0 ·A+ b1 ·A2/3 + b2Z(Z − 1)

A1/3+ . . . (23)

dove il terzo termine prende il nome di ”termine coulombiano“ ed ha anch’esso segnopositivo in quanto contribuisce a ridurre l’energia di legame del sistema, cioe lo rendemeno stabile.


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