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Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 13 Pagina 1

Lez.13 Doppi bipoli


Doppi bipoli

In molti dispositivi i terminali sono associati naturalmente a coppie

(trasformatore, amplificatore hi-fi, filtri ecc.), la coppia (1,1’) detta

porta d’ingresso o primaria e la coppia (2,2’) detta porta d’uscita o

secondaria

Nella descrizione del doppio bipolo si considerano solo le due tensioni tv1

e tv2 alle porte e le due correnti ti1 , ti2 , in quanto titi 11 ' e

titi 22 '

1

v (t)1

i (t)1

i (t)2

v (t)2

1'

2

2'

i' (t)2i' (t)

1


Il doppio bipolo è pertanto governato dalle equazioni implicite:

0,,,

0,,,

21212

21211

iivvf

iivvf

E il suo grafo orientato corrispondente è:

1

1'

2

2'

Esso è non connesso e, quindi, le relazioni tra correnti e tensioni non sono

legate dalle leggi di Kirchhoff ma dalle caratteristiche dei bipoli.

La potenza assorbita dal doppio bipolo risulta:

2211 ivivtpa


Doppi bipoli di resistori lineari

Sono doppi bipoli costituiti da soli resistori lineari.

1

v (t)1

i (t)1

i (t)2

v (t)2

1'

2

2'

i' (t)2i' (t)

1

Per tali doppi bipoli esistono 6 possibili rappresentazioni, ossia esistono

6 possibili modi di rappresentare la loro caratteristica in forma esplicita.


Rappresentazione Variabili indipendenti Variabili dipendenti

Controllata in corrente 21,ii 21,vv

Controllata in tensione 21,vv 21,ii

Ibrida 1 21,vi 21,iv

Ibrida 2 21,iv 21,vi

Trasmissione 1 22 ,iv 11,iv

Trasmissione 2 11,iv 22,iv


Rappresentazione controllata in corrente

Per caratterizzare il doppio bipolo si usano due generatori di corrente

indipendenti (21,ii ) e si determinano le tensioni alle porte in funzione di

queste correnti.

Applicando la sovrapposizione degli effetti (per la linearità):

222

111

'''

'''

vvv

vvv da cui:

2221212

2121111

iRiRv

iRiRv

v2

i1 i2 v1


Con:

2

2

02

222

1

2

01

221

2

1

02

112

1

1

01

111

'''

'''

12

12

i

v

i

vR

i

v

i

vR

i

v

i

vR

i

v

i

vR

ii

ii

2

1

2221

1211

2

1

i

i

RR

RR

v

v

2221

1211

RR

RRR

La matrice R è detta matrice delle resistenze ed è formata dalle

resistenze proprie R11 e R22, e dalle resistenze mutue R12 e R21


Proprietà della matrice delle resistenze:

1) La resistenza 11R è la resistenza equivalente alla porta 1 ( 011 R );

2) La resistenza 22R è la resistenza equivalente alla porta 2 ( 022 R );

3) mRRR 2112 per la proprietà di reciprocità;

4) |𝑅21| ≤ 𝑅11e |𝑅12| ≤ 𝑅22 per la proprietà di non amplificazione.

Tali proprietà definiscono anche le condizioni di fisica realizzabilità di un

doppio bipolo controllato in corrente


Per ricavare le proprietà della matrice delle resistenze è possibile rifarsi

ai seguenti schemi circuitali:

ed applicare ad essi la definizione di resistenza equivalente, la seconda

forma del teorema di reciprocità e la proprietà di non amplificazione delle

tensioni.

V’2

i1

i2

V’1 V’’

2

i1

i2

V’’1


Rappresentazione controllata in tensione

Per caratterizzare il doppio bipolo si usano due generatori di tensione

indipendenti (21,vv ) e si determinano le correnti alle porte in funzione di

queste tensioni

2

1

2221

1211

2

1

v

v

GG

GG

i

i

2221

1211

GG

GGG

La matrice G è detta matrice delle conduttanze ed è formata dalle

conduttanze proprie G11 e G22, e dalle conduttanze mutue G12 e G21


Proprietà della matrice delle conduttanze:

1) 11G è la conduttanza equivalente alla porta 1 ( 011 G );

2) 22G è la conduttanza equivalente alla porta 2 ( 022 G );

3) mGGG 2112 per la proprietà di reciprocità;

4) 1121 GG e 2212 GG per la proprietà di non amplificazione.


doppio bipolo controllato in tensione


Rappresentazione ibrida 1

Per caratterizzare il doppio bipolo si usa un generatore di corrente

indipendente (1i ) e un generatore di tensione indipendente (

2v ):

2

1

2221

1211

2

1

v

i

HH

HH

i

v

2221

1211

HH

HHH

La matrice H è detta matrice ibrida ed è formata dal coefficiente H11

resistenza equivalente alla porta 1, H22 conduttanza equivalente alla porta

2 , H12 guadagno in tensione alla porta 1 e H21 guadagno in corrente alla

porta 2


Proprietà della matrice ibrida 1:

1) 11H è la resistenza equivalente alla porta 1 ( 011 H );

2) 22H è la conduttanza equivalente alla porta 2 ( 022 H );

3) 2112 HH per la proprietà di reciprocità;

4) 121 H e 112 H per la proprietà di non amplificazione.


doppio bipolo con controllo ibrido di tipo 1


Rappresentazione di trasmissione 1

Per caratterizzare il doppio bipolo si esprimono le grandezze alla prima

porta in funzione di quelle alla seconda porta.

In questo caso, storicamente, si utilizza la convenzione del generatore

alla porta 2:

1

v (t)1

i (t)1

i (t)2

v (t)2

1'

2

2'

T

{𝑣1𝑖1} = [

𝑇11 𝑇12𝑇21 𝑇22

] {𝑣2𝑖2}

2221

1211

TT

TTT


Proprietà della matrice di trasmissione T 1:

1) 11T è un coefficiente adimensionale;

2) 22T è un coefficiente adimensionale;

3) 1det T per la proprietà di reciprocità;

4) 111 T e 122 T per la proprietà di non amplificazione.


Collegamento in serie di doppi bipoli

1

v (t)1

i (t)1

i (t)2

1'

2

R1

v (t)2

2'

R2

R2R1R

22

11

RR

RR

m

m


Collegamento in parallelo di doppi bipoli

1

v (t)1

i (t)1 i (t)

2

1'

2

G1

v (t)2

2'

G2

G2G1

22

11

GG

GGG

m

m


Collegamento in cascata di doppi bipoli

1

v (t)1

i (t)1

1'

T1

i (t)2

2

2'

T2

T2T1T

2221

1211

TT

TT


Collegamento serie/parallelo o parallelo/serie di doppi bipoli

1

v (t)1

i (t)1 i (t)

2

1'

2

H1

v (t)2

2'

H2

H2H1H

2221

1211

HH

HH

1

v (t)1

i (t)1 i (t)

2

1'

2

H1

v (t)2

2'

H2


Doppi bipoli lineari non inerti

Un esempio di doppio bipoli lineare non inerte è costituito da resistori

lineari e generatori indipendenti.

1

v (t)1

i (t)1

i (t)2

v (t)2

1'

2

2'

Per la linearità si può ricavare la caratteristica con il p.s.e.

V2(t) V

1(t)

+ +


La caratteristica è:

cc

cc

m

m

cc

cc

i

i

v

v

GG

GG

i

i

i

i

i

i

2

1

2

1

22

11

2

1

2

1

2

1

'

'

E’ questa la generalizzazione del teorema di Norton per i doppi bipoli

Se il doppio bipolo è controllabile in corrente, si ottiene la

generalizzazione del teorema di Thevenin

02

01

2

1

22

11

02

01

2

1

2

1

'

'

v

v

i

i

RR

RR

v

v

v

v

v

v

m

m


Sintesi di doppi bipoli

L’analisi di un doppio bipolo è l’operazione tramite la quale, data una

configurazione di resistori lineari, si vuole determinare la sua

rappresentazione secondo matrice G, R, H oppure T

L’operazione di sintesi consiste, invece, nel determinare una

configurazione di resistori lineari che ammette come rappresentazione

quella descritta da una matrice nota (ad esempio delle resistenze o delle

conduttanze).


Se le matrici soddisfano le condizioni di fisica realizzabilità, bastano tre

resistori per costruire il corrispondente bipolo. Le configurazioni che si

possono ottenere sono quelle a T e a

1

v (t)1

i (t)1

i (t)2

v (t)2

1'

2

2'

Ra Rb

Rc

mc

mb

ma

RR

RRR

RRR

22

11

1

v (t)1

i (t)1

i (t)2

v (t)2

1'

2

2'

Gx

Gy

Gz

my

mz

mx

GG

GGG

GGG

22

11


Doppio bipolo Trasformatore Ideale

E’ un doppio bipolo caratterizzato da un solo parametro a, detto rapporto

di trasformazione

v (t)1

i (t)1 i (t)

2

v (t)2

a:1

ai

i

av

v

1

2

1

2

1


Proprietà del Trasformatore ideale:

1) Elevatore di tensione e abbassatore di corrente se 1a ;

2) Abbassatore di tensione ed elevatore di corrente se 1a ;

3) Trasparente alle potenze; ttpa 0 ; Infatti:

𝑝𝑎(𝑡) = 𝑝1(𝑡) + 𝑝2(𝑡) = 𝑣1𝑖1 + 𝑣2𝑖2 = 𝑣1𝑖1 +𝑣1𝑎(−𝑎𝑖1) = 0

4) Trasporto :𝑅𝑒𝑞1 = 𝑎2𝑅2;

𝑅2

𝑅𝑒𝑞1 =𝑣1𝑖1

=𝑎𝑣2

−(1𝑎 𝑖2)

= 𝑎2 (−𝑣2𝑖2) = 𝑎2𝑅2

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