8/7/2019 Inte Doppi

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2 Integrali doppi: esercizi svolti

g) x (1 y) dxdy, = (x, y )R 2 : 0 < y 0, y > 073 +

1516

r ) x x2 + y2 dxdy, = (x, y )R 2 : x2 + y2 < 1, x2 + y2 < 2y, x < 0 320

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Integrali doppi: esercizi svolti 3

s) (x + y) dxdy, = (x, y )R 2 : 2x2 + 3 y2 < 4, x > 0, y > 04

93 + 2

Svolgimento

a ) Consideriamo lintegrale (x + y) dxdy , dove = (x, y )

R 2 : 0 < y 0, y > 0 .

x

y

0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig. 4: Linsieme (in azzurro).

Linsieme e sia x -semplice che y-semplice. Osserviamo che presenta una sim-

metria radiale. Possiamo quindi passare in coordinate polari nel piano. Poniamo

quindi

:x = cos

y = sin ,

0, 0

2,

|det J (, )

|= .

Allora

(x, y ) 1 < < 2

0 < < 2 .

Quindi si ha che = ( ), dove

= (, )R 2 : 1 < < 2, 0 < 0 .

x

y

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

Fig. 6: Linsieme (in azzurro).

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Integrali doppi: esercizi svolti 7

Passiamo in coordinate polari nel piano. Poniamo quindi

:

x = cos

y = sin , 0, 0 2, |det J (, )| = .Allora

(x, y )

0 < < 1

0 < < 2cos

0 < < 2 .

Quindi si ha che = ( ), dove = 12, con

1 = (, )R 2 : 0 < < 1, 0 < 0, y > 0 .

x

y

1 0.5 0 0.5 1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 8: Linsieme (in azzurro).

Essendo la parte del I quadrante inclusa nellellisse di equazione x2 + y2

12

= 1,

passiamo in coordinate ellittiche nel piano. Poniamo quindi

:x = cos

y =22 sin ,

0, 0 2, |det J (, )| =22

.

Allora

(x, y ) 0 < < 1

0 < < 2 .

Quindi si ha che = ( ), dove

= (, )R 2 : 0 < < 1, 0