5. Doppi bipoli adinamici - die.ing.unibo.it. Doppi bipoli... · Formule di conversione tra le...

A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017

Doppi bipoli propri, impropri, tripolari. Doppi bipoli adinamici lineari inerti (omogenei) etempo invarianti. Rappresentazioni R, G, H, H’, T, T’. Esistenza delle rappresentazioni.Formule di conversione tra le rappresentazioni. Doppi bipoli in serie, in parallelo, inparallelo-serie, in serie-parallelo, in cascata. Reciprocità di un circuito. Condizioni direciprocità di doppi bipoli lineari. Simmetria. Condizioni di simmetria di doppi bipolilineari. Trasformatore ideale. Soluzione di circuiti con grafo non connesso. Soluzione dicircuiti contenenti doppi bipoli.

5. Doppi bipoli adinamici

1

QuadripoloSi consideri un componente a quattro poli. In generale per esso sono specificabili tretensioni e tre correnti rappresentative, identificabili attraverso il grafo a cespuglioassociato al componente.

i1

i2

i3

v14v24

v34

1 2

4 3

0),,,,,(

0),,,,,(

0),,,,,(

3424143213

3424143212

3424143211

vvviiif

vvviiif

vvviiif

Il comportamento del componente è specificabile attraverso un insieme di tre equazionicostitutive che coinvolgono, in generale, le tre tensioni e le tre correnti rappresentative.

2


Doppio bipolo proprioUn doppio bipolo proprio è un componente a quattro poli la cui struttura interna è taleda creare le condizioni di porta tra due coppie di terminali.

23

14

ii

ii

i2

i3

i1

i4

Per quanto riguarda le equazioni topologiche un doppio bipolo proprio è equivalente adue bipoli distinti. La differenza emerge nelle equazioni costitutive. Per 2 bipoli sonodefinibili due equazioni ciascuna delle quali coinvolge solo la propria corrente e la propriatensione, mentre per il doppio bipolo proprio sono definibili due equazioni checoinvolgono (in generale) le correnti e le tensioni di entrambe le porte.

qualunque sia il circuitoall’interno del quale ilcomponente è inserito

i2i1

v1 v2

0),,,(

0),,,(

21212

21211

vviif

vviif

i2i1

v1 v2

0),(

0),(

222

111

vif

vif

1 2

4 3

3

due bipolidistinti

doppiobipolo

tensioni v12 , v13 e v34 non definibili

i2i1

v1 v2

doppiobipoloproprio

1 2

4 3

tensioni v12 , v13 e v34 definibili

i2i1

v1 v2

doppiobipoloproprio

1 2

4 3

Un doppio bipolo proprio è un componente intrinsecamente diverso dal quadrupolo inquanto esso non stabilisce, intrinsecamente, nessuna connessione tra nodi appartenentia porte distinte. Ciò comporta che le tensioni interporta (v12, v13, v34, e v24 ) non sianodefinibili. Tali tensioni risultano definibili solo se il circuito nel quale il doppio bipolo èinserito è tale da creare una connessione fisica tra nodi appartenenti a due porte distinte.

L’indeterminazione della tensione tra nodi appartenenti a porte distinte di un doppiobipolo proprio ha un chiaro riscontro nel fatto che il grafo del componente risulta nonconnesso

doppio bipolo proprio

i2i1 i2i1

grafo del doppiobipolo proprio 4


Doppio bipolo improprioUn doppio bipolo improprio è un quadrupolo connesso a due bipoli (o più in generale adue porte proprie) tali da creare le condizioni di porta tra due coppie di terminali

23

14

ii

ii

È evidente che la condizione di porta non è intrinsecamente imposta dal componente,per cui a rigore non è possibile definire un doppio bipolo improprio se non si è specificatoil circuito in cui opera.

per via del circuito nelquale il componente èinserito

v14

v24

v34

0),,,,,(

0),,,,,(

0),,,,,(

342414321

342414321

342414321

vvviiif

vvviiif

vvviiif

c

b

a

Il comportamento del quadrupolo è specificabile attraverso tre equazioni checoinvolgono, in generale, le tre tensioni e le tre correnti rappresentative.

i2

i3

i1

i2i1

v1 v2

1 2

4 3

quadrupolo che operada doppio bipolo improprio

5

Le equazioni costitutive di un doppio bipolo possono essere riformulate sostituendo inesse le condizioni di porta e utilizzando, in alternativa alle tre tensioni v14, v24 e v34, ledue tensioni di porta v1, v2 e la tensione v34

v34

0),,,,,('

0),,,,,('

0),,,,,('

3421221

3421221

3421221

vvviiif

vvviiif

vvviiif

c

b

a

i2i1

v1 v2

v14 = v1

v24 = v2 + v34

v34 = v34

Questi tre vincoli consentono di determinare tre tra le variabili i1, i2, v1, v2 , v34 quandosiano note le altre due. Le tre tensioni v1, v2 , v34 consentono poi di determinare latensione tra qualunque coppia di nodi.

i3i3 = i2

La conoscenza della v34 è indispensabile per valutare la tensione tra nodi appartenenti a dueporte distinte. Nel caso in cui tale informazione non sia di interesse si può rinunciare aconoscere la v34 e rinunciare quindi ad una delle equazioni costitutive. Queste si riduconoallora a due soli vincoli che coinvolgono le sole variabili di porta i1, i2, v1, v2 ,

0),,,(

0),,,(

21212

21211

vviif

vviif

6


In pratica considerare un generico quadrupolo come un doppio bipolo, rappresentandoloquindi attraverso due sole equazioni anziché tre, equivale a rinunciare a conoscere latensione che sussiste tra due nodi appartenenti a porte diverse (si noti che tale tensionesarebbe fisicamente definibile in quanto una connessione fisica tra questi nodi esisteinternamente al componente)

È chiaro però che ciò è possibile solo se la terza corrente rappresentativa del quadrupolonon è indipendente dalle altre due, ossia solo se il circuito a cui il quadrupolo è collegato ètale da imporre, impropriamente, la condizioni di porta.

L’indeterminazione della tensione tra nodi appartenenti a porte distinte di un doppiobipolo improprio ha riscontro nel fatto che il grafo associato al componente risulta nonconnesso

quadrupolo che operada doppio bipolo improprio

i2i1

i2i1

grafo del quadrupolo che operada doppio bipolo improprio

i2i1 grafo delquadrupolo genericoi3

7

Doppio bipolo tripolare

Un tripolo è un componente a tre terminali e come tale è rappresentabile attraverso duetensioni e due correnti (identificabili attraverso il grafo a cespuglio)

i11 2

3

i2v13 v12

0),,,(

0),,,(

2313212

2313211

vviif

vviif

Il comportamento del tripolo è specificabile attraverso due equazioni costitutive checoinvolgono, in generale, le due correnti e le due tensioni rappresentative

8


Il doppio bipolo così ottenuto prende il nome di doppio bipolo tripolare ed è definito dalledue relazioni costitutive del tripolo da cui deriva

0),,,(

0),,,(

2313212

2313211

vviif

vviif

Si noti che per il doppio bipolo tripolare i terminali (e i nodi) di uscita delle due porte nonsono in realtà distinti. Pertanto la tensione tra nodi appartenenti a porte distinte risultasempre determinabile. Ciò trova riscontro nel fatto che il grafo del tripolo è connesso.

0),,,(

0),,,(

21212

21211

vviif

vviif

i2i1

i2i1 i1+i2

v1

1

4

i2i1

i2i1

i1+i2

v2

1

v1

2

3

i2i1

v12

1

v13

i1+i2

2

3

2

3

Un tripolo è concepibile come un doppio bipolo proprio i cui terminali di uscita siano postiin comune. Se si immagina infatti di sdoppiare il terminale di uscita di un tripolo in dueterminali distinti si ottiene un componente quadripolare per il quale sussistono le duecondizioni di porta. Alle due porte sono associate due tensioni che coincidono con letensioni rappresentative del tripolo

v1 = v13

v2 = v23

9

Doppi bipoli adinamici lineari, inerti e tempo invariantiNel seguito si introducono i doppi bipoli adinamici (detti anche doppi bipoli resistivi)ossia doppi bipoli caratterizzati da una relazione costituiva che non coinvolge le derivatedelle correnti o delle tensioni rappresentative. Non sarà fatta nessuna distinzione sullanatura del doppio bipolo (proprio, improprio, tripolare)

i1

0),,,(

0),,,(

21212

21211

vviif

vviifv1

i2

v2

Appartengono alla categoria dei doppi bipoli lineari, inerti e tempoinvarianti anche lequattro sorgenti pilotate introdotte a suo tempo.

Restringeremo per il momento la nostra attenzione ai doppi bipoli lineari, inerti (o omogenei )e tempoinvarianti, ossia caratterizzati da relazioni costitutive lineari, a coefficienti costanti eprive di termini impressivi (i.e. omogenee) che in generale possono essere espresse come

0

0

222121222121

212111212111

vhvhihih

vhvhihihvvii

vvii

0vHiH vi

Questa forma delle relazioni costitutive è detta rappresentazione implicita del doppiobipolo

10


La rappresentazione implicita del doppio bipolo coinvolge quattro variabili (le 2 correnti ele 2 tensioni caratteristiche). Si definisce rappresentazione esplicita (o semplicementerappresentazione) del doppio bipolo una versione delle equazioni costitutive in cui duevariabili sono espresse esplicitamente in funzione delle altre due. Sono possibili le seirappresentazione seguenti

variabiliindipendenti

variabilidipendenti

in corrente(mediante matrice R ) i1 , i2 v1 , v2

in tensione(mediante matrice G ) v1 , v2 i1 , i2

ibrida diretta(mediante matrice H ) i1 , v2 v1 , i2

ibrida inversa(mediante matrice H’ ) v1 , i2 i1 , v2

trasmissione diretta(mediante matrice T ) -i2 , v2 i1 , v1

trasmissione inversa(mediante matrice T’ ) -i1 , v1 i2 , v2

Un doppio bipolo può, in generale, non ammettere alcune delle rappresentazioni 11

Rappresentazione in corrente

i1

v1

i2

v2

2221212

2121111

irirv

irirv iRv

R matrice di resistenza,

v2

i1

v101

111

2

i

i

vr

01

221

2

i

i

vr

v2

i2

v102

222

1

i

i

vr

02

112

1

i

i

vr

resistenza diingresso a vuoto,

resistenza ditrasferimento a vuoto,

12


2221212

2121111

irirv

irirv Ra

Rb Rc

Raia

i1

v1

Rb Rc

v2ib ic

Si vuole determinare a titolo di esempio la rappresentazione in corrente del doppio bipolo difigura

1

1

1

iRR

Ri

iRR

Ri

ii

cb

bc

cb

cb

a

12

11

iRR

RRiRv

iRR

RRRiRiRv

cb

bccc

cb

cbabbaa

1a condizione: i1 imposta e i2 = 0

;;01

221

01

111

22cb

bc

icb

cba

iRR

RR

i

vr

RR

RRR

i

vr

13

i22

2

0

iRR

Ri

iRR

Ri

i

cb

bc

cb

cb

a

22

21

iRR

RRiRv

iRR

RRiRiRv

cb

bccc

cb

cbbbaa

Rav1

Rb Rc

ib icia

2a condizione: i2 imposta e i1 = 0

v2

;;02

112

02

222

11cb

cb

icb

cb

iRR

RR

i

vr

RR

RR

i

vr

14


Rappresentazione in tensione

i1

v1

i2

v2

2221212

2121111

vgvgi

vgvgi vGi

G matrice di conduttanza, S

i1

v101

111

2

v

v

ig

01

221

2

v

v

ig

02

222

1

v

v

ig

02

112

1

v

v

ig

+i2

i1 i2

v2

+

conduttanza di ingressoin corto circuito, S

conduttanza di trasferimentoin corto circuito , S

15

Rappresentazione ibrida diretta

i1

v1

i2

v2

2221212

2121111

vhihi

vhihv

2

1

2

1

v

i

i

vH

H matrice ibrida diretta

01

111

2

v

i

vh

01

221

2

v

i

ih

02

222

1

i

v

ih

02

112

1

i

v

vg

resistenza di ingressoin corto circuito,

guadagno di correntein corto circuito, --

i2

i2

v2

+

i1

v1

conduttanza di ingressoa vuoto, S

guadagno di tensionea vuoto, --

v1

16


Rappresentazione ibrida inversa

i1

v1

i2

v2

2221212

2121111

''

''

ihvhv

ihvhi

2

1

2

1 'i

v

v

iH

H’ matrice ibrida inversa

01

111

2

'

i

v

ih

01

221

2

'

i

v

vh

02

222

1

'

v

i

vh

02

112

1

'

v

i

ih

i1

v1

+ v2

v2

i2

i1

conduttanza di ingressoa vuoto, S

guadagno di tensionea vuoto, --

resistenza di ingressoin corto circuito,

guadagno di correntein corto circuito, --

17

Rappresentazione di trasmissione direttai1

v1

i2

v2

2222211

2122111

)(

)(

vtiti

vtitv

2

2

1

1

v

i

v

iT

T matrice di trasmissione diretta

01

2

112

1

vv

i

t

Al fine di determinare i coefficienti della matrice T non è possibile adoperare direttamentela definizione perché ciò richiederebbe l’imposizione di entrambe le grandezze alla porta diingresso, il che è impossibile. Ad esempio, per determinare t11 occorrerebbe imporre unagenerica corrente i2 alla seconda porta mediante un generatore e imporre al contempo v2 =0 mediante un collegamento di corto circuito. Per determinare i coefficienti si procede nelmodo seguente

v1 +

i2

01

2

122

1

i

v

v

t

v1 + v2

01

2

212

1

vi

i

t 01

2

222

1

i

i

v

tv2

i2

i1 i1

È consuetudine considerare i2 anziché i2

come variabile rappresentativa

18


Rappresentazione di trasmissione inversa

i1

v1

i2

v2

1221212

1121112

')('

')('

vtiti

vtitv

1

1

2

2 'v

i

v

iT

T’ matrice di trasmissione diretta

Al fine di determinare i coefficienti della matrice T’ non è possibile adoperare direttamentela definizione perché ciò richiederebbe l’imposizione di entrambe le grandezze alla porta diingresso, il che è impossibile. Ad esempio, per determinare t’11 occorrerebbe imporre unagenerica corrente i1 alla prima porta mediante un generatore e imporre al contempo v1 = 0mediante un collegamento di corto circuito.

Per determinare i coefficienti si procede in modo analogo a quanto esposto per la matrice T.

È consuetudine considerare i1 anziché i1

come variabile rappresentativa

19

Relazione tra le varie rappresentazioni

2

1

2

1

2

1

2

1

v

v

i

i

i

i

v

v

G

R

2

1

2

1

2

1

2

1

'i

v

v

i

v

i

i

v

H

H

1

1

2

2

2

2

1

1

'v

i

v

i

v

i

v

i

T

T

Sussistono le seguenti relazioni tra le matrici R-G, H-H’ e T-T’

Ciascuna rappresentazione impone due relazioni tra le quattro variabili i1 , i2 , v1 , v2

rappresentative del doppio bipolo. Sotto opportune condizioni tali relazioni possonoessere invertite algebricamente e due qualsiasi delle variabili possono essere espressein funzione delle altre due

1 RG 1' HH1' TT

222

122

212

222

121

22

211222111

1i

hi

h

hv

ih

hi

h

hhhhv

2221212

2121111

vhihi

vhihv

2121222

1112121

iihvh

ihvhv

022 hrappr. H rappr. R

20

segnodicambiatiecon '21

'12 tt


Sotto opportune condizioni sui coefficienti delle matrici è dunque possibile passare daciascuna rappresentazione ad un’altra. Le formule per effettuare le varie trasformazionisono riportate sotto. Le condizioni di fattibilità di ciascuna trasformazione si ottengonodall’analisi dei denominatori che compaiono nelle formule.

21

11

21

2121

22

21

22

21

2121

11

1111

21

11

12

11

2222

21

22

12

22

1121

1222

2221

1211

'

'

'

det'

1

'

'

1

det

'

'det

'

'

'

'

1

1

det

detdet

detdet

t

t

t

tt

t

t

t

t

tt

t

hh

hh

h

h

hh

h

h

h

hgg

gg

rr

rr

T

T

H

H

GG

GGR

12

22

12

1212

11

12

11

12

1212

22

2222

21

22

12

22

1111

21

11

12

11

2221

1211

1121

1222

'

'

'

'det'

1

'

'

1

det

'

1

'

'

'

'

'

'det

det

1

detdet

detdet

t

t

t

tt

t

t

t

t

tt

t

hh

h

h

h

h

hh

hh

h

h

gg

ggrr

rr

T

TH

HRR

RRG

11

21

11

1111

12

22

21

22

2222

12

1121

1222

2221

1211

1111

21

11

12

11

2222

21

22

12

22

'

'

'

'det'

1

'

'

1

det

'det

'

'det

''det

'

'det

'

det

1

1

det

t

t

t

tt

t

t

t

t

tt

t

hh

hh

hh

hh

gg

gg

g

g

rr

rr

r

rT

T

HH

HHG

R

H

21

22

12

22

2222

21

11

12

11

1111

21

2221

1211

1121

1222

2222

21

22

12

22

1111

21

11

12

11

'

'

'

'det'

1

'

'

1

det

''

''

detdet

detdet1

det

det

1

'

t

t

t

tt

t

t

t

t

tt

t

hh

hhhh

hh

gg

gg

g

g

rr

rr

r

rT

T

HH

HH

G

RH

'det

'

'det

''det

'

'det

'

'

'det

'

''

'

'

1

1

det

det

1

1

det

1121

1222

2221

1211

2121

11

21

22

21

2121

22

21

11

21

21

11

21

2121

22

21

22

21

2121

11

TT

TTH

H

G

R

Ttt

tt

tt

tt

hh

hh

h

h

hh

hh

h

h

g

g

g

gg

g

r

r

r

rr

r

2221

1211

1121

1222

1212

11

12

22

12

1212

22

21

11

12

12

22

12

1212

11

12

11

12

1212

22

''

''

det

'

det

'detdet

'

1

'

''

'

'

'det

'det

1

det

1

1

det

'tt

tttt

tt

hh

hh

h

h

hh

hh

h

h

g

g

g

gg

g

r

r

r

rr

r

TT

TT

H

HG

R

T

22


Un doppio bipolo può non ammettere una data rappresentazione. Ciò si verifica se non èpossibile imporre liberamente le variabili indipendenti relative alla rappresentazione.

Ciò sussiste senz’altro per il caso in esame. La matrice R è dunque calcolabile e risulta

Ra Rc

Rb

Si consideri a titolo di esempio il doppio bipolo di figura. Affinché esista larappresentazione mediante matrice R deve essere possibile calcolare le tensioni che sistabiliscono alle porte quando si impongono ad arbitrio le correnti. Ciò comporta che ilcircuito ottenuto applicando un generatore di corrente su ciascuna porta non deve esserepatologico.

i1 i2

00

0cb

cba RR

RRR

R

Esistenza delle rappresentazioni

23

Si noti che relativamente alla rappresentazione mediante matrice R risulta det(R) = 0 er22 = 0. Dalle formule di conversione da una rappresentazione ad un’altra si deduce quindiche, coerentemente con quanto detto, né la matrice G né la matrice H sono ottenibilidalla matrice R ( sia det(R) che r22 appaiono al denominatore ).

Ra Rc

Rb

Lo stesso doppio bipolo non ammette tuttavia la rappresentazione mediante matrice G.Non è infatti possibile calcolare le correnti che si stabiliscono alle porte quando siimpongono ad arbitrio le tensioni. Ciò accade perché il circuito ottenuto applicando ungeneratore di tensione su ciascuna porta (ed in particolare sulla seconda) risultapatologico. Per la stessa ragione risulta impossibile anche la rappresentazione mediante lamatrice H.

v1

Circuito patologico

Rappresentazione in tensioneimpossibile

+

v2

+

24


Ra

ia

k ia

Si noti che la non esistenza di alcune rappresentazioni può essere dovuta alla presenza digeneratori pilotati all’interno del doppio bipolo.

Si consideri ad esempio il doppio bipolo di figura. Affinché esista la rappresentazionemediante matrice R il circuito ottenuto applicando un generatore di corrente su ciascunaporta deve essere non patologico.

i1 i2

Non è possibile imporre ad arbitrio entrambe le correnti (il circuito è patologico).Non esiste dunque la rappresentazione R.

k

iiikii aaa

10 1

1

k

ikiki a

11

2

Il doppio bipolo ammette comunque la matriceG che risulterà non invertibile non esistendo R.

0

01

a

a

R

kR

k

G

Dall’analisi delle formule di conversione tra le varie rappresentazioni si deduce che, data la presente matrice G,il doppio bipolo ammette le matrici H e T’ e non ammette le matrici R, H’ e T

25

Determinare la matrice G del doppio bipolo improprio di figura

Esercizio 5.1

Ra

Rb Rd

Rc

Esercizio 5.2Determinare la matrice H del doppio bipolo improprio di figura

Ra

Rb

Rd

Rc

Ra = 1 Rb = 4 Rc = 2 Rd = 1

Ra = 2 Rb = 2 Rc = 4 Rd = 1

26


Determinare le matrici R e H del doppio bipolo improprio di figura

Esercizio 5.3

Ra Rb

Rc

Esercizio 5.4Determinare le matrici G e H’ del doppio bipolo improprio di figura

k ic

ic

Ra = 1 Rb = 1 Rc = 2 k = 2

Rc

RbiaRa

+

RdRa = 1 Rb = 1 Rc = 2 Rd = 1 k = 2

k ia

27

Determinare le matrici R e H del doppio bipolo proprio di figura

Esercizio 5.5

Ra = 1 Rb = 1 Rc = 1 k1 = 2 k2 = 1

iaRa

+k1 ic

ic

Rb

Rc

k2 ia

28


Due doppi bipoli si dicono in serie quando sia le porte di ingresso che quelle di uscita sonocollegate in serie. Tale collegamento dà luogo ad un doppio bipolo equivalente la cuimatrice delle resistenze è data dalla somma delle singole matrici

Doppi bipoli in serie

i1a

v1a

i2a

v2a

i1b

v1b

i2b

v2b

v1v2

i1 i2

ba

ba

vvv

vvv

222

111

aaa iRv

ba vvv

ba

ba

iii

iii

222

111

ba iii

bbb iRv Ra

Ra

iRRiRiRv babbaa

i1

v1

i2

v2Ra+Rb

29

Due doppi bipoli si dicono in parallelo quando sia le porte di ingresso che quelle di uscitasono collegate in parallelo. Tale collegamento dà luogo ad un doppio bipolo equivalente lacui matrice delle conduttanze è data dalla somma delle singole matrici

Doppi bipoli in parallelo

i1a

v1a

i1b

v1b

v1

ba

ba

iii

iii

222

111

aaa vGi

ba iii

ba

ba

vvv

vvv

222

111

ba vvv

bbb vGi Ga

Gb

vGGvGvGi babbaa

i1

v1

i2

v2Ga+Gb

i1

i2a

v2a

i2b

v2b

v2

i2

30


Due doppi bipoli si dicono in serie-parallelo quando le porte di ingresso sono collegate inserie e quelle di uscita sono collegate in parallelo. Tale collegamento dà luogo ad undoppio bipolo equivalente la cui matrice ibrida diretta è data dalla somma delle singolematrici

Doppi bipoli in serie-parallelo

ba

ba

iii

vvv

222

111

a

aa

a

a

v

i

i

v

2

1

2

1 H

ba

ba

vvv

iii

222

111

Ha

Hb

2

1

2

1

2

1

2

1

v

i

v

i

v

i

i

vba

b

bb

a

aa HHHH

i1

v1

i2

v2Ha+Hb

i2a

v2a

i2b

v2b

v2

i2

i1a

v1a

i1b

v1b

v1

i1

b

ba

b

b

v

i

i

v

2

1

2

1 H

b

b

a

a

v

i

v

i

v

i

2

1

2

1

2

1

b

b

a

a

i

v

i

v

i

v

2

1

2

1

2

1

31

Due doppi bipoli si dicono in parallelo-serie quando le porte di ingresso sono collegate inparallelo e quelle di uscita sono collegate in serie. Tale collegamento dà luogo ad undoppio bipolo equivalente la cui matrice ibrida inversa è data dalla somma delle singolematrici

Doppi bipoli in parallelo-serie

ba

ba

vvv

iii

222

111

a

aa

a

a

i

v

v

i

2

1

2

1 H

ba

ba

iii

vvv

222

111

Ha

Hb

2

1

2

1

2

1

2

1 ''''i

v

i

v

i

v

v

iba

b

bb

a

aa HHHH

i1

v1

i2

v2Ha+Hb

b

bb

b

b

i

v

v

i

2

1

2

1 H

b

b

a

a

i

v

i

v

i

v

2

1

2

1

2

1

b

b

a

a

v

i

v

i

v

i

2

1

2

1

2

1

i1a

v1a

i1b

v1b

v1

i1

i2a

v2a

i2b

v2b

v2

i2

32


Due doppi bipoli si dicono in cascata quando la porta di ingresso dell’uno è collegata aquella di uscita dell’altro. Tale collegamento dà luogo ad un doppio bipolo equivalente lacui matrice di trasmissione diretta è data dal prodotto delle singole matrici

Doppi bipoli in cascata

i1a

v1a

i2a

v2a

i1b

v1b

i2b

v2bTa Tb

i1

v1

i2

v2Ta Tb

i1

v1

i2

v2

a

aa

a

a

v

i

v

i

2

2

1

1 T

a

a

vv

ii

11

11

b

bb

b

b

v

i

v

i

2

2

1

1 T

ba

ba

vv

ii

12

12

b

b

vv

ii

22

22

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

v

i

v

i

v

i

v

i

v

i

v

iba

b

bba

b

ba

a

aa

a

a TTTTTT

33

In termini generali la reciprocità consiste nella interscambiabilità tra causa ed effetto. Perquanto riguarda i circuiti la reciprocità si estrinseca come segue

Reciprocità

Si consideri un qualsiasi circuito . Si spengano in esso tutti i generatori di tensione e dicorrente indipendenti. Si disponga tra i generici nodi P e Q un generatore di corrente divalore i orientato da P verso Q. A causa di tale generatore tra i generici nodi M e N sistabilirà la tensione v‘NM. Si disponga poi il medesimo generatore tra i generici nodi M e Norientato da M verso N. Come conseguenza tra i nodi P e Q si stabilirà la tensione v'‘QP

In pratica un circuito è reciproco rispetto a due coppie di nodi se scambiando la posizionedi un generatore di corrente e di un voltmetro l’indicazione di quest’ultimo non muta

Il circuito si dice "reciproco rispetto allecoppie di nodi P-Q ed M-N" se è risulta: NMQP vv '''

i

P

Q

M

N v'NM

P

Q

M

N

v''QP

i

34


+vg

i'k+

i''hvg

Analogamente, si consideri un qualsiasi circuito e si spengano in esso tutti di generatori ditensione e di corrente indipendenti. Si disponga sul generico ramo h un generatore ditensione di valore vg orientato concordemente con il ramo. A causa di tale generatore nelramo k circolerà la corrente i'k. Si disponga poi il medesimo generatore sul ramo horientandolo concordemente con esso. Come conseguenza nel ramo h circolerà lacorrente i''k.

ram

ok

In pratica un circuito è reciproco rispetto ad un paio di rami se scambiando la posizione diun generatore di tensione e di un amperometro l’indicazione di quest’ultimo non muta

ram

ok

Il circuito si dice "reciprocorispetto ai rami h e k" se risulta: kh ii '''

Se un circuito è reciproco rispetto a qualsiasi paio di coppie di nodi e a qualsiasi paio dirami allora si dice reciproco (senza ulteriori specificazioni) 35

Dalle definizioni introdotte risulta che un circuito composto da un solo bipolo alimentato daun generatore (di tensione o di corrente) è necessariamente reciproco. Ciò si esprime piùsemplicemente dicendo che un bipolo è necessariamente reciproco.

Si consideri ora un circuito composto da un doppio bipolo alimentato alle due porte da duegeneratori. Sulla base della prima definizione introdotta il circuito risulta reciproco se r12 = r21

v'2 = r21 i

i i

v''1 = r12 i

Ciò si esprime più semplicemente dicendo che un doppio bipolo è reciproco se e solo se

v''1 = v'2 r12 = r21

Più in generale è possibile dimostrare che un circuito composto solo da bipoli lineari ènecessariamente reciproco.

In altri termini un doppio bipolo è reciproco se e solo se la matrice delle resistenze èsimmetrica

r12 = r21

36


Sulla base della seconda definizione introdotta il circuito risulta reciproco se

i'2 = g21 v+ i''1 = g12 v

i''1 = i'2 g12 = g21

v+

v

Un doppio bipolo è reciproco se e solo se

Si noti che la prima e la seconda condizione di reciprocità non sono indipendenti l’unadall’altra ma sono tra di loro equivalenti. Dalle formule di conversione tra lerappresentazioni in corrente ed in tensione risulta infatti

21122112

2112 detdetrr

rrgg

RR

In altri termini un doppio bipolo è reciproco se e solo se la matrice delle conduttanze èsimmetrica

g12 = g21

37

In generale, utilizzando le condizioni di reciprocità appena dedotte in termini di parametriR o G e adoperando le formule di conversione tra le varie rappresentazioni è possibileottenere le seguenti condizioni di reciprocità sulla base dei paramenti di ciascunarappresentazione (purché questa esista)

matrice R matrice G matrice H matrice H’ matrice T matrice T’r12 = r21 g12 = g21 h12 = h21 h’12 = h’21 det T = 1 det T’ = 1

È opportuno precisare che proprio la reciprocità dei doppi bipoli è alla base della varietàdelle funzioni che con essi si possono realizzare, in particolare nel trattamento del segnale

38


Consideriamo ora due generiche coppie di correnti e tensioni di porta tali da soddisfare lerelazioni di definizione di un doppio bipolo lineare (espresse ad esempio attraverso lamatrice R)

'

'

'

'

2

1

2

1

i

i

v

vR

Ci proponiamo di valutare sotto quali condizioni la seguente relazione è soddisfattaindipendentemente dal valore assunto dalle correnti di porta

''

''

''

''

2

1

2

1

i

i

v

vR

'''''''''''' 22112211 iviviviv

L’uguaglianza della somma dei prodotti vi incrociati è dunque soddisfatta se e solo se èsoddisfatta la condizione di reciprocità r12 = r21 e pertanto può essere adoperata comeuna definizione equivalente della reciprocità di un doppio bipolo lineare

Si specifica che in generale, qualunque sia la rappresentazione utilizzata per il doppio bipolo lineare, l’uguaglianzadella somma dei prodotti vi incrociati sussiste (per qualunque valore delle variabili indipendenti) se e solo se èsoddisfatta la condizione di reciprocità espressa attraverso i paramenti della rappresentazione adoperata.L’uguaglianza della somma dei prodotti vi incrociati costituisce dunque una definizione alternativa della reciprocità.39

2121t

ttt

tt

tt

tt

''''''

''''''

''''''

'','''''''

rr

RR

iRiiRi

iRiiiR

viiv

iiiviv

Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari a T e a

i1

v1

i2

v2

Si consideri un doppio bipolo rappresentato mediante la matrice delle resistenze

2221212

2121111

irirv

irirvR

Le equazioni di definizione sono interpretabili attraverso il seguente modello circuitale

+ +v2

i1

v1

i2r11

r21 i1

r22

r12 i2

212221122121122

2112112111

irrirriirv

iirirrv

Le equazioni di definizione possono essere riscritte come

40


Ciò dà luogo al seguente modello circuitale

+

v2

i1

v1

i2r11 r12

r12

212221122121122

2112112111

irrirriirv

iirirrv

Un doppio bipolo lineare che ammette la matrice R è schematizzabile attraverso uncircuito equivalente costituito da tre resistori collegati a stella (o a T) e da un generatore ditensione pilotato in corrente

r22 r12

(r21 r12 ) i1

Se il doppio bipolo è reciproco allora r12 = r21 e il circuito equivalente si riduce a

Un doppio bipolo lineare reciproco che ammetta la matrice R è equivalente a tre resistoricollegati a stella

v2

i1

v1

i2r11 r12

r12

2122221122

2112112111

irriirv

iirirrv

r22 r12

41

i1

v1

i2

v2

Si consideri un doppio bipolo rappresentato mediante la matrice delle conduttanze

2221212

2121111

vgvgi

vgvgiG

Le equazioni di definizione sono interpretabili attraverso il seguente modello circuitale

i1

v1

g11

Le equazioni di definizione possono essere riscritte come

212221212112212

2112112111

vggvvgvggi

vvgvggi

g12v2

i2

v2

g22

g21v1

42


Ciò dà luogo al seguente modello circuitale (alternativo ma equivalente al precedente)

Un doppio bipolo lineare che ammette la matrice G è schematizzabile attraverso un circuitoequivalente costituito da tre resistori collegati a triangolo (o a ) e da un generatore dicorrente pilotato in tensione

Se il doppio bipolo è reciproco allora g12 = g21 e il circuito equivalente si riduce a

Un doppio bipolo lineare reciproco che ammetta la matrice G è equivalente a tre resistoricollegati a triangolo

212221212112212

2112112111

vggvvgvggi

vvgvggi

i1

v1 g11+g12

i2

v2

g12

(g21 g12)v1g22+g12

2122212122

2112112111

vggvvgi

vvgvggi

i1

v1 g11+g12

i2

v2

g12

g22+g12

Dato un doppio bipolo lineare reciproco è possibile passare dalla sua rappresentazionemediante tre resistori a stella a quella (equivalente) mediante tre resistori a triangolo eviceversa adoperando le formule di trasformazione precedentemente discusse 43

Un doppio bipolo si dice simmetrico se scambiando la porta 2 con la porta 1 ilcomportamento del circuito nel quale è inserito non muta

Doppi bipoli simmetrici

i1

v1

i2

v2

2

1

2221

1211

2

1

i

i

rr

rr

v

v

i1

v1

i2

v2

Porta

1

Porta

2

Porta

2

Porta

1

2

1

1112

2122

2

1

i

i

rr

rr

v

v

Dalla definizione segue che le condizioni sui parametri raffinché un dipolo sia simmetrico sono

1221

1122

rr

rr

44


matrice R matrice G matrice H matrice H’ matrice T matrice T’r11 = r22

r12 = r21

g11 = g22

g12 = g21

det H = 1h12 = h21

det H’ = 1h’12 = h’21

t11 = t22

det T = 1t’11 = t’22

det T’ = 1

Utilizzando le condizioni di simmetria dedotte in termini di parametri R e adoperando leformule di conversione tra le varie rappresentazioni è possibile ottenere le seguenticondizioni di simmetria sulla base dei paramenti di ciascuna rappresentazione (purchéquesta esista)

Dal confronto tra le condizioni di reciprocità e quelle di simmetria si deduce che undoppio bipolo simmetrico è anche reciproco

45

i2 v2i1v1

k : 1

12

21

iki

vkv

2

1

2

1

0

0

v

i

k

k

i

v

k: rapporto di trasformazione (adimensionale)

Trasformatore ideale

Il trasformatore ideale è un doppio bipolo proprio, lineare, reciproco ( h21 = h12 ) e nonsimmetrico

La potenza complessivamente assorbita da un trasformatore ideale è sempre nullapa = v1 i1 + v2 i2 = v1 i1 + ( v1 / k ) ( k i1 ) = v1 i1 v1 i1 = 0

p1 (t) = p2 (t) t

Ciò comporta che la potenza assorbita alla prima porta sia sempre uguale e opposta a quellaassorbita alla seconda. Il trasformatore consente quindi di trasferire integralmente una datapotenza p dalla porta 1 alla porta 2 variandone i paramenti v e i.Nei trasformatori reali in uso nelle reti elettriche, operanti in regime di corrente alternata, il trasferimento dellapotenza tra due avvolgimenti privi di contatto fisico avviene attraverso l’intermediazione di un campo magneticovariabile nel tempo. Tali dispositivi sono schematizzabili con buona approssimazione attraverso il trasformatoreideale. Si noti che trattandosi di un doppio bipolo proprio non esiste alcuna connessione tra la porta 1 la porta 2.

46


47

Convenzioni sui versi: Il verso delle tensioni e delle correnti da adoperare alle due porte perla definizione del trasfomatore di solito non è indicato esplicitamente. In tal caso sonoindicati dei puntini che consentono di risalire ai versi da adoperare. Alcuni esempi:

k : 1

i2 v2i1v1

k : 1

12

21

iki

vkv

i1v1

i2v2

12

21

iki

vkv

1: k

i1v1

12

21

iki

vkv

k : 1

i2 v2

1: k

i2

v2i1

v1

Se alla porta 2 del trasformatore è collegato un resistore di valore R la porta 1 può esserevista come un resistore di valore k2R

R

12

221 iRkiRkvkv

i1v1

k2R

12

1 iRkv

Analogamente se alla porta 1 del trasformatore è collegato un resistore di valore R la porta2 può essere vista come un resistore di valore R/k2

v2

i2

v1

R

2211

2 ik

R

k

iR

k

vv

i2

v2

R / k2

i1

222 ik

Rv

48

k : 1

k : 1


i2

v2i1

v1

gekvkv 21

i1v1

gekv 1

+

eg

+

k eg

i2

v2i1

v1

Se alla porta 2 (porta 1) del trasformatore è collegato un generatore di tensione di valore eg

la porta 1 (porta 2) può essere vista come un generatore di tensione di valore k eg ( eg / k )

k

i

k

ii g 2

1

i1v1

k

ii g1

ig ig / k

Se alla porta 2 (porta 1) del trasformatore è collegato un generatore di corrente di valore ig

la porta 1 (porta 2) può essere vista come un generatore di corrente di valore ig / k (k ig )

49

k : 1

k : 1

i2

v2i1

v1

Sussistono inoltre le seguenti uguaglianze

R

gg ekiRkeiRkvkv 12

221

i1v1

gekiRkv 12

1

+eg

+keg

k2R

i2

v2i1

v1

R

k

i

Rk

v

k

iRv

k

ii gg

2

1221

/

i1v1

k

i

Rk

vi g

2

11

k2Rig ig / k

50

k : 1

k : 1


m-porte adinamici lineari, inerti e tempo invariantiTutto quanto esposto fino ad ora relativamente ai doppi bipoli lineari, inerti etempoinvarianti è generalizzabile ai componenti a m-porte

Per gli n-porte lineari e omogenei sono definibili le rappresentazioni in corrente (v = R i),in tensione (i = G v) e ibride

0......

...

0......

0......

22112211

22221212222121

12121111212111

mimm

im

imm

vmm

vm

vm

mim

iim

vm

vv

mim

iim

vm

vv

ihihihvhvhvh

ihihihvhvhvh

ihihihvhvhvh

0iHvH iv

i1

v1

i2

v2

in

vn

rappresentazione implicita

Un n porte è reciproco se e solo se la matrice R e la matrice G sono simmetriche

Utilizzando le rappresentazioni ibride si può affermare che un n porte è reciproco se e solo sehij = hji se hij rappresenta una transresistenza o transconduttanzahij = hji se hij rappresenta un guadagno di tensione o di corrente

51

In presenza di doppi bipoli sia propri che impropri (o in generale di componenti multipolari)si procede in modo del tutto analogo a quanto visto per i circuiti contenenti solo bipoli. Inparticolare per individuare il sistema risolvente è necessario

1. Individuare le R correnti e le R tensioni incognite che si stabiliscono nel circuito2. Individuare le R equazioni topologiche indipendenti ( (N1) LKC e R (N1) LKT )3. Aggiungere alle precedenti R equazioni topologiche le R relazioni costitutive dei

componenti

Soluzione di un circuito contenente doppi bipoli

T i = 0

R correnti di ramo (i)R tensioni di ramo (v)2R incognite

N1 LKC

R (N1) LKT

Req

.

R Rel. costitutive deicomponenti

Req

.

2Req

uazio

ni

incogniteequazioni

L v = 0

f ( i , v ) = 0

Per effettuare senza ambiguità i passaggi (1) e (2) è utile adoperare il grafo del circuito

52


Si considera a titolo di esempio il circuito difigura costituito da 5 bipoli e da un doppiobipolo improprio (tripolo) interconnessimediante 5 nodi

Si introduce il grafo del circuito. Questo ècostituito da 7 rami afferenti a 5 nodi (R=7,N=5). Si introduce un nome e un verso per lecorrenti. Si assume che i versi delle tensionisiano associati a quelli delle correnti secondo laconvenzione dell’utilizzatore. In questo modo ènecessario indicare esplicitamente le tensionisul disegno. Si introduce quindi unasuddivisione del grafo in albero e coalbero

eg

R1

+

i1

R2

R3

k i1

i1

i2

i3

i5

i4

correnti di albero i2, i4, i6

correnti di coalbero i1, i3, i5, i7

R

i7

i6

53

si introducono le equazioni topologiche

0

0

0

516

34

7132

vvv

vv

vvvv

0

0

0

0

27

65

423

621

ii

ii

iii

iii

si introducono le relazioni costitutive dei componenti

R (N1) LKT

R Rel. cost. comp.

N1 LKC

2R equazioni 2R incognite: R correnti ( i1, i2, i3 , i4, i5 , i6, i7 ) ,R tensioni ( v1, v2, v3 , v4, v5 , v6, v7 )

Il sistema così ottenuto consente di determinare tutte le correnti e tutte le tensioni diinteresse del circuito

7226217

7126116

5

14

333

222

111

irirv

irirv

ev

iki

iRv

iRv

iRv

g

54


In presenza di doppi bipoli propri (non tripolari o impropri) o più in generale in presenza di m-porte propri il grafo del circuito può risultare non connesso. In tal caso non è possibile, arigore, suddividere il grafo in albero e coalbero al fine di individuare univocamente l’insiememassimale di LKC e LKT indipendenti (non essendo il circuito connesso non è possibile trovareun sottografo connesso che tocchi tutti i nodi)

Soluzione di un circuito non connesso

Si consideri un grafo non connesso avente R rami e N nodi. Sia S il numero dei sottograficonnessi e disgiunti di cui il grafo è costituito. Siano Ni ed Ri il numero di nodi e di rami diciascuno di tali sottografi.

grafo non connessoR = 8, N = 6 , S = 2

Sottografo connesso 1N1 = 4, R1 = 6

Sottografo connesso 2N2 = 2, R2 = 2

i1

i2

i3

i4

i5

i6

i7

i8

N1 + N2 = NR1 + R2 = R 55

Ciascun sottografo connesso è scomponibile in albero e coalbero. Ciò consente di individuareun insieme di LKC e un insieme di LKT indipendenti per ciascuno di essi. Tali insiemi sono tradi loro necessariamente indipendenti essendo relativi a tensioni e a correnti diverse.

N1 1 rami di alberoR1 (N1 1) rami di

coalbero

i1

i2

i3

i4

i5

i6

i7

i8

N2 1 alberoR2 (N2 1) rami di

coalberoi7 + i8 = 0

i2 i1 i3 = 0i4 + i1 i6 = 0i5 i3 i6 = 0

v1 v4 + v2 = 0v3 + v5 + v2 = 0v6 + v5 + v4 = 0

v7 v8 = 0

N1 1 LKC R1 (N1 1) LKT

N2 1 LKC R2 (N2 1) LKT

( N1 + N2 ) 2 R1 + R2 ( N1 + N2 2 )

N 2LKC totali

R (N 2)LKT totali

56


SNSNNS

ii

S

ii

11

1

In generale se il circuito possiede un grafo non connesso avente R rami ed N nodi costituito daS sottografi connessi e disgiunti è possibile formulare N S LKC indipendenti e R ( N S)LKT indipendenti, per un totale di R equazioni indipendenti. Per determinarle è sufficienteconsiderare distintamente ciascuna parte connessa di cui il grafo è costituito. Risulta infatti

Numero di LKC indipendenti:

SNRSNRNRS

ii

S

ii

S

iii

111

1Numero di LKT indipendenti:

In pratica le R equazioni topologiche indipendenti sono ottenibili considerando i tagli e lemaglie fondamentali individuabili attraverso lo «pseudo-albero» costituito dall’unionedegli alberi di ciascun sottografo connesso. L’unica differenza tra tale «pseudo-albero» eun albero vero e proprio è che esso non è connesso, ma questo non ha nessuna influenzasulla deduzione delle LKC e LKT.

57

R correnti di ramo (i)R tensioni di ramo (v)2R incognite

N S LKC

R (N S) LKT

Req

.

R Rel. cost.componenti

Req

.

2Req

uazio

ni

incogniteequazioni

Il sistema risolvente di un circuito il cui grafo, avente R rami ed N nodi, è non connesso edè composto da S sottografi connessi e disgiunti o è così costituito.

Il sistema risolvente è composto, in pratica, dall’unione dei sistemi risolventi parzialidefinibili indipendentemente per ciascuna porzione connessa da cui il circuito è formato.

Tali sistemi risolventi parziali non possono essere risolti indipendentemente in quanto lerelazioni costitutive sono tali da introdurre dei vincoli tra correnti e/o tensioniappartenenti a porzioni distinte. 58


Si consideri a titolo di esempio il seguente circuito

eg

+

R2

i2R3

R4

R1

k2i2

k1

i3

i4i5

i2

i1 i7i6

0

0

0

534

732

61

iii

iii

ii

0

0

0

0

45

243

27

16

vv

vvv

vv

vv

617

716

225

444

333

222

111

iki

vkv

iki

iRv

iRv

iRv

iRev g

R (N2) LKT

N2 LKC

R=7, N=5, S = 2

R rel. cost.

R equazioni topologiche

59

Esercizio 5.6Risolvere il circuito di figura

G

Esercizio 5.7

Risolvere il circuito di figura

60

R1 = 1 R2 = 2 R3 = 2 ig = 2 A

R1 R3

R2

ig

S12

22

G

R1 = 1 R2 = 2 R3 = 2 k1 = 2k2 = 3vg = 38 V

R1

R3R2

+vg

k1 : 1

k2i2i2


Esercizio 5.8

61

R1 = 1 R2 = 1 R3 = 2 k = 2vg = 18 V

R1

R3R2

+vg

k : 1

Risolvere il circuito di figura

Esercizio 5.9Impostare il sistema risolvente del circuito di figura contenente un doppio bipolo proprio

Esercizio 5.10Impostare il sistema risolvente del circuito di figura contenente un tripolo e un doppiobipolo proprio

G

62

H

R

+vg

R1

R2

R3

ig

R4

R1R2

R3

5. Doppi bipoli adinamici - die.ing.unibo.it. Doppi bipoli... · Formule di conversione tra le...

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