1

1

2

Rappresentazione doppi bipoli

2

3

Introduzione

4

Cosa c’è nell’Unità 5

In questa sezione si affronteranno

introduzione alle rappresentazioni dei doppi bipolile sei rappresentazioni classiche

tabella di trasformazioneconnessioni doppi bipoli

3

5

Oggetto 1/2

In questa unità saranno considerate le rappresentazioni deidoppi bipoli nel dominio delle frequenze

Rappresentare un doppio bipolo significa precisare le sue due equazioni costitutive che legano le tensioni e le correnti delledue porte

6

Oggetto 2/2

I doppi bipoli che si considerano sono inerti:

assenza nel loro interno di generatori indipendentise le rappresentazioni sono nel dominio di Laplace gli elementiinterni si assumono inizialmente scarichi

È possibile avere la presenza di generatori pilotati nell’internodei doppi bipoli

4

7

Introduzione

8

Rappresentazione generale

11 1 12 2 11 1 12 2

21 1 22 2 21 1 22 2

A V A V B I B I

A V A V B I B I

+ = ++ = +

Qualsiasi doppio bipolo lineare ed inerte presenta sicuramente la rappresentazione

5

9

Esempio

1 2

1 2

010

V K V

I IK

− =

= +

⇓

Trasformatore ideale

11 12 11 12

21 22 11 12

1, , 0, 0

10, 0 , 1,

A A K B B

A A B BK

= = − = =

= = = =

10

Rappresentazione doppi bipoli

6

11

Le sei rappresentazioni classiche

12

Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo 1/4

Le relazioni costitutive di un doppio bipolo sono due

Esse coinvolgono quattro grandezze elettriche V1, V2, I1, e I2

Nelle relazioni costitutive due grandezze possono essere vistecome variabili indipendenti (ingressi) e le altre due come variabili dipendenti (uscite)

7

13

Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo 2/4

I modi diversi con cui possiamo assumere due delle quattrograndezze V1, V2, I1, e I2 come ingressi sono in tutto sei

Esistono sei rappresentazioni che consentono di scrivere le due equazioni di un doppio bipolo come equazioni di due uscite in funzione di due ingressi

14

Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo 3/4

Le sei possibilità di scegliere uscite ed ingressi differenti, danno luogo alle sei rappresentazioni di un doppio bipolo

Non è assicurato che ogni doppio bipolo ammetta tutte e seile rappresentazioni. Sicuramente però ne ammette almenouna

8

15

Le sei rappresentazioni di un doppio bipolo 4/4

Le sei rappresentazioni sono classificate in tre gruppi di due elementi ciascuno:

gruppo delle impedenze ed ammettenze

gruppo ibridogruppo misto

16

Le sei rappresentazioni classiche

9

17

Generalità

Gruppo impedenze ed ammettenze

in questo gruppo le grandezze di ingresso e di uscita sono dellostesso tipo:

impedenze: gli ingressi sono le correnti I1 e I2 , le uscite le tensioni V1 e V 2

ammettenze: gli ingressi sono le tensioni V1 e V 2, le uscite le correnti I1 e I2

18

Le sei rappresentazioni classiche

10

19

Rappresentazione con impedenze 1/2

1

2

IVettore corrente

I

1

2

VVettore tensione

V

11 12

21 22

Z ZMatrice impedenze : Z

Z Z=

uscita

ingresso

20

Rappresentazione con impedenze 2/2

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V Z I Z I

V Z I Z I

= += +

oppure in forma

matricialeV Z I=

Quando essa è possibile, la rappresentazione con impedenze (a vuoto) è definita da:

11

21

Esempio

è impossibile rappresentare un trasformatore ideale con impedenze

Trasformatore ideale

11 12 11 12

21 22 11 12

1, , 0, 010, 0 , 1,

A A K B B

A A B BK

= = − = =

= = = =

22

Determinazione delle impedenze 1/2

11

21

Zcolonna

Z

2

2

111

1 0

221

1 0

I

I

VZ

I

VZI

=

=

=

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V Z I Z IV Z I Z I

= += +

Z11 è l’impedenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è aperta

12

23

Determinazione delle impedenze 2/2

12

22

Zcolonna

Z

1

1

112

2 0

222

2 0

I

I

VZ

I

VZI

=

=

=

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V Z I Z IV Z I Z I

= += +

Z22 è l’impedenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è aperta

24

Esempio con generatore pilotato 1/6

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V Z I Z I

V Z I Z I

= += +

13

25

Esempio con generatore pilotato 2/6

Dalla maglia a sinistra:

11

21

Zcolonna

Z

2

111

1 0

1

I

VZ s

I s=

= = +1 1 1 11 1

11

V s I I s Is s

= × + = + ⇒ ×

26

Esempio con generatore pilotato 3/6

2

221

1 0

43

I

VZ s

I s=

= = +

11

21

Zcolonna

Z

Dalla maglia a destra:

2 1 1 1 11 1 1

3 31

V I V I s Is s s

= + = + + ⇒ ×

14

27

Esempio con generatore pilotato 4/6

Sul condensatore:

12

22

Zcolonna

Z

1

112

2 0

1

I

VZI s

=

= =1 2 2

1 11

V I Is s

= = ⇒×

28

Esempio con generatore pilotato 5/6

1

222

2 0

4

I

VZI s=

= =

Dalla maglia a destra:

2 1 1 2 2

1 13 3V V V I I

s s= + = + ⇒

12

22

Zcolonna

Z

15

29

Esempio con generatore pilotato 6/6

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V Z I Z I

V Z I Z I

= += +

1 1ss s Z 4 4

3ss s

+

=+

30

Le sei rappresentazioni classiche

16

31

Reciprocità

Si lavori nel dominio delle frequenze e si consideri lo stessomultipolo inserito in due reti diverse

nel primo inserimento siano Va ed Ia i vettori di tensione e corrente presenti sul multipolo

nel secondo inserimento siano Vb ed Ib i vettori di tensione e corrente presenti sul multipolo

t ta b b aV I V I⋅ = ⋅

Il multipolo si dice reciproco se per qualsiasi coppia di reti in cui il multipolo è inserito risulta:

32

Esempi di multipoli reciproci

Bipolo di impedenza

Trasformatori

Doppi bipoli inerti caratterizzati da matrici di impedenzasimmetriche

17

33

Esempi di multipoli non reciproci

Amplificatori operazionali

Doppi bipoli inerti caratterizzati da matrici di impedenza non simmetriche

34

Reti reciproche

Un rete si dice reciproca quando, resa inerte, contiene solo elementi costituiti da elementi reciproci

La presenza di generatori pilotati e/o amplificatorioperazionali in una rete implica in generale che la rete non è reciproca

18

35

Teoremi di reciprocità

Un multipolo costituito con una rete reciproca è un multipoloreciproco

Un multipolo reciproco non è necessariamente costituito dauna rete reciproca

36

Rappresentazione con circuito a T/1

1 11 12

2 23 12

3 12

Z Z Z

Z Z Z

Z Z

= −

= −

=

Un doppio bipolo reciproco e rappresentabile con impedenze, ammette una rappresentazione circuitale con un circuito a T

19

37

Rappresentazione con circuito a T/2

1 11 12

2 22 12

3 12

21 12 1ˆ ( )

Z Z Z

Z Z Z

Z Z

E Z Z I

= −

= −

=

= −

Un doppio bipolo non reciproco e rappresentabile con impedenze, ammette una rappresentazione circuitale con un circuito a T che presenta un generatore pilotato di tensione, su uno dei lati, per tenere conto della non reciprocità

38

Esempio con trasformatore 1/3

Determinare la matrice di impedenza di un trasformatore

Rappresentare il trasformatore con un circuito a T

20

39

Esempio con trasformatore 2/3

1 1 1 2

2 1 2 2

V sL I s M I

V sM I s L I

= +

= +⇒ 1

2

s L s MZ

s M s L=

Nel dominio delle frequenze risulta:

40

Esempio con trasformatore 3/3

1 1 1 2

2 1 2 2

V sL I s M I

V sM I s L I

= += +

⇒

Rappresentazione con circuito a T:

21

41

Le sei rappresentazioni classiche

42

Rappresentazione con ammettenze 1/2

1

2

IVettore corrente

I

1

2

VVettore tensione

V

11 12

21 22

Y YMatrice ammettenze : Y

Y Y =

ingresso

uscita

22

43

Rappresentazione con ammettenze 2/2

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I Y V Y V

I Y V Y V

= +

= +

oppure in forma

matricialeI Y V=

Quando essa è possibile, la rappresentazione con ammettenze (in corto circuito) è definita da:

44

Esempio

11 12 11 12

21 22 11 12

1, , 0, 010, 0 , 1,

A A K B B

A A B BK

= = − = =

= = = =

è impossibile rappresentare un trasformatore ideale con ammettenze

Trasformatore ideale

23

45

Determinazione delle ammettenze 1/2

11

21

Ycolonna

Y

2

2

111

1 0

221

1 0

V

V

IY

V

IY

V

=

=

=

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I Y V Y VI Y V Y V

= += +

Y11 è l’ammettenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è corto circuitata

46

Determinazione delle ammettenze 2/2

12

22

Ycolonna

Y

1

1

112

2 0

222

2 0

V

V

IY

V

IYV

=

=

=

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I Y V Y V

I Y V Y V

= += +

Y22 è l’ammettenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è corto circuitata

24

47

Legame ammettenze - impedenze

1( )Y Z −=

Un doppio bipolo rappresentabile con impedenze e con determinante nullo di Z, non ha rappresentazione con ammettenze

Un doppio bipolo rappresentabile con ammettenze e con determinante nullo di Y, non ha rappresentazione con impedenze

1( )Z Y −=

Quando un doppio bipolo è rappresentabile con impedenzeed ammettenze risulta

48

Reciprocità

I doppi bipoli reciproci rappresentabili con ammettenzehanno una matrice di ammettenze simmetrica

12 21Y Y=

25

49

Esempio con trasformatore 1/6

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I Y V Y V

I Y V Y V

= += +

50

Esempio con trasformatore 2/6

Riportando il carico del secondario al primario

11

21

Ycolonna

Y

2

111

1 0

14( 1)

V

IYV s

=

= =+

21 1 12 ( 1 1) 4(1 )V s I s I= × + = + ⇒

26

51

Esempio con trasformatore 3/6

2

221

1 0

12(1 )

V

IY

V s=

= = −+

11

21

Ycolonna

Y

Dalla maglia a destra

1 12 2( 1 1) ( 1)

2V V

s I s Ik

= = − × + = − + ⇒

52

Esempio con trasformatore 4/6

Riportando il carico del secondario (corto circuito nella porta 1) al secondario

12

22

Ycolonna

Y

1

22

222 0

11

V

I s sY

V s=

+ += =

+2 2 22

1 1( 1 1)||

1s

V s I Is s s

+= × + = ⇒

+ +

27

53

Esempio con trasformatore 5/6

1

112 21

2 0

12(1 )

V

IY Y

V s=

= = − =+

12

22

Ycolonna

Y

Dalla maglia a destra

2 1 1( 1 1)( ) 2( 1)V s kI s I= − × + = − + ⇒

54

Esempio con trasformatore 6/6

2

1 14(1 ) 2(1 )

Y 1 1

2(1 ) 1

s s

s ss s

−+ +

=+ +

−+ +

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I Y V Y VI Y V Y V

= += +

28

55

Rappresentazione con circuito a Pi greca 1/2

Un doppio bipolo reciproco e rappresentabile con ammettenze, ammette una rappresentazione circuitalecon un circuito a Pi greca. Indicando con Y 11, Y12, Y 21, e Y22, le ammettenze risulta:

1 11 12

2 22 12

3 12

Y Y Y

Y Y Y

Y Y

= +

= +

= −

56

Rappresentazione con circuito a Pi greca 2/2

1 11 12

2 23 12

3 12

21 12 1ˆ ( )

Y Y Y

Y Y Y

Y Y

A Y Y V

= +

= +

= −

= −

Un doppio bipolo non reciproco e rappresentabile con ammettenze, ammette una rappresentazione circuitalecon un circuito a pi greca che presenta un generatorepilotato di corrente su uno dei lati, per tenere conto dellanon reciprocità

29

57

Esempio

2

1 2 32

1 14(1 ) 2(1 ) 1 2 1 1

Y Y , Y , Y2(1 ) 2(1 ) 2(1 )1 1

2(1 ) 1

s s s ss s ss s

s s

−+ + + +

= ⇒ = − = =+ + ++ +

−+ +

Rappresentare il doppio bipolo avente la matrice di ammettenza Y indicata con un circuito a Pi greca

58

Le sei rappresentazioni classiche

30

59

Generalità 1/2

Gruppi ibridi:

In questi due gruppi le grandezze di ingresso e di uscita non sono dello stesso tipo:

gruppo ibrido diretto: gli ingressi sono la corrente I1 e la tensione V2. Le uscite la tensione V1 e la corrente I2.

i parametri della rappresentazione vengono chiamati parametri h

60

Generalità 2/2

gruppo ibrido inverso: gli ingressi sono la tensione V1 e la corrente I2, le uscite la corrente I1 e la tensione V2

i parametri della rappresentazione vengono chiamati parametri g

31

61

Le sei rappresentazioni classiche

62

Parametri h 1/2

1

2

VVettore uscita

I

1

2

IVettore ingresso

V

11 12

21 22

h hMatrice ibrida :

h h h =

uscita

ingresso

32

63

Parametri h 2/2

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V h I h V

I h I h V

= += +

oppure in forma

matriciale

1 1

2 2

V Ih

I V=

Per modellare transistori è molto utile la rappresentazione con parametri h

64

Esempio

11 12 11 12

21 22 11 12

1, , 0, 0

10, 0 , 1,

A A K B B

A A B BK

= = − = =

= = = =

0

0

Kh

K=

−

è possibile rappresentare un trasformatore ideale con parametri h:

Trasformatore ideale

33

65

Determinazione dei parametri h 1/2

11

21

hcolonna

h

2

2

111

1 0

221

1 0

V

V

Vh

I

Ih

I

=

=

=

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V h I h V

I h I h V

= +

= +

h11 è l’impedenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è corto circuitata

66

Determinazione dei parametri h 2/2

12

22

hcolonna

h

1

1

112

2 0

222

2 0

I

I

Vh

V

Ih

V

=

=

=

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V h I h V

I h I h V

= +

= +

h22 è l’ammettenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è aperta

34

67

Reciprocità

I doppi bipoli reciproci rappresentabili con gruppo h hanno la seguente proprietà

12 21h h= −

essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa proprietà

68

Esempio 1/6

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V h I h V

I h I h V

= += +

35

69

Esempio 2/6

h11 è l’impedenza vista dalla porta 1 con porta 2 cortocircuitata

11

21

hcolonna

h

2

111

1 0

10 5| |5 12.5V

Vh

I=

= = + = Ω

70

Esempio 3/6

2

221

1 0

10.5

2V

Ih

I=

= = − = −

11

21

hcolonna

h

Dal partitore di corrente

2 1 1

5 15 5 2

I I I= − = − ⇒+

36

71

Esempio 4/6

h22 è l’ammettenza vista dalla porta 2 con porta 1 aperta

12

22

hcolonna

h

1

222

2 0

1 10.1

5 5 10I

IY S

V=

= = = =+

72

Esempio 5/6

1

112 21

2 0

0.5I

Vh h

V=

= = = −

12

22

hcolonna

h

Dal partitore di tensione

1 2 2

5 15 5 2

V V V= = ⇒+

37

73

Esempio 6/6

12.5 0.5 h

0.5 0.1=

−1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V h I h V

I h I h V

= += +

74

Rappresentazione con generatori pilotati

Un doppio bipolo definito dai parametri h è rappresentabilecon il doppio bipolo in figura

38

75

Le sei rappresentazioni classiche

76

Parametri ibridi g 1/2

1

2

VVettore ingresso

I

1

2

IVettore uscita

V

11 12

21 22

g gMatrice ibrida inversa : g

g g=

uscita

ingresso

39

77

Parametri ibridi g 2/2

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I g V g IV g V g I

= += +

oppure in forma

matriciale

1 1

2 2

I Vg

V I=

La rappresentazione ibrida inversa è definita dai parametri g

78

Legame h-g

1( )g h −=

Un doppio bipolo rappresentabile con parametri ibridi h ed avente determinante di h nullo, non è rappresentabile con parametri g

Un doppio bipolo rappresentabile con parametri ibridi g ed avente determinante di g nullo, non è rappresentabile con parametri h

1( )h g −=

Quando un doppio bipolo è rappresentabile con parametriibridi h e g risulta:

40

79

Determinazione dei parametri g 1/2

11

21

gcolonna

g

2

2

111

1 0

221

1 0

I

I

Ig

V

Vg

V

=

=

=

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I g V g I

V g V g I

= += +

g11 è l’ammettenza vista dalla porta 1 quando la porta 2 è aperta

80

Determinazione dei parametri g 2/2

12

22

gcolonna

g

1

1

112

2 0

222

2 0

V

V

Ig

I

Vg

I

=

=

=

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I g V g IV g V g I

= += +

g22 è l’impedenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è corto circuitata

41

81

Reciprocità

I doppi bipoli reciproci rappresentabili con gruppo g hanno la seguente proprietà

12 21g g= −

essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa proprietà

82

Esempio con generatore pilotato 1/6

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I g V g IV g V g I

= += +

42

83

Esempio con generatore pilotato 2/6

La corrente che percorre 1 ohm vale I1+2I1=3I1

11

21

gcolonna

g

2

111

1 0

13

I

Ig

V s=

= =+

2 1 1

1 1 2 1

1 3 3

1 ( 3)

V I I

V s I V s I

= × == × + = + ⇒

84

Esempio con generatore pilotato 3/6

2

221

1 0

33

I

Vg

V s=

= =+1 1 1 1

2 1

3 ( 3)

3

V sI I s I

V I

= + = + ⇒=

11

21

gcolonna

g

Dalla maglia a sinistra

43

85

Esempio con generatore pilotato 4/6

La corrente che percorre 1 ohm vale: I1+2I1+I2

La corrente che percorre 1 H vale: I1

12

22

gcolonna

g

1

112

2 0

13

V

Ig

I s=

= = −+

2 1 1 21 ( 2 )V I I I= × + +2 1, 1V s I= − ×

1 2

13

I Is

= −+

⇒

86

Esempio con generatore pilotato 5/6

1

222

2 03

V

V sg

I s=

= =+

2 1 1 2 1

1 2 2 2

1 ( 2 ) 1

13 3

V I I I s I

sI I V I

s s

= × + + = − ×

⇓ ⇓

= − =+ +

12

22

gcolonna

g

⇒

44

87

Esempio con generatore pilotato 6/6

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I g V g I

V g V g I

= += +

1 13 3 g

33

3

s ss

s s

−+ +=

+ +

88

Le sei rappresentazioni classiche

45

89

Generalità 1/2

Gruppi misti

in questi due gruppi le grandezze di ingresso e di uscitasono definite in porte separate

gruppo misto diretto: gli ingressi sono la tensione V2 e la corrente -I2 dellaporta 2. Le uscite la tensione V1 e la corrente I1 della porta 1

90

Generalità 2/2

i parametri della rappresentazione vengono chiamati parametriA,B,C,D

gruppo misto inverso: gli ingressi sono la tensione V1 e la corrente -I1 della porta 1. Le uscite la tensione V2 e la corrente I2 della porta 2

i parametri della rappresentazione vengono chiamati parametriA’,B’,C’,D’

46

91

Le sei rappresentazioni classiche

92

Parametri A,B,C,D 1/2

1

1

VVettore uscita

I

2

2

VVettore ingresso

-I

A BMatrice di trasmissione : T

C D=

47

93

Parametri A,B,C,D 2/2

1 2 2

1 2 2

( )

( )

V AV B I

I C V D I

= + −

= + −

oppure in forma

matriciale

1 2

1 2

V VT

I I=

−

Per modellare doppi bipoli è molto utile la rappresentazione con parametri A, B, C, D

94

Esempio

11 12 11 12

21 22 11 12

1, , 0, 0

10, 0 , 1,

A A K B B

A A B BK

= = − = =

= = = =

01

0

KA BT

C DK

= =

è possibile rappresentare un trasformatore ideale con parametri A, B, C, D

Trasformatore ideale

48

95

Determinazione dei parametri A, B, C, D 1/2

Acolonna

C

2

2

1

2 0

1

2 0

I

I

VA

V

IC

V

=

=

=

=

1 2 2

1 2 2

( )( )

V AV B II C V D I

= + −= + −

conviene alimentare dalla porta 1

96

Determinazione dei parametri A, B, C, D 2/2

Bcolonna

D

2

2

1

2 0

1

2 0

V

V

VB

I

ID

I

=

=

= −

= −

1 2 2

1 2 2

( )

( )

V AV B I

I C V D I

= + −

= + −

conviene alimentare dalla porta 1

49

97

Reciprocità

I doppi bipoli reciproci rappresentabili con gruppo mistohanno la seguente proprietà

det[ ] 1T AD BC= − =

essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa proprietà

98

Esempio con generatore pilotato 1/6

1 2 2

1 2 2

( )( )

V AV B II C V D I

= + −= + −

50

99

Esempio con generatore pilotato 2/6

Considerando il nodo B

Acolonna

C

2

1 2 2 2 11 1

2 0

12

2 3 3 3I

V V V V VV V A

V=

−+ = ⇒ = ⇒ = =

100

Esempio con generatore pilotato 3/6

2

1

2 0

0I

IC

V=

= =

Acolonna

C

Dal nodo A

1 1 2 2 2 21

(1/3)10

1 2 3 1 2V V V V V V

I− −

= + = + = ⇒

51

101

Esempio con generatore pilotato 4/6

V2=0 implica che la corrente sul resistore 3 è nulla. Dal nodo B

Bcolonna

D

2

1 2 1 1 11 2 1 2 2

2 0

22 2 0 52 2 2 5

V

V V V V VV I V I I BI

=

− + + = + + = ⇒ = − ⇒ = − =

102

Esempio con generatore pilotato 5/6

2

1

2 0

35

V

ID

I=

= − =

Bcolonna

D

Dal nodo A

1 1 2 1 11 1 2 2

3 3 2 3( )

1 2 1 2 2 2 5 5V V V V V

I V I I−

= + = + = = × − = − ⇒

52

103

Esempio con generatore pilotato 6/6

1 23 5 T

30

5

=1 2 2

1 2 2

( )( )

V AV B II C V D I

= + −= + −

104

Le sei rappresentazioni classiche

53

105

Parametri A’, B’, C’, D’ 1/2

2

2

VVettore uscita

I

1

1

VVettore ingresso

-I

' 'Matrice di trasmissione inversa '

' 'A B

TC D

=

106

Parametri A’, B’, C’, D’ 2/2

2 1 1

2 1 1

' '( )

' '( )

V A V B I

I C V D I

= + −

= + −oppure in

forma matriciale

2 1

2 1

'V V

TI I

=−

Nel gruppo misto inverso (parametri A’, B’, C’, D’) il ruolo delle porte è invertito

54

107

Esempio

11 12 11 12

21 22 11 12

1, , 0, 01

0, 0 , 1,

A A K B B

A A B BK

= = − = =

= = = =

1' ' 0'

' ' 0

A BT K

C D K= =

è possibile rappresentare un trasformatore ideale con parametri A’, B’, C’, D’

Trasformatore ideale

108

Legame T-T’

1' ' 1 0 1 0' ( )

' ' 0 1 0 1

A BT T

C D−= =

− −

11 0 1 0( ')

0 1 0 1A B

T TC D

−= =− −

Quando un doppio bipolo è rappresentabile con parametrimisti A, B, C, D e A’, B’, C’, D’ risulta

55

109

Determinazione dei parametri A’, B’, C’, D’ 1/2

A'colonna

C'

1

1

2

1 0

2

1 0

'

'

I

I

VA

V

IC

V

=

=

=

=

2 1 1

2 1 1

' '( )

' '( )

V A V B I

I C V D I

= + −

= + −

conviene alimentare dalla porta 2

110

Determinazione dei parametri A’, B’, C’, D’ 2/2

B'colonna

D'

1

1

2

1 0

2

1 0

'

'

V

V

VB

I

ID

I

=

=

= −

= −

2 1 1

2 1 1

' '( )' '( )

V A V B II C V D I

= + −= + −

conviene alimentare dalla porta 2

56

111

Reciprocità

I doppi bipoli reciproci rappresentabili con gruppo mistoinverso hanno la seguente proprietà

det[ '] ' ' ' ' 1T A D B C= − =

essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa proprietà

112

Esempio 1/4

2 1 1

2 1 1

' '( )' '( )

V A V B II C V D I

= + −= + −

57

113

Esempio 2/4

Non c’è caduta di tensione sul resistore

1

2

1 0

'I

IC sV

=

= =1 2

1V I

s= ⇒

A'colonna

C'

1

21 2

1 0

' 1I

VV V AV

=

= ⇒ = =

Sul condensatore

114

Esempio 3/4

La tensione sul condensatore uguaglia quella sul resistore

1

2

1 0

' 1V

VBI

=

= − =2 1 11V I I= − × = − ⇒

B'colonna

D'

1

1 2 22 1 2 1

1 0

( 1) ' 1V

I I IV I I s I D ss I

=

+= = − ⇒ = − + ⇒ = − = +

La tensione sul resistore vale

58

115

Esempio 4/4

2 1 1

2 1 1

' '( )' '( )

V A V B II C V D I

= + −= + −

1 1 T'

1s s=

+

det[ '] 1T =

⇒

il doppio bipolo è composto di elementi reciproci quindi e reciproco

116

Rappresentazione doppi bipoli

59

117

Tabella di trasformazione

118

Le sei rappresentazioni 1/3

Gruppo impedenze ed ammettenze

impedenze

ammettenze

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V Z Z I IZ

V Z Z I I= =

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I Y Y V VY

I Y Y V V= =

60

119

Le sei rappresentazioni 2/3

Gruppi ibridi

diretto

inverso

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V h h I Ih

I h h V V= =

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I g g V Vg

V g g I I= =

120

Le sei rappresentazioni 3/3

1 2 2

1 2 2

V V VA BT

I I IC D= =

− −

2 1 1

2 1 1

' ''

' 'V V VA B

TI I IC D

= =− −

Gruppi misti

diretto

inverso

61

121

Tabella di trasformazione

122

Z in funzione di Y e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V Z Z I IZ

V Z Z I I= =

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I Y Y V VY

I Y Y V V= =

22 12

21 11

det[ ] det[ ]

det[ ] det[ ]

Y YY Y

ZY Y

Y Y

−=

−

22 12

21 11

det[ ] det[ ]

det[ ] det[ ]

Z ZZ Z

YZ Z

Z Z

−=

−

62

123

Z in funzione di h e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V Z Z I IZ

V Z Z I I= =

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V h h I Ih

I h h V V= =

12

22 22

21

22 22

det[ ]

1

hhh h

Zhh h

=−

12

22 22

21

22 22

det[ ]

1

ZZZ Z

hZZ Z

=−

124

Z in funzione di g e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V Z Z I IZ

V Z Z I I= =

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I g g V Vg

V g g I I= =

12

11 11

21

11 11

1

det[ ]

gg g

Zg gg g

−

=

12

11 11

21

11 11

1

det[ ]

ZZ Z

gZ ZZ Z

−

=

63

125

Z in funzione di T e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V Z Z I IZ

V Z Z I I= =

det[ ]

1

A TC CZ

DC C

=

1 2 2

1 2 2

V V VA BT

I I IC D= =

− −

11

21 21

22

21 21

det[ ]

1

Z ZZ Z

TZ

Z Z

=

126

Z in funzione di T’ e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V Z Z I IZ

V Z Z I I= =

' 1' '

det[ '] '' '

DC CZ

T AC C

=

22

12 12

12

12 12

det[ ]

'1

Z ZZ Z

TZ

Z Z

=

2 1 1

2 1 1

' ''

' 'V V VA B

TI I IC D

= =− −

64

127

Tabella di trasformazione

128

Y in funzione di h e viceversa

12

11 11

21

11 11

1

det[ ]

hh h

Yh hh h

−

=

12

11 11

21

11 11

1

det[ ]

YY Y

hY YY Y

−=

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I Y Y V VY

I Y Y V V= =

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V h h I Ih

I h h V V= =

65

129

Y in funzione di g e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I Y Y V VY

I Y Y V V= =

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I g g V Vg

V g g I I= =

12

22 22

21

22 22

det[ ]

1

ggg g

Ygg g

=−

12

22 22

21

22 22

det[ ]

1

YYY Y

gYY Y

=−

130

Y in funzione di T e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I Y Y V VY

I Y Y V V= =

1 2 2

1 2 2

V V VA BT

I I IC D= =

− −

det[ ]

1

D TB BY

AB B

−=

−

22

21 21

11

21 21

1

det[ ]

YY Y

TYY

Y Y

− −

=− −

66

131

Y in funzione di T’ e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I Y Y V VY

I Y Y V V= =

' 1' '

det[ '] '' '

AB BY

T DB B

−=

−

11

12 12

22

12 12

1

'det[ ]

YY Y

TYY

Y Y

− −

=− −

2 1 1

2 1 1

' ''

' '

V V VA BT

I I IC D= =

− −

132

Tabella di trasformazione

67

133

h in funzione di g e viceversa

22 12

21 11

det[ ] det[ ]

det[ ] det[ ]

h hh h

gh h

h h

−=

−

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V h h I Ih

I h h V V= =

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I g g V Vg

V g g I I= =

22 12

21 11

det[ ] det[ ]

det[ ] det[ ]

g gg g

hg g

g g

−=

−

134

h in funzione di T e viceversa

11

21 21

22

21 21

det[ ]

1

hhh h

Thh h

− −=

− −

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V h h I Ih

I h h V V= =

1 2 2

1 2 2

V V VA BT

I I IC D= =

− −

det[ ]

1

B TD Dh

CD D

=−

68

135

h in funzione di T’ e viceversa

11

12 12

22

12 12

1

'det[ ]

hh h

Th hh h

=

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

V h h I Ih

I h h V V= =

2 1 1

2 1 1

' ''

' '

V V VA BT

I I IC D= =

− −

' 1' '

det[ '] '' '

BA Ah

T CA A

=−

136

Tabella di trasformazione

69

137

g in funzione di T e viceversa

22

21 21

11

21 21

1

det[ ]

gg g

Tg gg g

=

1 2 2

1 2 2

V V VA BT

I I IC D= =

− −

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I g g V Vg

V g g I I= =

det[ ]

1

C TA Ag

BA A

−=

138

g in funzione di T’ e viceversa

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

I g g V Vg

V g g I I= =

2 1 1

2 1 1

' ''

' '

V V VA BT

I I IC D= =

− −

22

12 12

11

12 12

det[ ]

'1

ggg g

Tgg g

− −=

− −

' 1' '

det[ '] '' '

CD Dg

T BD D

−=

70

139

Tabella di trasformazione

140

T in funzione di T’ e viceversa

2 1 1

2 1 1

' ''

' 'V V VA B

TI I IC D

= =− −

det[ ] det[ ]'

det[ ] det[ ]

D BT T

TC A

T T

=

1 2 2

1 2 2

V V VA BT

I I IC D= =

− −

' 'det[ '] det[ ]

' 'det[ ] det[ ]

D BT T

TC A

T T

=

71

141

Rappresentazione doppi bipoli

142

Connessioni doppi bipoli

72

143

Connessioni: Generalità

I bipoli hanno solo due possibilità di connessione:serieparallelo

Avendo due porte i doppi bipoli hanno una maggiore possibilità di connessioni

tuttavia, se le porte non sono intrinseche, è importanteverificare che le eventuali connessioni mantengano la proprietàdi porta

144

Connessioni: Generalità

Le possibili connessioni di doppi bipoli

connessioni serie su entrambe le porte (serie-serie)

connessioni parallelo su entrambe le porte (parallelo-parellelo)

connessioni ibride: serie sulle porte 1 e parallelo sulle porte 2 (serie-parallelo)parallelo sulle porte 1 e serie sulle porte 2 (parallelo-serie)

connessioni a cascata

73

145

Connessioni serie-serie

La porta 11’ del doppio bipolo A e la porta 11’ del doppio bipolo B sono percorse dalla stessa corrente

La porta 22’ del doppio bipolo A e la porta 22’ del doppio bipolo B sono percorse dalla stessa corrente

Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con impedenze ZA e Zb , anche il doppio bipolo ottenuto dalla connessione serie-serie è rappresentabile con impedenze Z e si ha:

Z= ZA + Zb

146

Connessioni parallelo-parallelo

Sulla porta 11’ del doppio bipolo A e sulla porta 11’ del doppiobipolo B è applicata la stessa tensione

Sulla porta 22’ del doppio bipolo A e sulla porta 22’ del doppiobipolo B è applicata la stessa tensione

Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con ammettenze YA e Yb , anche il doppio bipolo ottenuto dalla connessione parallelo-parallelo è rappresentabile con ammettenze Y e si ha:

Y= YA + Yb

74

147

Connessioni serie-parallelo

Sulla porta 11’ del doppio bipolo A e sulla porta 11’ del doppiobipolo B è applicata la stessa corrente

Sulla porta 22’ del doppio bipolo A e sulla porta 22’ del doppiobipolo B è applicata la stessa tensione

Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con parametri ibrididiretti hA e hb , anche il doppio bipolo ottenuto dalla connessioneserie-parallelo è rappresentabile con parametri h e si ha:

h= hA + hb

148

Connessioni parallelo-serie

Sulla porta 11’ del doppio bipolo A e sulla porta 11’ del doppiobipolo B è applicata la stessa tensione

La porta 22’ del doppio bipolo A e la porta 22’ del doppio bipolo B sono percorse dalla stessa corrente

Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con parametri ibridiinversi gA e gb , anche il doppio bipolo ottenuto dalla connessioneserie-parallelo è rappresentabile con parametri g e si ha:

g= gA + gb

75

149

Connessione in cascata 1/2

La porta 22’ del doppio bipolo A e connessa alla porta 11’ del doppio bipolo B

La porta 11’ del doppio bipolo A e la porta 22’ del doppio bipolo B sono le due porte accessibili del doppio bipolo ottenuto dallacascata del doppio bipolo A con il doppio bipolo B

150

Connessione in cascata 2/2

Se entrambi i doppi bipoli sono rappresentabili con matrici di trasmissione TA e Tb , anche il doppio bipolo ottenuto dallaconnessione a cascata è rappresentabile con matrice di trasmissione T e si ha:

La connessione a cascata tra doppi bipoli costituisce la più importante ed utilizzata connessione di doppi bipoli

T= TA x Tb

76

151

Connessioni doppi bipoli

152

Connessioni serie-serie esempio 1

Determinare i parametri Z del doppio bipolo indicato in figura

Determinare i parametri h dello stesso doppio bipolo

il doppio bipolo equivale alla connessione serie-serie dei due doppi bipoli indicati in figura

77

153

Connessioni serie-serie esempio 2

11

11aZ

s= + 21

1aZs

=

12

1aZs

= 22

1aZ ss

= +

1 11

1 1a s sZ

ss s

+=

+

Per il doppio bipolo in alto si ha:

154

Connessioni serie-serie esempio 3

11 1 2 3bZ = + = 21 1bZ =

12 1bZ =22 2 1 3bZ = + =

3 11 3

bZ =

Per il doppio bipolo in basso si ha:

78

155

Connessioni serie-serie esempio 4 1/2

1 14 1

1 11 3

a b s sZ Z Zs

s s

+ += + =

+ + +

Il doppio bipolo ottenuto dalla connessione serie-seriepresenta una matrice di impedenza che è la somma dellematrici di impedenza

156

Connessioni serie-serie esempio 4 2/2

212

2 222 22

212 2

22 22

det[ ] 4 12 5 13 1 3 1

1 13 1 3 1

ZZ s s sZ Z s s s shZ s sZ Z s s s s

+ + ++ + + += =

+− −+ + + +

Il gruppo misto h si ottiene con le formule di trasformazione

79

157

Connessioni parallelo-parallelo esempio 1

Determinare i parametri Y del doppio bipolo indicato in figuraDeterminare la matrice di trasmissione dello stesso doppio bipolo

il doppio bipolo equivale alla connessione parallelo-parallelo deidue doppi bipoli indicati a destra

158

Connessioni parallelo-parallelo esempio 2

1.5 2.5 (0.5 0.5 )(0.5 0.5 ) 2.5

a s sY

s s+ − +

=− + +

Per il doppio bipolo in alto si ha:

80

159

Connessioni parallelo-parallelo esempio 3

0 00

bYG

=

Per il doppio bipolo in basso si ha:

160

Connessioni parallelo-parallelo esempio 4 1/2

1.5 2.5 (0.5 0.5 )(0.5 0.5 ) 2.5

a b s sY Y Y

G s s+ − +

= + =− + +

Il doppio bipolo ottenuto dalla connessione parallelo-parallelo presenta una matrice di ammettenze che è la somma delle matrici di ammettenze

81

161

Connessioni parallelo-parallelo esempio 4 2/2

22

21 21

11

21 21

1

det[ ]

YY Y

TYY

Y Y

− −

= =− −

5 2 21 2 1 2

16 2 (1 ) 11 (3 ) 3 52(1 2 ) 1 2

sG s G s

G s s s sG s G s

− −−

+ + + ++ + + + − −

−+ + + +

La matrice di trasmissione si ottiene utilizzando le formule di trasformazione

162

Connessione in cascata esempio 1

20 55 10

bZ =

Il doppio bipolo complessivo ha i seguenti parametri di impedenza

25 55 10

Z =

Determinare i parametri di ammettenza e di impedenza del doppio bipolo A

I doppi bipoli A e B sono connessi in cascataIl doppio bipolo B ha i seguenti parametri di impedenza

82

163

Connessione in cascata esempio 2

11

21 21

22

21 21

det[ ] 20 20 10 5 5 4 355 5

11 10 2155 5

b

b bb

b

b b

Z ZZ Z

TZ

Z Z

× − ×

= = =

Matrice di trasmissione T del doppio bipolo complessivo

11

21 21

22

21 21

det[ ] 25 25 10 5 5 5 455 5

11 10 2155 5

a b

Z ZZ Z

T T TZ

Z Z

× − ×

= ⋅ = = =

Matrice di trasmissione Tb del doppio bipolo B

164

Connessione in cascata esempio 3

1

15 45 4 35 1 5

( ) 1 1 0 12 25 5

a bT T T

−

−= ⋅ = =

Matrice di trasmissione Ta del doppio bipolo A

83

165

Connessione in cascata esempio 4

1 1det[ ]5 51 115 5

a a

a aa

a

a a

D TB BY

AB B

−−= =

−−

non esis

det[ ]

1tono !

a a

a aa

a

a a

A TC CZ

DC C

∞ ∞= =

∞ ∞

1 50 1

aT =

Parametri Ya del doppio bipolo A

Parametri Za del doppio bipolo A