CAMBIAMENTO DIVARIABILI IN INTEGRALI

DOPPI E TRIPLI.

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Cambiamento di Cambiamento di variabili per integrali variabili per integrali doppi e tripli doppi e tripli

Applicazioni al calcolo Applicazioni al calcolo di aree, volumi, di aree, volumi, baricentri, momentibaricentri, momenti

CAMBIAMENTO DIVARIABILI IN INTEGRALI

DOPPI E TRIPLI.

Il teorema sul cambiamento di Il teorema sul cambiamento di variabili negli integrali multipli,variabili negli integrali multipli,in particolare doppi e tripli, è unoin particolare doppi e tripli, è unodei teoremi più sofisticati del dei teoremi più sofisticati del Calcolo. Noi ci limiteremo ad Calcolo. Noi ci limiteremo ad enunciarlo e a mostrarne enunciarlo e a mostrarne l’applicazione nei casi più comunil’applicazione nei casi più comuni

Abbiamo già introdotto la nozioneAbbiamo già introdotto la nozionedi funzione localmente invertibile.di funzione localmente invertibile.Ripetiamo e precisiamo meglio Ripetiamo e precisiamo meglio questa nozionequesta nozione

Abbiamo affermato che se Abbiamo affermato che se

tra i quali f è biiettiva; dunque f(U) = V

f : A Rm Rm, A aperto, è di classeC1(A), e se det J(f)(x0) ≠ 0 allora f è localmente invertibile; cioè esistonointorni aperti U di x0 e V di y0 = f(x0)

x

Sappiamo che se una trasformazione è regolare, essa ha il determinatejacobiano non nullo in ogni punto deldominio e quindi f(A) è aperto anche se f non è necessariamente iniettivasu A. Una siffatta f è adatta a definireun cambiamento di variabili. Si puòdimostrare poi che i punti singolarinon costituiscono un insieme molto“pesante” (ha misura nulla secondoLebesgue: Teorema di Sard)

Inoltre l’inversa locale tra gli intorniaperti V e U è di classe C1(V), e la sua matrice jacobiana è l’inversa dellamatrice jacobiana di f.

Con queste precisazioni, possiamoenunciare il teorema sul cambiamentodi variabili negli integrali multipli

Teorema(cambiamento di variabili )

Sia h : U Rm V Rm, U, V aperti,

regolare e di classe C1(U), sia E U

un compatto PJ-misurabile e f:h(E)Rintegrabile. Allora è integrabile f•h

su E e si ha

f (y)dy f (h(x)) | det h (x)E

h(E) | dx

Per brevità di notazione abbiamo indicato y=h(x), e scritto h’(x) alposto della matrice jacobiana.È chiaro che questa trasformazione di coordinate è conveniente se l’integrazione su E è più agevole diquella su h(E); per esempio E èun rettangolo e la nuova funzioneda integrare non è troppo complicata

Esempio:

Si voglia calcolare

(x y)dxdyE

con E = {(x,y): 0<x≤y≤2x, 1≤xy≤2}

Posto u= x y e v = y/x , la Trasformazione h così individuata manda l’insieme E del piano xy

nel rettangolo J= [1,2][1,2] delpiano uv. La trasformazione inversa di h è

g(u,v) : x uv

y uv

che ha determinate jacobiano

det g’(u,v) = 1/2v > 0

Dunque

(x y)dxdyE

( u

v uvJ

) 12v

dudv

A conti fatti si trova 1/3 (4 - 2).Il dominio è divenuto un rettangolo e la funzione non si è troppo complicata

A parte i cambiamenti di variabiliche possono essere suggeriti dallanatura del problema (tipo di dominioo particolarità della funzione), come abbiamo visto nell’esempio precedente, i tipi di trasformazionidi coordinate più comuni, sonoquelli che già abbiamo introdottoin una lezione precedente:il cambiamento di coordinate polario (polari ellittiche) nel piano; il

cambiamento di coordinate cilindriche(o cilindrico ellittiche) e il cambiamento di coordinate sferiche(o ellissoidali) nello spazio.Precisamente

COORDINATE POLARI

Sono le coordinate così individuate

x cosy sen

0, 0 2

Sappiamo che questa trasformazione ha un solo puntosingolare: l’origine (0,0)T

Infatti il determinante jacobiano è

det J(x y) =

La trasformazione è biiettiva traR2\(0,0)T, e {(,): >0, 0 < < 2π}

Cioè vi è corrispondenza biunivocatra tutto il piano x y privato dell’origine e una striscia infinitanel piano . Se indichiamo conh-1(x,y) la trasformazione che a ,

fa corrispondere x,y abbiamo

f (x,y)dxdy

f (cos ,h1(E)

E

sen)dd

Se il dominio E è un’ellisse o partedi essa di semiassi a e b, è conveniente usare le coordinatepolari ellittiche x = a cos , y = b sen . Il determinanteJacobiano è a b

Mostriamo come ciò sia utile nel calcolo dell’area di un ellisse o delvolume di un ellissoide

Sia E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 = 1}

m(E) dxdy ab

h1(E)

E dd

Si trova facilmente m(E) = πab

Calcolo del volume di un ellissoide

E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}

Si trova, dopo qualche calcolo nondifficile, m(E) = (4/3)π abc

Ricordiamo che il calcolo in coordinate cartesiane presentavainvece qualche difficoltà

COORDINATE CILINDRICHE

Sono le coordinate così individuate

x cosy senz u 0, 0 2 , u R

Il determinante jacobiano di questa trasformazione è . L’assez è fatto di punti singolari

La trasformazione è biunivoca tral’aperto dato da R3\{asse z} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 < < 2π, u R, dello spazio u. Si può combinare questa trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

COORDINATE SFERICHE

Sono le coordinate così descritte

x sen cosy sen cosz cos

, , 0 0 0 2

Il determinante jacobiano di questa trasformazione è 2 sen . L’asse z è fatto tutto di punti singolari.

La trasformazione è biunivoca tral’aperto dato da R3\{semipiano x z, con x≤ 0} dello spazio x y z e l’aperto > 0, 0 < < π, 0 < < 2π, dello spazio . Si può combinare que-sta trasformazione con quella delle coordinate ellittiche

Mostriamo come ciò sia facilissimocon questa trasformazione calcolareil volume dell’ellissoide

E = {(x,y):x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1}

Si trova facilmente, come noto, (4/3)π abc

dxdydz 2d send d0

2

0

0

1

E abc

APPLICAZIONI ALAPPLICAZIONI ALCALCOLO DI CALCOLO DI

AREE, VOLUMI, AREE, VOLUMI, BARICENTRI,BARICENTRI,

MOMENTIMOMENTI

Già abbiamo applicato le trasformazioni di coordinate per calcolare alcune aree e volumi notevoli. Vogliamo ora presentarealcuni ulteriori esempi

Si calcolino i seguenti integralidoppi

1) Calcolare

x 2

y 2

E

dxdy

dove E è la semicorona circolare con y ≥ 0 compresa tra i cerchi di raggi 2 e 3 e centro nell’origine

2) Calcolare

arctg

yxE

dxdy

dove E è la parte di piano compresafra la spirale d’Archimede d’equazione = 2 , per 0≤ ≤ π,e l’asse x.

3) Calcolare

(x 2 y 2)dxdy

E

dove E è la parte di piano compresafra l’asse x, la circonferenza di raggio 1 e centro l’origine e la circonferenza di raggio 1 e centroin (1,0)T

Si calcolino i seguenti volumi

1) Volume della porzione di semisfera per z ≥ 0, che si proiettaSul piano x y sulla circonferenza didiametro r e centro in (r/2,0)T

2) Volume della porzione di cilindrocircolare d’equazione z = √1-x2 , che si proietta sul piano x y sul triangolo rettangolo di vertici (0,0)T,(1,0)T, (0,1)T

3) Volume della porzione di superficie paraboloidica d’equazione2 p z = x2 + y2 che si proietta sulpiano x y in un cerchio con centronell’origine a raggio r

BARICENTRI

Il baricentro d’una lamina pianaE è dato dal punto di coordinate

x

xdxdyE

m(E), y

ydxdyE

m(E)

Si calcolino i seguenti baricentri

1) Di un triangolo rettangolo

2) Di un settore circolare

3) Di una semiellissi

4) Di un segmento di parabola

MOMENTI D’INERZIA

Il momento d’inerzia di un solidodi densità unitaria rispetto a un asseassunto come asse z, solido che occupa la regione dello spazio E,è dato da

M (x 2

y 2)dxdydzE

Si calcolino i seguenti momentid’inerzia

1) Di un parallelepipedo rettangolo,rispetto ad uno spigolo

2) Di un cilindro rotondo, rispetto all’asse

3) Di un ellissoide, rispetto ad un asse