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Capitolo 5

Doppi bipoli

Nei due capitoli precedenti, ci siamo occupati di reti elettriche fatte soltanto dibipoli. I circuiti elettrici sono, invece, composti non soltanto di bipoli, ma anche dialtri tipi di oggetti, che prendono in generale il nome di ‘componenti’. Tra questi, ipiù comuni, specie nelle applicazioni di tipo elettronico (telefoni, TV, computers),sono senz’altro da annoverare i cosiddetti doppi bipoli.In questo capitolo, ci proponiamo innanzitutto di spiegarvi cos’è, in generale, undoppio bipolo; poi, vogliamo mostrarvi come la Teoria dei Circuiti, che abbiamofinora sviluppato limitatamente alle reti fatte di soli bipoli, si applichi con estremanaturalezza e semplicità anche alle reti costituite di bipoli e di doppi bipoli; infine,introdurremo i principali tipi di doppi bipoli che spesso adopereremo nel seguito.In sostanza, al termine di questo capitolo, avrete tutte le informazioni cheoccorrono per risolvere una qualsiasi rete, fatta sia di bipoli che di doppi bipoli, inregime stazionario. Potremo proprio dire, allora, di essere un bel pezzo avanti nelnostro studio dei circuiti elettrici ed elettronici!

5.1 Definizione e grandezze fondamentali

Per familiarizzarvi subito con un esempio che è certamente noto a tutti, pensate aquegli oggetti che vengono di solito chiamati ‘alimentatori’, oppure ‘carica -batterie’, e che si usano per ‘mettere in carica’ i telefonini portatili, oppure i‘personal’ portatili, ma anche per i piccoli apparecchi radio, TV e hi-fi. Questioggetti si presentano grosso modo come mostrato in Figura 5.1: sono costituiti,cioè, di un corpo centrale dal quale fuoriescono due cavi, ciascuno dei quali fatto asua volta di due fili conduttori ricoperti di isolante. Di solito, uno dei due cavitermina con una spina, mentre l’altro termina con una ‘presa’, che contiene due otre fori nei quali si possono opportunamente infilare gli spinotti (di solito moltopiccoli, questa volta) dei vari apparecchi.

2 Circuiti elettrici in regime stazionario

Figura 5.1: un alimentatore commerciale per telefoni cellulari.

Prescindendo, comunque, dagli aspetti esteriori (dimensione, colore, forma) cosapossiamo dire che tutti i doppi bipoli hanno in comune? Che sono fatticoncettualmente come in Figura 5.2: sono costituiti, cioè, da un corpo centrale dacui escono due coppie di fili conduttori, indicati in Figura 5.2 rispettivamentecome la coppia ‘primaria’ 1-1' e ‘secondaria’ 2-2'.

1

1'

2

2'

Figura 5.2: un generico doppio bipolo.

Come nel caso dei bipoli, anche i doppi bipoli possono essere collegati ad altricomponenti, siano essi bipoli, oppure altri doppi bipoli, soltanto attraverso irispettivi morsetti. In Figura 5.3 è individuata, ad esempio, una tipica situazione diuna rete fatta di due bipoli e due doppi bipoli collegati fra loro (in questo caso, sidice ‘in cascata’).


Prima di ogni altra cosa, occorre chiarire il seguente fatto fondamentale, cheriguarda le reti che contengono doppi bipoli, oltre che bipoli: le leggi di Kirchhoff(sia LKC che LKT) continuano a essere valide esattamente nello stesso modo in cuivalgono per le reti di soli bipoli, e continuano ad essere applicate nello stesso modo.Nel seguito, faremo svariati esempi per rendere evidente questo fatto fondamentale.Per il momento, ci limiteremo ad usarlo quando ci servirà.Cominciamo, così, col mostrarvi un fatto molto importante che è alla base delfunzionamento di tutti i doppi bipoli, e che discende direttamente dalle LK.Come d’abitudine, cominciamo con le operazioni ‘di rito’, e cioè cominciamo asegnare casualmente le frecce che indicano le correnti su tutti i terminali di bipoli edoppi bipoli, nonché ad indicarle con nomi arbitrari. Per semplicità, scegliamo lefrecce come mostrato in Figura 5.3, ma, lo ripetiamo, avremmo potuto scegliere inqualsiasi altro modo, e sarebbe stata la stessa cosa. Scegliendole così, riusciremo aesprimere le conseguenze delle LK in modo più semplice e facile da ricordare:questo è l’unico motivo per cui vi consigliamo di metterle sempre così.

1

1'

2

2'

3

3'B1 B2

I1D1

I1'D1 I2'

D1

I2D1 I1

D2

I1'D2

I2D2

I2'D2

S2S1

D2D1

Figura 5.3: un generico collegamento tra bipoli e doppi bipoli.

A questo punto, cominciamo ad applicare la LKC a una superficie chiusa comequella indicata con S1 in Figura 5.3. Si ha subito:

+ I1D1 - I1'

D1 = 0 → I1D1 = I1'

D1 .

Ciò significa che, indipendentemente da come sia fatto ‘dentro’ il doppio bipolo D1,la corrente che ‘entra’ nel suo morsetto primario 1 è necessariamente uguale (per laLKC, appunto) alla corrente che ‘esce’ dall’altro morsetto primario 1'.Applichiamo, ora, la LKC alla superficie chiusa S2 in Figura 5.3, ottenendo subito:

- I2D1 + I2'

D1 = 0 → I2D1 = I2'

D1 .


Come per i morsetti primari del doppio bipolo D1, anche a quelli secondari succedequindi la stessa cosa: anche stavolta, la corrente che ‘entra’ nel morsetto secondario2 è uguale a quella che ‘esce’ dall’altro morsetto, 2', dello stesso doppio bipolo.A questo punto, il gioco dovrebbe essere chiaro: ragionando come nel caso delprimo doppio bipolo, anche per il secondo si conclude facilmente che

I1D2 = I1'

D2 , I2D2 = I2'

D2 ,

e cioè che, anche per D2, vale la proprietà che la corrente I1D2 che ‘entra’ nel

morsetto (primario per D2) 2, è uguale a quella, I1'D2, che ‘esce’ dall’altro morsetto

(sempre primario per D2), 2'. Similmente per le due correnti I2D2 e I2'

D2, che,rispettivamente, ‘entrano e escono’ dai morsetti secondari di D2.La conclusione cui giungiamo è dunque molto semplice, e può essere espressadicendo che, considerato un qualsiasi doppio bipolo indicato come in Figura5.4, comunque esso sia fatto ‘dentro’, cioè qualsiasi cosa contenga all’interno delsuo involucro, quando è collegato a una qualsiasi rete, fatta di bipoli e di altri doppibipoli (quanti ne vogliamo), deve accadere necessariamente, per la LKC che

I1 = I1' , I2

= I2' .

1

1'

2

2'

I1

I1'

I2

I2'

I1 = I1' I2 = I2'

Figura 5.4: le correnti di porta in un qualsiasi doppio bipolo.

Ciò significa che i due morsetti primari 1-1' costituiscono come una vera e propria‘porta primaria’ del doppio bipolo nella quale la stessa corrente entra da unmorsetto e esce dall’altro. Così pure, per i morsetti secondari che, nel lorocomplesso, costituiscono, dunque, la ‘porta secondaria’ del doppio bipolo.Per questi motivi, d’ora innanzi, indicheremo i doppi bipoli, battezzandoli come inFigura 5.5, senza bisogno di indicare esplicitamente che le correnti alle ‘due porte’sono uguali, e indicando, in più, le d.d.p. con V1 e V2.


Con ciò, abbiamo deciso, una volta per tutte, di fare la convenzione dell’utilizzatorea ciascuna delle due porte (e se qualche volta non la faremo, lo segnaleremo concura).

1

1'

2

2'

I1 I2

V2V1

+

−

+

−

Figura 5.5: rappresentazione circuitale di un doppio bipolo.

In definitiva, possiamo dire che la proprietà fondamentale che caratterizza unqualsiasi doppio bipolo è rappresentata proprio dal possedere due ‘porte’, unaprimaria ed una secondaria, per le quali valgono, fra le correnti, le relazioni (5.4) eai morsetti delle quali sono applicate le d.d.p. V1 e V2, i cui valori possono essereassegnati ad arbitrio, in linea di principio.Naturalmente, anche per i doppi bipoli vanno introdotte le grandezze di interesseenergetico, e cioè ‘potenza elettrica’ (assorbita o erogata), nonché ‘energia elettrica’(assorbita o erogata). La cosa è del tutto naturale, poiché diremo che la potenzaelettrica totale assorbita dal doppio bipolo, avendo fatto sulle due porta laconvenzione dell’utilizzatore, è, per definizione, data dalla somma delle due potenzeelettriche assorbite alle sue due porte:

Pel-ass = Pel-ass(1) + Pel-ass

(2) = + V1 I1 + V2 I2 .

Analogamente procederemo per la potenza totale erogata:

Pel-ero = - Pel-ass = - V1 I1 - V2 I2 .

Naturalmente, ove occorra, potremo continuare a parlare della potenza elettrica,assorbita oppure erogata, a ciascuna delle due porte, scrivendo, ad esempio,

Pel-ass(1) = + V1 I1 , Pel-ero

(2) = - V2 I2 , e così via .

Tutte queste potenze sono ovviamente misurate in watt e possono essere, a secondadei casi, positive o negative. Per quel che riguarda le corrispondenti energie, anchein questo caso, essendo in regime stazionario, esse potranno essere semplicementecalcolate moltiplicando le potenze per gli intervalli di tempo che ci interessano, e


risulteranno misurate, come al solito, in joule (o in Wh, o kWh, o qualsiasi altromultiplo o sottomultiplo). In tal modo l’energia elettrica totale assorbita dal doppiobipolo di Figura 5.5, nell’intervallo di tempo che va dall’istante t1 all’istante t2 saràdata dalla relazione

Uel-ass(t1, t2) = Pel-ass (t2 - t1) = (+ V1 I1 + V2 I2) (t2 - t1) .

Prima di concludere questo paragrafo, è importante osservare esplicitamente cheanche il teorema di conservazione delle potenze elettriche continua a valereper le reti che contengono anche doppi bipoli, nella stessa forma in cui valeva per lereti di soli bipoli. La ragione è evidente: perché, come dicemmo a suo tempo,questo teorema è una conseguenza diretta delle LK, che continuano a valere anchequando la rete contiene doppi bipoli, oltre che bipoli. Così, potremo enunciare ilteorema dicendo, ad esempio, che la somma totale delle potenze elettriche assorbiteda tutti i componenti, tanto bipoli che doppi bipoli, di una qualsiasi rete elettrica è,in ogni caso, uguale a zero.

5.2 Caratteristiche dei doppi bipoli

È giunto il momento di uscire dal vago e cominciare almeno a nominare i principalitipi di doppi bipoli che trovano largo uso nei circuiti elettrici ed elettronici, di cuici occuperemo nei prossimi paragrafi.Avrete certamente sentito parlare di ‘transistori’ (detti anche, in gergo,‘transistors’) e di ‘trasformatori’; pochi avranno invece dimestichezza con altritermini, quali ‘generatori pilotati’, ‘amplificatori operazionali’, ‘giratori’. Ebbene,si tratta pur sempre di particolari doppi bipoli, ciascuno ovviamente, diversodall’altro, che soddisfano, in ogni caso, le proprietà, le definizioni e le leggi cheabbiamo spiegato nei precedenti paragrafi. Prima, però, di andare a studiare inmaggior dettaglio ciascuno dei doppi bipoli che abbiamo nominato, c’è da porsi unadomanda fondamentale.Come si fa a specificare, da un punto di vista circuitale, la natura di questo o queldoppio bipolo? In altre parole, ci stiamo chiedendo come sia possibile distinguereun transistore da un trasformatore, o da un amplificatore operazionale. È la stessaquestione che ci ponemmo, a proposito dei bipoli, quando ci chiedemmo come sipotesse fare a distinguere, da un punto di vista circuitale, una stufa da un motoreelettrico o da una batteria. La risposta, in quel caso, fu che occorre assegnare casoper caso, in regime stazionario, la caratteristica statica del bipolo che si staprendendo in considerazione. Bene: è ovvio che anche per i doppi bipoli bisognafare qualcosa del genere, e cioè assegnare le loro caratteristiche statiche.


Ma come si fa? Questa volta, ci sono quattro grandezze che interessano i morsettidel doppio bipolo: le due correnti I1 e I2 alle due porte, nonché le due tensioni V1 eV2 alle stesse porte. E poi: cosa vuol dire, allora, assegnare la caratteristica staticadi un doppio bipolo?La risposta è semplice: non basta una sola caratteristica del tipo V = f(I), oppureI = g(V); ce ne vogliono due, ciascuna delle quali riguardi tutte e quattro legrandezze fondamentali. Queste caratteristiche, ad esempio, potranno essere del tipo

V1 = F1(I1, I2) ,

V2 = F2(I1, I2) ,

dove abbiamo indicato con F1(I1, I2) e F2(I1, I2) due funzioni delle due variabili I1 eI2, come, ad esempio,

F1(I1, I2) = 3 I1 + 2 I2 ,

oppure

F1(I1, I2) = 2 I1 I2 - 7 I22 ,

o ancora

F2(I1, I2) = 5 I1 I2 + 2 I23 .

Queste relazioni forniscono una descrizione ‘su base correnti’ (si dice così, ingergo), dato che le variabili indipendenti, dette anche ‘variabili di controllo’,sono proprio le correnti alle due porte; le variabili dipendenti, dette anche ‘variabilicontrollate’, sono, invece, le tensioni di porta.Le caratteristiche di un doppio bipolo possono però essere assegnate anche in mododiverso, scambiando tra loro i ruoli delle variabili indipendenti con quelli dellevariabili dipendenti. Si ha, in questo caso, una rappresentazione del doppio bipolo‘su base tensioni’, in quanto le tensioni di porta vengono usate quali variabiliindipendenti:

I1 = G1(V1, V2) ,

I2 = G2(V1, V2) .

Esistono pure due rappresentazioni, dette ibride (più avanti capirete l’originedell’attributo), in cui come variabili di controllo si usano la tensione di una porta ela corrente dell’altra porta. Per quanto riguarda la prima di esse, scegliamo quali


variabili dipendenti la tensione alla porta 1 e la corrente alla porta 2; diconseguenza, la tensione della seconda porta e la corrente della prima porta sarannole variabili indipendenti. Scriviamo, dunque:

V1 = H1(I1, V2) ,

I2 = H2(I1, V2) .

D’altra parte, è ragionevole immaginare anche l’altra rappresentazione ibrida:

I1 = L1(V1, I2) ,

V2 = L2(V1, I2) ,

in cui il controllo è affidato alle due variabili V1 e I2.Infine, ma non meno importanti, esistono le rappresentazioni dette di trasmissione,in cui le grandezze (tensione e corrente) ad una porta diventano funzione di quelleall’altra porta. In particolare, se scegliamo quale porta di controllo la porta 1, èimmaginabile la rappresentazione:

V2 = M1(V1, I1) ,

I2 = M2(V1, I1) .

Viceversa, assumendo quale porta di controllo la porta 2, si può scrivere la secondarappresentazione di trasmissione:

V1 = N1(V2, I2) ,

I1 = N2(V2, I2) .

Quest’ultima relazione esaurisce tutti i casi di possibili rappresentazioni: provate adenunciarli da soli e a convincervi che, davvero, non ve ne sono altri.Nella tabella riassumiamo le sei possibili rappresentazioni di un doppio bipolo.

Rappresentazione Grandezze dicontrollo

Grandezzecontrollate

Controllata in corrente I1 , I2 V1 , V2

Controllata in tensione V1 , V2 I1 , I2Ibrida 1 I1 , V2 V1, I2Ibrida 2 V1, I2 I1 , V2

Trasmissione 1 V1 , I1 V2 , I2Trasmissione 2 V2 , I2 V1 , I1


Nei prossimi paragrafi approfondiremo con degli esempi tutti i tipi di caratteristicaintrodotti.

5.3 Classificazione dei doppi bipoli

Come per i bipoli, le caratteristiche ci consentono di classificare anche i doppibipoli, dividendoli in gruppi aventi proprietà simili.

• Doppi bipoli attivi e passiviLa prima grande distinzione che va fatta è tra i doppi bipoli attivi e passivi. Comenel caso dei bipoli, questa distinzione nasce dall’esigenza di capire quale, tra levarie parti di una rete elettrica, fornisce energia elettrica e quale la utilizza.Diremo che un doppio bipolo, operante in regime stazionario, è passivo se lapotenza assorbita

Pel-ass ≥ 0

risulta sempre positiva (tutt’al più nulla). Ritornando alla formula che esprime lapotenza e ricordando che su entrambe le porte abbiamo fatto la convenzionedell’utilizzatore, si può anche scrivere:

Pel-ass = + V1 I1 + V2 I2 ≥ 0 .

Cosa cambia se, per lo stesso doppio bipolo passivo, abbiamo fatto la convenzionedel generatore alla porta 1 e quella dell’utilizzatore alla porta 2? È semplice:dovendo sempre risultare la potenza assorbita positiva, diremo che, in ogni caso,deve risultare

Pel-ass = - V1 I1 + V2 I2 ≥ 0 .

E così potremmo continuare con le altre possibili combinazioni (che potete provarea fare da soli).Consideriamo, ad esempio, il doppio bipolo descritto dalle relazioni

V1 = 3 I1 ,

V2 = 10 I2 .

Si tratta di un doppio bipolo controllato in corrente e sul quale immaginiamo,ovviamente, di avere fatto la convenzione dell’utilizzatore alle due porte, come


indicato in Figura 5.5. In questo caso avremo che la potenza complessivamenteassorbita dal doppio bipolo vale

Pel-ass = + V1 I1 + V2 I2 = 3 I12 + 10 I2

2 ≥ 0 ,

e rappresenta una quantità sicuramente positiva, quali che siano i valori assuntidalle due correnti di porta I1 e I2, dato che essa è composta dalla somma di duequantità positive, nulle tutt’al più.

Quando è che, invece, un doppio bipolo è attivo? Un doppio bipolo è attivo se essonon è passivo. Infatti, diremo che un doppio bipolo è attivo quando esiste almenoun caso per cui

Pel-ass < 0 .

In altri termini, indicate le due porte come in Figura 5.5, dovete essere in grado ditrovare un insieme di tensioni e correnti di porta per cui la potenza elettricaassorbita risulti negativa. Consideriamo, come esempio, il doppio bipolo descrittodalla caratteristica

V1 = - 3 I1 ,

V2 = 5 I2 .

Si tratta, ancora una volta, di un doppio bipolo controllato in corrente. La potenzaassorbita vale

Pel-ass = + V1 I1 + V2 I2 = - 3 I12 + 5 I2

2 .

Ora, considerando la coppia di correnti I1 = 1 e I2 = 1, abbiamo che la potenzaelettrica assorbita risulta positiva Pel-ass = - 3 + 5 = 2. Se, invece, tenendo costantela prima corrente, la seconda diventa zero, cioè I2 = 0, la potenza elettrica assorbitadiventa negativa. Esiste, dunque, una possibile condizione di funzionamento deldoppio bipolo per cui la potenza assorbita diventa negativa: il doppio bipolo è,dunque, attivo.

• Doppi bipoli lineari e non lineariLa seconda grande distinzione tra i diversi doppi bipoli riguarda in qualche modola forma della caratteristica. Per comprendere quando un doppio bipolo è lineare,consideriamo, ad esempio, la caratteristica di un doppio bipolo controllato intensione


I1 = G1(V1, V2) ,

I2 = G2(V1, V2) .

Diremo che questo doppio bipolo è lineare, se le due relazioni che definiscono lacaratteristica sono lineari sia rispetto alla prima variabile indipendente I1, siarispetto alla seconda I2. Nel caso del bipolo, sappiamo che la caratteristica generaleI = g(V) diventa, nel caso lineare, I = G V, con G conduttanza del resistore; incaso, la due relazioni precedenti diventano

I1 = a V1 + b V2 ,

I2 = c V1 + d V2 ,

in cui a, b, c, d sono quattro costanti (reali ed omogenee ad una conduttanza) chedefiniscono il doppio bipolo. Come, nel caso di un bipolo, la caratteristica I = 6 Vdefinisce un resistore, cioè un bipolo lineare, di conduttanza pari a 6 S, così lerelazioni

I1 = 3 V1 - 2 V2 ,

I2 = 6 V1 + 7 V2 ,

definiscono un doppio bipolo lineare. Questa volta, però, abbiamo avuto bisognonon più di un solo parametro per identificarlo, bensì di quattro grandezze che,come vedremo meglio nel prossimo paragrafo, svolgono il ruolo della conduttanza.Quanto detto per la rappresentazione di un doppio bipolo controllato in tensione, siestende naturalmente a tutte le altre rappresentazioni.Un doppio bipolo non lineare è, invece, descritto da due equazioni caratteristicheche non sono lineari rispetto alle due variabili di controllo. Ad esempio, il doppiobipolo

V1 = 3 I1 + V2

2 ,

I2 = 6 I13 + V2 ,

è descritto da una rappresentazioni ibrida non lineare.

5.4 Doppi bipoli controllati in corrente

In questo paragrafo, e in quelli che seguiranno, dedicheremo una particolareattenzione ai doppi bipoli lineari dato che sono quelli che maggiormente


interesseranno le nostre future applicazioni, cominciando dai doppi bipolicontrollati in corrente.Ripetiamolo ancora una volta: in questo caso le variabili indipendenti, o dicontrollo, sono le correnti, mentre quelle dipendenti, o controllate, sono le tensionidi porta. Se il doppio bipolo è lineare, per quanto detto nel precedente paragrafo,le caratteristiche possono essere scritte nella forma:

V1

= R11 I1 + R12 I2 ,

V2 = R21 I1 + R22 I2 .

Le costanti R11, R12, R21, R22 hanno tutte le dimensioni di una resistenza, simisurano in ohm e sono detti parametri resistivi. I due pedici introdotti indicano ilprimo, l’equazione, il secondo, la posizione nell’equazione. Così, R12 indica unparametro relativo all’equazione 1 (primo pedice) e all’addendo 2 (secondo pedice).Essi definiscono il doppio bipolo e, per comprendere come si faccia a trovarli, unavolta assegnato il doppio bipolo, sviluppiamo un caso particolare.

1

1'

2

2'

I1 I2

V2V1

+

−

+

−

R1 R2

R3

Figura 5.6: esempio di calcolo dei parametri resistivi.

Per il doppio bipolo mostrato in Figura 5.6 (detto ‘a T’), vogliamo determinare iparametri, supponendo che esso sia controllato in corrente.Per determinare i parametri, basta usare la stessa definizione secondo la quale,ponendo I2 = 0, cioè aprendo la seconda porta, risulta:

R11 = V1

I1 e R21 = V2

I1 , quando I2 = 0 .

In termini circuitali queste relazioni possono essere rappresentate come in Figura5.7, in cui, la prima porta del doppio bipolo è alimentata con un generatore dicorrente di valore I1, arbitrario e non nullo, mentre la seconda è aperta. Siamo cosìarrivati alla rete disegnata in Figura 5.7, comprendente anche il generatore dicorrente I1: ricordate sempre che siamo studiando una rappresentazione in cui le


variabili di controllo, quelle assegnate a piacere o indipendenti, sono le correnti:per questo, vi è nello schema un generatore indipendente di corrente.

1

1'

2

2'

V2V1

+

−

+

−

R1 R2

R3I1

I2 = 0A

B

I1

Figura 5.7: schema utile al calcolo dei parametri R11 e R21.

Ai capi del resistore R2, vi è una d.d.p. nulla, dato che è I2 = 0. Ciò comporta che idue resistori R1 ed R3 sono in serie e percorsi dalla stessa corrente I1 (proprioquella erogata dal generatore!). Allora,

R11 = V1

I1 = (R1 + R3) I1

I1 = R1 + R3 .

Poi, applicando la LKT alla maglia ‘di uscita’ 2AB2', risulta semplicemente

R21 = V2

I1 = R3 I1

I1 = R3 .

Abbiamo in tal modo valutato i primi due parametri e possiamo passare al calcolodegli altri due. Essi vanno determinati secondo lo schema di Figura 5.8, in cuiabbiamo aperto la prima porta e alimentato la seconda.Ponendo, dunque, I1 = 0 nelle caratteristiche, gli altri due parametri che ci resta dadeterminare sono definiti dalle relazioni:

R12 = V1

I2 e R22 = V2

I2 , quando I1 = 0 .


1

1'

2

2'

V2V1

+

−

+

−

R1 R2

R3

A

B

I2

I2I1 = 0

Figura 5.8: schema utile al calcolo dei parametri R12 e R22.

Ripetendo ragionamenti simili a quelli fatti in precedenza, si ha

R12 = V1

I2 = R3 I2

I2 = R3 , R22 = V2

I2 = (R2 + R3) I2

I2 = R2 + R3 .

Abbiamo così calcolato i quattro parametri che definiscono la matrice delleresistenze per il doppio bipolo a T assegnato che, di seguito, riassumiamo:

R11 = R1 + R3 , R12 = R3 , R21 = R3 , R22 = R2 + R3 .

Notiamo che, dai nostri calcoli, è risultato che

R12 = R3 = R21 .

Ciò non è casuale: per un doppio bipolo lineare e passivo, vale il teorema direciprocità, che non abbiamo studiato, ma che stabilisce proprio che R12 = R21. Ciòvuol dire che, in realtà, i parametri del doppio bipolo da calcolare sono tre, nonquattro, e ai due parametri uguali diamo il nome di resistenza mutua (RM):

RM = R12 = R21 .

5.5 Doppi bipoli controllati in tensione

Passiamo, ora, ai doppi bipoli controllati in tensione. Ripetiamolo ancora una volta:in questo caso le variabili indipendenti, o di controllo, sono le tensioni, mentrequelle dipendenti, o controllate, sono le correnti di porta. Se il doppio bipolo èlineare, per quanto detto in precedenza, le caratteristiche diventano:

I1 = G11 V1 + G12 V2 ,

I2 = G21 V1 + G22 V2 .


Qui, le costanti G11, G12, G21, G22 hanno tutte le dimensioni di una conduttanza, simisurano in siemens e sono detti parametri conduttivi. Essi definiscono il doppiobipolo e, per comprendere come si possa calcolarli una volta assegnato il doppiobipolo, sviluppiamo, ancora una volta, un esempio.

1

1'

2

2'

I1 I2

V2V1

+

−

+

−R1 R2

R3

Figura 5.9: esempio di calcolo dei parametri conduttivi.

Consideriamo il doppio bipolo, detto ‘a Π’ (pi greco), di Figura 5.9. Perdeterminare G11 e G21, cominciamo a chiudere la seconda porta in cortocircuito,cioè poniamo V2 = 0, così come mostrato in Figura 5.10. Risulta, allora:

G11 = I1

V1 e G21 = I2

V1 , quando V2 = 0 .

La Figura 5.10 è composta di due parti: ciò perché, quando la porta secondaria èchiusa con un corto circuito, il resistore R2 viene a trovarsi in parallelo con uncorto circuito e, pertanto, può essere eliminato dalla rete, come suggerisce ilsecondo schema.

1

1'

2

2'

I1 I2

V1 R1 R2

R3

V2 = 0

+

−

1

1'

2

2'

I1 I2

V1 R1

R3

V2 = 0

+

−


Figura 5.10: schemi utili al calcolo dei parametri G11 e G21.

Adoperando questo circuito semplificato, è facile concludere che G11 rappresenta laconduttanza che si misura (in gergo, si dice pure ‘che si vede’) dalla porta primaria,quando la secondaria è chiusa in corto circuito. Ciò comporta che, essendo i dueresistori R1 e R3 in parallelo, si possa scrivere:

G11 = G1 + G3 = 1R1

+ 1R3

= R1 + R3

R1 R3 .

Invece, sempre osservando la Figura 5.10, da

I2 = - I1 R1

R1 + R3 (regola del partitore) ,

segue che

G21 = I2

V1 = I2

I1 I1

V1 = - R1 I1

(R1 + R3) I1 G11 = - R1

R1 + R3 R1 + R3

R1 R3 = - 1

R3 .

Ormai dovreste aver capito come funziona; e, per il calcolo dei due rimanentiparametri, se fate riferimento alla Figura 5.11, dovreste essere in grado di trovareche, posto V1 = 0, risulta:

G12 = I1

V2 = - 1

R3 = - G3 e G22 = I2

V2 = G2 + G3 = 1

R2 + 1

R3 = R2 + R3

R2 R3 .

1

1'

2

2'

I1 I2

R1 R2

R3

+

−V1 = 0 V2

Figura 5.11: schema utile al calcolo dei parametri G12 e G22.

Riassumendo, dunque, i quattro parametri conduttivi valgono:

G11 = G1 + G3 , G12 = - G3 , G21 = - G3 , G22 = G2 + G3 .


Ancora una volta notiamo la reciprocità del doppio bipolo, testimoniata dal fattoche i termini ‘12’ e ‘21’ sono uguali e, per questo, chiameremo conduttanza mutuail valore comune

G12 = G21 = GM .

5.6 Rappresentazioni ibride

Per le rappresentazioni ibride, assumiamo quale variabile di controllo, la corrente(rispettivamente la tensione) alla porta 1, mentre riterremo controllata, la tensione(rispettivamente la corrente) alla porta 2. Se il doppio bipolo è lineare,cominciando con la prima rappresentazione ibrida, la caratteristica si particolarizzacome

V1 = h11 I1 + h12 V2 ,

I2 = h21 I1 + h22 V2 .

Qui, le costanti h11, h12, h21, h22 non hanno tutte la stessa dimensione (lespecificheremo più avanti). Esse definiscono il doppio bipolo e, per comprenderecome si faccia a trovarle una volta assegnato il doppio bipolo, sviluppiamo, ancorauna volta, un esempio. Nella Figura 5.12, per evidenziare il doppio bipolo, loabbiamo racchiuso in un contenitore rettangolare.

1

1'

2

2'

I1 I2

V2V1

+

−

+

−

R

Figura 5.12: esempio di calcolo dei parametri ibridi ‘h’.

Come è ormai chiaro, dobbiamo fare sul nostro doppio bipolo due prove perdeterminarne i parametri: una con la porta secondaria in cortocircuito (V2 = 0), unaltro con la porta primaria aperta (I1 = 0).

• Porta secondaria in corto circuitoIn questo caso, possiamo determinare i due parametri h11 e h21, secondo lerelazioni:


h11 = V1

I1 e h21 = I2

I1 , quando V2 = 0 .

Notiamo subito che il primo parametro, cioè h11, ha le dimensioni di una resistenza,mentre il secondo, h21, essendo dato dal rapporto di due correnti, risulta privo didimensioni (si dice pure ‘adimensionale’). Riferendoci alla Figura 5.13,concludiamo immediatamente che la resistenza ‘vista’ dai morsetti 1-1' vale:

h11 = V1

I1 = R I1

I1 = R .

Inoltre, dato che la prima legge applicata ad una superficie gaussiana che racchiudail resistore R comporta che I1 = - I2, otteniamo che

h21 = I2I1

= - I1I1

= - 1 .

1

1'

2

2'

I1 I2

V1

+

−V2 = 0I1

R

Figura 5.13: schema utile al calcolo dei parametri h11 e h21.

• Porta primaria apertaSiamo pronti a calcolare i due rimanenti parametri, h12 e h22, definiti come:

h12 = V1

V2 e h22 = I2

V2 , quando I1 = 0 .


1

1'

2

2'

I2

V2V1

+

−

+

−

I1 = 0 R

Figura 5.14: schema utile al calcolo dei parametri h12 e h22.

Riferendoci alla Figura 5.14, è facile dire che, essendo la porta 1 aperta, nelcircuito non circola alcuna corrente; inoltre, la LKT, applicata all’unica maglia, ciconsente di scrivere:

V2 - V1 = 0 → V1 = V2 .

Pertanto, i due parametri valgono:

h12 = V1

V2 = 1 e h22 = I2

V2 = 0 .

Vale la pena notare che h12, essendo il rapporto di due tensioni, è adimensionale,mentre h22, rapporto tra corrente e tensione, è dimensionalmente pari ad unaconduttanza. Si osservi che la proprietà di reciprocità, già citata in precedenza, perquesta rappresentazione ibrida, si esprime dicendo che

h12 = - h21 .

Questo esempio mostra, ove mai ve ne fosse ancora bisogno, che il calcolo deiparametri ibridi non presenta nulla di diverso o misterioso rispetto a quello deiparametri resistivi e conduttivi.Per completare l’analisi delle rappresentazioni ibride, esaminate da soli l’altracaratteristica, che, sempre nel caso lineare e passivo, assume la forma:

I1 = g11 V1 + g12 I2 ,

V2 = g21 V1 + g22 I2 .

Non vi confondete con i parametri conduttivi: per questa seconda rappresentazioneibrida, i parametri vengono indicati con le ‘g’ minuscole, mentre i parametriconduttivi sono stati denotati con le ‘G’ maiuscole.


1

1'

2

2'

I1 I2

V2V1

+

−

+

−R

Figura 5.15: esempio di calcolo dei parametri ibridi ‘g’.

Se provate a trovare, per il doppio bipolo di Figura 5.15, certamente scoprirete che

g11 = 1R

, g12 = - 1 , g21 = 1 , g22 = 0 .

Per darvi una mano, riportiamo solo le definizioni che dovete adoperare persviluppare il calcolo:

g11 = I1

V1 , g21 = V2

V1 , quando I2 = 0 ;

g12 = I1

I2 , g22 = V2


Il parametro g11 ha le dimensioni di una conduttanza, g22 di una resistenza, mentreg12 e g21 sono privi di dimensioni.

5.7 Caratteristiche di trasmissione

In questo paragrafo discutiamo le due caratteristiche di trasmissione. Poiché, però,le due rappresentazioni sono veramente molto simili, approfondiamo, sempre nelcaso lineare e passivo, soltanto la prima di esse:

V2 = t11 V1 + t12 I1 ,

I2 = t21 V1 + t22 I1 .

Esaminiamola per mezzo dell’esempio di Figura 5.16.


1

1'

2

2'

I1 I2

V2V1

+

−

+

−

R1 R2

R3

Figura 5.16: esempio di calcolo dei parametri di trasmissione.

Si noti che, come è abitudine per questo tipo di descrizione del doppio bipolo,abbiamo fatto la convenzione del generatore sulla porta due, invece che quelladell’utilizzatore: ciò viene fatto di solito per agevolare il calcolo del doppio bipoloequivalente, ottenuto collegando in cascata due, o più, doppi bipoli. Come per lealtre rappresentazioni, per poter calcolare gli elementi della matrice ditrasmissione, è necessario fare due prove: nella prima, manteniamo aperta la portauno, nella seconda, manteniamo la stessa porta in corto circuito.

• Porta primaria apertaQuesta situazione circuitale può essere utile per ricavare gli elementi t11 e t21 dellacaratteristica di trasmissione

t11 = V2

V1 e t21 = I2


Tuttavia, la cosa non è così immediata come è stata per gli altri casi dirappresentazione esaminati, poiché, considerando ad esempio la definizione delcoefficiente t11, essa richiede che sulla stessa porta, cioè la porta 1, si imponganouna tensione arbitraria e diversa da zero, e contemporaneamente una corrente che èinvece nulla. Ora, I1 e V1 non sono due variabili indipendenti e non possonoassumere due valori qualsiasi.


1

1'

2

2'

I2

V2V1

+

−

R1 R2

R3

+

−

I1 = 0

Figura 5.17: calcolo del parametro t11.

Per aggirare questa piccola difficoltà, calcoleremo, invece che t11, il suo inverso

1t11

= V1

V2 ,

alimentando, cioè, la porta due e lasciando aperta la porta uno. Di fatto, stiamoconsiderando V2 come variabile indipendente; in tal modo, usando la regola delpartitore di tensione, si ha (Figura 5.17):

1t11

= - R3 I2

- (R2 + R3) I2 = R3

R2 + R3 → t11 = R2 + R3

R3 .

Adoperando lo stesso artificio di considerare l’inverso dell’elemento e facendoriferimento alla Figura 5.18, possiamo facilmente verificare che l’elemento t21 vale

1t21

= V1

I2 = - R3 I2

I2 = - R3 → t21 = - 1

R3 .

1

1'

2

2'

I2

V2V1

+

−

R1 R2

R3

I1 = 0

+

−I2


• Porta primaria in corto circuitoDa questa situazione circuitale, ricaveremo i coefficienti t12 e t22, definiti come


t12 = V2

I1 e t22 = I2


Considerando anche in questo caso gli inversi per ciascun coefficiente, è facileverificare che (Figura 5.19), essendo

I1 = I2 R3

R1 + R3 e V2 = - (R2 + R3 || R1) I2 ,

risulta:

1t12

= I1

V2 = R3

R1 + R3 I2

V2 = - R3

R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 .

1

1'

2

2'

I2

V2

R1 R2

R3

+

−V1 = 0

I1


Similmente, per l’ultimo elemento (Figura 5.20), si può scrivere:

1t22

= I1

I2 = R3 I2

(R1 + R3) I2 = R3

R1 + R3 → t22 = R1 + R3

R3 .

1

1'

2

2'

I2

V2

R1 R2

R3V1 = 0

I1

I2

+

−


5.8 Generatori dipendenti


Consideriamo il circuito mostrato in Figura 5.21. Esso è costituito da tre resistori,un generatore di tensione e uno di corrente (indipendenti) e, sui rami AB e CD, visono due nuovi oggetti, individuati con dei simboli a forma di rombo. Si tratta didue generatori, cioè bipoli attivi, diversi, però, da quelli esaminati fino a questomomento. Cerchiamo di capire quale è la loro particolarità.Sul lato AB vi è un tipo speciale di generatore di corrente, poiché il valore dellacorrente da esso erogata non è assegnato in partenza, ma è invece proporzionale allacorrente che circola attraverso la resistenza R3: è, cioè, proporzionale alla correnteche fluisce in un altro lato della rete. Contrariamente al generatore I0 che, invece,eroga sempre la stessa corrente, indipendentemente dal circuito cui viene collegato(perciò lo abbiamo chiamato generatore indipendente), il nuovo tipo di generatorerappresenta un generatore di corrente controllato in corrente, in quanto eroga unacorrente il cui valore dipende dalla corrente che circola in un altro lato del circuito.Si può anche immaginare un generatore di corrente controllato in tensione, la cuicorrente erogata dal generatore dipenda dalla tensione esistente ai capi di unqualunque altro bipolo della rete.

+

−

+

−

R1

R2

R3

E0

I0

αI3

βI2

A B C

DEF

I3

I2

I1

Figura 5.21: circuito con generatori controllati.

Sul lato CD abbiamo posto un nuovo tipo di generatore di tensione, la cui tensione èproporzionale alla corrente che circola attraverso la resistenza R2. In questo casodiremo che siamo in presenza di un generatore di tensione controllato in corrente,in quanto esso eroga una tensione il cui valore dipende dalla corrente che circola inun altro lato del circuito. Si può anche immaginare un generatore di tensione


controllato in tensione la cui tensione dipenda dalla tensione esistente ai capi di unqualunque altro bipolo della rete.I generatori controllati (lineari) sono, dunque, oggetti ideali nei quali lagrandezza erogata, tensione o corrente, è direttamente proporzionale a unacorrente, oppure a una tensione, relativa ad un altro bipolo della rete. È importantesottolineare che tutti i generatori pilotati di cui abbiamo parlato non sono dei bipoli,bensì doppi bipoli, poiché hanno due porte: una, interessata dalla grandezza che‘pilota’ il generatore (ad esempio, la corrente in un generatore di tensione pilotatoin corrente), mentre l’altra porta è interessata alla grandezza ‘pilotata’ (la tensione,nel nostro esempio). Per questo motivo, come vedremo subito, anche i simboli cherappresentano i generatori pilotati saranno tipici dei doppi bipoli. Va detto, però,che usualmente, quando si disegna lo schema di una qualsiasi rete contenentegeneratori pilotati, si preferisce, per semplicità, tralasciare la porta ‘pilotante’ erappresentare la sola porta ‘pilotata’ (di qui a poco, faremo degli esempi chechiariranno ancora meglio la cosa).I generatori controllati vengono comunemente utilizzati per semplificare larappresentazione circuitale di componenti più complessi, quali il transistore ol’amplificatore operazionale, che sono fondamentali in tutte le applicazionielettroniche (radio, TV, calcolatori).

Considerando tutte le possibili combinazioni, si hanno i seguenti elementi:

• il generatore di tensione controllato in tensione,• il generatore di tensione controllato in corrente,• il generatore di corrente controllato in tensione,• il generatore di corrente controllato in corrente.

Esaminiamoli in qualche dettaglio.

• Generatore di tensione controllato in tensioneUn generatore di tensione controllato in tensione (GTCT) è un doppio bipolo conuna porta che opera come un circuito aperto, l’altra come un generatore che erogauna tensione direttamente proporzionale alla tensione dell’altra porta:

V2 = α V1 .


1

1'

2

2'

+

−V1

+

−V2 = αV1

Figura 5.22: definizione e simbolo circuitale di un GTCT.

La costante α è adimensionale.

• Generatore di tensione controllato in correnteUn generatore di tensione controllato in corrente (GTCC) è un doppio bipolo conuna porta che opera come un corto circuito, l’altra come un generatore che erogauna tensione direttamente proporzionale alla corrente dell’altra porta:

V2 = β I1 .

1

1'

2

2'

+

−I1 V2 = βI1

Figura 5.23: definizione e simbolo circuitale di un GTCC.

La costante β ha le dimensioni di una resistenza.

• Generatore di corrente controllato in tensioneUn generatore di corrente controllato in tensione (GCCT) è un doppio bipolo conuna porta che opera come un circuito aperto, l’altra come un generatore che erogauna corrente direttamente proporzionale alla tensione dell’altra porta:

I2 = γ V1 .


1

1'

2

2'

V1

+

−

I2 = γV1

Figura 5.24: definizione e simbolo circuitale di un GCCT.

La costante γ ha le dimensioni di una conduttanza.

• Generatore di corrente controllato in correnteUn generatore di corrente controllato in corrente (GCCC) è un doppio bipolo conuna porta che si comporta come se fosse un corto circuito ideale (la porta dicontrollo) e con l’altra che funziona come un generatore che impone una correntedirettamente proporzionale a quella che circola nell’altra porta:

I2 = δ I1 .

1

1'

2

2'

I2 = δI1I1

Figura 5.25: definizione e simbolo circuitale di un GCCC.

La costante δ è adimensionale.

Un’ultima osservazione va fatta sulla potenza elettrica assorbita da un generatorecontrollato. Secondo quanto detto in precedenza, la potenza elettrica assorbita da undoppio bipolo, a patto di fare sulle due porte la convenzione dell’utilizzatore, vale:

Pel-ass = + V1 I1 + V2 I2 ≥ 0 .

Ora, nel caso dei generatori controllati, il primo addendo è sempre nullo dato chela prima porta o è un corto circuito, oppure è un circuito aperto. Ciò vuol dire che


la porta 1 assorbe potenza elettrica nulla e la precedente relazione si semplificacome:

Pel-ass = V2 I2 .

Da quanto detto, si deduce immediatamente che la potenza elettrica assorbita allaporta 2 può assumere segno qualsiasi e, pertanto, un generatore pilotato è undoppio bipolo attivo, potendo la porta secondaria sia erogare, sia assorbirepotenza elettrica.

• Generatori dipendenti in SpiceSpice offre il notevole vantaggio di inserire nei circuiti dei generatori di corrente edi tensione controllati, in cui il valore del generatore è proporzionale alladifferenza di potenziale di una coppia di nodi oppure è proporzionale alla correnteche scorre in un generatore indipendente di tensione. Illustriamo la sintassi di taliistruzioni.

Sintassi dei generatori dipendenti controllati in tensioneIl nome di un generatore di tensione controllato in tensione deve cominciare con lalettera E. Ad esempio, un generatore di nome E1 connesso tra i nodi 2 e 0 èindividuato dalla linea

E1 2 0 NC1 NC2 VALUE .

Il valore in tensione di E1 è

V(E1) = V(NC1) - V(NC2) ⋅ VALUE

in cui NC1 e NC2 sono due nodi del circuito e VALUE è una costanteadimensionale, detta guadagno in tensione.Il nome di un generatore di corrente controllato in tensione deve cominciare con lalettera G. Ad esempio, un generatore di nome G1 connesso tra i nodi 0 e 2 èindividuato dall’istruzione

G1 0 2 NC1 NC2 VALUE .

Il valore in corrente di G1 è

I(G1) = V(NC1) - V(NC2) ⋅ VALUE


laddove NC1 e NC2 sono due nodi del circuito e VALUE è una costantedimensionale, detta trans-conduttanza.

Sintassi dei generatori dipendenti controllati in correnteIl nome di un generatore di tensione controllato in corrente deve cominciare con lalettera H. Ad esempio, un generatore di nome H1 connesso tra i nodi 2 e 0 èrappresentato da

H1 2 0 VCONTR VALUE .

Il valore in tensione di H1 è

V(H1) = I(VCONTR) ⋅ VALUE

in cui VCONTR è il generatore di tensione indipendente attraverso il quale scorrela corrente di controllo e VALUE è una costante dimensionale, detta trans-resistenza. Ovviamente, se la corrente di controllo scorre in un ramo senzageneratori è sempre possibile introdurre un generatore fittizio usato comeamperometro.Il nome di un generatore di corrente controllato in corrente deve cominciare con lalettera F. Ad esempio, un generatore di nome F1 connesso tra i nodi 0 e 2 èindividuato da

F1 0 2 VCONTR VALUE .

Il valore in corrente di F1 è

I(F1) = I(VCONTR) ⋅ VALUE .

dove VCONTR è il generatore di tensione indipendente attraverso il quale scorre lacorrente di controllo e VALUE è una costante adimensionale, detta guadagno incorrente.

• EsempiDopo aver introdotto i quattro tipi di generatori controllati lineari, mostriamo condegli esempi come si risolva una rete di bipoli e doppi bipoli quando vi siano anchedei generatori controllati: nostra intenzione è convincervi che i metodi di analisidelle reti che avete appreso nei precedenti capitoli, si applicano in maniera del tuttonaturale al caso di reti contenenti anche generatori controllati. Cominciamo colmostrare come si applicano le Leggi di Kirchhoff.


Esempio 1 - Risolvere la rete mostrata in figura. Si assuma che E = 20, J = 30,R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, JS = α V2, α = 0.25.

1 2 3

0

R3

R2EI1

I2I

V2 JS

J

+

−

+

−

+−+

I3

−R1

La rete assegnata ha n = 4 nodi e r = 6 rami, in uno dei quali c’è un generatorecontrollato che eroga una corrente la quale dipende dalla tensione sulla resistenzaR2: essa è cioè pari a JS = α V2. In base alle conclusioni raggiunte nel Capitolo 4,possiamo scrivere n - 1 = 3 equazioni indipendenti ai nodi e r - (n - 1) = 3equazioni indipendenti alle maglie: in totale 6 equazioni. A prima vista potrebberosembrare troppe, perché abbiamo solo quattro correnti incognite! L’apparentemistero si svela osservando che, quando abbiamo dei generatori di corrente,dipendenti o indipendenti, incognite sono anche le tensioni ai capi di questigeneratori, peraltro calcolabili una volta note le correnti nei vari rami. Potremmoprocedere, a questo punto, secondo il procedimento ‘standard’ più volte descritto,risolvendo il sistema completo di 12 equazioni indipendenti nelle 12 incognite (6correnti e 6 tensioni), ma preferiamo, per semplicità, seguire una via più rapida. Aquesto scopo, riduciamo le incognite alle sole correnti, e eliminiamo le equazionialle maglie che contengono i due generatori di corrente (sia quello indipendente, siaquello controllato). In questo modo, le tensioni incognite su questi generatori nonfigurano nelle equazioni. Considerazioni simili si potrebbero fare per i generatoridi tensione, qualora avessimo deciso di risolvere nelle incognite tensioni.Dopo aver compiuto ai capi dei diversi bipolo le consuete operazioni di rito,indicando le tensioni e le correnti, scriveremo allora tre equazioni ai nodi 1, 2 e 3,ed una sola equazione alla maglia 1 - R1 - 2 - R2 - 0 - E, la sola che non contengaalcun generatore di corrente. Si ha, così:


+ I1 + J - I = 0 [equazione al nodo 1] ,

+ I2 - I1 - I3 = 0 [equazione al nodo 2] ,

+ I3 - J - JS = 0 [equazione al nodo 3] ,

- E + R1 I1 + R2 I2 = 0 [equazione alla maglia 1 - R1 - 2 - R2 - 0 - E] .

Dato che JS = α R2 I2, il precedente sistema può essere riscritto come:

I = I1 + J ,

I1 + I3 = I2 ,

I3 = J + α R2 I2 ,

R1 I1 + R2 I2 = E .

La prima equazione del sistema, l’equazione al nodo 1, in realtà, è la sola checontiene l’incognita I: una volta che saranno note le altre correnti, anch’essa potràessere valutata. Questa osservazione è particolarmente interessante, dato checonsente di ridurre il numero di equazioni a tre soltanto. Adoperando, allora, solole tre ultime equazioni si può scrivere il sistema:

I1 + I3 = I2 ,

I3 - α R2 I2 = J ,

R1 I1 + R2 I2 = E .

Sostituendo i valori numerici, otteniamo il seguente sistema

I1 - I2 + I3 = 0 ,

- 0.5 I2 + I3 = 30 ,

I1 + 2 I2 = 20 ,

che, risolto, ci fornisce il valore delle tre correnti incognite

I1 = - 20 , I2 = 20 , I3 = 40 .

Controllare che le tre correnti riportate verifichino effettivamente il sistematrovato. Inoltre, per verificare la bontà dei calcoli eseguiti, è consigliabile eseguireuna verifica sulle potenze messe in gioco nel circuito. In particolare, vogliamoverificare che la potenza complessivamente assorbita dai tre resistori,


PA = R1 I12 + R2 I2

2 + R3 I32 ,

è pari a quella complessivamente erogata dai tre generatori:

PG = E I + V31 J + V30 JS .

Semplici passaggi algebrici ci consentono di calcolare le grandezze che ancoraservono

I = I1 + J = 10 ,

V31 = V32 + V21 = R1 I1 + R3 I3 = 100 ,

V30 = V32 + V20 = R3 I3 + R2 I2 = 160 ,

e di verificare che la potenza complessivamente assorbita è uguale alla potenzacomplessivamente erogata

PA = PG = 6 kW .

Esempio 1*Generatori controllatiR1 1 2 1R2 2 0 2R3 3 2 3I0 1 3 DC 30V0 1 0 DC 20GS 0 3 2 0 0.25.END

Controllate, infine, i risultati dell’esercizio proposto usando il listato Spiceriportato.

Discutiamo ora un secondo esempio per mostrare come si applica il metodo deipotenziali nodali quando nella rete siano presenti generatori controllati.

Esempio 2 - Per la rete mostrata in figura, calcolare la potenza assorbita dalgeneratore controllato e le potenze erogate dai generatori indipendenti, usando ilmetodo dei potenziali nodali. Si assuma che E = 45, J = 0.45, VS = α I3, α = 6.25,R1 = 100, R2 = 5, R3 = 25.


12

0

R3

I1

I2

R2R1

JE

VS I3

3

+

−+

−

La rete considerata è costituita da n = 2 nodi e da r = 4 rami; il metodo deipotenziali nodali consente di scrivere una sola equazione risolvente per la retenell’unica incognita V1, mentre il nodo 0 rappresenta il riferimento per i potenziali.Assumiamo, pertanto, V0 = 0.Le correnti nelle tre resistenze dipendono dal potenziale incognito secondo lerelazioni

I1 = - V1

R1 , I2 = VS - V1

R2 , I3 = E - V1

R3 ;

inoltre, la seconda può ulteriormente essere specificata utilizzando il vincoloimposto dal generatore controllato:

I2 = α I3 - V1

R2 = α E - V1

R2 R3 - V1

R2 = α E

R2 R3 - α

R3 + 1 V1

R2 .

Possiamo ora applicare la LKC al nodo 1

J + I1 + I2 + I3 = 0 ,

ottenendo:

J - V1

R1 + α E

R2 R3 - α

R3 + 1 V1

R2 + E - V1

R3 = 0 .

Risolvendo questa equazione di primo grado, si ha:


V1 =

ER3

1 + αR2

+ J

1R1

+ 1R2

1 + αR3

+ 1R3

= 15 .

Pertanto, le correnti nelle tre resistenze valgono:

I1 = - 0.15 , I2 = - 1.5 , I3 = 1.2 ,

e le potenze richieste (si faccia attenzione alle convenzioni e ai segni che neconseguono, per poter distinguere quali siano quelle erogate e quali quelleassorbite)

PS = - VS I2 = - α I3 I2 = 11.25 , PJ = V1 J = 6.75 , PE = E I3 = 54 .

Ciò vuol dire che i due generatori indipendenti stanno veramente erogando energiaalla rete, mentre quello dipendente sta assorbendo, comportandosi come un bipoloutilizzatore.

Esempio 2*Generatori controllatiR1 1 0 100R2 3 1 5R3 2 1 25I0 0 1 DC 0.45V0 2 0 DC 45HS 3 0 V0 -6.25.END

Ancora una volta potete controllare i risultati ottenuti per mezzo del listato Spice.

Quando nella rete sono presenti generatori controllati appare particolarmenteevidente l’utilità di calcolare i parametri del teorema di Thévenin facendo primauna prova a vuoto, per calcolare la tensione E0, e poi una prova in cortocircuito, per determinare la corrente I0. Mostriamo come si opera con unesempio.

Esempio 3 - Trovare il circuito equivalente di Thévenin rispetto ai terminali AB.Si assuma che J = 135 nA, R1 = 100, R2 = 980, R3 = 40 kΩ, α = 5⋅10-5, β = 40.


1 2

0

R3

I1

I2R2

R1

3

J

+

−

+

−

A

B

αV3 βI2 V3

Cominciamo a trovare la tensione a vuoto E0. Osservando la figura riportata, èfacile affermare che

E0 = V3 = β R3 I2 .

Occorre allora calcolare la corrente I2. Vale la pena notare incidentalmente che nelramo che unisce le due parti che compongono il circuito non circola alcunacorrente.Per calcolare le correnti incognite in questa prova a vuoto, applichiamo il metododei potenziali nodali. Adoperando come incognita il potenziale V1, per la correnteche scorre nel resistore R1, si ha:

I1 = V1

R1 ,

mentre per la corrente I2 bisogna imporre anche il vincolo dettato dal generatorecontrollato di tensione, sicché risulta:

I2 = V1 - α V3

R2 = V1 - α β R3 I2

R2 → I2 = V1

R2 + α β R3 .

Ora, applicando la LKC al nodo 1, dovendo essere

+ I1 + I2 - J = 0 → I1 + I2 = J ,

l’equazione che definisce il potenziale incognito è:

V1

R1 + V1

R2 + α β R3 = J .

Questa equazione può essere facilmente risolta nella forma:


V1 = J R1 R2 + α β R3

R1 + R2 + α β R3 .

Essendo poi V3 = β R3 I2, si ha:

E0 = V3 = J β R1 R3

R1 + R2 + α β R3 = 21.6

1160 V ≅ 18.62 mV .

Passiamo ora alla prova in cortocircuito. Riferendoci al circuito di seguitoriportato, in cui i terminali A e B sono stati uniti con un cortocircuito (cosa che hacomportato la scomparsa del resistore R3 e del generatore di tensione controllato intensione), una semplice operazione di partizione della corrente sulla prima magliaci consente di affermare che la corrente I0 vale:

I0 = β I2 = β J R1

R1 + R2 = 540

1080 µA = 0.5 µA .

È pertanto facile calcolare la resistenza equivalente, R0, definita dal rapporto:

R0 = E0

I0 =

R3 R1 + R2

R1 + R2 + α β R3 = 43200

1160 kΩ ≅ 37.24 kΩ .

1 2

0

I1

I2R2

R1

3

J

+

−

+

−αV3 βI2 V3 I0

Alla stessa conclusione si arriva se si calcola la resistenza equivalente collegando aiterminali A e B un qualsiasi generatore indipendente di tensione, diciamo di valoreVEST, e si valuta la corrente I0 che fluisce attraverso esso. Come suggerito dalloschema che segue, il valore della resistenza, un volta eliminati i generatoriindipendenti, sarà dato allora da

R0 = VEST

IEST .


1 2

0

R3

I1

I2R2

R1

3

+

−

+

−

A

B

αV3 βI2 V3

+

−

IEST

VEST

Ora, la prima legge al nodo A ci fornisce la corrente IEST, essendo:

+ I3 - β I2 - IEST = 0 → IEST = I3 - β I2 = VEST

R3 - β I2 ,

mentre, per la seconda legge applicata al circuito di ingresso, la corrente I2 vale

α VEST + R1 I2 + R2 I2 = 0 → I2 = - α VEST

R1 + R2 .

In definitiva, si hanno i seguenti valori per la corrente e per la resistenzaequivalente

IEST = VEST

R3 + β α VEST

R1 + R2 → R0 = VEST

IEST = R3 (R1 + R2)

R1 + R2 + α β R3 .

Esempio 3*Generatori controllatiR1 1 0 100R2 1 2 980R3 3 0 40kI0 0 1 DC 135nV2 2 20 DC 0E2 20 0 3 0 5e-5F3 0 3 V2 40.TF V(3,0) I0.END

Operate, come d’abitudine, il controllo con Spice.


Infine, nei due esempi che seguono, vediamo come si trovano i parametri di undoppio bipolo in cui siano presenti generatori controllati.

Esempio 4 - Determinare i parametri ‘h’ che descrivono il doppio bipolo.

I1

I1

I2

I2

R2

R3R1

V1 V2

+

−

+

−

r I2

+ −

Le variabili di controllo di una caratteristica ibrida ‘h’ sono la corrente alla portauno e la tensione alla porta due:

V1 = h11 I1 + h12 V2 ,

I2 = h21 I1 + h22 V2 .

Allo scopo di calcolare i quattro elementi della rappresentazione, consideriamo ledue situazioni separatamente discusse qui di seguito.

• Porta secondaria in corto circuitoDa questa situazione circuitale, peraltro rappresentata nella figura che segue, siamoin grado di ricavare i primi due parametri della rappresentazione ibrida:

h11 = V1

I1 e h21 = I2


Applicando la LKT ai due anelli di cui è costituita questa rete (le due LKC ai nodisono automaticamente verificate!), risulta:

V1 = R1 I1 + R2 I1 + I2 ,

r I2 = R3 I2 + R2 I1 + I2 .

Sostituendo in questo sistema le definizioni dei due parametri cercati, cioèV1 = h11 I1 e I2 = h21 I1, otteniamo un nuovo sistema nelle incognite h11 e h21:


h11 = R1 + R2 1 + h21 ,

r h21 = R3 h21 + R2 1 + h21 .

I1

I1

I2

I2

R2

R3R1

V1 V2

+

−

+

−

r I2I1I1 + I2

+ −

Dalla seconda equazione ricaviamo h21 che, sostituita nella prima, ci fornisce ilvalore di h11:

h11 = R1 + R2 r - R3

r - R2 - R3 , h21 = R2

r - R2 - R3 .

• Porta primaria apertaDa questa situazione circuitale, riportata in dettaglio nella figura che segue, siamoin grado di ricavare gli altri due parametri:

h12 = V1

V2 e h22 = I2


La seconda legge, applicata alla sola maglia di cui è costituita la rete, (il ramo in cuivi è la resistenza R1 è aperto) stabilisce che

+ r I2 + V2 - R2 I2 - R3 I2 = 0 → V2 = R2 + R3 - r I2 .

Ciò vuol dire che i due elementi da noi cercati si possono scrivere nella forma:

h12 = V1

V2 = R2 I2

V2 = R2

R2 + R3 - r , h22 = I2

V2 = 1

R2 + R3 - r .


I2

I2

R2

R3R1

V1 V2

+

−

r I2+

−

I1 = 0

I2

+ −

Esempio 5 - Calcolare i parametri ‘g’ che descrivono il doppio bipolo mostrato infigura. Si assuma R1 = 5, R2 = 50, R3 = 25, α = 6.

I2

I2

R2

R3R1

V1 V2

+

−

+

−

I1

I1

+

−

α V3

+

−V3

La rappresentazione ibrida che vogliamo trovare è definita dalle relazioni 5.30

I1 = g11 V1 + g12 I2 ,

V2 = g21 V1 + g22 I2 .

Per determinare i quattro parametri che caratterizzano il doppio bipolo, comed’abitudine, studiamo le due situazioni circuitali.

• Porta secondaria apertaDa questa situazione circuitale, peraltro rappresentata nella figura che segue, siamoin grado di ricavare i coefficienti

g11 = I1

V1 e g21 = V2


Applicando le leggi di Kirchhoff, possiamo scrivere


- V1 + R1 I1 + R3 I1 = 0 ,

+ V2 + α V3 = 0 .

R2

R3R1

V1 V2

+

−

I1

I1

+

−

α V3

+

−V3

+

−

I2 = 0

Dalla seconda equazione, troviamo:

V2 = - α V3 = - α R3 I1 .

Dalla prima risulta, invece:

I1 = V1

R1 + R3 .

Sostituendo le relazioni trovate nelle definizioni dei parametri ‘g’, otteniamo

g11 = I1

V1 = 1

R1 + R3 = 1

30 S ,

e similmente

g21 = V2

V1 = - α R3 I1

V1 = - α R3

R1 + R3 = - 5 .

• Porta primaria in corto circuitoDa questa situazione circuitale, riportata nella figura che segue, siamo in grado diricavare gli altri due parametri:

g12 = I1

I2 e g22 = V2


La LKT alla maglia di ingresso stabilisce che:


+ R1 I1 + R3 I1 = 0 → (R1 + R3) I1 = 0 → I1 = 0 .

I2

I2

R2

R3R1

V2

+

−

+

−

I1

I1

+

−

α V3

+

−V3V1 = 0 I2

Da ciò segue che anche la tensione V3 è nulla, e, pertanto, gli altri due parametrivalgono:

g12 = 0 , g22 = V2

I2 = R2 = 50 .


Appendice: il transistore

Dopo aver introdotto le caratteristiche dei doppi bipoli, i generatori controllati eaver discusso in qualche dettaglio il calcolo dei parametri di un doppio bipololineare e passivo, è giunto il momento di introdurre un doppio bipoloparticolarmente interessante per le applicazioni, che più volte utilizzeremmo, le cuireali potenzialità saranno completamente chiare solo quando rimuoveremo l’ipotesidi stazionarietà, considerando regimi variabili nel tempo. Si tratta del transistore,più precisamente del transistore bipolare a giunzione, BJT. Esso rappresenta laparte centrale della maggior parte degli apparecchi elettronici e può amplificaresegnali elettrici deboli, immagazzinare informazioni nei computers e svolgere moltealtre funzioni. Il transistore fu inventato nel 1947 dai fisici americani WilliamShockley, John Bardeen e Walter Brattain.Si tratta, come suggerisce la Figura A.1, di un dispositivo a tre terminali, chiamatibase (B), emettitore (E), collettore (C). Esso, opportunamente alimentato,costituisce un doppio bipolo, che ha due morsetti delle due porte riuniti in un unicomorsetto ‘comune’. Nella configurazione di Figura A.1, detta ad emettitorecomune, le due porte sono costituite dalle seguenti coppie di morsetti: porta 1, base- emettitore (BE), porta 2, collettore - emettitore (CE).

Β

C

E E

+

−+−

IB

IB

IC

IC

Figura A.1: simbolo circuitale del transistore bipolare a giunzione (npn).

Il suo comportamento viene generalmente descritto per mezzo di una caratteristicaibrida del primo tipo:

VBE = H1(IB, VCE) ,

IC = H2(IB, VCE) ,

in cui abbiamo posto V1 = VBE, I1 = IB, V2 = VCE e I2 = IC.Le precedenti relazioni caratteristiche sono, in generale, due equazioni non lineari,fornite dal costruttore, tipicamente in forma grafica. Qui ci accontenteremo di un


modello semplificato, lineare, che costituisce un buon compromesso tra semplicitàdi calcolo e affidabilità delle previsioni.Nel caso lineare, queste relazioni diventano:

VBE = h11 IB + h12 VCE ,

IC = h21 IB + h22 VCE .

Quanto valgano i parametri di questa rappresentazioni, dipende dal modello ditransistore adoperato; per un dato transistore, una volta che il costruttore ci abbiafornito le relazioni non lineari, non sarebbe difficile determinarli. Tuttavia, ilparametro h12 può, con buona approssimazione, ritenersi nullo

h12 = 0 .

h11h21 IB 1/h22

+

−

+

−VCEVBE

IB IC

Figura A.2: circuito equivalente linearizzato di un transistore a emettitorecomune.

La relazione

VBE = h11 IB + h12 VCE ≅ h11 IB

è la cosiddetta caratteristica di ingresso e si riduce, in ultima analisi, ad unlegame lineare tra VBE ed IB, che, dal punto di vista circuitale, si può descriverecon un semplice resistore di valore h11, come suggerito dalla Figura A.2.L’altra relazione, invece,

IC = h21 IB + h22 VCE

rappresenta la cosiddetta caratteristica di uscita, e può ricondursi al parallelo diun resistore di valore 1/h22 (o, se preferite, a una conduttanza di valore h22) e di ungeneratore controllato, come mostrato in Figura A.2.Supponiamo, allora, di conoscere il valore dei parametri che assumeremo pari a


h11 = 1 kΩ , h12 = 0 , h21 = 300 , h22 = 0.1 mS ,

che rappresentano valori medi di un’ampia classe di transistori commerciali.

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0 2 4 6 8 10

IB = 2 µA

IB = 4 µA

IB = 6 µA

IB = 8 µA

IB = 10 µA

IC (mA)

VCE (V)

Figura A.3: caratteristiche linearizzate di uscita di un transistore a emettitorecomune.

Inserendo questi valori numerici, le relazioni linearizzate diventano

VBE = 1000 IB ,

IC = 300 IB + 10-4 VCE ,

in cui si è immaginato di esprimere le tensioni in volt e le correnti in ampere.Come già osservato, la caratteristica di ingresso è una retta che collega IB e VBE; lacaratteristica di uscita è mostrata in Figura A.3 e rappresenta un insieme di retteche si ottiene fissando, di volta in volta, diversi valori della corrente di base.Spieghiamo meglio il procedimento seguito per costruire questa figura: perottenere la retta corrispondente alla corrente di base IB = 8 µA, ad esempio,abbiamo sostituito questo valore nella seconda relazione linearizzata, ottenendo

IC = 300 ⋅ 8 ⋅ 10-6 + 10-4 VCE = 2.4 ⋅ 10-3 + 10-4 VCE ,


che, nel piano individuato dalle variabili VCE ed IC, rappresenta la quarta, contandodal basso, retta mostrata in Figura A.3. Ripetendo questo stesso ragionamento, nonè difficile ottenere tutte le altre rette mostrate.

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