Integrali tripli - Esercizi svolti

Integrali tripli

Si calcolino gli integrali tripli seguenti riducendo per strati e per fili in coordinate cartesiane.

Eventualmente fare cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi risultanti.

1.

∫

D(x2 + y2) dx dy dz, ove D e il cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1];

2.

∫

Dxy(y + z) dx dy dz ove D e il tetraedro di vertici (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1);

3.

∫

Dx2 dx dy dz ove D e la sfera unitaria di centro (0, 0, 0).

4.

∫

Dxyz dx dy dz con D = {(x, y, z) | z2 ≤ x2 + y2 , z ≥ x2 + y2}.

Cambiamento di coordinate

5. Si calcoli, utilizzando le coordinate sferiche,

∫

Dx2 dx dy dz ove D e la sfera unitaria di centro

(0, 0, 0).

6. Si calcoli, utilizzando le coordinate sferiche,

∫

D

1

1 +√

x2 + y2 + z2dx dy dz ove

D = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 − z ≤ 0 , 0 ≤ y ≤√3x/3} ;

7. Si calcoli∫

E

x2 + 4y2z2

8y3dxdy dz,

dove E = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + 4y2(y2 + z2 − 1) ≤ 0, y ≥

√32 }, utilizzando il cambiamento di

variabili

x = 2uvy = vz = w.

1

Ulteriori integrali tripli

8.

∫

Dx2y dx dy dz con D = {(x, y, z) ∈ R

3 | x2 + z2 ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1};

9.

∫

D

1

3− zdx dy dz,

D = {(x, y, z) | 9z ≤ 1 + y2 + 9x2 , 0 ≤ z ≤√

9− (y2 + 9x2)} ;

10.

∫

Dxdx dy dz, ove D e l’insieme {(x, y, z) | 2x ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 1};

Applicazioni

11. Calcolare il volume delle regioni seguenti:

(a) A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 − 2 ≤ z ≤ 4− x− y};

(b) B = {(x, y, z) ∈ R3 | 1− z ≤ x2 + y2 ≤ 1− z2

9 , 0 ≤ z ≤ 2};

(c) C = {(x, y, z) ∈ R3 | 1− z ≤ x2 + y2 ≤ 1, z ≤ 3x2 − y2};

(d) D = {(x, y, z) ∈ R3 | 1

5

√

x2 + y2 ≤ z ≤ e−√

x2+y2};

12. Si consideri il tetraedro di vertici A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 3), O = (0, 0, 0) e lo

si suddivida in due mediante il piano di equazione x = k. Determinare k ∈ R in modo che i

due solidi ottenuti abbiano volumi uguali.

13. Calcolare i volumi dei seguenti solidi ottenuti ruotando il grafico della funzione y = f(x)

attorno all’asse delle ascisse:

(a) y = 1x , x0 < x < x1;

(b) y = (1− x2/3)3/2, −1 ≤ x ≤ 1 (asteroide );

(c) y = x3, 0 < x < a;

(d) y = e x, 0 < x < a;

(e) y = cosh x, 0 < x < a.

14. Calcolare il volume degli insiemi delimitati dalle superfici:

(a) z = sinx, x = 0, x = π, y = 0, y = 1, z = 0;

(b) z = sinx, x = −π, x = π, y = 0, y = 1, z = 0.

15. I due paraboloidi z + 10 = 5(x2 + y2) e z − 103 = x2 + y2 individuano una regione E che si

suppone omogenea. Verificare che il baricentro di E cade nell’origine.

16. Calcolare i momenti di inerzia (rispetto all’asse di rotazione) dei corpi seguenti, supposti

omogenei, con densita 1 e ruotanti rispetto alla retta indicata.

(a) una sfera, ruotante intorno ad una retta tangente;

(b) il volume interno all’ellissoide x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1, ruotante intorno all’asse delle ascisse;

(c) un guscio sferico, di raggio interno r ed esterno R, ruotante intorno ad un diametro.

Integrali tripli

1.

∫

D(x2 + y2) dx dy dz, D = {(x, y, z) ∈ R

3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}.

Per fili: si proietta D su uno dei piani coordinati, per esempio sul piano z = 0, ottenendo il

quadrato Q = [0, 1] × [0, 1], e

∫

D(x2 + y2) dxdy dz =

∫

Q

[

∫

Sxy

(x2 + y2) dz

]

dxdy,

con Sxy = {(z | (x, y, z) ∈ D} = [0, 1]. Dunque

∫

D(x2 + y2) dxdy dz =

∫

Q

[∫ 1

0(x2 + y2) dz

]

dxdy =

∫

Q(x2 + y2)

[

z|10]

dxdy =

=

∫

Q(x2 + y2) dxdy =

∫ 1

0

[∫ 1

0(x2 + y2) dy

]

dx =

=

∫ 1

0

(

x2 +1

3

)

dx =2

3.

Per strati: si proietta D su un asse, per esempio sull’asse z. Si ha

∫

D(x2 + y2) dxdy dz =

∫ 1

0

[∫

Sz

(x2 + y2) dxdy

]

dz,

con Sz = {(x, y) | (x, y, z) ∈ D} = [0, 1] × [0, 1].

Quindi, dal calcolo gia fatto,

∫

Sz

(x2 + y2) dxdy =2

3⇒

∫

D(x2 + y2) dxdy dz =

2

3.

2.

∫

Dxy(y + z) dxdy dz, D = {(x, y, z) ∈ R

3 | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x+ y + z ≤ 1}.

x

y

z

O

pianox+ y + z = 1

Per fili: la proiezione di D sul piano z = 0 e il triangolo T delimitato dalla retta x+ y = 1 e

contenuto nel primo quadrante:

∫

Dxy(y + z) dxdy dz =

∫

T

[

∫

Sxy

xy(y + z) dz

]

dxdy,

con Sxy = {z | (x, y, z) ∈ D} = [0, 1− x− y].

x

y

z

Ob

b

Sxy

Quindi

∫

Dxy(y + z) dxdy dz =

∫

Txy

[∫ 1−x−y

0(y + z) dz

]

dxdy =

∫

Txy

[

yz +1

2z2∣

∣

∣

∣

z=1−x−y

z=0

]

dxdy =

=

∫

Txy

[

y(1− x− y) +1

2(1− x− y)2

]

dxdy =

=

∫

Txy

[

y − xy − y2 +1

2(1 + x2 + y2 − 2x− 2y − 2xy)

]

dxdy =

=

∫

Txy

[

y − xy − y2 +1

2+

1

2x2 +

1

2y2 − x− y − xy

]

dxdy =

=

∫

Txy

[

−2xy − 1

2y2 +

1

2+

1

2x2 − x

]

dxdy =

=

∫ 1

0

[

−∫ 1−x

0

(

2x2y2 +1

2xy3 − 1

2xy − 1

2x3y + x2y

)

dy

]

dx =

= −∫ 1

0

{

2

3x2(1− x)3 +

1

8x(1− x)4 − 1

4x(1− x)2 − 1

4x3(1− x)2 +

1

2x2(1− x)2

}

dx

si omette il calcolo dell’integrale semplice.

Per strati: si proietta sull’asse z ottenendo il segmento [0, 1] e quindi

∫

Dxy(y + z) dxdy dz =

∫ 1

0

[∫

Sz

xy(y + z) dxdy

]

dz,

con Sz = {(x, y) | (x, y, z) ∈ D} = {(x, y) | x+ y ≤ 1− z, x ≥ 0, y ≥ 0}.

x

y

z

O

Sz

Quindi∫

Dxy(y + z) dxdy dz =

∫ 1

0

[∫ 1−z

0

(∫ 1−z−x

0xy(y + z) dy

)

dx

]

dz

si omette il calcolo degli integrali semplici.

3.

∫

Dx2 dxdy dz, D = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

Per fili: si proietti su z = 0 ottenendo il disco E = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}. Quindi

∫

Dx2 dxdy dz =

∫

E

(

∫

Sxy

x2 dz

)

dxdy, Sxy = [−√

1− x2 − y2,√

1− x2 − y2]

=

∫

E2x2

√

1− x2 − y2 dxdy.

Conviene calcolare quest’integrale doppio passando a coordinate polari e integrando sul do-

minio R = {(ρ, θ) ∈ R2 | 0 < ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}. Quindi

∫

E2x2

√

1− x2 − y2 dxdy =

∫

R2ρ2 cos2 θ

√

1− ρ2ρdρdθ =∫ 2π

02 cos2 θ dθ ·

∫ 1

0ρ3√

1− ρ2 dρ = 2π

∫ 1

0ρ3√

1− ρ2 dρ.

Si sostituisce prima ρ2 = u e quindi 1− u = s2:

2π

∫ 1

0ρ3√

1− ρ2 dρ = 2π

∫ 1

0ρ2√

1− ρ2 d

(

ρ2

2

)

= π

∫ 1

0u√1− udu = 2π

∫ 1

0(1− s2)s2 ds.

Si omette il calcolo dell’integrale semplice.

Per strati:∫

Dx2 dxdy dz = 2

∫

D0

x2 dxdy dz, con D0 = {(x, y, z) ∈ R3 | z > 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1}

= 2

∫ 1

0

[∫

Sz

x2 dxdy

]

dz con Sz = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1− z2}.

Passo a coordinate polari

{

x = ρ cos θy = ρ sin θ

0 ≤ θ ≤ 2π, 0 < ρ ≤√

1− z2

da cui

2

∫ 1

0

[∫

Sz

x2 dxdy

]

dz = 2

∫ 1

0

{

∫ 2π

0

[

∫

√1−z2

0(ρ2 cos2 θ)ρdρ

]

dθ

}

dz

= 2 ·∫ 2π

0cos2 θ dθ

∫ 1

0

(

∫

√1−z2

0ρ3 dρ

)

dz = 2π

∫ 1

0

1

4ρ4∣

∣

∣

∣

√1−z2

0dz =

π

2

∫ 1

0(1− z2)2 dz.

Si omette il calcolo dell’integrale semplice.

4.

∫

Dxyz dxdy dz, D = {(x, y, z) ∈ R

3 | z2 ≤ x2 + y2, z > x2 + y2}.

xy

zγ

Cono e paraboloide si intersecano in (0, 0, 0) e nella circonferenza γ di equazione

{

x2 + y2 = 1z = 1.

Dunque la proiezione di D sul piano z = 0 e il disco

D0 = {(x, y, 0) | x2 + y2 ≤ 1}.

Per fili:∫

D0

[

∫

√x2+y2

x2+y2xyz dz

]

dxdy =1

2

∫

D0

xy

[

z2∣

∣

∣

√x2+y2

x2+y2

]

dxdy

= 12

∫

D0

xy[x2 + y2 − (x2 + y2)2] dxdy

passando a coordinate polari otteniamo

12

∫ 1

0

∫ 2π

0ρ{

(ρ cos θ)(ρ sin θ)[

ρ2 − ρ4]}

dρdθ =

= 12

[∫ 1

0

(

ρ5 − ρ7)

dρ

]

·[∫ 2π

0cos θ sin θ dθ

]

= 0.

Si spieghi il risultato studiando le simmetrie del problema.

Per strati: possiamo scrivere

∫

Dxyz dxdy dz =

∫ 1

0

[∫

Sz

xyz dxdy

]

dz,

con Sz = {(x, y, z) ∈ R3 | z2 ≤ x2 + y2 ≤ z}

xy

zγ

Sz x

y

0 1b b √

zz

Sz

Quindi

∫ 1

0

[∫

Sz

xyz dxdy

]

dz =

∫ 1

0z

[∫

Sz

xy dxdy

]

dz =

=

∫ 1

0z

{∫ 2π

0

[∫ z

z2ρ(ρ cos θ)(ρ sin θ) dρ

]

dθ

}

= 0.

Cambiamenti di coordinate

5.

∫

Dx2 dxdy dz, D = {(x, y, z) ∈ R

3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1}. Passando a coordinate sferiche

x = r cos θ sinϕy = r sin θ sinϕz = r cosϕ

con

0 ≤ ϕ ≤ π2

0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ r ≤ 1

si ha che il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana e r2 sinϕ e dunque

∫

Dx2 dxdy dz =

∫ π

0

{∫ 2π

0

[∫ 1

0(r sinϕ cos θ)2r2 sinϕdr

]

dθ

}

dϕ =

=

∫ 1

0r4 dr ·

∫ π

0sin3 ϕdϕ ·

∫ 2π

0cos2 θ dθ =

= 15 ·∫ π

0(1− cos2 ϕ) sinϕdϕ ·

∫ 2π

0

1 + cos 2θ

2dθ =

= π5 ·[

− cosϕ+ 13 cos

3 ϕ]π

0= 4π

15 .

6. Notiamo che 0 = x2 + y2 + z2 − z = x2 + y2 +(

z − 12

)2− 1

4 e l’equazione di una sfera di

centro(

0, 0, 12

)

e raggio 12 . Di questa si vuole la parte contenuta nel diedro delimitato dai

piani y = 0 e y = x√3, in y ≥ 0.

x

y

z

Passando a coordinate sferiche

x = r cos θ sinϕy = r sin θ sinϕz = r cosϕ

con

0 ≤ ϕ ≤ π2

0 ≤ θ ≤ π6

0 ≤ r ≤ cosϕ

si ha

∫

D

1

1 +√

x2 + y2 + z2dxdy dz =

∫ π

6

0

[

∫ π

2

0

(∫ cosϕ

0

1

1 + rsinϕdr

)

dϕ

]

dθ =

= π6

∫ π

2

0sinϕ

[

∫ cosϕ

0

r2 − 1 + 1

1 + rdr

]

dϕ =π

6

∫ π

2

0sinϕ

[∫ cosϕ

0

(

r − 1 +1

1 + r

)

dr

]

dϕ =

= π6

∫ π

2

0sinϕ

{

1

2r2 − r + log(1 + r)

∣

∣

∣

∣

cosϕ

0

}

dϕ =

= −π6

∫ π

2

0

[

1

2cos2 ϕ− cosϕ+ log(1 + cosϕ)

]

d cosϕ =

= − π12 · 1

3 cos3 ϕ∣

∣

∣

π

2

0+ π

6 · 12 cos

2 ϕ∣

∣

∣

π

2

0− π

6

∫ π

2

0log(1 + cosϕ) d cosϕ =

= − π36 · (−1) + π

12 · (−1)− π6

∫ π

2

0log(1 + cosϕ) d cosϕ.

Integrando per parti

∫

log(1 + u) du = u log(1 + u)−∫

u

1 + udu = u log(1 + u)− u− log(1 + u),

e sostituendo nell’integrale precedente otteniamo

− π18 − π

6 {cosϕ · log(1 + cosϕ)− cosϕ− log(1 + cosϕ)|π

2

0

}

=

= − π18 − π

6 [0− (2 log 2− 1)] = −2π9 + π

3 log 2.

7. La matrice Jacobiana del cambiamento di coordinate φ e

Jφ =

2v 2u 00 1 00 0 1

⇒ |det Jφ| = 2v.

Il dominio di integrazione E diventa

E′ =

{

(u, v, w) ∈ R3 | u2 + v2 +w2 ≤ 1, v ≥

√3

2

}

e quindi

I =

∫

E′

4u2v2 + 4v2w2

8v32v dudv dw.

Integrando per strati paralleli al piano uw e passando a coordinate polari u = ρ cosϕ, v =

ρ sinϕ

I =

∫ 1

√3

2

(

∫ 2π

0dϕ

∫

√1−v2

0ρ3 dρ

)

dv = π

(

4

15− 49

320

√3

)

.

Ulteriori integrali tripli

8.

∫

Dx2y dxdy dz D = {(x, y, z) ∈ R

3 | x2 + z2 ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

∫

Dx2y dxdy dz =

∫ 1

0

{∫ 2π

0

[∫ 1

0r2 cos2 θy dr

]

dθ

}

dy =∫ 1

0y ·∫ 2π

0cos2 θ ·

∫ 1

0ρ3 dρ =

1

2· π · 1

4=

π

8.

9.

∫

D

1

3− zdxdy dz, D = {(x, y, z) ∈ R

3 | 9z ≤ 1 + y2 + 9x2, 0 ≤ z ≤√

9− (y2 + 9x2)}.

xy

z

b

b

b

31

1

L’equazione z = 19 + y2

9 + x2 rappresenta un paraboloide ellittico di vertice(

0, 0, 19

)

mentre

z2+y2+9x2 = 9 e un’ellissoide di centro l’origine e semiassi 1, 3 e 3. Il dominio di integrazione

e l’ellissoide, tolta la parte superiore del paraboloide. Diciamo D = D1−D2, con D1 ellissoide

e D2 intersezione dell’ellissoide e del paraboloide.

Dunque sembra naturale∫

D=

∫

D1

−∫

D2

.

La funzione da integrare e costante rispetto ad x ed y. Quindi conviene integrare per strati

paralleli al piano xy.

∫

D1

1

3− zdxdy dz =

∫ 3

0

[∫

Sz

dxdy

]

1

3− zdz,

ove Sz e l’ellisse y2 + 9x2 = 9− z2, ossia

y2

9− z2+

x2

1− z2

9

= 1,

la cui area e

π · (9− z2)1

2 ·(

1− z2

9

) 1

2

=π

3· (9− z2).

Dunque∫

D1

1

3− zdxdy dz =

π

3

∫ 3

0

9− z2

3− zdz.

Notare: questo metodo non funziona perche si e incontrato un integrale improprio divergente.

Si noti pero che il punto (0, 0, 3) non appartiene al dominio d’integrazione.

Procediamo allora in un altro modo. Chiamiamo D1 e D2 i due insiemi in figura e notiamo

che

D = D1 ∪D2 ⇒∫

D=

∫

D1

+

∫

D2

.

Per z fissato, z ∈[

0, 19

]

va calcolato

∫

Sz

1

3− zdxdy, con Sz ellisse di area π

3 · (9 − z2), come

visto sopra, e quindi

∫

D1

1

3− zdxdy dz =

π

3

∫ 1

9

0

1

3− z(9− z2) dz =

π

3

∫ 1

9

0(3 + z) dz =

π

3

(

1

3+

1

162

)

=55

486π.

Calcoliamo

∫

D2

, ancora per strati perpendicolari all’asse z.

In questo caso la sezione e la corona ellittica

Sz = {(x, y, z) | 9z − 1 ≤ y2 + 9x2 ≤ 9− z2}.

Inoltre abbiamo

1

9≤ z ≤ ?

cioe va capito a che quota si intersecano l’ellissoide ed il paraboloide. Si impone quindi

l’uguaglianza

z =1

9+

(

y2

9+ x2

)

= 3·√

1−(

y2

9+ x2

)

ossia z = 3·√

1− z +1

9⇒ z2+9z−10 = 0,

le cui radici sono z = 1, z = −11 e di cui va presa la positiva. Dunque 19 ≤ z ≤ 1 ed abbiamo

∫

D2

1

3− zdxdy dz =

∫ 1

1

9

1

3− z

[∫

Sz

dxdy

]

dz = AreaSz ·∫ 1

1

9

1

3− zdz.

L’area di Sz e

π

3· (9− z2)− π

3· (9z − 1) = −π

3· (z2 + 9z − 10),

dunque

∫

D2

1

3− zdxdy dz = −π

3·∫ 2

1

9

z2 + 9z − 10

3− zdz =

π

3·∫ 2

1

9

(

z + 12 +26

z − 3

)

dz =

=π

3·[

z2

2+ 12z + 26 log |z − 3|

]2

1

9

=

=π

3·[

4

2+ 12 · 2 + 26 log | − 1| −

(

1

181· 12+

12

9+ 26 log

∣

∣

∣

∣

1

9− 3

∣

∣

∣

∣

)]

=

=π

3·(

26− 1

162− 4

3− 26 log

26

9

)

=

=π

3·(

3995

162− 26 log

26

9

)

.

Concludendo,

∫

D=

∫

D1

+

∫

D2

=55

486π +

π

3·(

3995

162− 26 log

26

9

)

=25π

3− 26π

3log

26

9.

10.

∫

Dxdxdy dz, D = {(x, y, z) ∈ R

3 | 2x ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

2x = x2+y2+z2 e come scrivere (x−1)2+y2+z2 = 1, dunque il dominio di integrazione e la

zona interna alla sfera x2+y2+z2 = 1, meno l’intersezione con la sfera (x−1)2+y2+z2 = 1.

La sezione del dominio con piano y = 0 e

−1 1 21

20

Se poniamo D1 = D∩{x ≤ 0} = {(x, y, z) ∈ R3 | x2+y2+z2 ≤ 1, x ≤ 0} e D2 = D∩{x > 0},

possiamo scrivere∫

D=

∫

D1

+

∫

D2

e, dal momento che la funzione integranda e costante rispetto ad y e z, conviene calcolare i

due integrali per strati paralleli al piano (y, z).

Per quanto riguarda D1, le sezioni con piani perpendicolari all’asse x sono cerchi Sx, di raggio√1− x2, quindi

∫

D1

xdxdy dz =

∫ 0

−1

(∫

Sx

xdy dz

)

dx =

∫ 0

−1x · AreaSx dx =

=

∫ 0

−1x · π · (1− x2) dx = π

∫ 0

−1(x− x3) dx = π

[

1

2x2 − 1

4x4]0

−1= −π

4.

Per quanto riguarda D2, le sezioni Tx sono corone circolari di raggi√2x− x2 e

√1− x2, e

quindi

∫

D2

xdxdy dz =

∫ 1

2

0

(∫

Tx

xdy dz

)

dx =

∫ 1

2

0x · AreaTx dx =

∫ 1

2

0x · π · [1− x2 − (2x− x2)] dx = π

∫ 1

2

0(x− 2x2) dx = π

[

1

2x2 − 2

3x3] 1

2

0=

π

24.

Concludendo∫

D=

∫

D1

+

∫

D2

= −π

4+

π

24= −5π

24.

Applicazioni

11. (a) La regione A e delimitata dalle superfici z = x2+y2−2 e z = 4−x−y e la sua proiezione

sul piano xy e il dominio D = {(x, y, 0) | x2 + y2 ≤ 1}. Indichiamo con V il volume di

A ed integriamo per fili paralleli all’asse z:

V =

∫

Adxdy dz =

∫

D

(∫ 4−x−y

x2+y2−2dz

)

dxdy =

∫

D(6− x− y − x2 − y2) dxdy.

Passando a coordinate polari

V =

∫ 2π

0

(∫ 1

0(6− ρ cos θ − ρ sin θ − ρ2)ρdρ

)

dθ =

=

∫ 2π

0

[

3ρ2 − ρ3

3(cos θ + sin θ)− ρ4

4

]1

0

dθ =

=

∫ 2π

0

[

11

4− 1

3(cos θ + sin θ)

]

dθ =

=11

2π.

(b) La superficie z = 1 − (x2 + y2) e un paraboloide di rotazione di vertice U = (0, 0, 1),

mentre x2 + y2 + z2

9 = 1 e un ellissoide di semiassi 1, 1, 3 e centro (0, 0, 0).

x

y

z

b

b

b

2

1

Le sezioni Bz di B con piani z = cost, per 0 ≤ z ≤ 1 sono corone circolari di raggi

r1 =√1− z ed r2 =

√

1− z2

9 , mentre per 1 ≤ z ≤ 2 sono cerchi di raggio r2.

xy

z

b

b

Bz

Quindi

V =

∫

Bdxdy dz =

∫ 1

0

(∫

Bz

dxdy

)

dz +

∫ 2

1

(∫

Bz

dxdy

)

dz =

= π

∫ 1

0

(

1− z2

9− 1 + z

)

dz + π

∫ 2

1

(

1− z2

9

)

dz =

= π[

z2

2 − z3

27

]1

0+ π

[

z − z3

27

]2

1=

= 6554π.

(c) La proiezione D di C sul piano xy e

1

y =√

3xy = −

√

3x

π

3

Integrando per fili paralleli all’asse z

V =

∫

Cdxdy dz =

∫

D

(

∫ 3x2−y2

0dz

)

dxdy =

∫

D(3x2 − y2) dxdy = . . .

passando a coordinate polari

. . . =

∫ π

3

−π

3

[∫ 1

0(3ρ2 cos2 θ − ρ2 sin2 θ)ρdρ

]

dθ +

∫ 4π

3

2π

3

[∫ 1

0(3ρ2 cos2 θ − ρ2 sin2 θ)ρdρ

]

dθ =

=

∫ π

3

−π

3

(4 cos2 θ − 1) dθ ·∫ 1

0ρ3 dρ+

∫ 4π

3

2π

3

(4 cos2 θ − 1) dθ ·∫ 1

0ρ3 dρ =

= 14

[

∫ π

3

−π

3

(1 + 2 cos 2θ) dθ +

∫ 4π

3

2π

3

(1 + 2 cos 2θ) dθ

]

=

= 14

{

[θ + sin 2θ]π

3

−π

3

+ [θ + sin 2θ]4π

32π

3

}

=

= 14

{[(

π3 +

√32

)

−(

−π3 −

√32

)]

+[(

4π3 +

√32

)

−(

2π3 −

√32

)]}

=

= π3 +

√32 .

(d) La proiezione D di E sul piano xy e

D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ α},

dove 1 < α < 2 e la radice dell’equazione e−α = 15α.

xy

z

b

z = e−√

x2+y2

z = 1

5

√

x2 + y2

Integrando per fili paralleli all’asse z:

V =

∫

Edxdy dz =

∫

D

∫ e−√

x2+y2

1

5

√x2+y2

dz

dxdy =

=

∫ 2π

0dθ

∫ α

0

(

e ρ − 1

5ρ

)

ρdρ =

= 2π(

1− αe−α − e−α − 115α

3)

.

12. La sezione del tetraedro ABCD mediante i piani x = cost e

y

z

0

3(1− x)

2(1− x)

Tx

Denotiamo con V1 e V2 i volumi di S1 ed S2 rispettivamente.

x y

z

S2

S1

Si ha

V1 =

∫

S1

dxdy dz =

∫ k

0

(∫

Tx

dy dz

)

dx =

∫ k

0

1

2· 2 · (1− x) · 3 · (1− x) dx =

=

∫ k

03 · (1− x)2 dx =

[

−(1− x)3]k

0= 1− (1− k)3,

V2 =

∫

S2

dxdy dz =

∫ 1

k

(∫

Tx

dy dz

)

dx =

∫ 1

k3 · (1− x)2 dx =

=[

−(1− x)3]1k = (1− k)3.

Dunque la condizione affinche si abbia V1 = V2 e

1− (1− k)3 = (1− k)3 ⇒ k = 1− 13√2.

13. Ricordiamo che se f(x), x ∈ [a, b], e una funzione continua, il volume del solido ottenuto

ruotandone il grafico intorno all’asse delle ascisse e dato da

V = π

∫ b

af2(x) dx.

(a) V = π

∫ x1

x0

1

x2dx = π

[

1

x0− 1

x1

]

. Notare che il volume rimane finito al tendere di x1 a

+∞.

(b)

V = π

∫ 1

−1(1− x2/3)3 dx = π

∫ 1

−1(1− 3x2/3 + 3x4/3 − x2) dx =

= π

[

x− 3 · 35x

5

3 + 3 · 37x

7

3 − 1

3x3]1

−1=

= 2π

(

1− 9

5+

9

7− 1

3

)

=

=32π

105.

(c) V = π

∫ a

0x6 dx =

π

7a7.

(d) V = π

∫ a

0e 2x dx =

π

2

(

e 2a − 1)

.

(e)

V = π

∫ a

0

(

e x − e−x

2

)2

dx =

∫ a

0

(

e 2x + 2 + e−2x

4

)

dx =

=π

4

[

1

2

(

e 2a − 1)

+ 2a− 1

2

(

e−2a − 1)

]

=

=π

4(2a+ sinh 2a).

14. (a) Si tratta del volume di un cilindro la cui proiezione sul piano z = 0 e il rettangolo

R = [0, π] × [0, 1].

x

y

z

R

π

1

b

b

x

y

0 π

1

R

b

b

b

Conviene quindi integrare per fili:

V =

∫

D1 dxdy dz =

∫

R

[∫ sinx

0dz

]

dxdy =

∫

Rsinxdxdy =

=

∫ 1

0

[∫ π

0sinxdx

]

dy = [− cos x]π0 = 2.

(b) Si tratta ancora di calcolare il volume di un cilindro, ma ora il grafico di z = sinx e in

parte sopra e in parte sotto il piano z = 0.

π

−π

1

b

b

b

x

y

z

Quindi vanno calcolati due integrali: quello relativo alla parte di solido nel semispazio

z ≥ 0 e quello relativo alla parte di solido in z < 0, che da non il volume ma l’opposto

del volume. I due numeri vanno quindi sottratti.

Usando la simmetria della figura ed il calcolo precedente, si vede che il volume vale 4.

15. I due paraboloidi si intersecano lungo la circonferenza

x2 + y2 =10

3, z =

20

3.

x

y

z

b

Per simmetria xa = ya = 0. Verifichiamo che anche za = 0, cioe che

∫

Ez dxdy dz = 0,

dove

E =

{

(x, y, z) ∈ R3 | −10 + 5(x2 + y2) ≤ z ≤ 10

3+ x2 + y2

}

.

La proiezione di E sul piano xy e

D =

{

(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 10

3

}

.

Integrando per fili paralleli all’asse z:

∫

Ez dxdy dz =

∫

D

(

∫ 10

3+x2+y2

−10+5(x2+y2)z dz

)

dxdy =

= 12

∫ 2π

0dθ

∫

√10

3

0ρ

[

(

10

3+ ρ2

)2

− (5ρ2 − 10)2]

dρ = 0.

16. (a) Prendiamo come asse di rotazione la retta tangente di equazioni x = R, y = 0. La

distanza del punto (x, y, z) da tale retta e data da√

(R − x)2 + y2.

x y

z

b

basse

Dunque il momento d’inerzia e

I =

∫

D[(R− x)2 + y2] dxdy dz.

Se passiamo a coordinate sferiche

x = ρ cos θ sinϕy = ρ sin θ sinϕz = ρ cosϕ,

r ≤ ρ ≤ R,0 ≤ θ ≤ 2π,−π ≤ ϕ ≤ π

abbiamo che il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana della trasfor-

mazione e

|det J | = ρ2 sinϕ,

e dunque il momento d’inerzia diventa

I =

∫ π

0

{

∫ 2π

0

[

∫ R

0ρ2 sinϕ(R2 − 2Rρ cos θ sinϕ+ ρ2 sin2 ϕ) dρ

]

dθ

}

dϕ =

= 2π

∫ π

0R2 · R

3

3sinϕdϕ−

∫ π

02R · R

4

4sin2 ϕdϕ ·

∫ 2π

0cos θ dθ + 2π

∫ π

0

R5

5sin3 ϕdϕ =

=2πR5

3[− cosϕ]π0 +

R5

2

∫ π

0sin2 ϕdϕ · [sin θ]2π0 +

2πR5

5

[

− cosϕ+cos3 ϕ

3

]π

0

=

=4πR5

3+ 0 +

2πR5

5

[

1− 1

3−(

−1 +1

3

)]

=

=4πR5

3+

8πR5

15=

=28πR5

15.

(b) L’asse di rotazione sia quello delle ascisse.

assey

z

b

La distanza di (x, y, z) da tale asse e√

z2 + y2. Il momento d’inerzia e

I =

∫

D(z2 + y2) dxdy dz.

Passando a coordinate polari ellittiche

x = aρ cos θ sinϕy = bρ sin θ sinϕz = cρ cosϕ,

0 ≤ ρ ≤ 1,0 ≤ θ ≤ 2π,0 ≤ ϕ ≤ π

si trova che il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana della trasfor-

mazione e

|det J | = abcρ2 sinϕ,

e dunque il momento d’inerzia diventa

I =

∫ 2π

0

{∫ π

0

[∫ 1

0

(

c2ρ2 cos2 ϕ+ b2ρ2 sin2 θ sin2 ϕ)

abcρ2 sinϕdρ

]

dϕ

}

dθ =

= abc

∫ 2π

0

{∫ π

0

[∫ 1

0ρ4(

c2 cos2 ϕ sinϕ+ b2 sin2 θ sin3 ϕ)

dρ

]

dϕ

}

dθ =

=abc

5

[∫ 2π

0

(∫ π

0c2 cos2 ϕ sinϕdϕ

)

dθ +

∫ 2π

0

(∫ π

0b2 sin2 θ sin3 ϕdϕ

)

dθ

]

=

=abc

5

{

2πc2[

−cos3 ϕ

3

]π

0

+ b2∫ 2π

0

(

1− cos 2θ)

2

)

dθ ·∫ π

0sinϕ(1 − cos2 ϕ) dϕ

}

=

=abc

5

{

2πc2[

1

3+

1

3

]

+ πb2[

− cosϕ+cos3 ϕ

3

]π

0

}

=

=abc

5

[

4πc2

3+ πb2

(

1− 1

3+ 1− 1

3

)

]

=

=abc

5

[

4πc2

3+

4πb2

3

]

=

=4πabc

15(b2 + c2).

(c) L’asse di rotazione sia l’asse z. La distanza di (x, y, z) da tale asse e√

x2 + y2. Va

quindi calcolato

I =

∫

D(x2 + y2) dxdy dz.

Passando a coordinate sferiche

x = ρ cos θ sinϕy = ρ sin θ sinϕz = ρ cosϕ,

r ≤ ρ ≤ R,0 ≤ θ ≤ 2π,−π ≤ ϕ ≤ π

si trova che il momento d’inerzia e

I =

∫ π

0

{

∫ 2π

0

[

∫ R

r

(

ρ2 sin2 ϕ)

ρ2 sinϕdρ

]

dθ

}

dϕ =

= 2π

∫ π

0

(

∫ R

rρ4 sin3 ϕdρ

)

dϕ =

= 2π · (R5 − r5)

5

∫ π

0sinϕ(1 − cos2 ϕ) dϕ =

=2π(R5 − r5)

5

[

− cosϕ+cos3 ϕ

3

]π

0

=

=2π(R5 − r5)

5· 43=

=8π(R5 − r5)

15.