Capitolo 7 Integrali doppi -...

Capitolo 7

Integrali doppi

In questo capitolo studieremo gli integrali per funzioni di piu variabili: piu precisamente cioccuperemo degli integrali di funzioni di due variabili (dunque integrali doppi), ma piccolevarianti dei concetti che verranno introdotti permettono di studiare gli integrali di funzionidi tre e piu variabili.

7.1 Motivazioni

Come per il caso degli integrali di funzioni di una variabile, il procedimento di integrazioneper funzioni di due variabili nasce in modo naturale nelle applicazioni.

1. Il calcolo di un volume Consideriamo una funzione f(x, y) continua, positiva edefinita su un dominio rettangolare D = [a, b] × [c, d]. Per calcolare il volume dellazona determinata dal grafico di f e dal piano xy e con base D, si procede in manieraanaloga a quanto visto per il problema dell’area per funzioni di una variabile: sisuddividono [a, b] e [c, d] tramite due suddivisione T e S

T = {a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b}

e

S = {c = s0 < s1 < · · · < sm+1 = d},

167

168 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

a t1 t2 b x

y

d

s3

s2

s1

c

si sceglie un valore ξi,j nel rettangolo [ti, ti+1] × [sj, sj+1] e si ottiene

V ∼ V =∑

i,j

f(ξi,j)(ti+1 − ti)(sj+1 − sj).

Raffinando le suddivisioni T e S, V sara un’approssimazione sempre migliore di V .

2. Calcolo della massa di una lastra Supponiamo di avere una lastra rettangolareD = [a, b] × [c, d], e supponiamo che ρ(x, y) sia la densita di massa per unita disuperficie nel punto (x, y): cio significa che un piccolo rettangolo di lati ε e η vicinoa (x, y) ha una massa

mε,η ∼ ρ(x, y)εη.

La funzione ρ(x, y) non e supposta continua: in questo modo possiamo tenere in contoil caso interessante dei corpi compositi, cioe composti di diversi materiali. Analoga-mente a quanto visto nel caso di una variabile, date due suddivisioni T e S di [a, b]e [c, d], la massa m della lastra e approssimata da

M ∼ M =∑

i,j

ρ(ξi,j)(ti+1 − ti)(sj+1 − sj)

dove ξi,j appartiene al rettangolo [ti, ti+i]× [sj , sj+1]. Raffinando T e S, abbiamo cheM e un’approssimazione sempre migliore di M .

3. Calcolo della superficie di una regione piana Il procedimento precedente puo es-sere utilizzato anche per calcolare la superficie di regioni curve. L’idea e questa: se Ee una regione piana limitata con bordo curvilineo, eD e un rettangolo che la contiene,possiamo considerare la funzione 1E(x, y) definita da

1E(x, y) =

{

1 se (x, y) ∈ E

0 se (x, y) ∈ D \ E.

La regione determinata dal grafico di 1E ed il piano xy e un cilindro di base E edaltezza costante pari a 1: dunque il suo volume e pari numericamente all’area di E.

7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE 169

x

y

z

E

Potendosi calcolare il volume tramite il procedimento di approssimazione visto prima,concludiamo che anche l’area di E puo approssimarsi in modo simile.

7.2 Definizione di integrale

Motivati dai discorsi precedenti, possiamo formalizzare, in perfetta analogia con il ca-so monodimensionale, il concetto di integrale doppio per funzioni limitate definite surettangoli.

1. Sia D = [a, b] × [c, d], e sia f : D → R una funzione limitata. Date due suddivisioniT = {a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b} e S = {c = s0 < s1 < · · · < sm+1 = d} di[a, b]e [c, d] rispettivamente, si dicono somma inferiore e somma superiore di frispetto alla griglia T × S le quantita

Σ′(f, T × S) :=∑

i,j

(

inf[ti,ti+1]×[sj ,sj+1]

f

)

(ti+1 − ti)(sj+1 − sj)

e

Σ′′(f, T × S) :=∑

i,j

(

sup[ti,ti+1]×[sj,sj+1]

f

)

(ti+1 − ti)(sj+1 − sj)

2. Diciamo integrale inferiore ed integrale superiore di f i valori

I ′(f) = supT,S

Σ′(f, T × S)

e

I ′′(f) = infT,S

Σ′′(f, T × S).

3. La definizione di integrabilita e di integrale doppio e la seguente.


Definizione 7.1 (Funzioni integrabili e integrale doppio). Sia D = [a, b]×[c, d].Diciamo che una funzione limitata f : D → R e integrabile secondo Riemann seI ′(f) = I ′′(f). Tale valore si indica con

∫∫

D

f(x, y) dxdy o

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy,

e si dice l’integrale doppio di f su D.

Come nel caso unidimensionale si ha la seguente condizione d’integrabilita .

Proposizione 7.2 (C.n.s. per l’integrabilita ). Condizione necessaria e sufficien-te affinche una funzione limitata f : [a, b]×[c, d] → R sia integrabile secondo Riemanne che per ogni ε > 0 esistano una suddivisione T di [a, b] ed una suddivisione S di[c, d] tali che

Σ′′(f, T × S) − Σ′(f, T × S) < ε.

Il significato geometrico della condizione precedente e il seguente: e possibile ricopri-re la superficie z = f(x, y) con (x, y) ∈ D tramite una famiglia di parallelepipediassociati ad una grigli di suddivisione di D la somma dei cui volumi e piccola apiacere.

4. La classe delle funzioni integrabili e molto ampia. Ragionando come nel caso uni-dimensionale, si vede che risultano certamente integrabili le funzioni continue.Abbiamo visto che sono interessanti anche le funzioni discontinue. Una classe chericorre nelle applicazioni e quella delle funzioni continue a tratti. La definizionedi funzione continua a tratti in un dominio bidimensionale imita quella gia vista inuna variabile. Siano A1, A2, . . . , An insiemi aperti disgiunti contenuti in D e tali che

(7.1)n⋃

j=1

Aj = D

Una funzione f : D → R si dice continua a tratti in D se esistono una famiglia diaperti A1, A2, . . . , An che soffisfa (7.1) e delle funzioni continue f1, f2, . . . , fn : D → R

tali che f = fj su ogni Aj.

7.3. I DOMINI NORMALI RISPETTO AGLI ASSI 171

Aj

Per una condizione di integrabilita per funzioni continue a tratti, rinviamo alla sezione7.4.

5. L’integrale doppio gode delle proprieta di linearita

∫∫

D

(af + bg) dxdy = a

∫∫

D

f dxdy + b

∫∫

D

g dxdy,

e di confronto, cioe se f ≤ g

∫∫

D

f dxdy ≤∫∫

D

g dxdy.

In particolare, si ha∣

∣

∣

∣

∫∫

D

f dxdy

∣

∣

∣

∣

≤∫∫

D

|f | dxdy.

7.3 I domini normali rispetto agli assi

In questa sezione introduciamo una classe di insiemi essenziali nello studio degli integralidoppi e nelle loro applicazioni.

1. Supponiamo che α, β : [a, b] → R siano due funzioni tali che

∀x ∈ [a, b] : α(x) ≤ β(x).

La regione di piano determinata da α e β puo essere descritta dalla formula

E = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}.

Si dice che E e un dominio normale rispetto all’asse delle x.


y = β(x)

x

y

a b

y = α(x)

2. Similmente, se γ, δ : [c, d] → R sono due funzioni tali che

∀y ∈ [c, d] : γ(y) ≤ δ(y),

diciamo che l’insieme

F = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, γ(y) ≤ x ≤ δ(y)}e un dominio normale rispetto all’asse delle y.

x

y

d

c

x = γ(y)

x = δ(y)

3. Un insieme nel piano puo talvolta essere visto come un dominio normale sia rispettoall’asse delle x che all’asse delle y. Ad esempio il triangolo T determinato da (0, 0),(1, 0) e (1, 1)

(1, 0)

(1, 1)y = x

7.4. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE SU UN INSIEME 173

puo essere descritto sia nella forma

T = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}

che nella forma

T = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1}.Altri domini invece non sono normali ne rispetto ad un asse, ne rispetto all’altro: adesempio questo e il caso di una corona circolare.

7.4 Integrale di una funzione f su un insieme E

Nelle applicazioni e utile poter integrare funzioni non solo su rettangoli, ma anche su in-siemi piu generali (cerchi, ellissi...). E pertanto opportuno estendere il procedimento diintegrazione su insiemi con bordi curvilinei.

1. Come abbiamo visto nella sezione delle motivazioni (parlando di area di regioni pia-ne), data una funzione integrabile f : D → R con D = [a, b] × [c, d], un modoragionevole per definire il suo integrale su un insieme E ⊆ D e quello di porre

∫∫

E

f dxdy =

∫∫

D

f1E dxdy.

x

y

z

D

E

z = f(x, y)


In questo modo, ponendo f uguale a zero fuori di E, ci si concentra solo su quantoaccade nell’insieme E. La definizione risulta ben posta se f1E e una funzione integra-bile: cio e garantito se 1E risulta integrabile, perche il prodotto di funzioni integrabilirisulta integrabile.

2. Gli insiemi tali che 1E sia integrabile si dicono insiemi misurabili secondo Rie-mann. Pertanto e ben definita l’integrazione su insiemi di questo tipo. Dall’inter-pretazione geometrica dell’integrabilita , e dalla forma particolare del grafico di 1E,si vede che l’integrabilita secondo Riemann e equivalente al fatto che il bordo di Epossa essere ricoperto mediante una famiglia finita di rettangoli la somma delle cuiaree e piccola a piacere. Cio viene sintetizzato dicendo che ∂E ha area nulla. Dun-que possiamo concludere che l’integrabilita secondo Riemann di un insiemee equivalente al fatto che il suo bordo abbia area nulla.

Sono sicuramente misurabili secondo Riemann gli insiemi normali rispettoagli assi determinati da funzioni integrabili di una variabile. Questo discendeimmediatamente dal fatto che i bordi di tali insiemi sono costituiti da due segmentie da due curve: i segmenti hanno chiaramente area nulla; le curve pure hanno areanulla perche cio discende dall’integrabilita delle due funzioni.

3. Torniamo all’integrabilita delle funzioni continue a tratti f : D → R a cui abbiamoaccennato nella Sezione 7.2: se A1, . . . , An e f1, . . . , fn sono gli insiemi aperti in D ele funzioni continue associate a f secondo la definizione di funzione continua a tratti,si ha

f =

n∑

j=1

fj1Aj+ g

7.4. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE SU UN INSIEME 175

dove g e non nulla solo su⋃nj=1 ∂Aj . Supponiamo che A1, . . . , An siano integrabili

secondo Riemann. Allora ogni funzione fj1Aje integrabile secondo Riemann, ed

essendo⋃nj=1 ∂Aj di area nulla, una verifica diretta mostra che anche g lo e . Dunque

f risulta integrabile in quanto somma di funzioni integrabili. Essendo⋃nj=1 ∂Aj di

area nulla, gli insiemi aperti A1, . . . , An formano essenzialmente una partizione di D(rimane escluso solo un insieme di area nulla). Possiamo riassumere la condizionetrovata dicendo che una funzione continua a tratti e integrabile se i bordidella partizione associata sono di area nulla. Cio accade ad esempio se ∂Aj halunghezza finita.

4. Siano D = [a, b] × [c, d], E1, E2 ⊆ D insiemi misurabili secondo Riemann, e sianof, g : D → R funzioni integrabili. Valgono le seguenti proprieta :

(a) se E1 ∩E2 = ∅∫∫

E1∪E2

f dxdy =

∫∫

E1

f dxdy +

∫∫

E2

f dxdy;

(b) se E1 ⊆ E2∫∫

E2\E1

f dxdy =

∫∫

E2

f dxdy −∫∫

E1

f dxdy;

(c) se f(x, y) ≤ g(x, y) per ogni (x, y) ∈ E,

∫∫

E

f dxdy ≤∫∫

E

g dxdy;

(d) se E ha area nulla∫∫

E

f dxdy = 0;

(e) si ha∣

∣

∣

∣

∫∫

E

f dxdy

∣

∣

∣

∣

≤∫∫

E

|f | dxdy;

(f) se E1 ∩E2 = ∅ e

h(x, y) =

f(x, y) se (x, y) ∈ E1

g(x, y) se (x, y) ∈ E2

0 se (x, y) ∈ D \ (E1 ∪ E2),

h e integrabile e

∫∫

E1∪E2

h dxdy =

∫∫

E1

f dxdy +

∫∫

E2

g dxdy.


5. Come nel caso di funzioni di una variabile, la simmetria della funzione f(x, y) puo age-volare il calcolo di un integrale doppio. Per esempio se f(x, y) e una funzione pariin x

f(−x, y) = f(x, y),

ed E e un insieme misurabile simmetrico rispetto all’asse delle y, cioe

(x0, y0) ∈ E =⇒ (−x0, y0) ∈ E

si ha∫∫

E

f(x, y) dxdy = 2

∫∫

E+

f(x, y) dxdy,

dove

E+ := {(x, y) ∈ E : x > 0}.

Geometricamente, il risultato dice semplicemente che la regione dello spazio di cuidobbiamo calcolare il volume e simmetrica rispetto al piano x = 0, per cui tale volumee semplicemente il doppio del volume della regione nel semispazio x ≥ 0.

x

y

z

E

z = f(x, y)

Similmente si ha che se f(x, y) e una funzione dispari in x, cioe

f(−x, y) = −f(x, y)

ed E e un insieme misurabile simmetrico rispetto all’asse delle y, allora si ha

∫∫

E

f(x, y) dxdy = 0.

Geometricamente, il risultato dice semplicemente che le due regioni appartenenti aisemispazi x ≥ 0 e x ≤ 0 hanno lo stesso volume ma con segno differente.

7.5. FORMULE DI RIDUZIONE 177

x

y

z

E

z = f(x, y)

Analoghe considerazioni si possono fare se f ha una particolare simmetria in y ed ildominio E e simmetrico rispetto all’asse dell x.

7.5 Formule di riduzione

Fino a questo momento non abbiamo un metodo pratico per calcolare un integrale doppioche non sia quello di applicare la definizione. Le formule di riduzione di cui ci occupiamoin questa sezione, permettono di ridurre il calcolo di un integrale doppio al calcolo di dueintegrali per funzioni di una variabile.

1. Le formule di riduzione consistono nell’integrare prima rispetto ad una variabile epoi rispetto ad un’altra.

Proposizione 7.3 (Formule di riduzione). Sia D = [a, b]× [c, d], e sia f : D → R

una funzione integrabile. Supponiamo che per ogni x ∈ [a, b] l’applicazione y →f(x, y) sia integrabile su [c, d]. Allora l’applicazione

x→∫ d

c

f(x, y) dy

e integrabile sull’intervallo [a, b] e si ha

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y) dy

)

dx.

Similmente se per ogni y ∈ [c, d] l’applicazione x → f(x, y) e integrabile su [a, b],allora l’applicazione

y →∫ b

a

f(x, y) dx

e integrabile sull’intervallo [c, d] e si ha

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y) dx

)

dy.


L’interpretazione geometrica della prima formula di riduzione e la seguente (in manie-ra analoga si ragiona per la seconda): si seziona la regione tridimensionale A sottesadalla superficie z = f(x, y) con piani del tipo x = k, ottendo una regione piana Axdi cui si calcola l’area. Il volume di A si ottiene integrando rispetto a x le aree di Axal variare di x in [a, b].

Ax

z = f(x, y)

x

y

z

Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione della prima formula di riduzione (per laseconda il ragionamento e analogo). Poiche per ogni x ∈ [a, b] l’applicazione y →f(x, y) e integrabile su [c, d], e ben definita la funzione

g(x) =

∫ d

c

f(x, y) dy.

La tesi e dimostrata se vediamo che g e integrabile e che

∫ b

a

g(x) dx =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy.

Siano T e S due suddivisioni di [a, b] e [c, d]

T = {a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b}

e

S = {c = s0 < s1 < · · · < sm+1 = d}.Notiamo che per definizione di integrale si ha

g(x) =

∫ d

c

f(x, y) dy ≥ Σ′(f(x, ·), S) =

m∑

j=0

(

infy∈[sj ,sj+1]

f(x, y)

)

(sj+1 − sj)


e dunque

infx∈[ti,ti+1]

g(x) ≥m∑

j=0

(

inf[ti,ti+1]×[sj,sj+1]

f

)

(sj+1 − sj).

Concludiamo che

Σ′(g, T ) =n∑

i=0

(

infx∈[ti,ti+1]

g(x)

)

(ti+1 − ti)

≥n∑

i=0

m∑

j=0

(

inf[ti,ti+1]×[sj ,sj+1]

f

)

(ti+1 − ti)(sj+1 − sj) = Σ′(f, T × S)

cioe che Σ′(g, T ) ≥ Σ′(f, T × S). Similmente si dimostra che

Σ′′(f, T × S) ≥ Σ′′(g, T ).

Passando al sup e all’inf sulle possibili suddivisioni T e S otteniamo le disuguaglianze

I ′(f) ≤ I ′(g) e I ′′(g) ≤ I ′′(f).

Poiche f e integrabile su D, si ha

I ′(f) = I ′′(f) =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy

per cui deduciamo

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy ≤ I ′(g) ≤ I ′′(g) ≤∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy.

Abbiamo dunque che g e integrabile e che

∫ b

a

g(x) dx =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dxdy

che e la tesi.

Vediamo un esempio di applicazione delle formula di riduzione.

Esempio 7.4. Se D = [0, 1] × [0, 2], si ha

∫∫

D

xy dxdy =

∫ 1

0

∫ 2

0

xy dxdy =

∫ 1

0

(∫ 2

0

xy dy

)

dx

=

∫ 1

0

[

xy2

2

]2

0

dx =

∫ 1

0

2x dx =[

x2]1

0= 1.


2. Le formule di riduzione su un rettangolo forniscono le formule di riduzione perdomini normali rispetto agli assi. Se ad esempio E e un dominio normale rispettoall’asse delle x determinato da due funzioni integrabili α(x) e β(x) con a ≤ x ≤ b, siha che l’integrale di una funzione integrabile f su E e dato da

∫∫

E

f(x, y) dxdy =

∫ b

a

(

∫ β(x)

α(x)

f(x, y) dy

)

dx.

Similmente se F ⊆ D e un dominio normale rispetto all’asse delle y individuato dallefunzioni integrabili γ, δ : [c, d] → R, si ha

∫∫

F

f(x, y) dxdy =

∫ d

c

(

∫ δ(y)

γ(y)

f(x, y) dx

)

dy.

x

yy = β(x)

a b

y = α(x)

x

y

d

c

x = γ(y)

x = δ(y)

Tali formule si deducono immediatamente dalle formule di riduzione nel rettangolo.Ad esempio, per quanto riguarda i domini normali rispetto all’asse x, basta notare chela sezione Ax della zona determinata da f con base E e semplicemente la zona sottoil grafico di f(x, y) sull’intervallo [α(x), β(x)]: dunque l’area di Ax e semplicemente

∫ β(x)

α(x)

f(x, y) dy

e quindi l’integrale doppio si ottiene integrando tale quantita rispetto a x ∈ [a, b].

xy

z

α(x)

β(x)x = b

x = a

Ax

z = f(x, y)


Esempio 7.5. Calcoliamo l’integrale doppio

∫∫

E

(x+ y) dxdy

dove E = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}.

x

y

1

y = x2

0

Si ha

∫∫

E

(x+ y) dxdy =

∫ 1

0

(

∫ x2

0

(x+ y) dy

)

dx =

∫ 1

0

[

xy +y2

2

]x2

0

dx

=

∫ 1

0

(

x3 +x4

2

)

dx =

[

x4

4+x5

10

]1

0

=1

4+

1

10=

7

20.

3. Notiamo che tramite le formule di riduzione possiamo riottenere un risultato gia vistostudiando gli integrali di una variabile: precisamente l’area del dominio normalerispetto all’asse x dato da

E = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)}

y = f(x)

x

y

a b

y = g(x)


e data chiaramente dalla differenza delle aree determinate dai grafici di f e g, cioe∫ b

a

[f(x) − g(x)] dx.

Tramite gli integrali doppi e le formule di riduzione si ha

Area(E) =

∫∫

E

dxdy =

∫ b

a

(

∫ f(x)

g(x)

dy

)

=

∫ b

a

[f(x) − g(x)] dx

e si ottiene precisamente la stessa formula.

7.6 Formula del cambiamento di variabili

In questa sezione ci occupiamo dell’analogo per gli integrali doppi della formula d’integra-zione per sostituzione per funzioni di una variabile.

1. Iniziamo con il definire cosa intendiamo per cambiamento di coordinate. Sia Uun aperto di R2, e diciamo (x, y) il suo generico punto. Cambiare le coordinate in Usignifica passare a nuove coordinate u, v legate alle vecchie da una relazione del tipo

{

x = Φ1(u, v)

y = Φ2(u, v).

Al variare di (x, y) in U , le coordinate (u, v) descrivono un insieme V . Si dice che Φe un cambiamento di coordinate di classe C1 se Φ : V → U e un’applicazione di classeC1, invertibile e tale che l’inversa Φ−1 : U → V sia di classe C1. Il cambiamento dicoordinate puo anche essere pensato come una trasformazione tra V e U la cui leggee data da Φ, e che ammette inversa Φ−1.

(u, v)

(x, y)

V

U

Φ

Φ−1

Esempio 7.6. Ad esempio{

x = u+ 2v

y = u+ v

e un cambiamento di coordinate di classe C1 in R2 il cui inverso e dato da{

u = 2y − x

v = x− y.

7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI 183

Esempio 7.7 (Le coordinate polari). Sono molto utili nelle applicazioni le coor-dinate polari piane: si descrive (x, y) tramite (r, ϑ) dove r e la lunghezza del vettoredeterminato da (x, y), e ϑ e l’angolo che esso determina con l’asse delle ascisse comein figura.

ϑ

r

(x, y)

x

y

Se descriviamo ad esempio l’insieme

U = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0}

x

y

tramite le coordinate polari, otteniamo che (r, ϑ) variano nel rettangolo V

1 ≤ r ≤ 2 e − π

2≤ ϑ ≤ π

2.

2. Diciamo jacobiano del cambiamento di coordinate Φ l’applicazione JΦ : V → R

definita da

JΦ(u, v) = det

(

∂Φ1

∂u∂Φ1

∂v∂Φ2

∂u∂Φ2

∂v

)

.

Possiamo dare un significato geometrico a |JΦ(u, v)| nel seguente modo.


γ1(t)

γ2(t)

u

v

x

y

Φ

Se prendiamo un quadrato Qε di lato ε molto piccolo con un vertice in (u0, v0),tramite Φ esso viene trasformato in un poligono Aε a lati curvilinei: in particolare ilsegmento (u0 + t, v0) con 0 ≤ t ≤ ε viene modificato nella curva

γ1(t) = (Φ1(u0 + t, v0),Φ2(u0 + t, v0))

mentre il segmento (u0, v0 + t) con 0 ≤ t ≤ ε viene modificato nella curva

γ2(t) = (Φ1(u0, v0 + t),Φ2(u0, v0 + t)).

Per ε piccolo, queste due curve sono ben approssimate dalla rette tangenti in (x0, y0) =Φ(u0, v0) le cui direzioni sono date da

γ′1(0) =

(

∂Φ1

∂x(u0, v0),

∂Φ2

∂x(u0, v0)

)

e

γ′2(0) =

(

∂Φ1

∂y(u0, v0),

∂Φ2

∂y(u0, v0)

)

.

γ′

1(0)

γ′

2(0)

(x0, y0)

x

y

Dunque si ha per ε piccolo e per 0 ≤ t ≤ ε

γ1(t) ∼ γ1(0) + tγ′1(0) = (x0, y0) + tγ′1(0)

e

γ2(t) ∼ γ2(0) + tγ′2(0) = (x0, y0) + tγ′2(0)


Quindi l’area di Aε e approssimata dall’area del parallelogramma con un vertice in(x0, y0) e con lati dati da εγ′1(0) e εγ′2(0): ricordando il significato del prodottovettoriale tra due vettori, quest’area e data da

|εγ′1(0) ∧ εγ′2(0)| = ε2|γ′1(0) ∧ γ′2(0)|.Ma

|γ′1(0) ∧ γ′2(0)| = |JΦ(u0, v0)|.Dunque |JΦ(u0, v0)| puo essere interpetrato come il rapporto

|JΦ(u0, v0)| = limε→0

Area(Aε)

Area(Qε).

3. Possiamo ora enunciare l’analogo dell’integrazione per sostituzione per gli integralidoppi.

Proposizione 7.8 (Cambiamento di variabili). Siano U, V due aperti di R2, esia Φ : V → U un cambiamento di coordinate di classe C1. Sia f : U → R unafunzione continua. Allora per ogni insieme misurabile secondo Riemann E ⊆ U taleche E ⊂ U , si ha che Φ−1(E) e misurabile e

∫∫

E

f(x, y) dxdy =

∫∫

Φ−1(E)

f(Φ1(u, v),Φ2(u, v))|JΦ(u, v)| dudv.

In particolare, scegliendo f = 1 si ha

Area(E) =

∫∫

Φ−1(E)

|JΦ(u, v)| dudv.

La dimostrazione rigorosa della formula del cambiamento di variabili e complessa,ma l’idea che ne sta alla base e tutta contenuta nel significato geometrico del termine|JΦ(u, v)| che abbiamo visto al punto precedente. Infatti una somma di Riemanndell’integrale a secondo membro rispetto ad una quadrettatura nel piano (u, v) conquadrati Qij

ε di lato ε e con il vertice in basso a sinistra dato da (uij, vij) e data da

Sε =∑

i,j

f(Φ(uij, vij))|JΦ(uij, vij)|Area(Qijε ).

Ma se Φ(uij , vij) = (xij , yij), e Aijε e il trasformato tramite Φ di Qijε , allora grazie al

significato geometrico di |JΦ|, per ε piccolo tale somma e prossima a

Sε ∼∑

i,j

f(xij , yij)Area(Aijε ).

Il secondo membro e una somma di Riemann per l’integrale a primo membro relativoad una quadrettatura curvilinea nel piano xy data dai quadrilateri curvilinei Aijε epertanto Sε approssima l’integrale doppio iniziale.


Qijε

Aijε

Φ

v

u

y

x

Esempio 7.9. Calcoliamo

∫∫

T

(x− y)2

1 + (x− y)2dx dy

doveT = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x− y ≤ 2}.

Facciamo il cambiamento di variabili{

x = u

x− y = v=⇒

{

x = u

y = u− v

cioe Φ(u, v) = (u, u− v). Si ha

JΦ(u, v) = det

(

1 01 −1

)

= −1.

L’insieme T diventa l’insieme

0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2

per cui

I =

∫ 2

0

∫ 2

0

v2

1 + v2du dv = 2

∫ 2

0

v2

1 + v2dv = 2

∫ 2

0

1 − 1

1 + v2dv

= 2 [v − arctan v]20 = 2(2 − arctan 2).

4. Nel caso delle coordinate polari piane si ha che JΦ(r, ϑ) = r cosı che si ha∫∫

E

f(x, y) dxdy =

∫∫

Φ−1(E)

f(r cos ϑ, r sin ϑ)rdrdϑ.

Esempio 7.10. Consideriamo

I =

∫∫

T

x2 dx dy

dove T = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.


x

y

x2 + y2 = 4

Allora con il cambiamento di coordinate polari, abbiamo che T diventa l’insieme

S = [0, 2] × [0, π/2]

e dunque

I =

∫∫

S

(r2 cos2 ϑ)r dr dϑ =

∫ 2

0

∫ π2

0

r3 cos2 ϑ dr dϑ

=

∫ 2

0

∫ π2

0

r31 + cos 2ϑ

2drdϑ =

∫ 2

0

r3

[

ϑ

2+

sin 2ϑ

4

]π/2

0

dr

=π

4

∫ 2

0

r3 dr =π

4

[

r4

4

]2

0

= π.

Esempio 7.11. Vediamo ora come gli integrali doppi e la sostituzione con le coor-dinate polari ci permettano di calcolare il seguente integrale

I =

∫ +∞

−∞e−x

2

dx

che risulta fondamentale in teoria della probabilita . Tale integrale e da intendersicome

I = lima→+∞

Ia = lima→+∞

∫ a

−ae−x

2

dx.

Innanzitutto si puo vedere che I e finito dal momento che (usa lo sviluppo di Taylor)

e−x2 ≤ 2

x2 + 1

e

lima→+∞

∫ a

−ae−x

2

dx ≤ lima→+∞

∫ a

−a

2

x2 + 1dx ≤ lim

a→+∞[2 arctanx]a−a = 2π.


Consideriamo l’integrale doppio

∫∫

Ta

e−x2−y2 dxdy

dove a > 0 eTa =

{

(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ a2}

.

Tramite le coordinate polari si ha

∫∫

Ta

e−x2−y2 dxdy =

∫ a

0

∫ 2π

0

e−r2

rdrdϑ

= 2π

∫ a

0

re−r2

dr = 2π

[

1

2− e−a

2

2

]

.

Deduciamo che

lima→+∞

∫∫

Ta

e−x2−y2 dxdy = π.

D’altro canto, si ha che

lima→+∞

∫∫

Ta

e−x2−y2 dxdy = lim

a→+∞

∫∫

Qa

e−x2−y2 dxdy

dove Qa indica il quadrato [−a, a] × [−a, a], dal momento che entrambi gli integralistanno tendendo all’integrale di e−x

2−y2 su tutto il piano. Dalle formule di riduzionesi ha che

∫∫

Qa

e−x2−y2 dxdy =

∫ a

−ae−x

2

dx

∫ a

−ae−y

2

dy = I2a .

Dunque otteniamoI2 = lim

a→+∞I2a = π

da cui

I =

∫ +∞

−∞e−x

2

dx =√π.

Esercizi

1. Sia E ⊆ R2 un insieme limitato. Dimostrare che E e misurabile secondo Riemann se e solose ∂E ha area nulla.

2. Sia γ : [a, b] → R2 una curva di classe C1 e di lunghezza finita: dimostrare che γ([a, b]) haarea nulla.

3. Sia E = [0, 1]2 ∩ Q2. Dimostrare che E non e misurabile secondo Riemann.

4. Trovare una funzione f : [0, 1]2 → R non integrabile secondo Riemann.


5. Siano f : [0, 1]× [0, 2] → R e g : [1, 2]× [0, 2] → R due funzioni integrabili secondo Riemann,e sia h : [0, 2] → R una funzione qualsiasi. Dimostrare che la funzione u : [0, 2]2 → R

u(x, y) =

f(x, y) se x ∈ [0, 1[

g(x, y) se x ∈]1, 2]

h(y) se x = 1

e integrabile secondo Riemann.

6. Sia f : [0, 1]2 → R integrabile secondo Riemann. E vero che per ogni x0 ∈ [0, 1] la funzioneg(y) = f(x0, y) e integrabile secondo Riemann?

7. Sia E un insieme simmetrico rispetto all’asse x, e sia f : E → R una funzione integrabilesecondo Riemann pari rispetto a x. Siano E− = E∩{x < 0} e E+ = E ∩{x > 0}. Tramitela formula del cambiamento di variabili dimostrare che

∫∫

E−

f(x, y) dxdy =

∫∫

E+

f(x, y) dxdy

cosı che∫∫

Ef(x, y) dxdy = 2

∫∫

E+

f(x, y) dxdy.

(Suggerimento: considera Φ(u, v) = (−u, v).)

8. Sia E un insieme simmetrico rispetto all’asse x, e sia f : E → R una funzione integrabilesecondo Riemann dispari rispetto a x. Siano E− = E ∩ {x < 0} e E+ = E ∩ {x > 0}.Tramite la formula del cambiamento di variabili dimostrare che

∫∫

Ef(x, y) dxdy = −

∫∫

Ef(x, y) dxdy

cosı che∫∫

Ef(x, y) dxdy = 0.

(Suggerimento: considera Φ(u, v) = (−u, v).)

Capitolo 7 Integrali doppi -...

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