Effetto Zeeman anomalo

Introduzione

Abbiamo visto come l’interazione spin-orbita rimuova solo parzialmente la degenerazione rispetto al momento

angolare totale J P che rimaneva anche dopo aver tenuto conto dell’interazione elettrostatica residua.

La degenerazione è rimossa parzialmente sia nello schema l-s che nello schema j-j.

Nel primo schema ‘applichiamo’ prima l’interazione elettrostatica residua, che da origine a degli stati che sonoautostati di L2 S2 Lz Sz (perché l’Hamiltoniana completa commuta con questi operatori).

Poi, per applicare lo spin-orbita, si cambia base, passando all’autobase comune di L2 S2 J2 Jz, in cui lo spin-

orbita è diagonale (si usa il teorema di Wigner-Echart per trasformare l’interazione da l P i A s P

i a L P A S P , e poi,

sviluppando J2, si arriva a esprimerla con L2 S2 J2).

Lo spin-orbita rimuove la degenerazione rispetto a J2, ma rimane la degenerazione rispetto a Jz, che è pari a

2J+1.

Vogliamo studiare che succede se l’atomo è immerso in un campo magnetico costante (effetto Zeeman).

Faremo questo studio nello schema l-s.

Termine di interazione col campo magnetico

Dunque il momento angolare totale e lo spin totale si accoppiano con il campo magnetico esterno, dando origine adun un termine di interazione.

Abbiamo già studiato questo termine di interazione nel caso di un atomo idrogenoide (vedi), ottenendo la seguente

espressione per questo termine di interazione (i momenti angolari sono misurati in unità S, µB è il magnetone diBohr) :

µ B L P + 2 S P A B P

(termine di interazione).

Se supponiamo che il campo magnetico ha componente solo lungo z il termine diventa :

µ B B L

z + 2 S

z

= µ B B L

z + S

z + S

z

= µ B B J

z + S

z .

Se supponiamo che prima di applicare questa perturbazione abbiamo applicato la perturbazione di spin-orbita alsistema, gli stati del sistema sono rappresentati nell’autobase comune degli operatori L2 S2 J2 Jz, e dunque in

1

2- effetto Zeeman anomalo -

questa base l’operatore Sz non è diagonale!

Per ovviare a ciò possiamo utilizzare il teorema di Wigner Eckart (vedi).Infatti le componenti dello spin totale hanno delle regole di commutazione col momento angolare totale tali dasoddisfare le ipotesi del teorema di Wigner Eckart.

Si ottiene che

L S J MJ

S z

L S J MJ

= k L S J MJ

J z

L S J MJ

= k MJ

dove k è l’elemento di matrice ridotto.

Allora l’interazione diventa

µB B Jz (1+k)

e quindi la correzione è

µB B MJ (1+k)(correzione, forma implicita).

La questione è a questo punto quella di calcolare l’elemento di matrice ridotto.

Calcolo dell’elemento di matrice ridotto

Consideriamo il seguente elemento di matrice :

L S J MJ

S P A J P L S J MJ

= L S J MJ

S x J

x + S

y J

y + S

z J

z L S J M

J .

Se applichiamo il teorema di Wigner Eckart a tutt’e tre le componenti dello spin totale, sappiamo che l’elemento dimatrice ridotto è uguale per tutte e tre, ed uguale a quello scritto poco prima per Sz e che stiamo cercando dicalcolare.Possiamo mettere in evidenza l’elemento di matrice ridotto, ottenendo :

= k L S J MJ

J x J

x + J

y J

y + J

z J

z L S J M

J

= k L S J MJ

J 2 L S J MJ

= k J(J+1).

Per conoscere l’elemento di matrice ridotto calcoliamo questo elemento di matrice anche in un altro modo, piùdiretto.

Utilizziamo un altro modo di esprimere il prodotto scalare in questione :

3- effetto Zeeman anomalo -

S P A J P = S P A L P + S P

= L P A S P + S2 .

Ma

J 2 = J x

2 + J y

2 + J z

2

= L x + S

x 2 + L

y + S

y 2 + L

z + S

z 2

= Lx

2 + Sx

2 + 2 Lx S

x + L

y 2 + S

y 2 + 2 L

y S

y + L

z 2 + S

z 2 + 2 L

z S

z =

= L2 + S2 + 2 L P A S P

da cui

L P A S P = 1 2

J 2 − L2 − S2

(questa relazione l’abbiamo usata anche nello studio dell’interazione di spin-orbita, vedi).

Dunque

S P A J P = L P A S P + S2

= 1 2

J 2 − L2 − S2 + S2

= 1 2

J 2 − L2 + S2 .

Dunque, l’elemento di matrice è

L S J MJ

S P A J P L S J MJ

= 1 2

L S J MJ

J 2 − L2 + S2 L S J MJ

= 1 2

J J + 1 − L L + 1 + S S + 1 .

Uguagliando i due risultati ottenuti nei due modi diversi si ha :

4- effetto Zeeman anomalo -

k J J + 1 = 1 2

J J + 1 − L L + 1 + S S + 1

da cui

k = J J + 1 − L L + 1 + S S + 1 2 J J + 1

.

Andando a sostituire questo nell’espressione della correzione trovata prima, otteniamo :

B µ B M

J 1 + k

= B µ B M

J 1 + J J + 1 − L L + 1 + S S + 1

2 J J + 1

= B µ B M

J g (correzione dovuta al campo magnetico)

dove g viene detto ‘fattore di Landé’.

Vediamo che se lo spin totale è nullo, si ha S=0, e J=L, e quindi g=1.Se invece L=0 si ha J=S, la frazione vale 1, e quindi g=2.

Questi risultati sono coerenti col fatto che il fattore giromagnetico per il momento angolare orbitale vale 1, mentreper lo spin vale 2.

Tuttavia, in generale, quando sono non nulli sia il momento angolare orbitale che lo spin, il fattore di Landé è unnumero non intero, e non costante.

Dunque, a differenza dell’effetto Zeeman per atomo idrogenoide (effetto Zeeman ‘normale’), l’intervallo in energiadei livelli non è costante.

Questo ha delle conseguenze sullo spettro dei livelli energetici, e quindi sulle righe di emissione dell’atomo immersoin un campo magnetico.

Bisogna dire che è determinante il fatto che stiamo applicando questa perturbazione sui livelli già perturbatidall’interazione di spin-orbita.

Richiami sull’effetto Zeeman normale

La situazione che abbiamo in questo caso è diversa da quella che abbiamo visto per l’atomo idrogenoide (effettoZeeman ‘normale’, vedi).

Infatti in quel caso, applicavamo la perturbazione del campo magnetico direttamente sugli autostati imperturbati (edegeneri rispetto a L2, S2 e J2) di atomo idrogenoide. Dunque potevamo usare l’espressione in Lz e Sz dellaperturbazione, in quanto entrambi questi operatori erano diagonali.Allora la correzione era µB B (ml + 2 ms), e poiché sia ml che ms variano di un’unità alla volta, ottenevamo

5- effetto Zeeman anomalo -

dei livelli equispaziati.

Cosiderando poi le regole di selezione, in quel caso si avevamo solo tre righe di emissione (tripletto di Lorentz).

Per maggiori dettagli vedi studio dell’effetto Zeeman per atomo idrogenoide.

Notiamo anche che in presenza di un campo magnetico forte (dell’ordine di Z4), il termine di interazione colcampo magetico diventa maggiore del termine di interazione spin-orbita e dunque torniamo ad una situazione similea quella appena descritta per l’atomo idrogenoide, e cioè al cosiddetto effetto Zeeman ‘normale’.In quel caso si parlerà di effetto Pashen-Back.

• Effetto Zeeman anomalo

Il caso più frequente è quello in cui dobbiamo applicare le correzioni dovute al termine di interazione col campomagnetico dopo quelle dello spin-orbita.

In tal caso la correzione ai livelli energetici, che contiene il fattore di Landè, è tale per cui i livelli che ne risultanonon sono più equispaziati, come succedeva per l’effetto Zeeman normale.

In altre parole, anche nel caso in esame l’interazione col campo magnetico rimuove la degenerazione rispetto a Jz,ma a differenza dell’effetto Zeeman normale, viene rimossa in maniera diversa per ciascuno dei livelli.

Questo si vede dal fatto che il fattore di Landé è una funzione di J, di L e di S.

Riguardo poi alle righe di emissione, l’effetto Zeeman anomalo produce dei multipletti di righe, anzicché il triplettodi Lorentz.

Per illustrare l’effetto Zeeman anomalo, studieremo l’esempio dell’atomo di Sodio.

Riepilogo sui livelli energetici

Il sodio è un metallo alcalino, e come tutti i metalli alcalini ha un solo elettrone nella shell più esterna (elettroneottico).In particolare, nello stato fondamentale, quest’unico elettrone sta nella sottoshell 3s, che è due volte degenere.

Possiamo poi considerare degli stati eccitati del sodio nei quali questo elettrone si trova nella sottoshell 3p, la cui

degenerazione è 2(2@1+1) = 6.

Sappiamo che per un Hamiltoniana con potenziale coulombiano tutti gli stati di entrambe le sottoshell avrebbero lastessa energia (vedi).

Dunque in quel caso è tutta la shell che ha un unico livello energetico 2@32=18 volte degenere (vedi).

L’elettrone ottico dei metalli alcalini risente di un potenziale che è quello coulombiano del nucleo, ma schermatodagli elettroni interni, e quindi globalmente è un potenziale non centrale.Lo si divide in un potenziale centrale, ma non coulombiano (che si trova con i metodi di Thomas-Fermi o diHartree-Fock), e una parte non sferica, detta interazione elettrostatica residua.

Il fatto che il potenziale centrale sia non coulombiano risolve la degenerazione rispetto a l.

6- effetto Zeeman anomalo -

L’interazione elettrostatica residua risolve ulteriormente la degenerazione.Bisogna prima passare dalla rappresentazione delle configuarazioni alla rappresentazione dei termini (vedi).I termini sono un modo per rappresentare gli stati che tiene conto dei numeri quantici dei momenti angolari totali(orbitale e di spin).L’interazione elettrostatica residua separa in energia i termini con diverso valore di L ed S. Rimane comunque unacerta degenerazione.Notiamo che, riguardo all’atomo di sodio, poiché consideriamo solo l’elettrone ottico, i momenti angolari totalicoincidono con quelli di singola particella.Infatti poiché sappiamo che la correzione elettrostatica residua è nulla sulle sottoshell complete, teniamo contosolo delle sottoshell incomplete, e dunque ‘totale’ si riferisce solo alle sottoshell incomplete.

Successivamente, applicando la perturbazione dovuta all’interazione di spin-orbita, otteniamo un’ulteriore

separazione in energia, in base al valore del modulo quadro del momento angolare totale J P.

- Livelli ‘dovuti’ all’interazione elettrostatica residua -

La sottoshell 3s è cartterizzata dal valore L=0, mentre lo spin vale S=1/2, e quindi la molteplicità di spin è 2.Notiamo che c’è un unico elettrone, e quindi i momenti angolari totali, orbitale e di spin, coincidono con quelli dellasingola particella.Allora il termine corrispondente è uno solo, e cioè 2P.

La degenerazione di questo livello è 3 (orbita) @ 2 (spin) = 6.

La sottoshell 3p è cartterizzata dal valore L=1, mentre lo spin vale S=1/2, e quindi la molteplicità di spin è 2.

Allora il termine corrispondente è uno solo, e cioè 2S.

La degenerazione di questo livello è 1 (orbita) @ 2 (spin) = 2

Dunque l’interazione elettrostatica residua ‘produce’ un solo livello energetico per ognuna delle sottoshell.

Riguardo alla degenerazione, se tenessimo conto anche della terza sottoshell, la 3d, che completa la shell, la quale

ha L=2, e quindi degenerazione 2(2@2+1)=10, avremmo una degenerazione totale di 2+6+10=18, coerente colconto precedente.

- Livelli dovuti all’interazione spin-orbita -

L’interazione di spin-orbita separa ulteriormente in energia i termini, assegnando energie diverse ai termini chehanno diversi valori del momento angolare totale, somma di quello angolare e di spin.

Per il termine 2S si ha L=0, S=1/2, e poiché il teorema di addizione dei momenti angolari dice che il (moduloquadro del) momento angolare totale va da |L-S| = |0-1/2| = 1/2 a L+S = 0+1/2 = 1/2, c’è un solo valorepossibile per J, e cioè J = 1/2.

Invece, per il termine 2P si ha L=1, S=1/2, quindi J va da |L-S| = |1-1/2| = 1/2 a L+S = 1+1/2 = 3/2,e dunque si hanno due distinti livelli energetici.

7- effetto Zeeman anomalo -

Ordinamento

Riguardo ai due livelli superiori, che originano dalla sottoshell 3p, poiché la sottoshell è meno che semipiena, illivello con J=1/2 sarà più basso in energia di quello con J=3/2 (vedi qui e qui).

Da notare inoltre che il fatto che il termine 2S è più basso in energia del 2P non è in contraddizione con la secondaregola di Hund (vedi), in quanto sono termini che hanno origine da due sottoshell diverse (il prof. dice‘configurazioni’ anzicché ‘sottoshell’).

In definitiva, tenuto conto dell’interazione elettrostatica residua e di spin-orbita, ecco uno schema dei livellienergetici :

2P3/2

2P1/2

2S1/2

{3p

3s

I due livelli superiori ‘provengono’ dalla sottoshell 3p, mentre quello inferiore ‘proviene’ dalla sottoshell 3s.

Spettro di emissione

Se l’elettrone ottico viene eccitato dalla sottoshell 3s alla sottoshell 3p, può trovarsi in stati con due possibilienergie.Allora diseccitandosi può emettere due diverse frequenze, corrispondenti al famoso ‘doppietto del sodio’.

Per la cronaca le due lunghezze d’onda sono λ1=5890 Å e λ2=5895.9 Å.

Effetto Zeeman per il sodio

Vediamo che succede a questi livelli energetici, e quindi come cambia lo spettro di emissione, se applichiamoall’atomo un campo magnetico uniforme.

La correzione dovuta al termine di interazione col campo magnetico, calcolata in precedenza (vedi), è

B µ B M

J g

L S J

dove gL S J è detto ‘fattore di Landé’, e vale

g L S J

= 1 + J J + 1 − L L + 1 + S S + 1 2 J J + 1

.

Calcoliamo il valore del fattore di Landé per i vari livelli :

• Termine 2P3/2

8- effetto Zeeman anomalo -

si ha L=1, S=1/2 e J=3/2, e dunque

g 1

1

2

3

2

= 1 +

3 2

3 2

+ 1 − 1 1 + 1 + 1 2

1 2

+ 1

2 3 2

3 2

+ 1 =

= 1 +

154

− 2 + 3 4

2 154

= 1 + 104

4 30

= 1 + 1 3

= 4 3

.

Ma la correzione dipende anche da MJ che, per questo termine, essendo J=3/2, può assumere i valori

MJ = {3/2, 1/2, -1/2, -3/2}.

Dunque, l’unico livello energetico del termine 2P3/2 viene splittato dal campo magnetico in quattro livellicorrispondenti alle seguenti quattro correzioni

2 µB B

2/3 µB B

-2/3 µB B

-2 µB B.

• Termine 2P1/2

Per questo termine si ha L=1, S=1/2 e J=1/2, e dunque

g 1

1

2

1

2

= 1 +

1 2

1 2

+ 1 − 1 1 + 1 + 1 2

1 2

+ 1

2 1 2

1 2

+ 1 =

= 1 +

3 4

− 2 + 3 4

2 3 4

= 1 − 2 4

4 6

= 1 − 1 3

= 2 3

.

Inoltre, essendo J=1/2, MJ può assumere i valori

9- effetto Zeeman anomalo -

MJ = {1/2, -1/2}.

Dunque, l’unico livello energetico del termine 2P3/2 viene splittato dal campo magnetico in due livellicorrispondenti alle seguenti quattro correzioni

1/3 µB B

-1/3 µB B.

• Termine 2S1/2

Per questo termine si ha L=0, S=1/2 e J=1/2, e dunque

g 1 0

1

2

= 1 +

1 2

1 2

+ 1 − 0 0 + 1 + 1 2

1 2

+ 1

2 1 2

1 2

+ 1 =

= 1 +

3 4

+ 3 4

2 3 4

= 1 + 3 2

2 3

= 1 + 1 = 2 .

Inoltre, essendo J=1/2, MJ può assumere i valori

MJ = {1/2, -1/2}.

Dunque, l’unico livello energetico del termine 2P3/2 viene splittato dal campo magnetico in due livellicorrispondenti alle seguenti quattro correzioni

µB B

- µB B.Dunque possiamo tracciare uno schema dei livelli energetici :

10- effetto Zeeman anomalo -

2P3/2

2P1/2

2S1/2

{{

6/3

2/3

-2/3

-6/3

1/3

-1/3

{ 1-1

correzioni

.

Sulla destra sono segnate le correzioni, in unità µΒ B.

Notare che la separazione dei livelli è pari a g µΒ B, in quanto MJ varia di un’unità alla volta.

Sussiste la relazione

ω L =

B µ B

S

dove ωL è detta frequenza di Larmor.

Spettro di emissione

Le regole di selezione, nell’approssimazione di dipolo elettrico, permettono solo le transizioni per le quali

∆S=0 ; ∆J=±1 ; ∆MJ=0, ±1

(?) riguardo all’ultima sembra esserci una contraddizione con quanto studiato in seguito (vedi regole di selezione di dipoloelettrico) ma forse la cosa si risolve considerando il caso di polarizzazione circolare .

Lo Spin è 1/2 per tutti i livelli, e per le transizioni tra i livelli P e i livelli S si ha ∆J=1.

Ma ci sono due di queste transizioni che non soddisfano l’ultima regola, quella rispetto a MJ, e quindi non sonopermesse.Per vedere quali, riportiamo lo schema dei livelli indicando accanto a ciascuno il valore di MJ :

11- effetto Zeeman anomalo -

2P3/2

2P1/2

2S1/2

{{

3/2

1/2

-1/2

-3/2

1/2

-1/2

{

MJ

1/2

-1/2

4/3 S ωL

2/3 S ωL

2 S ωL

.

Vediamo che sono proibite le transizioni tra il livello più alto del termine 2P3/2 e quello più basso del termine2S1/2 e tra il livello più basso del termine 2P3/2 e quello più alto del termine 2S1/2, perche avrebbero un ∆MJrispettivamente di -2 e 2.

In basso sono riportate le righe spettrali.

Poiché, come notato prima, e come riportato nello schema, la separazione dei livelli è diversa a seconda del termineda cui originano, le frequenze emesse da ogni transizione sono diverse.In particolare l’effetto Zeeman anomalo consiste per il sodio nello splittare la prima riga del doppietto in quattro, ela seconda in sei.

Commento sull’effetto Zeeman anomalo

L’effetto Zeeman anomalo è una evidenza sperimentale dell’esistenza dello spin.Infatti se lo spin fosse nullo, come osservato prima, il fattore di Landé varrebbe 1, coincidendo col fattoregiromagnetico del momento angolare orbitale.In tal caso si osserverebbe l’effetto Zeeman normale, ossia il tripletto di Lorentz.

• Effetto Paschen - Back

Se applichiamo un campo magnetico abbastanza forte, il termine di interazione col campo magnetico diventa piùgrande del termine di interazione spin-orbita.

In questo caso si ‘riottiene’ l’effetto Zeeman ‘normale’.Infatti, applichiamo prima le correzioni dovute al termine di interazione col campo magnetico, ottenendo lo schemadei livelli dell’effetto Zeeman normale.Quando successivamente applichiamo le correzioni dovute allo spin-orbita, queste, essendo uguali per tutti gli

12- effetto Zeeman anomalo -

elementi di uno stesso termine, non alterano lo schema.

• Effetto di ‘campo intermedio’

Quando i due termini di interazione di spin-orbita e di interazione col campo magnetico sono dello stesso ordine digrandezza, abbiamo una situazione intermedia tra l’effetto Zeeman anomalo e il caso di campo magnetico forte.

In questo caso intermedio non è possibile valutare la correzione dovuta ad un termine, e sugli autostati ‘corretti’,cambiando rappresentazione, quelle dovuta all’altro.

Occorre valutare contemporaneamente la perturbazione di entrambi i termini.

Poiché, come abbiamo visto studiandoli, i due termini di interazione in questione non ammettono un’autobasecomune, dovremo utilizzare la teoria delle pertrbazioni per stati degeneri.

Per semplicità tratteremo solo i metalli alcalini, modellizzandoli come un solo elettrone che risente di un potenzialecentrale medio.

L’Hamiltoniana di un tale sistema è dunque costituita da una parte ‘imperturbata’ :

H 0 = P 2

2 m − e V r

e da una perturbazione formata dai due termini di interazione di spin-orbita, e di interazione col campo magnetico :

W = W1 + W

2 = e S 2

2 m2 c2 1

r d − V r

d r + B µ

B L

z + 2 S

z .

A questo punto dobbiamo scegliere in che base rappresentare gli stati, cioè quale delle due perturbazioni renderediagonale.

Scegliamo l’autobase comune a L2 S2 Lz Sz.

Se fissiamo L e S (termini) gli stati sono caratterizzati dagli autovalori di Lz e Sz, e cioè ML e MS :

L S ML M

S .

Poiché stiamo trattando un sistema ad un solo elettrone, lo spin totale è sempre 1/2, e dunque la molteplicità dispin è sempre 2 x 1/2 +1 = 2.

Fissato L, per ogni valore di ML si hanno due possibili stati, caratterizzati dai due valori MS=±1/2 :

L S ML M

S = 1

2

L S ML M

S = − 1

2 .

13- effetto Zeeman anomalo -

Siccome però dobbiamo trattare anche lo spin-orbita, che è diagonale su L2 S2 J2 Jz, ci conviene esprimere MLin funzione di MJ, utilizzando la relazione

M J = M

L + M

S ⇒ M

L = M

J − M

S ,

e quindi i due stati di prima (i due stati di ogni termine, caratterizzati dallo stesso valo re di ML) lirappresenteremo così :

L , S, MJ

− 1 2

, MS

= 1 2

L , S, MJ

+ 1 2

, MS

= − 1 2

.

Ripetiamo che questi sono i due stati corrispondenti alla sola degenerazione di spin, e cioè quelli caratterizzati dallostesso valore di L, di S, e di ML. Ma fissare ML equivale a fissare MJ, poiché fissato S i due sono ‘legatiunivocamente’.

Notiamo che tramite i coefficienti di Clabsh-Gordan potremmo passare da questi autovettori agli autovettori di J2 eJz.Ma in questo studio siamo interessati solo agli autovalori, e non all’espressione degli autovettori.

Vediamo adesso come sono rappresentati, in questo sottospazio a due dimensioni, i due termini di interazione.

Il termine di interazione col campo magnetico è diagonale, perché contiene Lz e Sz.

Invece il termine di spin-orbita, contenendo il prodotto sclare, e quindi anche Lx Ly Sx e Sy non è diagonale.

Calcoliamo esplicitamente le rappresentazioni dei due termini, calcolando per ognuno i quattro elementi di matrice.

Per il termine di interazione col campo magnetico è semplice, perché, essendo funzione solo di Lz e Sz, glielementi di base sono suoi autovettori, e quindi, essendo ortonormali, si ha la seguente rappresentazione :

B µ B

M L + 2 M

S

0

0

M L + 2 M

S

=

= B µ B

M J − M

S + 2 M

S

0

0

M J − M

S + 2 M

S

=

= B µ B

M J − 1

2 + 2 1

2

0

0

M J + 1

2 + 2 − 1

2

=

14- effetto Zeeman anomalo -

= B µ B M

J + 1

2

0

0

M J − 1

2

.

Vediamo ora il termine di spin-orbita.

Cominciamo con lo sviluppare il prodotto scalare :

L P A S P = 1

2 L − S + + S− L + + L

z S

z .

Vediamo l’azione sui due vettori di base.

Se questo operatore agisce sul primo vettore, che indichiamo con M J − 1

2 , 1

2 , la prima coppia di operatori

gradino, che contiene S+, lo annichila, perché lo spin è massimo.Per l’azione della seconda coppia di operatori gradino bisogna ricordare il valore della costante di normalizzazionerelativa all’azione dell’operatore L+, che è

L L + 1 − M L

M L + 1

(vedi) con la convenzione di misurare i momenti angolari in unità S.

Nel nostro caso possiamo riscrivere questa costante come

L L + 1 − M J − 1

2 M

J + 1

2 = L 2 + L − M

J 2 − 1

2

2 = L 2 + 1

2

2 − M J

2

L’azione del terzo termine è banale, in quanto il vettore ne è un autovettore.

In definitiva si ha

L P A S P M J − 1

2 , 1

2 = 0 + 1

2 L L + 1 M

L M

L + 1 M

J + 1

2 , − 1

2 +

+ M L M

S M

J − 1

2 , 1

2 =

= 1

2 L 2 + 1

2

2 − M J

2 M J + 1

2 , − 1

2 + 1

2 M

J − 1

2 M

J − 1

2 , 1

2 .

Sul secondo vettore si ha che il primo prodotto di operatori gradino ‘genera’ una costante di normalizzazione pari a

L L + 1 − M L

M L − 1

che nel nostro caso assume lo stesso valore precedente

15- effetto Zeeman anomalo -

L L + 1 − M J + 1

2 M

J − 1

2 = L 2 + L − M

J 2 − 1

2

2 = L 2 + 1

2

2 − M J

2

Il secondo prodotto di operatori gradino annulla il vettore, mentre il terzo ‘è diagonale’.

In definitiva si ha

L P A S P M J + 1

2 , − 1

2 = 1

2 L 2 + 1

2

2 − M J

2 M J − 1

2 , + 1

2 − 1

2 M

J + 1

2 M

J + 1

2 , − 1

2 .

Allora, posto

K = e S 2

2 m2 c2 I d − V r

d r r R

n l r dr

dove Rn l(r) è la parte radiale degli autostati, la matrice rappresentativa del termine di interazione col campomagnetico, tenendo conto dell’ortonormalità dei vettori di base, è :

K 2

M

J − 1

2

L + 1

2

2 − M J

2

L + 1

2

2 − M J

2

− M J − 1

2

.

A questo punto, avendo ottenuto la rappresentazione delle due perturbazioni, possiamo applicare la teoria delleperturbazioni per stati degeneri.

Controllo sull’indipendenza dei risultati dalla rappresentazione

Prima (o invece ?) di proseguire col calcolo delle correzioni, facciamo a questo punto un controllo per vedere se ilrisultato ottenuto per la perturbazione di spin-orbita è o meno coerente con quello ottenuti studiandola nella basein cui è diagonale, e cioè l’autobase di L2 S2 J2 e Jz.

In altre parole diagonalizziamo la matrice che rappresenta il solo termine di spin-orbita nella base che abbiamousato questa volta (che non è la base che abbiamo usato per studiarlo in precedenza, in cui questo termine èdiagonale) :

M J − 1

2

L + 1

2

2 − M J

2

L + 1

2

2 − M J

2

− M J − 1

2

.

L’equazione agli autovalori (equazione secolare) è :

M J − 1

2 − x − M

J − 1

2 − x − L + 1

2

2 − M J

2 L + 1

2

2 − M J

2 = 0

16- effetto Zeeman anomalo -

− M J − 1

2 + x M

J + 1

2 + x − L + 1

2

2 − M J

2 = 0

M J 2 − 1

2 + x 2 + L + 1

2

2 − M J 2 = 0

1

4 + x + x 2 − L + 1

2

2 = 0

x = − 1 ± 1 − 4 1

4 − L + 1

2

2

2

= − 1 ± 4 L + 1

2

2

2

= _ − 1

2 + L + 1

2 = L

` − 1

2 − L − 1

2 = − L + 1

.

Dunque, se ci mettiamo nell’autobase di questa matrice, il termine di spin-orbita è diagonale, e le correzioni sonoproprio questi due autovalori.

Sappiamo che l’interazione di spin-orbita non può dipendere dalla componente z del momento angolare, e infattiqueste correzioni sono indipendenti da MJ.

Andiamo a confrontare questi risultati con quelli ottenuti a suo tempo studiando lo spin-orbita nella base L2 S2

J2 Jz, in cui è diagonale (vedi).

In quel caso abbiamo ottenuto per la correzione l’espressione :

K 2

J J + 1 − L L + 1 − S S + 1 .

Nel nostro caso lo spin vale S=1/2, e dunque il teorema di addizione dei momenti angolare dice che J = ± 1/2.

Allora, se scegliamo il segno + la correzione è :

K 2

L + 1

2 L + 3

2 − L L + 1 − 3

4 =

K 2

L 2 + 1

2 L + 3

4 L + 3

4 − L 2 − L − 3

4 =

K 2

L

mentre se scegliamo il segno - si ha

K 2

L − 1

2 L + 1

2 − L L + 1 − 3

4 =

K 2

L 2 + 1

2 L − 1

2 L − 1

4 − L 2 − L − 3

4 = −

K 2

L + 1 .

17- effetto Zeeman anomalo -

Dunque riotteniamo esattamente gli stessi due risultati, come deve essere, indipendentemente dallarappresentazione.

Notiamo che, secondo quanto visto a proposito dell’ordinamento in energia dei livelli ottenuti dalla perturbazionedi spin-orbita (vedi e vedi).Infatti la sottoshell è meno che semipiena, il multipletto deve essere ‘normale’ e cioè ordinato in energia per Jcrescenti.E infatti il livello corrispondente al J più basso (L-1/2) è più basso in energia.

Caso generale : campo magnetico di intensità qualunque

Avendo trattato separatamente i tre casi in cui l’interazione spin-orbita è maggiore dell’interazione col campomagnetico (effetto Zeeman anomalo), quello in cui l’interazione col campo magnetico è maggiore dell’interazionespin-orbita (effetto Paschen Back) e il caso intermedio, possiamo adesso trattare un caso generale, in cui il campomagnetico ha un’intensità qualunque.Inoltre vogliamo vedere come i due casi limite si riottengano a partire da questo caso generale.

Consideriamo dunque complessivamente la perturbazione, cioè la somma dei due termini di interazione di spin-orbita e di interazione col campo elettrico :

K 2

M J − 1

2

L + 1 2

2

− M J

2

L + 1 2

2

− M J

2

− M J − 1

2

+ B µ B

M J + 1

2

0

0

M J − 1

2

=

=

K 2

M J − 1

2 + B µ

B M

J + 1

2

K 2

L + 1 2

2

− M J

2

K 2

L + 1 2

2

− M J

2

− K 2

M J + 1

2 + B µ

B M

J − 1

2

.

A questo punto applichiamo la teoria delle perturbazioni ‘per stati degeneri’ (vedi, in particolare vedi il commentoalla fine del caso ‘autovalori degeneri’, dialogo con Alessandro).

Dunque si tratta di trovare i due autovalori di questa matrice.L’equazione agli autovalori è :

K 2

M J − 1

2 + B µ B M

J + 1

2 − x − K

2 M

J + 1

2 + B µ B M

J − 1

2 − x −

K 2

4 L + 1

2

2 − M J 2 = 0

− K 2

4 M

J 2 − 1

4 + K

2 B µ B M

J − 1

2

2

− K 2

M J − 1

2 x − B µ B

K 2

M J + 1

2

2

+

+ B 2 µ B 2 M

J 2 − 1

4 − B µ B M

J + 1

2 x + K

2 M

J + 1

2 x − B µ B M

J − 1

2 x + x2 −

18- effetto Zeeman anomalo -

− K 2

4 L + 1

2

2 − M J 2 = 0

raggruppando e riordinando

x 2 + − K 2

M J − 1

2 − B µ B M

J + 1

2 + K

2 M

J + 1

2 − B µ B M

J − 1

2 x −

− K 2

4 M

J 2 − 1

4 + K

2 B µ B M

J − 1

2

2

− B µ B

K 2

M J + 1

2

2

− K 2

4 L + 1

2

2 − M J 2 = 0

x 2 + − K 2

+ B µ B M J − 1

2 + K

2 − B µ B M

J + 1

2 x −

[…]

Le due soluzioni sono

− K 4

+ B µ B M

J ± 1

2 K 2 L + 1

2

2

+ B µ B M

J K + B2 µ

B 2

Che rappresentano dunque le due correzioni.

Notare che L può variare, e questo rimuove la degenerazione dei due livelli.

Ritrovare i due casi limite

Vogliamo verificare che questo caso generale restituisce i risultati dei due casi limite (effetto Zeeman anomalo eeffetto Paschen-Back) se uno dei due termini della perturbazione è trascurabile.

Se il termine di interazione col campo magnetico è trascurabile rispetto allo spin-orbita, dovremmo ritrovarel’effetto Zeeman anomalo.Ed infatti in questo caso si ha

B µΒ << K

e quindi nell’espressione delle correzioni possiamo trascurare il terzo termine sotto la radice, usando l’espressioneapprossimata

− K 4

+ B µ B MJ ± 1 2

K 2 L + 1 2

2

+ B µ B M

J K

dopodiché divido e moltiplico tutto il radicando per il primo termine, e poi lo porto fuori della radice :

19- effetto Zeeman anomalo -

− K

4 + B µ B MJ ± 1

2 K 2 L + 1

2

2 1 + B µ

B M

J K

K 2 L + 1

2

2

− K

4 + B µ B MJ ± K

2 L + 1

2 1 +

B µ B M

J

K L + 1

2

2 .

A questo punto sviluppiamo in serie di Tailor intorno allo zero la radice rispetto aB µΒ / K (che è piccolo).

Posto

ε / B µ

B

K

si ha :

1 + M

J

L + 1

2

2 ε

1 / 2

ï 1 + M

J

L + 1

2

2 ε

1 / 2

ε = 0

+ 1

2 1 +

2 MJ

L + 1

2

2 ε

− 1 / 2

M

J

L + 1

2

2

ε = 0

ε =

= 1 + M

J

L + 1

2

2 ε

e dunque la correzione è

δ E = − K

4 + B µ B MJ ± K

2 L + 1

2 1 +

B µ B M

J

K L + 1

2

2 =

= − K 4

+ B µ B M

J ± K

2 L + 1

2 ±

B µ B M

J

2 L + 1

2

.

Sviluppiamo nei due casi :

δ E + = − K 4

+ B µ B M

J + K

2 L + K

4 +

B µ B M

J

2 L + 1 =

= K 2

L + B µ B M

J 1 + 1

2 L + 1 =

= K 2

L + B µ B M

J 2 L + 2 2 L + 1

.

20- effetto Zeeman anomalo -

δ E − = − K 4

+ B µ B M

J − K

2 L − K

4 −

B µ B M

J

2 L + 1 =

= − K 2

L + 1 + B µ B M

J 1 − 1

2 L + 1 =

= − K 2

L + 1 + B µ B M

J 2 L

2 L + 1 .

Ricordiamo adesso l’espressione della correzione per l’effetto Zeeman anomalo (vedi) :

B µ B M

J 1 + J J + 1 − L L + 1 + S S + 1

2 J J + 1 .

Calcolando il fattore di Landé nei due casi in questione, e cioè per S=±1/2 e dunque J=L±1/2 si ha

g 1

2 L L − 1

2

= 1 + L − 1

2 L + 1

2 − L L + 1 + 3

4

2 L − 1

2 L + 1

2

= 1 + L 2 − 1

4 − L 2 − L + 3

4

L − 1

2 2 L + 1

=

= 1 − L − 1

2

L − 1

2 2 L + 1

= 1 − 1 2 L + 1

= 2 L

2 L + 1

e dunque la correzione è proprio

δ E − = B µ B M

J 2 L

2 L + 1 .

Analogamente, anche per J=L+1/2 si ottiene lo stesso risultato :

δ E + = B µ B M

J 2 L + 2

2 L + 1 .

Quindi in entrambi i casi, nel limite in cui l’interazione col campo magnetico è molto più piccola dell’interazione dispin orbita, è possibile considerare prima la perturbazione di spin-orbita, agente sugli stati corretti dalla solainterazione elettrostatica residua, e dopo la perturbazione dovuta al campo magnetico, riottenendo i risultatidell’effetto Zeeman anomalo.

Vediamo adesso l’altro caso limite, e cioè il caso in cui l’interazione col campo magnetico è molto minore di quelladi spin-orbita, in cui si dovrebbe riottenere l’effetto Paschen-Back.

Sebbene sia possibile fare uno sviluppo in serie, come nell’altro caso limite, i conti sono un pò complicati.

21- effetto Zeeman anomalo -

Allora possiamo trattare questo caso limite escludendo brutalmente il termine di interazione di spin-orbita (che sefatta agire prima corregge i livelli mantenendone la struttura.

Dunque rimane come unico termine perturbativo quello di interazione col campo magnetico :

B µ B L

z + 2 S

z .

Infine, vediamo uno schema dei livelli :

npJ=3/2

J=1/2

K/2

-K

3/21/2-1/2-3/2

1/2-1/2

+2

+1

0

+2

-1

spin-orbita campomagnetico

debole

campomagnetico

forte .

I numeri sulla destra dei livelli indicano le correzioni, in unità K, rispetto al livello np iniziale.

In particolare per gli ultimi livelli, i numeri sulla destra sono i valori di ML+2MS.Come succedeva in precedenza, lo stato centrale, con correzione nulla, è due volte degenere.Notiamo che quando abbiamo studiato in precedenza l’effetto Paschen-Back, abbiamo considerato sia gli stati s chegli stati p, mentre adesso stiamo considerando solo stati p.

Gli stati ottenuti invece dal campo magnetico piccolo non sono degeneri, cioè il campo magnetico piccolo rimuovecompletamente la degenerazione (effetto Zeeman anomalo).

E’ istruttivo ricavare un grafico dell’andamento della perturbazione in funzione di B.